（概率论与数理统计专业论文）分形渗流中的若干问题探究.pdf

摘要 分形渗流是由b b m a n d e l b r o t 引入，后来被专家j t c h a y e s ，k j f a l c o n e r ， 和f m d e k k i n g ，g r g r i m m e t t 等人深入研究，并把该过程称为m a n d e l b r o t s 渗 流过程m a n d e l b r o t s 渗流模型和随机s i e r p i n s k i 地毯模型是分形渗流中的两个主 要模型它们的建立，一方面大大扩充了概率论的研究领域；另方面为统计物理 提供了严格的数学根据 经过m a n d e l b r o t 等人的努力，分形的研究已取得大量重要成果本文构造了 一种新的类似于随机s i e r p i n s k i 地毯模型的渗流模型，连同m a n d e l b r o t s 渗流模 型，我们考虑这两种随机分形上的渗流问题，证明其渗流临界值的严格不等式关 系本文得出当_ 。o 时，夏( ) _ + 1 ，再结合已有结论，得出当充分大 时，r ( ) 夏( ) ，其中m a n d e l b r o t 8 渗流模型的l 临界值用r ( ) 表示 关键词：m a n d e l b r o t s 渗流过程，随机s i c r p i n s k i 地毯，临界概率，开路 i i 摘要 a b s t r a c t f r a c t a lp e r c o l a t i o nw a si n t r o d u c e db yb b m a n d e l b r o t ，a n ds u b s e q u e n t l ys t u d i e db yj t c h a y e s ，k j f a l c o n e r ，f m d e k k i n ga n dg r g r i m m e t te t c t h e yc a l l e d t h i sp r o c e s s 。m a n d e l b r o t sp e r c o l a t i o np r o c e s s ”b e s i d e st h i sm o d e l w ea l s oh a v e r a n d o ms i e r p i n s k ic a r p e tm o d e l t h e ya x 0t h et w om o r ei m p o r t a n tm o d e l si n f r a c t a lp e r c o l a t i o n o n eh a n d ，t h ec o n s t r u c t i o no ft h e s et w om o d e l se x t e n d st h e r e s e a r c hr i d d so fp r o b a b i l i t y ；o nt h eo t h e rh a n d ，i tp r o v i d e sm a t h e m a t i c a lb a s - i sf o r s t a t i s t i c a lp h y s i c s b yt h ee f f o r to fb b m a n d e l b r o ta n do t h e rs c i e n t i s t s ，t h e ym a d eg r e a ta c h i e v e - m e r i t so nt h es t u d yo ff r a c t a lp e r c o l a t i o n i nt h i sa r t i c l e ，w ec o n s t r u c tan e wp e r c o l a - t i o nm o d e l w h i c hi ss i m i l a rt or a n d o ms i e r p i n s k ic a r p e tm o d e l ，w i t hm a n d e l b r o t s p e r c o l a t i o nm o d e lw ec o n s i d e rt h ep e r c o l a t i o np r o b l e m so