（检测技术与自动化装置专业论文）关系度不确定的一类非线性系统的控制策略研究.pdf

摘要中山大学硕士学位论文 关系度不确定的一类非线性系统的控制策略研究 专业：检测技术与自动化装置 硕士生：彭璐 指导老师：杨智教授 摘要 非线性是客观事物的本质，非线性对象的控制问题是控制领域和工程研究难 以回避的问题。近年来，随着微分几何理论的引入，非线性控制理论与应用的研 究取得了巨大的进展，其中关系度不确定的一类非线性系统是研究的热点和难点 之一。 本文针对关系度不确定的一类非线性系统，提出了一种非切换的解析非线性 模型的次优控制算法。该算法在模型预测控制理论和切换解析非线性模型预测控 制( n m p c ) 的基础上，通过选用带有输出误差积分项和终端约束项的二次型性 能指标，对系统的输出进行高阶泰勒级数展开并取其有限项，从而推导出一种非 切换的次优控制律的解析解。同时，本文论证了在非切换解析n m p c 次优控制 律下，通过坐标变换可以将闭环系统分别在奇异空间和非奇异空间近似为两个线 性子系统，进而得出了非切换解析n m p c 次优控制算法使得闭环系统局部稳定 的充分条件。通过球杆非线性系统等仿真实例验证了非切换解析n m p c 次优控 制算法具有较好的动态性能，并且与常规的近似输入输出线性化方法和切换控 制方法进行仿真对比，显示了本文非切换解析n m p c 次优控制策略的优越性。 关键字：非线性模型预测控制；次最优控制；相对阶：鲁棒关系度；零动态 摘要中山大学硕士学位论文 c o n t r o ls t r a t e g ys t u d yf o rac l a s so fn o n l i n e a r s y s t e m sw i t hi l l - - d e f i n e dr e l a t i v ed e g r e e m a j o r ：m e a s u r i n gt e c h n o l o g ya n da u t o m a t e de q u i p m e n t n a m e ：p e n gl u s u p e r v i s o r ：p r o f y a n gz h i a bs t r a c t t h en o n l i n e a rp h e n o m e n o ni st h ee s s e n c eo ft h eo b j e c t i v et h i n g s t h en o n l i n e a r o b j e c t sc o n t r o lq u e s t i o ni st h ed i f f i c u l t yt oa v o i di nt h ec o n t r o la n d 饥西n e e r i n g r e s e a r c hd o m a i n w i t ht h ei n t r o d u c t i o no ft h et h e o r yo fd i f f e r e n t i a lg e o m e t r y , t h e n o n l i n e a rc o n t r o lt h e o r ya n da p p l i c a t i o no fr e s e a r c hh a v em a d eg r e a tp r o g r e s si n r e c e n ty e a r s t h en o n l i n e a rs y s t e m sw i t hi l l d e f i n e dr e l a t i v ed e g r e ea r eo n eo fh o t s p o t a n dd i f f i c u tr e c e n t l y an o n - s w i t c ha n a l y t i cs u b - o p t i m a lc o n t r o la l g o r i t h mi sp r o p o s e df o rac l a s so f n o n l i n e a rs y s t e m s 谢t l li l l - d e f i n e dr e l a t i v ed e g r e e b ys e l e c t i n gt h ec o m p r e h e n s i v e q u a d r a t i cp e r f o r m a n c ei n d e x w i t ht h eo u t p u te r r o ri n t e g r a la n dt h et e r m i n a lc o n s t r a i n t s ， t h eh i g h e r - o r d e rt a y l o rs e r i e se x p a n s i o nf o rt h eo u t p u ti sd e r i v e do nt h eb a s i so ft h e m o d e lp r e d i c t i v ec o n t r o lt h e o