大扭矩磁流变离合器的研制优秀毕业论文 可复制黏贴.pdf

硕士学位论文硕士学位论文 大扭矩磁流变离合器的研制 development of high torque magnetorheological fluid clutch 刘仰清刘仰清 哈尔滨工业大学哈尔滨工业大学 2011 年年 6 月月 国内图书分类号：tb535+.1 学校代码：10213 国际图书分类号：621 密级：公开 工学硕士学位论文工学硕士学位论文 大扭矩磁流变液离合器的研制 硕 士 研 究 生：刘仰清 导 师：刘彦菊教授 申请学位：工学硕士 学科：航天科学与力学系 所 在 单 位：航天学院 答 辩 日 期：2011 年 6 月 授予学位单位：哈尔滨工业大学 classified index: tb535+.1 u.d.c: 621 dissertation for the master degree in engineering development of high torque magnetorheological fluid clutch candidate： liu yangqing supervisor： prof. liu yanju academic degree applied for： master of engineering speciality： engineering mechanics affiliation： department of astronautics science and mechanics date of defence： june, 2011 degree-conferring-institution：harbin institute of technology 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 i 摘 要 磁流变液（magnetorheological fluid 简称 mrf）作为 21 世纪最热门的智能 材料之一，由于其独特的磁流变效应而被广泛的运用在船舶，桥梁，航空，车辆 等工程领域。 本文设计的新型磁流变离合器是以磁流变液作为传递扭矩的工作介 质，合理巧妙的设计多环式结构，加大了磁流变液的作用面积，添加了补偿量阻 尼装置提高了机械的轴向，径向，角向补偿能力，并通过磁路仿真设计优化出合 理的机械结构。所研制的新型离合器在进行机械，力学性能的测试中，表现出十 分优异的工作性能，不但具有传递扭矩稳定，结构简单，易于控制，寿命长的特 点，还克服了传统磁流变离合器扭矩小，能耗高的缺点。本文主要研究以下几个 部分： （1）以动力学理论为基础建立磁流变液的微观三维模型，并在这个模型的 基础上推导出磁流变液的宏观特性，即剪切屈服应力与剪切速率的关系，以及剪 切屈服应力与外部磁场的关系。 （2）根据磁流变传动理论技术，研究分析磁流变离合器的传动机理，进行 各类磁流变离合器扭矩的计算，同时进行磁流变磁场设计的理论计算，为之后的 设计研究打下夯实的基础。 （3）机械设计新型大扭矩磁流变液离合器的结构，并通过磁流变离合器磁 学设计理论对所设计的离合器结构进行仿真分析，并根据设计指标不断优化结 构，最后对其进行强度校核，并对其进行机械制图。 （4）将所研制的离合器在扭转试验台进行静态，动态扭转试验等力学机械 性能测试，并记录测试试验数据，最后对离合器的主要性能指标进行试验标定， 确定励磁电流， 输入转速， 输出扭矩三者之间的关系， 分析导致误差的可能因素， 进而与先前的理论计算进行对比相互印证。 关键词：磁流变液，有限元仿真，大扭矩试验，磁路设计，机械设计 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 ii abstract as the most promising future of smart material, magneto-rheological fluid （mrf）have been applied in the area of the motor，mechanical，aviation，bridge， with its special mrf effect. this paper has designed a new type of clutch. this new type of clutch use magnetorheological fluid as the working medium to transfer torque, having a reasonable clever multi-ring structure,as a result not only increase the mrf working area, but alos add the compensation amount of equipment that is to improve the mechanical