（课程与教学论专业论文）中学数学问题解决教学研究.pdf

内蒙古师范大学同等学力硕士学位论文 中文摘要 自2 0 世纪8 0 年代初，美国提出把“问题解决”作为数学教育的核心 以来，“问题解决成为数学教育领域备受关注的研究热点，对我国数学 教育的研究与中小学数学教学的实践也产生了一定影响。“数学问题解决 是以数学问题为中心，以学生已有数学知识和经验为基础，教师创设最佳 的认知活动的背景，引导学生自主地发现问题，分析问题和解决问题，学 生通过自身情感体验去实现知识的再创造的教学活动。 初中教育是小学教育和高中教育的过渡期，所以本研究的范围界定在 初中，主要研究的内容如下： 一、导论。论述了本课题的研究目的和创新之处，以及国内外关于本 课题的研究现状。 二、初中数学问题解决教学的理论综述。在阐述初中数学问题之涵义、 数学问题解决教学的目标和数学问题解决教学的形式的基础上，分析了阻 碍初中生问题解决的因素并给出相应的对策，最后提出了数学问题解决教 学应采取的一般过程、遵循的基本原则及注意事项等。 三、初中数学问题解决教学的个案设计。结合论文前面的数学问题解 决教学的理论，设计了两个教学案例。 四、结束语。 关键词：初中数学，数学问题，数学问题解决教学 内蒙古师范大学同等学力硕士学位论文 a b s t r a c t f o r m2 0 mc e n t u r y ，e a r l y8 0 s ，“p r o b l e ms o l v i n g b e c o m e st h ef o c u so f m a t h e m a t i c se d u c a t i o ni nu s a ，“p r o b l e ms o l v i n g i sb e c a m es t u d yo b j e c ti n m a t h e m a t i c se d u c a t i o nf i e l d ，i ta f f e c t so u rc o u n t r ym a t h e m a t i c se d u c a t i o n r e s e a r c ha n dt e a c h i n gp r a c t i c eo fm i d d l es c h o o la n de l e m e n t a r ys c h 0 0 1 攀絮知“ m a t h e m a t i c sp r o b l e mi st h ec e n t e ro f m a t h e m a t i c s p r o b l e ms o l v i n g ， m a t h e m a t i c sp r o b l e ms o l v i n g b a s e do nm a t h e m a t i c sk n o w l e d g ea n d e x p e r i e n c et h a ts t u d e n t sh a v eh a d t h et e a c h e r sm a k eb e s tc o g n i t i o na c t i v i t y b a c k g r o u n d ，l e a dt h es t u d e n t st of i n dp r o b l e m ，a n a l y z ep r o b l e m t h es t u d e n t s t h r o u g hf e e l i n ge x p e r i e n c ec a r r yo u tt e a c h i n ga c t i v i t yo fk n o w l e d g ei n v e n t i o n a g a i n b e c a u s ej u n i o rm i d d l es c h o o le d u c a t i o ni sat r a n s i t i o n s t a g eo f e l e m e n t a r ys c h o o la n ds e n i o rh i g hs c h o o l ，is t u d yo nm a t h e m a t i c sp r o b l e m s o l v i n gt e a c h i n gi nj u n i o rm i d d l es c h 0 0 1 t h em a i nc o n t e n to fm yt h e s i si sa s f o l l o w s ： f i r s t l y , i n t r o d u c t i o n b a s e do np r e s e n t l yr e s e a r c ha c t u a l i t y ，id i s c u sm y t h e s i sr e s e a r c hg o a la n di n n o v a t i o n s e c o n d l y , t h e o r ys u m m a r i z eo fm a t h e m a t i c sp r o b l e ms o l v i n gt e a c h i n g i nj u n i o rm