（应用数学专业论文）混合空间标准b基的存在性证明和它的一种求法.pdf

摘要 鳟啪o 。 在c a g d 中，参数曲线可表示为：p ( f ) = y p b 心) ，其中 p ：c r “， 口，( 川2 。，表示某空间的基，常用的有b e r n s t e i n 基，b - 样条等，e m a i n a r ，j m p e n a j 9 9 9 1 和em a i n a r f 2 0 0 1 】把这类基称为标准b 基( 见1 】) 。但在应用中，常见 的b e m s t e i n 基，b 一样条有许多不足，譬如：不能表示而只能逼近工程中常见的螺 旋线，旋轮线，即使凰也要求用有理b e z i e 曲线表示，这给计算带来不便。为此， p o t t m a n n 1 9 9 4 和z h a n g 1 9 9 6 等人研究了空间s p a n 1 ，f ，c o s ( t ) ，s i n ( t ) ) ； e m a i n a r 2 0 0 1 1 还考察了空间s p a n l ，f ，c o s ( t ) ，s i n ( 0 ，c a s ( z t ) ，s i n ( 2 f ) j 和s p a n 1 ， ，f ! ，c o s ( t ) ，s i n ( t ) ，给出了它们的标准b 一基。本文在此基础上，首先证明了函数 空间：s p a n 求这个标准 ( 1 ) ) ，c o s ( k t ) ，s i n ( k t ) ) 标准b 一基的存在性，并给出 算法可描述为： ( 见l ，1 ) 。 ( 2 ) 用已求出的b 一基的性质，求出标准b 一基。 其次，讨论了用该标准b 一基表示的曲线的几个性质，其中一些与用b e m s t e i n 基，b 样条表示的曲线的性质相类似，譬如： ( i ) 端点插值性。 ( 2 ) 边界相切性。 特别，我们得出性质：i 墨d ，b ，o ，口) 与d ，e ( ，) 表示同一条曲线，其中 口_ 口一o 一。 矗，r 。； b ，盘) 1 ，+ 2 k 表示空间s p a n ，f ，t t , c o s ( t ) ，s i n ( t ) ，c o s ( k t ) ，s i n ( k t ) ， ， o ，a 的标准b - 基， 只( f 1 ) 1 脚* 2 k 表示b e m s t e i n 基。 最后，本文指出了一些有待继续探讨的问题。，) 、 关键词：b 一基，标准b 基，推广c h e b y s h e v 空间，c 一曲线 a b s t r a c t i nc a g d ，t h ep a r a m e t r i cc u r v e sc a nb er e p r e s e n t e db y ：p ( ，) = 尸口，( r ) ，w h e r e = o 尸) cr “， 日。( t ) ) 二i st h eb a s i so fs o m ef u n c t i o n a ls p a c e ，f o re x a m p l e ：b e m s t e i n b a s i s ，b s p i n e w h i c ha r ec a l l e dn o r m a l i z e db b a s i s ( s e e 11 ) i ne m a i n a r ，jm p e n a f19 9 9 1a n de m a i n a rf 2 0 0l1 b u tt h ec o m m o nb a s i s ，s u c ha s ：b e m s t e i nb a s i s ，b s p i n e ， h a v ed i s a d v a n t a g e si np r a c t i c e ，f o re x a m p l et h e yf a i lt oe x p r e s st h ec y c l o i da n dt h eh e l i x f o rt h ec i r c l e s 、t h e yh a v ee x a c tr e p r e s e n t a t i o nw i t ht h er a t i o n a lb 6 z i e rc t l r v e s ，b u t c a l c u l a t i o nf o rt h er