（应用数学专业论文）复合负二项风险模型研究.pdf

山东科技大学硕士学位论文 摘要 本文主要讨论了几种离散风险模型的破产问题： 首先，对离散经典风险模型中的理赔次数推广为负二项随机序列，提出了复合负二 项风险模型。利用复合负二项随机序列的性质研究了复合负二项风险模型初始资本为0 时的最终生存概率、有限时间内的生存概率、最终破产概率的一般表达式及l u n d b e r g 不 等式。此外，研究了盈余首次和末次到达给定水平的时刻分布及相应的期望和方差表达 式。其次，将复合负二项风险模型中的保费收取次数推广为负二项随机序列，提出了复 合双负二项风险模型，利用递推方法对该模型进行了比较全面的研究，得到了破产时刻 的分布、破产持续时间的分布、有限时间内的破产概率、最终破产概率；得到了破产前 盈余的分布以及l u n d b e r g 不等式。再次，对双险种复合负二项风险模型进行研究，给出 了盈余过程的性质及最终破产概率的一般表达式。最后，对广义复合双险种负二项风险 模型进行研究，得到了盈余过程的性质、初始准备金为零时的生存概率及破产概率的表 达式。 关键词：风险模型，负二项分布，生存概率，破产概率，盈余 些茎型垫查兰堡主兰垡鲨茎 一一塑堕 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，t h er u i np r o b l e m so fs e v e r a lt y p e so fd i s c r e t er i s km o d e la r e m a i n l yd i s c u s s e d f i r s t l y ，t h ec l a i mn u m b e ri sg e n e r a l i z e dt oan e g a t i v es t o c h a s t i cs e r i e s ， a n dc o m p o u n dn e g a t i v er i s km o d e li sg i v e n b yt h ep r o p e r t i e so fc o m p o u n dn e g a t i v e s t o c h a s t i cs e r i e s ，t h es u r v i v a lp r o b a b i l i t yi sg o tw h e nt h ei n i t i a lc a p i t a li s z e r o t h ep a p e ra l s og e t ss u r v i v a lp r o b a b i l i t y i nf i n i t et i m e ，u l t i m a t er u i n p r o b a b i l i t ya n dl u n d b e r gi n e q u a l i t y f u r t h e r m o r e ，i to b t a i n st h ed i s t r i b u t i o n s o ft h et i m et h a ts u r p l u sr e a c h e sag i v e nl e v e lf o rt h ef i r s ta n dt h el a s tt i m e s e c o n d l y ，t h ec o m p o u n dn e g a t i v er i s km o d e li sg e n e r a l i z e dt ot h ed o u b l ec o m p o u n d n e g a t i v er i s km o d e l ，b yu s i n gt h er e c u r s i v em e t h o d ，al o to ft h e o r e t i c a lp r o b l e m s a r er e s o l v e d ，s u c ha st h ed i s t r i b u t i o n so ft h er u i nt i m ea n dt h er u i nl a s t i n g t i m e 、t h er u i np r o b a b i l i t yi nf i n i t et i m e 、t h eu