（基础数学专业论文）wrpp半群的研究.pdf

独创声明 本a 声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得( 注：如没有其他需要特别声 明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证二8 使用过的材料。与我一同工作的同志对 本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：了宜 导师签字：夺冈退 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解堂撞有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权堂 查奠可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：、7 p 、一 、：；， 导师签字：冷冈退 签字日期：2 0 0 6 年，月? 日签字日期：2 0 0 6年工月驴同 山东师范大学硕士学位论文 w r p p 半群的结构 丁寅 ( 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 本文主要研究某些e h r e s m a n n 型w r p p 半群的结构，其主要思想是利用广义格 林关系和根据广义正则半群的幂等元的集合来研究广义正则半群的结构 w r p p 半群是一种重要的半群，某些w r p p 半群的结构已经有了很好的刻划本 文将把这种良好的结构推广到相应的某些广义正则半群上全文共分四章 第一章主要介绍了一些预备知识以及织积，半织积，一积等一些基本概念 第二章主要对e h r e s m a n n 型w r p p 半群的结构进行了描述我们介绍了e h r e s m a n n 型w r p p 半群的概念，它是一种特殊的w r p p 半群给出了这种半群的结构定理，此 结果也可推广到相应的r p p 半群及正则半群上 第三章主要刻划了正则e h r e s m a n n 型w r p p 半群的结构首先定义了c - e h r e s m a n n 型w r p p 半群，即e ( s ) 是c 带的e h r e s m a n n 型w r p p 半群然后刻划了左正则e h r e s m a n n 型 p p 半群，右正则e h r e s m a n n 型w r p p 半群和正则e h r e s m a n n 型w r p p 半群的结 构，描述这几种半群的半织积结构和一积结构此结果也可推广到相应的r p p 半 群及正则半群上 第四章主要刻划了l r e h r c s m a n n 型w r p p 半群的结构描述这种半群的半织 积结构和一积结构此结果也可推广到相应的r p p 半群及正则半群上 关键词：e h r e s m a n n 型w r p p 半群，c e h 7 e s m 。7 m 型w r p p 半群，织积，半织 积，一积 分类号：0 1 5 27 山东师范大学硕士学位论文 s t r u c t u r e so fs o m ee h r e s m a n n t y p e dw r p ps e m i g r o u p s d i n g y i n t h ei n s t i t u t eo ft h es c i e n c em a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p r c h i n a a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w es t u d yt h es t r u c t u r eo fs o m ee h r e s m a n n t y p e dw r p ps e m i g r o u p st h e m a i ni d e ai st od e s c r i b es t r u c t u r e so ft h eg e n e r a l i z e dr e g u l a rs e r n i g r o u p sb yg e n e r a l i z e dg r e e n r e l a t i o n sa n dt h es e to ft h ei d e m p o t e a t so fg e n e r a l i z e ds e m i g r o u p s w r p ps e m i g r o u p sa r eac l a s so fv e r yi m p o r t a n ts e m i g r o u pt h es t r u c t u r eo fs o m ew r p ps e