（基础数学专业论文）单位球面子流形的几何与拓扑.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 鼬安缸 日期：如7 年占月6 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名： 觅安 日期：抽7 年月 扛 6 日 导师豁套，垂， 户t o ，72 导师签名：o 广_ c 日期：加。尹月( 日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库 中全文发布，并可按“章程 中的 规定享受相关权益。圃意途塞堡交后进后：口圭生；口一生；面二生发鱼。 作者签名：览麦红作者签名：歹也受红 日期：加7 年月易日 孙娩毒工吃导师签名：一 日期：h 7 年月 日 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 本文对单位球面中子流形的两个问题进行了研究一类是不仅具有常数量曲 率，而且仅有两个不同主曲率，其中一个是单重的紧致超曲面的等距问题；另一类 是可定向紧致子流形的球面定理问题 对于第一类球面子流形，c h e n gq m 【2 】提出了如下公开问题：设m 为n + l 为 ”， 单位球面s 肿1 中以维常数量曲率刀( 甩一1 ) ，( ，= = 等) 的完备超曲面若m 仅有两 ，z i 厅f 了 个不同主曲率，且其中一个是单重的，则m 是否等距于s 1 ( ，仁) s ”1 ( ，竺兰) ? vr ly 万 本文给出了该问题的一个部分肯定的回答，证明了若将原问题中的“完备 加强为 “紧致可定向 ，则结论是成立的和前人工作的不同之处在于，在紧致可定向的情 形下，从平均曲率出发证明了此时必有非负截曲率，避开了对微分方程的讨论，进 而证明了相应的结果进一步，作者利用上述方法对具有一般常数量曲率的球面子 流形进行了讨论，得到的结果与c h e n gq m 的相类似，但证明过程要相对简单 对于第二类问题，作者证明了球面子流形的两个球面定理，即给出了两类子 流形同胚于球面的条件：一个是对于偶数维子流形给出了以关于r i c c i 曲率与平均 曲率的一个不等式；另一个是对于极小子流形给出了以数量曲率作为条件的球面定 理，并说明了上述结论是有意义的或是优于前人的该部分结果已被 安徽大学学 报录用，将于近期发表 关键词：主曲率，数量曲率，r i c c i 曲率，平均曲率，第二基本形式 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w em a i n l ys t u d yt w ok i n d so fp r o b l e m sa b o u ts u b m a n i f o l d so ft h eu n i t s p h e r e s o n ei sa r ti s o m e t r i cp r o b l e ma b o u tt h ec o m p a c th y p e r s u r f a c ew i t hc o n s t a n t s c a l a rc u r v a t u r e ，w h i c hh a s o n l yt w od i s t i n c tp r i n c i p a lc u r v a t u r e so n eo fw h i c hi ss i m p l e t h eo t h e ri st h es p h e r et h e o r e mp r o b l e m so no r i e n t a b l ec o m p a c t s u b m a n i f o l d s a st ot h ef i r s tp r o b l e m , c h e n gq m 【2 】p u tf o r w a r da n o p e np r o b l e m ：l e tmb ea c o m p l e t eh y p e r s u r f a c ew i t hc o n s t a n ts c a l a rc u r v a t u r en ( n 一1 ) r ( ，：n - - z ) i