（机械设计及理论专业论文）三平移并联机器人机构拓扑结构综合与位置分析.pdf

摘要 本论文介绍了单开链的结构组成和活动度，对其运动输出矩阵进行了讨 论；总结得出了三平移并联机器人机构运动输出的必要条件；通过分析并联机 器人机构拓扑结构综合方法，以及三平移并联机器人机构的综合过程，提出并 运用计算机进行辅助拓扑结构综合；在深入研究位置分析的基础上，建立了 3 - p u u 并联机器人机构位置分析的通用方法。 第一，对并联机器人单开链拓扑结构进行了研究，它是并联机器人机构拓 扑结构综合研究的基础。应用螺旋理论分析单开链机构的运动输出，提出了求 解串联机器人手臂末杆自由度的新方法。 第二，总结得出了三平移并联机器人机构运动输出的必要条件。 第三，在几种拓扑结构综合方法中，重点分析了基于螺旋理论的运动约束 法和基于单开链单元的运动综合法这两种拓扑结构综合方法，并详细地说明了 三平移并联机器人机构的拓扑结构综合过程。 第四，依据并联机器人机构拓扑结构的综合方法，提出并运用计算机辅助 进行拓扑结构综合的研究，通过计算机编程来实现并联机器人机构的拓扑结构 综合。对其综合思路进行了详细的说明，并做了些基础性的研究，以p 副、r 副和c 副为例，展现了以上述三种运动副组成的三平移并联机器人机构的拓 扑结构综合过程。 第五，针对己综合得到的三平移并联机器人机构，分别运用不同方法对不 同的结构形式进行了位置分析。运用解析几何中的坐标变换和投影，建立了 3 - p u u 并联机器人机构位置分析的新方法，同时通过m a t l a b 软件对其进行 了仿真和验证。 关键词：三平移并联机器人机构，拓扑结构综合，螺旋理论，单开链，位置分析 a b s t r a c t t h et o p o l o g i c a ls t r u c t u r ea n dd e g r e eo ff r e e d o mo ft h es i n g l eo p e n e dc h a i n ( s o c ) w e r e i n t r o d u c e d ，a n di t so u t p u tm o t i o nc h a r a c t e r i s t i cm a t r i xw a ss t u d i e di nt h ep a p e r t h ee s s e n t i a l c o n d i t i o n a b o u tt h eo u t p u tm o t i o no ft h e3 - d o ft r a n s l a t i o n a l p a r a l l e lm a n i p u l a t o rw a s s u m m a r i z e d c o m p u t e ra i d e dt o p o l o g i c a ls t r u c t u r es y n t h e s i so fp a r a l l e lm a n i p u l a t o rh a sb e e n p r o v i d e da n da p p l i e dt h r o u g ha n a l y z i n gt h et o p o l o g i c a ls t r u c t u r es y n t h e s i so fp a r a l l e l m a n i p u l a t o ra n dt h es y n t h e s i sp r o c e s so f3 - d o ft r a n s l a t i o n a lp a r a l l e lm a n i p u l a t o r b a s e do n d e e p l ys t u d i e dt h ep o s i t i o na n a l y s i s ，t h eu n i v e r s a lg r a m m a rt or e s o l v et h ep o s i t i o no f3 - p u u t r a n s l a t i o n a lp a r a l l e lm a n i p u l a t o rw a sb u i l t f i r s t ，t h et o p o l o g i c a ls t r u c t u r eo ft h es i n g l eo p e n e dc h a i nw a ss t u d i e d ，w h i c hw a st h e b a s eo fr e s e a r c ho nt h et o p o l o g i c a ls t r u c t u r es y n t h e s i so fp a r a l l e lm a n i p u l a t o r an e wm e t h o d h a sb e e np u tf o r w a r dt oc a l c u l a t et h ed e g r e eo ff r e e d o mo ft e r