北师大版初三图形的相似复习题含答案精校版.pdf

图形的相似 一、知识点总结： 考点一、比例线段 1、比例线段的相关概念 若四条 a，b，c，d 满足或 a：b=c：d，那么 a，b，c，d 叫做组成比例的项，线段 a，d 叫做比例外项，线段b，c 叫比例内项，线段的d 叫做 a，b，c 的第四比例项。 如果作为比例内项的是两条相同的线段，即 c b b a 或 a：b=b：c，那么线段b叫做 线段 a， c 的比例中项。 2、比例的性质 （1）基本性质 a：b=c：dad=bc a：b=b：cacb 2 （2）更比性质（交换比例的内项或外项） d b c a （交换内项） d c b a a c b d （交换外项） a b c d （同时交换内项和外项） （3）反比性质（交换比的前项、后项）： c d a b d c b a （4）合比性质： d dc b ba d c b a （5）等比性质： b a nfdb meca nfdb n m f e d c b a )0( 3、黄金分割 把线段 AB 分成两条线段AC，BC（ ACBC ） ，并且使AC 是 AB 和 BC 的比例中项，叫做 把线段 AB 黄金分割，点C 叫做线段 AB 的黄金分割点，其中AC= 2 15 AB0.618AB 考点二、平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 推论： （1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这 条直线平行于三角形的第三边。 （2）平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对 应成比例。 考点三、相似三角形 1、相似三角形的概念 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号“”来表示，读作“相 似于” 。相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。 2、相似三角形的基本定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交， 所构成的三角形与原三角形 相似。 d c b a 用数学语言表述如下： DEBC， ADE ABC 相似三角形的等价关系： （1）反身性：对于任一ABC ，都有 ABC ABC ； （2）对称性：若ABC A B C ，则 A B C ABC （3）传递性：若ABC A B C ，并且 A B C ABC，则 ABC ABC。 3、三角形相似的判定 （1）三角形相似的判定方法 定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似 平行法： 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形 与原三角形相似 判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三 角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。 判定定理2： 如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等， 那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个 三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似 （2）直角三角形相似的判定方法 以上各种判定方法均适用 定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边 对应成比例，那么这两个直角三角形相似 垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。 4、相似三角形的性质 （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例 （2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 （3）相似三角形周长的比等于相似比 （4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。 5、相似多边形 （1）如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相 似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数） （2）相似多边形的性质 相似多边形的对应角相等，对应边成比例 相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比 相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比 相似多边形面积的比等于相似比的平方 6、位似图形 如果两个图形不仅是相似图形，而每组对应点所在直线都经过同一个点，那么这样的两个图 形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，此时的相似比叫做位似比。 性质：每组对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比都等于位似比。 由一图形得到它的位似图形的变换叫位似变换。利用位似变换可以把一个图形放大或缩小。 课堂练习： 一选择题： 1、下列各组数中，成比例的是（） A 7， 5，14，5B 6， 8，3， 4C 3，5，9，12D2，3，6，12 2、如果 x:(x+y) 3:5，那么 x:y ( ) A. B. C. D. 3、如图， F 是平行四边形ABCD 对角线 BD上的点， BFFD=1 3，则 BE EC= （） A、 2 1 B、 3 1 C、 3 2 D、 4 1 4、下列说法中，错误的是（） （ A）两个全等三角形一定是相似形（B）两个等腰三角形一定相似 （ C）两个等边三角形一定相似（D）两个等腰直角三角形一定相似 5、如图， Rt ABC中， C90 ，D 是 AC 边上一点， AB5，AC 4，若 ABC BDC ， 则 CD A2B 3 2 C 4 3 D 9 4 二、填空题 6、已知a4， b 9，c是 ab、的比例中项，则c 7、如图，要使 ABC ACD，需补充的条件是 （只要写出一种） 8、如图，小东设计两个直角，来测量河宽DE，他量得AD 2m，BD 3m，CE9m，则 河宽 DE 为 9、一公园占地面积约为800000 2 m， 若按比例尺12000 缩小后， 其面积约为 2 m 10、如图，点P 是 Rt ABC斜边 AB 上的任意一点（A、B 两点除外）过点P 作一条直线， 使截得的三角形与RtABC 相似，这样的直线可以作条 三、解答题 C B A D （第 5 题） A BC D （第 7 题） 2 3 8 3 3 2 5 8 C B AP （第 10题） 11、如图 1895，AB 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚 B 距墙 80cm，梯上点 D 距墙 70cm， BD 长 55cm求梯子的长(8 分) 12、如图，已知ACAB ，BDAB，AO 78cm，BO42cm， CD159cm，求CO 和 DO(8 分) 13、如图，在正方形网格上有 111 CBA 222 ACB ，这两个三角形相似吗?如果相似，求 出 222111 ACBACB和 的面积比（15 分) 14、已知：如图，在ABC 中，点 D、E、F 分别在 AC 、AB 、BC 边上，且四边形CDEF 是正方形， AC 3， BC2，求 ADE 、 EFB、 ACB 的周长之比和面积之比(10 分) 15、如图所示 ,梯形 ABCD 中,AD BC,A=90 ,AB=7,AD=2,BC=3, 试在腰 AB 上确定点P 的 位置 ,使得以 P,A,D 为顶点的三角形与以P,B,C 为顶点的三角形相似. 参考答案 P A B D C 一、选择题： 1.B 2.D 3.A 4.D 5.D 二、填空题： 6、 6；7、 ACD= B或 ADC= ACB或 AD ： AC=AC ： AB ； 8、6m ；9、0.2 ；10、3 三、解答题： 11.梯子长为440cm 12. cmDOcmCO65.55,35.103 （提示：设 xcmDO ， 则 cmxCO159 ， 因为 ABBDABAC, ， 90BA ， BODAOC ，所以 AOC BDO，所以 DO CO BO AO 即 x x159 42 78 ，所以 65.55x ） 13、相似，相似比为 （提示：，且 222111 135CABCAB ） 14 、 周 长 之 比 ： ADE的 周 长 ：EFB的 周 长 ： ACB 的 周 长 5:2:3 ； 25:4:9: ACBEFBADE SSS 设 xEF ，则 xADxEF3, 所以 5:2:3:ACEFAD 因为 ADE EFB ACB ，所以可求得周长比等于相似比， 面积比等于相似比的平方 15、 (1)若点 A,P,D 分别与点 B,C,P 对应 ,即APD BCP, ADAP BPBC , 2 73 AP AP , AP 2-7AP+6=0, AP=1 或 AP=6, 检测 :当 AP=1 时,由 BC=3,AD=2,BP=6, APAD BCBP , 又A= B= 90 ,APDBCP. 当 AP=6 时,由 BC=3,AD=2,BP=1, 又A= B=90 , APDBCP. (2)若点 A,P,D 分别与点B,P,C 对应 ,即APD BPC. APAD BPBC ,