nt h e s et w om o d e l s ，a n d f i n dt h es t r i c ti n e q u a l i t yr e l a t i o no ft h ep e r c o l a t i o nc r i t i c a lv a l u e i nt h i sa r t i c l e ，w e i m p r o v e ：w h e nn o o ，w eh a v e 只( ) - 1 t h e nw ec o n c l u d e ：w h e nn i sl a r g e e n o u g h ，p c ( n ) 夏( ) w eu s ep c ( n ) t od e n o t et h ec r i t i c a lv a l u eo fm a n d e l b r o t s p e r c o l a t i o nm o d e l k e yw o r d s ：m a n d e l b r o t 8p e r c o l a t i o nm o d e l ，r a n d o ms i e r p i n s k ic a r p e t ，c r i t i c a l p r o b a b i l i t y , o p e nd u s t e r 首都师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明。所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工 作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体 已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名： 粕奸 日期0 d 喀年乡月孑d 日 首都师范大学学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论 文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文 的内容编入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的 学位论文在解密后适用本规定 学位论文作者签名 嘞、唧 1 日期2 口嘧年分月孑。日 己i 古 ji 口 在这一章里，我们给出了分形渗流的背景及近三十年的主要成果 o 1随机分形的提出 1 9 7 4 年，m a n d e l b r o t 在【0 ，1 1 2 中引入一个叫。c a n o n i c a lc u r d i n g ”的过程，参见 著作【1 3 】事实上，此类问题的研究可以先从典型的c a n t o r 集入手经典的“m i d d l e - t h i r d ”c a n t o r 集，是指中间的a 3 被删掉，剩余的部分按这种做法继续，最终得到 的一个疏朗集c 现在我们把经典的c a n t o r 集随机化，即不指定中间的以概率l 删掉，而是以p ( 0 ，a ) 保留下【0 ，1 】区间的任意一段，也就是三段中的每一段独立 地以概率p 保留下，以概率口( = 1 一p ) 删掉迭代此过程，这样我们就得到了随机 化后的c a n t o r 集 以上经典的c a n t o r 集和随机c a n t o r 集是在1 维时的情形，我们不妨想象一下 2 维情形下的随机c a n t o r 集是什么样子 从2 维情形下的【0 ，1 】【0 ，1 】的单位正方形开始，第一步，把它甲均分成n xn 个子正方形，为方便，我们不妨观察当n = 3 时的情形，这些子正方形独立地以概 率p 保留下，以概率g ( = 1 一p ) 删掉；第二步，把刚才保留下的每个子正方形再平 均分成3x3 个更小的正方形，这些更小的正方形同样独立地以概率p 保留下，以 概率q ( = 1 一p ) 删掉这样如此迭代该过程，得到个极限集得到这种极限集 的过程就称为随机分形过程 当d 2 ，n 2 ，0 p 只( d ) 只( d ) = s u p p ：o ( p ) = o ) = i n f p ：口扫) o ) 定理1 2 1 若d 2 ，则0 p c ( d ) o ) 对于c k 