m i n a ll i n ka b o u ts e r i a lr o b o tb y a p p l i e ds c r e wt h e o r yt ot h eo u t p u tm o t i o no ft h es o c s e c o n d ，t h ee s s e n t i a lc o n d i t i o n a b o u tt h eo u t p u tm o t i o no ft h e3 - d o ft r a n s l a t i o n a l p a r a l l e lm a n i p u l a t o rw a ss u m m a r i z e d t h i r d ，i nt h es e v e r a lt o p o l o g i c a l s t r u c t u r es y n t h e s i sm e t h o d s ，t w om e t h o d sw h i c h r e s p e c t i v e l yb a s e do nt h ek i n e m a t i cc o n s t r a i n to ft h es c r e wt h e o r ya n dk i n e m a t i cs y n t h e s i so f t h es o ch a v eb e e na n a l y z e d ，a n dt h et o p o l o g i c a ls t r u c t u r es y n t h e s i so f3 - d o ft r a n s l a t i o n a l p a r a l l e lm a n i p u l a t o rh a sb e e ng i v e nm o r ed e t a i l e ds t u d y f o u r t h ，i na c c o r d a n c ew i t ht h et o p o l o g i c a ls t r u c t u r es y n t h e s i sm e t h o d so fp a r a l l e l m a n i p u l a t o r ，c o m p u t e ra i d e dt o p o l o g i c a ls t r u c t u r es y n t h e s i sw a sr a i s e d t h et h i n k i n go fh o w t oa c t u a l i z eh a sb e e ni l l u m i n a t e dm o r ec l e a r l y , a n ds o m ef u n d a m e n t a lr e s e a r c h e sh a v eb e e n d o n e ，t a k epj o i n t ，rj o i n ta n dc j o i n tf o ri n s t a n c e ，t h ep r o c e s sf o rt h et o p o l o g i c a ls t r u c t u r e s y n t h e s i so f3 - d o ft r a n s l a t i o n a lp a r a l l e lm a n i p u l a t o rh a sb e e ns h o w n f i f t h ，d i f f e r e n tw a y sh a v e b e e n u s e dt oa n a l y z et h ep o s i t i o n o fd i f f e r e n t3 - d o f t r a n s l a t i o n a lp a r a l l e l m a n i p u l a t o r s i th a sa l s op u tf o r w a r d a ne f f e c t i v en e wm e t h o dt o r e s o l v et h ep o s i t i o no f3 - p u ut r a n s l a t i o n a lp a r a l l e lm a n i p u l a t o rb yu s i n gt h ec o n v e r s i o no f c o o r d i n a t e sa n dp r o j e c t i o ni na n a l y t i cg e o m e t r y , a n dt h ep o s i t i o ni ss i m u l a t e da n dv e r i f i e db y m a t l a b k e yw o r d s ：3 - d o ft r a n s l a t i o n a lp a r a l l e lm a n i p u l a t o r ，t o p o l o g i c a