（应用数学专业论文）半导体中一维粘量子流体力学模型的讨论.pdf

摘要 本文研究的是一维空间中稳态量子流体力学模型的解的存在性及相关的一些 性质该模型是包含关于粒子浓度和电流密度的连续方程，关于电势的p o i s s o n 方程 的耦合方程组，其中含有3 阶量子修正项和2 阶粘滞项文章主要分为两个部分； 第一部分讨论了单极粘滞量子流体力学模型 j 27 f l ( 要+ p ( n ) ) 。一n k 一譬n ( 鲁) 。= 恼一；， a 2 k 。= t i e ( z ) ， ( o 1 ) ( 0 2 ) ( 0 3 ) ( o ) = ( 1 ) = 0 ，j ( o ) = j ( 1 ) = 0 ，( o ) = k ( 1 ) = 0 ( 0 4 ) 其中0 = ( 0 ，1 ) 在假设压力函数只与粒子浓度有关的条件下，得到稳态解的存在惟 一性，压力函数形式为p ( ) = 吾俨，n 0 ，o t 1 t l ( z ，t ) ，j ( 毛t ) ，v ( x ，t ) ，c ( x ) 分别表示电 子浓度，电子电流密度，电位势和掺杂浓度，t 表示温度常数，是p l a n e k 常数， r 表示动量松弛时间常数，a 表示d e b y e 长度，y 表示粘滞系数 第二部分讨论了双极粘滞量子流体力学模型 如= 0 ， ( j i 2 + 明( n ) ) 。一n k e 2 n ( 生字) 。= 一者与一 ( 卢( n ) ) 。， k = 0 ， ( 等+ t 马) 。+ p 瞻一6 ( 鱼窘) 。= 一丽h 一仰p ) 。， 妒k 。= t i p c ( x ) ， z q ，( o 5 ) z n ，( o 6 ) z n ， ( 0 7 ) 善n ， ( 0 8 ) $ 0 ， ( 0 9 ) n ( o ) = n o ，n ( 1 ) = n l ，p ( o ) = p o ，p ( 1 ) = p 1 ，v ( o ) = v o ，k ( o ) = 一岛，( 0 1 0 ) ，骂铲卅( 咖棚) = 翕+ t h ( n o ) 一帆 ( 0 1 1 ) 矿警一腕( 。) = 磊+ t h ( p o ) + + ， ( 。1 2 ) 这里n = ( 0 ，1 ) ，压力项p = t p l ( n ) s i ，其中是k r o n e c k e r 特征，h ( 8 ) 为焓函数，且 丑( 8 ) = ( 8 ) s ，8 0 ，日( 1 ) = 0 k 0 为常数烈，t ) ，h ( ，t ) ，t ( ) 分别表示空穴浓 度，空穴电流密度，动量松弛时间，其他记号同上文，且j ，h 0 第二章证明了在 一定的假设条件下( 包含等温和等熵的情况) ，对应于一类特别的粘滞项n ( 卢( n ) k 无 论取多大的电流密度j ，h ，上述方程组总存在一个正解 关键词s 稳态；粘滞量子流体力学；s c h a u d e r 不动点定理； 双极；单极；存在 性；惟一性 中圉分类号：0 1 7 5 2 6 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，t h es t e a d y - s t a t ev i s c o u sq u a n t u mh y d r o d y n a m i cm o d e l si no n es p a c ed i m e n - s i o na r es t u d i e d t h em o d e l sc o n s i s to ft h ec o n t i n u i t ye q u a t i o n sf o rt h ep a r t i c l e sa n dc u r r e n t d e n s i t i e s ，c o u p l e dt ot h ep o i s s o ne q u a t i o nf o rt h ee l e c t r o s t a t i cp o t e n t i a l ，w h i c hc o n t a i nat h i r d - o r d e rq u a n t u mc o r r e c t i o nt e r ma n ds e c o n d - o