（应用数学专业论文）复合马尔可夫二项模型及其拓广模型的研究.pdf

复合马尔可夫二项模型及其拓广模型的研究 摘要 本文主要研究了复合马尔可夫二项模型和保单到达过程随机的广义复 合马尔可夫二项模型，探讨了这些风险模型的罚金折现函数，最终破产概 率，破产前一刻盈余分布，破产时赤字分布，相关性对风险模型的影响和 l u n d b e r g 不等式 第二章研究了复合马尔可夫二项风险模型，给出了有条件和无条件的 情形下，g e r b e r - s h i u 罚金折现函数的瑕疵更新方程，及初始准备金甜= 0 时 罚金折现函数的表达式，并且推导了有条件、无条件下最终破产概率，破 产前一刻盈余分布和破产时赤字分布的渐近解，及其初始准备金”= 0 时上 述概率的表达式，最后，得出最终破产概率所满足的l u n d b e r g 型不等式 第三章考虑一类保单到达为随机二项过程的广义复合马尔可夫二项 模型，得到了其生存概率的递推公式，相关因素对生存概率的影响，并利 用鞅方法得出了最终破产概率所满足的l u n d b e r g 不等式，给出了最终破产 概率的上界估计 关键词：g e r b e r s h i u 罚金折现函数更新方程马尔可夫二项破产概率相 关性渐近估计l u n d b e r g 指数上界 s t u d yo ft h ec o m p o u n dm a r k o vb i n o m i a lm o d e l a n di t se x t e n d e dm o d e l a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w em a i n l ys t u d yt h ec o m p o u n dm a r k o vb i n o m i a lm o d e la n dt h e r a n d o mp r e m i u mi n c o m eo ft h ee x t e n d e dc o m p o u n dm a r k o vb i n o m i a lm o d e lw e c o n s i d e rt h ed i s c o u n tp e n a l t yf u n c t i o n ，t h eu l t i m a t er u i np r o b a b i l i t y , t h ed i s t r i b u t i o no f s u r p l u si m m e d i a t e l yb e f o r er u i n ，t h ed i s t r i b u t i o no ft h ed e f l c i ta tr u i n ，r e l a t i v i t y s i n f l u e n c et or i s km o d e la n dl u n d b e r gi n e q u a l i t y i nc h a p t e rt w o ，w es t u d yt h ec o m p o u n dm a r k o vb i n o m i a lr i s km o d e lt h e d e f e c t i v er e n e w a le q u a t i o n sf o rt h ec o n d i t i o n a la n du n c o n d i t i o n a lg e r b e r - s h i nd i s c o u n t p e n a l t yf u n c t i o na r eo b t a i n e d ，a n dt h ef o r m u l a sf o rt h eg e r b e r - s h i nd i s c o u n t e dp e n a l t y f u n c t i o na r eg o t t e nf o ru = 0 m o r e o v e rw ed e r i v et h ea s y m p t o t i ce s t i m a t eo ft h eu l t i m a t e r u i np r o b a b i l i t y , t h ed i s t r i b u t i o no fs u r p l u si m m e d i a t e l yb e f o r er u i n ，t h ed i s t r i b u t i o no f t h ed e f i c i ta tr u i n ，a n do b t a i nt h ef o r m u l a so ft h e s ep r o b a b i l i t i e sf o r u = 0 f i n a l l y , t h e l u n d b e r gi n e q u a l i t yi sd e r i v e df o r t h er u i np