（应用数学专业论文）正则子集和gv半群的若干研究.pdf

摘要 本文主要研究了左正则半群，正则子集以及g y - 半群 第二章中给出了左正则半群的几个等价条件以及简单性质，证明了左正则半群 条件下( 完全) 正则半群和( 完全) 丌- 正则半群是等价的，并把几个结果向左丌_ 正则 半群进行了简单推广 第三章中研究了含幂等元e 的半群s 的几个特殊子半群( e s e ，e s ，s e ) 的( 左， 右，完全) 正则集之间的关系：设t 是s 的子半群，通过定义r e g ( t ) = r u r e g ( s ) 等， 证明了r e g ( e s e ) = r e g ( e s e ) = r e g ( e s ) n r e g ( s e ) 等一系列等式和等价条件，并给出 了r e g ( s ) = g r ( s ) 的几个等价条件还证明了s 的特殊子半群m e = u 。e ( 鳓e s e 是s 的( 左，右，拟，双) 理想的等价条件 第四章以半群s 的局部幺半群e & 为主要线索，定义局部g y 一半群，利用第三 章的结果将g y 一半群的几个等价条件和性质推广到了局部g y 一半群 关键词：左正则半群；正则子集；局部幺半群；g y 一半群 i a b s t r a c t l e f tr e g u l a rs e m i g r o u p 8 ，r e g u l 盯s u b s e t 8a n dg 弘8 哪j g r o 卸8a r es t u d i e di i lt h i 8 p a p e r i nc h a p t e ri i ，8 e v e r 出e q u i v 出e n tc o n d i t i o n sa n d8 i m p l en a t u r eo fl e f tr e g u l a r s e m i g r o u p 88 r e 酉v e n a n da8 e m i g r o u pi sa ( c o m p l e t e l y ) r e g u l 盯s e m i g r o u pi se q u i 、r a - l e n tt oa ( c o m p l e t e l y ) 7 r r e g u i a r8 e m i g r o u pu n d e rt h ec o n d i t i o nt h a ti ti sal e rr e g u l a u r 8 e i i l i g r o u p t h e nt h er e s u l t sa r ep r o m o t e dt ol e f t 丌r e g u l a u r8 e m i g r o u p 8 i nc h a p t e ri i i ，8 e v e r a lr e l a t i o n s h i p 8b e t w e e ns p e c i 甜s u b 8 e m i g r o u p 8 ( e s e ，e s ， s e ) o f as e m i g r o u psw h i c hh a sai d e m p o t e n ta r e8 t u d i e d l e tt b eas u b 8 e m i g r o u p o fs ，a n dt h r o u g ht h ed e f i n i t i o ns u c ha sr e g ( t ) = tur e g ( s ) ，s e v e r a le q u a t i o i l s a n de q u i v a l e n tc o n d i t i o i l ss u c ha sr e g ( e s e ) = r e g ( e s e ) = r e g ( e s ) nr e g ( s e ) a r e p r o v e d ，8 0 m ee q u i v a l e n tc o n d i t i o 璐“r e g ( s ) = g r ( s ) 盯es h o w e nt o o f i n 出1 y 8 e v e r a le q u i v a l e n tc o n d i t i o 珊a r ef o u n dw h e nt h e8 p e c i a ls u b s e m i g r o u po fss u c l la 8 如= u e e ( s ) e ；，ei 8a n ( 1 e 危，r i g h t ，q u a s i ，b i - s i d e ) i d e a i nc h a p t e r ，t h em a i nc l u e si st h el o c a lm o n o i de s eo fs t h el o c a lg 弘 s e m i f o u pi 8d e 劬d e d ，a n ds o m ee q u i v a l e n 屯c o