（基础数学专业论文）wodzicki留数陈connes特征和全eta不变量.pdf

摘要 近些年，非交换几何这个重要的学科得到了很大的发展，它对几 何、拓扑、数论，以及物理都产生了巨大的影响( 见 c 4 】) 在1 9 8 4 年，w j d z i 出发现了闭流形上所有经典拟微分算子的代数 上的一个迹( 现称为w o d z i c k i 留数) ，而且差一个倍数，这个迹是唯一 的w j d z i c k 留数在非交换几何中扮演着非常重要的角色，例如：见 【c 3 】， k a 】，【k w 】等在【c 2 中，对于偶数维紧致无边可定向共形流形， c o n n e s 构造了一个标准的n e d h 0 1 m 模，并运用w o d z i c l ( i 留数构造出了一 个共形不变量，且在4 维情形，明显地计算出了这个不变量在【u ，1 ，2 中，u g a l d e 给出了6 维情形这个不变量的明显表达，并对一般情形提出 了计算方法。在 f g l s 】中，f e d o s o v 等对于带边流形也定义了d z i d d 型留数。在本文的第一部分，利用e 9 d 0 8 0 v 等的工作，我仃丁推广了c o n n e s 和u g a l d e 的工作到带边情形，并在3 维时明显地计算了这个留数 一个代数a 上的k c y d e s 的c h e m c o n n e s 特征理论是闭流形上经 典a t i y a h s i n g e r 指标理论的非交换类似，其在非交换几何中扮演着最 基本角色对d i r a c 三元组，c h e r n c o n n e 8 特征理论变得更有趣，在一 般情况，热核方法不能被应用，而在d i r a c 情况，我们可以应用热核理 论得到更深入的结果，这些结果要比原来的a t i y a h - s i n g e r 指标理论更 广在这方面，有许多人进行了研究，例如： c m l ， ch 1 i 【f e 】等而本 文的第二部分就是将r e e d 的奇数维指标定理延拓到非交换框架 对于带边流形，在1 w u 】中，w u 引入了高阶e t a 不变量，这是经典 的m i y 如p 8 t o d i s i i l g e re t a 不变量的推广，他证明了高阶e t a 不变量的正 则性以及它的变分公式，并由此得到了非交换a t i y m p a t o d i s i n g e r 指标 定理在【g 2 ，利用超联络，g e t z l e r 给出了非交换a t i y 出p 砒o d i - s i n g e r 指标定理的另一个证明，这更加困难但避免了用循环上同调中的b - b 算子，在本文的第三部分，我们将非交换a t i y a h p a t o d i s i n g e r 指标定理 延拓到了等变情况 致谢 首先，我要感谢我的导师张伟平教授，是他把我领入指标理论和非 交换几何这个研究领域的，支持并鼓励我在这个领域不断地学习，在 我有了困惑时，他总是无私而且耐心的给我解释，使我受益非浅另 外，他对学术的严谨以及孜孜不倦一直在深深地激威着我我还要感 谢冯惠涛教授，这几年来，他对我的生活和学习方面给予了慷慨的极 大帮助作者在此谨向他们表示真诚的谢意 最后，我要感谢我的家人，没有他们的鼓励和支持，我是不可能顺 利完成学业的 参考文献 f ab 1m f a t i y a ha n dr b o t t in e 上咖c e 缸肛耐印伽掘r e m ，0 re f 却缸 c d m p 地胁a 卯踟啮a n n o fm a t h 8 8 ( 1 9 6 8 ) ，4 5 l 一4 9 1 【a p s m f a t i y a h ，v k p a t o d ia n di m s i n g e r ，跏e c m fo s p m m e 咖。删 r 耙m n n 撕f e d m e t 叫，m a t h p m c c a m b r i d g ep h i l o ss o c 7 7 ( 1 9 7 5 ) ，缸6 9 ； 7 8 ( 1 9 7 5 ) ，4 0 5 - 4 3 2 ；7 9 ( 1 9 7 6 ) ，7 1 9 9 a s lm f a t i y a ha n di m s i n g e r ，2 现e 讯d e zo ，e f 坳 c 印e m t o 倦皿a n n o f m a t h 8 7 ( 1 9 6 8 ) ，5 4 6 6 0 4 f b g v ln b e r l i n e ，e g e t z l e r ，a n dm v e r g i l e ，m 缸七e m 出8 n d _ d 他c 叩e 他d r s ， s p r i 盼v e r l a g ，b e r l i n eh e i d e l b e r g ，1 9 9 2 f bf lj m b i 8 i n u ta n dd s n e e d ，孤e n 妇s 抽e f 却托c 丘m i 矗e s 皿c o m m u f i m a t hp h y s 1 0 7 ( 1 9 8 6 ) ，1 0 3 1 6 3 b 0 1 l b o u t e td em o v e l ，口。