i d d l es c h 0 0 1 b a s e do n m e a n i n go fj u n i o rm i d d l e s c h o o l 内蒙古师范大学同等学力硕士学位论文 m a t h e m a t i c sp r o b l e m ，g o a l sa n df o r m so fm a t h e m a t i c sp r o b l e ms o l v i n g t e a c h i n gi nj u n i o rm i d d l es c h o o l ，ia n a l y z et h ef a c t o r st h a th i n d e rt h es t u d e n t s t og oo np r o b l e ms o l v i n ga n dg i v es o m es t r a t e g y , a tl a s t ，ig i v eap i e c e so f a d v i c eo fm a t h e m a t i c sp r o b l e ms o l v i n gt e a c h i n g ，s u c ha sa d o p t i n gg e n e r a l l y t e a c h i n gp r o c e s s ，f o l l o w i n gb a s i cp r i n c i p l ea n dn o t i c ea n ds oo n t h i r d l y , c a s e sd e s i g no fm a t h e m a t i c sp r o b l e ms o l v i n gt e a c h i n gi nj u n i o r m i d d l es c h 0 0 1 c o m b i n a t i o nt h et h e o r yo fm a t h e m a t i c sp r o b l e ms o l v i n g t e a c h i n g ，id e s i g nt w ot e a c h i n gc a s e s f o u r t h l y , p e r o r a t i o n k e yw o r d s ：j u n i o rm i d d l es c h o o l m a t h e m a t i c s ，m a t h e m a t i c sp r o b l e m ， m a t h e m a t i c sp r o b l e m s o l v i n gt e a c h i n g 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果，尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他入已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含本人为获得内蒙古师范大学或其它教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示感谢。 签名：经 日期：乡月矽日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解内蒙古师范大学有关保留、使用学位 论文的规定：内蒙古师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送 交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容 和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 签名：纷 导师签名： 日期：驴罗年p 月矽日 一、导论 一、导论 随着2 l 世纪的到来，人类将进入信息化时代，社会的数字化程度的日益提高， 要求人们具有更高的数学素养，知识经济的时代，数学将更广泛更普遍地渗透到社会 的各个方面，越来越表现得与人类的生存质量，社会的发展水平休戚相关，因此，人 们不能不对数学有新的认识和对数学问题解决有新的思考。我国的数学教育长处是学 生有扎实的双基，短处是缺乏创造意识。数学教育的主旨是培养学生分析问题、解决 问题的能力。 ( 一) 选题的目的和意义 数学在人类社会的各个领域中的应用不断地扩大，已经达到人类生活不能没有数 学的程度；另一方面，数学学科也是自古以来学校教育中的重要学科之一。一言以蔽 之，它作为一种语言、工具、技术和文化，无论是在社会上还是学校教育中的作用越 来越广泛，对社会的进步产生着深刻影响。因此，现代社会的发展要求每一个公民必 须掌握一定程度的数学知识，同时也要求培养相当数量的高素质的数学人才，这一历 史使命寄托在数学教育上。学校数学教育的根本任务之一就是要培养学生的分析问 题、解决问题能力和良好的思维习惯。在某种意义上说，数学的学习过程是以数学的 产生、发展中的问题解决方式学习的过程，因为“问题构成数学的心脏。 1 因此，数 学教学也是为了培养学生自觉地把数学灵活应用于实践的态度、树立良好的应用数学 的意识和思维习惯和解决问题的能力而服务。