n d i t i o i l sa n dn a t u r eo fg y 8 e m i g r o u p s a r ep m i n o t e dt o1 0 c a lg 弘s e m 培r o u p sb yt i s i n gt h er e s 溅8o fc h 印t e ri i i k e yw o r d s ：l e f tr e g u l a rs e m i g r o u p 8 ；r e g u l a r8 u b s e t s ；l o c a lm o n o i d s ；g 弘 8 e m i g r o l l p s i i 兰州理工大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明；所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研 究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体 已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文 中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 作者签名： 茸 乏j日期：2 彳年幻日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅本人授权兰州理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密吖 ( 请在以上相应方框内打) 作者签名：辱0 圣j 导师签名2 = 蜥了 黾凝t 伽7 辱s 旯 f b 吼节伽日 第一章引言 半群代数理论是二十世纪5 0 到6 0 年代发展起来的个新的代数分支与半格、 半环等理论和格论、环论之间的关系不同的是，半群代数理论以其特有的研究对象、 研究课题和研究方法，已独立与群论之外对半群代数理论的研究不仅体现于对代 数学纯理论领域的贡献而且越来越体现出对应用数学领域的贡献它在自动机理论、 符号计算、理论计算机科学、组合数学、代数表示论、算子代数和概率论等方面都 有广泛的应用，而且联系日益紧密，因此引起了越来越多的数学家的重视 1 1国内外研究现状综述 回顾一个多世纪的半群代数理论历史，对正则半群的研究一直占主导地位，相 关的研究成果已极为丰富【1 ，2 一完全正则半群作为一类重要的正则半群，最早始于 2 0 世纪4 0 年代，c 1 i 骱r d 给出了一个关于半格分解的结构定理【3 j 这样，完全正 则半群可表示为完全单半群的半格接着p e t r i c h 运用这一结果给出了完全正则半 群的一个更完美的结构【4 】后来人们运用完全正则半群的最大半格分解，给出了 完全正则半群上的同余的刻画另外，p e t r i c h 曾对这类半群的理想扩张上的同余及 同余格做了深入的讨论f 5 】，并借助这种半群上的允序三元组确定其上的任何同余 完全正则半群经过几十年的研究取得了丰硕的成果，见【2 7 - 3 3 】特别是m p e t r i c h 和r r e i l y 的专著c o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u p 8 系统地介绍了完全正则半群的 一些基本理论及其九十年代末该领域的最新研究成果对非正则半群特别是丌一正 则半群的研究，在近几十年已引起越来越多学者的密切关注g l g a l b i a t i 首先在 “q u a s i c o m p l e t e l yr e g l l l 盯s e m g r o u p 8 ”文中研究了丌一正则半群并刻画了拟完全正 则半群的基本性质和特征e d w a r d s 【6 】，b o g d a n o v i c 吲，喻秉钧【8 】及郭聿琦，任学明 和岑嘉评【1 1 ，2 4 j 分别研究了某种完全霄正则半群及其结构接着任学明、郭聿琦 【1 2 】又运用允许同余对的概念，对完全正则半群的诣零理想扩张上的同余进行了刻 画对丌一正则半群的其他研究也有很多阻一删g 弘半群作为完全正则半群的推 广，是一类特殊的7 r 一正则半群，是由g a l b i a t i 和v e r o n e 8 i 首先提出的【7 1 ，是完全阿 基米德半群的半格【2 一【7 】研究了g 仉半群的结构，并且给出了某些特殊的g y 一半 群的若干等价刻画周淑云【1 3 】在完全7 t 一正则半群上将正则半群上的l a u e m e n t s l e m m a 进行了推广，并且给出了完全7 r 一正则半群上的若干性质马军英【1 4 】给出 了完全7 r 正则半群的理想理论方面的刻画韩广国，庞新琴( 1 5 j 则给出了半群s 的 任一真左理想为完全丌正则半群的一些充要条件，并对完全阿基米德半群进行了 l 正则子集和g y 一半群的若干研究 等价刻画而田振际，金颖勤，王宇【1 6 