is t r u c t u r e s y n t h e s i s ，s c r e wt h e o r y ，s i n g l eo p e n e dc h a i n ，p o s i t i o na n a l y s i s i i 独创性声明 y8 6 0 1 7 2 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得山东理工大学或其它教 育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：扣、苹聋 时间：五以年6 月佳日 i 关于论文使用授权的说明 本人完全了解山东理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅；学校可以用不同方 式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 研究生签名：如 牢卑 删钵新，缸如 l 。，。硝 时间：肋6 年6 月，2i = t 时间：渺6 年月f 日 尘堡塞三奎茎墼圭茎堡鎏黧一一一，一。 ，一一， ，：! 垂兰，耋坠。 1 1 引言 第一章绪论 并联机器人机构的构想最早可追溯到1 8 9 5 年。1 9 4 9 年，g o u g h 将并联 机器人机构用作轮胎测试装置。自1 9 6 5 年s t e w a r t 。1 将六自由度并联机器人机 构用于飞行模拟器以来，这类机构在相当长的一段时间内并未引起学术界和工 程界的足够重视。1 9 7 8 年，澳大利亚著名机构学教授h u n t 提出，可以应用六 自由度的s t e w a r t 平台机构作为机器人机构( 见图1 1 ) ，并联机器人机构的研 究才受到许多学者的关注。到2 0 世纪8 0 年代末特别是2 0 世纪9 0 年代以来， 并联机器人机构被广为关注，成为新的研究熟点。 图1 1s t e w a r d 并联机器人机构 1 ，1 1 并联机器人机构的特点和应用 并联机器人机构与串联机器人机构相比活动空间小，上平台的运动远远不 如串联机器人机构手部来得灵活。但是并联机器人机构也有其更多的优点。优 点是：1 ) 与串联的悬臂梁相比，刚度大，结构稳定。2 ) 在相同的自重或体积下 有高得多的承载能力。3 ) 没有误差的积累和放大( 串联式末端上的误差是各个 关节误差的积累和放大) ，所以误差小，精度高。4 ) 很容易将电机置于机座上， 减小了运动负荷( 串联式机器人的驱动电机及传动系统大都放在运动着的大小 臂上，增加了系统的惯性，恶化了动力性能) 。5 ) 在位置求解上，串联机器入 机构正解容易，但反解十分困难，丽并联机器人机构币解困难反解却非常容易。 兰。翟誊鐾鲨堡兰鎏，一：。，一! 一，一，一一，墼耋b 丝墼， 由于机器人在线实时计算是要计算反解，这对串联式十分不利，而并联式却容 易实现。 并联机器人机构适用于以下诸方面”3 ： ( 1 ) 模拟运动：飞行员三维空间训练模拟器，驾驶模拟器： 工程模拟器，如船用摇摆台等； ( 2 ) 对接动作： ( 3 ) 承载运动： 检测产品在模拟的反复冲击、振动下的运行可靠性： 娱乐运动模拟台。 宇宙飞船的空间对接； 汽车装配线上的车轮安装： 医院中的假肢接骨。 大扭矩螺栓紧固； 短距离重物搬运。 ( 4 ) 金属切削加工可应用于各类铣床、磨床、钻床或点焊机、切割机。 ( 5 ) 可用于测量机用来作为其它机构的误差补偿器。 ( 6 ) 用于微动机构或微型机构并联平台的应用领域正在被科研工作者不断 拓宽。 目前，并联机器人机构在工业上应用较多的是虚拟轴数控机床。虚拟轴机 床之所以发展如此迅速和受到众多科研单位和商家的重视，有专家认为，这主 要是因为此类机床在结构上无传统机床那样的笨重的床身、立柱、和导轨、滑 座，有的只是杆件组成的框架式结构和长度可控的伸缩杆。由于它较传统机床 具有结构简单、运动精度高、刚度大、负载能力强等显著优点，因而一开始就 引起人们的广泛关注。国外在这一方面做了大量的研究，并且生产出了很多的 虚拟并联机床，例如：德国m i k r o m a t 公司生产的6 x 型高速立式加工中心( 图 1 2 ) 和瑞士联邦技术学院研制的h e x a g l i d e 并联机床( 图1 3 ) 等等。 固1 2m i k r o m a t 并联机床 我国第一台虚拟轴机床原型样机 图1 3h e x a g l i d e 并联机床 v a m t i y 由清华大学和天津大学联合开 2 发。目前，清华大学、天津大学、哈尔滨工业大学、东北大学、中科院沈阳自 动化所、燕山大学等均对虚拟轴机床进行了研究并取得了一些成果m “。主要 有天津大学和天津第一机床总厂合作于1 9 9 9 年研制了三坐标并联机床商品化 样机l i n a p o d ( 图1 4 ) ，哈尔滨工业大学也研制了一台六自由度并联机床样机 ( 图1 5 ) 等”1 。 图1 4l i n a p o d 并联机床图1 5 哈工大并联机床 1 1 2 并联机器人机构研究的意义 并联机器人阻3 是一类全新结构的机器人，它属于空间多自由度多环机构学 理论的新分支，这个分支是随着对并联机器人机构的研究而发展起来。