r d e rv i 8 c o n st e r m t h ep a p e ri 8o r g a n i z e di nt h e f o l l o w i n gw a y i nc h a p t e r1 ，w ep r o v et h ee x i s t e n c ea n dt h eu n i q u e n e s so ft h es o l u t i o no fs t e a d y s t a t eu n i p o l a rv i s c o u sq u a n t u mh y d r o d y n a m i cm o d e l 矗= 7 t l 托， z n ( 要+ p ( n ) ) ；川一譬”( 鲁) 。= 一；，俐 a 2 v k = 竹一c ( x ) ， n ( o 1 3 ) ( o 1 4 ) ( o 1 5 ) w i t hb o u n d a r yc o n d i t i o n s n z ( 0 ) = ( 1 ) = 0 ，j ( 0 ) = j ( 1 ) = 0 ，k ( 0 ) = k ( 1 ) = 0 ( 0 1 6 ) w h e r e n = ( 0 ，1 ) ，l ( z ，) ，( $ ，t ) ，y ( z ，t ) ，c ( x ) d e n o t e t h e e l e c t r o n d e n s i t y , e l e c t r o nc u r r e n t d e n s i t y , e l e c t r o s t a t i cp o t e n t i a la n dd o p i n gp r o f i l eo ft h es e m i c o n d u c t o r ，r e s p e c t i v e l y w ec o n s i d e rt h e u n i p o l a rm o d e lw i t ht h ef o r mo fp r e s s u r ef u n c t i o np ( n ) = 吾矿，i20 ，口1 t h e ( s c a l e d ) p h y s i c a lp a r a m e t e r sa r et h et e m p e r a t u r ec o n s t a n tt ，t h ep l a n c kc o n s t a n t 占，t h em o m e n t u m r e l a x a t i o nt i m ec o n s t a n tf ，a n dt h ed e b y el e n t ha t h ev j g c o s i t y m o d e l st h es t r e n g t ho f i n t e r a c t i o no ft h ep a r t i c l e sw i t ht h e0 6 c i l a t o r s t h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n si sp r o v e db yu s i n g s o m et e c h n i q u e so f ap r i o r i 7e s t i m a t e sa n dl e r a y - s c h a u d e rf i x e d - p o i n tt h e o r e m i nc h a p t e r2 ，w ec o n s i d e rt h eb i p o l a rm o d e l 五= 0 ， ( i j 2 + t p i ( n ) ) 。一n k 一n ( 訾) 。= 一矗一7 n ( 卢( n ) ) 。， k = 0 ， ( 万h 2 + t p i ( p ) ) z + p k e 2 p ( - ( 如w - 、 。= 一而h 一卯。