珏n d 口wp m 6 把m s ，0 rp s e d d 一战静他n 卅印e m t o r s ， a c t am a t h 1 2 6 ( 1 9 7 1 ) ，1 l 一5 1 f ch 1s c h e r na n dx h u ，肋珏i 移扪口耐e mc n m c t e r ，d r ki n 扪td i m c 印e m t d ，m i d l i g a nm a t h j 4 4 ( 1 9 9 7 ) ，4 5 1 4 7 3 c 1 1a c o n n e s ，o n m m “t 8 妇e9 m e 打弘a c a d e m i cp r e 8 8 ，n e wy b r k ，l o n o n ， t ( 地归1 9 9 4 【c 2 ja c o i l n e 8 ，如口n “= b d k 砒so n d 唧“c o “o 扎s ，t hi n t e r n a t i o n 虹c o n g r e 鹪 o fm a t h 即呲i c 8 lp i 岬i c s ( p a r i s ，1 9 9 4 ) ，1 孓3 6 ，i n t e m a tp r e s 8 ，c a m b r i d g e ，m a ， 1 9 9 5 f c 3 1a c o n n e s ，7 巩e 口c 挽o n 如n c 挽n 耐伽竹o n c o m m t t 口托 e 口m e 打弘c o m m m a t h p h y 8 ，1 1 7 ：6 7 3 6 8 3 ，1 9 9 8 c 4 1a c o n n e 8 ，o n c d m m 仳缸t i eg e o m e 打w 托n r2 叩以g a f as p e c i a lv o l u m e 2 0 0 0 ( 2 0 叽) ，m a t hq a 0 0 1 1 1 9 3 【c m l la c o n n e sa n dh m 0 8 c 耐d ，回c “c d m o f 0 9 弘t h e d 们七。口c d 耐e c u 他 n d 卯e r 6 0 觇夕m 印s ，t o p o l o g y2 9 ( 1 9 9 0 ) ，n o 3 ，3 4 5 - 3 8 8 f c m 2 1a c o n n e sa n dh m 0 s c o 证d ，开谊砧印脚i o 祀d 砌( 冼已mc 愚。m c 把r 口，n 以e 出m e n s i o n 酊肝c c 把8 ，c o m m u n m a t h p b y s 1 5 5 ( 1 9 9 3 ) ，1 0 3 一1 2 2 c m 3 】a c o n n e s 姐dh m o s c o v i c i ，了巩e ? o ； n d e zt e d 代m 讯n d n c d 仇m u t 挽口e g m e mg e o m f u n c t a n a l 5 ( 1 9 9 5 ) ，1 7 垂2 4 3 d 1hd o n d l y ，风口饥 4 衍n 扎拈，d rg 一印c e ，i n d i a n au n i v ，m a t h j 2 7 ( 1 9 7 8 ) ， 8 8 9 9 1 8 i f g l s lb v f e d o s o v ，f g o l s e ，e l e i c l l t n a i i l ，a i l des c h r o h e 孤e 彻竹c d m m “ t o i 口e 他s 如8 ，d rm 口砸加胁删地6 d “n d 口7 弘j f u n c ta n a l ，1 4 2 ：l 一3 l ，1 9 9 6 f e 冯惠涛，关于非交换陈特征的一个注记，数学学报4 6 ( 2 0 0 3 ) ，5 7 6 4 f g v h f i g u e r o a ，j g r a c i a - b o n d ha n dj v 矗r i l l y ，倒e m 锄拈0 ，竹d 竹c d m m “t o 托 e 夕印m e 打弘b i r k h 苴u s 盯b 0 8 t o n ，2 0 0 1 n d n e e d ，弛ot 竹d 鲫t e d r e m s 讥o d d 出m e n s o n 5 ，c o m m u a n a l g e o m 6 ( 1 9 9 8 ) ，3 1 7 _ 3 2 9 g 1 e g e t z l e r ，n e u d o d 旬髀化竹t 口fd p e m t o ”d ns 婶e 肌帆咖f 如。