l t i m a t er u i np r o b a b i l i t y f u r t h e r m o r e ，i nt h i sp a p e r ，t h ed i s t r i b u t i o n so ft h es u r p l u sb e f o r er u i na r e o b t a i n e d t h i r d l y ，ad i s c r e t ei n s u r a n c er i s km o d e l o f t w o t y p e c l a i m si s c o n s i d e r e d ，t h ep r o p e r t i e so fs u r p l u s 、t h eu l t i m a t er u i np r o b a b i i i t ya n dl u n d b e r g i n e q u a l i t ya r eg o t l a s t l y ，t h ep a p e ra l s os t u d i e so nag e n e r a l i z e dd i s c r e t e i n s u r a n c er i s km o d e lo ft w o - t y p ec l a i m s ，t h ep r o b l e m sa r er e s o l v e d ，s u c ha st h e s u r v i v a lp r o b a b i l i t y 、r u i np r o b a b i l i t yw h e nt h ei n i t i a lc a p i t a li sz e r oa n dt h e u l t i m a t er u i np r o b a b i l i t y k e y w o r d s ：r i s km o d e l ，d i s t r i b u t i o no fn e g a t i v eb i n o m i a l ，s u r v i v a lp r o b a b i l i t y ， r u i np r o b a b i l i t y ，s u r p l u s 声明 本人呈交给山东科技大学的这篇硕士学位论文，除了所列参考文献和世所公 认的文献外，全部是本人在导师指导下的研究成果。该论文资料尚没有呈交予 其它任何学术机关作鉴定。 硕士生签名：；础易 日 a f f i r m a t i o n 期：户哆6 ，弓 id e c l a r et h a tt h i sd i s s e r t a t i o n ，s u b m i t t e di nf u l f i l l m e n to ft h er e q u i r e m e n t s f o rt h ea w a r do fm a s t e ro fp h i l o s o p h yi ns h a n d o n gu n i v e r s i t yo fs c i e n c ea n d t e c h n o l o g y , i sw h o l l ym yo w nw o r ku n l e s sr e f e r e n c e do fa c k n o w l e d g e t h e d o c u m e n th a sn o tb e e ns u b m i t t e df o rq u a l i f i c a t i o na ta n yo t h e ra c a d e m i c i n s t i t u t e s i g n a t u r e d a t e ： 山东科技大学硕士学位论文 绪论 1 1 破产论研究综述 1 绪论 保险公司的建立是为了减轻某些意外事件产生的影响，其经营机制是保险公司以一 定量的保险费向被保险人出售有些保障功能的保单，在保单的有效期内如果产生相关的 意外或毁坏，保险公司将按保单的规定向被保险人支付赔偿金。保险公司的经营目标是 在较长的时间建立保险人盈余。所谓的盈余是指某个初始基金加上收取的保费超过理赔 的那一部分，如果盈余出现为负，在保险精算理论中就称为破产发生。