m i g r o u p sh a v eb e e nd i s c r i b e d i nt h i sp a p e r t h es t r u c t u r e sw i l lb eg e n e r a l i z e dt os o m eg e n e r a l i z e d r e g u l a rs e m i g u o u p t h e r ea r ef o u rc i l a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w em a i n l yd e s c r i b es o u l ep r e l i m i n a r i e s s p i n e d p r o d u c t ，s e m i s p i n e d p r o d u c t 一p r o d u c ta n ds oo n i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ed e a lw i t he h r e s m a n n t y p e dw r p ps e m i g r o u p s ，w ei n t r o d u c et h e c o n c e p to fe h r e s m a n n 。t y p e dw r p ps e m i g r o u p sw h i c hi sap a r t i c u l a rk i n do fw r p ps e m i g r o u p s s o m es t r u c t u r et h e o r e m so fs u c hs e m i g r o u p sa r eo b t a i n e d t h e s er e s u l t sc a j lb eg e n e r a l i z e dt o r p ps e m i g r o u p sa n dr e g u l a rs e l n i g r o u p st o o i nt h et h i r dc h a p t e r jw eg i v et h ed e s c r i p t i o no ft h es t r u c t u r eo fr e g u l a re h r e s m a n n t y p e d w r p ps e m i g r e u p sf i r s t l y ，w eg i v et h ed e f i n i t i o no fce h r e s m a n n t y p e dw r p ps e m i g r o u p s ，iet h e e h r e s m a n n t y p e dw r p ps e m i g r o u p sw i t ht h es e to fi d e m p o t e n t sb e i n gcb a n d st h e n ，w eg i v e s t h cs t r u c t u r eo fl e f tr e g f l a re h r e s m a r m t y p e dw r p ps e m i g r o u p s ，r i g h tr e g u l a re h r e s m a a o t y p e d w r p ps e m i g r o u p sa n dr e g u l a re h r e s m a n n t y p e dw r p ps e m i g r o u p sa tl a s t w eo b t a i nt h es e m i s p i n e dp r o d u c ts t r u c t u r ea i l dt h e 一p r o d u c ts t r u c t u r eo ft h e s es e m i g r o u p st h e s er e s u l t sc a nb e g e n e r a l i z e dt or p ps e m i g r o u p sa n dr e g u l a rs e m i g r o u p st o o i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，w ed e s c r i b et h es t r u c t u r eo fl re h r e s m a a m t y p e dw r p ps e m i g r o u p s w eg i v et h es e m i - s p i n e dp r o d u c ts t r u c t u r ea n dt h e 一p r o d u c ts t r u c t u r eo fs u c hs e m i g r o u p s t h e s er e s u l t sa r eg e n e r a l i z e dt or p ps e m i g r o u p sa n dr e g u l a rs e m i g r o u p st o o 。 