的构造描述有多种，但实质上尾一致的，我们采用其中一种较简单的 描述 当d ；2 时 = i o ，1 1 2 ，1 t ，歹n ， 拶= i 矿- 1 ，丙i 】【等，如 p ( 驴= 1 ) = p ，p ( e 驴= o ) = 1 一p 如果驴= 1 ，则b 妒被保留下 c 卅= u 拶， s 妒= 1 拶1 = c ，n ( u 磷h 2 ) ， e 一= ， 其中 硝= 【万i - 1 ，丽i 筝，知 引言 此时1 l ，j n 2 ， 此时1 i ，j n “， 掣kc 墨n ( ub 驴一) ， 幻 c 驴一= 1 p ( g n = 1 ) = p ，p ( e 驴一= o ) = 1 一p 其中e 黟伽与e 驴”相互独立，硝1 ，矽，是紧的减集序列，这里 凹= n 谬1 n 5 6 、分形渗流模型补集的提出及连通性质 我们已经比较熟悉m a n d e l b r o t sp e r c o l a t i o n 的例子，它是c a n t o r 集概念的推 广，由b m a n d e l b r o t 引入，随后被j t c h a y c sl c h a y c s ，r d u r r e t t ，g r g r i m m e t t ， f j f a l c o n e r 等人深入研究，参考文献【1 l ，【4 】，【5 】，【7 】，【1 5 1 。f 1 6 1 特别地，c h a y e s e ta l 在f 3 】中引入了随机c a n t o r 集中。s h e e tp e r c o l a t i o n ”的概念，它等同于补集 d 上没有连通路径 我们通过以下迭代过程，构造随机集dcr d ( d22 ) 固定某n n 和 p ( 0 ，1 ) 把空问分成棱长为1 的闭集立方体，此时称它为l e v e l 一0 立方体，这些 立方体以概率p 独立地被选中，所有被选中的l e v e l 0 立方体组成的集合记为d o 然后把每一个没被选中的l c v c l 0 立方体分割成d 个相同的立方体，棱长为， 这些分割后的立方体被叫做l e v e l 一1 立方体同样地。每个l e v e l 一1 立方体独立地 以概率p 被选中，这样连同被选中的l e v e l 0 立方体，记为集合d 1 迭代这个过 6 引言 程，得到d ocd 1cd 2c 其中d = d i lu 被选中的l e v e l i 的立方 体 ，l e v e l - i 的立方体的棱长为一，其中i = 0 ，1 ，最终我们得到一个随机集 0 0 d = d ( d ，n ，p ) ：= ud “ 我们称这个模型渗流发生，如果几乎处处存在一条连续路径，y ：r _ d ，使得 在任意有限盒子里都不能包含1 实际上。( r d d ) f 、【o ，l 】d 是标准的m a n d c l b r o t s 随 机分形称两个立方体是邻接的，如果它们至少有一个公共点，则被选中的l e v e l 0 立方体中的渗流相当于蜊中的点渗流 令p e r = 孙( d ) 为m d 中的点渗流的临界概率，其中m d 为d 维网格，它 是由格点集和边集础组成的蜊集有如下邻接关系t 对m d 中的两个顶点 z = ( x l ，x 2 ，x d ) 和y = ( y l ，抛，抛) 是邻接的，当且仅当i x i 一饥i 1 ，i = 1 ，2 ，d 定理0 2 1 对任意c c c r ，存在r o = r o ( c ) ，使得对所有的r r o ，在随机 集u 中没有渗流发生 该定理中的随机集u 是指r d 中的p o i s s o n 多尺度渗流模型的极限集，详见文 献f 1 4 1 - 定理0 2 2 ( m e o r z e c h o w s k i 1 5 ) 对任意p p e r ，存在n o = n o ) ，使得对 所有的n n o ，在随机集d 中没有渗流发生 定理的证明详细见m v m e n s h i k o v 等人的文章f 1 4 】 0 3随机分形渗流模型已有结果陈述 m a n d e l b r o t 在早期主要研究带有自相似结构的c a n t o r 集，并在【0 ，l 】2 中引入 名叫。