出现破产，并不 意味着保险公司失去了生存的能力，但在一定意义上说明了该保险公司的偿付能力。 研究破产理论具有重要的现实意义，西方国家早在1 8 世纪就已经开始研究保险业中 破产理论的应用问题了，实践证明该理论对保险业中的理性决策和可持续发展是非常有 益的。破产理论在上个世纪得到了飞速发展，已经成为金融保险业测度风险的主要理论 依据，已不断引起金融保险业的高度重视。 破产理论中一个非常重要的问题是研究破产概率，即保险公司盈余首次为负时的概 率。众所周知，破产论的研究起源于瑞典精算师f i l i pl u n d b e r g 于1 9 0 3 年发表的博士论 文，p o i s s o n 过程在这篇文章中首次被提出，但是模型还不够完善，随后的l u n d b e r g 和 g r a m m e r 的工作才使模型完善的更加完美，故称为经典的风险模型，即我们熟悉的复合 p o i s s o n 风险模型，盈余表达式为 u ( f ) = h + c t - x , “1 其中“为初始准备金，c 为单位时间内的保费收入，置为取值于( o ，0 0 ) 上的独立同分布的 随机变量序列，n ( t ) 为截止到时刻t 的理赔次数。之后，很多专家学者在此模型的基础 上进行了各种各样的推广。由于经典风险模型中保费收取过程为常速率过程，而在实际 生活中，不同单位时间内所收取的保单数常常不一样，是一随机变量。王黎明( 2 0 0 0 ) 的“保险费收取次数为p o i s s o n 过程的破产概率”，龚日朝、李风军( 2 0 0 1 ) 的“双p o i s s o n 风险模型下的破产概率”，以及孙立娟、顾岚( 1 9 9 9 ) 的“保险公司赔付及破产的随机模 拟与分析”都将其推广为p o i s s o n 过程；高明美、赵明清、王建新( 2 0 0 4 ) t 在“双二项 山东科技大学硕士学位论文绪论 风险模型的破产概率”一文中将保费收入过程推广为二项分布，得到了双二项风险模型。 另外，风险到达的点过程不再是p o i s s o n 过程，g r a n d e l l ( 1 9 9 1 ) 将其推广为更新过程， 戚懿( 1 9 9 9 ) 将其推广为广义的p o i s s o n 过程，龚日朝、杨向群( 2 0 0 0 ) 将其推广为复 合二项风险模型。再次，由于保险公司经营或管理的偏差及其财务的影响，加入投资收 益率的影响，引入了总理赔到达过程受到随机干扰项影响的风险模型，盈余表达式变成 r f 、 【，( f ) = “+ c t - x , + 椰( f ) i = l 其中矿( f ) 是一随机干扰项，董英华、张汉君( 2 0 0 3 ) 研究了“带干扰的双p o i s s o n 模型 的破产概率”，其中的干扰项是一标准w i n n e r 过程。当然，我们也可以考虑干扰项为一 o - u 过程或其他过程时的情形。在经典的风险模型中，一般假定利率是一常数。但是， 许多经济行为是长期的，这期间，政府政策、经济周期等因素都会造成不确定性，即带 来一定的风险，为了减少不确定性，一种较好的方法是采取随机利率模型。李晋枝、乔 克林、何树红( 2 0 0 3 ) 研究了“随机利率因素的破产模型”。杨善朝( 2 0 0 4 ) 研究了“保 险费随机收取情况下的风险模型的破产概率”。此时，得到的破产概率比不考虑随机利率 时得到的结果更接近于现实。 当然，在破产概率的研究中，对于破产概率本身性质的研究也是非常重要的一个方 面。1 9 7 0 年，g e r b e r h u 在“a n e x t e n s i o n o f t h e r e n e w a l e q u a t i o na n d i t s a d p h c a f i o n i n t h e c o l l e c t i v e t h e o r y o f r i s k ”一文中提出了带干扰的风险过程，近些年来，有些文章对该模 型进行了多方面的研究，如d l l f r e s r l ef ，g e r b e r h u ( 1 9 9 1 ) 在“r i s kt h e o r yf o rt h e c o m p o u n dp o i s s o n p r o c e s st h a ti sp e t u r b e db yd i f u s s i o n ”一文中，假设破产概率二次可微 分，给出了破产概率的一些具体表达式。