目前，我国的数学教育越来越重视数学 与实际、数学与其他学科相联系，因此数学问题解决教学显得格外重要。 张奠宙先生在总结我国数学教育历史经验的基础上，认为以问题解决为主导是改 革我国数学教育的突破口，强调以习题练习为基础，以问题解决为主导。张乃达先生 从我国的实际出发，指出数学教育应该以解题为中心，解题教学正是达到教学目的的 最好手段2 。 当今世界各国都关注培养学生的数学应用能力，在各国课程标准中都将“数学问 题解决教学 置于重要位置。例如： 美国在学前期至十二年级学校数学教育的标准中提出的“问题解决标准”是使所 美 h 伊大斯数学史概论【m 】欧刚绛，译太原：山撕经济出版社，1 9 9 3 ：1 2 张奠宙等数学教育! 学【m 】南昌：江哺教育出版社，1 9 9 1 第2 7 页。 内蒙古师范大学同等学力硕士学位论文 有的学生都能够：( 1 ) 通过解决问题掌握新的数学知识；( 2 ) 解决在数学及其他情境 中出现的问题；( 3 ) 采用各种恰当的策略解决问题；( 4 ) 检验和反思数学问题解决的 过程。1 并且对培养学生“问题解决”能力的重要性、每个年级的学生该解决什么样的 问题以及教师在发展学生的数学问题解决中扮演什么样的角色都给予详细的阐述。 日本的中小学数学学习指导要领的培养目标中分别指出：“培养学生自觉地 把数学用于日常生活的态度 ( 小学) 、“了解数学活动的乐趣、数学的认识方法和思 考方法的好处，并培养灵活运用数学的态度一( 初中) 、。认识使用数学的方法观察问 题和思考问题的好处，培养积极灵活运用数学方法的态度 ( 高中) 。 我国的全日制义务教育数学课程标准( 实验稿) 中明确指出：“初步学会从数 学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用 意识；形成解决问题的一些基本策略，体验解决策略的多样性，发展实践能力与创新 精神；学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果；初步形成评价与反思的意 识。 2 普通初中数学课程标准( 实验) 的课程目标中提到“提高数学地提出、分析、 和解决问题( 包括简单的实际问题) 的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取 数学知识的能力。一，“发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些 数学模式进行思考和作出判断。一3 综上所述，可见在数学教学中，数学问题解决教学是非常重要的，所以对它的深 入而系统的研究具有重要的理论意义和实践指导作用。 ( - - ) 国内外研究现状 关于“问题解决 的研究可以追述到古代，如苏格拉底的“产婆术”就蕴含着问 题解决教学的思想。近代，杜威的“做中学也体现出问题解决教学思想。我们知道 美国是最早具体提出数学问题解决教学研究的国家，随之各国纷纷开始重视数学问题 解决教学研究。在1 9 8 0 年召开的第四届国际数学教育大会( i c m e 一4 ) 上，首次提到 “问题解决”并将“问题解决在数学中的地位”作为会议主题之一。并在以后召开的 国际数学教育大会上都对“问题解决 进行了相应的探讨。 1 全美数学教师理事会美国学校数学教育的原则和标准【m 】蔡金法等，译北京：人民教育出版社， 2 0 0 4 ：5 0 2 中华人民共和国教育部全日制义务教育数学课程标准( 实验稿) 【m 】一匕京师范人学出版社，2 0 0 1 ： 9 3 中华人民共和国教育部普通高中数学课程标准( 实验) 【m 】j 匕京：人比教育出版社，2 0 0 3 ：1 1 一、导论 1 国外研究状况 国外关于数学问题解决教学的研究很多，其中我了解到的相关著作如下： ( 1 ) 1 9 8 5 年， 美 波利亚( g p o l y a ) 著怎样解题( 该书由我国学者涂泓、冯 承天译为中文，2 0 0 2 年，上海科技教育出版社出版) 。 波利亚可以被看成是对数学问题解决进行比较系统研究的人。在怎样解题中， 他提出了解决问题的四个阶段：理解题目、拟定方案、执行方案及回顾。波利亚的思 想主要体现在其著作怎样解题、数学的发现和数学与猜想中，他的研究思 想为现代数学问题解决教学的研究和发展奠定了必要的理论基础。 ( 2 ) 1 9 4 4 年， 法 雅克阿达玛( j s h a d a m a r d ) 著数学领域中的发明心理学 ( 该书由我国学者陈植荫、肖奚安翻译为汉文，1 9 8 9 年，江苏教育出版社出版) 。 该著作虽然主要是对数学的发明、发现方面的研究，没有专门研究数学问题解 决教学的过程，但其中渗透的关于数学问题解决的思想对于数学教育工作者来说是有 着深远意义的。如阿达玛指出：“数学家们从事数学研究工作，固然已属发明的范畴， 数学专业的学生在解决一个几何的或代数的问题时，实际上也与数学家们的发明具有 同样的性质。只是两者在程度深浅和水平高低上有着差距而己。州 ( 3 ) 前苏联心理学家克鲁捷茨基( b a r p y r e , l r n 螽) 著中小学生数学能力心理学 ( 该书由我国学者李伯黍等翻译为汉文，1 9 8 3 年，上海教育出版社出版) 。 