axial, radial, angular,compensatory capacity. we also optimize the magnetic circuit of the mechanical structure designed to make it not only has torque transmitting stability, simple structure, easy to control, long life, and also overcome shortcomings of the traditional mrf clutch,such as small torque, high energy consumption. this paper has the following sections: (1) based on kinetics theory,the 3-d model of mrf has been made.using this model ,we analyze the structure and macroscopic properties of the magnetic fluid,that is the relation between shear yeild stress and shear rate,at last，we do some analysis and test to the mrf we prepared and find the factors which affect the parameters of mrf. (2) based on the theory of mrf transmission technology, we have done some research and analysis in magneto-rheological clutch transmission mechanism， and the various types of mrf clutch torque calculation.also，the magnetic circuit design theory have been studied to lay a compacted base. (3) mechanical design of new high-torque mrf clutch structure have been done. through the clutch design theory,the simulation analysis of the structure of clutch have been done，which has optimized the structure，too.in the end, we check the strength of clutch part and make the drawing of it. (4) the developed clutch have been set in the high torque experimental rig to do the static and dynamic test.record the test data,the major performance of clutch has been determined and the relation between ouput torque,excitation current,input speed has been determined and the possible error factor have been put out,compared with the previous theoretical calculation. keyword：mr fluid ，finite element，torque experiment，magnetic circuit design 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 iii 目 录 摘 要.i abstract.ii 第 1 章 绪 论. 1 1.1 课题背景及研究的目的和意义. 1 1.2 磁流变流体概述. 2 1.2.1 磁流变体的流变效应. 2 1.2.2 磁流变液的研究现状. 3 1.3 磁流变液器件的研究及发展. 3 1.3.1 磁流变液振动控制装置. 4 1.3.2 磁流变液超精密抛光装置. 4 1.3.3 磁流变液精密柔性夹具. 5 1.3.4 磁流变医疗辅助设备. 6 1.4 本文主要研究内容. 7 第 2 章 磁流变传动技术的理论研究. 8 2.1 磁流变微观结构模型分析. 8 2.2 磁流变传动作用机理. 13 2.3 磁流变扭矩理论计算. 16 2.3.1 圆盘式离合器扭矩计算. 16 2.3.2 圆筒式离合器扭矩计算. 17 2.4 磁流变磁场设计原理. 