r ya n ds w i t c h i n ga n a l y t i cn o n l i n e a rm o d e lp r e d i c t i v e c o n t r o l ( n m p c ) a sar e s u l t ，an o n - s w i t c ha n a l y t i cs u b - o p t i m a lc o n t r o ll a wi s o b t a i n e d u n d e rt h en o n - s w i t c h i n gs u b o p t i m a ln m p cc o n t r o ll a w , t h es y s t e mc a nb e c l o s e dt ot w ol i n e a rs y s t e m si nt h es i n g u l a ra n dn o n s i n g u l a rs t a t es p a c e sr e s p e c t i v e l y t h r o u g ht h ec o o r d i n a t et r a n s f o r m a t i o n a n dt h e n ，t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h el o c a l s t a b i l i t yi nt h ec l o s e d l o o ps y s t e ma l eo b t a i n e d t h eb a l la n db e a ms y s t e ma n de ta l n o n l i n e a rs y s t e ms i m u l m i o ne x a m p l e si l l u s t r a t et h a tt h es y s t e mh a sg o o dd y n a m i c p e r f o r m a n c eu n d e rt h ea n a l y t i c a ls u b o p t i m a ln m p cc o n t r o la l g o r i t h m c o m p a r e d w i t ht h ee x i s t i n gi n p u t o u t p u tl i n e a r i z a t i o nm e t h o da n dt h es w i t c h i n gc o n t r o lm e t h o d ， t h es u p e r i o r i t yo ft h es u b o p t i m a ln m p cc o n t r o ls t r a t e g yi so b v i o u s k e yw o r d s ：n o n l i n e a rm o d e lp r e d i c t i v ec o n t r o l ，s u b o p t i m a lc o n t r o l ，r e l a t i v ed e g r e e ， r o b u s tr e l a t i v ed e g r e e ，z e r od y n a m i c s i i i 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究 工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人 或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 签名：身航 学位论文使用授权声明 本人完全了解中山大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版，有权将学 位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆、院系资料室被查 阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索，可以采用复印、缩印或其 他方法保存学位论文。 学位论文作者签名：塑堕 日期：年三月羔日 导师签名：鱼望 日期：年上月堕日 第l 章绪论中山大学硕士学位论文 第1 章绪论 i i 课题研究的背景和意义 随着科学技术的不断发展，人们对实际生产过程的分析要求日益精密，各种 较为精确的分析和科学实验的结果表明：任何一个实际的物理系统都是非线性 的。我们就是生活在一个以非线性的形式相互紧密联系在一起构成的世界中，正 是由于无序性、非线性、非周期等特点，才孕育出大自然的万千气象、人类社会 的风云变幻和人类思维的错综复杂，才形成了一个色彩斑斓的世界。在许多工业 过程控制领域、机器人控制领域、航天航空领域、军事领域、人类社会学研究领 域等都存在复杂的非线性过程，这些都不可能采用线性模型，所以说非线性系统 才是更一般的系统，研究它是很必要的。 