c a n o n i c a lc u r d i n g ”的过程，j t c h a y e s 等人把该过程称为m a n d e l b r o t s 渗 流过程，详见f l j 他们证明了当p 嘉 定理1 - 1 2 令p 击，在c k 妒的前提下。c k 的h a u s d o r f f 维数满足下式， 兹m h ( 氏) = 丽l o gn 2 p = 2 + 器 这两个定理在文献【1 1 和g r g r i m m e t t 的著作【1 2 】分形渗流章节有提到过， 我们将在第三部分证明定理1 1 2 定理1 1 3p 专，若z 不能写成而m 的形式( 其中m ，钆为正整数) 。那么 p ( 氏n 似【o ，1 】_ ) = 1 定理1 1 4 如果p 0 ，即当p = p c 时，p ( 2 1 ) 0 定理1 1 5 ，定理1 1 。6 ，定理1 1 7 的证明详见文献f 1 1 第一章已有结果及相关工具 1 2 相关工具 9 我们首先引进一些记号； 令r j , k = p 在 1 ，j ) 1 ，k ) 通过开点有一条从左到右的路) ，其 中每个点之间是相互独立的，以p 开，以1 一p 闭 引理1 2 i ( f k g 不等式) 若事件a ，b 为增事件，则咋( a n b ) 之昨( a ) p p ( b ) 引理1 2 2 ( b k 不等式) 若事件a ，b 为增事件，则吒( a ob ) 昨( a ) p p ( b ) 以上两个引理为渗流学习方法中的常用不等式，在g r g r i m m c t t 著作【1 2 】中 有详细说明 引理1 2 3 ( 平方根技巧) 若事件a l 。a 2 为增事件，a = a iu a 2 ，p ( a 1 ) = p ( a 2 ) ，则p ( a 1 ) = p ( a 2 ) 1 一、1 一p ( a ) 证明：由f k g 不等式及p ( a 1 ) = p ( a 2 ) 可得： p ( a ) = p ( a lu a 2 ) = p ( a 1 ) + p ( a 2 ) 一p ( a 1n a 2 ) 冬2 p ( a i ) 一p ( a 1 ) 2 所以，1 一p ( a ) l 一2 p ( a 1 ) + p ( a 1 ) 2 = ( 1 一p ( a ) ) 2 ，整理即得结论 引理1 2 4 ( 相当于r s w 引理) 如果r l 工1 一，则r k l ，l l k ( ) ，其 中h k ( e ) 与是独立的，且当g _ 0 时，( e ) 一0 引理1 2 5 ( 相当于a c c f r 引理) 如果f 2 l ，工0 9 9 ，则r 2 k l 。炉一i l 1 一 去唧( 一2 b 1 ) 引理1 2 4 ，引理1 2 5 对定理1 1 6 ，定理1 1 7 的证明具有重要意义 为了证明引理1 2 4 ，我们首先证明： ( 1 ) 对某个k 1 r 垂，l ( 1 一( 1 一r l ) ) 3 ( 2 ) 对某个k 1 ，1 一f k l l 3 ( 1 一r 笪# l , l ) ( 1 ) 的证明用到了事件的独立性和h a r r i s 不等式 1 0 第章已有结果及相关工具 围叭) 根据上图，定义事件如下， 记岛为“s 是一条 0 ，叫x 0 ，l 】中的从左到右的最低路”这个事件，研为 s 中从最后离开 【o ，l 】到最先到达 l ) xf 0 ，l 】的那一部分路径，s r r 表示 s 通过 l 】x 0 ，纠对称得到的那部分路径( 图中虚线部分) ，4 ( sus ) 表示在 l 厶 纠【o ，l 】中且严格在s , u s , ，之上的点的集合，b ( s ) 表示在p ，q f o ，纠中 且严格在s 下的点的集合( 即图中的阴影部分) ，f s 表示。从【；厶，；剀x l 出发， 经过彤( s u s ，) - s ( s ) 连接到s ”这个事件，g 表示“对所有的s ，互0 n 砖的并， 而且s 的起点的纵坐标；l 。( 如图( a ) 中所画) ，h 表示。在【厶；l 】x 【0 ，叫 中有一条从左到右的路且起点的纵坐标 l ” ( 1 ) 的证明：利用h a r r i s 不等式，有 p ( c f qh ) p ( g ) p ( h ) 利用平方根技巧。 p ( h ) 1 一( 1 一r 厶l ) 考 为估计p ( g ) ，我们有 p ( g ) = p ( e s n f s ) = p ( e s ) p ( p s l e s ) s s 如果用尽表示在4 ( s u 器) 中有一条路从【；三，荟3 翻x l 到达s 。