19 2.4.1 麦克斯韦磁场理论. 19 2.4.2 离合器磁路理论分析. 21 2.5 本章小结. 22 第 3 章 新型离合器的设计. 23 3.1 结构设计. 23 3.1.1 材料选择. 24 3.1.2 密封. 25 3.1.3 电流密度. 25 3.1.4 冷却. 26 3.2cad机械设计. 28 3.2.1 机械零件设计. 29 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 iv 3.2.2 位移补偿机构. 30 3.3 磁路仿真优化. 31 3.3.1 仿真材料参数. 32 3.3.2 仿真结构. 34 3.3.3 磁场模拟. 35 3.3.4 磁场模拟分析. 37 3.3.5 扭矩的理论计算. 39 3.4 本章小结. 41 第 4 章 离合器性能实验研究. 42 4.1 大扭矩磁流变离合器样机. 42 4.2 试验原理与试验装置. 42 4.2.1 试验系统. 43 4.2.2 主要实验设备. 44 4.2.3 实验性能测试软件. 45 4.3 离合器性能测试. 46 4.3.1 实验步骤. 46 4.3.2 实验数据. 47 4.3.3 离合器标定. 52 4.3.4 误差分析. 52 4.4 本章小节. 52 结 论. 54 参考文献. 55 哈尔滨工业大学硕士学位论文原创性声明. 59 致 谢. 60 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 第 1 章 绪 论 1.1 课题背景及研究的目的和意义 智能材料系统与结构是科学家们受到自然界生物具备的某些能力的启发而提 出的概念，即材料能够根据外界环境的变化和自身老化的进程，适时地对自身进 行调节，如改变材料的结构、组织形态、形状以及性能等1，以达到最佳的使用状 态。智能材料系统与结构除具备通常的使用功能外，还可以实现如下几个功能： 如自诊断、自修复、损伤抑制、寿命预报等，表现出动态的自适应性。它们是高 度自治的工程体系，能够达到最佳的使用状态，具备自适应的功能，并降低使用 周期中的维护费用。 磁流变体（megnetorheological fluid，简称mr流体）作为智能材料与结构的 一种主要传动机构材料，有着其它传动器材料无法比拟的优点3-5。其特性是：在 无磁场作用下，它表现为一般流体的性质；在外部磁场作用下，它会迅速“固化” ， 而且“固化”效果随外加磁场的不同而不同。磁流变液有广泛的应用背景。由于 磁场的控制可以通过控制激磁磁流来获得，所以利用磁流变液的特性，可以制作 各种新型的阻尼器、制动器、减震器、离合器、缓冲器、柔性夹具等器件。 6-10 由 于以上特点，预计利用磁流变效应开发的新产品与已有的产品相比，可能在性能 上、制造上、使用上以及价格上有明显的优势和市场竞争能力。磁流变液的各种 高技术特征引起了国内外学者和工业界的广泛兴趣，成为当前智能材料研究的一 个重要分支。这种材料将在汽车、机械、建筑、医疗等领域得到广泛的应用，被 认为是将来最具有前途的智能材料之一。世界各大主要工业国都投入了大量的人 力物力进行磁流变液机理、制备、性能测试、以及应用开发等方面的研究，目前 已有部分商品化的应用器件问世。进入到九十年代以来，大量的关于磁流变流体 工程应用的专利和论文涌现出来。这些应用研究涉及汽车、机械、航空、航海等 多个工业领域。 有关磁流变体器件的研究， 国外主要以美国nasa、 美国lord公司、 美国通用汽车公司和福特汽车公司及欧美的多所大学为主。 我国磁流变技术的研究的比较晚，这导致现阶段的研究包括磁流变理论、磁 流变体材料以及磁流变体的工程应用等方面均与国外有很大差距。首批进行 mrf 研究的包括中科院化学所、上海交通大学、哈尔滨工业大学、中国科技大学等单 位，这些单位现在在磁流变领域开展了一定的研究工作，并取得了一定的成果， 但是由于未能研制成功很好的 mrf 以及经费的缺乏，使得这类研究距离工程方面 1 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 的应用有比较大的距离。哈尔滨工业大学从 1993 年开始在国防基金的资助下开展 电磁流变体、应用器件及其结构振动抑制中的应用的有关研究，已取得了一定的 成果，本课题的主要工作正是这一研究基础的延续。由于磁流变液及其应用器件 在航空、航天、汽车等领域的商业价值，仅据保守估计，磁流变液体及其应用器 件的市场在 2020 年将会达到 100 亿美元，市场潜力非常巨大，前景十分广阔。另 外，按照与此相似的工作原理也可以很方便地设计出磁流变制动器等其他器件， 具有极大的应用空间。同时该研究涉及力学、机械、化学等多个学科，科学研究 的目的和意义十分明显。 1.2 磁流变流体概述 磁流变液（mrf）是将微米尺寸或纳米尺寸的磁性颗粒均匀的悬浮于某种载 液中而形成的粘性液体。在无外部激励时，mrf 可以进行正常的流动，当其受到 外部激励作用时，会失去流动性，并且这种特性的转换是可逆的。