由于空 间并联机构的复杂性和具有很大的特殊性，建立并联机构的理论体系对于深刻 认识这种特殊的机构学问题，以及掌握、设计和研制新的并联机器人机构，有 着特殊重要的意义；此外，随著机器人高技术发展起来的多机器人协调、特殊 要求或危险环境应用的多足步行机、新一代的灵巧的多关节多指手爪，都属于 空间多自由度并联机构学的问题，对它们的研究，并联机器人机构学将是十分 重要的。 1 2 兰平移并联机器人机构的研究现状 1 2 1 三平移并联机器人机构拓扑结构综合研究现状 并联机器人机构的拓扑结构综合问题在机构分析中是个基本问题。随着 并联机器人机构应用领域的扩展，很多实际操作任务不需要空间全部六个自由 度，这种情况下如果再使用一般的六自由度并联机器人，势必增加不必要的成 本。目前研究最多的空间少自由度并联机器人机构的自由度数为三、四或五， 由于自由度数的减少使机构的运动副数和杆件数相应减少，有更简单的机械结 构，从而使设计、制造和控制的成本都有可能得到降低。特别是具有完全相同 的分支链，保持结构对称，具有各向同性的对称少自由度并联机构更是目前国 际学术界和工业界关注的热点和前沿“3 。 关于机构拓扑结构综合理论，在国际上主要的有两种，一种是基于计算自 由度的g r i i b l e r k u t z b a c h 公式的列举法“”，t s a i “”在1 9 9 9 年用列举法综合了 一类三自由度并联机构；另一种是h e r v 6 提出的基于群论的位移予群综合法 “17 】 在国外，c l a v e l “”在1 9 8 8 年提出了分支中含有球面四杆机构的d e l t a 并 联机器人( 图1 6 ) ，被视为三自由度移动并联机构的一个里程碑，该机构包含 1 2 个球副，9 个转动副和1 7 个构件。目前，全球已有数百台d e l t a 机器人被 广泛应用在电子、食品、包装和医药工业中。 图】6d e l t a 并联机器人机构 h e r r 6 “”在1 9 9 1 年综合出多种由四自由度分支构成的对称三维移动机构， 如3 - r r c ( 图1 7 ) 等；t s a i “5 州在1 9 9 6 年用平面四杆机构代替d e l t a 机构中 的球面四杆机构，得到一种结构比d e l t a 机构简单的三维移动机构( 图1 8 ) ； 同年，t s a i “7 1 提出了3 一u p u 三维移动机构( 图1 9 ) ；2 0 0 0 年，d ig r e g o r i o “8 1 提出了3 - r u u 三维移动并联机构；k o n g 和g o s s e l i n f i g 在2 0 0 2 年提出立方体 的3 - c r r 并联机构( 图1 1 0 ) ；c a r r i c a t o 和p a r e n t 卜c a s 似l i f 2 0 1 在2 0 0 2 年综合出 了多种具有各向同性的三维移动机构。 山东理工大学硕士学位论文第一章绪论 图1 73 - r r c 并联机器人机构 图1 8t s a i 的并联机器人机构 图1 93 - u p u 并联机器人机构 图1 1 03 - c r r 并联机器人机构 在国内，黄真综合出多种三自由度立方体并联机构”“，1 9 9 7 年又用螺旋 理论综合出3 - r r r h 三维移动并联机构”“：2 0 0 0 年，黄真，赵铁石。“1 提出 了约束螺旋综合理论的思路。 此外，我国学者杨廷力教授“”3 、高峰教授。”在型综合领域也取得了重要 的进展，分别提出了基于单开链单元的型综合法和基于复合铰链的型综合法， 并综合出了多种新机构。这两种方法有一定相似之处，统称为运动综合法。 1 2 2 计算机辅助拓扑结构综合研究现状 将计算机引入并联机器人机构的拓扑结构综合中，是模拟机械学家进行设 计的思维过程，对他们的思维模式加以总结，使其条理化并具有严密逻辑性。 其设想是通过编制一套完整的程序，综合出能够实现预定要求的新机构。最终 是使对于各种类型的并联机器人机构的拓扑结构综合模块化，以便使机构的拓 扑结构综合理论更加科学、合理和简单，能够进一步综合和优选出更多的机型。 同时也对机构的集成创新和机构的原始创新具有积极作用。 计算机辅助拓扑结构综合也是现代机构学研究的基本问题之一，当前有关 这一方面的研究开展的较少。本论文提出了三平移并联机器人机构计算机辅助 拓扑结构综合的研究思路，并针对三平移并联机器人机构拓扑结构综合的一种 方法，做了一些基础性的工作，选取了一种具有代表性的三平移并联机器人机 构，运用v i s u a lb a s i c 语言，通过计算机展现出拓扑结构综合的全过程。 1 2 3 三平移并联机器人机构位置分析研究现状 机构的位置分析是求解机构的输入和输出构件之间的位最关系，这是机构 速度、加速度、受力分析、工作空间分析的基础。当已知机构主动件的位置， 求解机构输出件的位置和姿态称位置分析的正解；当已知输出件的位置和姿 态，求解机构输入件的位置称为机构位置的反解。对于并联机器人机构来说， 反解比较简单，而正解用解析法比较困难，一般采用数值法求解b “。 