（工程力学专业论文）弱非圆夹杂Eshelby张量的数值验证及其应用.pdf

摘要 摘要 夹杂内一均匀本征应变蠢在夹杂内、外引起的应变场q ，是一经典的力学问 题，夹杂内、外应变场与本征应变的关系可以通过一四阶张量s ，“来联系 毛= 。e s h e l b y 给出了当夹杂形状为椭圆或者椭球时的该四阶张量( 称 为e s h e l b y 张量) 的表达式，e s h e l b y 张量经常应用于非均质材料的自洽法研究。 事实上，大多非均质材料中的夹杂为非椭圆形，因此本文将验证我们新近推导 出来的一类非椭圆夹杂( 弱非圆夹杂) e s h e l b y 张量表达式，并将其应用于宏观 均匀、细观非均匀的非均质材料力学性质的研究，归纳起来本文解决了以下问 题： 1 e s h e l b y 只给出了椭圆形夹杂的解，h i l l 、m o r i 和t a n a k a 等将e s h e l b y 理 论应用于细观非均质材料宏观性质的研究，但实际非均质材料中的夹杂大多非 椭圆形；因此，本论文根据导师新近推导出的弱非圆夹杂e s h e l b y 张量，给出夹 杂内、外任意一点的应力应变的表达式，并采用有限元方法验证了弱非圆夹杂 内、外应力场表达式的正确性，并讨论了弱非圆夹杂的形状对夹杂内、外应力、 应变场的影响： 2 弱非圆夹杂e s h e l b y 张量在夹杂上的平均值为平均e s h e l b y 张量；该 e s h e l b y 张量的形式十分简单，仅取决于泊松比l ，和夹杂形状系数a 2 , a 。，b 2 ，6 4 。 我们用a n s y s 数值分析验证该表达式的有效性，数值模拟结果表明：该公式的 结果和a n s y s 的数值结果十分接近： 3 将平均e s h e l b y 张量、本征应变自洽法和e s h e l b y 等效夹杂理论应用于非 均质材料力学性质的研究，给出了当夹杂为非椭圆时的非均质材料宏观本构关 系的显表达式。该表达式包含了夹杂形状系数a 2 , a 。，b 2 ，钆，我们的有限元数值模 拟结果表明：对弱非圆夹杂，我们的e s h e l b y 张量可用于自洽方法，确定弱非圆 夹杂非均质材料宏观本构关系。 本论文通过有限元计算、本征应变自洽法、等效夹杂法验证了任意弱非圆 夹杂e s h e l b y 张量、夹杂内、外的应力应变场、和平均e s h e l b y 张量的正确性和 有效性，并将其应用于细观非均质材料力学性能的研究。 关键词：e s h e l b y 张量；弱非圆夹杂；细观非均质材料；有限元 a b s t r a c t a b s t r a c t t h es t r a i nf i e l ds i n d u c e db ye i g e n s t r a i n 盛i na l li n c l u s i o ni s o n eo f c l a s s i c a lm e c h a n i c sp r o b l e m s t h e i rr e l a t i o nc a nb ee x p r e s s e da sb yaf o u r t h - o r d e r t e n s o r s , j k lq e ，= s 幽t 氏、) ，w h e r es 脚i s c a l l e da st h ee s h e l b yt e n s o r e s h e l b y ( 19 5 7 、) g a v et h ee x p r e s s i o no fs 慨l f o re l l i p s o i d a li n c l u s i o n s t h ee x p r e s s i o no f e s h e l b yi s o f t e nu s e dt od e t e r m i n et h em e c h a n i c sp r o p e r t i e so fh e t e r o g e n e o u s m a t e r i a l sb yt h es e l f - c o n s i s t e n tm e t h o d h o w e v e r , i n c l u s i o n si nh e t e r o g e n e o u s m a t e r i a l sa r eo f t e nn o n e l l i p s o i d a li ns h a p e h e r e i n ，1w i l lc h e c ka ne x p r e s s i o no f t h e w e a k l yn o n c i r c u l a ri n c l u s i o n sb yaf i n i t ee l e m e n tp r o g r a m ( a n s y s ) w ea p p l yt h e e x p r e s s i o no ft h ew e a k l yn o n c i r c u l a ri