（应用数学专业论文）退化半导体模型弱解的存在性、唯一性和渐近性.pdf

摘要 退化半导体模型弱解的存在性、唯一性和渐近性 研究生：周文华导师：管平教授东南大学 文章研究一类非线性退化半导体方程： 摘要 坼- d i v ( v 烈u ) - u v w ) = r ( u ，v ) o u v ) ， e - d i v ( v 烈v ) + v v 叻= r ( u ，v ) o u v ) ， 一a w = v 一“+ g v 烈“) 0 = o v 烈v ) u = o v w u = 0 ， 烈”) = 烈) ，烈v ) = 烈) ，w = w o ， “( ，o ) = i d o ，v ( ，o ) = v o ， 瓴，) g = q ( o r ) ， 0 ，r ) 珐， ( x ，) g ， ( x , t ) e = r n x ( o ，丁) ， ( x ，f ) e d = r j x ( o ，r ) ， x q 弱解的存在性、唯一性和渐近性。 这里q c r “( 1 n 3 ) 有界，v 分别表示电子和空穴的浓度，w 为静电位势。烈s ) 为压力 函数，r ( u ，v ) ( 1 一w ) 为净复合率，a q = r d u f n ，f o u r = o 。 文章主要分为四章：在第二章讨论初值为u o ，v o e ( q ) ，w w i p ( q ) ( p 2 ) 时弱解的存在 性。首先利用截断的方法将原问题正则化，化为，v oe 上：( q ) 的退化问题，接着对正则化问题的解 做估计( 这里的估计与具体的截断无关) ，最后利用弱收敛性，通过取极限的方法证明了原问题解的 存在性；在第三章中讨论了唯一性。采用试验函数方法，证明了当初值为，1 o e ( q ) 时原问题解 的唯一性；第四章构造了一个函数，通过求解微分方程证明了初值为，v 0 上：( q ) 时原问题解的渐 近性。 关键词：退化抛物型方程：g r o n w a l l 引理；存在性；唯一性；渐近性 中图分类号：0 2 1 2 2 塔( 2 0 ) 主曩分类：6 2 j 0 2 ：6 2 j 2 0 东南大学硕上学位论文 o nt h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n da s y m p t o t i cb e h a v i o u ro fw e a k s o l u t i o n st oad e g e n e r a t em o d e lf o rs e m i c o n d u c t o r s g r a d u a t e ：z h o uw e n h u a s u p e r v i s o r ：p r o f g u a np i n g s o u t h e a s tu n i v e r s i t y t h ef o l l o w i n gp r o b l e mi ss t u d i e d a b s t r a c t 坼一d i v ( v 烈“) 一u v w ) = r ( u ，v ) ( 1 一u v ) ， v f d i v ( v i 烈v ) + v v w ) = r ( u ，v ) ( 1 一u v ) ， 一a w = v 一“+ g v 烈) u = 0 ，v 烈v ) p = 0 ，v w o = o 烈“) = a n d ) ，烈v ) = 认v d ) ，w = w d ， “( ，o ) = u o ，v ( ，o ) = v o ， o ，r ) g = q ( o ，丁) ， ( x ，f ) g ， ，) g ， ( x , t ) = k ( 0 ，r ) ， ( x , t ) d = r d ( o ，r ) ， x q w h e r et h eu n k n o w n s 嵋材a n d v d e n o t et h ee l e c t r o s t a t i cp o t e n t i a l 。