r o b a b i l i t y i nc h a p t e rt h r e e ，w ec o n s i d e rt h ee x t e n d e dc o m p o u n dm a r k o vb i n o m i a lm o d e l w h i c ht h ea r r i v a lo fi n s u r a n c ep o l i c i e sf o l l o wt h eb i n o m i a lp r o c e s s w eg e tr e c u r s i v e f o r m u l a so ft h ei n f m i t es u r v i v a lp r o b a b i l i t i e sa n dr e l a t e df a c t o r si n f l u e n c et ot h e s u r v i v a lp r o b a b i l i t y al u n d b e r gu p p e rb o u n df o rt h eu l t i m a t er u i np r o b a b i l i t yi s o b t a i n e db yt h em a r t i n g a l ea p p r o a c h k e yw o r d s ：g e r b e r - s h i nd i s c o u n t e dp e n a l t yf u n c t i o n ；r e n e w a le q u a t i o n ；m a r k o v b i n o m i a l ；r u i np r o b a b i l i t y ；r e l e v a n c e ；a s y m p t o t i ee s t i m a t e ；l u n d b e r ge x p o n e n t i a l b o u n d 广西大学学位论文原创性声明和学位论文使用授权说明 学位论文原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下完成的，研究工作所取得的成果和相 关知识产权属广西大学所有。除已注明部分外，论文中不包含其他人已经发表过的研究 成果，也不包含本人为获得其它学位而使用过的内容。对本文的研究工作提供过重要帮 助的个人和集体，均已在论文中明确说明并致谢。 论文作者签名： 苏者褥 硼9 年月膨日 学位论文使用授权说明 本人完全了解广西大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即： 本人保证不以其它单位为第一署名单位发表或使用本论文的研究内容； 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本； 学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务； 学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文； 在不以赢利为目的的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。 请选择发布时间： 目卸时发布口解密后发布 ( 保密论文需注明，并在解密后遵守此规定) 做作者签名璐榴新签名：方蜘砂够年6 月胳日 广西大掣i 硕士掣啦论文 复合马尔可，墨二项模参芝及其拓广模型的研究 1 1 风险理论 第一章绪论 保险是一种重要的风险融资方法，风险理论产生于承包项目的可行性研究，它的发 展经历了很长时期，较为系统的理论形成始于l u n d b e r g 、g e r b e r , 他们建立了风险理论 和随机过程之间的联系保险风险理论主要研究来自保险商业的各种风险模型 经典风险模型通常表述如下：给定保险公司一定的初始资本，允许它承包具有某种 统计分布的风险，并允许它根据风险的特点连续地( 或者离散地) 收取相应的保费风险 理论主要从定量的角度研究保险公司经营的安全性一保险公司最终破产或在短期内破 产的概率有多大 按照对收取保费的方式的划分可以把风险模型分为连续模型和离散模型两种连续 模型采取连续收费的原则，即以时间为连续变化的量连续地收取保费离散模型采取离 散收费的原则，即以一定时间长度为收费的单位区间，在每一单位区间内只收取一次固 定保费讨论得最多的连续时间经典风险模型是复合泊松模型( c o m p o u n dp o i s s o n m o d e l ) 讨论得最多的离散时间经典风险模型是复合二项模型( c o m p o u n db i n o m i a l m o d e l ) ，复合二项模型假定在每一单位区间内索赔或者不发生，或者只发生一次 1 2 复合二项风险模型及其拓广模型的简介 完全离散的复合二项风险模型具体结构如下： 定义1 2 1 ：设“，ce n + ，给定在某概率空间( q ，f ，p ) 上的 ( 1 ) 取值于+ 的独立同分布随机变量】：，汪l ，2 ，其分布为 p ( y = j ) = 乃，歹= l ，2 ， ( 2 ) 具有参数p 的二项随机序列 ( 刀) ，刀o ，p ( o ，1 ) ，即它具有零初值、平稳 独立增量，且具有参数为p 、项数为刀的二项分布b ( 刀，p ) 如果 ( 厅) ，刀o 与 i ，i l 独立，记 广西大爿i 硕士掌位论文复合马尔可夫：复模型及其拓广模型的研究 ( n ) u ( 刀) = 甜+ 册一鬈，n = o ，l 1 一， f f i l 则称 u ( 玎) 二。