】是更进一步的描述了g y 一半群的结构，且给 出了g y 半群的完全阿基米德半格分解的唯一性，进而给出了g u 半群同构的等 价条件李辉，张玉芬，薛运强【2 6 】对g y 一半群上的g y - 逆半群同余做了一些研究， 并将之推广到完全正则半群对g u 半群的进一步研究将有助于更深刻的了解什 正则半群和完全正则半群在子半群格方面，著名俄罗斯半群专家s h e v t i n 出版的该 领域的迄今唯一的专著“s e m i g r o u p sa n dt h e i rs u b s e m i g o l l p sl a t t i c e s ”1 1 7 】系统详 实的介绍了半群与子半群格这一研究领域中的一般理论和基本成果田振际【1 8 2 2 】 研究了丌。逆半群的7 r 逆子半群格分别为0 分配格、下半分配格等情况时7 r 一逆 半群的特性及结构书【2 3 】对丌一逆半群的子半群格作了比较系统的综述 1 2本论文研究思路 完全正则半群是一类非常重要的半群，它包含于左正则半群，对左正则半群的 研究必将有助于对完全正则半群的研究 s 是正则半群当且仅当s = r e g ( s ) ，而对于一般的半群显然有f 魄( s ) s ，更 一般地，设t 是s 的子半群，显然有r e g ( t ) f 吨( s ) ，其中t 变化则r e g ( t ) 也 必然变化，那么不同子半群的正则集之间有怎样的联系? 本文就试图研究4 种简单 常见子半群( e ss e ，e s e ，e s ，) 的( 左，完全) 正则集之间的关系 g 弘半群是特殊的舟正则半群，因此它一定含有幂等元e ，这样前面得出的结 果可以应用于它，帮助发现新的性质 2 第二章左正则半群的若干性质 半群s 称为7 r 一正则的，若对任意n s ，存在m z + ，z s 使得0 m = 0 m z 扩 半群s 称为完全7 r 一正则的，若对任意口s ，存在矾z + ，z s 使得8 ”= 口”z 8 ” 且n ”z = z n “ 设s 是半群，口s ，则称。为s 的左( 右) 正则元，如果口s n 2 ( 口n 2 s ) ；称 。为s 的左( 右) 丌一正则元，如果存在m z + 使n 仇s o m “( o m n ”“s ) 若半 群s 中元素都是左( 右) 正则的，那么s 称为左( 右) 正则半群同样的，若半群s 中 元素都是左( 右) 丌一正则的，那么s 称为左( 右) 7 r 一正则半群 设n 是半群s 中元素，则称j = s l n s l 为s 的由。生成的主理想【1 1 本章主要给出了左正则半群和左丌- 正则半群的几个简单性质 2 1左正则半群的性质 命题2 1 1 设s 是半群，口s ，则下列条件等价： ( 1 ) o 是左正则的； ( 2 )对任意仇z + ，有a s 口m ； ( 3 ) 对任意m z + ，有扩口 证明( 1 ) 辛( 2 ) 用数学归纳法，m = 1 时，由口s 乜2 知口s 么成立设扎z + ，若 m 佗时成立，则n s 矿，于是0 2 s o n + l ，进而有o s q 2 s 扩+ l ，即m = n + 1 时成立，得证 ( 2 ) j ( 3 ) 对任意m z + ，由口s 0 m 知存在z s 使口= z o m ，又口m = n m 1 口( m 2 ) ，所以m 2 时成立而m = 1 时口a 显然成立，故m z + 时成立 ( 3 ) ：争( 1 ) 取7 n = 3 ，贝口s 1 g 3 弘2 口 命题2 1 2 设s 是左正则半群，则s 的任意左理想都是s 的左正则子半群 证明设l 是s 的左理想，只需证三是左正则的任取o 三则s a 厶又半群s 是左正则的，由命题2 1 1 ( 2 ) 知a s 0 3 ，因此o l 0 2 ，故是左正则的口 推论2 1 3 半群s 是左正则的，当且仅当s 的所有主理想都是s 的左正则子半群 命题2 1 4 设s 是半群，o 是s 的左正则元，p ( a ) = z i z q 2 = q ，z s ) ，则下列条 件等价： 3 正则子集和g y - 半群的若干研究 ( 1 )尸( 倪) 中有幂等元； ( 2 )存在z p ( o ) 使z n = 口； ( 3 ) n 是幂等元； ( 4 ) p ( o ) 是s 的子半群 证明( 1 ) 兮( 2 ) 设z p ( n ) 且z 2 = z ，则在z 铲= n 两端左乘z 有z 2 n 2 = z n ，即 z 口2 = z n ，于是n = z 口 ( 2 ) 兮( 3 )设z p ( 口) 且z a = 口，则z 0 2 = n 即( z n ) n = 口，所以n 2 = n ( 3 ) 号( 1 ) 显然口p ( o ) ，只需取z = o ( 3 ) 号( 4 ) 设n 是幂等元，任取z ，鲈j p ( o ) ，则z 秒口2 = z ( 爹口2 ) = z 8 = z 口2 = 口， 所以z y p ( n ) ( 4 ) 兮( 3 )任取z ，可p ( o ) 则z 可p ( o ) ，于是有z 0 2 = o ，s 0 2 = 口，z 0 2 = o ， 所以n = z a 2 = z n ，由( 2 ) ( 3 ) 等价知n 幂等口 命题2 1 5 设s 是半群，o 是s 的左正则元，则。