（基础数学专业论文）顶点算子表示、整数分划与幂级数恒等式.pdf

主席? 戚伶瑟 答瓣委员会名单 委员j 删 推条才 参藓准f 一 髀、0 艇 协五 枯岔颤 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经 发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在 文中作了明确说明并表示谢意。 作者签期： 学位论文使用授权声明 秒岍6 、 譬 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保 留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权 将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许涂文进入学校图书馆被查阅。有 权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要 汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 学位论文作者签名：导师签名： 日日期 ) 1 r 7 摘要 本文中统一给出了v i r a s o r o - t o r o i d a l ( 包括仿射) 李代数的顶点算 子表示，并给出了仿射李代数( 除g ) 顶点模的不可约分解同时 给出了一系列的李型幂级数恒等式和一些整数分划定理 在本文中我们研究了不同类型仿射李代数顶点表示之间的关系， 利用这种关系对构造的b c f 型的顶点表示给出了完全的不可约分 解这里面主要是归结到g 型顶点模的结构同样的，这种对应关 系使得我们能够把一系列的形式幂级数写成乘积的形式，这些结 果在数论中有很重要的意义 主要结果有： ( 1 ) 统一构造了v i r a s o r o t o r o i d a l ( 包括t o r o i d a l 和仿射的情况) 李 代数的顶点表示( 除a 单独构造) ； ( 2 ) 给出了相应顶点表示的不可约分解( 除g 。外) ； ( 3 ) 一个关于整数分划的定理； ( 4 ) 给出了水平一的李型幂级数和水平二的a 型幂级数的乘积 形式 ( 5 ) 给出( 口，q 6 ) j ( q 5 ，矿) ：三种不同的“乘积和”表达形式 顶点表示、幂级数 1 a b s t r a c t i nt h i st l m s i s ，t h ev e r t e xr e p r e s e n t a t i o n sf o rv i r a s o r o - t o r o i d a l ( i n c l u d i n g a t f i n ec r s c ll i ea l g c b r a sa r ec o n s t r u c t e di nau n i f i e dv i e w ，f t l l ( 1t h e i ri r r e - d u c i b l ed e c o m p o s i t i o n sa r eg i v e n ( e x c e p tg ；”) f u r t h e r m o r e ，w eg i v eac 1 8 s 8 o fi d e n t i t i e sf o rp o w e rs e r i e so fl i et y p ea n ds o m ep a r t i t i o nt h e o r e m s t h r o u g hr e s e a r d t i n gt h ec o r r e l a t i o nb e t w e e na f f i u el i ea l g e b r a so fd i f f e r - e n tc l a s s e s ，w ec a l lg i v et h ei r r e d u c i b l ed e c o m p o s i t i o n so fv e r t e xi n o d u l e so f t y p eb g f h o w e v e r ，i ti ss u f f i c i e n tt od e a lw i t ht y p ec f u r t h e r bt h i s c o r r e l a t i o nm a k e si tp o s s i b l et oe x p r e s ss o m ep o w e rs e r i e si np r o d u c tf o r m s u c hr e s u i t sa r