为完全离散复合二项风险模型 实际背景：假定在保险公司的实务中 1 ) 在离散时刻玎进行最多一次赔付并收取保费，在连续时间段( 刀一l ，疗】中进行的赔 付以及收到的保费均视为在时刻刀进行的 2 ) 保险公司在时刻，l = 0 ，有初始准备本甜( 材o ) ，而且只通过收取保费而获得收 入，假定每单位时间有c 元的收入，仅有的支出是投保人发生事故后，公司对其赔付， 我们可假定： ( i ) 公司在时刻行进行赔付的次数厶为两点分布： p ( 厶= 1 ) = p ，p ( 厶= o ) = q ，n = l ，2 ， 其中，p + q = 1 n ( n ) 为到时刻刀为止赔付的总次数，即( o ) = o ，( 刀) = 五， k f f i l n = l ，2 ，在实际中， 厶，n = l ，2 ， 相互独立，因而，易证 ( 刀) ，刀o 是参数为p 的 二项随机序列 ( i i ) 记第f 次赔付量为z ，于是，到时刻刀为止的总赔付量s ( 刀) ：s ( 玎) ：型z ，其 中，若( 疗) = o ，约定s ( 刀) = o ，并且假定：e y = g + o o ，e s ( 刀) l 不再是相互独立的随机变量序列，而是状态空间为 o ，1 的齐次马氏链 时，上述模型就是复合马尔可夫二项模型【1 1 ，其详细定义见第二章 1 3 国内外研究现状 对于复合二项风险模型，许多文献进行了研究，如【2 1 3 1 ，g e r b e l ( 1 9 8 8 ) i 2 】首先提出， 并给出了破产概率的公式；之后，s h i u ( 1 9 8 8 ) 3 l 引入了不同的破产概率定义并推导出最 终破产概率；w i l m o t ( 1 9 9 3 ) 4 1 得到了该模型下的最终破产概率；d i c k s o n ( 1 9 9 4 ) 5 1 也推导 2 复合马尔可夫= 项模型反其拓广模型的研究 出该模型下的一些量；c h e n ga n dw u ( 1 9 9 9 ) 6 】研究了生存到固定时刻刀，在此时刻疗恰 好发生第k 次索赔，并且在此时刻 的盈余为某数x ( x 0 ) 概率；龚日朝和杨向群 ( 2 0 0 0 ) 7 l 还研究了有限时间的生存概率，破产时刻的赤字，破产瞬间前夕盈余以及破产 时为止理赔次数的概率分布；c h e n gs xg e r b e r ，a n ds h i u ( 2 0 0 0 ) 1 2 】研究了带折扣因子的 复合二项模型的破产概率；l i ua n dz h a o ( 2 0 0 7 ) 1 3 】研究了该模型的破产时刻、破产前一 刻盈余和破产时赤字的联合分布而对一些索赔相关的风险模型的研究也有一些结果， y u e nk c a n dg u oj y ( 2 0 0 1 ) 1 4 】将复合二项模型推广为有时间相依索赔的复合二项模 型，并求出有限时间破产概率的递推公式和在两种特殊情形下破产概率的表达式；x i a o y t a n dg u oj y ( 2 0 0 7 ) ”】则得出【1 4 】中模型的破产前一刻盈余和破产时赤字联合分布 的递推解，并给出最终破产概率的上界估计；c o s s e t t ee ta 1 ( 2 0 0 3 ) 1 】将复合二项模型推广 为复合马尔可夫二项风险模型，文章中求出了此模型下破产概率的递推公式以及破产概 率的l u n d b e r g 指数界；之后，c o s s e t t ee ta 1 ( 2 0 0 4 ) 1 6 l 得出复合马尔可夫二项模型无限时 间的破产概率是复合几何尾分布，并由此得出破产概率的上界以及逼近式，也给出了几 种特殊索赔分布下的破产概率的确切表达式g e r b e ra n ds h i u ( 1 9 9 8 ) 1 7 】首次提出了罚金 折现函数，由于它具有许多良好的性质，逐渐成为风险模型研究的热点之一，参见 1 8 2 3 】 等文献而研究复合二项模型中的罚金折现函数的文献有 2 4 - 2 6 等，研究复合马尔可夫 二项模型中的罚金折现函数的文献为l a m c h u e ny u e na n dj u n y io u o ( 2 0 0 6 ) 1 2 ，文中推 导了马氏链初始状态为l 时，罚金折现函数的瑕疵更新方程，及其与马氏链初始状态为0 时的罚金折现函数的关系，而后，研究了有条件的最终破产概率和破产前盈余与破产时 赤字的联合分布 