e p r e s e n t a t i o ni sd i f f i c u l t s op o t * m a n n 1 9 9 4 a n dz h a n g 1 9 9 6 s t u d i e dt h es p a c e ：s p a n 1 ，f ，c o s ( t ) ，s i n ( t ) ) ；e m a i n a r 2 0 01 】i n v e s t i g a t e dt h es p a c e s s p a n l ，c o s ( t ) ，s i n ( t ) ，c o s ( 2 t ) ，s i n ( 2 t ) a n ds p a n 1 ，r ，r2 ，c o s ( t ) ，s i n ( t ) f i r s t l y ，i nt h i sp a p e rt h ee x i s t e n c eo fn o r m a l i z e db - b a s i so ft h es p a c e ：s p a n 1 ，t - ，r 。，c o s ( o ，s i n ( t ) ，一，c o s ( k t ) ，s i n ( k t ) i sp r o v e d a na l g o r i t h m t oc o n s t r u c tt h i s n o r m a l i z e db b a s i si sg i v e nt o o t h ea l g o r i t h mc o n s i s t so f t w o s t e p s ： f 1 ) g e n e r a t et h eb b a s i s ( s e e1 1 ) w i t ha l li t e m t i v ef o r r n u l a f 2 ) g e n e r a t et h en o r m a l i z e db b a s i sb a s e do nt h ep r o p e r t i e so f b b a s i s s e c o n d l y , s o m ep r o p e r t i e so ft h ec u r v e sw h i c ha r ee x p r e s s e db yt h e n o r m a l i z e d b b a s i si n t h i ss p a c ea r ed i s c u s s e d s o m eo ft h e ma r es i m i l a rt ot h ep r o p e r t i e so ft h e c u r v e se x p r e s s e db yb e r n s t e i nb a s i s ，b - s p i n e ，s u c ha s ： ( 1 ) e n d p o i n ti n t e r p o l a t i o np r o p e r t y ( 2 ) b o u n d a r y t a n g e n tp r o p e r t y f u r t h e r m o r e w ed e r i v eap a r t i c u l a rp r o p e r t yf o rt h ec u r v e sw h i c ha r ee x p r e s s e db yt h e n o r m a l i z e db b a s i si nt h i ss p a c e ，t h a ti s f 2 t a n d d b j ( t ) e x p r e s st h e j - o i d e n t i c a lc u r v e ，w h e r e ) 譬匕r2 ；蚂( f ，1 + ：2 。kd e n o t et h en o r m a l i z e db - b a s i so f t h es p a c e ：s p a n 1 ，f ，7 ，c o s ( t ) ，s i n ( t ) ，c o s ( k t ) ，s i n ( k t ) ，f 【o ，口】， b ) 描l + 2 k i s t h eb e r n s t e i nb a s i s f i n a l l y , w eg i v es o m eo p e np r o b l e m sf o rf u r t h e rr e s e a r c h k e yw o r d s ：b - b a s i s ，n o r m a l i z e db - b a s i s ，e x t e n d e dc h e b y s h e vs p a c e ，c - c u r v e 口口 d 舢 璺 1 1 标准b 基的引出 第一章引言 在c a g d 中，参数曲线町表示为：尸( ，) = 尸口。