克鲁捷茨基认为，学生解答数学题时的心理活动包括以下三个阶段：第一，收集 解题所需的信息；第二，对信息进行加工，获得一个答案；第三，把有关这个答案的 信息保持下来。他的中小学数学能力心理学一书中详细介绍了数学能力强的学生 的信息收集( 对问题的最初定向) 的特点和解决问题时信息加工的特点，他强调情感在 问题解决过程中的重要性。他的研究方法，不单凭一些测验分数的相关性来分析数学 能力，而着重于对学生解决问题过程的分析。克鲁捷茨基的工作使问题解决研究转变 到根据问题解决者的心理加工过程来刻画人的特征。 ( 4 ) 1 9 8 7 年， 英 斯根普( r i c h a r dr s k e m p ) 著数学学习心理学( 该书由我国 学者陈泽民译翻译为汉文，2 0 0 0 年，九章出版社出版) 。 该著作主要研究数学概念学习和数学理解。他将数学比作无声的音乐，指出：“我 们要欣赏任何音乐必须实实在在听到演奏，如果自己会演奏效果或许更佳。事实 1 雅克阿达王j 5 数学领域中的发明心理学【m 】陈植荫，肖奚安，译南京：江苏教育出版社，1 9 8 8 ： 7 9 内蒙古师范大学同等学力硕士学位论文 上，儿童刚开始接触音乐时，根本不是看或写音符，只是张张嘴、耳朵听、身体摆而 已。即使稍大开始认识音符和各种记号，也要密切地和演奏结合，可以用喉咙唱，也 可以用简单的乐器演奏。 1 这要求数学教师在数学教学中应该着力引导和培养学生亲 身体验及自己解决数学问题的能力。 国外关于“问题解决 教学的研究可以说已经比较深入，他们的某些合理的理论 我们可以借鉴，所以我们有必要结合我国的国情进行该课题的研究。 2 国内研究现状 近年来，我国关于数学问题解决教学研究的相当多，具有代表性的论著主要有： ( 1 ) 郑毓信：问题解决与数学教育( 南京：江苏出版社，1 9 9 4 ) 。 该书对“问题解决 的涵义以及它作为数学教育中心环节的合理性和必要性进行 了系统的分析。具体地分析了影响问题解决能力的五种因素：即知识的良好组织、探 索法、调节、观念和情感。并且对提出问题的方法进行了论述，集中地讨论了数学问 题解决教学。 ( 2 ) 袁小明：关于中国式的问题解决教学模式数学教育学报，第3 卷， 第l 期，1 9 9 4 。 该文只是从宏观上论述了以下三个问题：第一，以教材为中心来选择和编制问题； 第二，通过对教法的改造开拓问题的教育价值；第三，注意解题归纳与思维训练。 ( 3 ) 王延文、齐建华、游安军：问题解决 及其研究综述数学教育学报， 1 9 9 5 ，第4 卷，第3 期。 该文主要阐述了问题解决研究动向、特征、解题模式及心理机制、思维策略、教 学建议等。 ( 4 ) 张奠宙，戴再平：中国数学教学中的“双基 和开放题问题解决数学 教育学报，2 0 0 5 ，第1 4 卷，第4 期。 该文提出将数学“双基 教学和“问题解决 教学相结合的观点。并且指出“开 放题”问题解决教学是加快“双基数学教学”进步的有效途径。 实际上，国内关于“数学问题解决 研究的论著颇多，如，黄光荣：数学问题 教育论( 长沙：中南大学出版社，2 0 0 4 ) ：任子朝：谈数学教育中的“问题解决” 数学通报，1 9 8 8 ，第2 7 卷，第3 期；喻平：数学问题解决的实证研究述评 1 斯根普数学学习心理学【m 】陈泽比，译台北：九章出版社，2 0 0 0 ：2 7 1 4 一、导论 数学教育学报2 0 0 2 ，第1 1 卷，第l 期；邓鹏：对“问题解决 的反思数 学教育学报2 0 0 2 ，第l l 卷，第2 期，等等。 以上这些研究不同程度地反映了我国数学问题解决教学研究水平。但他们研究的 关注点几乎都是集中在培养问题解决上，而并没有重视在问题解决教学过程中如何树 立学生良好的思维习惯、个性品质和交流合作能力等问题；另一方面，亦未很好地落 实学生间的差异问题。本课题在他人研究的基础上，系统而深入地研究上述存在的问 题。 的。 ( 三) 研究方法 本论文主要采用了文献研究法、比较研究法和案例分析法等研究方法来展开研究 ( 四) 创新之处 通过对国内外数学问题解决教学研究现状及实践的分析，指出我国数学问题解决 教学中存在的问题。本论文的创新之处如下： 1 通过对文献资料的研究及整理，总结出我国初中数学问题解决教学研究及实施 过程中存在的问题； 2 结合我国数学教学实践，提出初中数学问题解决教学的形式及注意事项； 3 依据初中数学问题解决教学的形式编写了教学设计。 5 内蒙古师范大学同等学力硕士学位论文 二、初中数学问题解决教学的理论综述 ( 一) 初中数学问题之涵义 1 数学问题的来源 数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的科学，正如恩格斯所说：“纯数学 的对象是现实世界的空间形式和数量关系，所以是非常现实的材料。一当人们与客观 世界产生接触，从数量关系或空间形式的角度反映出认识与客观世界的矛盾时，就形 成了问题。以数学为内容，或者虽不以数学为内容，但必须运用数学概念、理论或方 法才能解决的问题称为数学问题。希尔伯特在1 9 0 0 年巴黎国际数学家代表大会上以 “数学问题 为题发表演讲时说：“只要- f 3 科学分支能提出大量的问题，它就充满 着生命力；而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止。