是正则的当且仅当。是7 r 正则 的 证明必要性：显然 充分性：设。是丌正则的，则存在m z + ，使扩z 口m = 0 m ，由于。左正则，由 命题2 1 1 知存在使矽扩= 口，于是 彻0 m = 可口m z 口m = 可口m = a ， 即口仇= 8 ，显然d 正则口 引理2 1 6 【3 】半群s 是完全正则的当且仅当对任意n s ，有o o s n 2 引理2 1 7 f 7 1 半群s 是完全丌_ 正则的当且仅当对任意n s ，存在m z + ，使 口”n m s n m + 1 定理2 1 8 设s 是左正则半群，则下列条件等价： ( 1 ) s 是完全正则半群； ( 2 ) s 是正则半群； ( 3 ) s 是丌- 正则半群； ( 4 ) s 是完全丌正则半群； ( 5 ) s 是右正则半群 4 兰州理工大学硕士学位论文 证明( 1 ) 兮( 2 ) ，( 2 ) 号( 3 ) 显然 ( 3 ) 辛( 4 ) 设s 是弘正则半群，则对任意b s ，存在m z + ，z s ，使 o m z 口= n 仇，又由s 左正则知存在可使可n 2 = 口，于是有y 扩+ 1 = 口m ，两端左乘 扩z 就有扩z 可n + 1 = 口m z o m = 0 m ，所以o m q m s 0 m + 1 ，根据引理2 1 7 知s 是 完全丌正则半群 ( 4 ) 号( 1 ) 设s 是完全卅正则半群，则对任意口s ，存在m z + 使口仇 扩s o 州d ，又口是左正则的，由命题2 1 1 ( 2 ) 知存在秒s ，使8 = 口，于是 秽扩y n m s 口m + 1 ，即口n s 扩+ 1 口s 0 2 ，由引理2 1 6 知s 是完全正则半群 ( 1 ) 号( 5 ) 显然 ( 5 ) 号( 1 ) 设s 既是左正则半群又是右正则半群，则存在z ，剪s ，使z n 2 = n ，0 2 y = o ，于是有 n z n = o z ( 0 2 剪) = n ( z n 2 ) 3 ，= n 凸可= n 2 剪= n ， 故n = n z n = o z ( z 矿) = o z 2 0 2 ，所以o n s 口2 ，由引理2 1 6 知s 是完全正则半群， 口 推论2 1 9 7 r 一正则半群s 是完全正则的当且仅当s 是左正则的 推论2 1 1 0 半群s 是完全正则的当且仅当s 是左、右正则的 下面将以上结论在左丌- 正则半群上进行简单推广 命题2 1 1 1 设s 是半群，o s ，则下列条件等价： ( 1 )口是左丌正则的； ( 2 )存在m z + 对任意n z + ，有0 m s 0 m + n ； ( 3 )存在m z + 对任意n z + ，有n m 扣c 口m 证明( 1 ) 号( 2 ) 对扎做数学归纳法，n = 1 时，由定义知存在m z + 使n m 9 n m + 1 ； 设礼七时成立，则扩s n ”舳，于是口m + 1 s 口m + 七+ l ，进而有m s n 仇+ 1 s 扩+ k + i ，即n = 七十1 时成立，得证 ( 2 ) 号( 3 ) 存在m z + 对任意礼z + ，有口m s 口m 佃即存在z s 使 d m = z n ”押，又口m 佃= 0 仇矿 2 ) ，所以n 2 时成立而n = 1 时o o 显然成 立，故n z + 时成立 ( 3 ) = ( 1 ) 取n = 2 ，贝口l m s 1 口l m + 2 s a 【m + 1 口 命题2 1 1 2 设s 是左丌正则半群，则s 的任意左理想都是s 的左丌- 正则子半群 5 正则子集和g v ，- 半群的若干研究 证明设l 是s 的左理想，只需证l 是左正则的任取口l 则s o 厶又半群s 是左7 r 正则的，由命题2 1 1 1 ( 2 ) 知存在m z + 使a s n m + 2 ，因此扩三扩+ 1 ， 故l 是左仆正则的口 推论2 1 1 3 半群s 是左7 r 正则的，当且仅当s 的所有主理想都是s 的左丌- 正则 子半群 命题2 1 1 4 半群s 是完全7 r 正的当且仅当s 是左、右7 r 一正则的 证明必要性：显然 充分性：设s 是左，右7 r 一正则半群，由命题2 1 1 1 知必存在z ，秒s 和足够大 的m z + ，使z 口m = 口，n m 可= o ，于是有 口z o = n z ( 口m ) = n ( z o m ) = o o ( m l 秒= n m 耖= o ， 故o = n z n = n z ( z o ”) = 们2 0 m ，所以o 口舶2 ，由引理2 1 7 知s 使完全丌正则 半群口 6 第三章半群的正则子集 设s 是半群，a 是s 的非空子集，则称a 是s 的左( 右) 理想，若s a a ( a s a ) ，左理想或右理想又为称单边理想；称a 是s 的理想，如果a 