（应用数学专业论文）混沌同步及其在保密通信中的应用.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 混沌系统的同步控制一直是混沌领域前沿课题，也是非线性科学研究的一大热 点将混沌同步理论应用于保密通信已成为通信理论的一个新的研究方向，有着诱人 的应用前景本文的工作主要围绕混沌同步和及其在保密通信中的应用展开研究和讨 论 第一章，介绍混沌发展的历史、现状和意义及本文的主要研究内容 第二章，阐述了本文用到的相关理论知识 第三章，提出运用收缩理论研究非线性系统同步问题的思路，通过构造收缩的虚 拟系统来证明并实现耦合的c h e r t 系统之间的完全同步，以及实现该系统之间同时共 存的部分变量的反同步和剩余变量的同步 第四章，在第三章实现耦合的c h e n 系统的完全同步的基础上结合混沌掩盖技术 设计通信方案进行保密通信，并分析了同步状况与加密信号之间相互影响的关系 第五章，结合当前对超混沌研究的这个热点，运用参数辨识结合混沌调制技术设 计通信方案，分析并提出了要将有用信息进行降幅、限频之后再来调制发射端系统参 数以及需要对发射端系统的第三个状态分量进行消噪来提高混沌通信的质量 关键词：混沌：混沌系统：混沌同步：参数辨识：收缩理论：混沌保密通信 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nr e s p e c to fc h a o l o g y , s y n c h r o n i z a t i o no fc h a o t i cs y s t e m si sf r o n t i e r r e s e a r c ht o p i c ，w h i c hh a sb e c o m ear e s e a r c hh o t s p o ti nn o n - l i n e a rs c i e n c e s e c r e tc o m m u n i c a t i o ni n t ow h i c hc h a o ss y n c h r o n i z a t i o ni s i n t e g r a t e d i s b e c o m i n g an e wr e s e a r c hd i r e c t i o nw h i c hh a s p r o m i s i n ga p p l i c a t i o n p r o s p e c t s t h i sp a p e rd i s c u s s e sa n dr e s e a r c h e si n t oc h a o t i cs y n c h r o n i z a t i o n a n di t sa p p l i c a t i o ni ns e c r e tc o m m u n i c a t i o n t h i sa r t i c l ef o c u s e so nc o n t i n u o u sc h a o t i cd y n a m i c a ls y s t e m sa n dc h a o s s y n c h r o n i z a t i o nc o n t r o la n dc h a o ss e c u r ec o m m u n i c a t i o n sr e s e a r c h ，m a i n l y i n c l u d i n g t h ef o l l o w i n ga s p e c t s ： c h a p t e r1 ：t h ed e v e l o p m e n to fc h a o s ，c u r r e n ts i t u a t i o n ，t h es i g n i f i c a n c e a n dt h em a i nr e s e a r c hc o n t e n t so ft l l i sa r t i c l ea r ei n t r o d u c e d c h a p t e r2 ：t h e r e l e v a n tt h e o r e t i c a l k n o w l e d g eu s e di nt h i s a r t i c l ei s d e s c r i b e d c h a p t e r 3 ：t h e s y n c h r o n i z a t i o n o f c o u p l e d n o n l i n e a r s y s t e m s i s i n v e s t i g a t e db ym e a n so f c o n t r a c t i o nt h e o r y v i at h ec o n s t r u c t i o no fa c o n t r a c t i n gv i r t u a ls y s t e m ，t h es y n c h r o n i z a t i o no fc o u