， a 2 k = n p c ( ) ， 丽t hb o u n d a r yc o n d i t i o n s z n z n q z n z q t l ( o ) = n o ，竹( 1 ) = n l ，p ( 0 ) = p o ，p ( 1 ) = p l ，v ( 0 ) = v o ，k ( o ) = 一蜀d ， s 2 警一1 = 弼j 2 椰m 帆 矿警一( o ) = 磊椰舭帆 ( o 1 7 ) ( o 1 8 ) ( o 1 9 ) ( 0 2 0 ) ( o 2 1 ) ( 0 2 2 ) ( o 2 3 ) ( o 2 4 ) w h e r eq = ( 0 ，1 ) t h ep r e s s u r et e r mi sa s s u m e dt ob eo ft h ef o r mp = t p l ( n ) 缸w h e r e 缸i st h e k r o n e c k e rs y m b 0 1 h ( s ) i st h ee n t h a l p yf u n c t i o nd e f i n e db y 盯( s ) = 巧( s ) 8 ，s 0 ，h ( 1 ) = 0 k 0i sac o n s t a n tw h o s ev a l u ei sg i v e nb e l o w p ( x ，) ，h ( x ，) ，f ( z ) d e n o t et h ep o l ed e n s i t y , p o l ec u r r e n td e n s i t ya n dt h er e l a x a t i o nt i m e ，r e s p e c t i v e l y o t h e rd e n o t e sa r et h es a m e a b o v e a n dj ，h 0 u n d e rac e r t a i na s s u m p t i o n ( i n c l u d i n gt h ei s o t h e r m a la n di s e n t r o p i cc a s e s ) ， w h e nt h ev i s c o u st e r mn ( p ( n ) ) 端i sc h o o s e n ，w ec a np r o v et h a tf o ra n yg i v e nj ，h 0 ，t h e r ej 8 ap o e o t i v es o l u t i nt o ( o 1 7 ) - ( o 2 4 ) k e y w o r d s ：s t e a d y - s t a t e ；v i s c i o n sh y d r o d y n a m i c ；s h a n d e r 8f i x e dp o i n tt h e o r e m ；b i p o l a r ； u n i p o l a r ；e x i s t e n c e ；u n i q u e n e s s 东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明 一，学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果尽我所知，除了文中特别加以标明和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学 位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示了谢意 二，关于学位论文使用授权的说明 签名。弛日期：q 2 ：兰 东南大学，中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位 论文的复印件和电子文档，可以采用影印，缩印或其他复制手段保存论文本人电 子文档的内容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外。