ev e r yi m p o r t a n ti nn u m b e rt h e o r y m a i nr e s u l t s ： ( 1 ) t h eh o m o g e n e o u sv e r t e xm o d u l e sf o rv i r a s o r o t o r o i d a l ( i n c l u d i n g t o r o i d a la n da l f l n ec a s e ) l i ea l g e b r a si nam d f i e dv i e wh o w e v e r ，f o ra 爿， t h ev e r t e xm o d u l ei sc o n s t r u c t e de x c e p t i o n a l l y f 2 1g i v et i l ei r r e d u c i b l ed e c o m p o s i t i o nf o ra b c d e fc a s e ( 3 ) ap a r t i t i o nt h e o r e l n ( 4 ) t h ep r o d u c tf o r l n so fl e v e lo n ep o w e rs e r i e so fl i et y p ea m ll e v e lt w o p o w e rs e r i e so fat y p e ( 5 ) t h r e e ”p r o d u c t 一8 l l n l ”e x p r e s s i o n so f ( g ，q d j ( 矿，q 6 ) 0 项点表示、幂级数 2 1 引言 1 1 研究背景 顶点表示是李代数表示的一种重要的表示方法，它在数学和物理 方面都有很重要的意义和应用自从l e p o w s k y 和w i l s o n ( 1 9 7 8 ) 发现 顶点表示以来，各种型( 非扭) 的仿射和t o r o i d a l 李代数的顶点表 示都已经在相应的f o c k 空间上给出t o r o i d a l 李代数的齐次顶点 表示是f r e n k e l - k a c 和s e g a l 关于水平一的仿射k a c - m o o d y 的顶点表 示的一种推广另外，f a b b r i 和m o o d y ( 见【f m ) 给出了a d e 型的 v i r a s o r o - t o r o i d a l 李代数的顶点表示( n u l l i t y2 ) 在李代数的顶点表示方面，l e p o w s k ew i l s o n ，f r e n k e l ，m a m l i a ， m i s r a ，k a c 以及r a o ，景乃桓，姜翠波，谭绍滨，郜云，胡乃红， 刘东( l h l ) 等都做了很多的研究其中关键的结论是l e p o w s k y ， w i l s o n ( l w ) 给出了仿射李代数标准模的结构，f r e n k d ，l e p o w s k y 和 m e u r m a n ( f l m ) 给出的单边仿射李代数的顶点表示， r a o 给出了 t o r o i d a l 算子的顶点表示以及姜翠波关于b 型齐次仿射李代数的顶 点表示的不可约分解对于非单边齐次顶点表示做出重要贡献的还 有r a - n a n u j a n 和b r e s s o u d ( b r ) ，他们的恒等式可以直接应用到c 型 仿射顶点表示( n i l ) 和b f g 型仿射顶点表示的不可约分解中 齐次顶点表示和主实现顶点表示最大的区别在于无法使用l c p - o w s y 和w i l s o n 的方法计算可以生成真空向量空间的z 算子在这 方面的结果最初是由姜翠波和孟道骥给出的( a t v l l ) ，他们给出最高 权向量空间的生成算子尽管他们给出的算子隐藏了其本质的表 现形式，所以没能给出日的不可约模分解( 【y j ) ，但对于c f 的情 况还是有着很重要的启示这一点可以在本文中g 型的z 算子构 造中看出来 顶点表示、幂级数 3 就其实质来说，c 型的齐次顶点表示对应到a i l 的高水平的( 主 实现) 顶点表示具体的，我们有以下的对应方式： ，掣 0 科1 。1 晓1 g 1 1 ) 。 