则 p ( f s i b ) = p ( 砖) p ( 玛) 第章已有结果及相关工具 再由平方根技巧，得出 则 p ( 巧) 1 一( 1 一r 厶l ) p ( e s ) 1 一( 1 一r 耻) 墨 s r g 工，l 之p ( gn 日) 之p ( g ) p ( h ) p ( 日) p ( e s ) p ( f s l j z s ) s p ( 日) p ( e s ) p ( r s ) p ( 日) p ( 马) p ( 毋) ( 1 一( 1 - r l ，l ) ) 3 ss 1 1 ( 2 ) 的证明t a i 表示事件“在f o ，华纠【0 ，纠中有一条路。，a 2 表示事件。在【t k - 1 lk l 【0 ，纠中有一条路”，a a 表示事件。在【等厶孚叫x 【0 ，纠中有一条路”，我们用 到如下事实 p ( u 鬈) p ( 佩r 华“ i = 1i = 1 得出 33 1 一f k 厶。l = p ( ua ；) 乏二p ( a ；) 2 ( 1 一r 冬笋l ，l ) + ( 1 一r 厶工) 3 ( 1 一r 每笋l ，l ) i = l i = 1 引理1 2 4 的证明： 联合( 1 ) ( 2 ) 得出- r l ，l ( 1 一( 1 一r l ，l ) ) 3 1 一f 2 l ，l 3 ( 1 一r 厶) 1 一r 3 厶l 3 ( 1 一f 2 l ) 1 一f 4 l 工3 ( i r 厶l ) 号1 一f 4 l ，l 3 ( 1 一f z l ，l ) 当k 芝3 时，有 竿k l ( k _ 1 ) l 1 2 第章已有结果及相关工具 则 1 一r k 厶l 3 k - 3 ( 1 一r 3 工，l ) 53 k - 2 ( 1 一r 2 l , l ) 3 k - i ( i r ；厶l ) s3 k - i f l 一( 1 一( 1 一r 厶l ) ；) 3 1 f k l ，l 1 3 k - i i 一( 1 一( 1 一r 厶l ) ) 3 】 如果r 厶工1 一e ，则 f k l , l 1 3 k - 1 1 1 一( 1 一e ) ) 3 】 令k ( ) = 3 k - i l l 一( 1 一j 1 ) ) 3 1 ，则h k ( e ) 与l 无关，且当_ 0 时，( ) _ 0 为了证明引理1 2 5 ，我们首先证明： ( 3 ) 1 一f 4 l ，ls5 ( 1 一f 2 l ，三) ( 4 ) r 4 l ，2 l 1 一( 1 一f 4 l ，l ) 2 ( 3 ) 的证明； ，江爪 、u 卡 广_ 1 、 o l 2 l 观察上图，如果图中所示的五条路存在，则存在一条从左到右的路，即 55 1 一r 4 舢= p ( u 鬈) p ( 鬈) = 3 ( 1 _ r 2 l l ) + 2 ( 1 一f l , l ) 5 ( 1 一r 2 l , l ) i = 1i = 1 ( 4 ) 的证明t a 1 表示事件“在 1 ，4 l 】f 1 ，l 】中有一条开路”，a 2 表示事件。在 1 ，4 l 】 陋+ 1 ，2 l 】中有一条开路”，有p ( a 1 ) = p ( a 2 ) 。a 1 ，a 2 为相互独立的事件，且 p ( a 1 ) f 4 l l ，则 2 1 一f 4 l ，2 工= p ( na ；) = p ( a ：) p ( a ；) = 【1 一p ( a ，) 】2 ( 1 一r 4 l , l ) 2 ， i = 1 第一章已有结果及相关工具 即f 4 l 2 l 之1 一( 1 一i 4 厶l ) 2 引理1 2 5 的证明t 联合( 3 ) ( 4 ) 得出t f 4 l 2 l 1 2 5 ( 1 一r 2 厶，l ) 2 如果i 2 l ，l = 1 一龛，其中入 1 - 1 2 5 r s l , 4 l i - 2 5 ( i - - f 4 l , 2 l ) 2 1 一薹 依此类推， f 2 k l , 2 k - l l 1 二互1 ae x p ( 2 l o ga ) 令入j ，则l o ga l o g 0 ”感兴趣 定义r ( m ) = i n f p i r 圣( 力 o ) 2 2已有重要结论 引理2 2 1 