三角函数竞赛辅导.doc

第一讲：三角恒等关系一、引入：三角恒等式的变形方法和技巧，包括三角恒等式的证明，条件恒等式的证明、化简、求值问题等.（一）、解题中关注的三大变化，这是打开解决问题之门的钥匙：角的变化；结构的变化；三角函数名称的变化.（二）、引例：求证：分析：从“角”看：出现四种角：，一种比较好的联系方式是：，形式比较对称；从“结构”看：通分应该是明智的选择；从“名称”看为正弦、余弦形式，比较基本，证明方法可以综合法或分析法证明：（三）、复习各种三角恒等关系式：1、同角三角函数间的基本关系： 倒数关系：； 商数关系：； 平方关系：； “”,“”“”的关系 ；2、诱导公式：关系：； 3、两角和与差的三角函数：； 4、“和角公式”的派生公式；5、辅助角公式： 其中；且由所在的象限确定. 注: 辅助角公式主要解决一次齐次式的相关问题.6、二倍角公式 ；= ；7、降次公式；8、升次公式； 注：降次公式与升次公式都是从倍角公式推导出来的，在三角函数的求值、化简、证明方面有着很广泛的应用.9、切割化弦公式（1）同角公式： ； ；（2）变角公式：；10、半角公式: ； , 11、和差化积公式: sin+sin=2sincos； sin-sin=2 cossin, cos+cos=2coscos； cos-cos= -2sinsin,12、积差化和公式： sincos=sin(+)+sin(-)； cossin=sin(+)-sin(-), coscos=cos(+)+cos(-)； sinsin=-cos(+)-cos(-).13、 万能公式: ；14、三倍角公式：；二、典型例题：一、基本变形方法：例1、求证：分析：这是一个轮换对称恒等式，可以采用“各个击破”的方法试一试.证明：同理：三式相加易证明.例2、求值：.分析：化为特殊角的三角函数值解法1： .解法2： 解法3：评注：运用和角公式配凑，试问题回到基本公式上来.例3、求证：分析：从等式左右角的差异考虑入手，思路为从左边的角x化到右边的角4x也可倒过来处理.证明：以下来讨论一些条件不恒等式的证明，变形仍注重三个变化.例4、已知求证：.分析：条件中的角：；结论中的角：做联系：得到统一“名称“与结构，条件为”整式”情形，结论为“分式”情形，这与“名称”转化为正切匹配.也可从A入手.证明1：证明2：例5、已知 .分析：观察条件，利用改写“1”，可将条件式子化为奇次式.解析1： 可得：解析2：利用柯西不等式解，考虑取等条件，找条件的等价式.(李昭奕提供)例6、已知求证：.分析：意图很明显，消去.证明：例7、已知求证：分析：基本思路是消去x，y.一般的对于条件，通常采用平方和求，若，则又可用和差化积公式求.证明：变题：（1998年新加坡）设A,B,C同时满足求证：为定值.(高中数学联赛讲义P113-46题)以下介绍几个三角恒等变形中的技巧运用：二、技巧运用一-用好对偶式和配对原理.例8、求值： （奥博P81） 评注：在此题基础上，注意利用诱导公式及积化和差公式产生的式子，体现其灵活性.例9、求值： 分析：利用配对原理解题; 不断使用公式：来减少角.例10、求值：分析：本题使用配对原理例11、求值：分析：本题中配对式子与例6不同，也可用构造方法，实际运用中有时并不简单.三、技巧运用二：裂项技巧：例12、（第8届IMO试题）求证对每一个和每一个实数为任意整数）有：.（奥博P86）分析：本题左边为n项和，右边为2项之差，故尝试左边“裂项”，希望消去多项，实现证明.证明：同理评注：“裂项相消法”运用广泛，在解题中具有普遍性，类似可证下列各题：证明： （参考专题讲座-三角函数P5）对于求和（求积）而言，能裂项相消再好不过，看看许多平凡的式子都具有裂项相消的功能，举例说明：1、考虑递推形式的等式：sincosk= sin(k+)-sin(k-),出发点：积化和差公式：sincos=sin(+)+sin(-)= sin(+)-sin(-)探讨：将看做一个关于n的函数，即有：sincosn= sin(n+)-sin(n-)sincosn+1= sin(n+1+)-sin(n+1-)再令n+1-=n+，即n+1=n+2，结论：这样积化和差公式就有了裂项相消的功能了，即取n=1+（n-1）2，则：同理类比：sinsin= cos (-)-cos(+)取n=1+（n-1）2,则：2、考虑递推形式的等式：出发点：证明：探讨：3、考虑递推形式的等式：出发点：探讨：结论：4、考虑递推形式的等式：出发点：；探讨：写出递推裂项式：结论：5、考虑递推形式的等式：出发点：探讨：，将之写成递推裂项式：结论：.6、考虑递推形式的等式：出发点：探讨：，将之写成递推裂项式：结论：7、引申：对具有裂项相消功能的式子变形，从而构造恒等式或不等式.