他d 眈ea 切口危一 s n g e r 讥d 口忱e d r e m ，c o m i i l u n m a t h p h y s 9 2 ( 1 9 8 3 ) ，1 6 3 - 1 7 8 【g 2 】e g e t z l e r ，回c 九d m o z 叼驴n n d 地ea 却砒- n t d 击一成叼e ri n d 凹舫他m ， c o 址e m p m a t h 1 4 8 ( 1 9 9 3 ) ，1 9 4 5 f g s le g e t z l e r ，a n da s z e n e s ，d 他 eg h e ”lc o m c f e ro ，抽e f o s “m m d 6 f en d - d 打nm o d 札f e s ，k t h e o r y1f 1 9 8 9 ) ，3 4 3 3 5 7 f gr jg g r u b b ，j m 扎c 抚。扎n 2 j c 2 5 如r6 d “他d 。r 可 n f “ep m 6 z e m ，n u m b e r6 5i n p r o g r e s si nm a t h e m a t i c s ，b i r k h 矗u s e r ，b a s e l ，1 9 8 6 g s lg g r u b ba i l de s c h r o h e ，2 忆c ee 耳崛n s o 他n n d en o n c d m m “t n 妇e 他s d “e ，o rm n 竹珈f 出叫i 地6 d 札他d d 叫，j r 出ea n g e w m a t h ，5 3 6 ：1 6 7 2 0 7 ，2 0 0 l - 【j l o a j a 疗e ，a l e 8 n i e 娜k ia n dk o s t e r w a l d e r ，q “n 他札mm 地e d 憎：，吼e ( 耽e mc 口m c 匏nc 0 m m u n m a t i lp h y s 1 1 8 ( 1 9 8 8 ) ，1 1 4 【k w jw k a l a ua n dm w a l z e ，g m 批可，竹o n c d m m t 口伽9 e d m e 卿，8 n dt h e w o d z i 出r e s i d u e ，j g e o m p h y 3 ，1 6 ：3 2 7 - 3 4 4 ，1 9 9 5 k a 】d k a 8 t l e r ，吼ed i m c 印e m t o r 蚴d9 m 讲t n 如。礼，c o 1 m u n m 8 t h p h y 8 ， 1 6 6 ：6 3 3 6 4 3 1 9 9 5 【k l is k 1 i i n e ka n da l e s n i e w s l ( i ，( 冼e r 礼c n m c t e r 伽凹札n 疵。耐e n t i 他c c 拓c c d o m o f 凹弘k t h e o r y4 ( 1 9 9 1 ) ，2 1 9 2 2 6 l y z j d l a 髓r 吼y l y ua i l dw pz h a n g ，4 击他c g m e f ? 呵cp m 吖o ， l 咖c k 幻豇副p d t 耐如m 慨n a i l 8 a m s 3 2 9 ( 1 9 9 2 ) ，5 7 l 一5 8 3 l m 】b l a 砌na n dm lm i c h e l s o n ，印讯目m e 叫，p r i n c e t o nu n i v p r e s s ， 1 9 9 3 【r s js r e m p e la n db w s c h u l z e ，如d 黜执哪d ，e z 坳“c6 0 扎如删p m 6 妇m s ， a k 甜e m i e v e r l a g ，b e r l i n ，1 9 8 2 f s 】es c h r o h e ，v b n m 仇u o t 而e 代s d “e ，d 妇m e r 0t m c e ，n 扎d e o t 打u c ee 印n n s d 他sd nm 口竹咖f d s 叫i 忱6 0 仃d o 珂，a r x i v ：m a t h a p 9 9 1 1 0 5 3 【s 】b s i m o n ，? u i d bo n d 地e 扣n p p 如“o ，l o n d o nm a t h s o c l e c t u r e n o t e3 5 ，c 眦b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ，1 9 7 9 1 n 【u 1 】w j u g a l d e ，d i 如陀佗舡f ，0 r m sc 。加倒c n 珊0 s s o c mc e dt oe e 他出m e 竹s t o 竹耐 c o 竹妒o c tc d 咖r m 酬m n 啦，o f 出，a r x i v ：m a t h d g 0 2 1 1 2 4 0 f u 2 w j u g a l d e ，d i 辟他件施f ，0 r m s 口n d 忱e d 矗c 舰他s i d u e ，a r v ：m a t h ， d g 0 2 1 1 3 6 1 1 w 叫m w o d z i c k i ，跏e c 他fn s 簟m m e t q 佗dn o n c o m m “t 8 t 协e 他s i d e ，t h e 8 i s s t e k h l o vi 璐m u t eo fm a t h m a t i c s ，m o s c o w1 9 8 4 【w 川f w u ，吼e e m c b n n e 5 如口m c t e r ，o r 地ed t m c 叩e 删d 借。