既是s 的左理想又 是s 的右理想( 即s aua s a ) ，理想又称为双边理想；把a 称为s 的拟理想，若 s ana s a ；如果a s a a ，则称a 为s 的双理想显然s 的任意理想一定是 s 的左( 右) 理想，左( 右) 理想一定是拟理想，而拟理想一定是双理想易知，a 是s 的拟理想当且仅当a 是s 的一个左理想和一个右理想的交 设t 是半群s 的子半群，记t 的所有正则( 左正则，右正则，完全正则) 元的集 合为r e g ( t ) ( l r e g ( t ) ，r r e g ( t ) ，g r ( t ) ) ；同时记r e g ( t ) = t nr e g ( s ) ( 1 r e g ( t ) = tnl r e g ( s ) ，r r e g ( t ) = tnr r e g ( s ) ，g r ( t ) = tng r ( s ) ) ，也就是所有 在t 中的s 的正则( 左正则，右正则，完全正则) 元的集合，称作t 的s 一正则( s 一左 正则，s 一右正则，s 一完全正则) 集显然， r e g ( t ) r e g ( t ) = 丁nr e g ( s ) 本章第一节主要讨论四种特殊子半群的不同正则集之间的关系，这四种特殊子 半群分别是s 的局部幺半群e s e ，左( 右) 理想s e ( e s ) 和双理想( e s i 厂) ，其中e ， e ( s ) 第二节主要讨论了几种正则子集和理想之间的关系 3 1正则子集和局部幺半群 定理3 1 1 设e ，是半群s 的幂等元，则有下列等式成立： ( 1 ) r e g ( e s ，) = r e g ( e s ) nr e g ( s 厂) ； ( 2 )g r ( e s ，) = g r ( e s ，) = g r ( e s ) ng r ( s 厂) = l r e g ( e s ) nr r e g ( s ，) ； ( 3 )l r e g ( e s ，) = l r e g ( e s ，) = l r e g ( e s ) nl r e g ( s ，) ； ( 4 )e ( e s ，) = e ( e s ) ne ( s ，) ； ( 5 )g r ( e s ) = g r ( e s ) ，g r ( s ，) = g r ( s ，) ； ( 6 )l r e g ( e s ) = 1 r e g ( e s ) ，l r e g ( s ，) = l r e g ( s ，) 证明( 1 ) 显然r e g ( e s ，) r e g ( e s ) ，r e g ( e s ，) r e g ( s 厂) ，故r e g ( e s ，) r e g ( e s ) n r e g ( s ，) 反之，设o r e g ( e s ) nr e g ( s ，) ，则o = e n = o ，且存在z e s ，可s ， 使o = n z n = n 可o ，于是n = n z o = e n z n ，e s ，且还有 o = n z c w o = 口( e z n 秒，) o o ( e s ，) n ， 7 正则子集和g y 一半群的若干研究 故o r e g ( e s ，) ，因此r 启g ( e s ) n r e g ( s ，) r e g ( e s 厂) ，所以r e g ( e s ，) = r _ e g ( e s ) n r e g ( s ，) ( 2 ) 先证g r ( e s ，) = g r ( e s ，) 显然g r ( e s ，) g r ( e s n 设口g r ( e s ，) ，则 o = e o = o ，= e n ，且。完全正则，由引理3 1 1 3 知n 在s 的一个子群中，设该子群 为q ，其中夕e ( s ) ，则夕= 一1 = o 一1 n = e n o 一1 = n 一1 n ，即9 = 叼= 夕，于是 g g = g g g g = e g g g g f = e g g f e s f ， 所以。是e s ，的群元，即o g r ( e s ，) ，因此g r ( e s ，) g r ( e s ，) ，进而g r ( e s ，) = g r ( e s ，) 下面证g r ( e s ，) = g r ( e s ) ng r ( s ，) 显然g r ( e s ，) g r ( e s ) ng r ( s n 设 口g r ( e s ) ng r ( 9 ，) ，则口= e o = o ，且存在z e s ，秒s ，使口= 口z 口= 口y o 且 a x = x a ，a y = y a ，于是口= 口= e o z n ，e s ，且还有 口= o z o o = o ( e z 口，) o o ( e s 厂) 口， n ( z c 呵) = o z o 暑，= z o 可口= ( z o y ) o 故o g r ( e s 厂) ，因此g r ( e s ) ng