k e y w o r d s ：e h r e s m a n n - t y p e dw r p ps e m i g r o u p s ，c e h r e s m a n n t y p e dw r p ps e m i g r o u p s ； s p i n e dp r o d u c t ，s e m i 。s p i n e dp r o d u c t ，一p r o d u c t c l a s s i f i c a t i o n ：0 5 27 2 山东师范大学硕士学位论文 第一章引言与预备知识 一个纯整半群称为一个纯整群并，如果它还是完全正则的众所周知，纯整群并 可以表示成矩形群的半格，纯整群并的结构已引起许多作者的兴趣郭聿琦教授分 别称幂等元形成左正则带和正则带的纯整群并为左e 一半群和拟c 一半群关于左 c 一半群和拟c 一半群的性质和结构刻划见 1 3 ，】4 众所周知，半群上的格林关系在 正则半群的研究中起着重要作用利用各种广义的格林关系：例如f c , a n r a i n 2 1 定义 的+ 一格林关系和t a n g 8 定义的+ + 一格林关系，可以定义和研究一些广义正则半 群对于强r p p 半群，j b f o u n t a i n 9 刻划了c r p p 半群的结构；y q g u o ，k p s h u m 和p y z h u 1 1 构造了左c r p p 半群c r p p 半群和左c r p p 半群分别是c l i f f o r d 半群和左c 半群在强r p p 半群内的直接推广由此，我们可以发现对广义正则半群 的研究是沿着研究完全正则半群的轨迹层层推进的 本文主要研究某些w r p p 半群的结构，它是一类广义的正则半群其主要思想 是利用广义格林关系和根据广义正则半群的幂等元的集合来研究广义正则半群的 结构 下面介绍一些基本概念： 设s 是半群，记e ( s ) 是s 的幂等元集合，s 上的格林关系+ 一关系为： c + ( s ) = ( n ，6 ) s s l ( v z ，y s 1 ) a x = a y 铮妇= 晒) ， 佗( s ) = “o ，6 ) s s l ( v x ，9 s i ) 。= y a 营劬= y b ， h + ( s ) = c + ( s ) n7 已+ ( s ) 易知，c ( s ) c + ( s ) ；v e ，e ( s ) ，e c + ( s ) ，甘e c ( s ) ， 设s 是半群，记e ( s ) 是s 的幂等元集合，s 上的格林关系t + 一关系为： c + + ( s ) = ( 。，b ) sxs l ( v z ，yes 1 ) 。z 7 z ( s ) n 9 甘b x t a ( s ) b y ， 冗”( s ) = ( ，6 ) s s l ( v x ，y s 1 ) x a c ( s ) y a 曹x b ( s b b ， 爿+ ( s ) = + + ( s ) n7 2 + + ( s ) 易知，l ( s ) + + ( s ) ；v e ，e ( s ) ，e c + + ( s ) ，且e ，e e ( s ) ： e ，e = e ，e ，= ， 如无歧异，我们记s 上任一等价关系p ( s ) 为p 定义1 1 1 8 】半群s 称为w r p p 半群，如果v a s ，工：+ n e ( s ) o ，其中工：4 是包含n 的c ”一类s 称为强w r p p 半群，如果v a s ，ll ：n j 。i = 1 ，其中。= e e ( s ) ie 。= 。e = 。) ，此时，工n l 的唯一元记为a 4 - + 定义1 2 1 2 , 1 1 半群s 称为r p p 半群，如果v a s ，l n e ( s ) 0 ：其中“是包含。