t h ee l e c t r o nd e n s i t ya n dt h eh o l ed e n s i t y r e s p e c t i v e l y , a n d 烈s ) ，r ( u ，v ) o 一矾，) t h ep r e s s u r ef u n c t i o na n dt h en e tr e c o m b i n a t i o nr a t e r e s p e c t i v e l y t h eb o u n d a r yms p i r e si n t ot w od i s j o i n ts u b s e t sr da n dr t h et h e s i si so r g a n i z e di nt h ef o l l o w i n gw a y ：i nc h a p t e r2 t h ee x i s t e n c eo ft i l es o l u t i o ni sd i s c u s s e d w i t h ，v o e ( q ) a n dw e w i , p ( q ) ( p 2 ) f i r s t l yar e g u l a r i z a t i o n o ft h e p r o b l e mw i t h ，e ( q ) i sm a d eb yac u t - o f fm e t h o d b yc o m p a c tl e m m ai ti sp r o v e dt h a tt h el i m i to ft h e s o l u t i o n so f t h er e g u l a r i z e dp r o b l e mi sas o l u t i o no f t h eo r i g t 姐ip r o b l e ma f i e re s t i m a t e s i nc h a p t e r3 i ti s s h o w e dt h a tt h es o l u t i o no ft h eo r i g i n a lp r o b l e mw i t h 9 0 ，v 0ee ( q ) i su n i q u eb yt h et e s tf u n c t i o n m e t h o d i nc h a p t e r4b yc o n s t r u c t o r i n gaf u n c t i o ni ts h o w st h ea s y m p t o t i cb e h a v i o u ro f t h es o l u t i o no f t h e o r i g i n a lp r o b l e mw i t hu o ，上：( q ) a f t e rs o l v i n g t h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n k e y w o r d ：p a r a b o l i ce q u a t i o n so f d e g e n e r a t et y p e ；g r o n w a l l sl e m m a ；e x i s t e n c e ；u n i q u e n e s s ；a s y m p t o t i c b e h a v i o u r i i 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过 的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意。 研究生签名：l 虱叁笙 日 期：立型u f 6 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学，中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内 容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可 以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研 究生院办理 研究生签名：l 虱童堡导师签名：日期：如0 7 工， ， 第一章预备结果 1 1 引言 第一章预备结果 在电场的影响下，漂移一扩散模型描述了半导体器件中载流子的运动规律。从数学角度，我们得 出了如下一类非线性退化半导体方程的混合初边值问题： 虬一d i v ( v 钗“) 一b ( u ) v w ) = r ( u ，v ) ( 1 一u r ) ， v f d i v ( v 烈v ) + b ( v ) v w ) = r ( u ，v ) o l n ，) ， 一a w = v 一“+ g v 烈“) u = 0 ，v 烈v ) u = 0 ，v w d = 0 ， 烈“) = 烈) ，烈v ) = 烈) ，w = 0 ， ”( ，o ) = u 0 ，v ( ，0 ) = v o ， ( x ，r ) q ；= o x ( 0 ，r ) ， ( 毛f ) 弭， 蹴安却。