n c l u s i o n st os t u d yt h em e c h a n i c sp r o p e r t i e so f h e t e r o g e n e o u sm a t e r i a l s m ym a i nw o r ki sa sf o l l o w s ： 1 e s h e l b yg a v et h ee s h e l b yt e n s o ro fe l l i p s o i d a li n c l u s i o n s h i l l ，m o r i ，a n d t a n a k ae t a la p p l yt h ee s h e l b yt e n s o rt os t u d yt h em a c r o s c o p i ca n dm e s o s c o p m r e l a t i o n so fh e t e r o g e n e o u sm a t e r i a l s h o w e v e r ，i n c l u s i o n si nh e t e r o g e n e o u sm a t e r i a l s a l eo f t e nn o n e l l i p s o i d a l h e n c e ，w em a k eu s eo ft h ee x p r e s s i o no ft h ee s h e l b y t e n s o r f o ra n ya r b i t r a r yw e a k l yn o n - c i r c u l a ri n c l u s i o nt og i v et h es t r e s sf i e l da n ds t r a i nf i e l d i n s i d ea n do u t s i d et h ei n c l u s i o n w eu s eaf i n i t ee l e m e n tp r o g r a m ( a n s y s ) t oc h e c k t h ee x p r e s s i o n so fo u rs t r e s sf i e l da n ds t r a i nf i e l d w ed i s c u s st h ei n f l u e n c eo f i n c l u s i o n ss h a p e so nt h es t r e s sf i e l da n dt h es t r a i nf i e l d 2 t h ea v e r a g ev a l u eo ft h ee s h e l b yt e n s o ro nt h ei n c l u s i o ni n t h ei n c l u s i o ni st h e a v e r a g ee s h e l b yt e n s o r t h ea v e r a g ee s h e l b yt e n s o ri sv e r ys i m p l ei nf o r m t h e e s h e l b yt e n s o rd e p e n do n l yo nt h ep o i s s o n s r a t i oya n dt h es h a p ec o e f f i c i e n t s a 2 , a 4 ，也，6 4 w eu s ea n s y s ( a f e mp r o g r a m ) t ov e r i f yt h ev a l i d i t yo ft h ea v e r a g e e s h e l b yt e n s o r t h ec o m p u t a t i o no fa n s y ss h o w st h a tt h en u m e r i c a ls i m u l a t i o n r e s u l t sa r ec l o s et ot h o s eo ft h ee x p r e s s i o no ft h ea v e r a g ee s h e l b yt e n s o r 3 b yc o m b i n i n gt h ea v e r a g ee s h e l b yt e n s o rw i t ht h es e l f - c o n s i s t e n tm e t h o d a n d t h e e q u i v a l e n t i n c l u s i o nm e t h o d ，w eg i v ea i le x p r e s s i o no ft h em a c r o s c o p i c c o n s t i t u t i v er e l a t i o nf o rh e t e r o g e n e o u sm a t e r i a l sw h