非线性系统与线性系统有两个主要区别：一方面，叠加原理可以应用线性系 统，但不能应用于非线性系统，这必然增加分析的难度；另一方面，线性系统的 解通常很容易求得，而对非线性系统目前工具还远远不够，因此一般只能对非线 性系统的运动情况作一些估计，例如对系统的稳定性，动态品质作一些估计。这 两个主要区别使得现有的线性系统理论的许多成果很难平移到非线性系统中去。 近几十年来，非线性控制理论得到了长足的发展。大体说来，这个过程可分 几个阶段。早期的研究都是针对一些特殊的、基本的系统( 如饱和、死区) 而言 的，这些理论虽然有各自的特点，但其使用范围有很大的局限性。自2 0 世纪7 0 年代以来，非线性控制的研究得到人们空前的重视，人们集中考虑非线性系统的 结构性质。一方面将线性系统中的概念( 如可控性、可观性) 推广到非线性系统 中。另一方面考虑如何在一定条件下将非线性控制系统化为某种意义上等价的线 性控制系统。随后的2 0 多年，对非线性系统的分析和应用得到了广泛的开展， 许多新概念和新方法被提了出来，其中有非线性系统的可逆性、零动态、无源性 以及输a , n 状态稳定等【】。 进入2 0 世纪9 0 年代后，在已有成果的基础上，非线性系统的各种设计方法 的研究成了主流，特别是以微分几何为主要工具发展起来的微分几何代数理论的 线性化理论，为解决一类非线性控制系统的分析与综合提供了强有力的工具。其 中根据关系度【5 】( r d a t i v ed e g r e e ) 定义可以把非线性系统分为两类：关系度确 第1 章绪论 中山大学硕士学位论文 定和关系度不确定的非线性系统。对于关系度确定的非线性系统，采用坐标变换、 精确反馈线性化以及零动态理论可以实现系统的镇定、跟踪、扰动、解耦和输入 输出反馈线性化【1 】等；而针对关系度不确定的一类非线性系统无法进行精确反馈 线性化，此类非线性系统的分析与设计存在两个难点：关系度不确定以及零动态 的稳定性分析，因此研究关系度不确定的一类非线性系统往往比关系度确定的非 线性系统要困难得多。而在实际控制系统中，许多系统为关系度不确定的非线性 系统，例如球杆系统就是一个典型的单输入单输出( s i s o ) 的、关系度不确定 并且零动态不稳定的非线性系统。综上所述，研究关系度不确定的一类非线性系 统的控制算法及其稳定性是很有必要的。下面对近年来非线性系统控制的重要发 展和关系度不确定的一类非线性系统的研究现状做一概述。 1 2 课题国内外研究现状 1 2 1 非线性系统控制常用方法研究现状 2 0 世纪4 0 年代以来，非线性控制理论的研究受到了控制理论界空前的关注， 同时计算机技术的飞速发展和数学工具的突破，也为发展一般的非线性控制理论 提供了可能性。经典的早期分析方法有【6 】：相平面法、描述函数法、绝对稳定性 理论、李亚普诺夫稳定性理论、输入输出稳定性理论。近二十多年来，非线性控 制也取得了一系列重要研究成果，同时也开发了一些新的重要控制方法，主要表 现在以下几个方面：微分几何法、微分代数法、变结构控制理论、逆系统方法、 自适应控制、模糊控制理论、非线性模型预测控制、鲁棒控制等。 ( 1 ) 微分几何方法及微分代数方法 八十年代初，由于把微分几何和微分代数等方法应用于非线性系统控制的研 究中，使得研究模式摆脱了局部线性化和小范围运动的局限性，而可实现对非线 性系统的大范围的分析和综合。 微分几何方法的发展给非线性控制的研究带来了一系列理论上的突破和成 果，在最近2 0 多年的非线性系统研究中成为主流。微分几何方法首先从理论上 证明了非线性系统状态空间描述与其他描述之间的等价性，并且研究了非线性系 统的能控性和能观性；另一个在非线性控制中的重要作用就是对非线性系统的反 馈线性化问题的处理上，已在一些实际控制问题中得到了较好的应用，特别是精 确线性化方法受到了普遍的重视。反馈线性化，就是通过非线性变换或动态补偿 2 第1 章绪论中山大学硕士学位论文 的方法将非线性系统变换为线性系统，然后再按线性系统理论完成系统的各种控 制目标的一种理论和方法。微分几何方法通过利用李括号以及微分同胚等基本工 具研究非线性系统的状态、输入及输出变量之间的依赖关系，系统地建立了非线 性控制系统可控制、可观测及可检测的充分或必要条件，其中全局状态精确线性 化和输入输出近似线性化方法的发展，使非线性问题在一定条件下可以转化为 线性问题处理，因此极大推动了非线性控制的发展。 微分代数方法是由于发现了微分几何控制方法在涉及非线性系统的可逆性 质和动态反馈下的结构性质时呈现病态问题而发展起来的另一非线性控制方法。 该理论从微分代数角度研究了非线性系统可逆性和动态反馈设计问题，将动态扩 展算法推广到非线性情形，解决了仿射非线性系统的动态反馈解耦问题【l o 】。 ( 2 ) 变结构控制方法 变结构控制是一种非连续控制，可将控制对象从任意位置控制到滑动曲面上 仍然保持系统的稳定性和鲁棒性，但是系统存在颤抖。变结构控制方法通过控制 作用首先使系统的状态轨迹运动到适当选取的切换流形，然后使此流形渐近运动 到平衡点，系统一旦进入滑动模态运动，在一定条件下，就对外界干扰及参数扰 动具有不变性。系统的综合问题被分解为两个低维子系统的综合问题，即设计变 结构控制规律，使得系统在有限时间内到达指定的切换流形和选取适当的切换函 数确保系统进入滑动模态运动以后具有良好的动态特性【1 2 1 。