nt l l eu n i t 刀一l s p h e r e ，i fm h a so n l yt w od i s t i n c tp r i n c i p a lc u r v a t u r e so n eo fw h i c hi ss i m p l e ，t h e n , i s 肌t r i ct o 趴届( ) ? t h et h e s i sp r e s e m sap a r t i a l l ya f f i r m a t i v e a n s w e rt oa no p e np r o b l e ma n dp r o v e st h ec o n c l u s i o ni sc o r r e c ti ft h es u b m a n i f o l di s c o m p a c t n e s sa n do r i e n t a b l e d i f f e r i n gf r o mt h ef o r m e rm e t h o d s ，w em a k e 峨o ft h e m e a nc u r v a t u r et op r o v et h a tt h es e c t i o n a lc u r v a t u r ei sn o n n e g a t i v ei f t h es u b m a n i f o l di s c o m p a c t n e s sa n do r i e n t a b l e ，a n da v o i dd i s c u s s i n gt h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n f u r t h e r m o r e ， t h ea u t h o ru t i l i z e st h em e t h o da b o v et od i s c u s st h es u b m a n i f o l d sw i t ha g e n e r a lc o n s t a n t s c a l a rc u r v a t u r e ，a n do b t a i n ss o m ec o n c l u s i o n sw h i c ha r ea n a l o g o u st ot h eo n e so f c h e n g q m b u tt h ep r o o fi ss i m p l e rt h a nt h ef o r m e r a st ot h es e c o n d p r o b l e m ，t h e a u t h o r p r o v e st w os p h e r et h e o r e m so nt h e s u b m a i n f o l d so ft h eu n i ts p h e r e ，g i v i n gt w oc o n d i t i o n sw h i c hm a k et h es u b m a n i f o l d s h o m e m o r p h i ct ot h es p h e r e ，r e s p e c t i v e l y o n ec o n d i t i o ni sa ni n e q u a l i t yb e t w e e nr i c e i c u r v a t u r ea n dt h em e a nc u r v a t u r ei nt h ee v e nd i m e n s i o n s t h eo t h e ri sa b o u tt h es c a l a r c u r v a t u r ei nt h ec a s eo ft h em i n i m a ls u b m a n i f o l d s a n dt h e a u t h o r p o i n t so u tt h e s i g n i f i c a t i o n so ft h ec o n c l u s i o n s t h em a i nr e s u l t so