正如人类的每项事业都追求 着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。正是通过这些问题的解决，研究者 锻炼其钢铁意志，发现新方法和新观点，达到更为广阔和自由的境界。 “数学活动 的再现应该这样进行，使它好像就是接受者自己的产物”1 。 由于数学问题包含着有关数学的疑问因素和未知方面，所以，在数学的学习和研 究中，对已有的数学概念或结论产生疑问，或者对数学的未知领域进行探索时，都会 提出一些不同问题。但是，初中数学教学中所要解决的并不是那些尚未解决的数学问 题，而是前人已有的数学知识的再发现。只有提出问题，让学生明了产生问题的情境， 才能引起学生有目的的思考。正是由于学生把特定的数学问题确定为自己努力攻克的 方向，才能使思维活动以一定的方法、在一定的范围内进行，才能激发学生的创造热 情，不断冲击头脑中旧有的认知结构，不断构建新的认知结构。 数学问题来源于人类的生产、生活实践，来源于人们了解自然、认识自然的科技 活动。古代巴比伦人在观测天文、丈量土地和进行贸易中形成了位置观念和六十进制 数系，并发现了大量数表、计算方法以及包括解一元二次方程在内的许多数学问题。 早在公元前5 世纪，古希腊人就已经形成后来被称为几何三大作图问题的倍立方问题、 三等分任意角问题和化圆为方问题。成书于公元l 世纪前后的九章算术，集古代 数学问题之大成，记载了我国古代劳动人民在生产、生活和社会活动中形成的各种数 1 【关】r m 加淖学习的条件和教学论【m 】皮连生，于映学，郑葳等，译上海：华东师范大 学出版社，2 0 0 2 ：1 7 6 1 9 4 6 二、初中数学问题解决教学的理论综述 学问题2 4 6 个。九章算术是我国古代传统数学中具有最深远影响的一部著作，它 反映出我国古代数学是怎样从实际生活中分析出数量关系，建立数学模型，又怎样从 研究具体的数学问题入手，通过抽象与归纳而得到解决问题的数学方法的。 纵观数学的发展历史，可以看到数学问题在数学的历史进程中的重要作用。它既 是数学发现的起点，又是数学发现的路标；它既有数学发展的探索和导向作用，又可 以为数学理论的形成积累必要的资料；它既可以导致数学的发现和理论的创新，又可 以激发人们的创造和进取精神。 2 数学问题的涵义 “问题 作为问题逻辑的研究对象，是现代逻辑的分支科学。国内对问题逻辑的 研究方兴未艾，对“问题 的定义众说不一，没有一个精确的定义。现代逻辑的发展， 需要我们对“问题”作进一步的探索，寻求一个科学的定义；这不仅有助于人们巩固 对问题这一思想形式研究的已有成果，又能促进对问题逻辑内容的确定和体系的建 成。 在认知心理学中，“问题 是指一个人在有目的追求而尚未找到适当手段时所感 到的心理困境。因而，问题的存在与否依赖于人已有的认知能力。 数学问题以数学为内容，或者虽不以数学为内容，但必须运用数学概念、理论或 方法才能解决的问题。 1 9 8 8 年在布达佩斯举行的第六届国际数学教育大会( i c m e - 6 ) 中对“问题”的 区分是：( 1 ) 被修饰的习题；( 2 ) 进一步的习题；( 3 ) 经典问题；( 4 ) 新经典问 题；( 5 ) 开放问题；( 6 ) 探究题。 美国1 9 8 9 年的中小学数学课程标准对数学问题的说明是： ( 1 ) 数学问题不同于一般的练习，也不同于一般的考题，真正的数学问题是一种 情境，它可能有一解或多解，它具有足够的复杂性，对学生形成挑战，但又不至于复 杂到解决不了。 ( 2 ) 问题应与学生的经验相适应。数学问题情境要与学生的发展同步。例如，低 年级宜使用经验的语言，包括整数、分数即描述性的几何语言；在中年级，学生的经 验已发展到其它的数，并丌始使用抽象的数学语言：在高年级，应强调函数，它的表 述和应用的模式，并开始学习演绎推理方法。 内蒙古师范大学同等学力硕士学位论文 ( 3 ) 利用问题促进教与学。所设计的问题应为学生所熟悉，使学生能从事物的 关系中形成概念。有关的运算及其策略，应适宜学生所理解。问题情境应有利于学生 形成良好的认知结构，这种认知结构有利于未来的学习。问题情境应当简明、易于掌 握，又要有一定的复杂性，能发展多样化的解题途径。 ( 4 ) 问题解决与数学应用相关。其中低年级数学教学以问题解决为重点，利用 解决问题去探索数学和理解数学；从日常生活和数学情境中把问题公式化；发展和运 用解决各种各样问题的策略；获得有意义地解决问题的信心。 对于什么是数学问题，虽然目前尚无统一看法，本人比较赞同的定义是，数学问 题是指不能用现成的数学经验和方法解决的一种情景状态。如除数是小数的除法，对 初学的学生来说就是一个不能直接用除数是整数的除法法则进行计算的情景状态，它 就是一个问题。就信息加工而言，数学问题对学生来讲是一组尚未达到目标状态的、 有待加工处理的信息。如果把一个数学问题看作一个系统，那么这个系统中至少有一 个要素是学生还不知道的。假如构成这个系统的全部要素都是学生已知的，那么这个 系统对学生来说就不是问题系统了，而是一种稳定系统。 数学问题有以下几个特别显著的特点：一是障碍性，即学生不能直接看出问题的 解法和答案，必须经过深入的研究与思考才能得出其答案；二是可接受性，即它能激 起学生的学习兴趣，学生愿意运用已掌握的知识和方法去解决。