由系统不确定因素及 参数扰动的变化范围可以直接确定出适当的变结构反馈控制律解决前一问题；而 后一低阶系统综合问题可以用常规的反馈设计方法予以解决。由于变结构控制不 需要精确的模型和参数估计的特点，因此这一控制方法具有算法简单、抗干扰性 能好、容易在线实现等优点，适用于不确定非线性多变量控制对象。 ( 3 ) 反推设计方法( b a c k s t e p p i n g 方法) b a c k s t e p p i n g 方法是一种新的研究非线性系统的控制思想和方法，它是由 k o k o t o v i cpv 及其合作者在9 0 年代提出来的。b a c k s t e p p i n g 是一种构造性方法， 利用系统的结构特性递推地构造出整个系统的l y 印u i l o v 函数，所以系统l y a p u n o v 函数和控制器的设计过程有较强的系统性、灵活性和结构性，而且保留系统中有 用的非线性项，加上可以控制相对阶为刀的非线性系统，消除了经典无源设计中 相对阶为l 的限制【2 】。正因为这些优点，后来学者把它广泛地用在非线性系统的 状态反馈控制、输出跟踪控制、鲁棒控制等领域。这种方法由于其独特的构造性 3 第l 章绪论 中山大学硕士学位论文 设计过程和对非匹配不确定性的处理能力，在飞机及导弹控制系统设计中得到了 成功的应用。它是一种非线性系统的递推设计方法，这里的非线性不必具有线性 界，它是从离控制输入最远的那个标量方程开始向着控制输入“递推 的方法； 反推设计法还在处理这类不确定系统时显示了其较强的处理能力【l3 1 。 ( 4 ) 自适应控制 反馈控制通常用来比较精确地控制绝大部分运行状况，某些情况下加上前馈 控制还可达到减少输入扰动影响的目的。但有些对象具有很大的不确定性、时变 性和内外扰动，简单的反馈加前馈控制效果很不理想。长期以来，这是自动控制 领域所面临的一个非常具有挑战性的问题，自适应控制正是在这样的背景下提出 的。其基本思想是通过不断地监测被控对象，根据其变化来调整控制参数，从而 使系统运行于最优或次优状杰【1 4 , 1 5 】。最近3 0 多年，自适应策略在工业过程控制中 获得了广泛的应用，主要包括化工过程、造纸过程、食品加工过程、冶金过程、 钢铁制造过程、机械加工过程等应用领域。 ( 5 ) 预测控制方法 在控制实践中，许多复杂工业系统的数学模型很难精确建立，而且对象的结 构和参数往往具有一定的不确定性，从工程应用的角度，人们希望对象的模型尽 量简化，系统在不确定性因素的影响下能保持良好的性能( 即鲁棒性) ，而且要 求控制算法简单并易于实现，以满足实时控制的需要，在这种背景下产生了预测 控制。预测控制最早由美国和法国几家公司在2 0 世纪7 0 年代先后提出，该算法 直接产生于工业过程的实际应用。2 0 世纪8 0 年代初开始真正发展起来，一般而 言，模型预测控制的三个本质特征，即预测模型、滚动优化和反馈校正是一般控 制论中模型、控制、反馈概念的具体体现【1 6 1 。由于模型结构的多样性，我们可以 根据对象的特点和控制的要求，以最简易的方式集结信息建立预测模型。滚动优 化策略的采用，可以把实际系统中的不确定因素考虑在优化过程中，形成动态的 优化控制，并可处理约束和多种形式的优化目标【1 7 】。因此，预测控制考虑了不确 定及其它复杂性的影响，是对传统最优控制的修正，因而更加贴近复杂系统控制 的实际要求，这是预测控制在复杂系统领域受到重视的根本原因。 目前，预测控制的研究方向，多种新型的预测控制理论与应用研究倍受人们 关注，如先进预测控制、智能预测控制、预测函数控制、多速率采样预测控制、 有约束预测控制等，在这方面我国学者也取得了不少有意义的研究成果。 4 第l 章绪论中山大学硕士学位论文 1 2 2 关系度不确定的非线性系统的研究现状 针对关系度不确定的一类非线性系统国内外已有一些研究成果，如下： ( 1 ) 近似线性化方法 针对关系度不确定的一类非线性系统，h a u s e rj 首次提出了鲁棒关系度的概 刽1 9 】，并针对该类非线性系统给出了近似输入输出线性化的控制算法。近似线 性化方法被证明在平衡点的某一邻域内是有效的，误差可以接受，其线性化主要 包括以下几种方法【2 2 】：伪线性化方法；扩展线性化方法；线性化族；近似输入输 出线性化；平均化法；最佳拟线性化法等。h a u s e rj 采用近似输入输出线性化方 法虽然可以很容易地分析系统的各种特性，然而该方法大多采用极点配置来设计 控制系统，控制性能的好坏很大程度上依赖于人为经验；而且该方法并未真正给 出寻找近似系统的具体方法，也不能判断足够近似的系统是否存在，因此存在一 定局限性【2 2 2 5 1 。反馈输入输出线性化有一定的局限性，在文献 2 1 】和 2 2 中指出 这种方法是并没有精确地对消掉系统的全部动态性能，精确的对消在实际应用中 是不可能的。因为存在模型的不确定性、扰动以及不精确的测量值等因素，它们 虽然没有太多的讨论鲁棒稳定性的问题，但是很明显不精确的对消一般会影响这 种技术的应用。