r ( s 厂) g r ( e s ，) ，所以g r ( e s ，) = g r ( e s ) n g r ( s ，) 接着证g r ( e s ，) = l r e g ( s ) nr r e g ( s ，) 显然g r ( s ，) l r e g ( e s ，) l r e g ( e s ) ，同理g r ( e s y ) r f 崤( s 7 ) ，因此g r ( e s ，) l r e g ( e s ) nr 鼬g ( s ，) ；设 n l r e g ( e s ) nr r e g ( s ，) ，贝0n e sns ，且存在z e s ，秽s ，使得o = z 铲= 0 2 1 ，于是o = z a 2 = 凹q 2 ，e s ，又n 可= z 0 2 暑，= z o ，则n 耖o = z 矿= 口，同理 n z 口= 口这样就有 d = 口z o ! ，n = d ( e z o 秒，) 口口( e s ，) o ， o ( z 0 3 ，) = 8 ( z o ) 暑，= 口( d 3 ，) 3 ，= ( 口2 y ) = 叫= z 口， ( z n ) o = z ( n 可) o = z ( z o ) 口= z ( z 0 2 ) = z n 因此o g r ( e s ，) ，l r e g ( e s ) nr r _ e g ( s ，) g r ( e s ，) ，所以g r ( e s ，) = l r e g ( e s ) n r g ( s ，) ( 3 ) 先证l r e g ( e s ，) = k e g ( e s ，) 设a l r e g ( e s ，) ，则o = e o = o ，= e 口，且 存在z s 使得口= z 口2 ，于是 口= e 口= e z 矿= e z 2 0 3 = e z 2 口厂n 2 ( e s ，) n 2 ， 所以l r e g ( e s ，) l r e g ( e s ，) 反包含显然成立，所以l m g ( e s ，) = l r e g ( e s ，) 8 兰州理工大学硕士学位论文 再证l r e g ( e s ，) = l r e g ( e s ) nl r 启g ( s ，) 设口l r e g ( e s ) nl r | e g ( s ，) ， 则n = e o = o ，= e o ，且存在z e s ，秒s ，使得n = z n 2 = n 2 可于是 n = z 口2 = e z 0 2 ，e s ，且 o = $ 口2 = e z 口2 = e z o ( 可n 2 ) = ( e z 6 呵，) 0 2 ( e s ，) 扩， 所以l r e g ( e s ) nl r e g ( s ，) 冬l r e g ( e s ，) 反包含显然成立，所以l r e g ( e s ，) = l r e g ( e s ) nl r ，e g ( s ，) ( 4 ) 设9 e ( e s ) n e ( s ，) 贝09 = e 夕= 9 ，= 夕2 ，于是夕= ( e 9 ) ( g ，) = e g ，e s ， 所以e ( e s ) ne ( s ，) e ( e s ，) 反包含显然，故e ( e s ) ne ( s ，) = e ( e s ，) ( 5 ) 设n g r ( e s ) ，则口= e 口且存在子群g 9 ，夕e ( s ) ，使得n g g ，于是 9 = o n 一1 = e n n 一1 = e 9 ，因此 g 9 = 9 g g = e 9 g g = e g g e s 所以口g r ( e s ) ，g r ( e s ) g r ( e s ) 反包含显然，所以g r ( e s ) = g r ( e s ) 同理可证 g r ( s ，) = g r ( s ，) ( 6 ) 设n l r e g ( e s ) ，则o = e o 且存在z s 使得o = z 0 2 = z 2 口3 ，因此 n = e o = e z 2 n 3 = ( e z 2 口) n 2 ( e s ) 0 2 ，因此 n l r e g ( e s ) ，l r e g ( e s ) l r e g ( e s ) 所以l r e g ( e s ) = l r e g ( e s ) 口 推论3 1 2 设e 是半群s 的幂等元，则下列等式成立： ( 1 ) r e g ( e s e ) = r e g ( e s e ) = r _ e g ( e s ) nr e g ( s e ) ； ( 2 )g r ( e s e ) = g r ( e s e ) = g r ( e s ) ng r ( s e ) = l r ，e g ( e s ) nr r e g ( s e ) ； ( 3 )l r e g ( e s e ) = l r e g ( e s e ) = l r e g ( e s ) nl r 凳g ( s e ) ； ( 