网球拍的撞击中心.pdf

收稿日期38 ;修回日期33 作者简介 刘南柳() ,女,湖南新化人,湛江海洋大学理学院讲师,主要从事大学物理教学理论与实践研究工作 网 球 拍 的 撞 击 中 心 刘南柳1,高 洁2 (11湛江海洋大学 理学院,广东 湛江 524088 ;21广东教育学院 物理系,广东 广州 510303) 摘要:讨论了有关网球拍撞击中心的问题,并计算了网球拍的撞击中心的具体位置. 关键词:网球拍;撞击中心;转动惯量 中图分类号:o 313. 3 文献标识码:a 文章编号:100020712(2004)0220029203 1 定义 对刚体撞击中心问题的研究,国内并不多见.国 外的 一些 研究 也 主要 集中 在 网球 拍、 捧球 拍 上13.忽略网球拍上弦线的弹性时,网球拍可抽 象为刚体模型.因此,本文以网球拍为例来探讨有关 撞击中心的问题. 关于撞击中心的定义,不同学者有不同的看法: 1)当球击在该处时,球拍上有某一处会瞬间不 动,且这两点是对易的(或者说是共轭的) 4. 其具 体位置可通过实验将球拍当作复摆并测量它的周期 得到. 2)球击中该位置时,手握球拍的位置(定点)所 受约束力为零的点. 2 研究的现实意义 研究网球拍的撞击中心对网球训练有重要的现 实意义. 当球击在撞击中心时,手不会受到反冲力作用; 而当击球点远离撞击中心时,会有一净力作用在手 上而易使紧握球拍的手受伤. 如果教练及运动员了解球拍的撞击中心知识, 就可以在训练时尽可能地将球击在撞击中心附近. 这样,不仅可以快速提高训练成绩,更重要的是可以 免受伤痛之苦. 3 实验研究 一般用实验可得到第一种定义的撞击中心的具 体位置.具体的实验方法有多种,其中最为普遍使用 的是将球拍悬挂起来作成复摆,然后,将球击于球拍 弦线上的不同位置 实验发现,当球击在质心与悬挂 点连线(对称轴)上某位置时,球拍上有一点在很短 的时间内瞬间不动(该点即为撞击中心) 2 . 现计算其具体位置.由于撞击点在球拍的对称 轴上,所以可将球拍简化为如图1所示模型.球拍自 由悬挂,令球击在距离质心为b的b点,球拍获得 动量增量p ,则球拍质心速度为 vc=p/ m(1) 其中m为球拍的质量.根据角动量定理有 mvcb=ic 将式(1)代入得 =pb/ ic(2) 其中,为绕质心的角速度, ic为网球拍对质心的转 动惯量,令撞击中心在距质心为a的a点,则vc= a.故 a= vc = ic bm ab=ic/ m=k2 (3) 式中k是球拍对质心的回转半径.同时,通过计算 复摆的振动周期还可得到a+b的值.如图2所示, 球拍的悬 挂支点 为b ,则球拍 所受 力矩m= -bmgsin -bmg(很小) ,因 m=ib d2 dt 2, ib= ic+mb2 图1图2 第23卷第2期 大 学 物 理 vol. 23 no. 2 2004年2月coll ege physicsfeb. 2004 :2002 - 0 - 0:200- 02 - 0 :1970. . 所以-mgb=(ic+mb2) d2 dt2 变形得 d2 dt 2+ mgb ic+mb2= 0 该方程与简谐振动的方程类似,因此令 2 =mgb/ (ic+mb2),将式(3)代入上式得 = gb ab+b2 = g a+b 所以a+b=g/ 2 (4) 由于振动圆频率 = 2/ t,而t可根据振动 次数与振动时间确定,所以就能确定a+b. 根据撞击中心的定义可知点a、b是可对易 的,所以,当手握在a点处时,点b就是球拍的撞 击中心. 4 理论分析 现根据第二种定义,用刚体定点转动的动力学 方程求解撞击中心的具体位置坐标.定点转动刚体 只有三种可解情况5,这里只讨论网球拍绕对称轴 (z轴)的自转及对称轴绕过定点且垂直于球拍平面 旋转的情况.如图3所示, o-xyz 为固定坐标系, o-xyz为固定在球拍上的坐标系, oz轴是球拍的 对称轴, o点为定点.设一力f作用在p点,当o 点所受约束力fo= 0时, p点即撞击中心.由质心 运动定理及动量矩定理5 得: ( f+fo)t=m vc=mvc j=( rf)t (5) 式中r为p点在o-xyz系中的位置矢量,忽略重 力作用,令fo= 0得 ft=mvc 对定点转动的动坐标系o-xyz有 vc= rc, rc=zck 图3 代入式(5)的第一式得 ( fxi+fyj+fzk)t=m (xi+yj+ zk)zck=m(zcyi-zcxj) 因对o-xyz系,各轴方向不变,所以有: fxt=mzc y fyt= -mzc x fz=0 (6) 因转轴oz即球拍的对称轴,所以惯量积为零,则其 角动量增量为 j= ixx00 0iyy0 00izz x y z = ixx xi+iyy yj+izz zk (7) (rf)t=(yj+zk)(fxi+fyj)t= (-zfyi+zfxj-yfxk)t(8) 将式(7)、 式(8)代入式(5)第二式得: ixxx= -zfyt iyyy=zfxt izzz= -yfxt (9) 将式(6)的第一式 (-y)代入式(9)的第三式,式 (6)的第二式 (-z)代入式(9)的第一式得: izz z= -myzc y ixx x=mzzc x (10) 变形得: z= ixx mzc y= - izz mzc z y (11) 式(11)中的ixx、izz、zc 及 z、 y由球拍的形状及 具体情况可算出. 