， m ， ( 工，f ) = r ( o ，r ) ， 、 ( x , t ) d = r d ( o ，r ) ， x q 这里q c r “( 1 茎n 3 ) 有界，“，v 分别表示电子和空穴的浓度，w 为静电位势。烈j ) 为压力函数， 兰盟为粒子的迁移率，( “，叻( 1 一删) 为净复合产生率，g 为净电离杂质浓度，u 为r 上的单位外 j 法向量。边界a q 分为两部分：0 f 2 = f d u r ，r o u r = o ，d = r d ( o ，d ，= r x ( o ，r ) 。 在文献 1 】中，当砍j ) ，6 ( j ) 非线性并满足一定的假设条件时，j i d i a z 给出了( 1 1 ) 瞬 时解的存在性和唯一性，但是j i d i a z 不得不假设a q c 0 1 并且假定对于任意满足下列条件 、i ，f ( q ) ，p l ， t l ，= 0 ， 善l ， w d = 0 ，x r 的甲一定属于2 空间，这相当于给定q 的某种几何条件，而这与实际问题是不符的。 2 研究了 a q c ”，b ( s ) = j ，o ，v o c ( q ) 的条件下。退化问题( 1 1 ) 弱解的存在性、唯一性， 3 t i f f 究 了w w 2 9 时该问题的渐近性， 4 讨论了在磁场影响下瞬态解的渐近性。 5 ，6 讨论了烈j ) = j ， 6 ( s ) = j ，初值为o ，v o e ( q ) 的条件下，非退化问题( 1 1 ) 解的存在性、唯一性。本文讨论的 是：在m c o ”，烈j ) = s m ( 1 o ， l 开集，其单位外法线方向为u 。 ) 烈j ) = s m ( 1 m 3 ) ( h 3 a ) g = g ( 力r ( q ) ，v d w 1 ( q r ) r 0 ，v d c ( x 岛) w o 。r ( 0 ，t ；h 1 ( q ) ) ，( d ) ，( v d ) ，r ( o ，t ；y ) ( h 3 b ) g = g ( 力r ( q ) ，v d w 。( g ) 且o ，v d c ( x e g ) ， i 蔓堡盔兰堡! 兰堡笙兰一 w o r ( o ，t ；h 1 ( q ) ) ，似d ) ，( v d ) ，l 2 ( o ，t ；y + ) 。 ( 珏4 ) r ( u ，v ) 关于( ，v ) l i p s c h i t z 连续，且满足o 0 ，有 翻2b 2 a b 一2 + 万 ( 3 ) h s l d e r 不等式若f ( q ) ，v ( q ) ，则有 l l 唯i i i i 。批吖钮g 筑吉弓= - ( 4 ) g r o n w a l l 引理：令t 0 ，g f ( o r ) ，g 0 口卫r c l ，c 2 0 假设 矿z ( o ，r ) ，妒2 0 口七，满足g 缈f ( o ，r ) 和口，( f ) sc 1 + c 2 i g ( j ) 烈j ) a s ，t e ( o ，丁) 那 么下式成立： f o ( t ) c 1 e x p ( c z i g ( s ) 出) ，t e ( o ，d 特别地，如果c l = 0 ，则有伊= o ，口七。 ( 5 ) c a u c h y - s c h w a r z 不等式：设( x ，( ，) ) 室内积空问。若令 2 第一章预备结果 i 州i = ( x ，x ) 一2 ( v x r ) ， 则有 i ( x ，y ) i - n l l y 6 ( v x ，y r ) ； 而且其中等号当且仅当x 与y 线性相关时成立。 东南大学硕t 学位论文 第二章弱解的存在性 2 1 引言 本章讨论如下退化半导体模型弱解的存在性 h t - d i v ( v 烈“) - u v w ) = r ( u ，v ) ( 1 一w ) ， v f - d i v ( v 烈y ) + v v w ) = r ( u ，v ) ( 1 一z n ，) ， 一a w = v - - + g v 钗“) u = 0 ，v 烈v ) d = 0 ，v w ，= 0 ， 烈“) = 烈) ，烈v ) = 烈v d ) ，w = w o ， “( ，o ) = l d o ，1 ，( ，o ) = ， ( x ，f ) g ， ( x ，f ) 弭， 器i 芝 眨， ( x , t ) d ， x q 文献 2 利用先验估计方法讨论了当初值为d o ，v o 上：( q ) 时退化问题( 2 1 ) 弱解的存在性，并 证明了0 圳r ( 西) ，8 “8 r ( 口r ) ，j l _ l ，| i r ( 西) - c ( t ) 和o o ) ，使得： i i 4 0 。一u o i l l , ( n ，+ 1 1 v o 。