o s ei n c l u s i o n s a l ew e a k l y n o n c i r c u l a ri ns h a p e t h ee x p r e s s i o ni n c l u d et h ee f f e c t so ft h es h a p ec o e f f i c i e n t s i i a b s t r a c t a 2 ，a 4 ，6 2 ，6 4 t h er e s u l t so fo u rf e ms h o wt h a t ，f o rw e a kn o n c i r c u l a ri n c l u s i o n s ，o u t a v e r a g ee s h e l b yt e n s o rc a nb eu s e dt od e t e r m i n et h em a c r o - c o n s t i t u t i v er e l a t i o no f t h eh e t e r o g e n e o u sm a t e r i a l sw h e nt h e i ri n c l u s i o n sa l ew e a k l yn o n c i r c u l a ri ns h a p e i nt h i sp a p e r ，b yt h ef e m ，s e l f - c o n s i s t e n tm e t h o d ，a n dt h ee q u i v a l e n ti n c l u s i o n m e t h o d ，w ev e r i f yt h ec o r r e c t i o n sa n dv a l i d i t i e so fo u te x p r e s s i o n so nt h ee s h e l b y t e n s o r ，t h es t r e s sa n ds t r a i nf i e l da n dt h ea v e r a g ee s h e l b yt e n s o rf o rw e a k l y n o n c i r c u l a ri n c l u s i o n s w ea p p l yt h e s ee x p r e s s i o n st os t u d ym e c h a n i c sp r o p e r t i e so f h e t e r o g e n e o u sm a t e r i a l s k e yw o r d s ：e s h e l b yt e n s o r ；w e a k l yn o n - c i r c u l a ri n c l u s i o n ；h e t e r o g e n e o u sm a t e r i a l s ； n u m e r i c a lv e r i f i c a t i o n i i i 学位论文独创性声明 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得南昌大学或其他教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名( 手写) ： 字日期：砂呕年厶明彬日v 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解南昌大学有关保留、使用学位论文的规定，有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借 阅。本人授权壶昌太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编本学位论文。同时授 权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名 签字日期：邪年 导师签名( 手写) ： 身膨他 签字日期：汐么库f 乙月乙侑 冬日 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 课题研究背景 非均质材料是指材料组分或材料相是变化的、非均匀的。非均质材料由于 其良好的力学性能，在工程实际中得到了广泛的应用。颗粒复合材料是非均质 材料中的一类，它由增强体( r e i n f o r e e db o d y ) 和基体( m a t r i x ) 组成，其增强 体被加工成细小的颗粒状或粉末状，颗粒弥散于基体材料中并使它们粘接复合 在一起。颗粒复合材料的广泛应用使人们越来越对其力学性能感兴趣，主要从 宏观力学和细观力学两个层次分别进行了研究。所谓非均质宏观力学，是指以 实验资料为基础，通过建立数学模型唯象地描述非均质材料的力学行为；非均 质细观力学是指通过对基体性能和夹杂的形状、几何尺寸、分布等的研究来建 立细观结构参数与宏观力学性能之间的关系，对于弹性问题，通过应力和应变 体积平均值之间的关系确定材料的宏观力学性能。 