5 分析与总结 1)将ixx=ic+mz2c代入式(11)第一式可得 zc(z-zc)= ic m (12) 比较式(12)与式(3)可知两式是一样的,也就是说p 点即球拍的撞击中心.可见,前面两种定义虽说法不 同,但都称为撞击中心是有据可寻的. 2)由式(11)的第二式可看出z0, y0 时, y0,撞击中心不在对称轴上,似乎与实验结果 不符 对此作些分析 将式(6)第一式 z代入式( )第二式得 iyy=zz 30 大 学 物 理 第23卷 . 9 m c 比较式(11)第一式可知ixx=iyy,代入欧勒运 动方程5 有 izzz=mz 从式(6)可知fz=0,故izzz=0,即z=常数, 所以z= 0,而且从式(6) 、(9)可知:y0,故 y= - izz mzc z y = 0 可见,当手握在网球拍把柄末端时,撞击中心在距离 手握点z的对称轴上,与实验结果相符合. 参考文献: 1 brody h. physicsof the tennis racket:the“sweet spot”j. amj phys, 1981 , 49(9):816819. 2 brody h. physicsof the tennis racket j . am j phys, 1979 , 47(6):482487. 3 cross r. the sweet spot of a baseball bat j. am j phys, 1998 , 66(9) :772779. 4 冯麟保.理论力学m .北京:北京师范大学出版社, 1988. 265314. 5 周衍柏.理论力学教程 m.北京:人民教育出版社, 1979. 156213. the center of percussion of the tennis racket l iu nan2liu1, gao jie2 (11college of science , zhanjiang ocean university , zhanjiang , guangdong 524088 , china; 2. department of physics, guangdong institute of education , guangzhou , guangdong 510303 , china) abstract :a problem of the tennis rackets center of percussion is discussed and its location is calculated. key words :tennis racket ; center of percussion ; moment of inertia (上接28页) 式(8)在形式上为一具有负阻尼项的强迫振动线性 微分方程,方程右边可视为强迫项.由于为小量, 在a很小时, a3为高次小量,此时强迫项对系统的 影响可忽略不计.由此系统的准自由振动解可直接 写为如下形式: =ametcos(t+ )(9) 其中am、 由初始条件确定,= 3 8 2 0a 2, = 01 - a2 8 - 9 22 0a 4 64 . 可见,近似微分方程式(8)及其解的形式比文献 1中的结果更为直观.式(9)为一负阻尼振动解,和 正阻尼所描述的情形相反,即振幅随时间呈指数规 律增长.这是由于荡秋千者身体重心按恰当的相位 上下移动过程中使系统获得了正能量输入而越荡越 高的缘故.我们在讲完强迫振动和阻尼振动后引入 此问题并在课堂中进行上述讨论,学生很容易理解, 并饶有兴趣,既丰富了学生的知识,也启迪了思维. 参考文献: 1 刘世清.秋千非线性参变共振的分析j.大学物理, 2001,20(10) :1517. a simple derivation of the solution to nonlinear parameter2variation equation of a swing liu shi2qing (college of physics and mathematics, nanhua university , hengyang , hunan 421001 ,china) abstract :the approximate solution to the nonlinea