目前，大多数学者对6 自由度的并联机器人机构位置进行了大量的研究工 作，而且运用不同的方法，针对不同的构型进行了详细的分析“。而三平移并 联机器人的位置分析，虽有学者进行了研究，但大都不系统，本文将对三种平 台式三平移并联机构运用不同的解法进行位置分析，以便为以后其他方面的研 究打下基础。 1 3 本论文的研究内容 本论文对单开链的运动输出矩阵进行了讨论，提出了求解串联机器人手臂 末杆自由度的一种方法。推导出了三平移并联机器人机构运动输出的必要条 件。对三平移并联机器人机构的拓扑结构综合方法进行了较为详细的介绍，并 运用计算机对三平移并联机器人机构进行了辅助拓扑结构综合。运用不同的方 法对几种三平移并联机器人机构进行了位置分析。共分为五章，结构安排如下： 第一章绪论。概述了本课题的研究内容和意义。综述了并联机器人机构的 提出、特点、应用及研究意义和三平移并联机器人机构的研究现状，并筒述了 本论文的主要内容。 第二章并联机器人机构单开链拓扑结构研究。首先对并联机器人机构单开 链的组成以及活动度和运动输出矩阵进行了阐述；其次介绍了螺旋理论的相关 知识；应用螺旋理论分析单开链机构的运动输出，提出了求解串联机器人手臂 末杆自由度的一种方法。 第三章三平移并联机器人机构拓扑结构综合。总结得到了三平移并联机器 人机构运动输出的必要条件。概括介绍了当今并联机器人机构拓扑结构综合的 研究方法。分别论述了基于螺旋理论的欠秩并联机器人机构拓扑结构综合和基 于单开链单元的欠秩并联机器人机构拓扑结构综合。根据当今并联机器人机构 拓扑结构综合方面的发展方向，提出了计算机辅助进行机构拓扑结构综合。并 以三平移并联机器人机构为例，展现了计算机辅助拓扑结构综合的过程。 第四章三平移并联机器人机构的位置分析。针对三种平台式三平移并联机 器人机构运用不同的解法进行了位置分析。其中就3 - p u u 并联机器人机构提 出了一种位置分析的新方法。 第五章结论与展望。总结了本论文的创新处，介绍了本论文取得的主要研 究成果和尚未解决的问题，并对并联机器人机构拓扑结构综合的前景进行了展 望。 山东理工大学硕士学位论文第二章并联机器人机构单开链拓扑结构研究 第二章并联机器人机构单开链拓扑结构研究 2 1 概述 本章主要讨论并联机器人机构单开链拓扑结构。并联机器人机构单开链实 际上是一串联机器人机构，它作为并联机器人机构研究的基础，着重阐述了组 成并联机器人机构单开链的运动副类型、活动度和并联机器人机构单开链的运 动输出。应用螺旋理论分析单开链机构的运动输出，提出了一种求解串联机器 人手臂末端自由度的新方法。本章的内容是以下几章研究的基础。 2 2 并联机器人机构单开链拓扑结构特征 2 2 1 并联机器人机构单开链结构组成及其符号表示 1 运动副的基本类型 机构是杆件通过运动副联接而成的约束系统。运动副约束两构件之间的若 干相对运动自由度；自由度为1 - - - 5 的运动副类型众多，但常用运动副的基本 类型主要有六种，如表2 - 1 所示，其实体模型( u g 软件建成) 如图2 1 所示。 袁2 - 1 运动副的基本类型 运动副名称符号 筒图自由度 转动副 移动副 螺旋副 圆柱副 万向节 蕊s 一 t 8 1 l 1 2 2 r p h c u f a ) r 副 ( b ) p 副 ( d ) c 蓦0( e ) u 茜( f ) s 是 图2 i 运动副的实体模型 2 连杆参数与坐标系 为表示连杆之间的相对位置与姿态，d e n a v i t 和h a r t e n b e r g ( 1 9 5 5 ) 提出 d ，h 方法”“，即每一构件建立一真角坐标系i 。为此，约定 新轴线沿第f 个运动副轴线方向，对转动副与移动副，其正向可任意选定。 x t 轴线沿第f 与第( i + 1 ) 个运动副两轴线的公垂线方向，其正向由第i 轴线 指向第( i + 1 ) 轴线。若两运动副轴线平行，可选定新为垂直于两轴线的任一直 线：若两运动副轴线相交，则交点为原点，而为劫z m 方向，或相反。 y f 轴线由右手法则确定。 对由3 个转动副串联而成的机构，坐标系如图2 2 所示。其连杆参数定义 如下： 图2 , 2 连杆参数的d - h 表示法 口，( 杆长) 一一两相邻运动副轴线( f ，i + 1 ) 之间的公垂线的长度。 d 。( 轴长) 一一第i 个运动副的两条公垂线( z f _ 1 与丑) 之间的距离。 a 。( 扭角) 一一两相邻运动副轴线之间的夹角，按右手坐标系，绕x i 轴线 由西转到z 确定。 岛( 转角) 一一运动副轴线的两相邻公垂线之间的夹角，按右手坐标系， 绕z i 正向，工f 1 转到置确定。 连杆参数的特殊配置类型： 1 ) 两运动副轴线重合，即a ；= 0 ，a i = 0 ，但d f 0 。 2 ) 两运动副轴线平行，即口，= 0 d f 可以任取，a f 0 。 3 ) 两运动副轴线相交于一点，即a i = 0 ，d 产0 ，口；0 。 4 ) 两运动副轴线垂直，即q = 等，a i d e 0 ，d i ：0 。 二 5 ) 三个移动副平行于同一平面，即a i = o ，口，= 常数，o i = o 。 