ft h et h e s i sh a v eb e e na c c e p t e df o r p u b l i c a t i o nb yj o u r n a lo f a n h u iu n i v e r s i t y k e y w o r d s ：p r i n c i p a lc u r v a t u r e ，s c a l a rc u r v a t u r e ，r i c c ic u r v a t u r e ，m e a nc u r v a t u r e ， t h es e c o n df u n d a m e n t a lf o r m 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 目录 摘要i a b s t r a c t i i 第一章引言1 1 1 仅有两个不同主曲率的球面超曲面1 1 2 具有常数量曲率的球面超曲面3 1 3 球面中满足上述两个条件的超曲面3 1 4 球面子流形的球面定理6 第二章仅有两个不同主曲率的球面超曲面8 2 1 准备工作8 2 2 主要结论的证明l o 第三章球面子流形的球面定理1 6 3 1 准备工作1 6 3 2 主要结论的证明1 8 参考文献2 4 致谢2 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第一章引言 作为引言，本章介绍球面子流形几何的若干研究问题的背景与历史，并说明它 们的进展，最后说明本文所做的工作及其意义 子流形几何一直是r i e m a n n 几何中的一项重要研究领域，主要的研究对象是具 有常截曲率的r i e m a n n 流形中的子流形，其中又以欧氏空间r 肿p 和单位球面s 胂，中 的子流形最为重要；主要的研究内容无非是内蕴量与外蕴量在何种程度上决定子流 形的几何结构或拓扑结构，其中内蕴量包括r i e r n a n n 截曲率，r i c c i 曲率，数量曲 率等，其中r i c c i 曲率可以视为r i e m a n n 截曲率的平均，数量曲率又可视为r i c c i 曲率的平均，故r i e m a n n 截曲率最强而数量曲率最弱外蕴量包括第二基本形式及 其模长，平均曲率向量，平均曲率等 1 1 仅有两个不同主曲率的球面超曲面 对于超曲面，主曲率也是一种重要的外蕴量超曲面指的是余维数为1 的等距 浸入子流形m ”专厨斛1 ，它是三维欧氏空间r 3 中经典曲面的直接推广对于超曲面 m ”，我们可局部地选取单位法向量场，相应的w e i n g a r t e n 变换是子流形切空间的 对称双线性变换，w e i n g a r t e n 变换在点p 处的特征值即为m 在点p 处的主曲率，对 应特征方向称为主方向，特征值的重数称为该主曲率的重数 设为月+ p 维具有常曲率c 的r i e m a n n 流形，m 为的，维等距极小浸入子 流形，s 为m 的第二基本形式的模长平方，s s c h e r n , m d oc a r m o 和s k o b a y a s h i 【2 】在1 9 6 7 年证明了，若s 云署云，则s 暑。或s 暑乏写石 此外，若= + 1 ， k s 暑疗，则m 局部等距于r i e m a n n 直积k ，其中k ，k 分别为常曲率- - 并n n - m 的r i e m a n n 流形，d i m v l ：一1 ，d i m v 2 = 万一m 1 当m 为紧致极小子流 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 矾肘等距于c l i 筋r d 环酬( 痧矿1 ( 浮) ( 见 2 】【6 】，【1 0 】) 显然上述 结论的后半部分中，m 的第二基本形式有两个不同的特征值1 9 6 9 年，t o t s u k l 3 】 对于n + l 维单位球面s 肿1 的紧致极小超曲面考虑了相反的问题，利用微分方程的方 法证明了当极小超曲面m 仅有两个不同的主曲率时，若其中任何一个主曲率的重数 都不小于2 ，则膨为( 鲁) 叫( 旦) 或它的一个子区域显然若m 是紧致 o m 耵( 屉r ”( 犀触 对于其中一个主曲率为单重的情形，文 