p l e dc h e ns y s t e mi s i n v e s t i g a t e d ，c o m p l e t e l ys y n c h r o n i z a t i o n ，a n dc o e x i s t e n c es y n c h r o n i z a t i o n a n da n t i s y n c h r o n i z a t i o no fc o u p l e dc h e ns y s t e m si sw e l la c h i e v e d c h a p t e r4 ：o nt h eb a s i so ft h et h i r dc h a p t e r , u s i n gs y n c h r o n i z e dc o u p l e d c h e ns y s t e ma n dc h a o t i cm a s k i n gt e c h n o l o g y , as e c u r ec o m m u n i c a t i o n s s c h e m ei s d e s i g n e d a n d t h ei n t e r a c t i v e r e l a t i o n s h i p b e t w e e nt h e s y n c h r o n i z a t i o n c o n d i t i o na n dt h eu s e f u ls i g n a li sa n a l y z e d c h a p t e r5 ：i nr e c e n ty e a r s ，t h es t u d yo fh y p e r - c h a o si n t e r e s t sm a n y s c h o l a r s s ow e p r e s e n tah y p e r - c h a o t i cs e c u r ec o m m u n i c a t i o ns c h e m eb a s e d o np a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o n m a i nf a c t o r st h a ta f f e c tt h ee r r o ro fp a r a m e t e r i d e n t i f i c a t i o na r ea n a l y z e d ，a n do n ew a yo fm o d u l a t i n gp a r a m e t e ra f t e r i l l 江苏大学硕士学位论文 r e s t r i c t i o no nt h e1 j r e q u e n c ya n da m p l i t u d eo ft h eu s e f u ls i g n a li sp r o p o s e d s i m u l t a n e o u s l y , t h et h i r dc o m p o n e n to ft h es y s t e mn e e d sd e n o i s i n g t h e w a yc a na c h i e v et h er e s t o r a t i o no ft h eu s e f u ls i g n a lt oa b e t t e rp u r p o s e k e yw o r d s ：c h a o s ；c h a o t i cs y n c h r o n i z a t i o n ；c o n t r a c t i o nt h e o r y ；p a r a m e t e r i d e n t i f i c a t i o n ；c h a o t i cs e c r e tc o m m u n i c a t i o n 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果除文中已注明引用的内容以外，本论文不包 含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做 出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识 到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：；- j 态，) 夜 日期： 奄7 年二月芦日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学位保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借阅本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部内容或 部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制 手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 保密口，在 年解密后适用本授权书 不保密踏 学位论文作者签名：享、j 葛1 哦 y 哆年2 月日 易膳 彩r 勺 ： 名 亏 獬 明 师 厂 劾 年 导7 乜日 。 