圆的几何综合题27题.doc

. 圆的几何综合题圆的几何综合题 一、历年圆的几何综合题回顾一、历年圆的几何综合题回顾 1、 一般分成三个问题，三个问题由易到难，由一般到特殊或由特殊到一般层层递进的方式设置问题； 2、 一般三个问题涉及到圆的切线的证明，线段相等、角相等、线段与角的计算、图形面积的计算、几何 变量之间的函数关系探究、线段关系式的证明、角的关系式的证明等； 3、常见的知识点有：垂径定理及其推论、圆心角定理及其推论、圆周角定理及其推论、切线的性质与判 定、等腰三角形的性质与判定、解直角三角形、全等三角形与相似三角形的性质与判定、锐角三角函数 定义，特殊角的三角函数值等； 4、 常见的数学思想方法有：方程思想、函数思想、由特殊到一般或由一般到特殊的探究思想等； 二、命题规律：二、命题规律： 1 1、圆中的如下定理出现的频率很高：垂径定理及其推论，圆心角定理及其推论，圆周角定理及其推论， 切线的性质及其判定定理； 2 2、常与等腰三角形(两半径加弦)，直角三角形（直径、半圆） ，相似三角形，全等三角形和锐角三角函 数的概念结合考查； 3、相似三角形基本图形的分解是关健，如：正 A 字形（A1 形） 、斜 A 字形（A2 形） 、正八字形（X1 形） 、 斜八字形（X2 形或蝴蝶形） 、射影定理图、共角共边相似（A3 形）图等出现的频率很高. 4 4、结合重要的几何定理（及其逆定理）的基本图形命题，如弦切角定理的逆定理，切线长定理的逆定理， 相交弦定理，切割线定理，割线定理等（具体见后面的例题） 三、常见的几何模板及辅助线回顾三、常见的几何模板及辅助线回顾 1、三角形：三角形：图中若有角平分线，可向两边作垂线；也可将图对折看，对称以后关系现；角平分线平 行线，等腰三角形来添；角平分线加垂线，三线合一试试看；线段垂直平分线，常向两端把线连；要证 线段倍与半，延长缩短可试验；三角形中两中点，连接则成中位线；三角形中有中线，延长中线等中线. 2 2、四边形：、四边形：平行四边形出现，对称中心等分点；梯形里面作高线，平移一腰试试看；平行移动对角 线，补成三角形常见；证相似，比线段，添线平行成习惯；等积式子比例换，寻找线段很关键；直接证 明有困难，等量代换少麻烦；斜边上面作高线，比例中项一大片. 3 3、圆：、圆：半径与弦长计算，弦心距来中间站；圆上若有一切线，切点圆心半径连；切线长度的计算， 勾股定理最方便；要想证明是切线，半径垂线仔细辨；是直径，成半圆，想成直角径连弦；弧有中点圆 心连，垂径定理要记全；圆周角边两条弦，直径和弦端点连；弦切角边切线弦，同弧对角等找完；如果 遇到相交圆，不要忘作公共弦；内外相切的两圆，经过切点公切线；若是添上连心线，切点肯定在上面； 要作等角添个圆，证明题目少困难. 四、四、2727 题解题程序题解题程序 1 1、画：、画：生长性画图，边画图边解决三个小问； 2 2、标：、标：将题中的已知条件标在图中； 3 3、标：、标：将未知问题、猜想的结论标在图中； 4 4、联：、联：联系知识点、联想常见的几何模块、不同知识进行联结，联系前面证明的结论； 5 5、写：、写：写出解题过程. 五、常见定理及基本图形分析五、常见定理及基本图形分析 1、垂直于弦的直径，径连弦得射影定理；如 2007 成都、2010 成都、2011 成都. 2、角平分线加“相似三角形的斜八字形”会出现“共边共角相似”：如 2009 成都、2010 成都. 3、以切线长定理的基本图形，关于切线的性质与判定的证明，出现两公共底边的两等腰三角形：如 2007 成都、2012 辽宁朝阳、2012 北京. . 4、直径与切线（性质或判定）相结合命题：如 2007 成都、2012 成都、2012 湖北天门、2012 辽宁朝 阳、2012 北京、2012 福建甫田、2012 辽宁锦州. （1）圆中常见的二级图 G F E O D C B A 垂径定理图 垂径定理与射影定理 点 C 为弧 AF 中点 AB 垂 相交弦定理图 直于 CD，有 AE=CE E D C BA 点 C 为弧 BD 中点，有 切割线定理图 割线定理图 切线长定理图 BECABC (2） 部分中考题图形选 2007 成都 2008 成都 2009 成都 2010 成都 2011 成都 2012 成都 . 2012 湖北天门 2012 辽宁朝阳 2012 北京中考 2012 福建甫田 2012 辽宁锦州 六、中考真题分析六、中考真题分析 1、 （成都中考 2007，10 分）如图，是以为直径的上一点，于点，过点作OABCOAADBCDB 的切线，与的延长线相交于点是的中点，连结并延长与相交于点，延长CAEG，ADCGBEF 与的延长线相交于点AFCBP （1）求证：；BFEF （2）求证：是O的切线；PA （3）若，且O的半径长为，求和FGBF3 2BDFG 的长度 2、（成都中考 2008，共 10 分）如图，已知O的半径为 2，以O的弦 AB 为直径作M，点 C 是O优 弧上的一个动点（不与点 A，点 B 重合）.连结 AC，BC，分别与M 相交于 A AB 点 D，点 E，连结 DE.若 AB=2.3 (1)求C 的度数； (2)求 DE 的长； (3)如果记 tanABC=y，=x（0x3） ，那么在点 C 的运动过程中，试用含 AD DC x 的代数式表示 y. . 