3 】中侈 j 举了粕- l ( 犀粥1 ( 后m 还有无限多种极小子流形也满足要求，它们在s 肿1 彼此不同余( 差一个s 斛1 的等距 映射) 这也就是说，若m 仅有两个不同的主曲率，且其中一个是单重的，则m 未 必耥巨于c l i 肋r d 环( 厚郴1 ( 融要想确定m 的几何批就需要添 加另外一些条件 设m 为s 肿1 ( 1 ) 中仅有两个不同主曲率，且其中有一个主曲率为单重的紧致极小 超球面c h e n gq m 4 i 正n y j 了若m 的第二基本形式模长平方s 满足刀s c ( n ) ， 其悯加疗+ 帮，则心1 ( 协旷1 ( 厚) 2 0 0 0 年m a n j s 和 v l a e h o s 5 将条 “以s c ( 刀) 改进为“s 刀 在考虑去掉“极小”，改以数量 曲率作为条件后， c h e n gq m ( 见【1 】， 8 】) 等得到膨等距于s 1 ( 撕= 7 ) s ( c ) 的 如下各种条件： ( 1 ) 若m 有稂基本群，且，署，跚) 等芋+ 石n - 丽2 ： 刀一l刀一z丹i ，一1 ) + z ( 2 ) 若m 有无限基本群，且具有非负截曲率； 硕士学位论文 m a s t e r st he s i s ( 3 ) 若m 具有非负平均曲率，且，竺；， 以一l i e l s ( 川) 等孚+ 而n - 面2 nr ， 行一zi 一+ z 其中c ：旦兰，甩伽一1 ) ，为m 的数量曲率我们注意到此处条件中的，未必就是常 门一， 数，即事先不需要假定m 具有常数量曲率 1 2 具有常数量曲率的球面超曲面 对于常数量曲率的球面子流形的研究，也是子流形几何的一个重要问题设m 为刀+ 1 维单位球面“中具有常数量曲率n ( n 一1 ) r 的刀维紧致超曲面在1 9 7 7 年 s y c h e n g 和y a u 【9 】证明了，若，1 ，且m 具有非负截曲率，则m 或等距于全脐曲 面，或等距于r i e m a n n 积s ( q ) x s 柑( c 2 ) ，1 k s , - - 1 ，其中( c ) 为半径为c 的k 维球面1 9 9 0 年，l i 1 2 禾j j 用n a k a g a w a 与c h e n go m 1 1 】中类似的方法和由 s y c h e n g 和y a u 1 3 】引入的微分算子口： o f = ( n i l 8 u - h v ) v ，v f ， 证明了若，1 ，且s 。一1 ) 訾+ i 万n 丽- 2 ，则肘或等距于全脐超曲面， 刀一z 刀，一lj + z 或等距于r i e m a n n 积s t ( 瓜) s 川( c ) ，其中c 2 ：竺兰堡兰在证明过程中， 条件，1 起到了关键作用 1 3 球面中满足上述两个条件的超曲面 对于任意o i 一三因此，我们可以考 挖 虑在条件r 1 _ 刀2 - t ，还需要附加什么样的外蕴条件或拓扑条件，就可确保膨等距 于s 1 ( 正了) s ( c ) 2 0 0 1 千c h e n gq m 考虑了既具有常数量曲率行仰一1 ) r ，又仅有两个不同主曲 率，且其中一个是单重的球面中的超曲面设m 为，7 + l 维单位球面s ，川中具有常数 量曲率n ( n 一1 ) r 的完备超曲面，且仅有两个不同的主曲率，其中一个是单重 的 c h e n 2 9q i n g - m i n g 【2 】首先证明了此时必有， 1 一三并得到了如下结论； ( 1 ) 当，n - _ 2 时，若 厅一l s ( 刀一1 ) 警+ 石丽n - 2 n ， ( 1 1 ) 刀一z i ，一l l + 2 一 则m 等距于r i e m a n n 积, s 1 ( f - ) s 州( c ) ( 2 ) 当，= 刀- _ 一a 2 1 时， 贝。必有s ( n 一1 ) 警+ i 石丽n - 2 = 刀 且若s 毫刀，贝o m 栅- c l i f f o r d 环面( 止粥川( 厚) ( 3 ) 不存在具有两个不同主曲率，其中一个是单重的完备超曲面，使得，：n - 2 ， 刀一1 且s ( 刀一1 ) 訾+ i 石丽n - 2 = 珂 进一步，c h e n go m 2 】中提出y 如t - - 个公开问题： 对于具有常数量曲率以一_ 1 沙“= 鲁暑) 的一般情形，即第二基本形式的模 长平方s 未必是常数，则m 是否一定等距于( 店) ( 、i 三字) ? 