l e v e l l l e v e l l 十十十 a 当耐1 硝1 1 l e p o w s k y 和w i l s o n ( 【l 】) 的真空向量空间的计算公式给出了相应 类型仿射李代数的真空向量空间之间的关系( 见上图) ，这使得我们 能够通过研究最基本州”型来刻画其它的顶点模同样的，这种对 应关系也给出了一系列的幂级数( 李型幂级数) 的乘积表示 对于非扭的非单边的仿射李代数，即列”，x = b c f g 型的仿射 李代数的顶点表示，通常有两种构造方法：分别使用硝”和”的 h e i s e n b e r g 子代数其中五是k 的阶为r 1 的图自同构的不变子 空问( 子李代数) 早期的顶点构造基本采用前者的主实现方法，而 后期的几种均采用了后者的齐次实现在本文中我们采用后者，此 种方法可以很容易地找到绝大多数顶点模的不可约分解 李代数的表示理论，数论( 整数分划) 和幂级数恒等式之间有着 紧密而重要的联系幂级数恒等式可以使得我们能够给出一个很复 杂的表示空问的一组基，而通过顶点表示我们可以把一个很复杂的 形式幂级数写成乘法的形式，进而可以得到一些有趣的整数分划的 结论 1 2 解决的主要问题 在本文中，我们主要解决了下面一系列的问题 ( 1 ) 统一构造了v i r a s o t ：o t o r o i d a l ( 包括t o r o i d a l 和仿射的情况) 李 代数的顶点表示( 除a 乎单独构造) ； 这里面主要包括和李代数结构常数有关的二上圈的构造，仿射 李代数的顶点算子构造，t o r o i d a l 算子以及v i r a s o r o 算子的构造 ( 2 ) 给出了相应顶点表示的不可约分解( 除g 。外) ； 主要是c 型z 算子的构造，不可约同构类的个数，最高权向量 空间的线性基以及v i r a s o r o t o r o i d a l 李代数的模作为仿射李代数 的模的结构 ( 3 ) 一个关于整数分划的定理； ( 4 ) 给出了水平一的李型幂级数和水平二的a 型幂级数的乘积 形式 我们考虑这样一个问题：如何把幂级数 q 警( m 小枷“ n q 写成乘积的形式? 这里的q 是一复单李代数的( 标准) 根格，h t 6 是相应( 非扭) 仿射李代数的最小正虚根5 的高度，小v 是“的高 度非退化的不变对称双线性型( ，) 满足l i l a x 。kc ( ) = 2 ，i i = o 一，啦为素根系我们主要是利用仿射李代数的顶点模的q 特 征标来找到并计算这些幂级数 ( 5 ) 给出( q ，q 6 ) = ( 矿，扩) = 三种不同的“乘积和”表达形式 这个结果是数论学家非常感兴趣的东西其中一些是由容许最 高权模的特征标得到的 1 3 李代数的基本概念 1 3 1 众所周知，任意的有限维复单李代数的d y n k i n 图都是下面图中 的一种 令g 是一有限维复单李代数，它具有型为函的d y n k i n 图，b 为其c a f t a n 子代数，对偶空间铲假设= f “。，厶+ ，厶和 q 分别是李代数g 的素根系，正根系，根系和根格 ( ，) 是b “上 的一非退化的不变对称双线性型，则存在c 一空间同构： - y ：b _ b “ 。? 。兰 ( n l ，o i ) 顶点表示、幂级数 5 这里江1 ，f ，使得对任意的旷，h 矿有 n ( ) = ( o ，1 ( ) ) a f 岛 g d t f 4 g 2 o一000 00 o f ! 。 注1 1 特别地，对于b c f g 的类型，可以假定上图中点( 代表相应 的素根) 的指标从左到右是递增的，这将有助于顶点模的构造 确定i i 使得 ( 。l ，n 1 ) ( 口2 ，0 2 ) s ( o l ，啦) ， 则存在0 f l 使得 ( 0 1 ，0 1 ) = t = ( q n o z ，) ( + 1 ，o l i + 1 ) = = ( o f ，o f ) 显然，注1 1 中给出的指标恰好可以满足这个条件令 r = 黜，删= 慨，味蓬 顶点表示幂级数 6 同时，为方便起见，我们定义短根格和长根格分别为 q s = s p a n z , 1 i1 i f ，) ，q l = s p a n z o q1 7 + 1 i f ) a i l ) a ；1 耐1 。么。 。f lo 。 ) ) ) ) ) ) ) 研硝 碰 霹 磁 砖凹 0 0 0 0 ：= 一o 一0 一o = = 一o 0 。f i0 0 ( ! 兰 o = = 一0 0 o = = = = = 上图中的黑点表示素根o l 。的指标 1 3 2 令_ = c 【s 士1 ，t 1 ，t ；1 为关于v + 1 个变量s ，t 。 多项式代数对盟= ( n 。 为4 的微分形式且 q 且d a = s p n 佗cf ；磊i i 蕊 则f _ 2 a d a 具有如下性质 定义 和 ，n ，) z ”，用萨来表示日 t 。