球杆非线性系统是典型的关系度不确定的非线性系统，近似输入 输出线性化方法在文献【2 6 】中被应用于球杆非线性系统，验证了近似输入输出 线性化方法在一定条件下可以保证关系度不确定的非线性系统的局部稳定性。 ( 2 ) 切换控制方法 t o m l i ncj 和s a s t r yss 在文献 2 9 】中针对关系度不确定的一类非线性系统提 出了切换控制的方法。该方法根据鲁棒关系度定义根据切换条件，将整个状态空 间分为两个部分：精确线性化空间和近似线性化空间。在精确线性化空间采用精 确线性化控制率；在近似线性化空间采用近似输入输出线性化控制率。该方法 为关系度不确定的非线性系统提出了一种切换控制策略，但存在一些问题【3 3 】： ( i ) 构造的控制器需要根据切换条件在不同的状态空间进行切换控制，这可 能会使系统的动态性能下降甚至不稳定。 ( i i ) 切换空间的设定，如果过大，起作用的主要是精确线性化的控制器， 使切换控制器看起来价值不大；如果空间设定过小，那么起作用的只有近似线性 化的控制器，这使系统振荡。 ( i i i ) 因为切换系统的独特性，尽管系统在每个子空间内系统稳定，但不恰 第1 章绪论 中山大学硕士学位论文 当的切换又会导致整个切换系统不稳定；每个子系统不稳定，但通过恰当的切换 又会导致整个系统稳定。所以切换系统的稳定性成为学者研究的热点。 ( 3 ) 基于模型预测理论的控制方法 近年来，模型预测控制( m o d e lp r e d i c t i v ec o n t r o l ，m p c ) 是一种被广泛讨论 的非线性控制策略，其核心是在一个滚动时域内以开环最优代替闭环最优，并在 线求解有限时域开环最优控制问题，然而如果没有选择合适的初始控制律，不仅 不能保证全局最优还可能导致系统不稳定【3 4 矧。为了保证非线性m p c 的稳定性， m a y n edq 在开环优化问题中加入等式约束条件，强制系统的终端状态回到平衡 点，其缺点是为满足终端等式约束条件要求在非线性规划中无限次迭代计算，这 样使得非线性系统的优化问题只能在很小的范围内有可行解【3 6 j 。c h e nh 和 a l l g o w e rf 提出的准无限时域m p c 通过在非线性优化问题中引入满足一定条件 的终端代价和终端不等式约束，解决了非线性m p c 的稳定性问题【37 1 。对于上述 有约束的非线性系统，都无法通过直接求取系统的h a m i l t o n j a c o b i b e l l m a n 偏微 分方程组获得其精确解析解，并且在线实时求解数值优化计算量大。鉴于此， c h u mwh 等人对预测输出进行高阶泰勒级数展开并取有限项，为一类关系度不 确定的非线性系统提出了一种切换解析模型预测控制算法【4 2 1 ，然而c h wh 设 计的性能指标比较单一，构造的控制器需要根据切换条件在不同的状态空间进行 切换控制，这可能会使系统的动态性能下降甚至不稳定。 1 3 论文研究的内容和章节安排 本文的主要研究内容如下： ( 1 ) 介绍非线性系统理论的基础知识，为球杆非线性系统建立数学模型，并 验证球杆系统的关系度和鲁棒关系度、零动态及其稳定性。 ( 2 ) 分析近似输入输出线性化方法和切换控制方法，以球杆非线性系统为 例子在m a t l a b 6 5 s i m u l i n k 平台下进行了仿真，验证两种方法的可行性。 ( 3 ) 利用模型预测控制理论和最优控制理论，提出融合输出预测误差积分项 和终端约束项的性能指标，对预测输出进行高阶泰勒级数展开并取有限项，考虑 到所研究的系统在平衡点附近控制率为零，可以将控制率的高阶项忽略，从而为 关系度不确定的一类非线性系统提出一种非切换的解析次优控制的算法。然后根 据鲁棒关系度的定义将整个状态空间划分为奇异空间和非奇异空间，分别在两个 空间分析其稳定性，并得出在控制率下闭环系统稳定的充分条件。最后，通过 6 第l 章绪论中山大学硕士学位论文 m a t l a b 仿真研究非线性系统稳定性与各参数之间的关系。 ( 4 ) 设计解析n m p c 次优算法控制器，对具体例子在m a t l a b 6 5 s i m u l i n k 平 台下进行仿真，并与传统的近似输入输出线性化和切换控制方法对比，对解析 n m p c 次优控制策略的优越性和有效性进行验证。 本文针对关系度不确定的一类非线性系统设计控制器。全文共分6 章，其章 节具体安排如下： 第1 章是绪论部分，简要介绍非线性控制理论的发展过程、课题的研究背景 和意义；重点阐述目前非线性系统和关系度不确定的一类非线性系统的国内外研 究现状，并且给出本文研究的内容以及章节安排。 第2 章是非线性控制的简单介绍，首先对关系度不确定的非线性系统做详细 描述，其次介绍本文主要用到的控制理论的基础知识：李导数、微分同胚、关系 度、鲁棒关系度和零动态及其稳定的概念等；并且分析精确反馈线性化和部分反 馈线性化的方法，为接下来几章的非线性控制算法的研究奠定基础。 第3 章为球杆非线性系统建立数学模型，并且验证球杆系统的关系度和鲁棒 关系度。