允许论文 被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊 登) 授权东南大学研究生院办理 盈l 啉 第一章单极模型的稳态解 1 1 引言 导电性能介于导体和绝缘体之间的物质称为半导体研究半导体方程的现实 意义，不仅表现在它有深刻的物理背景，对它展开研究将直接关系到考察和预测 半导体器件各种物理参数的变化对器件性能的影响；而且也表现在它提供了反应 扩散方程组中新的研究课题随着半导体技术的发展，特别是超小半导体器件的 应用，通常的漂移扩散模型已不能很好的模拟载流子的运动，这就需要考虑更复 杂的模型现今常用的模型就是流体力学模型，对于有量子效应的超小半导体器 件的描述，对应的模型还要结合量子技术通常量子效应是由微观方程模拟，如 s c h r s d i n g e r 方程或w i g n e r 方程近年来，宏观量子方程发展起来，在量子器件的模 拟中充分体现了其优越性，既便于模拟又节约开支 事实上，把单粒子的s c h r s d i n g e r 方程的实部和虚部分开，则电子浓度n ( 羁t ) 和 电流密度j ( z ，t ) 就满足下面的m a d e l u n g 方程 a n + d i v j = 0 ， j + d i v ( 掣) - n v v - 罢n v ( 等) = 。， 其中，y ( $ ，t ) 为静电势，且满足p o i s s o n 方程 a 2 a v = n c ( z ) ， 这里e ( z ) 为掺杂浓度e 是p l a n c k 常数，a 表示d e b y e 长度，jo j 表示张量积 m a d e l u n g 方程也可用矩量法由w i g n e r 方程导出，这时允许结合温度效应和一 个松弛时间项，可得量子流体力学模型 魂，l + d i v j = 0 ， 蝌m v ( 譬) - n v v + 两n i 6 2 n v ( 等) = 一；， a 2 a v = 竹一c ( z ) ， 其中，t 表示温度常数，r 表示动量松弛时间常数上述模型大多在一维空间中 讨论，要在高维空间中讨论张量积j i 和量子项譬n v ( 筹) 是很困难的 如果在w i g n e r 方程中假设一个f o k k e r p l a n c k 碰撞算子，用g a r d n e r 的矩量法在 守恒方程中就产生了粘滞项，这样就得到了粘滞量子流体力学模型 o t n + d i v = ，y n ， 兔j + d i v ( 掣) - n v v + 两n 一学n v ( 筹) = 一；+ 7 匀， a 2 a v = 竹一c ( z ) ， 东南大学硕士学位论文第一章单极模型的稳态解 2 这里，y 表示粘滞系数 半导体的粘滞量子流体力学模型可分为单极模型和双极模型，单极粘滞量子 流体力学模型只含一种粒子( 即电子) ，双极粘滞量子流体力学模型含有两种粒子 ( 即电子和空穴) 本章讨论一维空间中单极情形，模型如下t m + 五= 1 ，( z ，t ) n ( 0 ，o o ) ，( 1 1 ) 五+ ( 芸+ p ( n ) ) 。一n k 一譬n ( 鲁) 。= 惋一；，( 圳q ( 0 删，( 1 2 ) 妒1 名。= 一g ( z ) ， ( 茁，t ) n ( o ，o o ) ，( 1 3 ) 其中q = ( 0 ，1 ) ，n ( 以t ) ，j ( z ，幻，y ( 毛t ) ，e ( 茁) 分别表示电子浓度，电子电流密度，电位势 和掺杂浓度，这里物理参数毛r ，a ，y 0 【8 】中讨论了非粘滞( 即7 = o ) 双极量子流 体力学模型熵解的存在性本章假设压力函数p ( n ) = 等萨，n 0 ，o t 1 ，温度常数 t 0 证明了( 1 1 ) ( 1 3 ) 在边界条件( 1 7 ) 下稳态解的存在惟一性其中等温情形对 应于a = 1 ，等熵情形对应于o t 1 对于等温的单极模型【1 ，2 】中做了一些讨论，1 中讨论了。弱次音速。条件下稳态解的存在性，同时给出了惟一性和半古典极限的 证明f 2 】2 给出了一维空间中粘滞量子流体力学方程解随时间的衰减性，关于量子 流体力学方程组的导出及证明在【5 ，1 7 ，1 8 均有讨论本章将等温和等熵情形一同讨 论，并用了隐函数定理等与上述文章不同的方法，而且本章证明了解在日4 中，而 【1 】1 只证到了h z 空间 对应( 1 1 ) ( 1 3 ) 的一维稳态模型为； ( 要+ p ( n ) ) 。硼一譬n ( 鲁) 。