4 )e ( e s ，) = e ( e s ) ne ( s e ) 证明只需证r e g ( e s e ) = r e g ( e & ) ，其他等式是上一定理中，取e 时的特殊情况设 n r e g ( e s e ) ，则o = 口e = e n = e 口e 且存在z s 使得口= 彻o ，于是 8 = 凹d = ( o e ) z ( e n ) = n ( e z e ) a o ( e s e ) o ， 因此口r e g ( e s e ) ，r e g ( e s e ) r 锷( e s e ) 反包含显然，所以r e g ( e s e ) = r e g ( e s e ) 口 9 正则子集和g y - 半群的若干研究 推论3 1 3 设s 是半群，则 g r ( s ) = ug r ( s e ) = ug r ( e s ) = ug r ( e s e ) =ug r ( e s ，) e e ( s )e e ( s )c e ( s )e ，e ( s ) 证明设o g r ( s ) ，则存在子群瓯，其中e e ( s ) ，使得o g 。= g e e s e 于是 由定理3 1 1 有 口s e n g r ( s ) = g r ( s e ) = g r ( s e ) ug r ( s e ) ， e e ( s ) 因此g r ( s e ) gu 。e ( s ) g r ( & ) 反包含显然，故g r ( s e ) = u 。e ( s ) g r ( s e ) 其他等式的证明与此类似口 下面看推论3 1 3 对( 左) 正则集是否成立记 幻( s ) = u 。鼬e s e ， r ，e g m ( s ) = u 。e ( 印r e g ( e s e ) ， r e g l ( s ) = u 。e ( 鳓r 馏( s e ) ， r e g r ( s ) = u 。e ( s ) r e g ( e s ) ， r e g b ( s ) = u 。，e ( s ) r 铝( e s n l r ，e g m ( s ) = u 。e ( s ) l r e g ( e s e ) ， l r 启g l ( s ) = u 。e ( 鳓l r e g ( s e ) ， l r 电g r ( s ) = u 。e ( s ) l r e g ( e s ) ， l r e g b ( s ) = u 。，e ( s ) l r e g ( e s ，) 。 引理3 1 4 设s 是半群，则下列等式成立： ( 1 ) r _ e g m ( s ) = r 鸭( ( s ) ) = r e g ( ( s ) ) ； ( 2 ) l r 馏m ( s ) = l r 锷( l 毛( s ) ) = l r e g ( ( s ) ) 证明( 1 ) 显然，r 凳g m ( s ) r 电g ( m j ( s ) ) r e g ( m e ( s ) ) 设口r e g ( m 音( s ) ) ，则存在 e e ( s ) 使得n e 且n r 启g ( s ) ，于是由推论3 1 2 ， 口e s enr e g ( s ) = r e g ( e s e ) = r e g ( e s e ) r e g m ( s ) ， 因此r e g ( 如( s ) ) r ，e g m ( s ) ，所以有r e g m ( s ) = r e g ( ( s ) ) = r e g ( l 如( s ) ) ( 2 ) 容易看出l r g m ( s ) l r e g ( 如( s ) ) l r e g ( 如( s ) ) 设o 1 r e g ( 幻( s ) ) ， 则存在e e ( s ) 使得o e 且口l 舭g ( s ) ，于是由推论3 1 2 ， o e s enr ，e g ( s ) = l r e g ( e s e ) = l r e g ( e s e ) l r ，e g m ( s ) ， 因此l r e g ( 如( s ) ) l r e g m ( s ) ，所以有l f 己e g m ( s ) = l g ( 如( s ) ) = h e g ( 幻( s ) ) 口 1 0 兰州理工大学硕士学位论文 引理3 1 5 设s 是半群，则下列等式成立： ( 1 ) r e g b ( s ) = r e g l ( s ) nr 铝r ( s ) ； ( 2 ) l r e g b ( s ) = l r ，e g l ( s ) nl r e g r ( s ) 证明( 1 ) 设o r e g l ( s ) n r e g r ( s ) ，则存在e ，e ( s ) 使得n 鼬g ( s ，) n r e g ( e s ) ， 由定理3 1 1 有o r e g ( e s ，) r ，e g b ( s ) ，因此f 魄l ( s ) nr e g r ( s ) r e g b ( s ) 反 包含显然，所以r