而对于经典风险过程，g r a n d e l lj 在1 9 9 1 年写 的a s p e c t so f r i s kt h e o r y ) ) 一书中，给出了经典风险过程破产概率的f e l l c r 表示，它是 风险理论的一个重要公式，它是破产概率的一些确切表达式的基础。随后，王过京、吴 荣在2 0 0 0 年的“带干扰的风险模型中破产概率的f e l l e r 表示及可微性”一文中给出了带 干扰的风险过程的f e l l e r 表示，并在一定的条件下，利用f e l l e r 表示式证明带干扰的风 险过程的破产概率的二次连续可微性。接着，张春生、吴荣在2 0 0 1 年“关于破产概率函 数的可微性的注”一文中对经典风险过程和带干扰的复合p o i s s o n 过程的破产概率函数 的可微性进行了讨论，同时也指出了e m b r e c h t s 在1 9 9 4 年文章中关于绝对连续性和完全 单调性的证明中存在的错误。 2 坐查型茎查兰堡主兰丝笙兰 一 些堡 由于保险公司风险经营规模的不断扩大，即风险经营业险种的多元化，有必要为这 类多险种风险经营过程提供较单一险种更为客观实际的风险经营模型，基于这种想法， 蒋志明、王汉兴在2 0 0 0 年“一类多险种风险过程的破产概率”一文中讨论了多元风险模 型，接着，方大凡、王汉兴荏2 0 0 3 年发表了“多质负风险和”，讨论了多质风险；杜雪 樵、徐怀2 0 0 3 年的文章“带干扰的多险种的风险模型”也讨论了多质风险，而且还讨论 了带干扰的多质风险，得到了许多有意义的结果。 1 2 经典离散风险模型及其主要结果n 一般来说，离散风险模型由三部分组成： ( 1 ) 保费收入过程为 吖( n ) ，n 0 ) ， 0 ) 表示时间( o ，一】内收到的总保费； ( 2 ) 索赔到达的计数过程为 j v o ) ，一o ，o ) 表示时间( o ，一 内发生的索赔总次数 ( 3 ) 索赔额序列为 置，k = 1 ，2 ，瓦表示第女次的索赔额a “ i 若令z ( 一) = 墨，则z ( ”) 表示( o ，n 】内的索赔总额，而u 0 ) = m 0 ) 一x ( n ) 表示 盈余过程，也就是保险公司在时刻n 的盈余( 或累积资本) a 离散风险模型的最简单情形为经典离散风险模型，假设： ( 1 ) 保费收入过程 0 ) ，n o ) 为时间一的决定性函数m ( 一) = “+ 棚，n - 0 ，其中c 为 常数，它表示单位时间内收到的保费，“为初始准备金； ( 2 ) 索赔到达的计数过程为 ( 月) ，n o ) 为二项过程，具有参数n ，p ； ( 3 ) 索赔额序列为 砭，k n 为独立同分布的随机变量序列，有共同的分布函数 f ( x ) ，a e i x , = y ； ( 4 ) 索赔到达的计数过程( 0 ) ，”o 和索赔额序列 五，k = l ，2 ，- ) 相互独立。 因此，经典离散风险模型的盈余过程为 盈余过程 u ( n ) ，”o 在某时刻盈余小于零的概率，写成数学表达式即为 盈余过程 u 0 ) ，n o 在某时刻盈余小于零的概率，写成数学表达式即为 x m 一 研 +“ = 、jn u 坐垄型垫查兰堡主兰篁笙茎丝堡 y ( “) = p | ”o ，u ( n ) o l u ( o ) = “) = p r 0 ，给定： ( 1 ) 。，五，为独立同分布的取值于( 0 ，o o ) 的随机变量，公共分布为f ( x ) ； ( 2 ) ( n ) ：。为参数为( p ) 的负二项随机序列； 若讧，羟。与 ( n ) 拄。相互独立，令 山东科技大学硕士学位论文 复合负二项风险模型 ) 【，( ，1 ) = “+ 删一s ( n ) ，s ( h ) = 鼻 则称妙( n ) 为复合负二项风险模型，简记为c n b r m 妙( ”) 其中：u 是保险公司的初始准备金；c 是每单位时间收取的保费；置为第i 次发生理赔的 理赔量；n ( n ) 为n 个单位时间上发生的理赔总次数；u ( n ) 是保险公司在时刻n 的盈余。 本文不考虑利率、通货膨胀率因素。 