指 声 江苏大学硕士学位论文 1 1混沌研究的历史进展 第一章绪论弟一早三百下匕 混沌的起源可追溯到1 9 世纪30 年代，混沌是不可积系统的经典行为的这一 认识被认为是通向混沌的重要一步法国数学物理学家庞加莱成为公认的混沌理 论的开创者到了2 0 世纪五、六十年代，混沌研究开始有了重大的突破首先是 k o l m o g r o v 在保守系统中产生混沌现象的研究，随后a m o l d 和m o s e r 各自发现卡 姆定理，以后是美国气象学家l o r e n z 在耗散系统的研究1 9 7 1 年，r u e l l e 和t a k e n s 通过严密的数学分析独立的发现了奇怪吸引子并在学术界首次提出用奇怪吸引 子描述湍流行形成机理的新观点1 9 7 5 年，李天岩仃y l i ) 和j a y o u r k e 在他们著 名的论文“周期3 意味着混沌”中，给出闭区间上连续自映射的混沌定义，并首次提 出c h a o s 这个名词1 9 7 8 年，美物理学家m j f e i g e n b a u m 发表的“一类非线性变换 的定量普适性文章”中发现“f e i g e n b a u m ”常数，引起世界轰动1 9 8 3 年，加拿大物理 学家l g l a s s 发表了“计算奇怪吸引子的奇异程度”的文章，开创了世界计算时间序 列维数的热潮1 9 9 0 年美国马里兰州立大学的o t t ，g r e b o g i 和y o r k e 三人提出了基 于参数扰动的o g y 控制方法，第一次实现了混沌系统的控制随后，由于工程实际 人员的介入，建立了很多行之有效的理论和方法，如状态反馈控制方法、自适应控 制方法，速度梯度控制法，参数自适应控制法，智能控制法( 神经网络控制，模糊控制， 遗传算法控制) 等，这些方法为混沌系统的控制走向实际应用奠定了坚实的基础 混沌同步属于混沌控制范畴混沌同步问题的提出至今仅有短短的二十多年历史， 一些典型的同步方法有：驱动一响应同步法( p c 法l ；主动被动同步法；互耦合混 沌同步法，脉冲控制同步，噪声感应同步法等等近年来，具有两个或更多个正的指 数的超混沌系统引起学者们的兴趣目f j ，混沌科学更是与其它学科相互渗透，无 论是在生物学、心理学、数学、物理学、化学、电子学、信息科学，还是天文学、 气象学、经济学，甚至在音乐、艺术等领域，混沌也得到了广泛的应用 1 2 本课题研究的背景和意义 混沌的控制起始于1 9 8 9 年，但真正引起人们重视的是在1 9 9 0 年美国马里兰 江苏大学硕士学位论文 州立大学的o t t ，g r e b o g i 和y o r k 1 】三人提出了基于参数扰动的控制方法，第一次实 现了混沌系统的控制由于工程人员的介入，他们把一些传统的控制方法引入到混 沌系统的控制当中，建立了很多行之有效的理论和方法，如状态反馈控制方法、自 适应控制方法，速度梯度控制法，参数自适应控制法，智能控制法( 神经网络控制，模 糊控制，遗传算法控制) 等，并获得了一些有益的结果更重要的是，这些方法为混沌 系统的控制走向实际应用奠定了孥实的基础 混沌现象的控制仍是一个全新的科学前沿混沌同步属于混沌控制范畴混沌 同步问题的提出至今短短的不n - 十年的历史，混沌同步理论得到迅速的发展首 例混沌同步实验是上世纪9 0 年代初美国学者p e c o r a 和c a r r o l l l 2 】在电子学线路的 专门设计的试验中实现的混沌的应用研究从此出现了新的生机，很多学者竞相投 入研究，发展了一些其它同步方案，试验上也获得了多种混沌系统的同步，如激光 混沌同步，电路混沌同步等等一些典型的同步方法有：驱动一响应同步法( p c 同 步法) ；主动被动同步法；自适应方法、线性反馈方法、互耦合混沌同步法、主动 控制、脉冲控制法等按混沌系统间的作用方式分为相同步和主从同步【3 1 按信号 同步的方式分为衡等同步和广义同步t 4 1 目前具有两个及以上正的l y a p u n o v 指数 的超混沌引起很多学的关注混沌同步控制的研究，还有大量的理论和技术问题需 要解决，下列问题【5 】可能成为未来混沌系统同步研究的方向与热点 ( 1 ) 把混沌同步方法研究与先进控制理论和方法相结合将控制理论的最新研 究成果或先进控制算法应用于混沌系统的同步控制是目前研究的新趋势 ( 2 ) 超混沌同步研究目前的混沌同步及应用研究主要是针对只有一个正的 l y a p u n o v 指数的低维混沌系统，而基于多个正的l y a p u n o v 指数的高维超混沌通信 系统有更好的保密性能对超混沌同步判别准则，超混沌同步的主要物理机制，以 及超混沌同步应用等问题是混沌同步理论研究的难点和热点 ( 3 ) 提高混沌同步性能的研究在实际传输过程中，混沌信号不可避免地会受 