= 傀一；，舢， ( 1 5 ) a 2 v k = ，i e ( z ) ，z n ，( 1 6 ) 假设边界条件 ，k ( 0 ) = n z ( 1 ) = 0 ，j ( o ) = j ( a ) = 0 ，k ( o ) = k ( 1 ) = 0 ( 1 7 ) 本节给出方程变形及主要结论，在第二节中给出证明过程 将( 1 4 ) 在( o ，z ) 上积分，并利用边界条件( 1 7 ) ，得 j = 7 r , z 则有 ( 芸) 。一切。= ( 篙竽) 。一7 ( 7 n 。) 。= 7 2 譬一n 。】。；矿 墨笔丝一堡n 2 一n 。】 因为 z n ( 訾) 。地( 等一嘉) 。= 一孥瑶， 圣里奎竺塑圭薰堡堡兰曼三曼皇堡堡型塑塑童曼 3 所以 ( 譬) 。一= - - 2 7 2 n ( 譬) 。 ( 等) 。一( 等) 。 则方程( 1 5 ) 变为 ( 酬。= ( 研2 + 知訾) 。一! t + n k ， ( 1 1 8 ) 上式两端同除以n 0 并关于求导得 ( 学) 。= ( 冲+ 萼) ( 訾) 。一；( 1 n n ) 。+ ( 1 9 ) 又由( 1 6 ) 可得 = a - 2 n g ( z ) ) ， 则( 1 9 ) 变为 ( 学) 。= ( 砰+ 譬) ( 訾) 。一；( 1 n n ) 。盯：( n c ( 霉) ) ( 1 1 0 ) 利用关系式 2 ”( 譬笋) 。= ( 仙咄) 。， 得 z ( 譬笋) 。= 扣l n 咄) 。】。， 令口= l nn ，可得 ：o ( i - n ) 一) 。 。= ( 孚+ ) 。， 再由( 1 1 0 ) ，( 1 7 ) 得 妒+ 譬) ( + ；) 。一；t ，嚣+ a - 2 ( e 口一g ( z ) ) = ( p ，( 矿) ) ，z ( 0 1 ) ，( 1 1 1 ) ( o ) = ( 1 ) = t 概( o ) = 。( 1 ) = 0 ( 1 1 2 ) 注1 1 这里我们用了( 1 8 ) 来导出( 0 ) = 。( 1 ) = 0 ，( 1 8 ) 两边同除以t l 0 ， 再把口= l n ，l 代入，得 乎- p ，( 吼= ( f + 譬) k + 互1 2 ) 。一；如+ k ， 将z = 0 ，z = 1 分别代入即可 由此原问题( 1 4 ) 一( 1 7 ) 等价于问题( 1 1 1 ) ，( 1 1 2 ) 又由( 1 6 ) ，( 1 7 ) 知 z 1 ( ，( z ) 一c ( z ) ) 如= a 2 ( k ( 1 ) 一k ( 。) ) ：。 东南大学硕士学位论文第一章单_ 极模型的毽查暴4 所以3 x o 【0 ，1 1 ，满足 e ”( ) 一c ( z o ) = ( 矿( 们一g b ) ) 咖= 0 j o 则我们有 ( ( f ) 一c ( y ) ) o d y = 0 ，( 1 1 3 ) 这里伽；v ( x o ) 记空间w = h 4 ；( o ) = t i 。( 1 ) = t 。( o ) = 钍。( 1 ) = o ，l 2 ( q ) 空 间范数表示为”i i ，一般l p 空间范数记为0 p 定理假设p ( n ) = 苔t n a ，7 1 , 0 ，口1 ，c ( 功 0 且c ( z ) l 2 ，温度常数t 0 ，则 存在一个常数o t o ，使得若i a 一1 i 0 ，则存在常数6 0 0 ，使得当s ( o ，印 时，( 1 1 1 ) ，( 1 1 2 ) 的解 惟一 1 2 定理的证明 定理的证明分三步完成，先做先验估计，然后通过先验估计利用l e r a y - s c h a u d e r 不动点定理证明解的存在性，惟一性的证明采用了常规做法，通过构造口，g o ，假 设io t 一1i 充分小来得到 证明：第一步先验估计 假设 w 是问题( 1 1 1 ) ，( 1 1 2 ) 的一个解，满足 一k v k ，( 2 1 ) 其中k 在后面给出用”作为( 1 1 1 ) 的试验函数，得 ( 7 2 + 譬) z 1 也+ ( 虿, 7 2 + i 9 2 ) z 1 磋。