本文对上述问题给出了一个部分肯定的回答证明了： 定理1 3 1 设m 为n + l 维单位球面s 肿1 中门维具有常数量曲率n ( n - 1 ) r ( ，：旦；) 的紧致可定向超曲面若m 仅有两个不同的主曲率，且其中一个是单 重的，则m 等距于一( 吉) 。1 ( 孚) 一方面，在微分几何研究中，对于一个尚无结论的问题，我们有一个通常的想 法，即在其它条件不变的情况下，加强其中某个条件，看是否能得到相应的结论 本文正是将问题中“完备”加强为“紧致可定向 ，得到了一个肯定的结论而事 实上，整体等距意味着微分同胚，对于完备非紧致的情形，m 不可能与c l i f f o r d 环 面等距 另一方面，作者在文 1 ，4 ，6 , 7 ，8 ，1 1 ，1 3 】中发现，几乎所有的结论都是考虑了第二 基本形式的模长平方而本文先是在紧致的条件下，得到了m 同胚于s 1 ( l c 2 ) s ”1 ( c ) ，从而证明了m 具有无限基本群：然后从平均曲率出发，证明了此时m 具 有非负截曲率，最后由文【8 】中结论完成我们的证明上述证明过程中，关键在于证 明m 具有非负截曲率，而我们正是考虑了截曲率与平均曲率之间的关系，才使得截 曲率的表达式相对要简单，从而才完成了整个证明 进一步，我们对， 1 一兰的一般情形进行了讨论，在m 紧致的情况下，得到了 以平均曲率作为条件，且与文 7 】中类似的一个结论，即 定理1 3 2 设m 为n + l 维单位球面s 肿1 中以维具有常数量曲率n ( n 一1 ) r 的紧致 可定向超曲面若m 仅有两个不同的主曲率，其中一个是单重的，且平均曲率满 足 1 日1 2 墼娑车业卫， ( 1 2 ) 。 ( 门一2 ) 【，z ( ，一1 ) + 2 】 则m 等距于 s 1 ( 1 - - c 2 ) x s 肛1 ( c ) 其中c 2 ：n - 2 ( 由文 7 】可知， 1 2 ，所以( 1 2 ) 右端恒大于0 ) 结合常截曲率空间中子流形的第二基本形式模长与平均曲率之间的关系，我们 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 发现( 1 1 ) 和( 1 2 ) 是等价的，即我们所给出的结论和文 7 】中结论一定程度上可 以相互转化，但因为我们所考虑的是平均曲率，一方面我们给出的截曲率的表达式 相对简单，从而在计算的过程和复杂程度上比文 7 】中的第二基本形式模长平方要简 明的多；另一方面，避免了在完备情形下对t o t s u k l 3 q b 微分方程的讨论，得以在 拓扑条件，即具有无限基本群下证明相关结论不足的是我们事先假设了m 是紧致 的，而文 7 】中仅需是完备的 1 4 球面子流形的球面定理 微分几何中一个基本问题就是理解流形的几何与其拓扑之间的联系经典的拓 扑球面定理指出：若刀维c ”紧致单连通r i e m a n n 流形m 的r i e m a n n 截曲率满足 1 3 为奇数时的极小子流形情形，证明了若r i c c i 曲率满足尺f c n ( _ - n - 3 ) ，则m 一同 胚于s ”t v l a c h o s 1 5 推广了上述结论，证明了刀 3 为奇数时，若肘一的r i c c i 曲 率与平均曲率向量h 满足： 尉。百n ( n - 3 ) + 篱例2 + n i 川( n - 3 ) - ) 一1 2 而，( 1 3 ) 以一1 ( 以一1 ) 2 i 刀一i l 一 一 。 则m ”同胚于显然当m ”为极小子流形，即ih | - 0 时，上述不等式右边即为 n(n-3) 刀一l 对于偶数维情形，文 1 5 ，1 6 】中给出了相应的反例，即s 2 肿1 内c l i f f o r d 环面 s m ( 1 4 i 7 7 ) s 棚( 4 i 7 7 ) ，它的r i c c i 曲率为常值2 ( m - 1 ) ( 2 m + 1 i ) ( 2 m 一- 3 ) ，满足( 1 3 ) ， 但它显然与s ”不同胚在证明过程中，以为奇数在计算中起到了关键作用而在所 用到的文 2 0 ，2 2 】中的结论并没有要求刀一定为奇数本文改变了文 