到噪声的干扰，而且任何传输信道都不是绝对理想的，传送的信号都会有幅度衰 减、相位和非线性失真，这样必然会对混沌系统的同步性能产生影响，因此，开展此 类研究对混沌同步在保密通信中的实际应用具有特别重要的意义 在混沌应用研究中，混沌保密通信研究得最多，竞争也最为激烈，它已成为保 密通信的一个新的发展方向在国际上，一些发达国家的科研和军事部门投入了大 2 江苏大学硕士学位论文 量的人力和物力丌展混沌在保密通信中应用的理论和实验研究：在国内很多著名 学者对混沌机理、混沌同步以及混沌通信三个方面的研究做出过重要的贡献，这 些主要的成果，对我困混沌通信研究的起步和发展起到了很大的促进和推动作用 闸利用混沌系统进行保密通信主要有四种方式：混沌掩盖，混沌键控，混沌参数调 制，混沌扩频它们都是以混沌同步为基础的将混沌的同步与控制应用于保密通 信，是一种动态的方法目前混沌同步的理论和保密通信应用性研究还处于初期阶 段，很多通信方法或多或少地存在一些缺陷，混沌保密通信需要解决的问题： ( 1 ) 系统同步的鲁棒性和通信的保密性是一对矛盾，鲁棒性也可被破译方所利 用，同步鲁棒性的提高必然会使安全性降低，从而影响了系统的保密性因此，需要 综合考虑 ( 2 ) 目前的通信实验大多局限数值仿真，而实际应用时模拟电路实现的混沌保 密通信系统，应用时很难做到收发两端的混沌电路完全匹配 ( 3 ) 目前所采用的混沌制式大多数只有一个正的l y a p u n o v 指数的低维混沌系 统，这种混沌通信系统的安全度尚不太令人满意，而由于多个l y a p u n o v 指数的高 维超混沌系统具有更复杂的动力学行为，可以大大提高通信系统的安全度，但是这 方面的研究还刚刚开始 因此，创造出一些鲁棒性较强的同步方法，开发出保密性能良好的通信方案， 仍是今后理论工作者和工程技术人员努力的方向，只有这样才能使混沌通信真正 地应用到实际生活中 混沌不仅作为当今举世瞩目的前沿课题及学术热点，而且促使人们研究在现 实生活中控制和利用混沌的方法混沌的进步不仅孕育着深刻的科学革命，而且一 定会促进社会生产力的大力发展，对人们的生活和生产产生巨大的根本性影响 1 3 本文研究的主要内容 本课题主要研究运用收缩理论实现混沌同步及其在保密通信中的应用，最后 应用超混沌系统参数辨识的方法实施一种保密通信方案本文共分五章，主要研究 内容安排如下： 第一章：绪论，回顾了混沌的历史发展进程，论述了本课题的研究现状和意义， 在此基础上，通过参考文献对混沌的研究现状，混沌同步的研究进展以及混沌通信 3 江苏大学硕士学位论文 进行综述，进而给出本文的研究内容及章节安排 第二章：主要介绍了文中涉及的基本概念、基本理论和主要研究方法，为文 章的后面章节的研究提供了理论依据 第三章：提出运用收缩定理来研究混沌同步的构想，同步的实现问题转化为 需要找到一个关于混沌系统的收缩的虚拟系统根据这个思路，来研究耦合的 c h e n 系统的同步情况 第四章：在第三章的基础上运用同步的耦合c h e n 系统结合混沌掩盖方法， 设计保密通信的方案，并分析了有用信号与系统同步之间相互影响的关系 第五章：提出一种基于参数辨识的超混沌保密通信方式近年来对超混沌的 研究引起很多学者的关注，本章应用超混沌系统结合参数辨识的方法实施保密通 信，分析了影响信息恢复的主要原因，提出一种降低参数辨识误差的方法，来达到 更好地恢复有用信息的目的 4 江苏大学硕士学位论文 第二章基础理论与方法 本文的研究中涉及到了混沌动力系统、混沌同步、收缩理论、以及混沌同步 在保密通信中应用的知识在第二章中，对这些知识进行一些介绍和讲解 2 1混沌 2 1 1 混沌的概念 所谓混沌，粗略地说足一种在确定性系统中所出现的类似随机而无规则运动 的动力学行为由于混沌系统的奇异性和复杂性至今尚未被人们彻底了解，因此至 今混沌还没有一个统一的定义目前已有的定义是从不同的侧面反映了混沌运动 的性质下面我们将简单介绍其中的一种混沌定义一i j y o r k e r 8 j 定义 y 0 r k e r 定理：设，( 功是【a ，b 】上的连续映射，若厂( 功有3 周期点，则对任何 j 下整数n ，厂( 功有n 周期点 混沌定义( l i - - y o r k e r ) ：区间，上的连续自映射厂( 功，如果满足下面条件，便 可确定它有混沌现象： 1 ，的周期点的周期无上界； 2 闭区间，上存在不可数子集s ，满足： ( 1 ) x j 任意x , y s ，x y 时，则有l i m s u p i ，”( p - f “( y ) i o ( 2 ) m 任意x , y s ，则有l i m i n fi 厂“( 力一厂“( y ) | _ o ( 3 ) 对任意x s 和f 的任意周期点y ，则有l i m s u p i 厂“( 功一厂“( y ) i o 根据上述定理和定义，对闭区间，上的连续函数，如果存在一个周期为3 的周 期点时，就一定存在任何正整数的周期点，就一定会出现混沌现象 2 1 2 混沌的基本特征 混沌运动是确定性非线性系统所特有的复杂运动形式与其它复杂现象相区 别，混沌运动有着自己独有的特征，概括地说，混沌运动系统的复杂动力学具有如 下的基本特征【9 1 ： 