二十世纪四十 年代末，在美国进行 mrf 科学研究的 j. rabinow 第一个发明了磁流变流体及其装 置，而 w.m. winslow 首次报道电流变液的研究成果距离的时间很近。但在随后的 很长一段时间，磁流变流体没有很多人研究，大多数科研人员都把精力放在了电 流变液的开发和应用上。所以导致了磁流变流体技术的发展在一段时间内落后于 电流变液技术。但是电流变液装置对电源的要求很高，并且存在安全性的隐患。 与它不一样的是，磁流变流体则没有这类缺点，普通的直流稳压电源即可对它加 载，同时屈服剪切应力比电流变液大很多。它所具备的良好的物理特性和化学特 性，使 mrf 在最近几年里面引起人们的注意力，从而吸引了越来越多的研究人员 投身于 mrf 的研究领域中。 1.2.1 磁流变体的流变效应 磁流变液（mrf）是将微米尺寸或纳米尺寸的磁性颗粒均匀的分布于某种载 液中而形成的粘性液体。它的流变特性会随着外加激励而变化。这种外部激励通 常是磁场。在未加外部激励时,磁流变流体的物理特性或化学特性与普通液体差不 多。然而当它受到外部激励时，它的粘度会显著增加。当这种液体受到更强激励 时，液体几乎会变成“固体”的状态，同时流动性非常小。去掉外部激励后，这 种液体的流动性能又回复到原始状态。这种可逆变化可以在很短的时间内完成。 mrf 这种随外部激励变化而改变其性能的现象被称为磁流变效应。磁流变效应是 磁流变技术和磁流变流体走向工程应用的基础，它具有以下特征： 1. 它能够随磁场的变化而连续变化，同时机构的阻尼力可以通过改变磁场的 2 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 大小而调节。 2. 即施加磁场后磁流变液随磁场强度的增加硬化成为具有一定剪切强度的粘 塑性体，当撤去磁场后又恢复为自由流动的液体状态10。 3. 磁流变效应对杂质敏感。 4. 可以采用电流信号来控制磁场的强弱，从而控制磁流变效应，这种控制是 安全且容易实现的。 5. 流变性能的转化通常都在ms级时间完成。 6. 能广泛服务于车辆，船舶领域，为其提供方便。 磁流变体的流变效应目前还没有完全成形的理论，通过显微镜可以观察到， 在没有外部激励作用的情况下，液体颗粒的分布是无规律的。当磁流变液施受到 外部激励的作用，液体颗粒在磁场方向上表现为束式排列，在两个磁极之间的粒 子链会产生作用力，阻碍流体的运动，使流体在宏观上具有非常大的剪切力。磁 流变液的结构如图 1-1 所示。 图 1-1 磁流变体中链状结构的形成37 fig.1-1 magnetic body form of a chain structure37 1.2.2 磁流变液的研究现状 现如今已经有多家国外公司能生产出性能良好的纳米级磁流变液，包括巴斯 夫磁流变液体，罗德磁流变液等。这些性能优良的液体受外部激励作用时很明显 的表现出磁流变效应，进而高效的实现液体固体转换，同时其转化的时间迅速。 在转换过程的起点和终点，液体的物理性能和化学性能变化显著，整个转化过程 可通过外加可控磁场加以控制，能量转换率高，已经许多加机构组织将其运用到 实时主动控制的研究。同时这些组织机构生产的磁流变液很好的克服了以往磁流 变液易于沉淀的问题，让磁流变液更高效的应用于机械，电子，化工等交叉型领 域。 1.3 磁流变液器件的研究及发展 许多研究机构生产的商用磁流变液已经广泛的运用到机械，船舶，汽车，海 3 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 洋，航空等领域的应用，它的实际开发应用主要有机械结构主动阻尼减振、机械 夹具、机械抛光，机械柔性肢体这四个方面。在磁流变机械结构的研发过程中， 美国的 lord 公司、 trw 研究所和美国内达华大学的研究较为前沿， 开发出许多种 专利，并面向市场根据用户的需求进行专门的设计和研究。 1.3.1 磁流变液振动控制装置 由于磁流变液能产生的阻尼较大，所以人们认为磁流变液将在结构振动控制、 车辆，船舶，航空等领域中拥有十分宽广的前景和未来。特别是在汽车生产中， 很多公司已经将磁流变液阻尼器应用到汽车的零配件当中去。 图 1-2 显示了 mr 阻 尼器和另外一种阻尼器在崎岖的驾驶状况的比较图。行驶速度大概为 60mph，在 道路两端安装摄像头进行测量，拍摄两种汽车的行驶情况，并截取其中的几张图 片。从图中振动幅度来看，装载 mr 阻尼器的车辆具有更好的减震效果，同时也 使汽车司机感到舒适安全。 图 1-2 使用磁流变阻尼器的车辆的优越性29 fig.1-2 the high performance of mr damper29 1.3.2 磁流变液超精密抛光装置 磁流变抛光是起源于 20 世纪机械工业对于精密加工的需要，所孕育而出的一 项利用磁场辅助进行流体动力抛光的技术。精密抛光的主要加工对象是一些绝磁 性材料，例如镜片、陶瓷和塑料等等。