运动副轴线方向与位置的5 种特殊配置类型及其组合，称为尺度类型( 简 称尺度型) 。尺度参数仅考虑尺度型的机构称为尺度型机构陋”。 3 单开链机构组成的符号表示 对由p 副( 移动副) 、r 副( 转动副) 与h 副( 螺旋副) 构成的串联机器 人机构( s i n g l eo p e n e dc h a i n ) ( 亦称单开链简记为s o c ) ，其结构组成可用符 号表示。 ( 1 ) 同一杆件上两运动副为任意配置，两者之间用“一”表示，例如r r ， r p ，r h ，p - p 等。 ( 2 ) 同一杆件上两运动副轴线重合，两者之间用“”表示，如r r ，r p ， r h ，p p 等。 ( 3 ) 同一杆件上两运动副轴线相互平行，两者之间用“，”表示，如r r ， r p ，r h 等。 ( 4 ) 同一杆件上两运动副轴线相交于一点，两者之间用“一”表示，如r r ， 面等。当连续若干个r 副交于同一点时，用同一个“一”表示，如r r r ，r r r r 等。 ( 5 ) 同一杆件上两运动副轴线垂直，两者之间用“j - ”表示，如r 上r ， r 上p ，r 上h 等。 ( 6 ) 若干个p 副平行于同一个平面，用“1 2 ( 一p p 一p 一) ”表示。 上述约定即表示机构结构组成的运动副类型、数日、次序和机构的尺度型 特征。 2 2 2 并联机器人机构单开链活动度公式 对并联机器人机构单开链以及树状开链机构，其活动度公式为 p 善正 1 1 0 山东理工大学硕士学位论文第二章并联机器人机构单开链拓扑结构研究 式中f 一机构活动度： m 一一机构的运动副数： 一一第i 个运动副的自由度数。 2 2 3 并联机器人机构单开链运动输出特征矩阵 并联机器人机构都是由多个单开链并联在一起的，单开链作为并联机器人 机构的一个分支，其末端构件的运动输出是并联机器人机构拓扑结构分析的基 础。 1 并联机器人机构单开链的位移输出 并联机器人机构单开链的位移输出是末端构件的位置和方向( 位姿) ，为 机构运动输出的函数。记作位移输出矩阵m ，( 口。口，) ，即 肘。( q 如) = f a “( q o l - 咋o ，j ；摇：窆j ；援：2 弭 c z z ， 式中。( 口，口，) ，y ( b 如) ，z ( q 一咋) 一一固联于末端构件的动坐标系原点在静 坐标系中的坐标； 。( 岛咋) ，卢( q 砟) ，r 似) 一一固联于末端构件的动坐标系坐标轴相对 于静坐标系坐标轴z 、y 、z 的方向( 位姿) 参数，可以是动坐标系z 轴在静坐 标系中的两个方向角和一个绕z 轴自身的转动角( 图2 3 ( a ) ) ，亦可以是动坐 标系相对于静坐标系的三个欧拉角( 国2 3 ( b ) ) ； 目，一一第i 个主动输入的广义变量； f _ 一一机构活动度。 ( a ) 图2 3串联机构的坐标系及其参数 ( b ) 相应地，机构速度输出矩阵为 机c 反砟，z i 譬：2 j ；置：2 ；i 嚣：2 ；1 cz s ， 式( 2 - 2 ) 、( 2 - 3 ) 称为机构运动输出特征矩阵。每一个元素只能由复杂的运动 分析确定。运动输出矩阵的诸元素中，有磊个独立运动输出元素( 蠡f ) ，其 余( 6 一岛) 个为非独立运动输出元素，称磊为并联机器人机构单开链的秩， 磊= 1 5 的并联机器人机构单开链称为欠秩s o c 。 当式( 2 - 2 ) 的某元素为常量时，该元素用“，表示；相应在式( 2 - 3 ) 的对应元素用0 表示。 当式( 2 - 2 ) 、( 2 - 3 ) 诸元素皆为独立运动输出时，其位移速度输出特征矩 阵分别为 帆y 取。；】 机构运动输出特征矩阵的矢量形式为 丝；旧 雄0 ，1 ，2 或3( 2 _ 4 a ) 叫纠( 2 - 4 b ， 式中 r 一一末端构件的独立平移输出，岛为独立平移输出数； r 一一末端构件的独立转动输出，磊。为独立转动输出数。 图2 4s o c 一r 1 r 2 r 3 r 4 r 5 一l 图2 4 并联机器人机构单开链的输出特征矩阵的分量形式和矢量形式分别为 m s = ： 卢y i 】 m s = 【，：c ，。：，r ，】： 式中 卢) 一一末端构件的非独立转动输出； 1 2 山东理工大学硕士学位论文 第二章并联机器人机构单开链拓扑结构研究 r2 ( a ( r ：，r ，) ) 一一末端构件可绕平行于r 2 与r 3 的平面内的任一直线， 但不能绕r 2 与r 3 公垂线方向转动。 2 并联机器人机构单开链的运动输出特征矩阵类型 并联机器人机构单开链的运动输出特征矩阵类型是研究并联机器人机构 运动输出特征矩阵的基础和重点。其位移输出特征矩阵的全部类型如表2 - 2 所 示。 表2 - 2 机构位移输出特征矩阵 ；】 注：。非独立运动输出为常量：工，y ，z 为 平动，a ，p ，y 为转动。 卜；州 2 3 螺旋理论基本知识 2 3 1 螺旋 由文献 3 5 可知，设s 与& 为三维实空间两矢量( 图2 5 ) ，且满足 s 0 2 = 。十( 仍一n ) xs ( 简称搬迁公式) ，则s 与s 。