5 江苏大学硕士学位论文 ( 1 ) 对初始条件的微小变化具有高度的敏感依赖性； ( 2 ) 用最大的l y a p u n o v 指数大于零来表征； ( 3 ) 混沌吸引子在相空间内整体上是有界的，但在吸引子内相轨迹具有高度不 稳定性，除了最大的l y a p u n o v 指数大于零外，还具有有限值的拓扑熵与测度熵； ( 4 ) 混沌吸引子的几何特征是具有分形( 分数维数) 和自相似嵌套结构；具有 连续功率普： ( 5 ) 混沌吸引子具有遍历性； ( 6 ) 经常与分岔、分型和多种奇怪吸引子甚至排斥子等复杂动力现象共存 2 1 3 超混沌系统 超混沌系统的特点f 9 】是在大于三维的非线性系统中具有至少两个正的 l y a p u n o v 指数，它广泛地存在于自然界、流体、生物、经济等一大类高维非线性 系统的众多领域中 2 1 4 l y a p u n o v 指数 混沌最重要的一个特征量是l y a p u n o v 指数l l u j ，它刻四了系统对初始条件的高 度敏感性，从宏观上对系统的混沌吸引子进行了刻画混沌运动的基本特点是运动 对初始条件极为敏感，两个极靠近的初始值产生的轨道，随时间推移按指数方式分 离，l y a p u n o v 指数是定量描述这一现象程度的量 首先来看一维情形在一维动力系统吒h = f ( 毛) 中，初始两点在迭代一次后， 如果卧1 觥使两点分开；卧1 黼使两点靠拢但是在不断的迭代过程 中，l 孕i 之值随时变化，时而分离时而靠拢，为了表示从整体看相邻两状态分离的 i 以x 情况，必须对时间( 或迭代次数) 取平均为此，设平均每次迭代所引起的指数分离 中的指数为九，则原来相距为的两点经过，1 次迭代后距离为： e 九而爿f 雄( 而+ ) 一f 厅( ) i 取极限j 0 ，2 专o 。上式变为 九( ) = 舰! 鳃丢l i li 塑掣i 6 江苏大学硕士学位论文 = ! 骢寺hl 掣b 而 f 仳n ( x ) i 酊等等等署警b = 塑盟1 , i f ( x ) id f ( x ) i 出u d 出u 也出“询 可得 九= 1 1 爨一1 萎n - 1 h l 。i d f f 出_ ( 9 _ t n - - ，n 氆 m 匀出“ 上式中的九即称为l y a p u n o v 指数，它表示在多次迭代中平均每次迭代所引起 的指数分离中的指数 由以上的讨论知，当e 0 ，则意味着运动轨道的局部不稳定，相邻点的轨道最终 按指数方式分离，如果轨道有整体的稳定因素( 例如有捕捉区域，耗散等) ，则在此 作用下反复折叠，形成混沌吸引子因此，x 0 可以作为混沌行为的判据 对于高维的离散动力系统可以类似的定义l y a p u n o v 指数在四维或更高维的 非线性系统中具有两个或更多正的l y a p u n o v 指数九，是超混沌系统的显著特征 2 2混沌同步 2 2 1混沌同步的定义 所谓混沌同步，指的是对于不同初始条件出发的两个混沌系统，随着时间的推 移，它们的轨线逐渐一致 考虑两个系统，一个混沌系统为： x = f ( x ，f ) ( 2 1 ) 该系统可以称为驱动系统，或者在通讯中称为发射系统 另一个系统为： y = f ，f ) + g( 2 2 ) 其中g 为任意一个控制器，通常该系统称为响应系统，或者在通讯中称为接收 系统这里t 为时间，矢量石= ( x a ，x 2 ，) ，y = ( m ，y 2 ，儿) r ”上面两个系统可 7 江苏大学硕士学位论文 以是完全相同的( f ( x ，f ) = ，( y ，f ”，也可以是不同的，但是它们的初始条件都不 同 如果两个系统通过控制器g 的某种方式联系，令x ( t ；t o ；x o ) ；r * 1 y ( t ；t o ；y o ) 分别 是( 2 1 ) 着1 1 ( 2 2 ) 的解，并满足函数是光滑的条件，当存在r “的一个弼4 d ( t o ) 时，使得 初始值x o ，y o d ( t o ) ，当tjo o 时，若存在： o ，v t r + ，反之也真 该定理中m ，实际上是一个不变集，表明从收缩域内出发的任意的解轨道随 时间的演化始终会留在收缩域内，并且所有轨道都将会以指数的速度收敛到同一 个轨道由于混沌吸引子不是一个收缩区域，因此沿着混沌吸引子内出发的任意轨 道随时阳l 的演化两轨道将以指数速度分离 9 江苏大学硕士学位论文 2 4 混沌系统的参数辨识 实际混沌系统的数学模型和参数不一定能事先预知或得到，那么如何从观测 到的混沌信号数据中定量的预测或推断系统模型的参数将是一个十分重要的问 题 目前常用的系统参数辨识方法有自适应滤波法和神经网络辨识等方法自适 应滤波法包括最小均方自适应算法( l m s ) 、扩展卡尔曼滤波法( e k f ) 、递推最小二 乘算法( sim ) 和扩展的最小方差自适应算法( il s ) 等方法其中的l m s 算法已经被 成功的应用到语音扩频混沌保密通信系统中 2 5 混沌同步在保密通信中的应用 混沌同步应用于通信的基本思想是利用简单的混沌动力学系统来产生复杂 的震荡波形，通过符号动力学理论赋以不同的波形以不同的信息序列，然后通过适 