1 4 本文的工作 经典风险理论的研究通常假定保险公司的风险，即损失额之间是相互独立的，甚至 是独立同分布的，这主要是为了数学处理上的方便然而，在实际经济生活中，我们经 常碰到的是个体风险间具有某种相依结构的情形例如：地震、台风、海啸等自然灾害 3 复合马尔可夫：炙模型及：j l t - 拓广模型的研究 往往会同时对某个地区居民的生命和财产产生普遍灾难性的影响、一起简单的交通意外 事故也不仅仅导致一个人的损失在很多情形下，个体风险由于受到某个共同因素的 影响而表现出特定的相依性因此对具有相依结构的风险进行研究具有很实际的意义 本文则主要研究具有相依结构的复合马尔可夫二项模型及其拓广模型，结构安排如下： 第一章绪论 第二章讨论了复合马尔可夫二项风险模型，首先我们用不同于 2 7 】中的方法得到 了有条件和无条件的情形下，g e r b e r - s h i u 罚金折现函数的瑕疵更新方程，及初始准备金 材= 0 时罚金折现函数的表达式，然后，根据离散更新方程理论研究了其渐近解，得到 了有条件、无条件下最终破产概率，破产前一刻盈余和破产时赤字的分布的渐近解，以 及初始准备金材= 0 时上述概率的表达式，最后，得出最终破产概率所满足的l u n d b e r g 型不等式，该不等式对经典结果作了进一步的改进 第三章研究了一类保单到达为随机二项过程的广义复合马尔可夫二项模型，推导 得到此模型生存概率的递推公式，以及相关因素对生存概率的影响，并利用鞅方法得出 了最终破产概率所满足的l u n d b e r g 不等式，给出了最终破产概率的上界估计 4 复分马尔可，o 二项模型及其拓广模型的研究 2 1 引言 第二章复合马尔可夫二项风险模型 众所周知，任何风险事业都是在随机环境中进行的，并且现实中索赔之间，索赔发 生之间不一定是相互独立的，有时存在一定的相依关系如相邻两次索赔发生之间具有 马尔可夫性，是指过程随着时间的改变一个状态会转移到另一个状态，具有如下的无记 忆性：过程到达一个特定的状态后再往下一个状态转移的概率不依赖于过程如何到达当 前状态的 本文对复合马尔可夫二项模型进行了研究，采用与【2 7 】不同的方法，得出有条件和 无条件下g e r b e r s h i u 罚金折现函数所满足的瑕疵更新方程，及初始准备金甜= 0 时罚金 折现函数的表达式，并利用所得结果首次给出一些重要破产相关量的渐近解 2 2 模型简介 在文献【l 】中给出了复合马尔可夫二项风险模型：记矾为保险公司在时刻 k ( k = o ，1 ，) 的盈余，假设 = + 七一瓯， ( 2 2 1 ) 其中，u ( o ) = “为初始准备金，是非负整数，每单位时间内收取的保费为1 ， = x + + 瓦，砭为第k 个单位区间内收到的总索赔额，假设每单位区间内至多可发 生一次索赔，随机变量k 表示为： 五= 摇 这里， 厶，七- 0 ，1 ，2 ， 不再是独立同分布的随机变量序列，而是状态空间为 0 , 1 的马 尔可夫b e r n o u l l i 随机序列，具有转移概率矩阵为： 广西大学硕士学位论文复合马尔可失二项模型反其拓广模型的研究 p = ( ( 1 。- 一万( 1 ) - ( 1 n 一 ) g q )万2 五三墨g = ( 2万+ ( 1 一万) g jl a 。 ( 2 2 2 ) 初始概率：p ( 厶= o ) = l - q ，尸( 厶= 1 ) = g ，g ( o ，1 ) ，万是相关参数( o _ t r 0 ： ( 1 + r ) q e x = 1 下面我们介绍g e r b e r - s h i u 罚金折现函数 ( 2 2 3 ) 设t = i n f k ：u k o 为破产时刻，若丁= 时，破产不发生；若丁 o o 时，记坼一。表 示破产前一刻盈余，i 坼i 表示破产时赤字，g e r b e r - s h i u 罚金折现函数表示为： m ，( 甜l i ) = e ( v r w ( 砷i v , r ) i ) & ) i o = f ) ，f = o ，1 ， 这里，w ( u 。，“：) ，o ，甜：o 是非负有界函数，1 ，( o q t ，那么，方程( 2 2 5 ) 存在大于l 的正根，且有且只有 一个，记为r ，称尺为调节系数详细证明参见c o s s e t t ee ta 1 ( 2 0 0 4 ) 蚓 注： = 0 时，方程( 2 2 5 ) 变为： ，= 矿( ，) + l q ， 它是复合二项风险模型的调节系数方程( 参见文献【6 】) 本文除了研究罚金折现函数外，还将探讨几个有关的概率规律如下：在初始准备金 为u 的条件下，保险公司有条件和无条件的有限时间内破产概率表示为： 和 j c ，：( u l i ) = p r ( t 1 t s o = “，厶= f ) = p r iu ( o ) t v o = ”，厶= fi ，f = o l ，( 2 2 6 ) ，疗、 七l l 并且最终破产概率： 和 缈_ ( “) = o - g ) 缈_ ( “l o ) + q t u 。