给定个b e m o u u i 随机代换，且让西( 1 ) 是增集，假设畚丌lo ) k 1 i 二 1 6 第- - j r 本文妁主要结论及其证嘎 引理2 2 1 为以后下面引理的证明提供了很大的帮助t 引理2 2 2 p 4 ，5s 0 8 0 8 5 引理2 2 30 8 1 2sr b 0 9 9 1 这两个引理下界是通过分支过程技巧证明的，上界是通过引理2 2 1 的技巧得 到的，参考文献【7 】 2 3本文的主要结论及其证明 我们要解决的同题t 现在我们构造另外一种类似于随机s i e r p i n s k i 地毯的随机集，即d = 2 ，瓦= 0 ，1 1 2 ，每次划分对边界上的子正方形以概率p 留下，菲边界的子正方形以概率l 挖 掉，如下图所示 迭代此过程，最后得到瓦，对应的临界概率为一p c ( n ) 。当n = 3 时，乙暑恰好 为随机s i e r p i n s k i 地毯， 利用类似于引理2 2 2 ，引理2 2 3 的证明的方法，可以有以下结论， 定理l 当一。o 时，砭( ) _ 1 证明：( a ) 我们能证明出当n = 4 时，0 8 5 0 耳( 4 ) 0 9 9 6 再根据引理 2 2 3 ，0 8 1 2 r 6s0 9 9 1 ，我们归纳得到；当叶o 。时，临界值接近1 第二章本文的主要结论及其证明 1 7 现在只证明0 8 5 0 夏( 4 ) 0 9 9 6 ，下界是通过分支过程技巧证明的，上界是 通过引理2 2 1 的技巧得到的 先证瓦( 4 ) 0 8 5 0 s ，s s - v 、 s ! & s b s 表示第竹次划分后由相邻而且开的两个。l e v e l 1 1 ”正方形组成的矩形，s 1 ，岛为 第n + 1 次划分后相邻而且开的两个。l e v e l 一( n + 1 ) 。正方形组成的矩形，岛，瓯，民 为第n + 1 次划分后分别在特殊位置的。i c v e l - ( n + 1 ) 。正方形，如上图所示 我们称s 。是可通过的。如果 ( 1 ) 研和昆都是开的； ( 2 ) 的右边能通过划分后开的正方形连通到& 或岛 同样可以定义是可通过的对佗2 ，我们用磊表示这种可通过的由n 次 划分得到的正方形的个数，则磊是一个分枝过程如果该过程灭绝，就不可能有 渗流发生因此我们有必要去研究它的后代分布情况现用m 表示其中的可通过 的矩形个数，则m = 0 ，1 ，或2 我们先说明当m = 1 时，有多少种可能的情况如下图所示，其中阴影部分的 正方形表示开的正方形；。c 。表示闭的正方形；。a ”表示这些正方形不允许全开； 。d 。表示这些正方形不允许全开，但它们中至少有一个开。名”表示这些正方形至 少有个是开的分为以下五种情形， 第二章本文的主要结论及其证踢 獭钐 a aaa 田【1 ) 钐獭殇 c 髟 形形 c 圈( 3 ) 獭形 c 钐形 c彩 a a aa 圈t 2 彩缴形 c 彩 a a a形 彩黝形 d a a 形獭钐 d c 5 田e 4 当m = l 时，每种情形的概率为矿( 1 一矿) ，p s ( 1 一p ) 2 ( 1 一矿) ，p s ( 1 - p ) 2 ，p s ( 1 一 p 3 ) ( 1 一p ) ，2 p 9 ( 1 一矿) ( 1 一p ) 由于图( 1 ) 、图( 2 ) 、图( 3 ) 、图( 4 ) 分别还有上下 翻转过来的类似情况，所以m = 1 的概率为， p m = 1 ) = 2 p 5 ( 1 一矿) + 2 p s ( 1 一p ) 2 ( 1 一p 4 ) + 2 p 8 ( 1 一p ) 2 + 2 p 8 ( 1 一p 3 ) ( 1 一 p ) + 2 p 9 ( 1 一护) ( 1 一= 妒+ 6 矿一1 0 1 2 户+ 2 p l o 一4 p l l + 2 p 1 2 + 4 p 1 3 2 p 1 4 当m = 2 时，有以下三种可能的情况，如下图所示， 第二章本文的主要结论及其证明 彩黝形钐 a a 钐獭形钐 圈c 獭钐 z 髟 獭殇 z 髟缀形 c 钐彩 c钐 钐獭殇 量t 口1 置7 m = 2 时的概率为t p m = 2 = p l o ( 1 _ p 2 ) + p l o ( 1 一( 1 一p ) 2 ) + 2 p 1 2 ( 1 一p ) 2 = p l o + 2 9 1 1 4 p 1 3 + 2 p 