目前，对于像颗粒复合材料这样的非均质材料细观力学性能的研究，已经 有很多力学模型( 比如，e s h e l b y 等效夹杂理论和自洽方法) 。应用这些理论模 型得到了一些很好的结论，但其应用范围有一定的局限性，最主要的一个限制 就是对夹杂形状的要求。比如，e s h e l b y 等效夹杂理论仅能给出椭圆或椭球形夹 杂的应力应变场，对于非椭圆或非椭球夹杂很难能给出具体的表达式。而实际 颗粒复合材料中的夹杂形状是任意的，忽略了夹杂形状对非均质材料力学性能 的影响，显然不能精确的反映实际材料力学性能。因此，建立夹杂形状与非均 质材料宏观力学性能之间的关系很有必要。一些学者的研究仅限于几类规则形 状夹杂，对任意形状夹杂的研究比较少。基于此，我们结合以前学者的研究成 果，在最近的研究中考虑了弱非圆夹杂对非均质材料宏观有效刚度张量的影响， 得到了一些有关弱非圆夹杂的理论，本文拟从有限元数值模拟的角度出发，来 验证这些公式的有效性，这对以后的研究和工程应用都很有帮助。 1 2 非均质材料力学性质的研究现状 有关非均质材料力学性能的研究最早可追溯到m a x w e l l ( 1 8 7 3 ) 和r a y l e i g h ( 1 8 9 2 ) 对含球形夹杂复合材料有效电传导系数的计算。后来发展到多种模型：混 l 第l 章绪论 合律、e s h e l b y 等效夹杂理论、自洽方法等，下面做一简要介绍。 l 、混合律 非均质材料的有效弹性模量( 体积模量、剪切模量) 是细观力学的经典问题之 一。对非均质材料力学性质的最初研究就是求解有效弹性模量，其中最简单也 最早的就是混合律，v o i g t ( 1 8 8 9 ) t 1 1 采用并联模型( 基于应变等效) 与r e u s s ( 1 9 2 9 ) 2 1 采用串联模型( 基于应力等效) 分别得到了非均质材料有效弹性模量的上限和下 限。 假设g 、。、s 7 分别为非均质材料、基体以及夹杂材料的应变，根据v o i g t 等应变假设有： 占= 占o = 8 ( 1 1 ) 若q 、q 。、q 7 分别为非均质材料、基体以及夹杂材料的体积；1 7 、1 7 0 、仃分 别表示非均质材料、基体以及夹杂材料的应力，则有 1 7 e d f 2 = p 。s 。d q 。+ 1 e l d ，s o = l ，= a m + i b m o m l 1 ) 被称为形状系数。c m 和k 为s 珊的实部 和虚部，即口。= r e g 。) ，b m = i r i l g 脚) ，尹= 去r 4 ，k ) d 口是夹杂的平均半径， 并可知函数基e 嘲口是正交基： f ”e - _ f m a 口y d 口= 2 礁。 ( 2 1 3 ) 由函数性质可知，形状系数s 。是掣在函数基e - m a 上的投影： ：去e 石掣口口 ( 2 1 4 ) 2 万土亨旷“p 口 屹 若对于所有的口【o ，2 万) 都有，q ) = 尹，则夹杂形状是一个圆，即s 胂= o ( v m o ) 。 当平面q 经过了一个旋转q = 足够) ，其中： 8 第2 章准备知识 置 ) ：愕口q 1 眦i ( 2 1 5 ) is 1 1 1 口c o s 口i 则在给定参考坐标系下，夹杂形状变为： 芦0 ) = ，q y ) = f s 。p 嘲妇训= 7 l e 嘲口，瓦= p 舢( 2 1 6 ) 相应的，夹杂形状系数经过旋转足) 变为砭。 同理可得，当平面q 经过旋转q = 足( - y ) ，夹杂形状为： 尹 ) = ，仁+ 少) = 芦s 。p 嘲h = f 驴胁，瓦= p 嘲矿( 2 1 7 ) 由( 2 1 2 ) 式可知，仞+ 口) = 尹二。( 1 ) 历p 一。如果对于所有的口 o ，2 万) 夹杂形 状满足，0 ) = r ( r + a ) ，则形状系数满足下式： 口。c o s m a + 屯s i n m a = ( - 1 ) m g 。c o s m a + b s i n m a ) lv 口 o ，2 万) ( 2 1 8 ) 由此可得对于所有的m ，s 小= 0 。 如果夹杂形状对于给定的坐标系是正交的，则夹杂函数满足 厂q ) = ，仞一口) = r 仁+ 口) = ，( 2 万一口) ( 2 1 9 ) 即 es m e 一拥口= s 。p 一加口1 口= = s 。p 一拥z + l 口= = es i n e 一拥2 j r l 口( 2 2 0 ) 或 c o s m c r + b s i n m a = 卜ly ，kc o s m a b s i n m a ) ( 2 2 1 ) = ( - 1 ) ，kc o s m a + b s i n m a ) = 瓴c o s m 口一屯s i n m a ) 由上式可知，当m 是偶数时，s m = a m = a 蔚；当m 是奇数时，s 脚= 0 。 如果夹杂形状具有重对称性，则有下式： 瓦= 8 砌妒- - $ m ，当= 等 ( 2 2 2 ) 其中m 必须满足m = k n ，否则当m k n 时，s 小= 0 。 