( ，) ，其中 尸 ：。cr 。 ：0 b ：( f ) 表示某空间的基，常用的有b e r n s t e i n 基，b 一样条等，为什么选择它们 主要是因为用它们表示的曲线有下面这类性质 设 彤( x ) ，= 0 3 一，胛 是一次b e m s t e i n 基，对曲线f ( x ) 2 荟6 ，彤( x ) ，求女次 导数有烈班志i 荟n - k 岔垆，柑( n 尼h 0 ，胛，其中岔旷 1 ) b m 一如果岔6 20 ，则可推出f 。( x ) 0 ，即阶保型性。 对用1 3 。样条基表示的样条函数也有类似的性质。具有这种性质的基，在文献e m a i n a r ，j m p e n a 1 9 9 9 1 和e m a i n a r 2 0 0 1 中称为标准b - 基a 定义如下： 设c ，r ，j 表示定义在，上的 + 1 维实函数空间，c r 且( “o ，“。) 是它的 一个函数系。 定义l1设t n f 。且t ，i = 0 ，m ，那么( “o ，u n ) 在r ， ，川处的配置矩阵是指m c ：! ：i 乏j 卸m m ，一脚，一。 定义1 2 全正矩阵是指该矩阵的任意子行列式为非负的。 定义1 3 如果( “。，“。) 的任意配置矩阵是全正矩阵，那么称它为全正函数 系，如果( “一，l d n ) 又是u r ，) 的基，则称为全正基。 定义l4 设( ，“。) 是u r ，的全正基，如果它还满足条件： i n f 业：，“，( ，) o ：o ，f o ，一，z ， “，( t ) 。 那么我们称之为u t i ，j 的b 基，如果( “一，“。) 又满足等式“，( ，) = 1 ，则 称之为，r ，j 的标准b 一基。 1 2问题提出 在c a g d 中常用的标准b 基有b e m s t e i n 基，b 一样条，由于他们所在空间的 有限性和现实的复杂性，在应用中表现出许多不足，所以引进了有理样条基，但 这种基也有本身的不足，如： a ) 有理曲线除了本身的参数外，每个控制点对应一个权参数，怎样合理的选 择这些权参数是一个难题。 b 1 ，? 阶多项式曲线求导后，变为更简单的曲线，n 一1 阶多项式曲线，而 t 阶 有理曲线求导后，变为2 n 阶曲线，这将很难处理。 c ) 对有理曲线的计算比对多项式的计算，要花费更多的时f m ，占用更大内存。 d 1 它们不能直接表示而只能逼近非代数曲线，如：螺旋线，旋轮线等，这些 曲线是工程中常用的曲线。 e ) 圆是c a g d 中最基本的两个图形之一，尽管用它能直接表示出圆，但形式 复杂，用分式表示的，不易处理。 基于以上几个方面，文献j a v i e rs a n c h e z * r e y e s 1 9 9 8 研究了三角多项式空 间：t m = s p a n s i n ( j t ) ，c o s ( j t ) _ j l o ，找出了它的标准b - 基，即： 命题15 函数空间s p a n 1 ，c o s ( t ) ，s i n ( t ) ，c o s ( m t ) ，s i n ( m t ) ，f 一， 的标 准b 一基是： = 古s i n c 等埘州丁a + t ，乳一m ， ( 7 ( 2 c ) “r ，汹呱蛾c s c 趴其 中胛= 2 川，o 0 ( 3 ) “y ( 6 ) = o ，= 0 ，z i 一1 ( 4 ) “j ”。( 6 ) 0 其中i ：0 ，月，那么u ( d 是推广的c h e b y s h e b 空间( 定义见2 1 ) ，( ，l “) 是u r ，j 的个b 一基。 然后给出定理：如果t “o ，口 ，0 d 2 ，k 为不小于1 的整数，那么由 f 1 ，t ，t i , c o s ( t ) ，s i n ( t ) ，c o s ( k t ) ，s i n ( k t ) 张成的函数空间存在标准b - 基， 第三章，求混合空间标准b 基的一个算法。 