的l a u r e n t t ：”令r h s m 担s 一1 d sm z ，旦z ”，i = 1 i n s t a t e s 一1 d s + p = 1 m s “! f 1 d t 。= 0 。+ = 把 掣，磊s dl ”触肚z ”， 口”邓呲 掣，百8 m + l di m z , _ n ez ”， 一 嘴掣硝掣 顶点表示、 幂级数8 则口”和d + 都是且的全导子代数的子代数而且，它们中的元素 也是q 且d 4 的导子 为方便起见，对i = 1 ，v 和 l z ，旦z v ，设 和 g 。( o ，堕) 一：万承i 可，a 。( i ，翌) = ：矛担( f 1 d t 。) 定义李代数 其中李运算为 d m ( 妞) 哗( 篆) g r o ，= g a ( 1 ) 【u d a + 口+ g v l ，= g a 目) a d a + 口”巾c k 【x f l ，y ，2 】 【z ，q a d a 】 【d k ( i ，盟) ，z s r t 4 】 d o ( m ，q ) ，。 s 7 t 2 】 【d k ( i ，塑) ，珥( ，堕) = 陋，y 】圆 ，2 + ( z ，f ) ，2 d r , ， =0= q a d a ，n a d a ， = ： 毗z o8 k + 7 盟主+ b ， = ，o 固8 r + m t 2 ， = n l d k + ，( j ，! 卫+ 旦) 一，n j d k + ，( i ，旦_ ! 盟) 一n , m j ：17 g + ，( p 1 盟+ 盟) + g + ，( o ，盟+ 丛) ， 【d k ( 0 ，q ) ，d ，( o ，旦) 】一 【d k ( o ，立) ，d ，盟) j = 【仇( o ，! ! ) ，g ( j 趣) i = 礼t c k + ，o ，盟+ 旦) + 正，jk c k + ，( u ，! 丛+ 盟) + 3 i ，j ：l 仇p c k ，( p ，巫+ 盟) ， ( r k ) d k + ，( o ，旦) 一d k h o k 3 + 。a x t k m r d + ，( j 盟) 一地监掣( 矗+ ，i 。z ( o ，盟) ， ( r + 毋，o 女) c k + ，( j ，n ) 且k 为中心元素，即和其它任何元素的李运算均为零，特别得， 当”= 0 时，即为仿射李代数在上一节中我们列出了所有仿射李 代数的d y i f l d n 图 注1 2 这里的常数a 等于 i + ( 西1 一1 ) t 7 l + f r i ) z 7 顶点表示、幂级数 9 该常数和李代数g 的类型有关我们之所以不能对所有的类型使 用统一的常数，是因为我们在顶点构造中使用了扭的h e i s e n b e r g 代 数 1 4 内容安排 本文的内容安排如下：引言和基本概念的介绍之后，我们首先讨论 了扭仿射李代数以及州”的高水平的标准模的结构；在第三章中给 出了二上圈的定义，第四章，给出仿射李代数( 除a ) 的统一的 顶点表示的构造和证明；以及顶点模的结构性质和不可约分解； 第五章，给出一类幂级数恒等式和一个整数分划定理；第六章， 把前面的顶点表示推广到v i r a s o r o t o r o i d a l 李代数上；第七章中给 出a 滋型仿射李代数代数的顶点构造和证明；最后一章中给出了 ( q ，q 6 ) = ( 矿，q 6 ) ：的不同的“乘积和”表达形式，该章中的部分结果 是由作者和景乃桓教授合作得出 常用符号：在本文中，我们经常使用到下面的符号 e 复数域 z 整数集合 n 非负整数集合 z 一 负整数集合 z + 正整数集合 同时，对于复变量z ，我们有 耻蓑 顶点表示、幂级数 1 0 2扭仿射李代数的基本模 2 1 扭仿射李代数 对任意的蜀裂有限单李代数，定义r ( x ) 如下： x h d f + l ， r ( 蜀) = a z l 岛， ld 。， 假设g 是r ( 五) 型的单李代数，r 是g 的阶为r 的图自同构，8 0 是其在该自同构下的不变子空间，并且b ，是g 的c a f t a n 子代数 a o = c ks - 1 】为l a u r e n t 多项式代数同时设 定义 9 = o g 。，( 特征空问分解) i e r ( x i ) b ；一9 ，no 。，i r ( x ) g= 90= h= o g 。s 击4 。c c 。c d i e n ( x t ) g o o a o o c c o c d ， b o o c c o c d ， ( 2 1 ) ( 22 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 则百为r ) r ) 型仿射李代数，百。