( u 1 1 ) ( 2 2 7 ) y ( “l f ) = p r ( t o o l = “，j l d = f ) ，i = o ，1 ， ( 2 2 8 ) i v ( u ) = p r ( t o o lu o = “) ，y ( “) = 舰( “) ( 2 2 9 ) 7 广西大学司n b 掌位论文，：合马尔可夹= 项模型及其拓广模型的研究 和 和 初始准备金为 的条件下，保险公司在破产前一刻的盈余分布： f ( u ，x l l o = f ) = p r ( r o ， ( 2 2 1 0 ) f ( u ，x ) = p r ( t ；坼一l o ( 2 2 1 1 ) 初始准备金为u 的条件下，保险公司在破产时赤字的分布： o ( u ，y l i o = i ) = e r ( t o o ；i u t o ， ( 2 2 1 2 ) g ( u ，y ) = p r ( t o o ；i 坼i - o ( 2 2 1 3 ) 2 3 离散更新方程基本理论 离散更新方程的基本理论 一般形式的离散更新方程具有如下形式： “( 拧) = u ( n - i ) a ( i ) + b ( n ) ， n cn ， ( 2 3 1 ) i = o 其中， 口( 班， b ( o ) 为非负序列，且 口= 口( f ) l ， 一、， t = o 6 = b ( i ) o o ， r 一 当a = 1 时，则方程( 2 3 1 ) 称为正则更新方程， 当口 1 时，则方程( 2 3 1 ) 称为瑕疵更新方程 引理2 3 1 ：设 口( f ) ，f o 为满足更新方程( 2 3 1 ) 的非负非周期序列，记a = i a ( i ) ， i = o 如果： ( 1 ) a 1 ，则 ( 2 )口= 1 ，则 鲤“( 甩) = o ， ”= 薹掰( 珂) = 焉b i t ；1 0 一“ 溉“( 刀) = 妄 8 广西大学硕士掌位论文 复合马尔可夫二项模型及其拓广模型的研究 若五= ，则上述极限理解为0 2 4 罚金折现函数m ( u ) ，m ( u l i ) ，i = 0 ，1 更新方程的推导 和 定理2 4 1 - 对甜n ，罚金折现函数所( 材io ) 满足下面瑕疵更新方程： 所( 山) 2 喜所( 川i 。地t f ( 沪万户( + 啬扣) + 焉户( 川) 撕( 2 4 1 ) 这里，f ( 甜) = w ( u ，k - u - 1 ) f ( k ) 和 肌( o io ) 2 南f ( 1 ) 证明：考虑在第一个时间段( o ，1 】内索赔发生与否，可有： u + l o m ( u 1 0 ) = p o o m ( u + 1 1 0 ) + p o 。历( “+ 1 一七1 1 ) 厂( 七) + 风。w ( u ，k 一 一1 ) f ( k ) k - i k - u + 2 ( 2 4 2 ) = p o o m ( u + l l o ) + 风。坍( ”+ l 一七1 1 ) ( 七) + 风f ( “) ， ( 2 4 3 ) u + lo m ( u 1 ) = p i 。m ( 材+ 1 l o ) + a ，所( “+ l 一七1 1 ) 厂( 七) + a ，w ( u ，k 一“一l 沙( 七) k f f i l k f u + 2 = a 。m ( “+ l i o ) + a ，朋( 甜+ l j | 1 1 ) 厂( 七) + a 。f ( ”) ( 2 4 4 ) 对( 2 4 3 ) 、 ( 2 4 4 ) 两端同时乘以，并对“= o ，1 ，求和得： 和 , s 01o ) = p o o z 。1 ( 疡( zio ) 一m ( oio ) ) + 风z q 疡( zl1 ) 夕( z ) + 风。于( z ) ，( 2 4 5 ) 疡( z 1 1 ) = a 护- 1 ( ，；i ( z i o ) 一聊( o i o ) ) + a 。z - 1 历( z 1 1 ) 于( z ) + a 。彳( z ) ， ( 2 4 6 ) 这里，f ( z ) = 矿f ( “) h - | o 整理( 2 4 5 ) ，( 2 4 6 ) 变为： ( z p o o ) , 元o i o ) = p o 。，舜( z 1 1 ) 夕( z ) + 风，z f ( z ) 一p o o m ( o o ) ，( 2 4 7 ) 9 ，：合马尔可失二项模型及其拓广模型的研完 ( z a 夕( z ) ) 历( z 1 1 ) = a 。历( z l o ) + a 。z f ( z ) 一a 。m ( o l o ) ( 2 4 8 ) 将( 2 4 8 ) 代a ( 2 4 7 ) 中有： z-p钿)历(zi。)=po。夕(z)!生旦堡!三上旦皇；姜言篓铲+pbtzf(z)一p钿朋(。i。) 化简得： ( z - p o o ) ( z a 夕( z ) ) 一p o 易。于( z ) 历( z io ) = p o 。p l 。