（应用数学专业论文）一类超线性椭圆方程解的集中现象.pdf

摘要 我们主要研究非线性项为超临界指数增长的一类半线性椭圆方程解的集中现 象本论文分为三部分首先，我们考虑一个半线性椭圆方程问题 r 蚪囊曼 这里n 是r ( n 4 ) 的有界区域，指数p 是超临界的，也就是p = 而n 4 - 2 十e ，e 0 当e 趋于零，并且参数入r 以一定的速度趋于零时，我们能构造一族解，该廨序 列在某个有限点集上发生多重爆破实际上，这个点集是某个与g r e e n 函数有关 的泛函的临界点我们的这一工作扩展了d e tp i n o ，d o l b e a u l t 和m u s s o 在 d d m l 】 中的结果他们证明了在q 是球的情形下，该方程存在在原点附近发生多重”爆破 的径向对称解 在第二部分中，我们考虑三维的情形，当参数a 是属于某个区间的正常数时，我 们得到与n 4 相同的现象，也就是说，当一0 时，我们也可以构造一族在某些 点发生多重”爆破”的解 最后，我们考虑下面的问题 u + f u p 一1 十e 玎：三；，：i ： 这里ncr 1 ( 3 ) ，= p 一7 n 正+ j 2 0 ，g o ，。( 晓) ，9 c 2 “( 8 q ) ，其中 ( 0 ，1 ) 为某个固定的常数我们也将构造该问题的一族解，并且当e 一0 + ，该 解序列在有限个点发生多重j 爆破”我们也给出了该结果在对称区域的几个应用 关键词：超临界s o b o l e v 指数，g r e e n 函数，”b u b b l et o w e r ”解 l l l a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w e s t u d yt h ec o n c e n t r a t i o np h e n o m e n af o rs e m i l i n e a re l l i p t i c p r o b l e m sw i t hs n p e r e r i t i c a ln o n l i n e a r i t y i nt h ef i r s t p a r t w ec o n s t r u c tp o s i t i v e s o l u t i o n so ft h es e m i l i n e a re l l i p t i cp r o b l e m u + a 札+ u p = 0w i t hh o m o g e n e o u s d i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n si nab o u n d e ds m o o t hd o m a i nqc r “( n 4 ) ，w h e n t h ee x p o n e n tpi s s u p e r c r i t i c a la n dc l o s ee n o u g ht o 而n + 2a n dt h ep a r a m e t e ra r i ss m a l le n o u g ha s p 。万n + 巧2 a n da _ 0a ts o m e a p p r o p r i a t e dr a t e ，t h e s es o l u t i o n s h a v e ”m u l t i p l eb u b b l e s ”a tf i n i t e l ym a n yo fp o i n t sw h i c ha r et h ec r i t i c a lp o i n t so f af u n c t i o nw h o s ed e f i n i t i o ni n v o l v e st h eg r e e n sf u n c t i o no f aw i t hh o m o g e n e o u s d i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n o u rr e s u l ti nt h i sp a r te x t e n d st h er e s u l to fd e lp i n o d o l b e a u l ta n dm u s s oi n d d m l 】w h e nni sab a l la n dt h es o l u t i o n sa r er a d i a l l y s y m m e t r i c i nt h es e c o n dp a r t ，w ec o n s t r u c tp o s i t i v es o l u t i o n st ot h es a n l es u p e r c r i t i c a l e q u a t i o nf o rn = 3 ，t h a ti s w i t hp = 54 - ew h e nt h ep a r a m e t e rai sap o s i t i v e c o n s t a n ti ns o m e r a n g ea n d _ 0 + w e a l s oc o n s t r u c tas e q u e n c eo f p o s i t i v es o l u t i o n s w i t h ”m u l t i p l eb u b b l e s ”a taf i n i t en u m b e ro fp o i n t s f i n a l l y ，w ec o n s i d e rt h ep r o b l e m u + 1 u 1 9 1 “十e i ，( z ) = 0i n ab o u n d e d d o m a i nqcr ( n 3 ) ，a n du = s i go nt h eb o u n d a r yo fn ，w h e r e 0 a n dp = 等鬟+ e h e r et h ef u n c t i o n s ，c o ，。( q ) a n dg c 2 - 。