为对1 型仿射李代数，而b 是百 和虱共有的c a r t a n 子代数但是为方便起见，我们会使用 0 作为 g o 的c a r t a n 子代数的标记 令 矿= o 豇， 4 - a e + 醋= 土n 蕊， 醅= g 圆s 素一4 0 n 矿 ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) e 舭耽既既如 = | = | | i | x 五五苒五 顶点表示、 幂级数 2 2 基本模的结构 定义2 1 仿射李代数百型的基本模是指同构于某一个l ( a 。) 的不可 约百模其中0 i e ，a 。旷 显然，一个基本手模为u 0 一) 鼢( i ) 其中a 是基本权它作为 虱的模也是水平1 的完全可约模同样葡的水平1 的模同构于 “( 菇) 乩( 葡) pc “( 菇) “( 面) “( 百一) 圆“( i ) ，因此 “( 醯) u o o ) u 0 一) o u 0 ) 地皇甜( 醯) u o o ) q p ， ( 2 9 ) p 这里的圆n 。是“晒一) 中在所有“( 砧) 作用下等于0 且权形如 m 6 + 卢的向量全体其中q 。属于由话o 0 ) 生成的包络代数而 v 。= 。 “f 属于z 。 s ( 一1 j 0 ，“a s ) 生成的包络代数没 ”。( a = a 0 b + ) 为百基本模的最高权向量，且 o “( z 。o8 i l 2 f 2 1 5 1 号矗+ 。+ 矗+ t 2 z ， 这里 ) = i 冀 这一点我们将在后面的具体构造中证明 堡皇童重：量竺兰 一3 3 2 3 仿射李代数a 1 1 】 令o = c e 。+ c h 。 _ 一为三维单李代数，李运算为 ( ， 。，e 。，1 = + 2 e 。， 【e 。，e 一。】= h 。 定义仿射李代数 西= 口圆凡o c c o c d ， 及其子代数 砘一d c s ，s 一】o c c o c d ， 其中自为正整数 ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 定理2 5 假设m 为石的不可约最高权模，其最高权为a 。，则作为 虱的模，m 是水平为k 的，并且 嘲 m 呈。尬 其中蚴为所有同构于( 一2 i ) a 。+ 2 i a ，的子模的直和 证明：证明和定理2 2 类似口 2 4 标准模与z 代数 现在考虑a ”的主实现 硪i ) = h 。 “oe 。os 碥oe 一。os a ：oc c oc d ， i = 0 ，l ，2 ， 这里的i 表示不同的拷贝，凡= c ”s z 】假设m 是石( i ) ( i o ) 的 水平1 的支配权模，且有公共的最高权向量”显然的，i ( z ) 有 i t e i s e n b e r g 子代数 h e i s ( i ) = ：( e 。，+ e 。) s 一4 ：o c c ， 可以知道 。一e 蛔， ( 21 8 ) 诱导了百( o ) 的水平为f 的标准模w 型啊 w 假设百( i ) 关于 h e i s ( i ) 的根系为n 文，n 文土屈( n z ，( 肛，觑) = 2 ) 参考【l w 】可知，当 凡渔) = o ( i = 1 ，f ) 时，标准模w 的真空向量空间是由算子 z z ( o ) ( z ) = ：z ( o ) ( 已，z ) l = 1 妻e x n ( 嘉兰导扩1 唧( 一喜掣z 1 8 1 ：未n o d l d 生成的，其中f = 屈一卢，p = 显喾 类似的，当 a 1 ( 屈) 一= a j ( g j ) = 0 ，a j + 1 ( 岛+ 1 ) 一= a f ( 岛) = 1 时，标准模w 的真空向量空间同构于由算子 z ( j ) ( z ) = ： z ( j ) ( 矗，。) = ：( 喜一势x 一( 主掣扣( 一薹掣z ) 生成的线性空间这个结论的证明可以参考 l w 在第2 7 6 页a p p e n d i xt os e c t i o n9 中的说明，这一点是非常重要的 现在抽象出它的基本性质， 一。一兰 = 一了，z j = o ( 2 1 9 ) ( 22 0 ) f 2 2 1 1 矗白 、j 铽“，曲 顶点表示、幂级数 同样由【l w l 中结论( 或 州) 可知，z ( j ) 生成了a ：1 的水平为2 的 标准模的真空向量空间，其特征标为 熏岫堕型篙型 ( 2z 。) 注2 6 这个结果对于证明c 型顶点表示的最高权向量空间的完全 性是非常重要的 附录，引用【l w 】中关于标准模的定义：设仿射李代数a 的自同构p 的不变子代数 为a o ，如果y 是a o 的最高权模并且是a 的不可约最高权模则y 称为a o 的标准 模 关于本章提到的a l ”的水平f 的标准模，我们给t t l 的讨论和【l w 中略有不同 实际上我们的方法需要的计算要简单一些一个a ：型的水平l 的顶点算于是如下给 出的( 正根部分) ： x ( 觑，z ) = n 。