磁流变抛光相对于传统抛光的优点在于传 统的抛光技术由于技术缺陷，会导致研制出来的光学元件在形状方面存在着大量 的误差，并且存在大量的微观凹凸，而且往往生产过程中便产生了表面磨损，而 磁流变抛光更平滑，精密度更高，效果显著，所生产的光学元件更经的起严格的 检查。它的运转原理如下图 1-3 所示。 4 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 图 1-3 mrf抛光装置流程机理图19 fig.1-3 mrf polishing device process mechanism map19 图 1-4 磁流变射流抛光实验装置照片19 图 1-5 磁流变射流抛光修正面图示19 fig.1-4 mrf polishing device19 fig.1-5 mrf polished modified surface 19 1.3.3 磁流变液精密柔性夹具 传统的机械柔性夹具容易因为摩擦或其他操作不当导致试件产生磨损破坏， 在一些航空，船舶，汽车工业等领域常常需要些精密的柔性夹具，而这些柔性夹 具所加载的工作件往往因为经常性的损失破损而更换，导致大量的经济浪费。磁 流变液体柔性夹具利用粘性流体作为中间介质，应用磁流变液较高的屈服应力对 试件进行加载，具有以下几方面的优点。1：夹具很少因为温度而发生变形 2：更 便于机械工人的操作 3：磁流变液重复利用率高 4;为高精密的机械设备提供有利 的支撑力 tang 等人研究设计了一种新型柔性夹具，并建立了磁流变柔性夹具的三维结 构模型，进行载计算，其原理结构示意图如下图所示： 5 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 图 1-6 mrf夹具示意图11 fig.1-6 mrf fixture schematic11 1.3.4 磁流变医疗辅助设备 在iisl的研究人员和在ohio州立医学院得工作者一直在致力于新型触觉和力 反馈装置对于远程机器手术系统的作用。研究发现，传统的肢体伤后护具，仅仅 只能稳定主膝盖防止其进一步的损失，阻碍了了人体的活动能力。虽然它起到了 稳定病情的能力，但它不能使肢体康复中得到力量上的回复。传统肢体护具的缺 点是费用昂贵，并且物理功能低下。现在已经研制出一种方法，它利用磁流变液 （mrf）的功能设计装置，使得肢体护具更具有控制性。最近董等人设计并测试 了便于病人康复预测的 mrf 仪器。这种专门为病人设计的装置能根据病人的自然 身体曲线进行工作。物理治疗师通过对这种装置进行调整，可以根据预先确定的 强度以及位置测量改变预紧力，从而达到对不同受伤程度的病人的最合理的物理 治疗。下图是其所设计的 mrf 医用辅助护具： 图 1-7 磁流变（mrf）医用辅助肢体护具19 fig. 1-7 mrf body protective gear for medical assistance19 6 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 7 1.4 本文主要研究内容 本文主要研究以下几个部分： （1）以动力学理论为基础建立磁流变液的微观三维模型，并在这个模型的基 础上推导出磁流变液的宏观特性，即剪切屈服应力与剪切速率的关系，以及剪切屈 服应力与外部磁场的关系，最后对已研制的磁流变液进行性能的分析测试，分析影 响磁流变液性能参数的各种因素。 （2）根据磁流变传动理论技术，研究分析磁流变离合器的传动机理，进行各 类磁流变离合器扭矩的计算，同时进行磁流变磁场设计的理论计算，为之后的设计 研究打下夯实的举出。 （3）机械设计新型大扭矩磁流变液离合器的结构，并通过磁流变离合器磁学 设计理论对所设计的离合器结构进行仿真分析，并根据设计指标不断优化结构，最 后对其进行强度校核，对其进行机械生产。 （4）将所研制的离合器在扭转试验台进行静态，动态扭转试验，冲击震动测 试，并记录测试试验数据，最后对离合器的主要性能指标进行试验标定，确定励磁 电流，输入转速，输出扭矩三者之间的关系，分析导致误差的可能因素，进而与先 前的理论计算进行对比相互印证。 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 第 2 章 磁流变传动技术的理论研究 2.1 磁流变微观结构模型分析 现当今磁流变液的模型理论主要以粘弹性理论为基础建立的 binham 模型为 主，但越来越多的实验表明 binham 模型并不能适合多数磁流变液的宏观表现，因 此研究一个更合理更符合实际的模型理论就显得尤为主要。本小节主要是通过根 据动力学理论建立磁流变液的三维模型，再根据建立出来的三维模型推导出简单 稳态一维剪切模型，最后在通过实际制得的磁流变液与理论模型进行对比。 已知的传统的 binham 模型理论： yb 31 传统的 binham 模型 基于三维模型的磁流变液模型理论： 在下图所示的动态理论模型中，我们将磁流变液粒子考虑成哑铃状，即两个 质量都为 m/2 的圆形弹性体由一个连接两个圆珠的最初无拉伸，弹簧常数为 的 弹簧，其中位置矢量分别为 r1 和 r2，那么就有方向矢量 q = r2-r1 在这对球环结构 的质量中心，我们设它问为 x = (r1+r2)/2，方向矢量 q 表示的是铁粒子在载液中的 方向和长度。 