( o f f ) f o rs o m e o ( 0 ，1 ) ，w ew i l lc o n c l u d et h a tt h ep r o b l e ma d m i t s ”m u l t i p l yb u b b l e s ”s o l u t i o n s w i t hf i n i t es i n g u l a rp o i n t sw h o s e p o s i t i o n sa r er e l a t e dt ot h eg r e e n sf u n c t i o na n d t h e f u n c t i o n s ，a n dg w eg i v es o m ea p p l i c a t i o n so ft h er e s u l ti nt h es y m m e t r i cd o m a i n s u p s k e yw o r d s ：s u p e r c r i t i e a ls o b o i e ve x p o n e n t ，g r e e n sf u n c t i o n ，m u l t i p l eb l o w 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或 撰写过的研究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明 确说明并表示谢意 作者签名：， 学位论文授权使用声明 期： 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论 文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文 的内容编入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的 学位论文在解密 导师 日期；丑m f 舌 逝整堡博士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 橇谁侣曰 舀爻援 缂枷i l i 击关禽朋f 峨嚣出怕 主席 泡芸妣极拖徉操l l 币呔 莺船缴挺邑够舅十= ) | ( 学 切集厢i 习锨撬东聋大学 躲孥敞搬砗丧蛹卡 r 6 s u m 6 d a n sc e t t et h s e in o u sc o n s i d 6 r o n sl e sp h 6 n o m 6 n e sd ec o n c e n t r a t i o np o u rq u e l q u e s d q u a t i o n sa v e cn o n l i n 6 a r i t 6 ss u r c r i t i q u e s d a n sl ap r e m i 6 r ep a r t i e ，n o u sc o n s t r u i s o n sd e ss o l u t i o n sp o s i t i v e sd up r o b l 6 m e e u i d t i q n es e m i l i n 4 a i r e u + t + u p = 0n v e cl e sc o n d i t i o n sd ed i r i c h l e t g ub o r d ， d a n su nd o m a i n eb o r n 6r e g u l i 6ncr ( n 4 ) ，q u a n dl e x p o s a n tpe s ts u r c r i t i q u e e ta s s e zp r o c h ed e 丽n + 2e tl ep a r a m t r ea 酞e s t8 s s e zp e t i t l o r s q u ep 。而n + 2e t a _ 0ac e r t a i n e sv i t e s s e sa p p r o p r i 6 e s ，c e ss o l u t i o n so n td e s ”b l o w - u p sm u l t i p l e s ” e nu nn o m b r ef i n id ep o i n t sd o n tl e sp o s i t i o n ss o n tl i 6 e sa u xp o i n t sc r i t i q u e sd u n e f o n c t i o nd 6 f i n i ea v e cl af o n c t i o nd eg r e e n n o t r er 4 s u l t a td a n sc e t t ep a r t i e6 t e n d l er 6 s u l t a td ed e lp i n o ，d o l b e a u l te tm u s s of d d m l lq u a n dne s tu n eb o u l ee tl e s s o l u t i o n ss o n tt a d i a l e m e n ts y m 4 t r i q u e s d a u sl ad e u x i b m ep a t t i e ，n o u sc o n s t r u i s o n sd e ss o l u t i o n sp o s i t i v e sd el am e m e 6 q u a t i o ns u r c r i t i q u ep o u rn = 3 q u i e s ta v e cp = 5 + e q u a n dl ep a r a r n b t r ea e s tq u e l q u u n ec o n s t a n t ep o s i t i v ee t _ 0 + ，n o u $ c o n s t r u i s o n sa u s s iu n es o l u t i o n p o s i t i v ed e s ”b l o w u p sm u l t i p l e s ”e nt i nh o m b r ef i n id ep o i n t s f i n a l e m e n t ，n o u sc o n s i d 6 r o n s l ep r o b l 6 m e “+ l u r l u + e l f ( z ) = 0d a n su nd o m a i n e b o r n 6 nc 瓞n ( 3 ) e t “= e ga u b o r d d u d o m a i n e q ，o h p = 等兰+ e 扛 o ) ，l e sf o n c t i o n sf c o ，。( 晚) e tg c 2 ，。