首先给出它的一种算法，该算法分两步：先用递推公式给出b - 基，即： 设蹦归( s i n 孚厂( s i n ti ，肝= 2 k ，剐，州 岫 , a 2 n - , l , k 为 不小于1 的整数，令： fb n + l , n + l ( 垆f l b 州，( f ) = b 州吐，( f ) 一 b n + ，一1 月+ ， b ( n + l - 。- 1 b ( + i 掣- i - ( s ) d s ( 口) ( 口) f = 0 ，w + ，一1 ，则口州，( f ) ，j = 0 ，n + ，是混合空间的一个b 一基。再利用该 b 。基的性质求出标准b 一基。 然后运用这个算法求出几个简单空间的标准b - 基，画出图形，作为本文的例 子。 第四章，给出了c - 曲线的几个性质，如：端点插值性，边界相切性和当区间 长度趋同于零时c 一曲线的性质。 第五章，本文指出了一些有待继续探讨的问题。 最后是致谢以反参考文献。 第二章混合空间标准b 基存在性的证明 本章先给出本文所需要的定义和引理然后论证混合空间标准b - 基的存在性。 2 1 定义年口弓 理e 定义2i 设 “心) ) ：。，r ，c r ，是线性独立的函数系，且“，( ，) c m ( ，) 对，中m + 1 个点f 。，。，( ，。，。) = ( r 。，o ，f “，q ) ，其中“ = d ，( c ，u m 而) d ，j = o ，k ，的超平面， 其中c = ( q ，c m ) o ，一般记为：o s c 女u ( x u j 。 定义2 3 i 荧s p a n ( 1 ，“，r u ，“。一是区间，上的m + l 维推广的c h e b y s h e v 空 间，且令u = r “一，“。) 7 ，对j 中任意m 个点f 1 - f 。，( t t ，t m ) 2 ( 7 l ，一， 7 ，“，乃) 其中吒 o ，6 + f o ， k ：0h 其中 ) ) 丑丑 呱吲 s c，一，- 廿0州! 蓍 一 一一 、 “ 一 | 【 陟 o ( ，) ，( t ) f f 。) ( 归卜7 ( ；) “防( f ) ，_ c f 时，由条件2 ) 有( ( ，) = u ( “) 十，( 甜) 十十? ，茜1 ( “) 0 成立。 假设存在，o ( “，b + s ) 和使w ( t o ) = 0 ，则可找到不全为零的d i ：0 ，女 使( c i t l t d l ( ，【) ) ) = 0 ，= o ，。令，( i ) ；z d i l l t l l ( 1 ) ，显然u ( f ) 是i i 上的非零 函数，l 。是u ( ，) 的重复度为+ 1 的零点。又由条件3 ) 知点b + 是u ( f ) 的重复度为 不小_ f 一的零点收u ( ，) 在区间 ，。，6 + 占 上的零点数不小于胛+ 1 ，由文献e m a i n a r 2 0 0 1 】中的注释2 5 可得出u ( ，) 是区问 t ob + f 】上的零函数，这与a ) 中结 论矛盾，战( f ) o ，【“b + s ) ，所以对t 【( f ，胡也成立。 c ) 由b ) 中结论，条件1 ) 和文献s k a r i i n 1 9 6 8 中第六章定理1 1 有 【h 。【，) ，“。( f ) ) 是定义在i 上的推广的c h e b y s h e v 函数系，所以由它张成的空问 叭，) 足推广的c h e b y s h e v l a j ，又由引理2 9 和条件1 ) ，2 ) ，3 ) 有( “! d n l ) 是u ( ，) 的一个b 基。得证。 推沦2 1 2 设( ，足”+ 1 维的cc 1 ，( 舀，6 】) 空间，具有参数平移不变性，如果任意 6 ( 0 ，i ) ，存在函数系( “。，。) 在点卉6 满足引理2 1 1 中的四条件，则c ，是定 义在i 上推广的c h e b y s h e v 空间，r ( u 。- - ，。) 是u ( ，) 的一个b - 基。 这个引理和它的推论与文献e m a i n a r 2 0 0 1 的定理2 6 和推论2 7 的条件一 致但结论有所改进。 2 2 存在性证明 定理2 1 3 如果t o ，口】，0 口 o。 e ( o ) = o = l ，ni b 矧。