三是重视情境应用， 给出一种情境，一种实际需求，以克服一种现实困难为标志；四是探究性，它能激起 学生的学习兴趣，学生愿意运用已掌握的知识和方法去解决。从历史角度来看，正是 问题的提出、探究和解决，推动了数学科学的不断发展。从某种意义上来说，数学发 展的历史，就是数学问题的提出和解决的历史。 3 数学问题的类型 我国学者顾泠沅先生对数学问题提出如下分类：按照问题状态明确度，可分为封 闭题和开放题；按照问题解决者知识经验，可分为常规题和探索题；按照教学过程的 完整性，可分为演绎题和应用题1 。 1 顾泠沅，易凌峰，聂必凯寻找中间地带国际数学教育改革的人趋势 m 上海：上海教 育出版社，2 0 0 3 ：2 4 2 - - 2 8 7 二、初中数学问题解决教学的理论综述 由数学问题的来源分析可以看到，数学问题种类繁多，但用于“数学问题解决 教学的问题大致有以下三种，它们具有不同的教育价值和功能。 第一，可以构建数学模型的非常规的实际问题。2 1 世纪是信息化的时代，是现代 科技迅速发展的知识经济时代。随着数学和科学技术的飞速发展以及电子计算机和网 络技术的广泛使用，科学技术数学化的进程日益加速。任何科学技术要实现数学化， 都必须首先把研究对象用数学语言和方法表述为具有一定结构的数学体系，即建立有 关研究对象的数学模型，这是科学技术数学化的关键。数学模型可以有效地描述自然 现象和社会现象。数学问题要能够给学生提供尝试建立数学模型的机会，让学生根据 观察和实验的结果，尝试运用数学思想以及归纳、类比的方法得出猜想，然后再进行 证明。将生活、生产等社会活动中发现的实际问题抽取出来，通过构建数学模型，化 实际问题为数学问题，然后应用数学思想或方法来解决问题，这是人们认识世界的重 要途径。非常规的问题往往不是纯数学化的问题模式，而是一种情境，一种实际需求， 只是为了克服实际碰到的困难。因此，要培养适应知识经济社会需要的高素质、创造 型人才，就要进行数学建模的训练。培养学生数学建模的能力，是学好数学、用好数 学的重要保障，也是基础教育不可或缺的任务之一。 第二，探究性问题。通过一定的探索、研究去深入了解和认识数学对象的性质， 发现数学规律和真理的问题叫做探究性问题。这里，对于对象之间的数量关系、图形 性质及其变化规律，数学公式、法则、命题、定理等的探索和发现，虽然只是对前人 工作的一种重复和再发现，但知识形成、发展过程的意义则被学习者重新建构。数学 学习过程充满着观察、实验、模拟、推断等探索性和挑战性活动。教师要改变以例题、 示范、讲解为主的教学方式，引导学生投入到探索与交流的学习活动之中。数学命题 的发现就是一个探索的过程。例如，在学习了三角形内角和定理后，教师可以让学生 通过观察和实验去探索四边形、五边形，六边形等多边形的内角和问题，然后通过归 纳得到多边形内角和定理。通过探究，不仅可以培养学生的数学思维能力，科学探索 精神，而且可以使学生在数学学习活动中获得成功的体验，从而建立自信心，这对于 培养学生形成完整的独立人格具有重要的作用。 第三，开放性问题。全同制义务教育数学课程标准( 实验稿) 在第三学段教 材编写建议中写道：教材可以“提供一些丌放性( 在问题的条件、结论、解题策略或 应用等方面具有一定的开放程度) 的问题，使学生在探索的过程中进一步理解所学的 知识 。开放性问题旨在培养学生思维的灵活性、发散性，因而也有利于培养学生的 9 内蒙古师范大学同等学力硕士学位论文 创新精神、创新意识。通过对这些问题的探讨，不仅复习巩固了所学知识，将多学科 的许多不同思想方法都联系到了一起，而且充分表现了思维的多向性、灵活性和创造 性。 数学问题来源于实践中遇到的这些问题，如何解决这些数学问题，我们可以从国 内外“问题解决的理论研究和实践领域的丰富成果中去寻找答案。自2 0 世纪8 0 年 代初，美国提出把“问题解决 作为数学教育的核心以来，“问题解决成为数学教 育领域备受关注的研究热点，对我国数学教育的研究与初中数学教学的实践也产生了 一定影响。 ( 二) 数学问题解决教学中问题解决含义分析 “那种把数学用之于各种情况的能力，叫做问题解决 ( 英国c o c k c r o f t 报告， 1 9 8 2 ) 。“问题解决一这个重要概念从2 0 世纪8 0 年代国际数学教育界提出以来的， 已成为近年来数学教育的主题之一。“问题解决在国际数学教育的核心地位将越来 越明显。 “数学问题解决 是以数学问题为中心，以学生已有数学知识和经验为基础，学 生在教师创设最佳认知活动的条件下，引导学生自主地发现问题，分析问题和解决问 题，学生通过自身情感体验去实现知识的再创造的教学活动。“数学问题解决是以 思考为内涵，以问题目标为走向的心理活动过程，其实质是运用已有的知识去探索新 情景中的问题结果，使问题由初始状态达到目标状态的一种活动过程。在这一过程中 提高学生应用数学的意识，激发和培养学生的独立探究能力，发展学生的创造性思维。 据目前的文献资料介绍，概括起来问题解决有以下五种： 1 问题解决是教学目的 美国的贝格( b e 西e ) 教授认为：“教授数学的真正理由是因为数学有着广泛的应用， 教授数学要有利于解决各种问题，“学习怎样解决问题是学习数学的目的”。e a s i l v e r 教授也认为2 0 世纪8 0 年代以来，世界上几乎所有的国家都把提高学生的问题解决的 能力作为数学教学的主要目的之一。