1 5 1 中的计算思 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 路，对文 2 2 1 中两个重要参数p ，q 分两种情况进行讨论，证明了： 定理1 4 1 设m ”为单位球面s 中玎维紧致可定向子流形，刀 3 为偶数，若 m ”的r i c c i 曲率与平均曲率向量日满足： r i c ( 脚) ( 1 + + 1 日i 厅丽) ， ( 1 4 ) 则m ”同胚于 事实上，通过简单计算，不难发现( 1 4 ) 要强于( 1 3 ) ，但正是加强了这一条 件，才使得偶数维情形也有类似的结论不难发现条件( 1 4 ) 已经排除了上述反例， 因为作为极小曲面( ihi = 0 ) c l i f f o r d 环面s m ( 而) xs “( i 万) 的r i c c i 曲率 2 ( m 一1 ) = n - 2 已经不满足( 1 4 ) 此外，我们不难发现这一反例也说明了我们给出的 r i c e i 曲率的一个下界是最优的 进一步，我们考虑极小子流形，给出了m ”同胚于s ”时关于数量曲率的一个充 分条件，即 定理1 4 2 设m ”( 力 3 ) 为单位球面s 肿中刀维紧致，可定向极小子流形， 若尺耙 芝 ，且数量曲率f 满足： f n ( n 1 ) 一2 石j ， 则m ”同胚于 在上述结论中，我们虽然做出了假设r i c ( 丹一i ) 2 ，但显然当， 3 时，这比 定理1 4 1 中当ihi _ o 时( 即为极小子流形时) 的条件尺耙 1 1 - - 2 ( 偶数维) 和文 1 6 】 ( 奇数维) d ? r i c 丛尘孚都要弱；另一方面，众所周知，数量曲率可以视为r i c c i 曲率的一种平均，换句话说，作为条件而言，数量曲率是要弱于r i c c i 曲率的，所 以我们的结论是优于文 1 6 】中的结论 第二章仅有两个不同主曲率的球面超曲面 在本章中，我们研究球面子流形的一个等距问题所讨论的流形均为c 。且无 边连通的 本章安排如下，第一节给出一些必备的公式和已有的结果，第二节给出了定理 1 3 1 和定理1 3 2 的证明，并与文 7 中结果作出了比较 2 1 准备工作 设伊：m s ”1 ( 1 ) 为由刀维r e m 锄流形m 到单位球面s 胂1 ( 1 ) 的等距浸入选 取局部规范正交标架场q ，巳，+ 。及其对偶标架场q ，c o 州，其中q ，切 于m 所以，我们在m 上有 q + l = 0 由c a f t a n 引理，我们有 “。= q ，= 平均曲率日= i 善1 , 1 玩若平均曲率日= 。，则称m 为极小超曲面 第二基本形式厅= qo 哆 。，第二基本形式的模长平方为s = 叼 m 上的结构方程g a u s s 方程和c o d a z z i 方程依次为 = ( 民办一谚，颤) + ( k 一曩，) ， ( 2 1 ) = ( 2 2 ) 由( 2 1 ) 可得 n ( n 一1 ) r = n ( n 1 ) + 以2 h 2 一s ( 2 3 ) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 其中n ( n 一1 ) r 为m 的数量曲率 在m 上的某点，我们可选取m 上的局部规范正交标架场e l ，使得 啦i 夕 眩4 ) 其中元，i = 1 ，2 ，以为m 的以个主曲率 下面，我们考虑s 肿1 中m 的平行超曲面 伤：m s ”1 ，伤= c o s 却+ s i n 8 n ， ( 2 5 ) 其中n 为伊：m s ”1 ( 1 ) 的g a u s s 映射众所周知，当c o t 0 不是妒的主曲率时，若 将m 附以由伤诱导的拉回度量g ( 矽) ，则为等距浸入我们取c o t 0 元， i = 1 ，2 ，刀，则浸入伤对应于单位法向量n o = c o s o n - s i n o 矽的形状算子4 为 4 = ( c o t o a + ) ( c o t 0 i - a ) q ( 2 6 ) 其中a 为对应于单位法向量的形状算子，j 为恒等映射所以，伊( p ) ：m 专s 肿1 ( 1 ) 的主曲率为 ( 9 ) = 丽c o t o a i + 1 ( 2 7 ) c 0 t 一以 