矿( z ) f ( z ) + 岛行( z ) ( z a 夕( z ) ) 一 ( z p l 。夕( z ) ) + 风p l 。夕( z ) 功( o i o ) ， 即 z 一一a ，夕( z ) + 石z 。尹( z ) 历( z i o ) = p o 万( z ) 一p o o 一万z 。于( z ) ) m ( o l o ) ( 2 4 9 ) 由上知z ：1 是方程+ a ，夕( ，) ：，+ 万王竽的根，所以， l p o o a 。夕( 1 ) + 万夕( 1 ) = o 故令( 2 4 9 ) 中z = l 有 p o 。( 1 ) = ( - , r ) m ( o io ) = p l 。m ( o io ) ， 即 m ( o l o ) 2 南科 方程( 2 4 2 ) 得证 将( 2 4 2 ) 代x ( 2 4 9 ) 得： z 一一a 。夕( z ) + 万z 。1 夕( z ) 历( z i o ) = 胁，行( z ) 一鲁( 一以。1 夕( z ) ) 孑( 1 ) ，1 0 ( 2 4 1 0 ) 在( 2 4 1 0 ) 左端第一项减去1 一p o o a 。夕( 1 ) + 万夕( 1 ) = o 有： 1 - z ) 一p l 。( 夕( 1 ) 一于( z ) ) + 万( o ) - z - 7 ( z ) ) 历( z i o ) = 嚣( 一以确) f ( ) 嗍疗( z ) ， 广西大掌硕士学位论文 复合马尔可夫二项模型及其拓广模型的研完 删h 。锋掣唧h 掣删) + 业型二丝! + 旦型一旦生生蛙( 2 4 1 1 ) 1 一q 1 一z 1 一q 1 一z 1 一q 1 一z 对任意函数口( x ) ，x ，相应母函数石( z ) ，有下列结果( 参见文献【1 8 】) ： 掣：扫羔ti一-ta(吼tz 。u = oi f f i 。u + l 和 百t a t ( t ) - z a ( z ) ：扫抄训 这样，比较方程( 2 4 1 1 ) 两边矿的系数，可知： m ( ) = 喜m ( 州i 。) a 。户( 沪石户( ) + 普喜f ( ，) + 焉喜f ( 川) 一苦f ( 川) f ( 1 ) = 喜肌( 州i 咖f ( 沪万户( 删+ 啬扣) + 眚户( 州) 柳 故方程( 2 4 1 ) 得证 下面，我们证明更新方程( 2 4 1 ) 为瑕疵更新方程 事实上，由方程( 2 2 3 ) 可计算得： 豇鼽。i f ( i ) 一万户( 川) = p i ，一万似一1 ) = p o 。+ 石 - q , u + n ( 1 - q p ) - - q u + n r q t = q p ( 1 + t r r ) 留( 1 + ，7 ) = 1 ( 2 4 1 2 ) 故方程( 2 4 1 ) 为瑕疵更新方程群 定理2 4 2 ：对“n ，罚金折现函数聊 i1 ) 满足下面瑕疵更新方程： 埘( ”1 1 ) ：窆m 一i 1 1 ) 【p l ，声( f ) 一万乒( i + 1 ) 】+ p o 。羔f ( f ) + 盯( “) ，、 ( 2 4 1 3 ) 和 枷)=黼(2414koo ) 什，、， 广西大掌硕士学位论文复- 0 - 马尔- a d - 囊= 项模参乏及其拓广模裂的研究 证明：类似于定理2 4 1 的证明，把方程( 2 4 7 ) 代入( 2 4 8 ) 有： (za。夕(z)历(z11)=a。兰鱼之翌量三止皇21三羔专菩要测+a。zf(z)一a。肌(。i 即 ( z 一) ( z p l ，夕( z ) ) 一胁肌夕( z ) 疡( z 1 1 ) o ) ， = a 。p o 。m ( z 1 ) ( z ) + p l 。p o z f ( z ) + p l 。z f ( z ) ( z 一) 一 a 。( z 一) + a 。p o o m ( o o ) ， 化简得 z 一一a 。夕( z ) + 万z 。1 夕( z ) 历( z1 ) = ( 砚。一万) f ( z ) 一a 。聊( o io ) ( 2 4 1 5 ) 将( 2 4 2 ) 代入上式可得： z 一一a 。夕( z ) + 刀z 。1 夕( z ) ，；i ( z i1 ) = ( 砚。一万) f ( z ) - p o 。于( 1 ) ( 2 4 1 6 ) 在( 2 4 1 6 ) 式左端第一项减去1 一一a 。夕( 1 ) + 石夕( 1 ) = o 有： 也即是： ( 1 - z ) 一p l ，( 夕( 1 ) 一夕( z ) ) + 万( f ( 1 ) - z - f ( z ) ) 历( z 1 1 ) = p o 。孑( 1 ) - ( z p z l _ 万) f ( z ) ， 枷h 锋掣 历( zil-7掣1历( 叩) 一z 、。， 饥等笋一万1 p ( 1 ) - _ p ( z ) 1 一zi z 这样，比较方程( 2 4 1 7 ) 两边矿的系数，可知： ( u l 故方程( 2 4 13 ) 得证 初始准备金为0 时的罚金折现函数可有上计算得： 即 m ( o i1 ) = p l 。