当“问题解决”被认为是数学教学的一个目的时， 它就独立于特殊的问题，独立于一般过程和方法以及数学的具体内容，此时，这种观 点将影响到数学课程的设计和确定，并对课堂教学实践有重要的指导作用。 2 问题解决是技能 1 0 二、初中数学问题解决教学的理论综述 美国教育咨询委员会( n a c o m e ) 认为“问题解决”是一种数学基本技能，他们对如 何定义和评价这项技能进行了许多探索和研究。当“问题解决被视为一个基本技能 时，它远非一个单的技巧，而是若干个技巧的一个整体，需要人们从具体内容、问 题的形式、构造数学模型、设计求解模型的方法等综合考虑。 3 问题解决是过程 2 1 世纪的数学纲要中提出“问题解决 是学生应用以前获得的知识投入到新 的或不熟悉的情境中的一个过程。美国的雷布朗斯认为：“个体已经形成的有关过程 的认识结构被用来处理个体所面临的问题 ，此种解释，可以使一个人使用原先所掌 握的知识、技巧以及对问题的理解来适应一种不熟悉状况所需要的这样一种手段，它 着重考虑学生用以解决问题的方法、策略和猜想。美国全国数学管理大会( n c s m ) 在 1 9 8 8 年发表的 2 1 世纪的数学基础文件中指出：“问题解决是把前面学到的知识 运用到新的和不熟悉的情境中的过程。力第六届国际数学教育大会上， “问题解决、 模型化和应用课题组主席m n i s s ，他把问题解决定义为“从尝试到解决问题的全过 程 。从数学教育哲学的角度来看，所谓问题解决就是学生学习数学的活动过程，是 以学生已有的知识和能力为基础的主动建构过程，是通过数学思维，不断数学化的过 程，是一个探索、再发现、再创造的过程。 我国在新颁布的数学课程标准中提出“初步学会从数学角度提出问题、解决 问题，并能综合运用所学知识解决问题、发展应用意识1 。 “在英国，教师们还远没有将问题解决的活动形式看作教或学的类型。他们倾向 于将其看成课程附加的东西。 “应将问题解决作为课程论的重要组成部分。 ( 英 国c o c k c r o i t 报告，1 9 8 2 ) 从以上各种提法来看，问题解决己不仅仅是培养学生的解题能力，而应贯穿于整 个数学教育中。数学问题解决教学为学生提供了一个发现、创新的环境和机会，为教 师提供了一条培养学生解题能力、自控能力和应用数学知识能力的有效途径。 4 问题解决是心理活动，也是数学活动 数学问题解决是指学生在新的情景状态下，运用所掌握的数学知识对面临的问题 采用新的策略和方法寻求问题答案的一种心理活动过程。 1 中华人民共和国教育部制订，全日制义务教育数学课程标准，北京师范大学出版社，2 0 0 1 ，7 7 内蒙古师范大学同等学力硕士学位论文 ：华东师范大学邵瑞珍教授认为，问题解决是“人们在日常生活和社会实践中面临 新情景、新课题，发现它与主客观需要的矛盾而自己却没有现成对策时，所引起的寻 求处理问题办法的一种心理活动 。这种心理活动对学生来讲就是学习活动，问题解 决的学习就是一类最重要的数学活动，它包含一种或几种基本的数学活动，如运算、 推理及建立模型等活动。 在国际教育辞典中指出：问题解决的特性使用新颖的方法组合两种或更多法 则去解决一个问题，即问题解决是一种创造性的活动，包括问题解决教学的创新性、 思维的创新性和认知中所应产生的飞跃等。具体来说，即如何综合地、创造性地应用 已有的知识和方法去解决问题，特别是解决具有挑战性的非常规问题。 5 问题解决是教学形式 在英国的( c o c k c r o f t 报告里给教师提出的五条建议中，第一条就是“应在教 学形式中增加讨论、研究、问题解决和探索等形式 ，它是“课程论的重要组成部分一。 因为问题解决提倡教师与学生，学生与学生之间讨论和交流，并且与其它教学方法有 机结合，贯穿于整个教学过程之中，所以它是合理课程不可缺少的有机组成部分。 波利亚在怎样解题一书中指出：“数学问题解决过程必须经过下列四个步骤， 即理解问题、明确任务；拟定求解计划；实现求解计划；检验和回顾。 1 “问题解决 的教学方式和学习操作是当前数学教学改革的重要组成部分( 游铭 钧，1 9 9 2 ) 。日本从1 9 9 4 年开始全面实施新的教学大纲，把“课题学习 正式列入 大纲内容，提出“问题解决 为中心的数学课。全美数学教师协会在关于行动的议 程中强调“数学教学应该围绕问题解决来组织 ，“数学教学应当创设一个使问题 解决得以蓬勃发展的课堂环境”。将问题解决作为一种教学方法，具有重要的实践意 义。教师为学生设计实际情境，鼓励学生独立探索，能在学习过程中提出高质量的问 题，启发和培养学生通过解决问题来学习数学知识和获得数学方法的习惯和意识，这 与片面的仅仅以传授知识为目的的教学方法有着本质区别。 尽管“问题解决 在各国的文献中有不同的解释，但强调学生创造性地解决未解 决的问题，培养学生的思维能力，树立数学观念，却是共同的认识。 1 美 波利弧数学的发现( 第一二卷) m 刘景麟，曹之江，邹清莲，译呼和沽特：内蒙古人民 出版社，1 9 8 0 ：1 1 7 1 2 8 三：塑史墼兰塑壁堡盗墼兰塑墨笙堡姿 数学教学是数学活动的教学，这就必须给学生创造一个“观察、试探、猜想的 情景。依据这些观点，我们认为“问题解决 是能实施这种教学的一种很好的教学形 式；或者说是数学教学模式中一种“现代的、先进的、而且是有效的教学模式。