的 c + 一类s 称为强r p p 半群，如果v a s ，i e n l i = 1 ，其中厶= e e ( s ) ie a = “e = n ) 此时，en l 的唯一元记为n + 山东师范大学硕士学位论文 幂等元在中心的v p p 半群称为c r p p 半群半群s 是c r p p 半群当且仅当 s 是左可消幺半群的半格 定义1 3 半群s 称为见一左可消的，若 ( v a ，b ，c 5 ) ( a b ，a c ) r j ( b ，c j 冗 注1 4 设s 是半群，s = 【y ；】即指s 是半群& ( “y ) 的半格y 特别，若s 是带，则 y ；& 即指s 的最大半格分解s = i t ；s ；扎，口 即指s 是半群& ( 0 = y ) 的强半格，丸口是其结构同态系 定义1 5 只含一个幂等元的幺半群称为幂幺半群( u n i p o t e n ts e m i g r o u p ) 注1 6 为方便起见，矩形带， 和幂幺半群t 的直积称为矩形幂幺半群，记 为，丁a 特涮，左零带，和幂幺半群，的直积，t 称为左幂幺半群，右零带a 和幂幺半群t 的直积2 1 a 称为右幂幺半群 定义1 7 强w r p p 半群s 称为e h r e s m a n n 型w r p p 半群，如果e ( s ) 是带，且满足 e h r e s m a n n 型条件，即e t 一条件 4 = ( 讹，b s ) ( 。b ) + + d ( e ( s ) ) n + + 6 + + 注1 8 设x 是半群 & h = l ，2 ，n ) 的次直积记p s 。s ，为x 到岛的投 影，使得v ( n l ，。，。) x ，( o 。，。z ，) 砥嗡= ( 吼，a j ) 同理，；表示五到的 射影，使得v ( 0 2 ，。) x ，( o 俨2 ，扣。) 琢：= 。， 引理1 9 设s 是矩形幂幺半群& = 咒a 。陋，) 的半格) ，即s = ：盼s 。： k 7 j a 。】且e ( s ) 是带，则v ( i ，z ， ) ，( i o ， ) e & ，v ( j ，y ，) ，( j ，p7 ) & ， z ， ) ( j ，y ，p ) 】功二。= 时，z ，a ) ( j ，) 】功钿 证明：设( i ，z ， ) ，( i z ， ) s 。，( 妯，p ) ，( j ，) 昂，v ( k ， ) j 。口xa m ( k ，”一) 厶口a 。卢，记( i ，。， ) ( 七，1 _ 。，) = ( j ，毛r ) 贝0 z ，a ) ( $ ，i t 。，”) 功：。 = ( f ，1 咒口，r ) ( 2 ，。， ) ( 盘，1 咒口，p ) p r 日 = 【( f ，1 咒f ，r ) ( t ，z ， ) ( 七7 ，1 咒口，) ( 南，l 已。，) 】f k ， = 。，妁( 7 ，1 l 。，) ，p k 。 即z ，a ) ( ，1 瓦。，v ) 口咒。与( ，”) 无关同理1 k 。”) ( i ，z ，州p l 。亦与( a ，”) 无关 设( i ；z ，a ) ( j ，y ，p ) = ( m ，7 ) ，则 z ，a ) ( j y ，p ) 砀。 = ( 。，1 7 二， ，) ( m ，1 ，二口，7 ) ( i ，z ，a ) ( y ，p ) ( m ，1 7 二。，7 ) ( ，7 ；1 乃，p ) z l 。 = ，1 ，a ，) ( i ，z ， ) ( j y ，p ) ( j ，1 b ，f i ) p t o 。 = f ( i z ，a j ) ( i ，l l ) ( j ，1 ，p ) 7 k 口 ( i ，1 咒，a ) ( ，：i t z ，z ) ( j7 ，y ，p ) 岛：。 = 【( 一，。) ( i ，1 n ， 。) ( j 1 ；p ) 7 咒。【( z7 ，1 l ， ，) ( j7 ， p ，) ( 7 ，y ，f ，) 7 。 4 山东师范大学硕士学位论文 = 【( t ，z ，) ( 以1 咒， ) ( j ，1 ，p j ) ( j ，y ，) p r 。 = 旧，z ，) ( ，”，) 功：。 证毕 推论1 1 0 设s 是矩形幂幺半群s 。= j 。死x a 。陋y ) 的半格y ，即s = 骱= l 咒a 。 且e ( s ) 是带在t = u 咒上定义运算“。”：对任意的z 咒，y 功， d e y zoy = z 甘( j ( ，a ) l a 。干口( ，p ) 如xa 口) ( t ，z ，a ) ( j ，y ，p ) 】乃：。= g 则( t ，。) 是幂幺半群咒恤y ) 的半格 证明：由引理1 9 即得 证毕 以下，我们将不加说明地利用推论ll o 引理1 1 1 设s 是矩形幂幺半群s o = i o 咒a 。( y ) 的半格】7 ，即s = 骱& = 厶咒k 且( ，x ，a ) & ，( j ，y ，p ) 昂，则 ( i ，z ，a ) 佗( s ) ( j ，y ，p ) 甘d = 卢，( i ，z ，a ) 冗( ) ( iy ，肛) 甘i = j ，。咒( ! k ) 证明：第二部分显然下证第一部分 乍显然， = ja = 口显然设a ，6 s 1 ，使得( i ，z ，a ) = ( j ，y ，f 加，( j ，y ， ) = ( i ：z ， ) 6 则( x ，a ) = ( j ：，t t ) a ( i ，1 t o ，a ) ，( j ，y ，p ) = ( i ，z a ) 6 ( j ，1 ，p ) ，即( i ，z ， ) 冗( s ，) ( j ，y ，f z ) 证毕 以下，我们将不加说明地利用推论11 1 本文中，我们用万) 和再( x ) 分别表示集合x 上的左变换半群和右变换半 群设，= p ：l 和t = 陬b 3 是两个半群对任意的n y ，作直积咒= k ，并 令s = u 品如果映射 n y ：s _ 万( n ( i ，。) ( i ，z ) + 满足下列条件：对任意的( i ，z ) & ，( ，y ) 勘，总有 ( 1 ) 0 ，z ) o u ) 。