构成一个螺旋$ ，记作 s = s + & ( 2 5 ) 式中，为c l i f f o r d 算符，有“= o ( n 2 ) 。 若以r 表示沿s 的单位矢量，p 表示参考系原点o 到r 上任一点的矢径，则 s = n 旷( 2 6 ) 1 j 1 l 爿爿 k一：哺一一 一一旧一he he一哺m 】1_叫_11 y y y y 芦 一哺 一一一 一一憎一 一 一 l 2 3 4 5 1_ij z y y 卢 x 口 -_-_【 6 & 2 h o j r + p s( 2 - 7 ) 故 $ = m ，+ ( 力r + p r ) ( 2 8 ) 式中珊一一螺旋事的幅值； h 一一螺旋墨的节矩。 螺旋$ 将两个矢量集于一体，或者说将两个矢量的6 个分量视为六维空间 的一个点。 螺旋可以表示为两个刚体问的相对运动。例如，s 为刚体1 的角速度矢量， 晶，为刚体2 上与刚体1 点d 1 的瞬时重合点( 基点) 相对于刚体1 的角速度矢量。 当基点由n 改变为d ，时，刚体2 上与刚体1 的点d 瞬时重合点相对于刚体1 的角速度矢量为s 。：= s 。+ ( n p 1 ) s ，即满足搬迁公式。因此，两刚体之间 的相对运动可用一螺旋事表示。 图2 5 螺旋定义 图2 6 螺旋表示刚体间相对运动 螺旋亦可以表示为两个刚体之间的作用力。例如图2 6 ，s 为刚体2 作用 在刚体1 点d 2 的力，s 。，为其作用力矩，则刚体2 作用在刚体i 点0 l 的作用力 仍为s ，但其作用力矩为：= 。+ ( j d 2 一p 1 ) s ，即满足搬迁公式。因此，两 刚体之间的作用力和力矩亦可用一螺旋$ 表示。 螺旋箩也可用p l i i c k e r 坐标表示，即 1 4 s ：( s ，s 。)( 2 9 ) 若s 与s o 在参考坐标系中表示为s = ( r 0r ) ，s 。= ( f 。t ) ，则 箩2 ( r l r ttt ) ( 2 l o ) 对于纯转动或纯力，h2 0 ，相应螺旋为$ = ( r 0tt ，t ，f ：) ；对于移动 或纯力偶，h 2 。，相应螺旋为s = ( 000 t 。f 。t ：) ；对于一般运动螺旋或力 螺旋，h 5 非零有限值，相应的螺旋为节= ( ，v t ，t ) ，与纯转动或纯力 螺旋的不同是、0 与包含h o j r 由所决定的项。 为便于运算，螺旋墨可记为 $ 饿纠 又由式( 2 - 3 ) 可得 墨。【：t y ：】一五r s 。【： 2 3 2 螺旋系 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 1 定义 设一非空螺旋集合s ，若对任意一个数4 及其任何蕺，是s ，有矗+ 是s ， 峨s 则称s 为螺旋系。 由个螺旋燕，致瓯的任意线性组合形成的螺旋系s 称为墨，赴 啦的展开螺旋系，记作s = 岛，是，屯 。 在螺旋系s 中，若存在岸个线性独立的螺旋焉，览乱，且s 中所有的 螺旋均是这个螺旋的线性组合，则称这p 个螺旋为螺旋系s 的个基。螺旋 系s 一个基的螺旋数目称为该螺旋系的秩，记作o r d e r ( s ) 。 三维空间中，所有螺旋的集合构成的螺旋系记作& ，且有o r d o f ( s a ) = 6 。 若螺旋系s 的一个非空子集墨在螺旋加法与数乘下封闭，则置为s 的一个 子螺旋系。 螺旋系s 的两个子螺旋系置与s j 的并为：墨u s = $ j + sft 砖墨， 彤q ) ：两子螺旋系的交为：置n 岛= 苗i $ s ，节q 。 2 。螺旋系的串联定理 由螺旋系并的定义及运动叠加原理，可得到螺旋系的串联定理”“”1 。 串联定理：设刚体n 由肛个螺旋系sz 峨，蕺：，乳】( i = 1 ，2 ，力一次串联 到刚体0 上( 如图2 7 所示) ，则刚体n 与刚体0 之间的相对运动螺旋系为： s 2 0 。s 。 ( 2 1 3 ) 即，若有$ s ，则由螺旋的加法运算法则可以得到 事- 亨y 禽龠 3 螺旋系的并联定理 由螺旋系的交定义及运动相容性原理，可得螺旋系并联定理。”1 。 并联定理：设刚体咒由个螺旋系s t 一嚷。，最：，繇】( f = l ，2 ，) 平行并 联到刚体0 上( 如图2 8 所示) ，则刚体与刚体之间的相对运动螺旋系为： s = a s ( 2 - 1 5 ) 即，若有事s ，则 s e $ ，i = i ，2 ， ( 2 - 1 6 ) 螺旋系的串、并联定理描述了剐体之间两种基本连接方式的螺旋系s 与子 螺旋系s 间的关系。 ( j 二 s ，n “ 卜1i- r 7 7 ，s l | 一一一_ _ 、j ! 一一7 图2 7串联螺旋系图2 8 并联螺旋图 4 螺旋系的线性相关性 螺旋系秩的判定 设有卢个矗，如乱，若存在不全为零的数 n 。，n ：，口。，使口i 置一0 ，则这一个螺旋线性相关：否则，这个螺旋线性无 7 = i 关。设螺旋的p l i i c k e r 坐标为( bkk f “t 。) ，则p 个螺旋的线性相 关性可用下列矩阵的秩判定 1 l 20 2 ： o t 11 乞22 r 。