一v o l i e ( n ) 一o ，占寸o ， 从而也有 0 n o t u o 嵫o ，+ i i v 妇一v o 吣 0 。 在问题( 2 1 ) 中令“( ，o ) = u o 。，v ( ，0 ) = v o 。， 知( 2 1 。) 存在非负弱解( ，匕，比) 。 第二步：我们来考虑问题( 2 1 。) ： ( 2 2 ) 此时记问题( 2 1 ) 为( 2 1 。) ，由文献 2 引理3 2 ( 虬) ，一d i “v 烈) 一v 嵋) = ，( k ，匕) ( 1 一匕) ， ( 匕) ，一d i v ( v 似匕) + 匕v w l ) = r ( u 。，k ) ( 1 一k ) ， 一a w , = k 一4 - g ， v 烈“。) u = o v 烈k ) p = o ，v 心0 = o 认“；) = 烈) ，烈心) = 烈v d ) ，= w o ， 虬( ，o ) = u 0 ，v a - , o ) = v o 。， 4 ( x ，f ) q r ， o ，f ) g ， 滚妻， 仁u ( x , t ) d ， 工q k 忆( 。卫r 。”s c ( r ) ，忆。峨r 。c ( d ， 阿v u c i l 2 ( o r ) - c ( d ，0 厕叫胁，c ( 丁) ， 甩川，则巩凡卫趴f 叩， 其中常数c ( d 与占无关。 证明用虬一，匕一# n f g n ( 2 i 。) 中第一、二个方程的试验函数，得到： 三f 1 , - o f l ：z 。，+ l ( ) 阢1 2 西胁 2 三l k 一( 叫2 疵一厶( ) f ( 心u v ) d c d t + l 矿7 以) v u o a k d t + l “。v k v ( 以- u o ) d x d t + i o r t ( u ，咋) ( 1 一“；k ) ( 虬一“。) , i x , i t 箸厶+ 厶+ 厶+ 厶+ 厶( 2 3 ) 我们将对右边进行逐项估计 对，l ，由。的选取知c ，2 = 一j l r ( ) 。( u , - u o ) d x d t i 1l 。) ；! a x e t + 吾l k 一1 2 蚴 删聃圭l k 嘞1 2 蚴 由假设( 1 1 2 ) ，( h 3 a ) 得： 厶j 矿( ) v 虬v u o d x d t s c k 妒如e 姆n 滔d l = m e n u 7 1 p k l 西油 = 埘c l f 矿阢胁 s 等l m 2 栅+ 万m cb t k , , 一1 栅 竽l i v 虬f 栅+ 篆( + l 栅) 2 孚l 矿( k 归心j 2 撇+ 篆 1 + 厶沁一+ ) 2 拗】 s 譬，矿( ) 阢1 2 拗+ c ( 1 + l 卜j 2 揪) ， 5 东南大学硕士学位论文 l 23 凶u w s v ( u , - u o ) d x d t 2 l v k v ( - u v ) ( u , 一u o ) d x d t + l 叽v ( u 。- - i i d ) u o d x d t ， = 吉l ( k 心+ g ) ( 一) 2 威西一l v 再k ( 一u o ) c & d t + l 化- - u # + g ) ( 心- u o ) 出d t 三l ( k 一虬+ g ) ( 虬嘞) 2 撇+ h o 舯，j ：t w k ，i i 圹吨。，廊 + i q r d ( v g 一+ g ) ( u , - u o ) d x d t 三l ( k 吨+ g ) ( 。s - - d d ) 2 拗+ c i ：( 1 + 陋。叫以。，帆嘞k ，函 + l ( 心一u s + g ) 他- u o ) d x d t 在关于心的项中，我们类似可以得到： 正一k k v k v o , 一v o ) d 。d t 一i 1l ( k 一+ g x v , 一v d ) 2 凼西+ c i ：( 1 + 秘，+ 匕k 。n ) 1 k v d 忆西 一l v d ( k 一+ g ) 化一v v ) c & d t 注意到【( 匕一) 一( k u v ) lr u , 一u o ) 2 一( 叱一v o ) z s o ，则有： ，4 + 正2 圭l ( 一+ g ) 【( 一) 2 一( 匕一v d ) 2 l c b c a t + c i o + 他+ k 6 m ，) ( i i g - - u d 0 以m + 一, o l l l 2 ( n ，) d r + i q r ( v 。r 一心+ g ) 【( 也- u o ) 一v d ( v 。