下面我们讨论两种具体夹杂q ；、q ：的形状系数，其边界如下所述： a q ：= x 。r 3i ( 专) 2 + ( 专 2 = ， 9 ( 2 2 3 ) 第2 章准备知识 a q ：= t x 尺3i ( 詈 4 + ( 专) 4 = t ) 其中，q 0 , c 2 0 ，其夹杂形状函数可表示为： 叫降h 爿r m = 2 , 4 ( 2 2 4 ) 如果 酗= 由= ( 詈厂+ ( s i 钏n a t ”，m 吃4 晓2 5 ) 类似于( 2 1 2 ) 式，我们将( 2 2 5 ) 式离散如下： 三q ) 2 丽1 = ：。厶p 在此， 厶= 芴1f ” 始嘲口k 根据t a y l 。r 公式，可将，0 ) ：0 丘) ) - 石1 表示如下： ，仁) = 尹( - + 2 篆o o c 。s 聊口 + 。o | l 尹= 化污，= = 一吉鲁 由式( 2 2 7 ) 、( 2 2 8 ) 可得夹杂q ；、q ：的形状系数： 对于夹杂q z ，2 l ，s z2 口：2 褊，其他2 o 对于夹杂q 4 ，= 1 , s 4 = 口4 = 一瓦1 ， 其他= 0 ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) 2 4 非均质材料有效弹性张量 非均质材料可看作统计均匀材料，它在均匀边界条件下产生统计均匀的场 变量。场变量的体积平均值称为有效场变量或宏观( 平均) 场变量。通过有效 场变量可以定义非均质材料的有效性能( e f f e c t i v ep r o p e r t y ) ，有效性能也称为宏 观性能或平均性能( o v e r a l lo r a v e r a g ep r o p e r t y ) 。 对于弹性场，设毛和毛是平均应变和平均应力。则非均质材料的有效弹性 张量瑶由下式定义： 瓦= c e 彬f t - - ( 2 3 1 ) 同理有效柔度张量m 篙可用下述关系定义： 1 0 第2 章准备知识 否i i = sl e | f t - - h ( 2 3 2 ) 当给定均匀位移( 应变) 边界条件时，可知其平均应变为： 无= ( 2 3 3 ) 其中，司为给定应变场；这时，为了计算非均质材料的有效弹性系数c 篙，必 须首先计算出其平均应力场【5 9 1 。 同样，当受到均匀应力边界条件时，非均质材料的平均应力为： 元= 一 ( 2 3 4 ) 此时，为了计算非均质材料的有效柔度系数m 焉，必须首先计算出它的平 均应变场。 非均质材料的平均应力和平均应变可写为： 乃= 歹1m 瓦咖 = 古 i o 醪) d v + + 砸砖机+ - - - - i - 砸砖) d v = 咋西7 ) ( 2 3 5 ) 弓= h 孝 ( 2 3 6 ) 其中砖和砖是第，相组分材料内的平均应力和平均应变，u 是第，相材料的体 分比，甩是增强相个数，r ：0 表示基体材料。在每一相中存在弹性关系： 西= 砖 出= s ：畦封 = 0 , 1 ，刀) = 0 , 1 ，n ) ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) 求得非均质材料的平均应力瓦，和平均应变乏i ，便可由式( 2 3 1 ) 和( 2 3 2 ) 分别得到非均质材料的有效弹性张量c g 与有效柔度张量磷。 本章我们首先介绍了e s h e l b y 张量的表达式及其等效变换理论，为后续研究 提供了严格的理论依据；其次，为了描述任意弱非圆夹杂的形状，我们对夹杂 形状函数做了系统的讨论和研究；同时，还介绍了非均质材料宏观有效刚度张 量的定义，由于这是我们研究的一个重要内容，因此了解它的定义很有必要。 第3 章任意弱非圆夹杂的e s h e l b y 张量及其数值验证 第3 章 任意弱非圆夹杂的e s h e l b y 张量及其数值验证 3 1 引言 本章将利用e s h e l b y 理论来研究任意弱非圆夹杂由于本征应变引起的应力应 变关系。这里所说的e s h e l b y 夹杂是指夹杂体和周围完全相同，而夹杂体上产生 均匀的本征应变。本征应变是一个很常用的术语，人们用它来表示温度膨胀、 相变、初应变、塑性应变和装配应变等非弹性应变。本征应力是指物体内由于 存在一个或几个这样的本征应变，自平衡其内的应力，此时，物体并不受任何 外载和边界约束。e s h e l b y 理论可被用来分析许多实际的物理现象，例如各类燃 机的部件，如航空发动机的涡轮盘、叶片等的强度计算分析时通常要考虑热问 题，各类输送管道由于内外温度不同也会产生热应力。虽然e s h e l b y 理论问题是 力学中较为经典的问题，但为了便于分析，大多数研究者在处理这类问题时将 夹杂的形状简化为椭圆或椭球，本章试图得到任意弱非圆夹杂e s h e l b y 张量的表 达式，并用有限元验证。 3 2 任意弱非圆夹杂e s h e l b y 张量的解 3 2 1 问题描述 假设一无限大、弹性、均匀、各向同性区域q 内有任意形状子域q + ，如果 事先假定在q + 内存在不为零的本征应变8 。