性质2 1 4c n b r m 妙( 胛) ) 二具有增量可交换性，即 对于增量e = u ( 再) 一u ( n 一1 ) ( 月 o ) ，有：v n 0 以及( 1 2 1 1 ) 的任意全排列( i l , i ：，i ) ， ( 五，匕，l ) 和( ，k ，) 的联合分布相同a 证明参照文献 3 0 证明即可。 对于c n b r m u ( n ) 墨。，恒假定保费收取率c 大于单位时间期望理赔量里a ( 其中 p a 2 e 剐) ，即定义正相对安全附加系数口，使c = ( 1 + 8 ) q p p t 成立。 所谓破产发生即指j 栉 0 ，使得u ( n ) o ，定义破产时刻t = m m n ：n o ，u ( n ) o , k o k h = p u ( n ) l u ( 七) u ( n ) ，v o k 旦a ，即单位时间内收 p 取的保费应大于期望理赔值。 0 ) = 密! 妒0 ，_ | ) 表示最终生存概率，1 - 驴0 ) 表示最终破产概率。 引理2 3 3 假设妙0 ) j 表示初始准备金为“的离散型随机序列，且具有增量可交换性， 且妙0 ) ) 二是自由向上跳动的，则 p u ( o o ，f - 1 ，2 ，h l ；【，g ) = y _ y 疗- x e u ( ) = y ) ，v o 工( _ y ( 2 3 4 ) 证明见文献 3 】。 定理2 3 4 当初始准备金为零时，对于c n b r l v l 妙0 ) ) ，有限时间内的生存概率为 伍一埘+ 0 9 。伍+ 1 ) ( o ，后) = 旦型l i i 0 f 矿( 七= o ，1 ，2 ，) 2 3 5 其中g m + 1 ) = p 牺取+ 1 ) = m , v k 0 。 证明由于 墨j 三，是独立同分布的随机序列，其共同分布函数为，则母函数定义为 m 。o ) ：e 【，z 】：艺，o p 一，v l ，i 1 一l 设s o ) = 以的概率分布为 乳g ) = 尸p 0 ) = k , v k 0 则s o ) 的母函数有如下表示 g ( z ，开) = e 矧= 艺g t 啡2 l 商铂j , v n 1 k = ox 叫) 1呵1 h、， 山东科技大学硕士学位论文 复合负二项风险模型 得 假设u 1 ，k 1 ，根据在第一时期内是否发生理赔及理陪额大小，利用全概率公式， 定义 u - 1 庐0 1 ，后) = p 庐0 ，k - 1 ) + q z q k ( u - y ，七一l 扩( y ) ( 2 ，3 7 ) y * l 万g ，七) = z o ( u ，k ) z 。 h - 0 ( 2 3 6 ) 式两端同乘以z ”，并令u = 1 到o 。求和，得 ( 2 3 8 ) z 万( z ，后) = p 簖g ，k 一1 ) 一声( o ，k 一1 ”+ g 万g ，k 一1 ) f ( z ) ( 2 3 9 ) 根据( 2 3 6 ) 式，得 且 定义 z 石o ，i ) = 。i ：；j 吕：两百o , k - 1 ) 一p 庐( 0 ，七一1 ) ( 2 3 1 0 ) 孑g ，r ) = 石( z ，七) f 矾) = 地七 ( 2 3 1 1 ) ( 2 3 1 2 ) 则( 2 3 1 1 ) 就是有限时间内生存概率妒0 ，i ) 的二元母函数。在( 2 3 1 0 ) i 删t + 并令七 从1 到0 0 求和，得 z 剐一：和) = r 再钿剐一句石o ) ( 2 3 1 3 ) 显然舯) = 1 ，材= o ，l ，2 ，且稚，。) = 五1 ，i z l l a ( 2 3 1 3 ) 式可以写成 弛妊一r 融) ) = 击一妒碘) 不难发现当l t l 州( 咖( m + 咖) ) 2 壶0 胪 ) 吣，y + 咖) ) 2 4 1 又由u ( n ) = 硎一s ( n ) ，便知 p u ( n ) e ( y ，y + d y ) ) = p u ( 胛) ( z ，z + d z ) ) 1 3 、，向由佃k m一一t 0击r z mh ； p 一 、l，任g z 。 = 力 “ z 。m 、，似t+柑k m i一七 r z 。mh p 一 、，曲+恫k m一1一七0 “4h “ = “ p 一 、jq z 。 = 砖 m 砸 z 。m 、j计+mk 卅一【一女 庐 h z 。