一v v ) d x d t s 圭，【( 匕一v d ) 一( 一“。) + 【v d 一+ g ) l t ( u , 一) 2 一( k 一) 2 】c t , a s + c 1 0 7 p + 忆一+ 心一k 嘶+ 肛。+ k ( n ) 砌一”。l m n ) + k v d 4 工2 ( ) 西 + l 【也一) 一( 一) + ( v v - - u o + g ) 】【( 虬一) 一v d ( 匕一v d ) 船 s c 【l + l 啦- u v 2 + k 一, o i 2 ) a x a t 由假设条件( h 4 ) 可得： 厶= i o r r ( ，k ) ( 1 一) ( - u o ) d x d t , c i u u 。i + l h - u o l a x 毋 = c l 化一+ i + l 帆一i 栅 c ( 1 + l k - u v 2 抛) 第二章弱解的存在性 对k 涌足的方程可得荚似明结果。把1 - $ 1 各项估计代八l 2 j ，寸+ 是戴1 得到： 丢( 1 l u , - u o 嘭+ 啦一v d o ：。哪) + l 矿( 虬) 1 2 出毋+ j 矿( k l v k l 2 凼毋 c 【l + l 舡。一1 2 + k v d l 2 ) d x d t 由g r o n w a l l 引理知： 玖呱m c ( r ) ，k k 加 c ( d ， l 矿( 虬) i v u , 1 2 出出c ( r ) ，l 矿( 匕) p k l 2 d x d t 0 。 证明把烈虬) 一烈) ，烈) 一烈) 分别作为试验函数代入( 2 1 。) 中第一，二个方程， v t 【0 ，明有 j ： 出+ j = l ( v 烈虬) - u , v w , ) 。v ( 烈) 一q , ( u v ) ) d v d t = 【lr ( ，k ) ( 1 一k k ) ( 烈叱) 一烈”出西， ( 2 4 ) 由于 j ： 西 = nj ：饥) 。( 似心) 一t p ( u v ) ) d t d x = lj ：m 叱) 一纵) d u , d x = 。【西( 心( f ) ) 一似。) 协一。：烈) 妣斑 = 。 m ( o ) ) 一o ( 。) l a x l o t “，烈) 】k 一：k ( 烈材。) ) ，出 d k = 。p 也( f ) ) 一o ( 。) 降一。【虬( r ) 烈( t ) ) - u o 。烈( o ) ) 协+ 。b 心似) ) ，动出 = l 【中( ( r ) ) 一中( 。) 】出+ j 口( 烈) ) ，d t d x 7 东南大学硕上学位论文 一jd o ) 烈。( f ) ) 一u o 。烈( ，) ) + 。9 缸。( ，) ) 一。烈u d ( o ) ) 】出 = j n 【中( 虬( r ) ) 一m ( 。) 】出+ j 口虬烈“。) ，d t d x j 。 ( “。( ，) 一；) 烈l b ( f ) ) + ，【烈“。( f ) ) 一，( “。( o ) ) 】 凼 = b 【o ( ( f ) ) 一o ( 。) l a x 一n ( 虬( r ) 一，) 烈( f ) ) 出+ 口( 一，) ( 烈“。) ) ，c l t c k ， 其中烈o ) ) 一烈( o ) ) = 且( 烈) x 西。这样( 2 4 ) 式可以写为： f 。西( k o ) 进+ i q , iv 烈u , ) 1 2d x d t = 。o ( u o 。) 出一l ( 心一) ( 烈) ) ，d x d t + j n ( “。o ) 一l l o 。) 烈t z d ( ，) ) 出+ j q v 烈u , ) v 认”d ) a k d t + j 口f r o ，v ；一“，k ) ( 烈) 一烈u d ) ) + j 凸k v w , v ( 烈叱) 一烈u o ) ) d x d t ， ( 2 5 ) 因为 j 。m ( ( f ) 边+ j ：i i v ( 烈u , ) 一烈) ) 哦m d t j n 巾( 虬( f ) ) 矗+ 2j = t l l v 烈心) 吣2 d t + 2j ：i iv g , ( u o ) 1 l e e ( 。) a r t b 巾( 蚝( ，) ) 矗+ 2j ：0 v 烈1 巳( n ) d t + c ( r ) ， 故由( 2 5 ) 式可得到。 知。( 虬( ，) 瑚r + j = v ( 烈虬卜烈) ) 哆( n ) a t l o * ( u o 。) a x j 口f ( 一i o ，) ( 烈d ) ) , d x d t + j n ( ( o u o 。) 