0 ，而q + 外本征应变为零，我们称 此q + 区域为夹杂区，基体为q q + 。当q 自平衡后任意一点x 的位移为甜。( x ) 、 应变为8 g ) 、应力为盯g ) 。 3 2 2 基本方程 1 、物理方程 对于小变形，夹杂内的总应变岛可以表示如下： 毛= 勺+ 菇 ( 3 1 ) 其中勺为弹性应变；屯是本征应变。由式( 2 3 ) 可知夹杂内的应力场为： = ( 一) ( 3 2 ) 1 2 第3 章任意弱非圆夹杂的e s h e l b y 张量及其数值验证 对于各向同性材料， c 口k i = 九6 口6 k l + 弘b | k 6 j l + 6 1 1 6 | k 1 ( 3 3 、) 其中五和为拉梅常数，式( 3 3 ) 及以后诸式中重复指标满足求和约定。 2 、几何方程 勺= 丢g ，+ u j ，) ( 3 4 ) 其中材u = 当。 v x j 3 、平衡方程及应力边界条件 由于在q 上不受任何外力和边界约束，即为自由边界。故平衡方程为： ，= 0 ( 3 5 ) 应力边界条件为： 吩= 0 ( 3 6 ) 式( 3 6 ) 中，n ，是q 边界上外法线单位向量n 的方向余弦。 一般认为域q 是无限扩展的，因此常常将条件( 3 6 ) 代替为：当x 专o o 时， 吒b ) j0 ，且不考虑刚体位移时，无限远处的位移为零。因此在有限元分析中， 当用有限平面模拟无限大平面时，需在外边界添加零位移边界条件。 由第2 章可知，e s h e l b y 本征应变问题的位移表达式可以通过g r e e n 5 8 1 函数 得到。当引入g r e e n 函数，在孢+ 上x 点产生的本征应变占二在q 上产生的位移 场u i ( x ) 可表示为： 甜，g ) = g j , ( x x ) = k 。占= l ，聊，g ) d s g 广，x q ，x a q + ( 3 7 ) o k l + 其中，g ) 为讹+ 在x 上垂直向量肌b ) 的分量。对于平面应变问题，由( 2 4 ) 式可知，瓯b x ) 、c a , , 。分别表示如下： g 肛x * 赤卜m 南+ 皆 = 芒箬【( 3 4 y 慨既+ 阪瓯+ 屯屯) 】 ( 3 8 ) ( 3 9 ) 这里y 是泊松比，是剪切弹性模量，卜一x 1 2 = g z k t ) 为著名的开尔文解 ( 1 8 8 2 ) ，它表示在无限空间中x 点( 称为力点) 作用力，任一点x ( 称为场点) 产生的位移。其中，g r e e n 函数瓯k x ) 有下列性质： 1 3 第3 章任意弱非圆夹杂的e s h e l b y 张量及其数值验让 瓯，g x ) = 苦瓯b - - x ) = 一刍瓯g - - x ) 3 1 0 对于平面应变问题，利用( 3 7 ) 、( 3 1 0 ) 式可将任意弱非圆央杂内的应变 场表示为： 毛：去k + u j ，乒k ，x 域 ( 3 1 1 ) q2 i i 。j 七 ，0 2s 删心m ，x _ 8 h j l l 由第2 章e s h e l b y 张量的积分形式及附录a ，可得g 胛，x ) 张量： g ) = 碉1 。b 乜槲 其中， 盯b ) = 2 ( 1 2 y 概山g ) + 颤山b ) j 一2 吒厶g ) + 4 g ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 厶g ) - 触一x i - - x i 一g 灿g ) ( 3 1 4 ) b ) = 童垒二立盖掣竹g 灿g ) ( 3 1 5 ) 具体求解过程参照附录a ，式( 3 1 2 ) 给出了任意点的e s h e l b y 张量鼢g ，x ) ， 由此可求得无限大平面内任意非圆夹杂的应力应变关系。下面分别给出夹杂内、 外具体的e s h e l b y 张量表达式。 3 2 3 夹杂q + 内的e s h e l b y 张量 对于给定的缶= 而p 【0 ，l 】o 岛x = p ，o r q + ) ， 由( a 1 9 ) 式求得 墨b 。，【i d ，o r ) 在l d ，o r q + 上的解，再利用客观性原理得到e s h e l b y 张量在非圆 夹杂内任意一点x = p ，y 】r q + 的表达式： 文g 。，x ) ：q 。4 墨慨，q r x ) = 打+ q 。4 衅瓴) ， ( 3 1 6 ) 其中 q = r ( f ) ，( q 。4 s k = 纵纵鳓氏啊，q t x = b ，o 】r ( 3 1 7 ) r 5 4 y4 v 一10 班南时5 了y3 二j 1 4 第3 章任意弱非圆夹杂的e s h e l b y 张鼍及其数值验证 在此 酬= 南 辚 一( 芝+ 4 ，域一4 互一4 讶i 2 + 2 互+ 2 j ，l ( 2 4 v ) , 4 一4 互一4 嗄一2 互+ 2 a 6l 2 4 4 42 4 + 2 4 i 五= 4 k ，舌) = 2 如一1 ) a m 舌”2 ，互慨，舌) = 一2 b 一1 咸蛋”2 互包，旨) ：一主乙舌一a m + 窆f 丛等型+ 2 k 肫瓦， 互k ，舌) ：一羔乙舌一瓦+ 妻f 丛等型+ 1 售一：瓦，。 