此外，我们还用到以下结果： 定理2 1 1 ( 【8 】) 设m 为s n * l ( 1 ) 中具有无限基本群的拧维紧致超曲面，若m 还 有非负截曲率，, 贝l jm 等距于r i e m a n n 积s t ( 瓜) s 川( c ) 定理2 1 2 ( 1 4 】) 设m 为s 肿1 ( 1 ) 中刀( 力3 ) 维紧致可定向超曲面，若m 仅有两 个不同的主曲率，且其中一个是单重的，则m 同胚于s ( 斯= 7 ) s 川( c ) 2 2 1 定理1 3 1 的证明 设m 的两个不同主曲率分别为五和，其中名为刀一1 重的，为单重的，则 n h = ( n - 1 ) 2 + v ，s = ( 疗一1 ) 名2 + 2 ( 2 8 ) f h ( 2 4 ) 和g a u s s 方程( 2 1 ) 可得 缸 - ( 弘2 删) ( 肛2 ) 刍i h i4 一s - n h 2 r l n ( 2 9 ) v i 若，：n - 了2 ，则s - - - - 1 1 2 h 2 + 以代入( 2 9 ) 得 舡_ - ( 槲2 + l _ 2 h 2 ) ( 柚) 佶厮丽万 显然ihi 为m 上连续函数，所以上述等式中两种情形不可能同时成立下面我 们分以下两种情形进行讨论 情形1 舡一( 槲2 + 1 - 2 m - 2 ) 击厮雨万 - _ l + 署例再1 显然1 + 舡0 ( 注若i h l - 0 ，则1 + 舡= 0 ，该不等式仍然满足) 因为m 仅有两个不同的主曲率，且其中一个是单重的，再由g a u s s 方程可知，m 具有非负截曲率由定理2 1 2 知，m 同胚于s ( 小= ) x s 川( c ) 故m 具有无限 基本群再由定理2 1 i 知，9 ( m ) 等距于s - ( 圻= 万) s 川( c ) 由等距保数量曲率 不变可知，= ，? - _ 2 ，2 = n 行- _ a ，即驴( m ) 等距于( 捱n ) - 1 ( 扩字) ，? ， 行vy刀 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 舡_ - ( n h 2 + 1 - 2 呐七_ 2 ) 岳例厮 = 一1 一( 万一2 ) ih l ( 1 日i + ；= 。：吾) 政1 + 雄0 由舡 o ( f ，j = l ，2 ，刀一1 ) 显然浸入伤，2 仅有两个不同的主曲率， 2 1 , 且其中一个是单重的由定理2 1 2 可知，m 同胚于s t ( 撕= 7 ) s 一一( c ) 所以肘具 有无限基本群再由定理2 1 1 可知，：( m ) 等距于s - ( 圻= 万) s ( c ) 由此可知， ，：的主曲率 和 为常数故名和为常数，且缸+ 1 ：o 所以，m 的截曲率 以“ 非负再由定理2 1 i 得，9 ( m ) 等距于s ( 撕二7 ) x s “( c ) 最后同情形1 分析可 吣( 峭娜1 ( 协r 1 ( 浮) 口 2 2 2 定理1 3 2 的证明 设m 的两个不同主曲率分别为五和，其中旯为b - - 1 重的，为单重的，则 n h = ( n - 1 ) l + # ，s = ( i - - 1 ) a 2 + z 2 ( 2 1 0 ) 由( 2 4 ) 和g a u s s 方程( 2 1 ) 可得 五= ( 以一1 ) ( ，一1 ) - ( n 一2 ) h 2 士( 疗一2 ) i 圩i 日2 一( ，一1 ) ( 2 1 1 ) i i ，五，显然连续，所以( 2 1 1 ) 中两种情形不可能同时成立，故可分如下两种情 形进行讨论 情形1 舡= ( 甩一1 ) ( ，一1 ) 一( 刀一2 ) h 2 + ( 刀一2 ) 1hi 扫丽 = ( n - 1 ) ( r - 1 ) + ( n - 2 ) ihi ( 日2 - ( r - 1 ) 一ihi ) 若r 1 ，设万= ，_ 一l 0 ，贝0 彳= ( 刀一1 ) 万+ ( 职一2 ) ihi ( 日2 一万一ihi ) ：( n - 1 ) 8 一( 刀一2 ) 万下善生一 4 h 2 一万+ 1 日i ( 玎- 1 ) 8 - ( n - 2 ) 8 = 万 0 ， 显然舡+ l 0 若1 一兰 r 0 ，0 万 三，则 刀刀 舡= ( n - 2 ) 8 _ 7 暑= 一一( n - 1 ) 8 0h z + 6 + h 令日= 矗t a i l r ，o f 三删础_ 2 ) 万恶七一1 ) 8 当0 万时，显然有舡+ l 0 ： 刀一l 当击万吾时，若例2而(n-而1)(r丽-1)+121 r2 ，则以一刀 ，l z ) i 门l1 ) +i 万旦：8 t a n 2 t ：h t a n - 2o = = 。 