礼m 帆咖f 出 叫仳h6 0 u 他d o r 可，k t h e o r y7 ( 1 9 9 3 ) ，1 4 5 1 7 4 【y l y u ，三。c 8 ft n 如z 眈他m ，o rd m c 印e m 幻r ia c t am a t h s i n i c a ( n e w s e r i e s ) 3 ( 1 9 8 7 ) ，1 5 2 - 1 6 9 【z w pz h a n g ，an d 把d ne g “z o r l 。n e 把i 竹 n n 口他拈，p r o c a m s 1 0 8 ( 1 9 9 0 ) ， 1 1 2 1 1 1 2 9 p a r ti d i e r e n t i a lf b r m sa n dt h ew 0 d z i c k i r e s i d u ef o rm a n i f o l d sw i t hb o u n d a r y a b s t r a c ti nmc o n n e sf o u n dac o n f 0 兀n a l l n v a r i a n tu s i n gw o d z i c k i sh j e n s i t y a n dc o m p u t e di ti nt h ec a s eo f4 d i m e n s i o i j a ln i a n i f o l dw i t h o u tb o u n d a r y 1 n 【1 4 j ， u g a l d e 聆n e r a l i z e dt h ec o n n e s lr e s u l tt on d i m e n s i o n a lm a n i f o l dw i t h o u tb 叭l n d a r 矿 工nt h i 8p a p e r ，w cg e n e r a l i z et h er e s u l t so f 3 】a n d 【1 4 】t ot h ec a s eo fm a n i f o l d sw i t h b o u n d a r n s u b j c i a s s ：n o n c o m m u t a t i v eg l o b a la n a l y s i s ；n o n c o m m t i t a t i v ed 汨b r e n oj a lg e - o m e t r y m s c ：5 8 g 2 0 ：5 3 a 3 0 ：4 6 l 8 7 k e y w o r d s ： b o u t e td em o n v e l sa l g e b ra 1w b d z i 吐i 8r e s i d u ef o rn l a n i f 0 1 d sw i t h b o u n d a r s u b c o n f o r m a lm a n i f 0 1 d s ；s u b c o n f o r m a li n v a r i a n t 1i i l t r o d u c t i o n i n1 9 8 4 ，w o d z i c l ( id i 8 c o v e r e dat r a c eo nt h ea l g e b r a c 】( x ) o fa l lc l a s s i c a 】p s e u d o d i 曲e n t 训o p e r a t o r 80 nad o s e dc o m p a c tm a n i f o l dx i nf 1 5 1 ，w h i c hv a n i s h e si ft h e o r d e ro ft l eo 口e r a t o ri sj e s st h a n d i m x r n l r n so u tt ob et h eu n i q u et r a c eo nt h i s a l g e b r au pt or e s c a l i n g w o d z i c k i r e s i d u eh a sb e e na p p l i e dt on l a r l yb r a n c h e so fm a t h e m a t i c s e s p e c i a l l y ， i tp l a 归ap r o m i n e n tr o l ei nn o n c o m m u t a t i v eg e o m e t 。