这样可以构造：特别的，取n=44，88，可得：例13、已知,则（参考专题讲座三角函数70）分析：利用三角公式将三角恒等式转化为代数方程来解，有利于从复杂的公式变形中抓住代数本质，从而简化证明.证明：例14、已知：求证：（参考专题讲座三角函数70沈跃虎）证明1：证明2：利用不等式的方法来证明等式，有时是迫不得已，有时是出奇制胜.2三角形中的恒等关系（以下参考高中数学专题讲座三角函数沈跃虎编著）以下介绍三角形内的常见恒等关系.这是三角形中的一些基本的数量关系，从各方面刻画三角形中的种种不变量.牢固掌握这些恒等关系，将有益于我们看出问题本质，发现问题的源泉.一、基本恒等式：1、分析：这是三角形中最最基本的恒等关系，恒等变形中不断被利用.对此可进一步限定：当为锐角三角形时，；当为直角三角形时，中恰有一个角是直角；当为钝角三角形时，中恰有一个角是钝角.2、正弦定理： （R为ABC外接圆半径）注：从理论上正弦定理可解决两类问题： 两角和任意一边，求其它两边和一角；两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。可用公式求三角形外接圆的半径；注意正弦定理与等比性质的综合应用；如,等可用角的正弦值表示边：可用边表示角的正弦值：3、余弦定理： 注：熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等当夹角为90时，即三角形为直角三角形时即为勾股定理（特例）变形 利用余弦定理 可以解决的问题：已知三边，求三角； 已知两边一角，求第三边4、射影定理：以上三定理等价证明：（见高中数学专题讲座三角函数-沈跃虎P76）： 正弦定理射影定理 射影定理正弦定理 余弦定理射影定理 射影定理余弦定理5、正切定理：证明：利用正弦定理，再由积化和差公式得之： 6、半角公式：说明：利用半角公式及余弦定理可得，注意此处7、模尔外德公式：证明：由正切定理由正弦定理：相乘，相除可得之：注：该公式中包含了三边，及三个角,通常用来检验所解三角形是否正确.8、面积公式：SABC= aha=absinC= （R是ABC外接圆的半径）=（p=（a+b+c），r是ABC内切圆的半径）=2R2sinAsinBsinC注：三角形的面积公式表达式很多，此处只是小部分，主要使大家了解三角形的面积是联系许多关系的纽带.9、几个常用长度的计算方法：注1：注2：注3：二、三角形中常见恒等式1、证明：2、3、4、5、6、7、8、9、证明：10、11、12、13、证明：14、15、证明1：证明2：16、证明：证明：证明：证明1：证明2：证明3：证明：以上24个恒等式是三角形中的一些最基本，最常用的恒等式，其中许多均有相似性，有些还是等式链，如：，大家可以自行总结、归纳、使之有条理，更易于理解、记忆和应用.也可以自己收录一些恒等式.一些三角形内的恒等变形问题的求解解决三角形内恒等变形问题要时刻注意隐含条件及其上述的一些基本定理，基本公式的灵活应用.例1、在中，已知求的值.分析：考虑从三角形中的基本变换入手.解析：例2、在中，已知求这个三角形各个内角的度数（不用反三角函数表示）.分析：条件有俩，由第一个联系射影定理，可以使问题打开.解析：例3、在中，已知求A,B,C的大小.分析：由第一个条件出发，利用三角形中的基本恒等式构造关系并变形，转化为一元三次方程的根的问题.解析：例4、在中，已知，试判断三角形的形状.分析：利用条件判断三角形形状的基本思路有两个：角化边或者边化角.解析1：解析2：例5、在中，若为三边上的高，r为三角形内切圆的半径，