+ ；z 1 磋+ a 一2 0 1 一g 扣= 一0 1 ( p ，) 如) ，( z 2 ) 由于 z 1 帆= 抬记驴扣，) 一删_ o 则( 2 2 ) 变为 ( f + 学) z 1 色+ ；z 1 盯2 弘吲”= 一j ( 1 e h 遽， 由( 1 1 3 ) ，得 ( 铲+ 譬) j ( 1 如+ 0 1 ( 咖叫”+ 昝盯2 2 1 ( “吲) 叫一2 2 1 ( 一卅( ”刊， 由c a u c h y 不等式及( 2 1 ) 式，得 一a 一2 ( e 一e ) 扣一t 0 ) ! ：e - j a - l l k 小 刊2 + 鼍掣， 由单调性 a 一2 ( 一e ”) 扣一t u ) 0 ， 及 z 1 扣一t ，0 ) 2s z l 谚， 上式整理后为 ( ，y 2 + i ) uv = 1 1 2 + a i iu = 1 1 2 筹e a - l l k ：= 凰， 其中c = 0 护一e ( z ) l | 2 ，a = 否e i “一1 1 k + 考虑关于( n ，k ) 的方程 伽i + a - 2 v - 磊a e ；l o t - i l k = k ， ( 2 3 ) 显然( n ，x ) = ( 1 ，i t j o i + a 一2 磊) 为( 2 3 ) 的解，a 1 = t 2 - ：，i 由隐函数定理知， 存在一个常数o o 0 ，使得l a 一1 i 伽时方程有一个解，这就定义了( 2 1 ) 中的k 由( 1 1 4 ) 和( 2 3 ) 我们有 。扛) 1 1 ”o l + i i ”= i i i 啦l + a - 2 压a e ；l a - l l k = k ， ( 2 4 ) 东南大学硕士学位论文第一章簟极模型的稳态解 6 将( 1 1 1 ) 两端同乘以t h ，并在( 0 , 1 ) 上积分，利用( 1 1 2 ) ，( 2 4 ) 及h 6 1 d e r 不等式和 c a u c h y 不等式，得 ( 铲+ i g - ) v 2 - z z = ( 萼+ i e 2 ) 胎) 。一；z 1 磊 + 入一2f ( 矿一c ) t k z rf e ( 小一1 扣 ( a 一1 ) 畦t h + 蝴joj o 一。 s ( 等+ 和嵫坩2 ( e k + | i c i i ) i i 怫l i 1 1 2 + t e l 。一1 l k ( 0 弛珏0 2 + i a 一1 v z0 0 弛瞎i ) ( 等+ 鼍) 圳锄1 1 2 + i i + o 怫+ a 一2 ( e k + i i c l l ) o l i + 知1 1 2 + t e l a 一1 l 耳 | i t l 搿j 1 2 + l 口一1 i ( 1 i t k i l 2 + | | t 7 嚣。1 1 2 ) 0 t 曙1 1 ) ( 2 5 ) 这里我们用了下面的关系，结合( 1 1 2 ) 有 z 1 ( 札如=一z 1 ( 如出 一z 0 12 v z v z z v z 。如 一1 1 。z 蛾z j o 令 8 = ，d t = d t 乏， 则 d s = t k 咖，t = 谚z ， 利用边界条件分部积分，得 r l fv 。d v 2 z z = 0 t h 睡， j 0 即 z 1 ( ) 。d z = o | | 知， 由( o ) = v z ( 1 ) = 0 ，存在点y o ( 0 ，1 ) 使得。( 珈) = 0 ，则 也= ( 吃) z = e z ， 利用h n d e r 不等式和c a u c h y 不等式，可得 t h 幢。28 i i t k 。i i 1 i t k0 2 + 0v z z z l l 2 ， 东南大学磺士学位论文第一章革撮模型的稳态解7 这样就有 | | 临i i i i l i i 1 1 2 ! ! 塑些；世 一 22 ； ( 0 t k i l 2 + lj t k 。0 2 ) + i i t 。0 4 ) 同理， 2 = o 。( 畦b = x 2 ， 所以， i i t k0 羔20 t k0 i i t 曙i i 0 如1 1 2 + i i 。8 2 ， 由( 2 5 ) ，( 1 1 4 ) ，( 2 4 ) 知，存在一个常数c 1 = c l ( k ) ，使得 8 t k “1 1 2 sc 1 类似地，( 1 1 1 ) 两端同乘以并在( 0 ，1 ) 上积分，利用( 1 1 2 ) 得 ( f + 譬) z 1 屯+ ( 萼+ 譬) 胎) 。+ ；z 1 屯 + 入一2 ( ，一g ) v ；。；一t ( e ( 。一1 卜t k k t 锄 = 0 即 ( ，y 2 + 譬) i i t ，凇1 1 2 = 一c 萼+ 譬，肚，。