详细介绍近似输入输出线性化控制器的设计方法，并为球杆非线性系 统设计两种近似输入输出线性化控制器；进而在m a t l a b 6 5 s i m u l i n k 平台下对球 杆系统进行仿真控制，并且在近似输入输出线性化方法控制作用下，对球杆非 线性系统的阶跃输入信号和正弦输入信号进行跟踪控制仿真。最后，详细介绍切 换控制器的设计方法，同时将其应用于球杆非线性系统，进而分析球杆非线性系 统的零动态及其稳定性，并且通过仿真验证切换控制的可行性。 第4 章是本文的重点，主要利用模型预测控制理论和最优控制理论，通过选 用带有输出误差积分项和终端约束项的二次型性能指标，设计出一种非切换的解 析非线性模型次优控制算法；并且对此控制算法下闭环系统局部稳定性的充分条 件进行分析；最后通过m a t l a b 仿真研究系统的稳定性与各参数之间的关系。 第5 章以两个关系度不确定的非线性系统为仿真实例，采用非切换的解析非 线性模型次优控制方法在m a t l a b 6 5 s i m u l i n k 中进行仿真，并且与近似输入输出 线性化方法和切换控制的方法进行仿真对比研究。 第6 章结束语，总结本文的主要工作，并对存在的问题进行了分析和对未来 研究的前景进行展望。 7 第2 章非线性系统介绍中山大学硕：f = 学位论文 第2 章非线性系统简介 众所周知，大多数工程控制系统都是非线性的，传统的非线性系统的分析和 控制方法都是将非线性系统在某一工作点附近线性化，然后再利用线性系统理论 对其进行研究。这种线性化的精度依赖于工作点的选择和系统偏离工作点的范 围。对于具有强非线性大范围变化的非线性动力学系统，这种近似线性化的方法 将难以提供有效的系统模型供系统分析和设计使用，现代生产和科学技术的发展 迫切要求建立非线性控制理论的新体系。 本课题是在非线性系统控制理论的基础上研究的。本章对非线性控制系统分 析和综合中需要用到的基础知识作简单介绍，特别是微分几何的一些基本概念。 2 1 系统数学描述与预备知识 2 1 1 系统数学描述 考虑一类关系度不确定的单输入单输出仿射( s i s o ) 非线性系统【5 】： f 童( f ) = 厂( x o ) ) + g ( x ( f ) ) “( f ) (2-1) 【y ( f ) = ( x ( f ) ) 其中，x = 【而，x 2 ，毛】r r ”是系统状态向量，其初值x ( o ) = x o ；“r 是系统控 制输入；y r 是系统输出；由仿射非线性系统的概念【5 】可知，该非线性系统的 特点是：它对状态z ( f ) 是非线性的，但对控制“是线性的，这样一类非线性系统 称之为仿射非线性系统。 2 1 2 预备知识 首先在对非线性系统进行分析和控制器设计之前，本节先介绍：平衡点，向 量场，李导数和李括号，向量场的对合性，关系度、鲁棒关系度和局部微分同胚 的概念【1 卅。 定义2 1 ( 平衡点) 设非线性系统的状态方程为： 叠= f ( x ，f ) ( 2 2 ) 若对于所有的t ，状态x 满足j = 0 ，则称x 为平衡状态，记为t 。 9 第2 章非线性系统介绍 中山大学硕士学位论文 根据此定义非线性系统的平衡点情况比较复杂。我们知道线性系统只有一个 孤立平衡点，且初始状态无关，而非线性系统中却可以有多个孤立平衡点，其状 态可能收敛于几个平衡点之一，系统收敛于哪个平衡点取决于系统的初始状态。 定义2 2 ( 向量场) 单输入单输出( s i s o ) 非线性系统中f ( x ) 是刀维列向量 场，可以表示为： 厂( x ) = 石( 五，毛) 五( 五，) z ( 毛，吒) ( 2 3 ) 厂( x ) 的每一个分量都是变量x = ( 而，毛) t 的函数。我们知道，状态空间中每一 个确定的点对应着一个确定的状态而，当然也就对应着该点的一个确定的向量： f ( x o ) = ( 石( 而) ，z ( 而) ) r ( 2 - 4 ) c a 此可知，状态空间中的每一个确定的点而都对应着一个由f ( x ) 关系所确 定的向量f ( x o ) ，这样就把f ( x ) 称之为状态空间的一个向量场。 定义2 3 ( 李导数) 给定一个x - = x i ，毛】r 的标量函数的名( 工) 与一个向量 场厂( 工) = 【石，工r ，以三，a ( 工) 表示的用下列运算： 训加掣删= 喜掣似) ( 2 - 5 ) 。 浅百饿， 该函数称为五沿厂的李导数。因此可以重复使用这种运算，如果先取h 沿厂的导 数，再取沿向量场g 的导数，那么就可以定义新函数： t r ( x ) ：o l = h 一( x ) g ( x ) ( 2 - 6 ) t ( x ) 2 下g ( x ) 定义2 4 ( 李括号) 设有两个同维空间的向量场： 厂( x ) = 石( 五，毛) 五( 而，毛) z ( 而，毛) 和g ( x ) = g i ( 五，毛) 9 2 ( 而，) 晶( 而99 ) 按下列运算： 嘲啦g = 罢厂一罢g ( 2 7 ) 得出的新向量场定义为g ( x ) 对厂( x ) 的李括号，由此可得李括号是一个向量场沿 1 0 第2 章非线性系统介绍中山大学硕士学位论文 另一个向量场的李导数。式( 2 7 ) 中，譬和孚为对应向量场的雅可比矩阵。 c 譬c ! x 定义2 5 ( 向量场的对合性) 设有k 个疗维的向量场： 蜀( x ) = 若由它们组成的矩阵： 蜀。