( o ) = o = 1 ，h 当，= 1 ，i = 0 ，n 时 彤1 。) ( ，火旷畿联i j ) 。，) 磁j ( o ) = o ，磁化+ ( o ) = 0 ；b 措。( o ) = o ，j = o ， 8 ：? ( o ) 0 ，b 。( o ) = 0 磁免( o ) 0 b ：j ( 口) = 0 ，b ：川( 口) = 0 = ，彤：，( 口) = o ，j = 0 ， 九加既一怒嘲= 。 当j = n i + l 时，如果b ( n + l ，“( a ) = 0 ，那么函数b 。，( f ) 有n + 2 个零点，这与 推论2 1 4 矛盾，所以b i n 1 。 ) 0 ，这就证得或“，( ，) ，i = 0 ，n + 1 满足四个条件。 ( 2 ) 假设，= ，7 7 时，b 。( ，) ，i = 0 ，n + m 满足四个条件，同( 1 ) 中方法，可 证，= m + 1 时，b 。( f ) ，i = 0 ，一，l + + 1 满足四个条件。 综上所述，本定理得证。 发h ，( ，) ，i = 0 ，月+ ，是混合空问的标准b 基，由文献e m a i n a r 2 0 0 l 】中命题 一 一 卜 堋 14 知存在口， o i = 0 ， ”+ f 使6 。( ，) = 口b 。( ，) ，且6 ，( ，) = l ，利用b ，( ，) 满 f = 0 足引理2 11 中四个条件这个性质，可求出口。2 瓦 而，q 可用a 。，一，q t 表示 + ，2 瓦二j ：三丽，一，可用口一，一，a “+ ，表示。到此为止，我们求出了混合空 间上的标准b 一基。 3 2例子 这里，将用上一节的算法求出几个特殊混合空间的标准b 一基，并画出它们的 图形，这些空间是：s p a n 1 ，f ，c o s ( t ) ，s i n ( t ) ) ，s p a n 1 ，c o s ( t ) ，s i n ( t ) c o s ( 2 t ) ，s i n ( 2 t ) 和s p a n 1 ，2 ，c o s ( 0 ，s i n ( t ) ，它们的标准b 一基在文献p o t t m a r m w a g n e r 1 9 9 4 ，z h a n g 1 9 9 6 ，1 9 9 7 # de m a i n a r 2 0 0 1 中得到研究。 ( 1 ) 空间s p a n 1 ，c o s ( t ) ，s i n ( t ) ) 的标准b - 基为： 6 3 ( 忙磊t - s 叫i n ( t ) m , c 旷, 号盖 i 。zc 。= m c ! j i 美笔；一。，c ，玩o ，= 。z c a 一。 其中肘_ f 未蛊耘 形一个a ：互， 另一个a ：_ 3 7 9 。 口= 厅 o t h e r w i s e ，图形见图一，图一的两个图 ( 2 ) 空间s p a n 1 ，t2 ，c o s ( t ) ，s i n ( t ) ，的标准b 一基为 z 。( 。= ：；j 鬻，z 。( ，) = z 。( 口一，) ：3 ( r ) = ( 旦! 掣) 2 ( 6 3 ( ，) - - z 4 ( ，) ) ，z l ( f ) = z 3 ( 口一，) 口c 一2 s 删叫一争( ) 其中一：s i n ( 昙) ，c = c 【) s ( 昙) ，屯( ，) 的表达式见( 1 ) 。图形见圈一：二二个图形分别对应 2 二 d ：! 。堑。 二 2 ( 3 ) 空删5 p a n 1 ，t ，c o s ( t ) ，s i n ( t ) ，c o s ( 2 t ) ，s i n ( 2 t ) 的标准b 基为： 3 t 一4s i n ( t ) + s i n ( t ) c o s ( t ) a s ( t ) 2 ：3 a - 4 s i n ( a ) 二+ s i n ( + a ) ”c + o “s ( a 一) 叱( ) = 高i ( w f ) ) 1 - - c 1 5 ( f ) ) ， ，3 ( ，) = 1 6 s n 3 ( t ) - i ( 3 i a - 瓦4s 而i n ( 再a ) 五+ s i 丽n ( a 万) c o s ( a ) ) a a ( t ) “o ( ，) = “，( 口1 ) c f l ( f ) = “。