( 0 a ) p o u rq u e l q u en ( 0 ，1 ) f i x 6 n o u sc o n s t r u i s o n sl e ss o l u t i o n sd e s ”b l o w u p sm u l t i p l e s ”a v e cl e sp o i n t s $ i n g u l i e r sf i n i sd o n t l e s p o s i t i o n ss o n tr e l a t i v e sd e l af o n c t i o nd eg r e e ne tl e sd e u xf o n c t i o n s e lg e np l u s ， n o u sd o n n e r o n sq u e q u e l sa p p l i c a t i o n sd ur 6 s u l t a td a n sl e sd o m a i n e ss y m 6 t r i q u e s l e sr o o t sc f 由：e x p o s a n ts u r c r i t i q u ed es o b o l e v ，f o n c t i o nd eg r e e n ，b l o w - u p s m u l t i p l e s u i n t r o d u c t i o n i nt h i st h e s i s ，w em a i n l yc o n s i d e rt h ec o n c e n t r a t i o np h e n o m e n a o ft h es e m i l i n e a r e l l i p t i ce q u a t i o nw i t hs u p e r c r i t i c a lg r o w t h ( 1 ) w h e r eni sab o u n d e dd o m a i ni n 豫( n23 ) a 爬i sap a r a m e t e ra n dt h e e x p o n e n tp i sb i g g e rt h a n + 2 鲫。j i f 忑 t h ec r i t i c a ls o b o l e ve x p o n e n t t h ep r o b l e m ( 1 ) h a ss o m eg e o m e t r i ca n dp h y s i c a lb a c k g r o u n d s ，o n eo fw h i c h a r i s e s i nt h es t u d i e so ff l a m ep r o p a g a t i o n ，s e ef o re x a m p l eg e l f a n d g 】，a n o t h e r m o t i v a t i o ni ns t u d y i n gt h ep r o b l e mg r o w su pf r o mi t sr e s e m b l a n c et ot h ey a m a b e p r o b l e m ( o r t ot h es c a l a rc u r v a t u r ee q u a t i o n ) w h oa r i s e sf r o mt h ec o n f o r m a lg e o m e t r y t h ep r o b l e m r e a d sw h e t h e ra g i v e nm e t r i cg o nar i e m a n n i a nm a n i f o l d 朋w i t h s c a l a rc u r v a t u r e c a nb ec o n f o r m a l l yd e f o r m e dt oam e t r i cg ow i t hc o n s t a n ts c a l a r c u r v a t u r ek 0 i ti se q u i v a l e n tt of i n dap o s i t i v ef u n c t i o nus a t i s f y i n gt h ef o l l o w i n g e q u a t i o n 等等m u - - 女u + k o i u i p n - - i n o 。nm w h e r e mi st h el a p l a c e - b e l t r a m io p e r a t o ro nm w i t hr e s p e c tt ot h eo r i g i n a lm e t r i c g ，s e e 【a ，y 】 t h ep r o b l e mh a sb e e ne x t e n s i v e l y b e f o r es t a t i n gs o m ek n o w nr e s u l t s ，w e d e n o t ea l 0b yt h ef i r s te i g e n v m u eo f 一w i t hd i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o ni n 明( q ) w h i c h c a nb ec h a r a c t e r i z e db yt h er a y l e i g h r i t zq u o t i e n t a ，=i n f 4 础( n ) 、 止1 wl 2 如 o ) 厶川2 如 m u l t i p l y i n gt h ef i r s te i g e n f u n e t i o no f ac o r r e s p o n d i n gt o , k lb yt h eb o t hs i d e s o f ( 1 1 ) a n di n t e g r a t i n gi nq ，t h i si m m e d i a t e l yy i e l d st h a tt h en e c e s s a r yc o n d i t i o n w h e r e ( 1 1 ) i ss o l v a b l ei st h a ta , k 1 f o r t h es u b c r i t i c mc a s ep | | u u u p u+十u ，-ii，、lli、 2 t h e o r e ma a s s u m et h a tni sab o u n d e dd o m a i n 讥r v 3 j t h e n ，t h e r e e x i s t sos o l u t i o nt o j “c 2 ( n ) n c o ( q ) o r p p na n da a l 。 