y i n 【4 】，c o n n 朗p r o v e dt h a t ，o d z i c l 【i sr e s i d u ec o i n c i d e dw i t hd i ) ( m i e r st r a c eo np s e u d o d i f f e r e n t i 出o p e r a t o r so f o r d e r d i m x w o d z i c “8r e s i d u ea l s oh a db e e nu s e dt od e r i v ea na c t i o nf o rg r a v i t y i nt h ef r a m e w o r ko fn o n c o m 埘【u t a t i v eg e o m e t r ) ri n 6 】，【9 】， 1o 】 i n 3 1 ，f o ra ne v 姐d i m e 璐i o n a lc o m p a c to r i e n t e dc o n f o r m a lm a n i f 0 1 dxw i t h o u t b o u n d a r y c o n n e sc 0 i l s t r u c t sac a r l o n i c 出n e d h m mm o d t l l e ( 日，f ) h e r e 日i st h e h i l b e r t8 p a c eo fs q u a r ei n t e g r a b l ef o r m so fm i d d l ed i m e n s i o n ：日= 三2 ( x ， ：t x ) w i t hz = 昙d i m xa n df = 2 p 一1w h e r epi s 七h eo r t h o g o n a lp r o j e c t i o no nt h e i m 8 9 eo fd b yh o d 聆d e c o m p j 古i o nt h e o r e m ，w 它o b s 凹v et h a t ，p r e s e r r e st h e6 n j t e d i m e n s i o n 址8 p a c eo fh a r m o n i cf o r m s 打，a n dfr e 8 t r i c t e dt o 日e 口i s 西v e nb y u s i n gt h ee q u a l i t y f ：型 。d 6 + 6 d w r e s ( ，o 【只，1 】【只，2 】) 。厶，0 q n ( ，1 ，丘) ( 1 1 ) w h e r e ，o ， ，2 g o 。( x ) ，c o n n e 8d e 且n e da nn - f o r mq n ( ，1 ，2 ) w h i c hi su n i q u e l y d e t e r m i n e d ，s y m m e t r i ci n ，la n d 止，a n dc o n f b r m a l l yi n v a r i a n t i l lp a r t i c u l a r ，i n t h e4 _ d i m e n s i o n a lc a s e ，t h i sd i 丑套r e n t i a lf o r mw a se x p l i c i t l yc o m p u t e di n 【3 】b yt h e c o i l f o r l n “d e f o r m a t i o nw a y i n 1 3 l ，u g a l d ep r e s e n t e dt h ec o n l p u t a t i o n si nt h es xd i m e n s i o n a lc a s ef o raw h o l e f a m i l yo fd i r e n t i a lf o r m sr e l a t e dt ，n n ( ，2 ) i n 1 4 】，l l eg a v ea ne x p l i c i e x p r e s 一 8 i o no fn n ( ，2 ) i nt h ea a tc a s ea n ( n d i c a t e dt h ew a yo fc o m p u t a t i m li nt h cg e n e r a l c a s e t h ep u r p o s eo ft h i sp a p e ri st og e n c r a l i z et h e s er e s u l t st ot h ec a s eo fr n a n i f o l d s w i t hb o u n d a r 弘 7 i bd os o ，w e 厅n d 矗r s tt h a tw o d z i c k i sr e s i d u ei n ( 11 ) s h o u l db cr e p l a c e db y w b d z i c k rr e s i d u ef o rm a n i f o i d sw i t l h o u l l d a r