( 岛) e 一( 觑，z ) e + ( 屈，z ) ， 其中 萨c 刖= 唧卜霎掣尹) 、o d 8 由于卢。一名l 雕，而慨，屁) = 2 ，则( 卢。，卢) = 2 1 ，所以卢= 娶j 迅 标准模，的真空向量空间是由算子 z ( j ) = e 一( 一卢，z ) x ( p ，z ) e + ( 一卢，z ) = 州诅z ，( 喜1 c 舭啪，班，z ，p c 嵋z ， = e ( 一卢，2 ) ( c l ( 屈) e 一( 风，z ) e + ( 觑，z ) ) e + ( 一卢，z ) 0 = 生成的，如正文所述，令= 聩一鼠 f z o ) = c 。( 岛) e ( 矗，z ) e + ( 矗，z ) i = 1 特别的，当a t ，不等价时，。( 恳) = 一( ：( 岛) o ，于是就有了正文中的z 算干 而矗的性质已在正文中具体给出 顶点表示、幂级数 1 6 3有限型单李代数的系数二上圈 二上圈在代数领域中是一个非常重要的概念，特别的，对于计 算各种代数的扩张更是如此，例如【l h 2 ，i l h 3 】中的应用等我们这 里的二上圈是用来表示李代数结构常数的符号，它在李代数的表 示和结构中有着很重的作用在本章中我们定义了两种二上圈，它 们适用于各种有限型复单李代数，从而使得我们能够很方便的构 造仿射李代数的顶点表示 本文中的二上圈指的是有限单李代数在c h e v a l l e y 基下结构常数 的符号( 正负号) 生成的二上圈，关于二上圈的定义这里就不再赘 述 3 1 双线性映射和根格的模映射 这里的二上圈是定义在根格q 上的定义双线性映射e 0q q 一 土1 ) 使得 # l、l e 。【，啪 = i ie 0 ( 0 i ) 也q ， ( 3 1 ) 且 特别地，当r e o ( j + 1 ： 他的( i ，n ( 3 2 ) 定义映射p ：厶一q 和s ：厶一q 如下： f、 f f、 f ， p ( 如；) = p ( k ，) s ( 峨) = ( 也一p ( ) ) 啦，( 33 ) i = 1 i = 1 i = 1 i = l 这里的p ( k 。) 是r ( 西) 中满足p ( k t ) = k 。m o dr 的元素我们可以 直接验证下面的结论 顶点表示、幂级数 1 7 引理3 1 ( 胡乃红) 当r = 1 时，pi si0 当r 1 时，p ( lu 0 ) ) = 0 并且当r 一2 ，对任意的a s 有 p ( 一o l ) = p ( a ) ，当r = 3 时，对任意的n 厶s 有p ( 一n ) = 一p ( a ) 而且 对任意的n 厶。有 。一p ( a ) a 。l u u2 q 。) , ，菩关三i 以 j 当r = 2 时，假设n ，卢，n + 卢，则有： 一j 若o 厶l ，贝0 ( o ，卢) = 一1 ，( p ( ) ，p ( 卢) ) = 0 ，p ( 。+ 卢) = p ( 卢) ， s ( o + 卢) = s ( o ) + s ( 芦) ； r 纠若n ，p 厶5 ，n + p 厶五，贝0 ( o ，) = 0 ，p ( o ) = p ( p ) ，s ( “+ ) 一 s ( “) 一s ( 卢) = 2 p ( a ) ； 俐若a ，卢，n _ 卜卢厶s 越种情况不会在日型时出现，则( n ，p ) = 一j 1 ，i ( o ) ，p ( 卢) ) l = j 1 ；并且 如果如( o ) ，p ( 卢) ) = j 1 ，贝0 有p ( a + p ) = p ( “) 一p ( 卢) ，s ( a + ) 一 s ( 口) 一s ( p ) 一2 p ( 卢) ，或者p ( “+ ) = 一p ( “) + p ( ) ，s ( o + 3 ) 一s ( o ) 一s ( 3 ) = 印( q ) ； 俐如果( p ( 。) ，p ( 卢) ) = 一i 1 ，则有p ( a + 卢) = ? ) ( o ) + j ，( 卢) ，s ( a + f 1 ) = s ( a ) + s ( 卢) ( i i i ) 当r = 3 时，假设o t ，卢，“+ 卢厶，贝4 ： 口，若n 厶l ，贝u ( o ，卢) = 一1 ，( p ( 。) ，p ( 卢) ) = 0 ，p ( a + 伊) = p ( 卢) ， s ( 口+ p ) = s ( o ) + s ( 卢) ； r 剀若“，厶s ，+ 厶l ，贝0 ( “，p ) = j 1 ，p ( a ) = 一p ( 卢) ，s ( “+ ) = s ( o ) + s ( 卢) ； 俐若o ，“+ 卢厶s ，贝4 ( n ，) = 一i 1 ，p ( n ) = p ( p ) = 一p ( r ，+ ) ， s ( n + 卢) 一s ( 。) 