( 五，) 蜀2 ( 五，毛) g l 。( 五，毛) g = ，既( x ) = l g t 2 g h g l ( 一，吒) 2 ( 而，) ( 五，) = g i ( x ) ，g k ( x ) 】 ( 2 8 ) 在x = 而处的秩为k ，又若对于每一对整数i 和j ，1 f ，k ，增广矩阵： 【岛，9 2 ， g l ，g j 】 ( 2 9 ) 在x = x o 处的秩仍为k ，则称该向量场k 。x ) - - - 反( 工) ) 是对合的，或者说它具有 对合性。从几何上来讲，对合意味着：在原有的| | 个向量场之中任意拿出来两个 做李括号所得到的新向量场与原k 个向量场中任意一个向量场是线性相关的。 为了进一步研究关系度不确定的一类非线性系统，首先定义关系度嘲： 定义2 6 ( 关系度) 对单输入单输出s i s o 非线性系统( 2 1 ) 在处具有关 系度，对于正整数k ，k = o ，1 ，如果满足： ( i ) t 巧i l ( 工) = o ，对而的一个邻域内的所有x ，以及所有k r - l 。 ( i i ) t 巧1 h ( x o ) 0 。 就称非线性系统( 2 1 ) 的关系度是确定的，且关系度为，。条件( i i ) 蕴含着在 而的一个邻域内系统都具有关系度，如果这个邻域和条件( i ) 中的邻域均为彤， 那么系统( 2 1 ) 的关系度称为是全局定义的，否则称为是局部定义的。显然， 如果非线性系统( 2 - 1 ) 在点而处满足条件( i ) ，但是同时满足乞巧1 h ( x o ) = o 而 t 辱1 h ( x ) l j 。嘞o ，那么称非线性系统( 2 1 ) x o 的关系度就是不确定的( 也 称为奇异点) 。 对关系度不确定的非线性系统h a u s e rj 首次提出了鲁棒关系度【1 9 1 的概念。 定义2 7 ( 鲁棒关系度) 非线性系统具有鲁棒关系度p ，如果存在一组光滑 函数仍( x ) ，i = 1 ，p ，使得满足条件： 第2 章非线性系统介绍中山大学硕士学位论文 ij i l ( 功= 磊( x ) + 编( 功 三厂+ 刖办( x ) = 谚+ i ( x ) + 仍( x ，“) ， i = 1 ，p 一1 ( 2 一l o ) 1 0 + 翱办( x ) = 6 ( x ) + 口( x ) “+ ( x ，甜) 其中，函数a ( x ) = 0 ( 1 ) ，仍( x ，“) = o ( x ，“) 2 ，扛l ，p 。 定义2 8 ( 非线性系统坐标变换和微分同胚) 在线性系统的情形下，通常只 考虑坐标的线性变换。这个变换对应于原状态向量工的替代，该替代由与x 相关 的一个新向量z 实现，即如下的变换：z ；孤。其中丁为一个非奇异的刀刀矩阵。 而在非线性系统坐标变换中，可以用多( 工) 表示有着刀个变量的一个r “值函数， 即非线性系统的坐标变换可描述为如下形式： z = 痧( x ) = 办( 砷 欢( x ) 九( x ) 办( 而，吒) 欢( 玉，毛) 龙( 而，毛) ( 2 1 1 ) 它具有如下性质： ( i ) 痧( x ) 是可逆的，即存在痧1 ( z ) ，使得对于r “中的所有x ，有痧- 1 ( 痧( 工) ) = z 。 ( i i ) 少( 工) 和咖一( z ) 均为光滑映射，即具有任意阶的连续偏导数。 这种变换称为在掣上的全局微分同胚。有时候很难找到一个同时满足上面 两条性质而又对所有的x 有定义的变换，可能只对某个特定的点而的邻域内满 足，因此在大多数情况下仅研究在给定的一个邻域内有定义的变换，这样的变换 称为局部微分同胚。 定理2 1 ( 局部微分同胚) i s l 假定痧( x ) 是定义在掣中的某个子集u 上的一 个光滑函数，又假定d ( 功的雅可比矩阵鱼娶堕在点x = x o 处是非奇异的，则在u a i 中一个包含而的适当开子集上，痧( x ) 定义了一个局部微分同胚。这里雅可比 矩阵鱼塾堕可以表示为： a 痧( 曲 - 一= 缸 a 办( x ) 挑 a 欢( x ) 铂 a 以( 工) 挑 坛( x ) a 以( x ) a 以( 功 1 2 ( 2 - 1 2 ) 业瓯业魄；一织 第2 章非线性系统介绍中山大学硕士学位论文 即只要满足：雅可比矩阵璺! 兰堕非奇异且函( x ) 和痧一t ( z ) 均为光滑映射，我们就 c c x 称为非线性系统的坐标变换满足局部微分同胚。 2 2 反馈线性化方法 2 2 1 反馈线性化简介 近3 0 年来以微分几何为重要工具发展起来的反馈线性化方法，为解决一类非 线性控制系统的分析和综合问题提供了强有力的手段。反馈线性化方法的实质是 将系统中的非线性抵消掉，这种方法可以直接应用于能控标准型所描述的非线性 系统。下面介绍输入状态线性化和输入输出线性化方法的主要思想。 输入状态线性化也称精确反馈线性化，它的主要思想【5 】【5 】是：当非线性系统 的关系度，等于系统状态的维数刀，也即当非线性系统经李括号运算所得到的矢 量场满足对合性和满秩条件时，通过适当的非线性状态和反馈变换使非线性系统 动态方程化成一个等效的线性定常系统动态方程，从而使非线性系统在一定条件 下实现状态完全线性化，也即输入状态的精确线性化；再利用标准的线性控制 方法( 如极点配置、l q r ) 【5 i 】设计控制律。