y f b rad e t a i l e di n t r o d u c t i o nt ot h e r e s j d u cf o rm a n i m i d s 衍t hb o u n d a r ys c cr 5 lw h e r ef e d o s o ve t c d 胡n c da 州s i d u eo 1 b o u t e td em o n v e l sa l g e b r aa n dp r o v c dt h a ti ti sau n i q u ec o 址i n u o u st r a c cf 0 ra g o o ds u m m a r ya l s os e e 【1 l 】i na d d i t i o n ，g r u b ba n ds c h r o h eg o tt h j sr e s i d u et h r o u g h a s y m p t o t i ce x p a n s i o n si n 8 】s u b s e q u e n t l yw ew i l lu s eo p e r a t 。r7 r + f 1i n b o u t e td e m o n v e l sa l g e b r ai n s t e a do ffi n ( 11 ) ( 丌fw i l lb ei n t r o d u c e di ns e c t i o n21 ) s e c o n d i y ，w ew i l lu s et h ef o r mp a i r ( n 。，。+ s x ( ，2 ) ，q 。一1 ，。+ s ，y ( ，1 ，2 ) ) i n s t e a d o fn n ( ，l ，2 ) w h e r cy = p xa n d ( 1 1 ) t u r n si n t o ： 、菥；s ( + ，0 防+ 只”+ i 丌+ f jw + ，2 】) = ，0 n 。，。+ 只x ( ，1 ，2 ) + ，0 l y n 。一1 。+ 只y ( ，l ，2 ) ， ( 1 2 ) j xj y w h e r e ，o ，1 ，儿g o 。( x ) ；，0 i yd e n o t e st h a tt h er e s t r i c t i o no f ，0o ny h e r e ，0i s a s s u m e dt ob ei n d 印e n d e n to f nn e a rt l l eb o u n d a r y w h e r eo = 忙1 ，z n 一1 ) a r e c 0 0 t d i n a t e so na xa n dz ni st h en o r m a lc o o r d i n a t e ( i nw h a tf o l l o w s ，o na l w a y s d e n o t e 8t h en o r m a lc o o r d i n a 七e ) ， i ns e c t i o n2 ，eb r i e 丑vr e c a l lb o u t e td em o n v e l sc a l c u l l l sa i l dw o d z i c k i sr e s i d u e f o rm a n i f o l d sw i t hb o u n d a r 矿 i ns e c t i o n3 ，f o rap s e u d o d i 如r e n t i a lo p e r a t o rso fo r d e r0w i t ht h et r a n s m i s s i o n p m p e r 竹a c t j n g0 ns e c t i o 璐o fav e c t o rb u n d l ee o v e rx=xu yx ，w ec o n s 主d e r w i e 8 ( 7 r + ，0 【7 r + s ，7 r + ，l 】【7 r + s ，丌+ ，2 】) w h e r e 丌+ s ：g ( x ，e l x ) _ g 。( x ，e i x ) i sd e _ 6 n e di n8 e c t i o n2 1 厂ea 1 8 0s h o wt h a t n 。，。+ s ，x ( ，2 ) = n 。矗贾( 五，五) i x 、哥磊8 ( 7 r 十，0 【7 r + s ，7 r + ，1 】防+ s ，7 r + 南 ) ( 1 3 ) = 厶矗q 。，。+ 只x ( ，2 ) + 上，0 l v n 。一，。+ s ，( ，2 ) ( 1 4 ) d e t e r m i n eau n i q u ef o r mp 8 鬯( 2 n ，z + s x ( ，2 ) ，n n l ，* 二s ，y ( ，1 ，2 ) ) w h i c l li ss y r n - 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