m p 山东科技大学硕士学位论文 复合负二项风险模型 其中z = 6 1 l y 将上式代入( 2 4 1 ) ，再分部积分，即得 柙瑚c k 妣 ： 其中f ( z ，n ) 为s ( n ) 的分布函数将上式改写为 1 四 妒( o ，栉) = 土c r tp 一( 1 一，( z 棚) 弦= 土c n ( 翻一弘一f ) 出+ ，一，皿) 善；二 斗土c n 翼1 _ 啦o c n 卜啦 ：二 而i ( 1 一f ) d z = e e s ( n ) = 丝a ，故 i p 妒c 帅，= 卜q 印见+ 击j ( 一f ) 出= 南+ 击弘一，皿 c z a z ， 利用这一表达式，即可如下计算初始资本为0 时的最终生存概率庐( o ) m 亿班印 班p 舾，一了n q a i 一了n q p 。) 。趋 0 一n q p l ) 2 其次，将这一不等式代入( 2 4 - 2 ) 式，得 则川南+ 去警 这表明，若在方程( 2 4 2 ) 的两端令”哼c o ，便得( o ) = l 。 l + d 该定理说明，对于复合负二项风险模型，当初始准备金为0 时，最终生存( 或破产) 概率仅和相对安全附加系数有关，而与理赔量分布的具体形式无关 下面讨论初始准备金“0 的一般情形： 4 山东科技大学硕士学位论文 复合负二项风险模型 定理2 3 2 对于c n b r m 矽( n ) ，其破产概率 吵 2 币硐e 其中，r 为调节系数 证明：对n o 和r 0 ，有 e l - e - “扣 = e l - ：* o l r n p 丁 ”) ( 2 4 3 ) 因为u ( n ) = u + c n s ( n ) ，故( 2 4 3 ) 式左端 e e - 7 “” = e r “+ “e e 6 2 p一“+“(。：；：j：；而)n=e-m(1 e c 7 ( 1 。：q ”m ：8 1 x 爿) ” 、一g 膨x ( ，) 。 、一 ( ，) “ 在( 2 4 3 ) 式右端第一项( 记为j r 。) 中，将u ( n ) 写成 【，( 刃+ ( u ( 力一u ( 丁) ) = u 0 ) + “兜一乃一( j ( 刀) 一j ( 丁) ) ( 2 4 4 ) 给定丁，s ( n ) 一j 叮) 与u ( d 独立，且服从参数为0 一t ，p ) 的复合负二项分布，从而 为 则 = 占 e 一“口r 州p n ”州 卜5 功l 丁 以 p r ”) ( 2 4 6 ) 口2 c 一旦p p 。，2 = 里p p ：+ 妥p p ? e u ( ) = e 【“+ c n s ( ”) 】= “+ a n ，f 么， u ( ”) 】= 玩r j ( n ) 】= n 卢2 兰 考察人= “+ 翻一励3 ，只要n 充分大，它是正的，且当n 寸o 。时，a 哼。，现将( 2 4 6 ) 式右端第二项用u ( n ) 与a 的大小拆成两项，即 1 5 山东科技大学硕士学位论文复合负二项风险模型 e f ”i t ”j p r h = e 8 “”h i r n ，o u o ) a 尸 r n ，o 【，( n ) 人) + e e 一” i r n ，u o ) a p t n ，u q ) a p o u 0 ) 人) + e 一“ 由c h e b y c h e v 不等式，得 p 。s u c n ，a = p 。u t 忍，e c u c 一，一卢”；) 十一刚砌陋； 警，其中a = e z 】，p + g = 1 ，即妙伽) ) 二有一个正的 趋势，又因为过程妙( n ) ) 二是自由向上跳动的，故对于任何给定的水平z ，盈余过程将会 不止一次达到 令丁= m i i l 一：u ( n ) = 工 表示盈余首次达到给定水平工的时刻 2 4 1t 的矩母函数 丁的矩母函数可通过以下鞅方法得到： 对于常数，j ，有 上 p 一“4 + 研 = e p 一，d 一。h + j “ = 5 一叶”e g “5 山东科技太学硕士学位论文 复合负二项风险模型 毋咄 南h 一而p 丁 其中肘，( ，) = e 为理赔量j 的矩母函数 令，j 满足关系 s = ，+ 1 l l ( 1 一彬。( 4 ) - t n p 则过程 e 吣卜“ 二。是一鞅 假设s = s ( ，) 满足( 2 5 1 ) 式，选择时刻丁为一停时时刻，利用可选时定理，得 由于u ( r ) = 互，故 e p 一( r ) ”1 ：l lj e r 8 打 = g 盯 ( 2 5 - 2 ) 式即为丁的矩母函数 令( s ) = 1 n e 表示r 的累积矩母函数，则 因为 令j = r = 0 ，得 ( s ) = 腻 州= 面d r 工= 南= 再x 砑( 1 - 硼q m x ( r ) ) e i t 。