口，特另0 ，当d 曼卢总有( i ，g ) 0 0 ) = i ； ( 2 ) u ，z ) o ( j ，”) 孝= ( 0 ，z ) 4 ( j ) ，。) 8 那么s 关于二元运算 ( i ，z ) u ，可) = ( 0 ，。) 齐( j ) ，z y ) 构成一个半群z h u ，g u o 和s h u m 1 3 称此半群为，和t 陕于】7 和叩 的一个左半织 积，记作s = ，x ) 1 。l j1 称为此左半织积的一个结构映射 若妒是集合x 上的一个变换，i 则 表示妒是上的一个常值映射 且其值为 而 表示五上值为z 的常值映射 山东师范大学硕士学位论文 设t = 阶瓦】是一个半群，对任意的n l 是一个非空集合作直积s 。 l 死，并令s = u 咒及= u 对任意的- y ，o k 当7 a 时，定义映射： d y c , e y 妒。：s ：_ 可( ) ，( i ，z ) 卜妒黯 满足下列条件：对任意的a ，口y ，总有 ( 1 ) 对任意的( t ，z ) s 。：妒浆= ； ( 2 ) 当( i ，z ) 矗及( ，) 时，妒? 茹妒努器= ，另外， ( 3 ) 对任意的d n 口( y ) ，母物7 = 妒嚣始，其中= 则s 关于二元运算： ( v ( i ，z ) & 且v ( j ，y ) 昂) ( i ，z ) ( j ，) = ( ，x y ) 构成一个半群，称为，和t 陕于结构映射札， 的左一积，记为s = j 札，t 山东师范大学硕士学位论文 第二章e h r e s m a n n 型w r p p 半群 2 1 肪型w 唧半群 定理2 1 1 设s 是一个半群下列叙述等价： ( i ) s 是一个强w r p p 半群且e ( s ) 是矩形带； ( i i ) s 是一个e h r c s m a n n 型w r p p 半群且z ( s ) 是矩形带； ( i i i ) s 同构于一个矩形幂幺半群t a 且t 是冗一左可消的， 证明：( i ) = 寺( 1 i ) 显然 ( i i ) j ( i i i ) 设( i i ) 成立取e e ( s ) 并令 & ： z s iz + + = e ) v 。，b s 。，我们有a b e = e a b = a b 且 ( vz ，y s 1 ) a b x 冗a b y 甘。+ + b z t c a + + b y 咎b x 冗b y 营e x t i e y 因此，( 。b ) + + = e ，即a b & 从而s e 是s 的一个幂幺子半群vn b ，c s 。，若a b t 2 a c ， 则6 = e b t c e c = c ，即是冗一左可消的定义映射 f 如：s s _ s e ) a 卜e a e 注意到e ( s ) 是矩形带，我们有 ( vz ，y s 1 )e a e x 冗e a e y 甘f c a ) + e x r ( e a ) + + e y 铮e z = e ( e o ) 十+ e x r e ( e a ) + 4c y = e y 故( e n e ) + + = e ：从而f 加是良定义的又 ( vx s ，) z 白，e & ，= f e x e f = f e f x f e f = f x f = z ， ( vy ) 。，白，。= e 向，e = e f e y e f e = e y e = y 因此白，。是一个双射且1 _ 已 ，进一步地， ( vz ，y 曲) ( 。”) ，_ = e x y e = e x f e f y e = e x e e y e = z f ，e 白e ， 这就证明了，。是一个同构映射注意到e ( s ) 是矩形带，我们有vn ；b s ( vz ，s 1 )a b z t 2 a b y o f f + b x t 7 a + + b y t e eb x = 6 + + 。+ + b x g b + + n + + b y = b y 曹矿+ z 冗b 十+ 掣 山东师范大学硕士学位论文 营n + + b + + 冗o + + b + + y 且曲：0 6 。”b + + = ”b + + 。6 因此，( 6 ) h = 。+ + b “注意到 ( z 掣) 缸) + + ，e = e x y e = 日z 扩+ e y + + y e = e x e e y e = z 矗+ 十，e 可白，e 易证 f ：s s e e ( s ) ，z 卜( z 已z + + ) 是一个同构映射且e ( s ) 在此同构映射下的象是 e ) e ( s ) ( i 。