t h et h e o r e mai s d i r e c t l yf r o mt h es t a n d a r dv a r i a t i o n a lt h e o r i e s i nf a c t ，w e c o n s i d e rt h ef o l l o w i n gm i n i m u mp r o b l e m ： m ：= i n f e ( “) ，f u r l d x = 1 ) ， w h e r e e x ( u ) = ：j 1 厶i v u l 2 一矗t u l 2 i sd e f i n e di n 硎( n ) s i n c et h ei n j e c t i o n 明( q ) 。_ l p + 1 ( n ) i sc o m p a c t ，t h ei n f i m u m t l k c a nb ea t t a i n e d b yu o 明( q ) ， t h e nw eg e tas o l u t i o no f ( 1 1 ) f o rp p n h e n c e ，t h i sa l l o w su st oi n t r o d u c e s o m en e wt e c h n i q u e sa n dt o o l st os o l v e ( 1 ) f o rp p n t h et h e o r e mbs h o w st h a tt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o no ft h ep r o b l e m ( 1 ) d e p e n d s o nt h ed i m e n s i o ni nas u b t l ew a y o nt h eo t h e rh a n d ，i ti sw e l lk n o w nt h a te x i s t e n c e o fs o l u t i o n s ( 1 ) d e p e n d so nt h eg e o m e t r i cs h a r pa n d t o p o l o g yo ft h ed o m a i n d i r e c t a p p l i c a t i o no fp o h o z a e v si d e n t i t y p 】s h o w st h a tt h e r ei sn os o l u t i o nf o ra 0 a n dp p ni nas t a r s h a p e dd o m a i n f o rt h ec a s ep = p na n da = 0 ，w e g i v e t h ef o l l o w i n gr e s u l t s ：k a z d a na n dw a r n e rs h o w e di n1 9 7 5t h a t ( 1 ) h a sa tl e a s t o n es o l u t i o nw h e nqi sas y m m e t r i ca n n u a l ，s e e ( k w l ；b a h r ia n dc o r o n 【b c l h a v ep r o v e dt h a tt h e r ei sas o l u t i o nt o ( 1 ) p r o v i d e dt h a ts o m eh o m o l o g yg r o u po f t h ed o m a i nqw i t hc o e f f i c i e n t si nz 2i sd o nt r i v i a l ：d i n gh a sg i v e na ne x a m p l eo f c o n t r a c t i b l ed o m a i n s ( f o re x a m p l eqi sa s s u m e dt oh a v eas m a l lh a l l ) w h e r et h e r e e x i s t ss o l u t i o nt o ( 1 ) ，s e e d i n g v e r yr e c e n t l y , d e lp i n o ，f e l m e ra n d m u s s o 【d f m 2 c o n s t r u c t e ds o l u t i o n so f ( 1 ) w h e nqh a ss o m e ”s m a l l ”h o l e sf o rt h ec a s ea = 0a n d p p n a l lt h ef a c t sy i e l dt h a tb o t ht o p o l o g ya n dg e o m e t r yo fd o m a i np l a ya v e r yi m p o r t a n tr o l ef o re x i s t e n c eo fs o l u t i o n so f ( 1 ) r a b i n o w i t zi n b 】p o s e st h e q u e s t i o nw h e t h e rt h en o nt r i v i a l i t yo ft h et o p o l o g yo fq i nt h es e n s eo fb a h r i c o r o n b c i 】i sas u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o re x i s t e n c eo fs o l u t i o n so f ( 1 ) w h e np 丽n + 2 t h e e x a m p l ec o n s t r u c t e db yp a s s a s e og i v e san e g a t i v ea n s w e ro ft h i sq u e s t i o n h ef o u n d i n ( p 2 ，p 3 1t h a tf o rn 4 ，t h e r e e x i s t