1 4 e p m = 2 p 5 + 6 ：矿一10 _ 矿十砌1 0 一知1 1 + 印1 2 + 卸1 3 2 p 1 4 + 印1 0 _ _ 4 p 1 1 - - 8 p 1 3 + a p l 4 = 矿( 1 + 3 p 3 5 p 4 + 2 p 5 + p 7 一矽+ 矿) 当耳m 1 时，该分枝过程灭绝，此时p 0 8 5 0 ，显然要使有渗流发 生，只( 4 ) 0 8 5 0 再证r ( 4 ) 0 9 9 6 当n = 4 时，每次划分后至少留下1 1 个正方形，如下图： 彩獭形黝 缓 缓彩 獭髟彩缴钐 圈l ， 第二章本文的主要结论及其证踢 根据前面定理及引理2 2 1 ，我们有 7 r l p ) = p 1 2 + q 1 2 1 p 1 1 ( 1 一p ) = p 1 2 + 1 2 p 1 1 ( 1 一p ) = p n ( 1 2 一l l p ) 锦( z )= 7 r l ( p x ) = p l l x l l ( 1 2 1 l p x ) z 姜g p ( z ) = 1 2 x l l p n x n ( 1 一矽) z 昙锦( z ) = q ( z ) 得出p x = 器= 面1 2 0 ，z = q ( z ) = ( 面1 2 0 ) 1 1 0 2 1 1 塑1 2 1 ) 0 9 9 5 7 ， p = 播茜( 器) 1 1 ，只( 西) = 茜( 望1 2 0 、1 0 0 9 9 6 综上， o 8 5 0s p c ( 4 ) 0 9 9 6 ( b ) 当_ c x ) 时，s ，岛为由一2 个。l e v e l ( n + 1 ) ”的正方形拼成的长方形，如 下图所示 兵 朴正，r 膏 p 岛或岛是开的) = p 一2 _ 0 ，n _ ，从而 耳m 一2 _ 0 ， 即当_ o o 时，分枝过程灭绝，所以 只( ) 一1 ，n _ 。o 定理2 当充分大时，p c ( n ) 只( j v ) 任取， 1 一结，只要充分大，c 中 有渗流发生，则矿 只( ) ，所以有只( ) 1 一p e r ，其中p c r = p 盯( d ) 为m d 中 的点渗流概率，是常数再由定理1 ，得出只( ) 夏( r ) 猜想当n = 3 时，我们知道p o ( 3 ) g 夏( 3 ) ，当n 充分大时只( ) 萨1 ，在c k 的前提下，c 的h a u s d o r f f 维数满足下式t 姗日( 氏) = 可l o gn 2 p = 2 + 器 证明需要如下引理( a ) ( b ) ，引理( a ) ( b ) 的证明详见k j f a l c o n e r 的著作 引理( a ) 假定开集条件u & ( y ) cv 对压缩比为k 的舻上的相似变换成 i = 1 t n 立，如果c 是不变集，即满足c = u 最( c ) ，则d i m nc = d i m 且c = 8 ，其中3 由 i = 1 m = 1 给出，并且对这个值s ，0 7 - 1 8 ( c ) o o i = 1 引理( b ) 集c = ng 为空集的概率为t o 。t o 足下面多项式方程的最小非负 根 m ) = p ( m = 歹) = t j = o 以概率1 一t o ，集c 的h a u s d o r f f 维数与盒维数，由下面方程的解给出。 慨( 瓯) = 警一寒 p c m = 歹，= ( ；) 矿c - 一p ，9 一歹 三r ( 1 - p ) 9 - j t j - - - - - ( - - 1 - p ) 9 l = 垮 m 舢 甄 9!l = 第= 章相关结论及新证明思路 程 a 中的每个正方形的边长都为，则 m m 1 = e ( 垮) = e ( 3 一。) = 3 - 。