户( o ) 一万户( 1 ) 肼( 0 1 1 ) + p 。，f ( 1 ) + 舸( o ) ， 州) = 黼 ( 2 4 1 7 ) 、- ，“ 硝+ 、j“v r 。两 既 + n = 、 + o矿 l，一 ，- 、 坍 。瑚 万一 、- ，“v酽 l一 球 ， m 。汹 n = 、- ， 广西大学硕士掌位论文 复。鲁产马尔可，o 二项模霉l 及其拓广模型的研究 故方程( 2 4 1 3 ) 得证 同理定理2 4 1 中的证明，可证更新方程( 2 4 1 3 ) 为瑕疵更新方程撑 和 和 定理2 4 3 ：对“n ，无条件的罚金折现函数小( “) 满足下面瑕疵更新方程： m ( 材) = 窆所( 材一f ) a ，户( f ) 一石户o + 1 ) + 风，宝f ( f ) + g 万r ( 甜) + g 万户( 材+ 1 ) f ( 1 ) ， ( 2 4 1 8 ) i = o f t - 忡) = 止掣籍趔 证明：由( 2 。2 4 ) 、( 2 4 1 ) 、( 2 4 1 3 ) 、( 2 4 2 ) 、( 2 4 1 4 ) 知： 肌( “) = m ( 甜一班a 。f ( i ) - n f ( i + 1 ) i , - o + q p l 。+ 编。】r ( i ) + q n r ( u ) + q z t f f ( u + 1 ) e ( 1 ) ( 2 4 1 9 ) = 窆m ( 甜一f ) a 。f ( f ) 一万f ( “1 ) + 风。艺r ( f ) + g 所( 甜) + g 万户( 材+ 1 ) f ( 1 ) ， l = o l = “ 朋( o ) = ( 1 一q ) m ( o l o ) + q m ( o 1 ) p o o - t r f ( 1 ) 同理定理2 4 1 中的证明，可证更新方程( 2 4 18 ) 为瑕疵更新方程撑 2 5 渐近估计 和 并且 记 m 。( “) = 群朋( “) ， ( 材) = 犬“m ( u l i ) ，i - o ，1 a ( 沪r 岛。- 芦( i ) - r t f ( i + i ) ， 1 3 广西大掌司e b 掌位论文，：合x l , 尔可，茹二项模型及其拓广模型的研究 和 州划 晋却+ i 鸶qp ( 川俄- ) ， 6 l ( “) ：r “| 风。芝f ( f ) + 舸( 1 ) ， l l = 誓- i 6 ( “) = 尺叫，r ( f ) + g 舸( “) + g 万f ( 甜+ 1 ) f ( 1 ) 1 l j = j 这里，r 为调节系数 和 因此，对”n ，方程( 2 4 1 ) ，( 2 4 1 3 ) 和( 2 4 1 8 ) 可表示为： 事实上， 西( ) = m ；( u - i ) a ( 小巧( “) ，i = o ，1 ， i = o m ( “) = = z m ( u - i ) a + ( f ) + 6 ( z ，) 口( o = z r i a f ( f ) 一万f ( f + 1 ) i - oi = o 嘞喜m ) 百1 - r k 一秀小) 百1 r k - ! 嘞掣一万等掣 1 一只 = = 一 1 一r = 1 1 一r 1 4 ( 2 5 1 ) ( 2 5 2 ) 七 厂 。一 足 。枷 万一七 厂 。 足 。枷 所 = 足 心鲫 、l ， 七 ，_ ， ， 。脯 万一r 脚 、i ， 七 ，i 一， ， 。埘 所 = 广西大等弧士聋q 立论文复合马尔可夫= 项模型及其拓广模型的研究 又 和 由离散更新方程基本理论知方程( 2 5 1 ) ，( 2 5 2 ) 都为正则更新方程 类似的有， 和 才( f ) = 氓j | p o 。厂( 七) + 衫( 川) i i - - oi = o l k - i + l j 厂 = p o l 厂( 七) i 七= l l l r ( 1 - r 扣1 ) ( 七一i ) r ( 1 一r ) 2 l r + 刀于( r ) 一万r - 1 夕( 尺) ：百poi(r-：(r)一竺竺垦掣+万夕，(r)一万r。夕(尺)1 f r 1 2 1 一r 。、7。、7 = 尚一掣脚错删， 6 ( 沪足j i 风。r ( k ) + q l r r ( i ) + q y c f ( i + 1 ) # ( 1 ) l r1 i = oi = 0 l i = f j = 岛。艺k = 0 f ( j | 厂1 - 百r k + l + g 衍( r ) + 口旃( 1 ) 荟善k - 2 厂( 七皿 嘞隅一筹卜扣x f ( 1 ) e 薹f ( 七) 百1 - - r k - i ：百p o , e ( 1 ) + 卜p 。i r l i 讹) + g 砌) l 一只 l 1 1 一rl 、7 1 、7 l 一只 ：q ( 1 - 丁r c r - i ：( r ) ) f ( 1 ) + 臀f ( 尺) ， = 一f i l i + 二二- 二f i k i 1 一r 、7 l r 、 ( 2 5 4 ) 静( f ) = 可q p o o 丽- s r r - l f 7 ( r ) 砸) 一龋辑 ) 1 5 n ：、 + 、= v ， 足 。