sad o m a i nw i t hn o n t r i v i a lt o p o l o g yw h e r e ( 1 ) a d m i t sn os o l u t i o nf o rp n 再+ ia n da = 0 o f c o u r s e ，t h i sc o u n t e r e x a m p l ed o e sn o t r u l eo u tt h ep o s s i b i l i t yo fe x i s t e n c eo f ( 1 ) f o re 0s m a l le n o u g h i nf a c t ，a s b l r a n di b c 2 p o i n t e do u t ，ag o o dc o n d i t i o nf o re x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo fs o l u t i o n s s h o u l di n v o l v et h eg r e e n sf u n c t i o no fl a p l a c eo p e r a t o rw i t hh o m o g e n e o u sd i r i c h l e t b o u n d a r yc o n d i t i o no nq t h er o l eo ft h eg r e e n sa n dr o b i n sf u n c t i o n sw h e np a p p r o a c h e sp nf r o mb e l o wh a sa l w a y sb e e nc o n s i d e r e d ，s e e 【b l r ，b p 2 ，h a n ，r e y l ， 4 r e y 2 1 w es e et h ef o l l o w i n gf a c t f o rn 4 ，i f ( 1 ) a d m i t sa s o l u t i o n “口f o rpc l o s e e n o u g ht op na n das m a l le n o u g hi nas t a r - s h a r p e dd o m a i n ，t h es e q u e n c e “p ) pi s u n b o u n d e di nh 3a sp4 p na n d 入_ o o t h e r w i s e ，w em a ya s 8 l l m et h a tu _ i st h e l i m i to fas u b s e q u e n c eo f ) ，t h e nu + m u s tb eas o l u t i o no ft h el i m i t i n ge q u a t i o n u + u p n = 0 ( 2 ) i ti sac o n t r a d i c t i o ns i n c e ( 2 ) h a sn on o n t r i v i a is o l u t i o ni nt h e s t a r s h a r p e dd o m a i nb y p o h o z a e o v i d e n t i t y i nt h i st h e s i s ，w et r yt od e s c r i b et h ec o n c e n t r a t i o np h e n o m e n o n i nag e n e r a ld o m a i ni nd e t a i l f o rt h i s p u r p o s e ，w ef i r s tg i v et h ed e f i n i t i o no f ”b u b b l e ”a n dw et a k ea n e x a m p l ef o rn 4 a n dp p ns e t e ：= p p v i fw el e te _ 0a n da _ 0 ，t h e n ( 1 ) f o r m a l l yt e n d st ot h ee q u a t i o n ( 2 ) i ti s e a s y t os e et h a tt h el i m i t i n ge q u a t i o nh a st h ei n v a x i a n c eo ft r a n s l a t i o na n dd i l a t a t i o ni n r 1 v ，t h a ti si fui sas o l u t i o nt o ( 2 ) i n 瓞，t h e n “一r 丁n - 2 “( r 扛一。o ) ) i sa l s ot h es o l u t i o no f ( 2 ) ，w h e r er r + a n d x o r 。t h ei m p o r t a n tf a c ti s ab a s i so fc o n s t r u c t i n g b u b b l e ”r o u g h l ys p e a k i n g t h e b u b b l e s o l u t i o nm e a n s t h a tm o s to fm a s so fs o l u t i o n si sc o n c e n t r a t e do n f i n i t e l ym a n yp o i n t si nnn e x tw e g i v e ni t sd e f i n i t i o na sp o i n t e do u ti nf d d m l a s s u m et h a tni st h eu n i tb a l lw h e r e a l lt h es o l u t i o n sm u s tb er a d i a l l ys y m m e t r i ca n dr a d i a l l yd e c r e a s i n gb y g n n i f s 0a n di fs i m u l t a n e o u s l ya _ 0a tt h ea p p r o p r i a t er a t e d u et oi n v a r i a n c eo f t h el i m i t i n ge q u a t i o n ，o n ee x p e c t st h a tn e a rt h ec e n t e ro ft h i sb a l l ，t h es o l u t i o n so f ( 1 ) c a nb ea p p r o x i m a t e db yt h e s es o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n ( 2 ) ，t h a ti s ，t h es o l u t i o n m a y b ee x p e c t e dt ob ew r i t t e na 8 删叫南( 去) 学m ， w h e r e 尬_ + 。