随机分析.ppt

3随机分析,随机过程的微积分,数学分析与随机分析,在普通函数的微积分中，连续、导数和积分等概念都是建立在极限概念的基础上。在随机分析中，以随机序列极限为基础，研究分析随机过程的连续、导数和积分等概念和性质。,一、收敛性概念,对于概率空间（,F,P）上的随机序列Xn，每个试验结果e都对应一序列X1(e),X2(e),Xn(e),若这一族序列对每个e都收敛，则称随机序列Xn处处收敛，即满足其中X为随机变量。,以概率1收敛,以概率1收敛称二阶矩随机序列Xn(e)以概率1收敛于二阶矩随机变量X(e)，若使成立的e的集合的概率为1，即或称Xn(e)几乎处处收敛于X(e)，记作。,依概率收敛,依概率收敛称二阶矩随机序列Xn(e)依概率收敛于二阶矩随机变量X(e)，若对于任意给定的0，有记作。,均方收敛,均方收敛设有二阶矩随机序列Xn和二阶矩随机变量X，若有成立，则称Xn均方收敛于X，记作。,依分布收敛,依分布收敛称二阶矩随机序列Xn依分布收敛于二阶矩随机变量X，若Xn相应的分布函数列Fn(x)，在X的分布函数F(x)的每一个连续点处，有记作。,四种收敛定义的关系,均方收敛的性质,定理设Xn,Yn,都是二阶矩随机序列，U是二阶矩随机变量，cn是常数序列，a,b,c为常数。令l.i.mXn=X,l.i.mYn=Y,limcn=c，则有,极限运算与求数学期望运算可以交换顺序,收敛的充要条件,定理1二阶矩随机序列Xn收敛于二阶矩随机变量X的充要条件为,定理2二阶矩随机序列Xn均方收敛的充要条件为下列极限存在且为常数：,随机过程的极限,极限当tt0时，二阶矩随机过程X(t),tT均方收敛于二阶矩随机变量X，即则称X为随机过程X(t)在t0点的极限，或记作,二、均方连续,定义设有二阶矩过程X(t),tT，若对某一个tT，有则称X(t)在t点均方连续，记作若对T中所有点都均方连续，则称X(t)在T上均方连续。,均方连续准则,定理二阶矩过程X(t),tT在t点均方连续的充要条件是相关函数RX(t1,t2)在点(t,t)处连续。,推论若相关函数RX(t1,t2)在(t,t),tT上连续，则它在TT上连续。,三、均方导数,定义设X(t),tT为二阶矩过程，若存在另一个随机过程X(t)，满足则称X(t)在t点均方可微，记作并称X(t)为X(t)在t点的均方导数。若X(t)在T上每一点t均方可微，则称它在T上均方可微。,均方可微准则,定理二阶矩过程X(t),tT在t点均方可微的充要条件是相关函数RX(t1,t2)在点(t,t)的广义二阶导数存在。,推论1二阶矩过程X(t),tT在T上均方可微的充要条件是相关函数RX(t1,t2)在(t,t),tT上每一点广义二阶可微。,均方可微准则,推论2若相关函数RX(t1,t2)在(t,t),tT上每一点广义二阶可微，则在T上以及在TT上存在，且有,数学期望运算与求导运算可以交换顺序,四、均方积分,设X(t),tT为二阶矩过程，f(t)为普通函数，T=a,b，,定义若当n0时，Sn均方收敛于S，即则称f(t)X(t)在区间a,b上均方可积，其积分值记为,均方可积准则,定理f(t)X(t)在区间a,b上均方可积的充要条件是存在。特别地，二阶矩过程X(t)在区间a,b上均方可积的充要条件是RX(t1,t2)在a,ba,b上可积。,均方积分性质（1）,数学期望与求积运算可以交换顺序,均方积分性质（2）,定理设二阶矩过程X(t),tT在区间a,b上均方连续，则在均方意义下存在，且随机过程Y(t),tT在区间a,b上均方可微，且有Y(t)=X(t)。,推论设X(t)均方可微，X(t)均方连续，则,例1,设X(t),tT是实均方可微过程，求其导数过程X(t),tT的协方差函数BX(s,t)。,解,五、均方随机微分方程,定义设X(t),tT是一个具有n阶均方导数的随机过程，Y(t