1 一s i n 2r 卸叫高端 = 万 ( 甩一1 ) 8 1 】2 ( 1 一万) 2 一【( 订一1 ) 8 1 】2 - 1 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 因为厂( x ) = 苦( o x 1 ) 为严格单调递增函数，且o - 1 即舡+ l 0 因为m 仅有两个不同的主曲率，且其中一个是单重的，再由g a u s s 方程可知， m 具有非负截曲率由定理2 1 2 知，m 同胚于s ，( j = 7 ) s 川( c ) 故m 具有无 限基本群再由定理2 1 2 知，缈( m ) 等距于s - ( 撕二7 ) s 川( c ) ，再由等距保数量 曲率不变可知c 2 = 型 情形2 缸= ( 刀一1 ) ( ，一1 ) 一( 刀一2 ) 研日+ 扛丽】 若，1 ，设万= ，一1 0 ，则 缸= ( 疗一1 ) 8 一( 刀一2 ) 研日+ 矛i 】 令日：万s e c ，f ( o ，i 1 - ) ，则 五= ( 刀一1 ) 万一( 刀一2 ) 万s e c t ( s e c t + t a n t ) = ( n - 1 ) d 一等， 岬降将黼可知 0 ：万s e c ：r ：日z 堑= ! 迎= 1 2 ! ! ： ( 疗一1 ) 万+ l 】2 万 丽面再可丽 因为函数厂( x ) = i ( o x 石丽8 + 1 = 1 一石( n 丽- 2 ) 8 ，进而我们有 面1 拼而1 + 8 = 等婴2 ) 6 l s i n f ( h 一2 ) j ( 以一 于是舡= 伽一1 ) 8 一譬三荸o 一1 ) 8 _ ( 刀_ 1 ) 万“】= _ l ，故舡“o 若1 一吾 川，设万- 1 - h0 趴吾棚l jn “ 舡：一( 雅一1 ) 万一( 刀一2 ) 研日+ 历丽】 令h = 拓t a n t , t ( o ，三) ，则 舡= 一( n - 1 ) 8 - ( n - 2 ) 8 t a n t ( t a n t + s e e t ) 一( n - 1 ) a 小_ 2 ) 占嵩 由ih 1 2 i 门( n 一- 2 1 ) ) 【( 玎r ( ，- 一1 ) l + ) + 1 2 2 】知 万! 垫二l ：艿t a n 2 f ：日2 d 1 - s i n 2 t 2 d 眦ll2 月 (1一，)f(而n-1面)(r-丽1)-12 因为函数( 力= 丙x 2 ( o x ( n - 2 ) ( 1 + ih1 2 + ihi 1 + lh1 2 ) ， 帅一2 ) ih i n ( n - 2 ) ( 1 + ihi + 1 + ih1 2 ) 由g a u s s 方程可知，f 行2i 1 2 + 刀( 刀一1 ) 故 n ( n 一2 ) ( 1 + ihi + 1 + lh1 2 ) 刀2h1 2 + 刀( 刀一1 ) ， 所以( 门一2 ) ihi 1 + ih1 2 2 ( ih1 2 + 1 ) 进一步有ih 1 2 于是对于任意以维实列向量x ， x r 似= x r p r 肘w = ( p x ) 7 a ( p x ) 气( 蹦) 7 ( p x ) = 丸x 2 x 特别地，若x 为单位向量，则x r x = 1 ，所以x r a x 旯口 3 2 主要结论的证明 3 2 1 定理1 4 1 的证明 设p ，q 为任意两个正整数，且p + 留= r l ，p 为m ”中任意一点，p l ，p p ，为 切空间耳m 中任意规范正交基，选取法空间矽m 中规范正交基+ i ，+ 。，使得在 点p 处有h 爿hie n 4 小，4 “为相应的形状算子 乏( 2 jb ( 岛，巳) 1 2 - ( b ( ) ，b ( 巳，巳) ) ) j i i ，p + l pnn+k-：z ( 以q ，e ，) - n