一s ( 卢) = 3 p ( o ) 3 2 李代数系数的二上圈 我们定义另一个映射a ：q q 一 l ： 眦删= ；裟：鬻裂黼如f o 。rx x ：g g ； 顶点表示、幂级数 1 8 现在令一= e 。o a 则对所有的a ，p ，0 = + p 厶，我们有 e 7 ( o ，3 ) = 一e ( p a ) 实际上，我们只需验证r = 2 的情况，这是因为对于r = 1 的情 况结论是显然的，当r = 3 时的证明可以参见 l h l 假设n = 2 。女；a ，卢= ：。n o 。，贝0 e o ( ( ￥，卢) 另一方面，我们有 ( 一1 ) ( f j ) = ( 一1 ) ( 8 ( “) 口) 这里 n 且 e o ( 卢，o ) ( 一1 ) z , z l i r i 4 1 + h 一- ( 一1 ) ，( 一1 ) ( ”( 1 ) ，p ( ) ) = ( 一1 ) 2 = ( 一1 ) 如，( 一1 ) ( 。，5 ( 口) ) = = ( 一1 ) j 4 如；) 地) ( 1 ) ) n + ( k i 一( 觑) ) ，t _ i p ( n + 1 ) ) + k i + 1 ( n p ( n ) ) + + r r 胁 n 拦目 ， 1 2 1 2 一 + i亨 ，、， + + + + + + r r 恕 七 嵩l ，fl、，i、 一 一 、 +觑+ 七 h h，、 、，、 l、jr 、j p i 、j ， 融 p n r 七十 )、jop 。一2 r 小 吖 r 、乜 冲知 器弘三)。r、。，一，一ny上仁卜r2拉甄措摧势 顶点表示、 幂级数 1 9 1 - = = = = = = = = = = = = = = 一 因此，( 一1 ) j m 。切+ j a = ( 一1 ) 笔；“m + 地r ，这表明 e o ( “，卢) = e o ( 卢，n ) ( 一1 ) n ，卢) + ( 9 ( 。) ，”卢+ 扣。，目+ 。，5 卢 ( 1 ) 若d 厶l ，l i ，“+ 卢，则 如( d ，) ( 一1 ) 5 ( 。) ，口) = 一( o ( 3 ，n ) ( 一1 ) 。1 5 8 ； ( 2 ) 若o l ，e 厶s ，o t 卢厶l ，则 ( o ( o ，p ) ( 一1 ) ( 5 ( n ) ，) 一一e o ( 卢，n ) ( 一1 ) “t 5 卢； ( 3 ) 若，卢，“+ 卢厶s ，p ( n ) 十p ( 卢) = p ( 。十p ) ，贝4 ( o ( 。，) ( 一1 ) 日( ) 口) = ( 0 ( 卢，n ) ( 一1 ) “序； ( 4 ) 若“，c i + 厶s ，( p ( q ) ，p ( p ) ) 0 ，贝4 ( 0 ( 。，卢) ( 一1 ) 8 ( 。) ，4 ) = c 0 ( 卢，n ) ( 一1 ) 。1 5 4 ” 因而，由。的定义可知，对所有的c t p c v + p ，我们有 c ( d ，卢) = 一c ( 卢，“) 3 3 修正后的二上圈 当r ：2 时，对任意的a = ：，趣毗q ，定义映射 rf 7 p 0 ( “) = 删g ( 觑) p ( ：) ( a ) = ( 一s g ”( ) p ) n z - 对。，j 臼q ，定义 ( ( n ，卢) = 0 ( 口，卢) ( 一1 ) ( 。) ，口+ ( 9 。) ，。( 卢+ 珊。+ 口 弓l 理3 2 女果t r ，f ：_ l = + 厶，贝0 有 e ( o ，p ) = 一e ( 卢，“) 一堡皇室量：量塑竺 2 0 证明 显然，若a 是正根或者长根，则s ( o ) = t ( o ) ，若为负根则 s ( d ) + 2 p ( c 1 ) = ( n ) 若b ，一卢厶+ ，则 e o ( a ，卢) = ( o ( 卢，n ) ( 一1 ) 抽卢) 一( p 。( 。) ，p 。( 卢) ) + ( ( 。) ，口) + 妇，。( 圆) + 2 ( “，加( 口” ( 1 ) 若ne l ，则 e o ( c i _ ，卢) ( 一1 ) ( 。) 4 ) = 一( o ( 卢d ) ( 一1 ) h ， 8 ) ； ( 2 ) 若“，卢厶s ，“+ 卢l ，贝0 e o ( o 卢) ( 一1 ) ( 。) - 卢) = 一e 0 ( 卢，n ) 。