i ) ：辛( i ) 不妨设s = fx t xa 是一个矩形幂幺半群且t 是r 一左可消的，易证 s 是一个强w r 即半群且e ( s ) = ， 1 t ) a 是一个矩形带 证毕 定理2 1 2 设s 是一个半群，下列叙述等价： ( i s 是一个e h r e s m a n n 型w r p p 半群； o i ) s ：盼s 。：厶死a 。 ，其中诸晶是矩形幂幺半群，是佗一左可消的， e ( s ) 是带且对任意的( i ，。，a ) s 。，( j ，p ) 知，( ，”) 0 a 1 ， 【( i ，n a ) ( f ，1 如，p ) n 。= 【( i ，a ，a ) ( ，1 ，j j 7 ) ，。， 辛 ( i ：1 n ，a ) ( 且1 b ，p ) z k 口= ( t 1 死，a ) ( 七，1 l ，) 】7 k ， 证明：( i ) ：寺( i i ) 设s 是一个e h , r c s m a n n 型w r f p 半群并设e ( s ) = 盼e 。 对任意 口y ，记 s 。= z s 1z + + e 。) 对任意的z 墨，岛；因为( 甜) ”口( e ( s ) ) z + + g h ，所以，x y s 。口这说明s = 【y ；】 对任意的。9 。，易知。c 一+ ( s 。) 矿+ ，故s 。是一个强p p 半群且e ( s 。) 是矩形带 若另有n c + * ( s 。) e ，e 。，注意到e ( & ) 是矩形带，则易知n c + + ( s ) e 又e l ，所以， e ：。，即是一个强w r p p 半群由定理2 1l ，不妨设s 。= j 。a 。是矩彤幂 幺半群且咒是冗一左可消的对任意的( i ，。， ) ，u ，f 。) 如a 口：( k ，”) l , y ， 设。， ) ( 1 码，p j p 山= 。， ) ( 女，1 耳，一) 】p k 注意到推论1 9 ，我们有 【( i ，。， ) ( j ，1 孔，p ) 1 p l 。= ao1 t z = a0 1 t o 。l 邓= b 。1 l p = o0 1 t = ，= a 。1 t o 。1 l = 。已 = ( i ，。 ) ( ，1 n ，v ) i v r ，故【( i ，。：a ) ( j ，1 耳，p ) 冗【( i ，a ) ( ，1 _ ，) 注意：到( id ， ) + + ：( 。，1 咒， ) 我们有 ( i ，1 t ： ) ( j ，1 ，p ) 冗 ( z ，l l ，a ) ( ，1 鼻，”) 】 从而1 t ，a ) ( 扪，删乃。= 1 l ：， ) ( ，1 7 ；，”) 研h ( i i ) ：j ( 、) 设0 i ) 成立对任意的( i ，。，a ) & ，( j6 ，) 昂，( ，c ，”) 岛，注意到引理 1 l l 和咒目是冗一左可消的，我们有 ( i “， ) ( j ，b ；f ) 兄( 2 ，a ，a ) ( ，c ) 号( ( z ，na ) ( 7 1 ：p ) 乃。口，n 。1 瓦p 。6 ，f ( 。1 咒， ) ( jb ， ) 既。) 8 山东师范大学硕士学位论文 冗( ( i ，8 ， ) ( k ，1 _ ，) 】7 ： z o ，n0 1 l ，oc ， ( i ，1 咒，a ) ( ，c ；) 】n 。，) 辛( ( i ，n ，a ) ( j ，1 耳，肛) p x o 口，1 t ob ：【( z ，1 l ， ) ( b ，u ) p a 。) 佗( ( i ，a ，a ) ( ，1 l ，) 】p j 。，1 凡oc ， ( i ，1 l ， ) ( k ，c ，- ) p a 。，) 辛( 【( i ，1 l ， ) ( j ，1 如，p ) p ，。口，1 t 。b ，【( i ，1 l ， ) ( j ，b ，“) 】7 ) 。) 冗( 【( z ，1 n ， ) ( 后，1 b ，) 】7 ) ，。，1 凡oc ，【( ；，1 咒， ) ( 南，c ，) 】_ 7 ) a 。，) 辛( i ，1 咒，a ) ( j ，b ，p ) 足( i ，1 咒，a ) ( ，c ，) 同理，我f 门有( z ，n ， ) ( j ，b ，f 1 ) 冗( i ，。， ) ( i ，1 咒， ) ( j ：b ，p ) 亿( i ，1 ，a ) 因此，( i ，a ，a ) ”( i ，1 t o ： ) 注意到( i ，1 l ， ) 是l 麓。， ) n 昧。 ) 中的唯一元，所以s 是强w r p p 半群且对任意的 ( z ，玛a ) s 。，( i ，o ， ) + + = ( i ：1 l ， ) 对任意的a y ，s ( s 。) 