( 口一，) 其 “2 ( t ) = 口3 ( 口一，) 恤鼢抄掣川归审叫丁a - - t n tn s i n朋形心三。 中j r 同( 2 ) ， ，1 ) = l ，( ，) = ( i ) s m ( ；一) 。例彤见例= 。 一 j zz 图 1 8 图二 图三 第网章c 一曲线的几个性质 g o o d m a n 在文献g o o d m a n 19 8 9 】， g o o d m a na n ds a i d 19 91 和g o o d m a n 1 9 9 1 】中揭示了全币基具有保形性主要归因于全诈矩阵的变差缩减性，同时给出了 用仓i 壁衷1 i 的曲线的许多性质。归纳为下而这个命题： 命题4 1 设( 戎，移，) 是定义于区间，上的全正基，那么 ( 1 ) 数列的全变差定义为：t v ( b 。，6 。) ：= | 6 ，一b 川i ，函数的全变差定义 j 4 i 为：t v ( j ) ：= s u p t v ( f ( t i ) ，f ( t 。) ) ，t ，。，那么有丁y ( b ，( x ) ) r = 0 ，p o ，b 。) 。 ( ! ) ( 尸( r ) ) l ( p o ，只) ，其中l ( z p ( x ) ) 表示该曲线的长度 ( 昂，p ，) 表示从点p o 到只的折线蚝度。 ( 3 ) 臼( 尸痧”( x ) l 口( r ，只) ，e e p o ( q ) = j 1 k 陋，k 表示q 的曲率，j 表 一i 示弧长，设只表示两向量尸一只一，与尸+ ，一尸间的夹角，o ( p o ，只) = 只。 ，i 由标准b 基的定义知，用全正基表示的曲线具有的性质，用标准b 基表示的 曲线也有，但标准b 一基还捌有本身独有的性质，如：对一的分解性。下面两个命 题来自文献m a i n a ra n dp e n a 1 9 9 9 】，实际上就是0 、1 阶保型性。 命题4 2 “。( r ) ，“。( f ) ) 是空间u ( 【口，6 】) 上的标准b - 基，( f ) = f “，( f ) 那么，( “) = r ，【6 ) = 只，。 命题4 3 ( u 。( ，) - ，f ，。( ，) 是连续n j 导空间u ( 口，6 】) 上的标准b 一基 ( ，) _ 窆f “，( ，) ，y7 ( “) ，( 6 ) r 1 o ，耶么r 鼻，p 。p ，分别是，在点咒，f ，处 的切线。 下面给出c 曲线相类似的性质，设b ，( f ，鲫i = 0 ，+ 2 是函数空l b 印( m l ，t ，7 c o s ( t ) ，s i n ( t ) ，一，c o s ( k t ) s i n ( k t ) ，t o 口】，的标准b - 基t 尸r ! i = 0 一，十二女。 h2 t 定理44 设y ( ，) = 7 , b , ( 1 口) r 那么( o ) = 只，( 口) = 鼻+ ! t 。 h i 定理4 5 设y 【，) = 尸e ( r ，口) ，y ( o ) ，y ( 口) r2 ( o ，那么p o p , ，只一一- 只m f = 0 分别是，在点只，只。处的切线。 这两个定理利用命题4 2 和4 3 很容易得证。 下面将给出一个跟区间长度有关的性质。 定理4 v l i r a 。丽y p , b ， 与 萎f e o ) 表示同一条曲线，其中 b ，( f ) ，i = 0 ，l + 2 t 表示b e m s t e i n 基。 证明：因为一个函数空间如果存在标准b 基，则它是唯一的，再由定理2 1 3 的证明所采用的方法和引理2 6 知，b 。( f ，口) ，i = 0 ，“2 i 是混合空间的 c h e b y s h e v b e r n s t e i n 基，利用文献h e l m u tp o t t , r m n n 1 9 9 3 中的定理3 1 3 得出结 论，得征。 第五章小结和展望 本文比较系统地介绍了标准b 基的一+ 些研究结果，并给出了混合空间上的标 准b 一基存在t 心：定理和他的递推表达式，是刈这个空蚓以前同类研究的总结和推广。 这只是起步阶段，还有很多问题有待去研究。如： a 文中的c 曲线可认为是z h a n g 1 9 9 6 f - pc b 6 z i e r 曲线的推广，那么c b 一 样条的推广是什么呢? b类似d e - c a s t e l i a u 算法的研究，咳算法在求曲线上点的值，曲线的求交中 很有作用 c 细分性质的研究。 