e g b ( s ) = r 启g l ( s ) nf 吨r ( s ) ( 2 ) 设口l r e g l ( s ) nl g r ( s ) ，则存在e ，e ( s ) 使得o l r e g ( s ，) n l r 七g ( e s ) ，由定理3 1 1 有n l r 启g ( e s ，) l r 启g b ( s ) ，因此l r 启g l ( s ) n l r e g r ( s ) l r g b ( s ) 反包含显然，所以l r e g b ( s ) = l r ，e g l ( s ) nl r e g r ( s ) 口 结合推论3 1 3 和引理3 1 4 ，3 1 5 有如下关系成立： ( 3 1 )g r ( s ) r e g m ( s ) r e g b ( s ) r e g l ( s ) r e g ( s ) ，r e g m ( s ) ( s ) ； ( 3 2 )g r ( s ) l r e g m ( s ) sl r ，e g b ( s ) sl r e g l ( s ) l r | e g ( s ) ，l r e g m ( s ) l 红( s ) 命题3 1 6 设e 是半群s 的幂等元，那么 ( 1 ) 若r e g ( e s e ) = r e g ( s e ) ，贝0r e g m ( s ) = r e g l ( s ) ； ( 2 ) 若l r e g ( e s e ) = l r e g ( ) ，则l r e g m ( s ) = l r e g l ( s ) 证明( 1 ) 由( 3 1 ) 知r e g m ( s ) f 吨l ( s ) ，故只需证f b e g l ( s ) r e g m ( s ) 设o r 电g l ( s ) ，则存在e e ( s ) 使得n r e g ( s e ) ，于是由题设 n r e g ( s e ) = 庇9 ( e s e ) r e g m ( s ) ， 得证 ( 2 ) 证明与( 1 ) 类似口 定理3 1 7 设e 是半群s 的幂等元，则下列条件等价： ( 1 ) g ( e s e ) = f b 唔( & ) ； ( 2 ) r e g ( s e ) r e g ( e s ) ； ( 3 ) g r ( e & ) = g r ( & ) ； ( 4 )g r ( s e ) g r ( e s ) ； ( 5 )e ( e s e ) = j 5 7 ( s e ) ； ( 6 )e ( s e ) e ( e s ) 证明( 1 ) 兮( 2 ) ，( 3 ) 兮( 4 ) 和( 5 ) 号( 6 ) 由推论3 1 2 可得 ( 2 ) 净( 3 ) 设o g r ( s e ) 则n = 口e 且口g r ( & ) r e g ( & ) f b e g ( e s ) ，于是 8 e s ，且pn = e o ，进而凸= e 口e e s e ，因此 、 口e s eng r ( s e ) e s eng r ( s ) = g r ( s ) = g r ( s ) 1 1 正则子集和g y - 半群的若干研究 所以g r ( s e ) g r ( e s e ) 反包含显然，故g r ( e s e ) = g r ( s e ) ( 4 ) 兮( 5 ) 设，e ( s e ) g r ( s e ) g r ( e s ) ，则，= ，e = e ，= e 托e s e 且， 幂等，于是，e ( e & ) ，因此e ( s e ) e ( e s e ) 反包含显然，故e ( e s e ) = e ( 乳) ( 6 ) 号( 1 ) 设o 舶g ( s e ) ，则n s e 且存在z s e 使得口= o z 口，于是 ，= n z = e e ( s e ) 冬e ( e s ) ，进而，= ，e = e ，n = ，n = e ，n e e s e 因此 o e s enr e g ( s e ) e s enr e g ( s ) = r e g ( e s e ) = r e g ( e s e ) 反包含显然，故r e g ( e s e ) = 1 0 e g ( s e ) 口 推论3 。1 8 设e 是半群s 的幂等元，则下列条件等价： ( 1 ) g ( s e ) = 鼬g ( e s ) ； ( 2 )g r ( s e ) = g r ( e s ) ； ( 3 ) e ( s e ) = e ( e s ) 证明由定理3 1 7 及其对称性可知： r e g ( s e ) r e g ( e s ) 亨g r ( s e ) g r ( e s ) e ( s e ) e ( e s ) ； r e g ( e s ) r e g ( s e ) 车 g r ( e s ) g r ( s e ) 专e ( e s ) e ( s e ) 容易看出r e g ( s e ) = r e g ( e