是矩形带，易知s 满足e t 一 条件综上，s 是一个e h r e s m a n n 型t 0 7 p p 半群 证毕 52 2 若干应用 引理2 2 1 设s = 骱s 。= k 咒a 。 ，& = k 咒a 。( ney ) 是矩形幂幺半 群且咒( a y ) 是左可消的，则e ( s ) 是s 的子半群 证明：设( z ：1 咒，a ) e ( & ) ，( j ，1 耳，p ) e ( 昂) 并设( i ，l 咒， ) ( ，1 ，p ) = ( f ，n ，r ) 我 们分两种情况证明( z ，o ，r ) 目( 口) ( 1 ) n p 时， ( 1 ，a ，r ) = ( 。，1 r ， ) ( f ，。，r ) = ( i ，。，r ) ，故l = i 令( z ：1 l ： ) ( 1 乃，p ) = ( i ，b ，) ，则( i ，o ，r ) = ( i 、。，r ) ( i ，1 咒，r j ( 川，t ) = ( z ，a b ，”) 因死( “r ) 左可消，故6 = 1 r ，r = ，即( i ，1 t ，r ) ( j ，1 ，p ) = ( e ，1 死，r ) ，从而，( j ，1 ，p ) ( z ，l r ，r ) e ( s 。) ，且 ( f ，a ，t ) 2 = ( i ，l 咒， ) ( ，1 ，p ) ( i ，1 咒，t ) ( 1 ，q t ) = ( i ，1 咒，a ) ( 1 ，o ，r ) = ( 2 ，a ，r ) e ( & ) ( 2 ) 一般情况时，因为0 = p a ，p ，利用( 1 ) ，我们有 ( f ，r ) 2 = ( 2 ，。，r ) ( ( f ，1 。，r ) ( z ，1 咒，a ) ( j ，1 乃，肛) ) ( 2 ，1 l 。，r ) = ( 2 ，。，r ) ( 2 ，i t 。，r ) = ( f ，8 ，r ) 证毕 类似地，由定理2 1 i 和定理2 1 2 ，我们有 定理2 2 2 设s 是一个半群下列叙述等价： o ) s 是一个强r p p 半群且s ( s ) 是矩形带； ( i i ) s 是一个e h r e s m a n n 型r p p 半群且e ( s ) 是矩形带； 9 山东师范大学硕士学位论文 ( i i i ) s 同构于一个矩形幂幺半群，txa 且t 是左可消的 定理2 2 3 设s 是一个半群下列叙述等价： o ) s 是一个e h r e s m a n n 型聊半群； ( i i ) s = 【y ；= l 死a 。】，其中诸& 是矩形幂幺半群，瓦是左可消的，e ( s ) 是带且对任意的( i ，a ，a ) 品，( j ，p ) 如a p ，( ，”) a ， o ， ) ( j ，1 邓，p ) 】p 如= o ， ) ( k ，1 耳，一) p l ， 号f ( ，1 咒，a ) ( j ，1 如，p ) 乃。口= ( i ，1 咒： ) ( 七，1 耳，) p j 。， 注2 2 4 纯整群并是正则的e h r e s m a n n 型w r p p 半群，由定理21 2 ，即得纯整群 并的结构 山东师范大学硕士学位论文 第三章正则e h r e s m a n n 型w r p p 半群 53 1 左( 右) 正则e h m 。n 型w 唧半群 定义3 1 1e h r e s m a n n 型w r p p 半群s 称为c e h r e s m a n n 型w r p p 半群，如果 耳s ) 是c 带 定义3 1 2e h r e s m a n n 型r p p 半群s 称为c e h r e s t r 6 a n n 型r p p 半群，如果e ( s ) 是c 带 列出的重要c 带有： ( i )正则带：满足等式e f g e = e f e g e 的带， ( i i ) 左正则带：满足等式e 厅= e ，的带， ( i i j ) 右正则带：满足等式e ，e = ，e 的带， ( i v ) 正规带：满足等式e f g e = e g f e 的带， ( v ) l r 一正则带：满足等式e r e = e ，或e ，e = 的带 显然，一个l r 一正则带一定是正则带；一个正规带一定是正则带一个l 肛正 则e h r e s m a n n 型w r p p 半群是一个正则e h r e s m a n n 型w r p p 半群；一个正规e h r e s m a n n 型w 即半群是一个正则e h r e s m a n n 型p p 半群一个l r 一正则e h r e s m a n n 型r p p 半群是一个正则e h r c s m a n n 型r p p 半群一个正规e h r e s m a n n 型r p p 半群是一个正 则e h r e s m a n n 型r p p 半群 推论3 1 3 设s 是一个半群下列叙述等价： ( i ) s 是一个强w r p p 半群且z ( s ) 是左零带； ( i i ) s 是一个左正则e h r e s m a n n 型w r p p 半群且e ( s ) 是左零带； ( i i i ) s 同构于一个左幂幺半群，t 且t 是咒一左可消的 证明；由定理2 1 1 即得 证毕 推论3 1 4 没s 是一个半群下列叙述等价： ( i ) s 是一个左正则e h r e s m a n n 型w r p p 半群； ( i i ) s = 阶& = k 咒】：其中诸s 。