数 学问题解决教学是通过仓i j 设情境，激发学生的求知欲望，使学生亲身体验和感受分析 问题、解决问题的全过程。它强调使用数学的意识，培养学生的探索精神、合作意识 和实际操作能力。通过问题解决能使学生对数学知识形成深刻的、结构化的理解，形 成自己的、可以迁移的问题解决策略，而且产生更为浓厚的学习数学的兴趣、形成认 真求知的科学态度和勇于进取的坚定信念。由于问题解决教学是近年来受到广泛重视 的一种教学模式，它强调把学习设置到复杂的、有意义的问题情境中，通过让学习者 合作解决实际问题来学习隐含于问题背后的科学知识，形成解决问题的技能，并形成 自主学习的能力。所以，问题解决教学是通过高水平的思维来进行学习，来建构知识 的。 ( 三) 阻碍初中生问题解决的因素及对策分析 从心理学角度来看，问题解决一般理解为一种认知操作过程或心理活动过程。所 谓“问题解决 指的是一系列有目的指向认知操作过程，是以思考为内涵、以问题为 目标定向的心理活动过程。具体来说，问题解决是指人们面临新的问题情境、新课题， 发现它与主客观需要的矛盾而自己缺少现成对策时，所引起的寻求处理问题办法的一 种心理活动过程。广义上，“问题就是矛盾，是问题解决者现有水平与客观需要的矛 盾”，问题解决是一种带有创造性的高级心理活动，其核心是思考与探索。认知心 理学家认为，问题解决有两种基本类型t 一是需要产生新的程序的问题解决，属于创 造性问题解决；一是运用已知或现成程序的问题解决，是常规性问题解决。数学中的 问题解决一般属于创造性问题解决，不仅需要构建适当的程序达到问题的目标，而且 更侧重于探索达到目标的过程。 问题解决有两种形式的探索途径：试误式和顿悟式。试误式是对头脑中出现的解 决问题的各种途径进行尝试筛选，直至发现问题解决的合理途径。顿悟式是在长期不 懈地思考而又不得其解时，受某种情境或因素的启发，突然发现解决的方法和途径或 方式。对中学生而言，这两种形式都是问题解决不可缺少的策略。 1 罗增儒数学解题学引论 m 陕嵋师范人学出版社，1 9 9 7 ：6 ，1 4 4 内蒙古师范大学同等学力硕士学位论文 现代学习心理学探究表明，问题分为三种状态，即初始状态、中间状态和目的状 态。问题解决就是从问题的初始状态开始，寻求适当的途径和方法达到目的状态的过 程。因此，问题解决实质上是运用已有的知识经验，通过思考探索新情境中问题结果 和达到问题的目的状态的过程。 以数学对象和数学课题为研究客体的问题解决叫做数学问题解决。一般来说，数 学问题解决是在一定的问题情境中开始。所谓问题情境，是指问题的刺激模式，即问 题是以什么样的形态、方式组成和出现的，其内涵包括三个方面：第一，个体试图达 到某一目标；第二，个体与目标之间存在一定的距离，它将引起学生内部的认知矛盾 冲突；第三，能激起个体积极心理状态，即产生思考、探索和达到目标的心向，从而 刺激学生积极主动的思维活动。因此，数学问题解决是从问题情境开始，运用已有的 知识经验，克服认知矛盾冲突，积极主动地寻求和达到问题结果的过程。根据上述分 析，可知数学问题解决在一定的问题情境中开始，要求教师根据问题的性质、学生的 认识规律和学生所学知识的内部联系，创造一种教学中的问题情境，以引起学生内部 的认知矛盾冲突，激发起学生积极、主动的思维活动，再经过教师启发和帮助，通过 学生主动地分析、探索并提出解决问题方法、检验这种方法等思维活动，从而达到掌 握知识、发展能力的教学目的。 在初中数学的学习过程中，“学知 与“学做 总是密不可分的，学习完新知识 以后，往往必须通过“学做”去验证。可是在这个“做 的过程中，往往伴随着许多 的问题，而我们经常能遇到这样的情景：学生反映在“学知 时看似已经掌握的知识， 但到自己解题时，总感到困难重重，无从入手；有时，在考完试或者讲解完一道题后， 常常看到学生拍脑袋：“唉，这么简单! 我怎么就想不到呢? 事实上，有不少问题 的解答，学生发生困难，并不是因为这些问题的解答太难或是其知识面上的缺失，而 是在解题中缺乏顽强拼搏、不怕失败、百折不挠的心理品质。这种心理品质的缺失， 有的是来自于我们教学中的疏漏，而更多的则来自于学生自身。这就要求我们教师在 平时教学中注重分析和解决数学问题解决因素，笔者就影响解决初中数学问题解决的 因素及对策谈几点刍见。 1 阻碍初中生问题解决的因素 ( 1 ) 思维定势对数学问题解决的影响 思维定势，在心理学的研究中，是心理障碍的一种，指j 下常人有规律的思维活动 1 4 二、初中数学问题解决教学的理论综述 产生异常活动的现象。典型地表现为某些整体概念的外延和无关重要的思维，被放到 了首要位置。在正常情况下，这些概念和思维在精神活动的信息加工过程是受到抑制 的，而当存在思维定势时它们却被用来替代那些与现实处境相关的和恰当的思维特 征，因此使思维变得模糊、省略及隐晦，表现为言语表达难以理解，思潮中断，无关 紧要的插入语频繁出现。思维定势是由于某种外来的或体内的有害因素的影响，破坏 了人脑正常的活动规律，扰乱了思维的逻辑系统，对现实发生歪曲的反映。 本文探讨的是教育学意义下的思维定势，是学生在学习中，进行思维活动过程中 所遇到的障碍。学生在数学学习过程中，往往会由于概念的模糊、未真正理解数学原 理等各种原因，而使思维受阻或影响了积极思维的正常进行。即重复先前的心理操作 所引起的对活动的准备状态。不易摆脱事物用途的固有观