3、 （成都中考 2009，共 10 分） 如图，RtABC 内接于O，AC=BC，BAC 的平分线 AD 与0 交于点 D， 与 BC 交于点 E，延长 BD，与 AC 的延长线交于点 F，连结 CD，G 是 CD 的中点，连结 0G (1)判断 0G 与 CD 的位置关系，写出你的结论并证明； (2)求证：AE=BF； （3）若，求O 的面积.3(22)OG DE 4、 （成都中考 2010，共 10 分） 已知：如图，ABC内接于O，AB为直径，弦CEAB于F， C是AAD的中点，连结BD并延长交EC的延长线于点G，连结AD，分别交CE，BC于点P，Q （1）求证：是的外心；PACQ （2）若,求的长； 3 tan,8 4 ABCCFCQ （3）求证： 2 ()FPPQFP FGA . 5、 （成都中考 2011，共 10 分）已知：如图，以矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点为圆心，以 OA 长为半径作 O，O 经过 B，D 两点过点 B 作 BKAC，垂足为 K过点 D 作 DHKB，DH 分别与 AC，AB，O 及 CB 的延长线相交于点 E，F，G，H （1）求证：AE=CK； （2）如果 AB=a，AD=为大于零的常数） ，求 BK 的长；aa( 3 1 （3）若 F 是 EG 的中点，且 DE=6，求O 的半径.已做，没问题已做，没问题 6、 （成都中考 2012，共 10 分）如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于 H，过 CD 延长线上一点 E 作O 的 切线交 AB 的延长线于 F切点为 G，连接 AG 交 CD 于 K （1）求证：KE=GE； （2）若 2 KG=KDGE，试判断 AC 与 EF 的位置关系，并说明理由； （3） 在（2）的条件下，若 sinE= 3 5 ，AK=2 3，求 FG 的长已做，没问题已做，没问题 7、 （2013 年成都）如图，的半径，四边形内接圆，于点，为O25r ABCDOACBDHP 延长线上的一点，且.CAPDAABD （1）试判断与的位置关系，并说明理由：PDO （2）若，求的长； 3 tan 4 ADB 4 33 3 PAAH BD （3）在（2）的条件下，求四边形的面积.此问有问题ABCD . 8、 （2014 年成都）如图，在的内接ABC 中，ACB=90，AC=2BC，过 C 作 AB 的垂线O 交O 于另一点 D，垂足为 E.设 P 是上异于 A,C 的一个动点，射线 AP 交 于点 F，连接l AC l PC 与 PD，PD 交 AB 于点 G. （1）求证：PACPDF； （2）若 AB=5，=，求 PD 的长； AP BP （3）在点 P 运动过程中，设，x BG AG yAFD tan 求与之间的函数关系式.（不要求写出的取值范围）yxx 9、 （2013 年北京)如图，AB 是O 的直径，PA，PC 分别与O 相切于点 A，C，PC 交 AB 的延长线于点 D，DEPO 交 PO 的延长线于点 E （1）求证：EPD=EDO （2）若 PC=6，tanPDA= 4 3 ，求 OE 的长*#网 10、 （2014北京）如图，AB 是O 的直径，C 是的中点，O 的切线 BD 交 AC 的延长线于点 D，E 是 OB 的中点，CE 的延长线交切线 BD 于点 F，AF 交O 于点 H，连接 BH （1）求证：AC=CD； （2）若 OB=2，求 BH 的长 . 11、 （2014南昌）如图 1，AB 是O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上，AB=4，BC=2，P 是O 上半部分的一 个动点，连接 OP，CP （1）求OPC 的最大面积； （2）求OCP 的最大度数； （3）如图 2，延长 PO 交O 于点 D，连接 DB，当 CP=DB 时，求证：CP 是O 的切线 12、 （2014 辽宁盘锦）如图，ABC 中，C=90，点 G 是线段 AC 上的一动点（点 G 不与 A、C 重合） ， 以 AG 为直径的O 交 AB 于点 D，直线 EF 垂直平分 BD，垂足为 F，EF 交 BC 于点 E，连结 DE. (1)求证：DE 是O 的切线； (2)若 cosA=,AB=，AG=，求 BE 的长； 1 2 8 32 3 (3)若 cosA=,AB=，直接写出线段 BE 的取值范围. 1 2 8 3 G F E D O C B A 13、 （2013 泸州)如图，D 为O 上一点，点 C 在直径 BA 的延长线上，且.CDACBD （1）求证：； 2 CDCA CB （2）求证：是O 的切线；CD （3）过点 B 作O 的切线交 CD 的延长线于点 E，若 BC=12, ，求 BE 的长. 2 tan 3 CDA 图 24图 图 C E O B A D . 