是左幂幺半群，咒是冗一左可消的，e ( s ) 是左正则带且对任意的( z ，。) s 。，j 妇：k l ， ( i ，。) ( i ，l 码) r 。= ( z ，。) ( k ，1 n ) 乃。，号 ( i ，1 r ) ( j ，1 巧) n 。p = ( i1 l ) ( 七，1 n ) p 。， 证明：由定理2 12 即得 证毕 山东师范大学硕士学位论文 下文我们说s = 陋s 。= l 咒 是左正则e h r e s m a n n 型w r p p 半群即指& 是左 幂幺半群，死是冗一左可消的，e ( s ) 是左正则带且对任意的( i ，n ) 最，j ，卢：女， 【( z ，。) ( j ，1 ) 】_ ) ) 。= ( i ，) ( 盘，1 n ) 】n 。，等【( i ，1 l ) ( j ，1 t a ) p 。口= ( ，1 咒) ( 七，l 耳) p 。， 对偶地，易知 推论3 1 5 设s 是一个半群下列叙述等价： ( i ) s 是一个强w r p p 半群且e ( s ) 是右零带； ( i i ) s 是一个右正则e h r e s m a n n 型w r p p 半群且e ( s ) 是右零带； ( i i i ) s 同构于一个右幂幺半群t a 且r 是兄一左可消的 推论3 1 6 设s 是一个半群下列叙述等价： ( i ) s 是一个右正则e h r e s m a n n 型w r p p 半群； ( i i ) s = y ；s 。：= 死a 。1 ，其中诸s 。是右幂幺半群，咒是佗一左可消的，e ( s ) 是右正则带 下文我们说s = 【y ；s 。= 7 ；a 。 是右正则e h r e s m a n n 型w r p p 半群即指s 。是右 幂幺半群，是兄一左可消的，e ( s ) 是右正则带 定义3 1 7 【s 幂等元在中心的w r p p 半群称为c w r p p 半群 注3 1 8s 是幂幺半群的半格，则e ( s ) 是带 由定理2 12 和参考文献阮我们得到下面的推论 推论3 1 9 设s 是一个半群下列叙述等价： ( j ) s 是e ， e s m n n n 型w r p p 半群且z ( s ) 是半格； ( i i ) s = 【y ； ，其中是冗左可消幂幺半群； ( i i i ) s 是c w r p p 半群 53 2 正则e t ”m n 型u 唧半群 从引理3 2 1 到推论3 26 ，我们总假定s = 盼s 。= l a 。 是一个正则 e ， m n n 型w r p p 半群其中e ( s ) = ；l f r o a 。】，& = 厶a 。( n y ) 是一 个矩形幂幺半群，是冗一左可消的且对任意的( i ，z ， ) s 。，( jp ) 如“口( ，”) a 1 ， z ，a ) ( j ，1 珏，肛) 7 ) l 。= z ， ) ( ，1 耳，一) j 乃。， = ( z ，1 咒，a ) ( j ；1 ，t ) _ 7 ) i 。= 【( z1 l ，a ) ( 七，1 i ；，2 州p ，。， 因为e ( s ) 是s 的一个子半群，不失一般性，我们记( i ，1 l ， ) e ( s ) 为( i ，a ) 引理3 2 1 ( 1 ) = uk 关于二元运算： q y ( v 。k 且如) i 。j = 营( - = a a 。邑| 如) ( i ，a ) ( ，p ) 乃。= 构成一个左正则带且，= 阶l 】 山东师范大学硕士学位论文 ( 2 ) a = ua 。关于二元运算： o y ( v a a 。且v p 如) a 。p = r 甘( 3 i k 目j 如) 【( ，a ) ( j ，灿) 】p 。口= r 构成一个右正则带且a = 阶a 。】 ( 3 ) e ( s ) ! jo ya 证明：( 1 ) 注意到e ( s ) 是一个正则带，我们有r ( e ( s ) ) c ( e ( s ) ) ( e ( s ) 上同余) 且 ( i ，a ) r 旧( s ) ) ( ，p ) 告i = j 因此，f 上的乘法是良定义的v i k ，妇， ioj 。i = ) ( j ，p ) ( i ，划吼。 = a ) ( j ，p ) ( 。： ) ( j ，p ) ( z ， ) p 。 = ) ( j ，p ) p ，。 = i 。j 所以j 是一个左正则带且j