当小的微扰方法，实现对不同信息的切换混沌同步应用于通讯主要有四种方法： ( 1 ) 混沌遮掩【1 2 1 混沌遮掩保密通信的基本原理是，n n 器n - - 个自治的混沌 系统，在它的混沌输出信号上迭加上信息信号，通过信道发送出去，解码器利用这 个传输的信号来同步另一个等价的混沌系统，这个等价的混沌系统输出一个重构 的混沌信号，然后从所传输信号中减去这个重构的混沌信号，以恢复信息信号为 保证同步，解码器端收到的信号中信息信号比起混沌信号应足够小 ( 2 ) 混沌开关【1 3 j 混沌开关指：编码器有两个或更多具有不同参数的自治系统 组成，利用它们在特定参数下的混沌吸引子作为所传输信息的数字码，如“0 ”和“1 ”； 它们中的一个系统被选中，并送出混沌模拟信号到信道上，在解码器端，相同数目 对应的混沌系统被混沌模拟信号驱动以便同步编码器所对应的混沌系统调整参 数可使每一个信息码时间，只有两个混沌系统能同步，检测这个同步的系统即可解 码原数字信息 ( 3 ) 混沌调制【1 4 1 编码器为一个非自治的混沌系统，它的状态收到信息信号影 响编码器和解码器的同步通过所传输的信号在解码器端重建它的状态信息信号 恢复通过一个逆编码器操作，重构出混沌状态和信息信号从现在的观点看，混沌 调制由于其无限制的待加密信号类型和相似于传统的自同步流密码方案二最具 1 0 江苏大学硕士学位论文 有应用前景从保密强度而言，混沌调制保密性最强对于实际应用而言，连续流混 沌信号的带宽类噪特性一方面时期适合用作加密，而另一方面却限制了在普通窄 带信道中的应用它仅适合在宽带传输系统中，如光纤电缆通信或无限载波通信 ( 4 ) 混沌扩频【1 5 】根据扩频通信的原理，利用混沌系统来设计非线性复杂度高、 数量巨大、相关性好的伪随机扩频序列，可进行保密性很强的混沌扩频多址通信 1 1 江苏大学硕士学位论文 第三章收缩理论在t h e n 系统同步控制中的应用 自从p e c o r a 和c a r r o l l 富于开创性的工作【2 】以来，混沌同步现象近来已成为非 线性系统中在应用领域的热点话题【1 9 】 实现混沌同步，就要使得两个或多个混沌系统的所有解轨道逐渐地朝着同一 轨道演化因此，同步问题就转化为混沌系统所有解的误差系统零解的稳定性问题 利用l y a p u n o v 稳定性理论，通过构造适当的l y a p u n o v 函数来研究误差系统零解 的稳定性成为目前研究混沌同步方法的主流，如完全同步( c s ) 、相位同步( p s ) 【2 0 】、 反同步( a s ) t 2 1 1 、投影同步( p j s ) 【2 2 彩l 等利用渐进稳定性理论研究非线性动力学系 统解的稳定性起源于俄罗斯的数学家d e m i d o v i c h l 2 q 在他的著作发表几十年之后， 运用增量稳定性理论【矧和收缩定理来研究非线性系统解轨道的稳定性又复苏起 来其中收缩理论已经成为分析非线性系统状态空间收敛性十分有效的工具，该理 论已经被成功地运用于非线性控制和关于观测方面的问题 2 6 - 2 7 受收缩理论应用的启发，如果我们能构造出耦合的混沌系统的一个虚拟系统， 并且该系统是收缩的，则混沌系统同步就会实现本章以耦合的c h e n 2 8 1 系统为例， 运用收缩理论来研究该耦合系统的完全同步，以及该耦合系统x 变量、y 变量的反 同步和z 变量的同步 3 1问题的描述 一个非线性动力系统被称为是收缩的，如果初始条件或暂时的扰动对该系统 的动力学行为造成的影响将随时间的演化以指数的速度减弱考虑确定的非线性 动力系统戈= ，( 工) ，x r “，厂：r ”一r 胁是光滑的连续函数在确定的时刻，状态向 量的变化量是一个无穷小量，它决定了系统解在此刻的变化状况考虑两个相邻的 解轨道，设它们之间的距离为跏，则这个距离的变化率6 戈为： 6 戈：& ( x ) f i x( 3 1 ) m 由( 3 1 ) 可得： 了d ( s x r a x ) ：2 掰呈竽融2 九一铲戤 ( 3 2 ) 班 墩一 1 2 江苏大学硕士学位论文 其中2 九一是矩阵型+ 掣竽最大特征值如果九一 o ，v t 月+ ，反之也真 定理中膨，实事上是一个不变集，从收缩域内出发的任意的解轨道随时间演 化，始终会留在收缩域内，并且所有轨道都将会以指数的速度收敛到同一个轨道 由于混沌吸引子不是一个收缩区域，因此沿着混沌吸引子内出发的任意轨道随时 间的演化两轨道将以指数速度分离 运用收缩定理来实现非线性系统之间的同步，需要构造一个虚拟系统【2 9 1 ，这个 系统依赖于某个虚拟状态变量如果证明了虚拟系统关于这个虚拟状态变量具有 收缩性，也就证明了非线性系统的同步 从定理3 1 和以上分析，容易得到下面的推论： 推论3 1 ：设两个n 维的非线性系统： 矿= f ( y ) + 日( z ) 一日( y ) ， 2 = f ( z ) + h ) 一h ( z ) ， 其中y = ( m ，y 2 ，y 。) ，z = ( 咒，c 【2 y 2 ，0 。只) r ”，f r ( i = 1 2 ，n ) ，且 仪l 0 c2 a 。