瑚 万一 、l ， l+ 、= v ， 足 d + 。瑚 万+ 、- 、 七 ，一， ， rt h 脚。捌 = 后 ， 。一 足 。脚 n ：， - r冗 g +r舸 g +r 七脚 七r 。脚 既 = 复合马尔可失：o 页模裂反其拓广模型的研究 靴) 2 尚雄) 一错邢) ( 2 5 6 ) 由此得到下面的定理，它给出m ( ui 班i = 0 ，1 和所( 甜) 极限性状： 足理2 5 1 - 有条件明罚金折蚬幽毅m ( u i f j ，i 2 0 , 1 和尢条仟阴罚金狮蚬幽毅聊【材j 阴 渐近估计表示如下： 嘶习击杀张鬻一器， 当u 一时：( 2 5 7 ) 所(甜11)一：iji二【：iji_：ifp丁01石p：(_1)i+产(了万了-彳p二5hr：i)了p二(rj西)百：i丽(1一r)足一， 当 一时( 2 5 8 ) 进而，当u 专c o 时， 棚c材，一二：=：夏：1j：=：羹罢笔三三拿丢三三荨写专亨至警三一c一只，r一 棚【材)一二：=：夏：丁j：=：夏专：i丁iji二j西等r芦乙司ii了二j了石_二丽1一只)r。 2 6 一些重要破产量的渐近解 ( 2 5 9 ) 如上小节所述，我们仅需在定理2 5 1 中设定特殊的非负有界函数，即可导出风险 理论中的一些重要破产量的渐近解 例2 6 1 ： 考虑w ( ，材：) - - 1 的特殊情况，贝l j m ( u l i ) - - v ( ”i 班i = 0 ，l ，m ( u ) = y ( 材) ， 即为复合马尔可夫二项模型( 2 2 1 ) 的有条件下和无条件下的最终破产概率，这时， f ( 尺) = 羔i f f i or f ( ，) = 喜只k 妻f f i i + 2 厂( z ) = 掣，l ；o 一j 、 而 f ( f ) = w ( f ，七一f 沙( 七+ 1 ) = s ( k ) 扣mf l ok f i + li = 0k = i + 2 = 户( f + 1 ) 掣一1 i - o 1 6 广西大学硕士掌位论文 复合马尔可夫：页模型及其拓广模型的研究 那么，当甜_ 0 0 时， 婚旧书等等端黼焉笔南肌- ， 和 删) 鬲面p o , 磊( 1 a - 1 ) 下( 1 - r 可) + ( x 而- p n r 面) ( 1 - 而r - f r ( 丽r ) ) 而( 2 6 2 ) ( 2 6 1 ) ，( 2 6 2 ) 类似于c o s s e t t ee ta 1 ( 2 0 0 4 ) 1 6 1 中( 5 8 ) ，( 5 9 ) 式 另外， 和 注： 沙f “1 尘掣：塑业二! 磐墨! ：坐二盟二盟剑( 2 6 3 ) 叭矗干鬲i f 研而而面乏丽商f 。乙色 ( 0 i o ) 2 南( 川) ， 州，= 半掣 这里，( 2 6 4 ) ，( 2 6 5 ) 与c o s s e t t ee ta 1 ( 2 0 0 4 ) 1 6 】中的方程( 6 ) ，( 7 ) 相 f i - - j 又 巾) = 业鼍黠笋趔 ( 2 6 4 ) ( 2 6 5 ) ( 2 6 6 ) 例2 6 2 ：考虑w ( 嘶，：) = i ( u l z ) ，工n 的特殊情况，贝) j m ( u l i ) = f ( u ，引f ) ，i = 0 ，1 ， m ( u ) = v ( u ，x ) ，即为复合马尔可夫二项模型( 2 2 1 ) 的有条件下和无条件下的破产前一刻 盈余的分布，这时， f ( f ) = w ( i ，七一f 矿( 七+ 1 ) i = oi = ok = i + l 1 7 广西大掣臻页士掣啦论文复合马尔可，o 二项模型及其拓广模型的研究 和 那么， 和 另外， 和 又 = 砸x ) 厂( 七) _ f f f i 0k - i + 2 x + l = p ( 0 ， x+l f ( r ) = r f ( f ) = r 砸x ) ( 七) = r 卜1 f ( f ) i f 0t r i ok = t + 2t = l 儿川n 、吐硎。砸) 善x + l 乒( 沪觋。莩肝( ( 1 - r ) 胪 f ( i o ) 一鬲而鬲可可贯而蔫高丽丽丽矿。 ( 2 6 7 ) 岛。f ( i ) + ( r ：- p l 。r ) r 卜1 p ( i ) 1 1 一币i r f f i l t ( 1 一r ) ) + i ( = 1 1 一r ) ( 哪。r ) 而。1 一只矿 ( 2 6 8 ) 注： q ( 1 一t t r 一夕( r ) ) 户( f ) + g ( 万一r ) e r 卜1 f ( f ) f u , x ) p l o r - e p l o r + u r - ( 1 - r 1 ) 2 ( r ) + ( 1 - r 黄# - p r ) f ( r ) ( 1 一r ) r 一 f