a ss _ 0 b u tap o i n tt ob em a d ei st h a ts i n c et h ec o n v e r g ei s o n l yl o c a l ，i t i sn o ta ta l lc l e a rh o wf a rf r o mt h eo r i g i nt h i sa p p r o x i m a t i o nh o l d s t r u e r o u g h l ys p e a k i n g ，o n ec a l l sas o l u t i o nf o rw h i c ht h ea b o v ef o r m u l ah o l d st r u e w i t ho ( 1 ) _ 0 u n i f o r m l yi nn a sa ”s i n g l eb u b b l e ”s o l u t i o n i n t r o d u c t i o n 5 i nf a c t ，b u b b l et o w e r s ”i sas u p e r p o s i t i o no fb u b b l e so fd i f f e r e n tb l o wu po r d e r s t h ed e f i n i t i o ni sf i r s tg i v e nb yd e lp i n o ，d o l b e a u l ta n dm u s s oi n ( d d m l 】，w h e r e t h e yc o n s i d e r e d ( 1 ) w h e nn i st h eu n i tb a l lf o rn 4 t h e yh a v ep r o v e dt h a ti f a = “褥，a s5 _ 0a n d ，t h e r ee x i s tr a d i a ls o l u t i o n so f ( 1 ) w i t h as u p e r p o s i t i o no f d i f f e r e n tb l o wu po r d e r s ，t h e i rm a i nr e s u l ti st h ef o l l o w i n g ： t h e o r e mc a s s u m et h a t ni sf i x e da n dt h a tn 5 t h e n jt h e r ee x i s t se o 0 s u c ht h a t ，0 rn f fp 瓞+ ，a n d ，0 ra l le ( 0 ，e o ) ，p w b l e m 口，w i t hp = p n + a n d a = “髑n - 4 血d m i t s 口5 。l u t i o 佗叫h i c hc o nb et u n f e 礼竹c e 加仃n 出) ：( ( 一2 ) ) 下n - 2 圭f 1 2 屿( 1 + 0 ( 1 ) ) ( 3 ) k _ ( ( _ 2 ) ) 下j = li南1 j 吲l + 0 ( 1 ) ) ( 3 ) + m ? 。l z r ， w h e r eo ( 1 ) c o n v e r g e su n r m l yt o0o nb ( o ，1 ) a set e n d st o0a n dw h e r e 乃_ + 。 a n d m j = o ( m j + 1 ) a se _ 0 i n 如c t i t i sg i v e na s f o l l o w i n g m i l = d 3 一3 1 0 rs o ? ? 7 , ep a r a m e t e r sd j w h i c ha l eb o u n d e dk o mb e l o wa n d | ma b o v eb ys o m e p o s i t i v ec o n s t a n ti n d e p e n d e n to f e f o r n = 4 ，i f = 舻面，t h e r e s u l to ft h et h e o r e mcs t i l lh o l d s ，t h a ti s t h e r es t i l le x i s tt h es o l u t i o n sw i t ht h ef o r m ( 3 ) ，s a t i s l y i n gt h ec o n v e r g e si su n i f o r m l y i nb ( 0 1 ) w ec a l lt h es o l u t i o n so b t a i n e di nt h et h e o r e mca s ”b u b b l et o w e r s ” ( s o m e t i m e sc a l l e da s ”b u b b l et r e e ”) t h ep h e n o m e n a i sav e r yd i f f e r e n ti nc o n t r a s t w i t ht h es u b c r i t i c a le a s ew h e r eo n l y ”s i n g l eb u b b l e ”e x i s t s ( f o rt h e s er e s u l t sa b o u t s u b c r i t i e a lp r o b l e m ，r e a d e r sm a y s e e b l r ，h a n ，r e y 2 1 ) a sp o i n t e do u t ，o n eo b v i o u sd i f f i c u l t yf o rt h es u p e r e r i t i c a l