烈“d ( f ) ) 出+ j 口v 识k ) v 9 ，( 口) d u d t + i q , r ( u t ，o ) ( 1 一“；k ) ( 页“。) 一妒( u v ) ) a k d t + j 口虬v k v ( 烈“，) 一烈“d ) ) 西嘧+ c ( 丁) = ，l + t 2 + 厶+ l + 厶+ ，6 + c ( r ) ( 2 6 ) f 回弓愿【2 6 ) 等号石边各项由1 岌设( 1 t 2 ) ，( h 3 a ) 硐 = j n q ，( u o 。) 出= j nr q ，( o ) d a d x = lc “口4 d c r d x c ，f 。m + d x - - c 9 u o ；0 ：= ：。， 0 ，其中c 4 ( t ) 与占无关。由弱解定义，( h 3 a ) 及 8 中定理 i 的证明，引理2 i ，可得： 厶= l 叽v ( 烈) 一烈) ) d x e t 2l 【v 烈虬) 一v 烈) + v 烈) 】。v w f l x d t j ：e , u e v w , v 烈) d x d t = l v 曰( ) 一曰( ) 】v w ；d a d t + lu o v 妒( u o ) v w f l x d # 一l u v w v 烈u o ) d x d t l 觑屹) 一占( ) 】( k - - u 。+ g ) a x d t + cj ：i i v 烈) 。) l i v k 忆哪d t + c l q 1 2 + k 1 2 ) 凼西 口b ( ) 一b ( ) 】也一k + g ) a x d t + c ( r ) + c l 0 1 2 + t v , 1 2 + 1 ) d x d t l 【口( 虬) 一b ( ) 】( k 一+ g ) a x a t + g 仃) ， 这里b ( j ) = r 。( 盯) d 仃，c 5 ( d 与占无关。在关于匕的项中，我们类似可以得到 = 一l k 叽v ( 烈匕) 一烈v d ) ) 出国 = 一l 【k v 烈匕) 一y o r e ( w ) + v v v 烈v d v w f l x d t + i o , v v w v 烈) d x a = 一l 占( k ) 一b ( v d v w , a & d t lv v v 妒( v v ) 。v w d r d t + l k 叽v 烈v v ) d r d t 一l 占( k ) 一b ( v d ) 】( k 一+ g ) d x d t + cj ：| | v 烈v d ) i | 嘶8 v 屹b ( 。) d t + c l 坩+ 1 w 1 2 ) d x d t s l 【曰( ) 一口( v d ) 】( k 一虬+ g ) 凼d t + c ( 刃+ c l 啦1 2 + k f + 1 ) d x d t s l 【b ( k ) 一口( v d ) 】( 匕一心+ g ) 出d t + c ( r ) ， 东南大学硕士学位论文 其中g ( t ) 与占无关a 注意到【口( ) 一曰( 匕) 】( 心一叱) 非负，又由丁= b ( j ) = r o 妒 ( c r ) d c r = c a m 口”d o = c ，”，则由( h 3 a ) 、引理2 12 tp o i n c a r e 不等式有 厶+ = j j b ( ) 一b ( ) 卜【b ( k ) 一b ( ) 】 ( k 一叱+ g ) a x d t + c t ( t ) = 一l 【b ( 虬) 一觑k ) 】( 一v , ) a x a t + l 【b ( ) 一烈k ) 】( 谴毋 + l 【曰( v d ) 一b ( ) 】( k 一a s + g ) a x d t + c 7 ( r ) c a o l p l 巾，1 l + i v ：“f ) 翮+ c l 啦i + j 嵋“一虬+ o a x a t + c 7 ( r ) 喇m ，妒卜l z ( 1 7 1 ) i 凡。l zn 1 ) + w i + k 胁一 驯+ ：巾c 魂，陋l 一 c 3 ( d ， c 7 ( d 、g ( 丁) 与占无关。把( 2 7 ) 一( 2 1 2 ) 的估计代入( 2 6 ) ，加上含k 的项，得到 。m ( 心( f ) ) 出+ 。m ( k ( f ) ) 出 + j ：i i v ( 烈u , ) 一烈) ) 略q ) 西+ j ：i i v ( 烈k ) 一烈v d ) ) 眩。) d t s g ( t ) 。 g ( t ) 与占无关。得到引理2 2 前两个结论，第三个结论由 8 3 中定理i 的证明得到。 引理2 3 若( ，k ，k ) 是问题( 2 1 。) 