互乜，蓦 互包，看 薹睹q 磊一薹学肫瓦， e 。r 氢- 一瓦+ 主f _ 下m ( m + o + l p 瓦， m - - 4m = 2 厶 互= 4 瓴，舌) = 一薹瓦牙“瓦+ 心岁- j m ( m 二- 7 ) + 3 ”2 瓦 乙：m ( _ m - 5 ) + 3 善。南，缈) = ；( 1 + l 瓦2 p 嘲= 磊+ f 瓦， ( 3 1 9 ) 瓦= a m c o s m + b i ns i n m ，瓦= b c o s m w a = s i n m u 其中瓦g ，x ) 为e s h e l b y 张量在任意弱非圆夹杂内的表达式。e s h e l b y 已经求解 唯s ：1 2 s ：耋0 ， 20)00 s = i 是l 2 2 i ( 3 1& ，l 墨。：三e ：( - 3 c l 一2 c 2 + 2 w + 2 v c 2 ) ， r s 1 2 = m 丢c 2 卜q + 2 崛+ 2 ) ， 2 ：土q ( - - 2 q 一3 c 2 + 2 v q + 2 v 乞) k 1 5 最。：一三c 。( _ 乞+ 2 v q + 2 w ：) k 第3 章任意弱1 f 圆夹杂的e s h e l b y 张量及其数值验证 8 3 3 - - - - 丢i ：q + 一1 + 乞) 2 】， k = 2 ( v - l 。+ 乞) 2 当q = 1 ，c 2 = 1 2 ，= 0 2 5 时，由( 3 2 0 ) 可得 r0 7 1 1 0 0 1 7 0 s ：i 一0 0 1 4 0 6 2 00 l ( 3 2 1 ) 【o o o 3 3 5 j 将椭圆形夹杂参数代入式( 2 2 9 ) 、( 3 1 6 ) 中，可得夹杂形状系数和椭圆形 夹杂的e s h e l b y 张量：= 1 ，s 2 = a 2 = - 0 0 4 5 ，其他s r n = 0 ； - 0 7 1 2 0 0 1 5 0 s - - i 一0 0 1 5 0 6 2 20 ( 3 2 2 ) 【o o o 3 3 3 j 由此可见，对于椭圆形夹杂，我们公式得到的结果与e s h e l b y 的结论一致。 3 2 4 夹杂q + 外的e s h e l b y 张量 对于给定的螽= 而p 【1 ，】o 岛x = l d ，o 】r q 一) ，由( a 1 9 ) 式求得 b 。，防，o r ) 在x = 必，o r 上的解，再利用客观性原理可得e s h e l b y 张量在 x = p ，r q 一上的表达式： 墨k ，x ) = q 。4 篷瓴，q r x ) - - q 刚胖+ q 。4 丛，幢l 其中 胖= 南 一 8 l l y l 骞= e k ，蓦) t 4 1 - 6 + 虿3 半一虿3 o 美i 专：磊芎： ” 1 4 v r + 2 一万3 丁- 4 v + 2 + 万3 o 鲁 专：专； j 专： ” 0 。 孝音 ( 3 2 3 ) ，i ( 2 4 y 她+ 4 秀( 2 + 4 y 远一4 秀一4 罐：+ 2 吾4 + 2 8 7l 妒2 南l 却端4 n q 2 - 4 v ) j 昏i 豆- 4 n 4 v 趣) 2 - 2 m ) 4 + 2 刮。2 4 豆= 置= 孝茎薹警，惠= 垦= 2 薹譬， 1 6 第3 章任意弱1 圆夹杂的e s h e l b y 张量及其数值验证 豆包，氧) = 2 ( 亭2 一孝) 薹瓦+ ( 一景+ 景p + 薹( 一亟警型一2 ) 舞+ 薹风舞 豆包，氧) = ( 景一嘉乒+ 薹( 丛掣+ ) 舞一薹以嘉 恿瓴，磊) = 2 丢至死一吾磊+ 主丛等业丽a m 一妻以鲁了 l ，1 m = l 1 m = - 2 l m ；2 j 1 展包，毒) ：吾厩+ 量r 一下m ( m - 1 ) + 1 嘉+ 主以嘉 ，1 m = 2 b 1m = 2 i 秀= 马k ，舌) = ( 景一毒乒+ 薹( 丛等望+ 3 ) 嘉一薹巩参 风= t r e ( m + 5 ) + 3 篷g 。，x ) 是弱非圆夹杂外的e s h e l b y 张量表达式，可以用来求解在x q 一上 由本征应变s q + 产生的应变场占& i 。 3 3 任意弱非圆夹杂e s h e l b y 张量的有限元数值验证 3 3 1 利用a n s y s 热结构耦合功能在夹杂内产生本征应变 直接在有限元模型中产生本征应变很难实现，根据结构在部分区域加热或 冷却时其他不同区域的膨胀或收缩程度不一致，造成结构尺寸上的不匹配而产 生热应力。我们可以通过改变温度场来达到产生本征应变的目的，由此可知， 本文的有限元分析类型是一个热结构耦合分析( t h e r m a l s t r e s sa n a l y s i s ) 。热一结 构耦合分析是指求解温度场对结构中应力、应变和位移等物理量影响的分析类 型。在a n s y s 中通常用两种方法来进行耦合分析【4 9 , 6 0 】，一种是直接耦合方法， 另一种是顺序耦合方法。 