0 ，f ：r “j 掣，h 是一个输出函数；构造这两个非线性系统的虚拟 系统如下： 江苏大学硕士学位论文 p ( x ，y ，z ) = f ( x ) 一2 h ( x ) + 日( y ) + 日( z ) 由该系统可知，矿= p ( y ，y ，z ) ，之= p ( z ，y ，z ) 如果该虚拟系统关于虚拟状态变量 x 是收缩的，则这两个n 维的非线性系统是同步的 3 2 运用收缩定理研究c h e n 系统的混沌同步 考虑如下的两个c h e n 系统： f 毫= 口( m 一西) 兜= ( c 一口) 而一西五+ c y l( 3 3 ) 【毛= x a y l 一 f 吱= 口( y 2 一屹) 如= ( c 一口) 恐一恐乞+ 咣( 3 4 ) 【2 , 2 = x 2 y 2 一 其中( 五，y 1 ，z 1 ) ，( x 2 ，y 2 ，z 2 ) r 3 ，a ，b ，c 是系统的参数 设 ，y ：z ，) = ( 仅l x 2 ，0 c 2 y 2 ，0 t 3 2 2 ) ，仅1 ，仪2 ，仅3 r 且c t l o , 2 仪3 0 ，则系统( 3 4 ) 变为： 戈= 口( ! i y 7 一x 7 ) u 2 夕7 = ( c 一口) ! 生z 一生工2 + c y 7 ( 3 5 ) u lu l u3 2 ，：j 垫一x ，v ，一b z ， 根据收缩定理和上面的推论，如果我们能够构造出系统( 3 3 ) n ( 3 5 ) 的虚拟系 统，并且它关于某个虚拟状态变量是收缩的，则系统( 3 3 ) 和( 3 5 ) 的解轨道将会收敛 到同一个轨道，也即这两个系统达到同步状态 3 2 1 耦合o h e n 系统的完全同步 当仪。= o c 2 = 0 【，= 1 时，系n ( 3 5 ) 即系统( 3 4 ) 考虑系统( 3 3 ) 和系统( 3 4 ) 相耦合 的系统： 1 4 江苏大学硕士学位论文 i 南= a ( y l 一而) + 工( 1 1 ( x 2 一x d ) 夕1 = ( c 一口) 置一而4 + c y l + y ( k 2 ( y 2 一y 1 ) ) ( 3 6 ) i 毛= m y l b z l + z ( 七3 ( z 2 一乙) ) 岛= a ( y 2 一恐) + ( 砰( 西一屯) ) 夕2 = ( c a ) x 2 一而乞+ 钞2 + y ( k t l , ( m y 2 ) ) ( 3 7 ) 乞= x 2 y 2 一+ = ( 巧( 刁- z o ) 其中x = 1 ( y = l z = 1 ) 表示两系统变量x ( y ，z ) 之间存在耦 合，= o ( y = o ，z = o ) 表示相应变量之间不存在耦合；屯和西o = 1 ，2 ，3 ) 表示相应 变量间的耦合强度构造该耦合系统的虚拟系统如下： y z ) + e x ( 毛x 2 + 七? z l 一( 毛+ 七i i ) z ) - a ) x x z + c y + f y ( 七2 y 2 + 七；y l 一( 后2 + 忌；) y ) ( 3 8 ) 一6 z + z ( g z 2 + 七；z l - ( k 3 + 七；) z ) 令系统( 3 8 ) 为萱= w e z ) ，其中x = ，y ，z ) ，y = ( 鼍，咒，互) ，z = ( 吃，y 2 ，z 2 ) 尺3 ， c ： ( x y z ) ：丽7 2 + 百z - - c ) 2 o ，c 。 o ，如 果再满足条件上4 a b * + 簪 0 口c 一( 三二生 o 4 口c - - c * 一6 堡箬 o 44 成立，实对称矩阵_ 人是正定的， y k 而a 的所有特征值都足负的因此， 丁a ( s x r s x ) = 2 f i x r 筹蹯蛾一( 刍蹯r f i x o x o 出谜 一 。 2 u 詈) 是矩阵等+ 竺o x 的最大特征值由定理3 1 和推沮1 知，系统膏= w 关于虚拟状态变量x 是收缩的，并且其收缩域为： c ：卜腑岳+ 簪叫刊 0 时，必有y = 1 ，也即说明弘变量之间一 定存在耦合，否则a 的最大特征值一定大于零( 2 ) 耦合强度f 。，f 2 ，f 3 相互独立， 如果毛是确定的，则疋和毛分别决定相空间哥变量和y - 变量的范围；特别地，当 t 。时，收缩域为c = r3 ；当f 。寸时，收缩域为： 1 6 江苏大学硕士学位论文 c ：ky 圳z c i 2 瓜艇尺，y 尺) 由于系统( 3 8 ) 关于虚拟状态变黾y 是收缩的，因此系n ( 3 3 ) 7 9 1 ( 3 5 ) 是同步的， 也即表明系统( 3 3 ) 矛1 1 ( 3 4 ) 足完全同步的 3 2 2 耦合c h e n 系统同时共存的部分变量完全同步和剩余变量的反同步 当0 【1 = 0 c 2 = 一1 ，0 c 3 = 1 时，系统( 3 5 ) 能够转变成系n ( 3 4 ) 的形式针对于系统 ( 3 3 ) n ( 3 5 ) ，我们仍可构造和3 1 中一样的虚拟系统，并且存在和3 1 中一样的收 缩域因此系n ( 3 3 ) n ( 3 5 ) 是同步的，也即表明系统( 3 3 ) 和( 3 4 ) f 1 4 j 驴变量与户变量 的反同j 多、z - 变量的同；多 3 3 数值仿真 选取a = 3 5 ，b = 3 ，c = 2 8 ，这时c h e n 系统呈现典型的混沌特性，假定只存苟一变 量耦合，也即s y = 1 、s x = o 、z = o 的情况下： ( 1 ) 当仪。