利用动力学方程描述方向矢量随时间的变化率得到如下方程： . 1int 12 2 ()()2( extext ijijjijkjijjijjji k kt qlud qaa faff q ) (2-1) 方程的左边是方向矢量对拉格朗日时间的求导，右边的4项分别表示的4种 力学作用对方向矢量改变的影响。其中右边方程的第一项表示的是载液作用对粒 子方向变化的影响，其中 iji j lv x 表示的是速度梯度张量，( , ) ii vv x t表示的是 载流的速度函数，标量参数u能够衡量哑铃非仿射运动幅度。第二项 - 8 - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 图 2-1 哑铃模型25 fig.2-1 the dumbbell model25 1 2 ijkj k kt a q 表示的热流引起的布朗运动的影响；k是玻尔兹曼常数，t 是绝对温度，, ,q x t是粒子的取向概率分布函数， ij 是对各向异性布朗运动起 作用的各向异性张量，可以下上面公式得到 ij a 1 ( ijinnmmj a) im ， ij 为摩擦张 量。奥辛-伯格方程张量表示的是液体动力相互作用，可以有以下公式求的： ij 2 11 8 ijijij s q q q q (2-2) 其中 s 是磁流变液的液体粘度。概率分布函数, ,q x t表示的是粒子在x位 置，t时间点,在特定位置q的概率。 这个概率分布函数是由下面的演化方程控制的： . ()() i i qq tq i q (2-3) 方程的第3项是颗粒的相互作用力，例如粒子方向的弹性力的作用， (int) 2 ijj a f (int) j f表示的是颗粒间的吸引力； 第4项表示的是外力的作用， 例如 外加磁场时， (t)(t) 12 ( exex ijjj aff) 1 ext f表示的是磁场力对哑铃模型的一端的作用，而 2 ext f表示的是对另 一端得作用； 第2个取向张量qq，张量元素 ij q q由下列方程表示： 123 ( , , ) ijij q qq qq x t dq dq dq (2-4) - 9 - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 上述方程提供了一个简明的中尺度取向状态的解释，所谓的中尺度取向状态 即粒子平均超过一个适当区域的方向，并且能测量影响材料应力的方向。 将分布函数的演化方程乘以 ij q q，并对欧几里得三维空间求积分，根据散度 定理以及q ，0，可得到qq的控制方程： . 123123 . 123123 . 123 . ( , , ) () ()()() 0() ( ijijk k ijijkk kk jiij jiijij q x t q qdq dq dqqq q dq dq dq tq q q q dq dq dqqq q dq dq dq qq q qq qdq dq dq d q qq qq q dt (2-5) 对方向张量qq求导得到下列(2-6)方程： . 11 1 12 1 12 ()( 2()() ()(2) (2) jiijimimjmimjmmjij iminnmmljijmjnnmmlkl k mechmagmag iijjmmkkllll mechmagmag ikimmkkllll d q qq qq qludq qq qlud dt ktqq q qfff fff 1 ) (2-6) 其中有gordon-schowalter求导得到(2-7)方程： 其中 . ( , ) ijijijk k d q qq qx tq qx dttx ； ij w为速度梯度 i j v x 的倾斜部分； 1a u；a可能取1,0，-1，分别对应3种不同的状态，上对流，旋转对流， 较低对流导数。 . 11 1 12 1 12 ()( 2()() ()(2) (2) jiijimimjmimjmmjij iminnmmljijmjnnmmlkl k mechmagmag iijjmmkkllll mechmagmag ikimmkkllll d q qq qq qludq qq qlud dt ktqq q qfff fff 1 ) (2-6) - 10 - 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 ijijikkjikkjikkjikkj dd q qq qwq qq qwa dq qq qd dtdt (2-7) 我们研究的以动力学理论为基础的模型，其中假设各向异性效应的布朗运动， 水动力作用可以忽略不计，并且摩擦作用是各向同性的。根据这些假设，方向向 量的求导方程可以简化为如下形式： (int)(int) 1212 421 ()()