，( 口) ) ； ( 3 ) 若o ，卢，o + 卢e 厶s ，p o ( o ) + p o ( ，) = p o ( o r 十卢) ，贝0 f o ( n ，) ( 一1 ) _ ) _ 4 ) = 一( o ( 卢，q ) ( 一1 ) 缸t 。( 4 ) 1 ； ( 4 ) 若，卢，o l + 卢厶s ，( p o ( o ) ，p o ( 卢) ) 0 ，贝0 ( o ( 口，p ) ( 一1 ) ( ( 。) ，序) = f o ( ，o ) ( 一1 ) m 。( 日) 】 类似地，可以证明d ，卢都是负根的情况，而它们都是正根的情况就 和e 的定义重合 单边或者g 。时定义e ( ，) = e 亿) 显然第一种的构造和证明要简 单得多这里之所以要定义第二种二上圈是因为利用第一种无法 构造扭仿射李代数的顶点表示当然如果只构造非扭仿射李代数 的顶点表示。第一种是合适的 4仿射李代数的顶点表示 仿射李代数的顶点表示主要有两种方法，一种是利用单边仿射李 代数的主实现，而这种方法实际上已经由l e p o w s k y 和w i l s o n 完全解 决了，他们在 n 】中给出了各种标准( 顶点) 模的真空向量空间的生 成算子( z 算子) ，以及真空向量空间的特征标再利用b r e s s o u d ( b r ) 关于整数分划的结论，所有主实现形式下的顶点模都有了很完整 的刻画 第二种就是利用仿射李代数的齐次实现对于齐次顶点表示而 言，最大的困难是无法利用l e p o w s k y 的方法计算真空向量空间的 生成算子在这方面最先做出贡献的是姜翠波( 【j m 】) ，她给出了b 型顶点表示的z 算子( 生成最高权向量空间) 表达式她的方法启 发了我们寻找其它类型的z 算子 在本文中，我们找到了g 型顶点表示的z 算子，而实质上，f 4 型对应到岛型，且型对应到q 型，同时，a 一，型水平为二的情况 对应到白型水平为一的情况从而给出了相应的不可约模分解 4 1 h e i s e n b e r g 代数与表示空间 令q s ( 丧) 和吼( ) 分别为吼和q 。的同构拷贝，这里的k z 则 h x 2 里c z q s ( 劫q z 蜊们c 是一个李代数，其李运算为 陋( 7 n ) ，b ( n ) 】= m ( a ，6 ) + n , o c ，n ，b q ，( 4 1 ) c 是中心元令s ( 葳一) 为。( k ) ( 。eq ，k oi=l嘣乎铷j+五p1 0i = 1 ) e =f。 。 4 ) 对任意的”= n i ( 一n 1 ) 0 2 ( 一n 2 ) 唧( 一u p ) 圆，矿( q ) ，我们有 珞。：f 厶+ 知7 ) 1 。 扛1 这里的系数一：，峨一 ( r ，r ) 称为”的次数并汜为d e g ( ”) 即 口= 一d e g ( v ) v 4 3 表示映射 类似于【r m 中的结论，我们有如下定理 定理4 1 由v ( q ) 上的算子 川中成立这里。，p 厶u o ) 引理4 6 一j 如果n ，n + 卢厶并且r k 击z ，则对g 。的情形有 霹( 0 = ) ，颤( p ) 】_ 型掣。( 。，p ) 霹+ 。( 。+ 口) 而对其它情形， 霹( n ) ，x i ( 卢) 】= ( 1 + 5 1 ，o 。( 。) ，瑚( 口) ) ) e ( o ，卢) 珲+ k ( n + 卢) ； 例如果t r ，厶，n + 口官厶u o ) ，则对任意的五都有 群( n ) ，雄( 卢) 】= 0 0 0 0 o 一 川，g 表 示积分区域h l w i 引理4 8 对于非g 2 型，对任意的n ，卢厶，和k 击z ，盟，堕刀 我们有 【筏( a ) ，x ( 卢，w ) = 去上。一伤( 删棚。r k - l ( 0 ( 邢矿州即) z r _ _ w r 产栅“p o f 毗州堋 z w ) “( p 。( 。) ，m ( 口) ( z w ) ；( n n + 2 口】 x x ( n ，卢三，训) ( 一1 ) 。( 。+ 卢) 一。m ) 一。( 所( 。“，) 8 。d z ， 这里 我们有下面的讨论( 当r = 2 时) ( a ) 如果“赴且卢：。+ 卢厶，则由引理5 1 ，得( o ，卢) = 一1 和 p ( ( “) = 0 ，所以e ( p ，。) = e o ( 卢，q ) ( 一1 ) 。( 口) ， 瑶( ) ，x ( n ，t “) 】 = 熹f c l _ c 2 z 2 k - l ( ( ，n ) = 2 ( z 2 一 = 熹上。一。 ( 脚2 p 一 = ；w 2 e ( f l , a ) ( x + a ，w ) + ( t u 2 ) 风“( 。加) 麒“+ 2 。x ( 3 ，o ，2 ，w ) ( 。“j ) 2 出 2 ) 一1 x (