e ( m ) = 3 8 9 多 j = oj = o 得出如果ps 虿1 ，则t o = 1 ，如果5 p 1 ，则0 t o 1 ，并且以概率1 一幻， a i m 日掣m b = 等= 2 + 寒 定理1 1 3 当p 专，若z 不能写成器的形式( 其中m ，n 为正整数) ，那么 p ( 氏n 1 【z 【o ，1 】= 们= l 证明：令鹰为g 中那些被 z ) 【0 ，1 】穿过的方块， 端，n o ) 为分枝过 静 p ( u 鬈= o ) ) = p ( c n z 【o ，1 1 = ) = 1 n = 1 筲= 1 ，a 芋一6 ( ，p ) 对任意的z 焉( 其中m ，n 为正整数) ，则有 p ( 存在c k 中的曲线穿过 z 【0 ，1 】) p ( 钙：n o ) 不死光) 当p 专时，p ( a ：n o ) 不死光) 0 则 p ( 存在氏中的曲线穿过 z 【0 ，1 】) 即 p ( 氏n ( z 【0 ，1 1 西) = 1 定理1 - 1 4 如果p 赤，则最大连通元是一个点 证明：p l 注其中若z = 焉( 最简形式) ，表示当n n o 时，扛 0 ，1 1 为c k 中方块的边界 定理1 1 71 5 7 ( p c ) 0 ，即当p = p c 时，p ( q 1 ) 0 证明：利用反证法 若p b ( q 1 ) = 0 ，则存在伽，使得 p b ( q p ) 虿e 0 ， 又由于( q p ) 为p 的连续函数，则存在p p c ，使得p p ( q p ) se o ，由定理 1 1 6 ，( q 1 ) = 0 ，这与p p c 矛盾 参考文献 【1 1j t c h a y e s ，l c h a y e sa n dr d u r r e t t1 9 8 8c o n n e c t i v i t yp r o p e r t i e so fm a n d e l b r o t sp e r - c o l a t i o np r o c e s s ，p r o b a b i l i t yt h e o r ya n dr e l a t e df i e l d s7 7 ，p p 3 0 7 - 3 2 4 【2 】j t c h a y e s ，l c h a y e s1 9 8 9t h el a r g e - nl i m i to ft h et h r e s h o l dv a l u e si nm a n d e l - b r o t sf r a c t a lp e r c o l a t i o np r o c e s s ，j o u r n a lo fp h y s i c sa ：m a t h e m a t i e a la n dg e n e r a l 2 2 ，p p 5 0 1 5 0 6 f 3 】j t c h a y e s l c h a y e s ，e g r a n n a n ，a n ds s w i n d l e1 9 9 1p h a s et r a n s i t i o ni nm a n d e l b r o t s p e r c o l a t i o np r o c e s si nt h r e ed i m e n s i o n s ，p r o b a b i l i t yt h e o r ya n dr e l a t e df i e l d s 9 0 ，p p 2 9 1 3 0 0 【4 】l c h a y e s1 9 9 5o nt h ea b s e n c eo fd i r e c t e df r a c t a lp e r c o l a t i o n ，j o u r n a lo fp h y s k s a ：m a t h e m a t i c a la n dg e n e r a l2 8 ，l 2 9 5 - l 3 0 1 i s ll c h a y e s1 9 9 6o nt h el e n g t ho fs h o r t e s tc r o s s i n gi nt h es u p e r - c r i t i c a lp h a s e ，s t o c h a s - t i cp r o c e s sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n s6 1 ，p p 2 5 - 4 3 【6 1f m d e k k i n ga n dg r g r i m m e t t1 9 8 8s u p e rb r a n c h i n gp r o c e s sa n dp r o j e c t i o n so f r a n d o mc a n t o rs e t s ，p r o b a b i l i t yt h e o r ya n dr