一；z 1 屯计2 2 1 c e - - c ， ，j + t ( e c 。一1 ) t t k k t 。 j 0 s 一( 萼+ 譬) j ( 1 ( 啦+ 釉旷+ 1 a - 4 ( 6 丽2 k + i i c f 2 ) + ( 萼+ 勃0 2 + t p “h ( 一) 记饥 垂里奎耋堡圭兰堡垒茎苎三塞里堡堡型塑壅壅曼8 下面来计算右边各项； ( 争e 。2 ) 小22 + ；屯 = ( 萼+ 勃俨+ ( 萼+ 譬小蚓： = ( 萼+ 妄) l i 。1 1 2 + ( 萼+ i e 2 五f 1 【2 噍+ 2 如t k 】2 = ( 萼+ 妄圳2 + t ( 萼+ 譬) z 1 ( 吒+ z 也+ 记t 乞) ， 又由 ，i ( 4 + 2 v z 噍t 锄+ 记屯) j 0 si i t k 。1 1 2 。i i t k 。1 1 2 + 4 。+ 磋t 毒。+ i i t k i l 2 。i i 。1 1 2 0 t 哺0 羔0 t k 。1 1 2 + i l 他馆0 羔8 t ，。1 1 2 + i iv z8 2 i i t k 群1 1 2 + i l t k0 2 i i t 曙。1 1 2 2 ( 0 。0 2 + | | 地。1 1 2 ) 0 t 。1 1 2 + 2 ( | l t k l l 2 + 0 t k ；1 1 2 ) 8 t 。；1 1 2 ， 所以 利用y o u n g 不等式 s ( 萼+ 勃炉+ c 如s 孑t 2 万e 2 研1 a - l l kz 1 ( a 1 ) + 】2 十( 萼+ 墓) 1 1 一1 1 2 t 2 7 e 丽2 1 a - l l kz 1 f 缸一1 ) 2 + 2 陋一1 ) 遽+ 也】+ ( 萼+ 妄) o 一1 1 2 瓣t 2 e 2 1 a - l l k ( n 一1 ) 2 1 2 。i iv 。1 1 2 + ( n 一1 ) 2 0 1 + 2 i i 州 + ( 等+ 要) i i v x x x x1 1 2 类似于 的计算，可得 如s ( 萼+ 墓) i i i i ：+ c 如s ( 寺+ 丕) 2 + c ， 由前文计算知，如，以有界，所以存在一个常数晓= c 2 ( k , e ) ，使得 j l 如。一2 1 我们假 设f 是静电势y 和量子b o h m 势q 之和的梯度， q ：萨叁丝， o 是p h a c k 常数 v 方程组( 1 1 ) ，( 1 2 ) 耦合上关于电势y 的p o i s s o n 方程 r a v = 竹一g ，( 1 3 ) 其中 0 是d e b y e 长度，c = c ( z ) 为掺杂浓度松弛项w = - j ，r ，1 _ = r ( z ) 0 是 松弛时间，本章中选择的一类粘滞项的形式在下文给出( 见( 1 1 4 ) ) 由上面的叙述，带粘滞项的稳态量子流体力学方程组如下。 d i v j = 0 ， d j v ( 掣) + t y p e ( n ) - n v v - 加( 等) = 一乏t 卅 ( 1 4 ) ( 1 5 ) 当e = 0 ，7 = 0 时，我们得到古典流体力学方程组，如【1 1 ，1 2 】在二维和三维空 间中讨论了次音速流，f 1 3 】中讨论了一维空问中的超音速流，在【1 4 ，1 5 中讨论的是 二维空间中无量子项的粘滞流体力学方程组0 = 0 ，7 o ) 当7 = 0 ， 0 时，我 们得到的是半导体模型中的量子流体力学方程组，可用来分析量子半导体器件中 的电子流，如振荡二极管【5 ，1 6 东南大学硕士学鱼论文 第二章双极模型的稳态解 1 3 卒蕈亏虑一维至l 刚中帝粘衙碘b 。n 【卢( n ) ) 。的稳态双极量子沅体力学模型t 五= 0 ，z n ，( 1 6 ) ( j i 2 + t p l ( n ) ) ，一n k 一户n ( 生害) 。= 一高一7 n ( p ( n ) ) 。， z n ， ( 1 7 ) k = 0 ，z n ，( 1 8 ) ( 等+ t 日) ) 。+ p k 一邦( 号争) 。= 一雨h 一卯p ( p ) ) 。