= 0 c ：= 0 c3 = 1 时，选取k ：= 7 、七；= 4 9 ，此时定理3 2 是满足的，初始 值( x l o ，y 1 0 ，z l o ) = ( 30 ，16 ，15 ) ，( x 2 0 ，y 2 0 ，z 2 0 ) = ( - 2 0 ，一1 5 ，3 5 ) c ：卜腑杀+ 茅 l ，| 纠小24 4 - 五v 6 艇尺) ，同步状况女图( 图 3 1 ( a ) - - 1 訇3 1 ( c ) ) 示 图3 1 ( a ) ( f ) ，屯( f ) 轨道随时间演化的状况图3 1 ( b ) y l ( t ) ，y 2 ( t ) 轨道随时间演化的状况 图3 1 ( c ) 勿似z z ( t ) 轨道随时间演化的状况 1 7 江苏大学硕士学位论文 ( 2 ) 当仪1 = 仅2 = 一l 仅3 = 1 时，选取乞= 7 、= 4 9 ，满足定理的3 2 条件，初始 值x l o ，y 1 0 ，z l o ) = ( 15 ，16 ，30 ) ，x 2 0 ，y 2 。，z 2 0 ) = ( - 2 0 ，一1 5 ，3 5 ) c ：卜力：4 y _ 2 l 。+ 辔钆i 卅卟2 厕朋r ) ，同步状融图c 图 3 2 ( a ) - 1 羽3 2 ( c ) ) 示 图3 2 ( a ) 五o ) ，x 2 ( t ) 轨道随时间演化的状况图3 2 c o ) 乃o ) ，咒p ) 轨道随时问演化的状况 图3 2 ( c ) 互( f ) ，乞( f ) 轨道随时间演化的状况 从仿真的结果来看，在不到秒的时间内，c h e n 系统达到了同步效果 3 4 本章小结 本章首先介绍了收缩理论，然后提出一种非线性系统同步的构想接着运用收 缩定理及其推论来研究耦合c h e n 系统的同步状况：当，= 仪：= 0 c ，= 1 时，实现了 混沌系统之间的完全同步；当q 1 = 仅2 = 一1 ，0 c 3 = 1 时，实现了x 变量、y 变量的反 同步和z 变量的同步最后数值仿真的结果表明达到了良好的同步状况，同时也说 明收缩理论在非线性同步控制中应用的有效性 1 8 江苏大学硕士学位论文 第四章耦合c h e n 系统同步在保密通信中的应用 混沌保密通信是混沌同步应用的一个热点混沌同步的基本目的是在一个相 同的具有任意初始条件的“响应系统中，从一个“驱动”系统中恢复给定的混 沌轨迹用于保密通信时在传输前用混沌的拟周期性来隐藏消息，并且通过同步在 接收端抽取该隐藏的消息由于混沌信号的功率谱是典型的宽带谱，信号在时域和 频域上一般难以探测 将混沌同步应用于保密通信方法已有很多报道：如早期文献 1 2 1 4 1 中提出的 方法；又如近年来文献3 0 1 中的运用脉冲稳定性理论控制混沌同步进行保密通信， 文献3 1 1 中提出的同步脉冲的“脉冲感应”保密方案等等 本章在第三章实现耦合的c h e n 系统混沌同步的基础上，结合混沌掩盖的技术 进行混沌同步保密通信 4 1设计混沌同步保密通信的方案 根据上一章运用收缩定理来实现耦合的c h e n 系统完全同步，并采用混沌遮掩 的方法，我们来设计如下图的保密通讯的方案： 妮历( f ) i 南= 口( s ( f ) 一而) + 工( 老1 ( x 2 一而) ) 夕l = ( c 一口) 一而句+ c s ( t ) + y ( 七2 ( y 2 一s ( f ) ) ) i 毛= 置s o ) 一6 乙+ z ( 足3 ( | z 2 一勿) ) 1 9 江苏大学硕士学位论文 接收系统； 支= a ( y 2 一x 2 ) + e j ( 碍( 而一恐) ) 夕2 = ( c a ) x 2 一娩乞+ 哕2 + y ( 尼；( s o ) 一y 2 ) ) 乞= x 2 y 2 一+ 屯( ( 五- z 2 ) ) 其中s ( t ) = m ( f ) + m ( f ) ，s ( t ) 的驱动之下，当发射系统与接收系统的混沌信号 实现近似的同步时即m o ) y 2 ( t ) ，在接收端通过同步混沌提取信号： 4 2 sim u lfk 仿真 历o ) = s o ) 一y ：o ) = m ( t ) + m ( f ) 一y ：o ) 针对上面采用的混沌掩盖方案，我们取口= 3 5 ，b = 3 ，c = 2 8 ，k ：= - 7 、后；= 4 9 这时c h e n 系统呈现典型的混沌特性，假定只存在y 一变量耦合，也即e y = 1 、z = o 、 z = o ，取初始值( o ，y 1 0 ，毛o ) = ( 3 0 ，1 6 ，1 5 ) ，( ，y 2 0 ，锄) = ( 一2 0 ，- 1 5 ，3 5 ) ， ( 1 ) 当传送信号为m q ) = 0 2 c o s ( 兀t ) 时，运用s i i n u l i i l l 【数值仿真结果如图4 1