的解，则有下式成立： 0 ( “。) ，如，) sc ( 丁) ， ) ，k 町：，) c ( r ) ， ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 冥中常数c ( t ) 与无关- 证明我们仅证明( 2 1 3 ) ( ( 2 1 4 ) 式可类似证明) 。由弱解定义，v f f ( 0 ，r ；y ) ，可得到： f o - f n 眈) f ( d x a t = b 胁v ，x 1 - u , v , ) 似毋一b 。v 烈) v ( d x d t + f 。u v w - v 触出 = l i + l l + 1 3 由( h 4 ) 、c a u c h y - s c h w a r z 不等式、引理2 i 和p o i n c a r e 不等式得到。 矗l i r ( ，k ) o 一虬匕粘j c & 出 s c f 。0 i + l l f i c 蛐c b 嗣i + 1 ) i i r 。，眵犯。脚a r t c ( r ) ( b i 阿纸。，毋户 由引理2 2 得： ，2 = 一b 。v 烈) v ( d x d t 矗iv 烈i ，) k 。，绷r 。，a r t 1 0 至三兰塑墅塑互堡堡 l s ( 。t 9 v 妒、k 堋2 r 。，西) _ ( j ：0 v 。f 2 ( 。) 出) - c ( r ) ( b l v 呢m d o j 由引理2 2 知v 烈) 呼( o ，4j w , 喀( 埘爿i 心- ( n ) c ( 丁) ，由嵌入定理有： i i “，l l _ s c ( r ) ， 从而有 i i u ；l i e m ，c ( r ) ( 2 1 5 ) 则由 8 中定理1 的证明得到： = bf 。u ，v w , v 昏a k d t b 肛；0 m ，h w j m ，夥m 。n ) d t c 矗( 1 + 加) + 忆k ，) f a n l 西 c ( r ) ( f 8 v 纸q 】西户， 因此有b f 。也) ，施西c ( 丁) ( 矗i i v f 0 ：。) 西) j _ c ( t ) i i f i i r 【。卫r ) 这样( 2 1 3 ) 式成5 y _ 。 第三步：这一步我们来结束定理2 1 的证明。 由引理2 2 、引理2 3 ，并由 6 中定理1 的结论知，存在( “。，k ，k ) 当占 0 时满足 ( 纵“。) ，烈k ) ) 斗( 烈“) ，烈v ) ) ，在r ( o ，t ；h 1 ( q ) ) ， _ w ， 在r ( o ，t ；h ( q ) ) 由 6 定理1 的结论我们可以从( 钗“。) ，烈咋) ，k ) 中得到一个子序列：( 烈) ，烈) ，) ，当 ，一，一0 使得 似“q ) ，认”q ) ) 一似“) ，如) ) ，在p 蜴) ( ，) 寸( “，v ) ，a , e x e q r - 峨一w ， 在r ( 0 ，t ；h 1 ( q ) ) 由弱解定义，可以得出结论：当j - - o o ，q + o ， ，v ，w ) 满足弱解定义，因此( “，v ，w ) 是问题( 2 1 ) 的弱解。利用引理2 2 、引理2 3 类似方法。我们同样可n 得n f n i ( 2 1 ) 的解满足 i u h 讯t 上2 ( 。 s c ( d ，m r 【o 嘲( n ) ) c ( r ) ， ( 2 1 6 ) 卜竿i f 。，珂。q 。c c 。，l v 竿i r 。，洲。c c 。， c z - ， i i 烈u ) l i e t o ，r ；( n ) ) s c ( 7 ) ，i i 伊( v ) l l e ( o ，r ：日t ( o ”sc ( r ) ， ( 2 1 8 ) m 工2 ，c ( d ，帜i r 【o r r ) c ( r ) ( 2 1 9 ) 东南大学硕七学位论文 3 1 一些引理 第三章弱解的唯一性 在这一部分我们来证明w ew 1 , 2 ( q ) 时问题( 2 1 ) 弱解的唯一性。为了证明唯一性，我们需要弱 解存在正上，下界的结论，下面就给出引理。首先我们给出本章还需要用到的假设条件： ( h 6 a ) 初值，上( q ) k 0 u 0 ，v o c ，口7 x q ； ( h 6 b ) 初值，v o r ( q ) r i o 础o u o ，v o c ，g e x q 引理3 1 【2 1 设( h 1 ) 、( h 2 ) 、( h 3 a ) 、( 1 f 4 ) ，( h 6 a ) 的条件成立，那么问题( 2 1 ) 至少存在一个弱解 且满足： 8 叫b ( 口r ) ，0 甜8 r 口r ，8 ，| l r 。口r ) sc ( r ) ， 其中c ( t 1 是仅依赖于r 的常数。 