，z er o , ( 1 9 ) 其中q = ( 0 ，1 ) ，p ( z ，t ) ，h ( x ，t ) 分别表示空穴浓度，空穴电流密度，其他记号同第一章， 且j ，h 0 假设边界条件 n ( o ) = n o ，n ( 1 ) 三，1 1 ，p ( o ) = p o ，p ( 1 ) = p l ，v ( o ) = v o ，k ( o ) = 一e o ，( 1 1 1 ) 一号铲一( 砒( 0 ) = 孺j 2 + 删伽) _ + k ，( 1 1 2 ) 产警叫( p 0 脚) = 磊h 2 + t h ( p o ) + y o + k ，( 1 1 3 ) 这里日( 8 ) 为焓函数，( s ) = f l ( 8 ) s ，5 0 且h ( 1 ) = 0 ，常数k 0 在下文给出( 见 ( 2 5 ) ) ，相应地，等温时h ( s ) = i n 8 ( s o ) ，等熵时h ( s ) = 善t ( s a 一1 ) 扣 0 ) ，a 1 注1 1 由于( 1 7 ) ( 1 9 ) 为三阶方程，我们需要关于n ，p 的三个边界条件，我们 只在点z = 0 刻画了电势y ，而没有在z = 1 处给出描述，是因为我们可由微分方程 组的解来计算外加电势v ( 1 ) 一y ( o ) ，条件( 1 1 2 ) 和( 1 1 3 ) 可作为量子f e r m i 势的一个 边界条件( 或量子速度势，f 1 9 】) 本章的主要假设之一就是粘滞项的选取z p ( n ) = 一高磊南，其中r 4 ( 1 1 4 ) 在上述假设下，对任意的电流密度，模型( 1 6 ) 一( 1 1 3 ) 都存在一个正解第二节给出方 程变形及主要结果；第三节给出先验估计从而证明定理，第四节讨论了7 = 0 ，5 0 时解的性质 2 2 方程变形及主要假设与结论 由( 1 6 ) ，( 1 8 ) 知，h 为常数，由( 1 7 ) 得 n 嘉+ 哪( n ) - v - ，訾+ j 0 2 磊d s j o + 伽) 。】。_ o ， n 斋+ 哪( n )，笋+磊+ 卯( n ) z 】。= o ， 上式两边同除以n 0 ，并在( 0 ，z ) 上积分，得 嘉+ 删n ) - v - 訾+ j o 。磊d sw ( 咄= 氓 墅咝堡主兰堡垒塞 苎三塞 圣堡堡型塑塑奎堡 1 4 其中k 是满足( 1 1 2 ) ，( 1 1 3 ) 的常数 同理，由( 1 9 ) 和( 1 1 3 ) 可得 驴h 2 + t h o , ) + 矿一p 譬字+ h j ( 。昂d s + 卯。一k ， 令 = 何，= 伽，则( 1 6 ) 一( 1 1 3 ) 可变为 矿2 丽2 + 日( ”2 ) - v w + k w + 加上2 鲁+ ，y 等， ( 2 1 ) 2 等十孔日( 妇+ 池+ 甄+ 舰z 。熹+ 7 参， ( z 2 ) 天。k = 2 一2 一g ( z ) ( 2 3 1 边界条件 埘( o ) = 1 0 ，t i ( 1 ) = 1 ，“( 0 ) = u 0 ，钍( 1 ) = t l ，y ( 0 ) = v o ，k ( 0 ) = 一e o ( 2 4 ) 这里w o = 俩，i 0 1 = 瓜，u o = 痂，毗= 瓶常数k 的选取如下； k ：= v o + m a x ( - e o ，0 ) + a - 2 m ， t ( 2 5 1 m m a x ( w o ，i o l ，u o ，1 , 1 ，m o ) ( 2 6 ) 满足n ( u o ) 0 ，常数k 的给定使得 一v ( x ) + k 0 ，v ( z ) + k 0 成立 注2 1 ( 2 1 ) 一( 2 4 ) 满足 ，“ 0 的解，u ，y ) 亦给出了( 1 6 ) 一( 1 1 3 ) 的一个解 ( n ，p ，n 本章中我们需要以下假设； ( a 1 ) 日( s ) c 1 ( o ，o o ) 且( ( s ) = 爿( 8 ) 加，s 0 ) 是非减的，并且日满足 l i r a 。日( 8 ) o ，盘日( s ) 帆 ( 2 7 ) 粘滞项由( 1 1 4 ) 给出 ( a 2 ) cel 2 ( n ) ；在f t 中e2 0 ，r l ( n ) ，r ( 功2 勺 0 ( 也) 五h ， t o o ，1 1 3 1 ，u o ，1 1 1 ，岛a ，正