而x p ( 2 5 1 ) ( 2 5 2 ) 类似地。有 州班南掣：工q ( 1 - q m x ( r 下) ) ( m x 面( r ) + 丽q ( m x 而( r ) ) 2 - r q m x 一( r ) m x ( r ) ) 令j = r = o ，得 其中p ：= e p 2 。 砌r阱xpq(矿p2+qpi2-qp2) 山东科技大学硕士学位论文 复台负二项风险模型 2 4 2 ，的矩母函数的另一种表示方法 令正表示第f 次理赔发生的时刻，给定r ，设妙( n ) ：。将在第次与第_ j + 1 次理赔 i 之间即在区间阢，疋+ ，】内的时刻s + 工达到水平工，其中s 。= x ，注意 。+ x ) = k ， i = 1 故 p u ( + 工) = 工l 足 = c i + ，+ 。p 且“矿( k = o ，1 ，2 ，) ( 2 5 3 ) 相应的妙( n ) ：。在k ，互+ 。】之间首次达到水平x 的条件概率为 p ”最+ 槲 2 焘噬“p 耻。g 伍= 0 , 1 “2 - ) 于是，得到t 的矩母函数的另外一种表示方法 e e e s t 钉艺k - o q 岛一矿酗去j _ 5 4 lu t j 2 6 盈余末次达到给定水平的时刻 令- - i 衣不- - t 哪7 。o 最后一次到达水平x 的时刻，给定墨，砂( n ) 墨。在区间阢，瓦+ ，】内 达到给定水平工的条件概率由( 2 5 1 3 ) 给出，由于妙( ”) 二将不再返回水平工的概率为 1 一旦a ，则 p 尸昏& 叫最 = k 。，s + x v i t ( ，一剐( k = 0 , 1 , 2 , - - - ) 由此，亍的矩母函数为 与( 2 5 4 ) 比较，得 由( 2 5 1 ) ( 2 5 2 ) ，得 e 旧= q _ 纠一。p e 蝇叫 f r 。， 一1 - - p q - - - p ld e d r 町 = 1 厂 山东科技大学硕士学位论文 复合负二项风险模型 e。，11-q pdeesrp e e 厅 = _ 1 广=字南等：字蔫r ) - q m x 船n x s ( r ) 毋工1 一鸺( ，) 一( ， 一了 一；见 ( 1 _ 鸺( r ) ) q m x ( d - q m ，( ，) 设d = 亍一r 表示首次和末次到达水平z 的时间间隔，因亍，丁相互独立，故 e 旧= e e 4 y - r ) = e p ，卜e s 7 虹矿1 f - 一q p l ( ，一。( ，) ) 1 一q m x 【7 ) 一q m x 【7 j 令 y ( s ) = h e 严 = h ( 一万qa 一h ( 一了! 端 c z s s ， 为d 的累积母函数，它的一阶导数 州沪南掣= 掣鬻筹嚣铲 e d = 妒( o ) = _ p q p 2 + q 下z p ? 【p 一吧p lj 对( 2 5 5 ) 式关于j 两次求导，并令j = ，= 0 ，得 胁【d 】= y 。( o ) q 2p 3 p 2 - p 3 p q p l - q 2 衍p 2 + 3 q p 2 p p ；+ 2 p q p ；+ 2 q 2 露+ 2 q 2 p i p 21 p 一觋) 4 其中p 3 = e fx 3l 。 1 9 山东科技大学硕士学位论文 复合双负二项风险模型 3 复合双负二项风险模型 本章考虑离散时间风险模型，特别地，把每时期的盈利作为复合负二项随机随机序 列引入模型，使问题的研究更具一般性。本章通过构造鞅并使用鞅的有关性质，得到了 破产概率所满足的l u n d b e r g 不等式及其一般公式，并利用递推方法对该模型作了比较全 面的探讨，得到了破产时刻分布、破产前赢余的分布、有限时间内的破产概率与最终破 产概率等具体表达式。 3 1 模型的建立 设“为保险公司的初始准备金，b 】内保费收取过程 m ( n ) ) 二为参数o ，p 。) 的负二 项随机序列；保费收入为 置) ：，；理赔过程 ( n ) 准。为参数( 竹，p 2 ) 的负二项随机序列； 单位时间理赔量为 巧) 二，； m ( n ) 二。与 ( n ) ) ：。相互独立， 置 二与 ：。