t m 1 6 0 l1 t y 2 t z 2 t 。t 。 该矩阵的秩即为p 个螺旋的线性无关螺旋数。在三维空间中，最多有6 个 线性无关螺旋，在二维平面中，最多有3 个线性无关螺旋。 2 4 并联机器人机构单开链运动输出特征方程 设单开链机构运动副的相对运动螺旋为萝j ( i = 1 ，2 ， ) ，由式( 2 - 1 4 ) 可知，其末端构件相对于机架的运动螺旋s 枷 节枷= y 毒 ( 2 - 1 7 ) 由式( 2 - 1 2 ) 可知 叫：矧一瞄筝研： k ：】( 2 - 1 8 ) 式( 2 - 1 8 ) 称为单开链机构的速度输出特征方程。 相应地，仿( 2 1 8 ) 形式，单开链机构位移输出特征方程亦可记为 叫：矧。渺啦矧( 2 - 1 9 ) 式中m 为第i 个运动副的输出特征矩阵。 2 5 串联机器人手臂末杆自由度的一种求法 关于串联机器人末端构件自由度数目的计算，除了杨廷力以外，张启先、 黄真等都对此做了研究。张启先教授在文献 3 8 将末杆对固定坐标系的运动分 为绕固定坐标系的基本转动和基本移动。他归结为分析单开链末杆固有的基本 转动个数以、固有的基本移动个数九和有转动衍生附加的基本移动个数 ，。 并提出可用直观法进行分析末杆固有的基本转动一和基本移动个数九，同时 针对由转动衍生附加的基本移动个数 ，作了详细的阐述。 黄真教授在文献 2 2 ，3 5 中，在运用螺旋理论对空间机构自由度进行分析 时，间接提出一种分析串联机器人手臂末杆自由度的方法。其螺旋相关性判别 的基本思想：当机构所有的运动副均以螺旋表示，构成一个螺旋系，若存在与 该螺旋系中每一个螺旋均相逆的反螺旋，这就是该机构的一个公共约束。螺旋 的反螺旋数目就是公共约束数目，若机构的公共约束为a ，则其独立位移方程 数为6 一 。即其末杆自由度为6 一z 。 在研究上述计算串联机器人末端机构自由度数目方法时，应用螺旋理论 分析单开链机构运动输出，提出了一种新方法。 由螺旋系的串联定理和公式( 2 1 3 ) 、( 2 1 4 ) 可以得到 事。一o = s 1 + $ 2 + + 萝n 1 + s 。 + n 一1 j 0 n 一1 j c n 一1 j 0 j 0 r j 乞r “j + k o 0 0 0 1 + 2 + + r _ 1 j + 7 二 1 + 0 2 + 一+ r 。一1 j + 乞l + 2 + 。一+ “一1 j + o 0 + t x 2 + + n 一1 j + 0 t y l + t y 2 + + 0 m 一1 j + t m 1 + t z 2 + + 乞“_ 1 j + 0 ( 2 2 0 ) f1 + 1 十一- + 1 1 j 0 + 0 十- + 0 0 l1 + 0 十+ 1 = 1 口疵+ 口可鼻口j6 一+ 6 玎1 6 ；c d + c 对；c d n + d 日- d j ；e + e 一e t ；f d + f 日= ? $ 1 ：( 1 00 ；000 ) $ 2 ：( 1 00 ；000 ) $ 3 ( 100 ；000 ) 事4 ：( a 4b 40 ；d 4e 4 ，4 ) 免：( d5b 50 ；d 5e 5 兀) $ 6 ：( a 6b 60 ；d 6e 6 ，6 ) r 圈2 9s o c ( 一r 1 r 2 r 3 - r 4 r 5 r 6 一) 机构 p f p ， ，；f j f y t z 节= 节l + 善2 + 事3 + 节4 + 萝5 + 节6 = 1 o o o 0 o + + + 1 + 1 + 1 + a 4 + a5 + 6 0 + 0 + 0 + b 4 + b 5 + b 6 o + o + o + 0 + 0 + 0 0 + 0 + 0 + d 4 + d 5 + d 6 0 + 0 + 0 + e 4 + e 5 + e 6 0 七0 + 0 + f 4 + f s + f 6 + a b 7 0 d 。 ， p ，4 由上式可以看出：该串联机器人机构的末端构件的秩为5 ，两个转动和三个移 动。 又如图2 1 0 所示的串联机构 4 个螺旋可表示为 $ = 箩1 + 萝2 + $ 3 + $ 4 = o 1 o o o o z 图2 1 0s o c 卜r l r 2 上口( 一p 1 一p 2 一) 1 + 0 1 0 d 2 0 ，2 + 焉：( o10 ；000 ) 野( o10 ；d ：0 ，2 ) 岛：( o00 ；100 ) $ 4 ：( o00 ；d 。0 ，4 ) 0 o o 1 o 0 + 0 0 0 d 4 0 ，4 1 9 0 + 0 + 0 + 0 1 + 1 + 0 + 0 o + o + o + 0 0 + d 2 + 0 + d 4 o + 0 + 0 + 0 0 年 2 七0 + f 4 0 1 0 d 0 f 砒o 以 吩k 0以龟正舢肌0以“ 螺旋矩阵的最大线性无关组为3 ，即末端构件的自由度为3 。还可以看出末端 构件有一个转动和两个移动。 此方法是在总结前几位学者研究的基础上，应用螺旋理论分析单开链机构 运动输出，来达到快速求解的目的，并且能够准确判断出末端构件的转动数目 和移动数目。在求解