14、 （2012 上海）如图，在半径为 2 的扇形 AOB 中，AOB=90，点 C 是弧 AB 上的一个动点（不与点 A，B 重合）ODBC，OEAC，垂足分别为 D，E （1）当 BC=1 时，求线段 OD 的长； （2）在DOE 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由； （3）设 BD=x，DOE 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出它的定义域问题问题 E 15、 （2014德阳）如图，O 中，FG、AC 是直径，AB 是弦，FGAB，垂足为点 P，过点 C 的直线交 AB 的 延长线于点 D，交 GF 的延长线于点 E，已知 AB=4，O 的半径为 （1）分别求出线段 AP、CB 的长； （2）如果 OE=5，求证：DE 是O 的切线； （3）如果 tanE= ，求 DE 的长 16、 （2014甘孜州）如图，在ABC 中，ABC=90，以 AB 的中点 O 为圆心，OA 为半径的圆交 AC 于点 D，E 是 BC 的中点，连接 DE，OE （1）判断 DE 与O 的位置关系，并说明理由； （2）求证：BC2=2CDOE； （3）若 cosBAD= ，BE=，求 OE 的长 . 17、 （2012 湖北天门 8 分）如图，D为O上一点，点C在直径BA的延长线上，CDACBD （1）求证：CD是O的切线； （2）过点B作O的切线交CD的延长线于点E，若 2 6tan 3 BCCDA，求BE的长 E O D BC A 18、 （2012 北京中考）已知：如图，AB是O的直径，C是O上一点，于点D，过点C作OODBC 的切线，交OD的延长线于点E，连结BE （1）求证：BE与O相切； （2）连结AD并延长交BE于点 F，若，求BF的长9OB 2 sin 3 ABC E D C B O A 19、(2012 辽宁朝阳)如图已知 P 为O 外一点PA 为O 的切线，B 为O 上一点，且 PA=PB，C 为 优弧上任意一点（不与 A，B 重合） ，连接 OP，AB，AB 与 OP 相交于点 D，连接 AC，BC A AB （1）求证：PB 为O 的切线； （2）若，O 的半径为，求弦 AB 的长 2 tan BCA 3 13 . O PD C B A 20、 （2012 辽宁锦州）如图：在ABC 中，AB=BC，以 AB 为直径的O 交 AC 于点 D，过 D 做直线 DE 垂直 BC 于 F，且交 BA 的延长线于点 E. （1）求证：直线 DE 是O 的切线； （2）若 cosBAC=，O 的半径为 6，求线段 CD 的长. 3 1 O B F C D E A 21、(福建甫田 2012，本小题满分 10 分)如图，点 C 在以 AB 为直径的半圆 O 上，延长 BC 到点 D，使得 CDBC，过点 D 作 DEAB 于点 E，交 AC 于点 F，点 G 为 DF 的中点，连接 CG，OF，FB (1)(5 分)求证：CG 是O 的切线； (2)(5 分)若AFB 的面积是DCG 的面积的 2 倍，求证：OFBC E F G D C B O A 22、 （福建厦门 2012，本题满分 9 分）已知：如图 8，O是ABC的外接圆，AB为O的直径，弦CD交 AB于E，BCDBAC . （1）求证：ACAD； （2）过点C作直线CF，交AB的延长线于点F，若BCF30,则结论“CF一定是O的切线”是 . O F E D C B A 否正确？若正确，请证明；若不正确，请举反例. 图 8 F B C E D O A 23、 （肇庆 2012，本小题满分 10 分）如图 7，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的O交AC于点E，交 BC于点D，连结BE，AD交于点P. 求证： （1）D是BC的中点； （2）BEC ADC； （3）AB CE=2DPAD 24、如图，已知 AB 为O 的直径，过O 上的点 C 的切线交 AB 的延长线于点 E ，ADEC 于点 D 且交 O 于点 F ，连接 BC ，CF ，AC （1）求证：BC=CF； （2）若 AD=6 ，DE=8 ，求 BE 的长； （3）求证：AF + 2DF = AB 25、 （湖北十堰 2012）如图 1，O 是ABC 的外接圆，AB 是直径，ODAC，且CBD=BAC，OD 交O 于 点 E （1）求证：BD 是O 的切线； （2）若点 E 为线段 OD 的中点，证明：以 O，A，C，E 为顶点的四边形是菱形； （3）作 CFAB 于点 F，连接 AD 交 CF 于点 G（如图 2） ，求 FG ：FC 的值 A B C E D P O . E D C B O A 26、 （2012 年湖北襄阳市）如图，PB 为O 的切线，B 为切点，直线 PO 交于点 E，F，过点 B 作 PO 的垂 线 BA，垂足为点 D，交O 于点 A，延长 AO 与O 交于点 C，连接 BC，AF （1）求证：直线 PA为O 的切线； （2）试探究线段 EF，OD，OP 之间的等量关系，并加以证明； （3）若 BC=6， 1 tan 2 F，求 cosACB 的值和线段 PE 的