liu8-1向量及其线性运算.ppt

高等数学,-同济六版下册,驶向胜利的彼岸,同学们好！,1.分析基础:函数,极限,连续,2.微积分学:一元微积分,(上册),(下册),3.向量代数与空间解析几何,4.无穷级数,5.常微分方程,高等数学主要内容,多元微积分,(下册),(下册),(上册),具体要求：,1.重视每一节课.,2.注意应用对比的方法学习.,华罗庚：学习数学，不做练习，如入宝山而空返.,3.独立按时完成作业.,?,参考书目：,1.高等数学,吴赣昌编,4.历届数学考研试题研究,潘鼎坤编著,2.高等数学习题详解、释疑、指导,3.高等数学辅导,陈文灯主编,武忠祥编著,5.高等数学习题全解指南（上、下）,同济大学编高等教育出版社,5.常见的二次曲面及其图形；,数量关系,第八章,第一部分向量代数,第二部分空间解析几何,在三维空间中:,空间形式点,线,面,基本方法坐标法;向量法,坐标,方程（组）,空间解析几何与向量代数,4.平面、曲面、空间曲线、空间直线及其方程；,1.空间直角坐标系,2.向量及其线性运算；,3.向量的坐标、数量积、向量积；,1、了解空间直角坐标系和空间两点间的距离公式及线段的定比分点公式；2、理解向量概念，熟悉单位向量、向量的方向余弦及向量的坐标表示，熟悉向量在空间有向线段上的投影与向量的分解；3、掌握向量的线性运算（加法、减法和向量与数的乘法）、数量积（点乘）和向量积（叉乘）；4、熟悉两向量间夹角及两向量平行、垂直的条件；5、理解曲面方程概念，了解常用二次曲面的方程及其图形；,基本要求,6、了解空间曲线方程的概念，熟悉空间曲线的参数方程及其在坐标面上的投影曲线方程；7、熟悉平面的点法式、一般式和截距式方程，了解两平面的夹角及平行、垂直的条件；8、熟悉空间直线的参数式、一般式和对称式方程，熟悉两直线的夹角和平行、垂直的条件，熟悉直线与平面的夹角、交点和平行、垂直的条件；,基本要求（续）,四、利用坐标作向量的线性运算,第一节,一、向量的概念,二、向量的线性运算,三、空间直角坐标系,五、向量的模、方向角、投影,向量及其线性运算,第八章,8-1向量及其线性运算,表示法:,向量的模:,向量的大小,一、向量的概念,向量:,(又称矢量).,既有大小,又有方向的量称为向量,自由向量:,与起点无关的向量.,单位向量:,模为1的向量,零向量:,模为0的向量,有向线段M1M2,复习,相等向量:,相等,负向量：,大小相等但方向相反的向量.,设有两非零向量,任取空间一点O,称=AOB(0)为向量,的夹角.,两向量的夹角:,规定:零向量与任何向量平行;也可理解为零向量,记作,若k(3)个向量经平移可移到同一平面上,平行向量:,垂直向量:,共面向量:,(平行向量可平移到同一直线上).,记作,与任何向量都垂直.,二、向量的线性运算,1.向量的加法,三角形法则:,平行四边形法则:,运算规律:,交换律,结合律,三角形法则可推广到多个向量相加.,折线法则,2.向量的减法,注意:,首首相接，,尾尾相连，,方向指向被减量.,方法：,几个向量的和与差,三角不等式:,仍是向量.,3.向量与数的乘法,是一个数,规定:,总之:,可见,(2)运算律:,结合律,分配律,(1)定义:,定理1.,设a为非零向量,则,(存在唯一实数),显然,取,反向时取负号,且,再证数的唯一性.,定理1.,设a为非零向量,则,(存在唯一实数),说明：定理1是建立数轴的理论依据.,我们知道：给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴.,由定理1知:存在唯一实数x使,于是有:,向量,点P,实数,结论：,例1.,设,为,轴上坐标为,的任意两点，,又,为与,轴正向一致的单位向量.,验证：,回顾平面直角坐标系：,o,(一)空间坐标系的建立,定义：,由原点重合且互相,垂直的三条数轴(单位一般,一致)，,而且三条数轴的正方,向符合右手系.,即构成一个空间直角坐标系.,右手系：,即以右手握住z轴，,当右手的四个手指从,大拇指的,三、空间直角坐标系,基本单位向量：,面,面,面,x轴(横轴),y轴(纵轴),z轴(竖轴),坐标原点,坐标轴,坐标面,卦限(八个),三个坐标平面将整个空间分成八个部分空间,空间直角坐标系共有八个卦限,我们知道：,(二)点的坐标，向量的坐标,则,沿三个坐标轴方向的分向量.,结论：在空间直角坐标系下,向径,点M,有序数组,也称为点M的坐标.,定义：在空间直角坐标系下，,说明：,有,(1)原点O(0,0,0);,3)一些特殊点的坐标表示:,(3)坐标面上的点.,(2)坐标轴上的点;,(4)各卦限坐标的符号：,(+,+,+),(-,+,+),(-,-,+),(+,-,+),(+,+,-),(-,+,-),(-,-,-),(+,-,-).,关于原点：,(x,y,z),(-x,-y,-z),关于xoy面：,(x,y,z),(-x,-y,z).,(x,y,z),(x,y,z),(x,-y,-z),(-x,y,z);,(x,-y,z).,(x,y,-z)；,关于yoz面：,关于xoz面：,关于x轴的,关于y轴的,(-x,y,-z),关于z轴的,(x,y,z),(x,y,z),(x,y,z),(5)点M(x,y,z)的对称点,思考：点M(x,y,z)到各坐标轴、坐标面的距离怎么计算？,设,四、利用坐标作向量的线性运算,平行向量对应坐标成比例:,例2.已知两点,在AB直线上求一点M,使,解:设M的坐标为,如图所示,及实数,得,说明:,定比分点公式:,点M为AB的中点,于是得,中点坐标公式:,五、向量的模、方向角、投影,1.向量的模与两点间的距离公式,由勾股定理得,因,得两点间的距离公式:,对两点,解:,则设该点为,依题意有,即,两边平方，解得：,则所求的点为：,例3.,在,轴上求与点,和点,等距离的点.,因为点M在z轴上，,例4.已知两点,解:,2.方向角与方向余弦,与三坐标轴的夹角,为其方向角.,方向角的余弦称为其方向余弦.,方向余弦的性质:,例5.,已知,求,的模，,方向,余弦及方向角.,解:,则方向角分别为：,例6.设点A位于第一卦限,解:已知,角依次为,求点A的坐标.,则,因点A在第一卦限,故,于是,故点A的坐标为,向径OA与x轴y轴的夹,3.向量在轴上的投影,(1)定义：,再过点A作轴u的垂直平面与,轴u的交点为,对于给定的u轴(原点O和单位向量)及向量,称为点A在u轴上的投影.,则交点,由此定义知：若,则,故向量的投影与坐标有相同的性质.,(2)投影性质,如图：,一般地：,向量的模乘以轴与,向量的夹角的余弦，即,性质1的说明：,投影为正；,投影为负；,投影为零；,(4)相等向量在同一轴上投影相等.,性质2：,(可推广到有限多个),性质3：,(为实数),设立方体的一条对角线为OM,一条棱为OA,且,解：如图所示,记MOA=,例7.,内容小结,1.向量的概念及