d 对圆弧有多种不同的表示，譬如：可用空间s p a n 1 ，c o s ( t ) ，s i n ( t ) 的标准 b 一壁表示，也可以用空矧s p a n 1 ，f2 ，c o s ( t ) ，s i n ( t ) 的标准b - 基表示等等， 它们之阳j 有什么关系。 e 关于这方面的曲面情形的研究，譬如：张量积形式。能找到类似于三角 b e r n s t e i n b & z i e r 曲面的表示吗? 致谢 首先要感谢导师吴宗敏教授在三年里的谆谆教导和各种关怀。吴老师对数学 的深刻理解对我的学习生活有着巨大的影响，吴老师的严谨学风和广博的知识面 使我终身受益。在吴老师的关心和帮助下，我顺利的完成了学业，更在思想和对 自己的认识上有了相当的提高。 还要感谢华宣积教授的无微不至的关怀和指导。作为国内c a g d 界的先锋和 元老之一，华老师的学术造诣和为人师表都值得我永远的尊敬。在华老师的讨论 班上，我开阔了视野，得到许多有益建议，在此要表示非常深切的谢意。 曹沅副教授的讨论班上我吸取了许多营养。曹老师的广泛的知识面和细致的 分析对我最终论文的形成有很大的帮助，在此表示深深的谢意。 最后，还要感澍学友史建红，阎燕和宋家红等师弟们的帮助和支持，和他们 的探讨受益匪浅。 2 4 参考文献 ( 1 ) a l f r e ds c a v a r e t t a a n dc h a r l e sa m i c c h e l l i ，19 8 9 s u b d i v i s i o n a l g o r i t h m s ，i n ：l y c h e ，t s c h u m a k e r ，l l ( e d s ) ，m a t h e m a t i c a l m e t h o d si nc a g d ，a c a d e m i cp r e s s ，b o s t o n ，p p 11 5 15 3 ( 2 ) e m a i n a r ，j m p e n a ，1 9 9 9 c o r n e rc u t t i n ga l g o r i t h m sa s s o c i a t e dw i t h o p t i m a ls h a p ep r e s e r v i n gr e p r e s e n t a t i o n s ，c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i c d e s i g n16 ，8 8 3 - 9 0 6 ( 3 ) e m a i n a r , j m p e n a ，j s a n c h e z r e y e s ，2 0 0 1 s h a p ep r e s e r v i n g a l t e r n a t i v e st ot h er a t i o n a lb 6 z i e rm o d e l18 ，3 7 - 6 0 ( 4 ) gf a r i n ，19 8 8 c u r v e sa n ds u r f a c e sf o rc o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i c d e s i g n ，a c a d e m i cp r e s s ( 5 ) h e l m u tp o t t m a n n ，1 9 9 3 t h eg e o m e t r y o ft c h b y s h e f f i a ns p l i n e s ， c o m p u t a i d e dg e o m d e s i g n1 0 ，1 8 1 - 2 1 0 ( 6 ) j m c a r n i c e ra n dj m p e n a ，19 9 3 s h a p ep r e s e r v i n gr e p r e s e n t a t i o n s a n do p t i m a l i t yo ft h e b e r n s t e i nb a s i s ，a d v a n c e si nc o m p u t a t i o n a l m a t h e m a t i c s1 ，1 7 3 1 9 6 ( 7 ) j