与传统的利用泰勒级数展开进行局部 线性化近似方法不同，在精确反馈线性化过程中没有忽略掉任何非线性项，因此 这种方法不仅是精确的，而且是整体的，即线性化对变换有定义的整个区域都适 用。 若系统的关系度，小于系统状态的维数玎时，此时只能实现部分线性化。对 于此类关系度确定的非线性系统，假如能够找到系统输出y 与控制输入“之间的 一个直接而简单的关系，控制器设计的困难会大大降低，由此想法构成了输入 输出反馈线性化方法设计的基础。 输入输出线性化方法的基本思想是【2 6 】：重复地对输出函数y 进行微分直到 出现“，再利用非线性状态反馈和非线性坐标变换，将原非线性系统变换两部分： 一部分是能控的反映输入和输出的线性部分即外在部分，具有布鲁诺夫斯基标准 型；另一部分是非线性部分即内在部分，此过程也称为降阶处理。对于外在部分， 我们很容易按照线性方法设计控制律“去消除系统的非线性特征，从而保证系统 达到期望的特性；然而这样并不能保证内动态子系统的性能，还需要考虑系统的 内在部分的零动态及其对系统稳定性的影响。下面本文将详细介绍输状态精 确线性化和输入输出线性化的具体设计方法。 1 3 第2 章非线性系统介绍中山大学硕士学位论文 2 2 2 精确线性化 非线性系统控制理论的研究成果告诉我们，采用非线性反馈和恰当的坐标变 换，可以将一个仿射非线性系统精确线性化，并且这个状态反馈可以保证控制系 统的稳定性和好的动态品质。下面本文将介绍对一个单输入单输出仿射非线性系 统如何进行精确线性化【5 】。 定理2 2 ( 精确线性化定理) 给定s i s o 仿射非线性系统( 2 1 ) 和点而，系 统在而点附近可精确线性化有解的充要条件是：非线性系统( 2 1 ) 在而点的关 系度，等于系统的状态维数n 。即： ( 1 ) 矩阵 g ( x o ) a d , g ( x o ) a e ：。1 9 ( 而) 】的秩为万； ( 2 ) 分布d = s p a n g ( x ) ，甜穆( x ) ，耐芦2 9 ( x ) ) 在而点邻域内是非奇异对合的。 我们也称该方法为输入状态完全反馈线性化方法，简称为精确线性化，其 具体构造反馈控制的设计过程如下。 对于一类关系度确定的s i s o 仿射的非线性系统( 2 1 ) ，为建立以新坐标系z 表述的标准形式的动态系统，选择如下的非线性坐标变换： z2 毛 乞 ： =矽=三至i三j：三i ， ( x ) l 0 j i l ( x - l i l 巧1 ( x ( 2 1 3 ) 非线性系统( 2 - 1 ) 的输出y = h ( x ) = z l ，若少( x ) 是局部微分同胚，按式( 2 - 1 3 ) 选取的坐标进行变换。在系统的关系度， - r l 时，即乞j i ( 功= o ，厶0 j i ( 功= o ， 尊j i l ( 工) = o ，( k r - 2 ) ，同时岛芬1 j i l ( x ) o ，对非线性系统的输出函数j ，进行 微分直到出现“，有： 夕=罢_-dx：要(础)+g(础)砸)：lh(础)+tj|l(础)m)：0jil(川)：乞dt傲o 。 j ；：譬i d x ：下c g l , h ( x ( t ) ) ( 厂( x ( f ) ) + g ( 工( f ) ) “o ) ) c c x 口fc c x = 弓j l l ( x ( 嘞+ 乞0 j i l ( x ( f ) ) “( f ) = 弓 ( x ( f ”= z 3 j ，1 = 够1 h ( x ( t ) ) + l r l 2 j i l ( x ( f ) ) ( f ) = 巧1 ( x ( f ) ) = 乙 y 7 ) = l t h ( x ( t ) ) + 三。耳1 j i i ( x ( f ) ) “( f ) 1 4 ( 2 1 4 ) 第2 章非线性系统介绍中山大学硕士学位论文 故原非线性系统( 2 i ) 可转化为以下标准形( ，= 刀) ： 毛= z 2 z 22 毛 乞一i = 乙 ( 2 - 1 5 ) 乞= 6 ( 工) + 口( x ) 甜b - i ( 神 y2 乙 z 坐标系中最后一项中的6 ( x ) ，a ( x ) 为工的非线性标量函数，由式( 2 1 5 ) 可见 标准形中第一项至第( 万一1 ) 项都已被线性化了，只剩下最后一个含有控制量的 方程是非线性的。为了使最后一个方程也能够线性化，即使系统式( 2 1 5 ) 完全 精确线性化，在式( 2 1 5 ) 中引入虚拟输入y ： ，= 6 ( x ) + 口( x ) 甜 ( 2 - 1 6 ) 其中： i6 ( x ) = 弓j i i ( x ) 【口( 工) 2 厶譬1 j | l ( x ) 0 由式( 2 1 5 ) 和式( 2 - 1 6 ) ，可得在新的坐标系z = 【z l ，乙，乙r 描述下的完全可 控的已被线性化的系统： 毛2z 2 z 22 乃 i ( 2 1 7 ) 乙12 乙 乙2 1 ， 这种形式称为布鲁诺夫斯基( b n m