引理3 2 e 3 1 设( h 1 ) 、( x 2 ) 、( h 3 a ) 、( h 4 ) 、( h 6 a ) 的条件成立，那么问题( 2 1 ) 至少存在一个弱解 且满足： 0 s ( ，r ) v ( ，f ) s l o ， 其中，是与r 无关，仅依赖于l i g 忆，1 ， 证明详细证明过程类似 3 中定理4 3 。 3 2 唯一性 ( h 曲) 的条件成立，则问题( 2 1 ) 的解u v 满足： x q ，a e t ( o ，r ) ， 吒，l 的常数。 定理3 1 设( h 1 ) 、( 1 1 2 ) 、( h 3 b ) 、( i t 4 ) 、( h o b ) 的条件成立，则问题( 2 1 ) 存在唯弱解。 证明设( ，v 1 ，m ) ，( 地，v 2 ，w 2 ) 是初值为d 0 ，v o e ( q ) 的问题( 2 1 ) 的两个弱解，下面我们来 证明( u i ，v 1 ，w 0 = ( “2 ，v 2 ，w 0 我们记：( u ，v ，w ) = ( 一 2 ，v i 一1 ，w i w 0 ，f = r ( q ，v 0 ( 1 一h ) 一r ( u 2 ，v 0 0 - u 2 v 2 ) ， 西( u ) = 认m ) 一烈2 ) ，似 = 烈v i ) 一烈v 2 ) ，这样，v ，) 满足： - d i v ( v 西( u ) ) + d i “mv w + u v w 2 ) = f ，( j ，o g ， ( 3 1 ) 巧一d i v ( v 由( 矿) ) 一d i “啊v + 隋) = f ，( x , t ) g ， ( 3 2 ) 1 2 第三章弱解的唯一性 一a w = v u ， x q ，【o ，】， 和初边值条件： f v o ( u ) u = 0 ，r e ( v ) u = o ，v w u = o ，( x ，f ) = r ( o ，r ) ， o ( 【，) = o ，中( y ) = o = o ，( 工，t ) e e d = l x ( o ，d ， ( o ) = 0 y 矿( ，0 ) = 0 ， 工q 我们构建如下的问题来选取试验函数。 对于给定的盯0 ，我们定义算子日，为： 以：f ( q ) 一h 1 ( q ) ，f h ， 其中h = 日。厂是下列椭圆问题： 一幽+ 葫= f ， x q ， h = 0 ， j i d ， v h d = 0 ， x r ， 明唯一弱觯，由又腻l 8 j 知映射爿，是碉葸义阳很备易验证月，_ ，有很好的性质： ( i ) 对于任意z ，五r ( q ) ，有：l z 以五出= l 以z 出： ( i i ) 日，厂虬，( n ) s c r ( n ) ，这里c 不依赖于盯和，。 选取日，u 作为试验函数，那么u 满足： j ：q 以蝴= 一j = l v 中( ( ，) v 也u 出面+ j = l 吨v 形v h u 破# t + j ：驴也v 以蝴+ f l 腿愀， 记( 3 7 ) 为：= 厶+ 厶+ 厶+ l 由( 3 5 ) 一( 3 6 ) ) 易得盖以u 2 以以于是有 詈l 删，u 扛= l 以u 扛+ l v o v , 五x = 2 l q 以u 斑， 所以有： i l = 与h p 西c 。 厶= 一j ：l v 中( 【，) v 日。【 如西= j ：l 西( ( ，) ( 。以u u ) a x a t = j ：l 【a 中( c ，) 日，u m ( u ) u 】出国 = j ：l 【。t 致中( 【，) 一中( u ) u 】出面= j ：l 【a 打，o ( u ) 一o ( u ) u a x m ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) 由于l l f o l v - 1 2 威协= j ：lu h 。u a k d t j = l a l 以【，1 2 出面茎j ：lu h , , u d x d t ，则 由引理3 1 及 8 中定理1 的证明，有 i 3 = j ：i n u t v w v n v a x a t r l 扣。v 形v 以ui 出毋 等j ：n p 旷1 2 拗+ 丢j ：l 以c ，1 2 蝴 盯j ：l 吖+ m 黝+ 丢j = l i 呱u | 揪 钌j ：n 删+ i 叫2 ) 出出+ 丢j ：0 啦删坳， ( 3 l o ) 由引理2 2 ，有 l = ( 驴w 2 v h u d x d t j ：l l u v w 2 v 也c ，岫 c j ：0 l w 2 忆( 。) l p j ( ，l k t n ) d t 譬t v 呲