相互独立， 令 l )i l u o ) = “+ 置一= “+ c ( n ) 一s ( n ) 则 u ( n ) ) ：。即为我们讨论的复合双负二项风险模型。 定义y ( n ) = 5 ( n ) 一c ( 一) ，于是u ( 一) = “一矿( 行) 为保证公司稳定经营，需满足e 心) 层0 ，) ，即仍吼h n g ：鸬 其中“= e x 】，总= 科卅。 3 2 调节系数与破产时刻定义 定义调节系数为e ，呻 = 1 的解。 令g ( ，) = e r g o ) 一1 ，由g ( r ) 是连续函数，g o ) = 0 ，g ( 1 ) ：旦丝丝二幽 1 ，使g ( 五) = 0 ，即e 月7 1 = 1 ，称r 为调节系数。 2 0 山东科技大学硕士学位论文复合双负二项风险模型 定义丁为破产时刻，表示保险公司的盈余首次小于零的时刻。 ，= 埘扣 o ，u ( ，z ) o ，【厂( ”) 0 ，约定丁= m 。 3 3 有限时间内的破产概率 破产理论中关于最终破产概率的研究较多，由于有限时间内的破产概率通常不容易 得到，因此对这个问题的研究就成了人们所关注的话题。以下，对这一问题进彳亍讨论。 定义保险公司在时刻n 或n 以前破产的概率为 帆 ) = p 丁”) 则直到时刻胛未破产的概率为 杰( “) = 1 一i 。u ) = p 丁 n 我们对y ( n ) 为连续型随机变量的情况进行讨论： 不难验证 y ( n ) ) 二。是一个具有齐次独立增量的随机序列a 定义形o + 1 ) = 矿o + 1 ) 一矿0 ) ， 形( n ) 二。是相互独立且与矿( 1 ) 同分布的随机序列。 则： 丸0 ) = p r n ：p v 0 ) - o ，u ( 2 ) - o ，u o ) o ：e v o ) - 3 = p 矿( 1 ) - u ，y ( 2 ) “，矿( 3 ) 甜) = 尸 y ( 1 ) ，矿( 1 ) + 阡7 ( 2 ) ”，矿( 1 ) + ( 2 ) + ( 3 ) “) = l p w ( 2 ) - n ) = 杰一。( - y ) d h ( y ) 于是，得到计算有限时间内破产概率的递推公式为 依次递推，得 ( ”) = 1 一萌( u ) = i - h ( u ) y ：0 ) = 1 一办0 = i - 破0 - y ) d h ( y ) = 1 一( 1 一0 - y ) 矽( y ) = l 一日( “) 七( “一y ) d h ( y ) 虬 ) = 1 一纯0 ) = l 一日 ) + 眠一。0 - y ) d h ( y ) 3 4 破产时间的分布 如果能够得到破产时刻的分布，就能够对破产发生的时间有一个清楚的认识，保险 公司就能够事先采取措施来避免出现财务困境。 r 为破产时间，它的分布为 识( ”) = p r = n 由前面的结论知： 砚“) = p r = 1 ) = p u - v ( 1 ) “一y d h ( y ) = 锻 一y ) d h ( y ) 仍( “) = 尸 丁= 3 = p y ( 1 ) 墨钟，y ( 1 ) + ( 2 ) 墨“，矿( 1 ) + f 矿( 2 ) + 降7 ( 3 ) “) = p 矿( 2 ) “一y ，矿( 2 ) + 矿( 3 ) “- y d h ( y ) = 仍0 一y ) d h ( y ) ( “) = p r = 小= ( “- y ) d h ( y ) 3 5 破产前盈余的分布 保险公司的财务状况和偿付能力问题是保险人和被保险人都十分关心的问题，为了 坐查登垫奎兰堡圭堂垡笙茎 墨垒翌垒三堕墨堕堡型 了解保险公司出现入不敷出的起因，研究保险公司破产前的瞬时赢余状况是非常必要的。 自从1 9 8 8 年d u f r e s n e g 和g e r b e r 首次引入这一概念以来，此问题一直是破产理论中的重 要研究课题，受到诸多专家学者的瞩目。 用u 。表示破产前的盈余，任取正实数石，则破产前盈余的概率分布 尸 u ( r 一) x ，r x , t x ，t 工，丁 x ，= 一 = p 矿o ) “，矿。一1 ) “，r ( 1 ) “，矿( 1 ) “一砖扭( s ) = 。可二洒( s ) = 蕊鬲妞g ) 一f - ；而j 妞0 ) a ( u ，工) = p 矿( 3 ) 地矿( 2 ) “，矿( 1 ) +