直接耦合方法只包含一个分析，它使用包含多场自由度的耦合单元，通过 计算包含所需物理量的单元矩阵或载荷向量矩阵进行耦合。顺序耦合方法包括 两个或多个按一定顺序排列的分析，通过将前一个分析的结果作为载荷施加到 下一个分析中进行耦合。典型的例子就是热应力顺序耦合分析，热分析中得到 节点温度作为“体载荷 施加到随后的结构分析中去。顺序耦合分析包括间接 法和物理环境法。在间接法中，使用不同的数据库和结果文件，每个数据库包 1 7 第3 章任意弱非圆夹杂的e s h e l b y 张量及其数值验证 含相应的实体模型、单元、载荷等；可以把一个结果文件从这个数据库读入到 另一个数据库中，但单元和节点数量编号在数据库和结果文件中必须是相同的。 物理环境法使用一个数据库，数据库中包含所有的物理分析所需的节点和单元： 对于每个单元或实体模型图元，必须定义统一的编号，包括单元类型号、材料 编号、实常数编号及单元坐标编号。所有这些编号在所有物理分析中是不变的。 但在每个物理环境中，每个编号对应的实际的属性是不同的。 3 3 2 热。结构耦合等参元分析 对于本章所讨论的有限元模型，选用平面轴对称p l a n e l 3 2 d c o u p l e d - f i e l ds o l i d 单元。这种单元可用于平面问题的多种物理场之间的耦合计 算，每个单元有4 个节点( n o d e ) ，每个节点存在4 个自由度。如图3 1 所示： f i g u r e1 3 1 囝圆g e o m e t r y t , a r 哆eo p i l o n n o i r 掌c o m m 搴幻d e dl 函s 蜘j c 毫l i r a l a p p i e a 旺o 件$ 图3 ip l a n e l 3 2 dc o u p l e d f i e l ds o l i d 单元 若单元节点位移向量为如y ，则单元应变向量和 与节点位移秘y 的关系如 卜： 扫) = 陋r 式中，陋】是单元应变矩阵。 已知在局部坐标系中，应力应变关系为： 锣 = 陋k 式中，修) 和每) 是局部坐标系下单元的应力和应变， 矩阵。 在整体坐标系中，应力应变关系为： 和 = 陋怡 1 8 ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) 防】为局部坐标系下的物理 ( 3 2 7 ) 臂 蛳 啼y l 雠 第3 章任意弱1 f 圆夹杂的e s h e l b y 张量及其数值验证 其中陋】为材料物理矩阵。 由坐标变换关系可知 每 = i t , 弦 每 = k k 】和阢】分别是应力变换矩阵和应变变换矩阵。 将式( 3 2 8 ) 、( 3 2 9 ) 分别代入( 3 2 6 ) 式，并与( 3 2 7 ) 式比较， 伽) = k r l 防k 】 根据虚功原理，单元刚度矩阵的表达式为： ( 3 2 8 ) ( 3 2 9 ) 可得 ( 3 3 0 ) 陋r = 陋r 陋p 】d q ( 3 3 1 ) 矗 3 3 3 有限元模型的建立与求解 1 、几何模型 本章研究的有限元模型为一平面热结构耦合分析，可以直接采用a n s y s 提供的自底向上的建模方法构造几何模型。在此我们用有限平面模拟无限大平 面，平面与夹杂的尺寸比是1 0 ：1 。由于我们要求夹杂和基体在边界上应变是协 调的，即没有滑移和摩擦；为了简化模型，在建立实体模型时，夹杂和基体共 用一条边界。在此，我们研究的夹杂形状用形状函数表示为 r ( 0 ) = - ( 1 + 2 a 。c o s 4 0 ) ，其中f = l ，a 。= 0 0 3 。在有限元模型中夹杂的模拟是通 过以下方式实现的：首先在整个夹杂边界上取1 0 0 个关键点，再用样条曲线连 接。 2 、定义材料属性，选择单元类型 由于夹杂和基体是同种材料，故都采用p l a n e l 3 2 dc o u p l e d f i e l ds o l i d 单元。由前所述，p l a n e l 3 2 dc o u p l e d f i e l ds o l i d 单元可以直接进行热结构 耦合分析。材料常数为：泊松比= o 2 5 ，弹性模量e = 2 1 0 1 1p a ，热膨胀系数 口= 2 1 0 ( 叫o c ，为了只在夹杂区域产生热应变，热传导系数为零。 3 、建立有限元模型 对实体模型进行网格划分得到节点和单元，由于夹杂周围的应变和应力变 化较大，所以该区域网格划分较密；其他部分稀疏一些。共划分5 7 4 9 6 个单元 ( e l e m e n t ) ，5 7 8 8 8 个节点( n o d e ) ，具体模型如图3 2 所示： 1 9 第3 章任意弱非圆夹杂的e s h e l b y 张量及其数值验证 图32 夹杂周围的网格 4 、加载求解 本章所分析的模型只有温度荷载。在此，我们设定基体温度为2 5 度，夹杂 温度为3 5 度，施加完约束后直接采用a n s y s 默认计算方、法- 波前法计算。 3 3 4 夹杂内外应力应变的理论解 假设在无5 匿大弹性平板内有一小区域产生均匀本征应变o ( 如图33 所示