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内容简介：

CHI NES E J 0URNAL OF M E CHANI CAL E NGI NEE R I NG Vo 1 2 3 ，No 3 ，2 01 0 3 6 7 DOI ： 1 0 3 9 0 1 C J ME 2 0 1 0 0 3 3 6 7 ， a v a i l a b l e o n l i n e a t w ww c j me n e t t o m； www c j me n e t t o m c n Dy n a mi c M o d e l i n g o f a Ro l l e r Ch a i n Dr i v e S y s t e m o fI nput Sha ft Co ns i de r i ng t he Fl e x i bi l i t y xu Li x i n ， Y ANG Y u h u 一， CHANG Zo n g y u ， a n d LI U J i a n p i n g 1 S c h o o l o f Me c h a n i c a l E n g i n e e r i n g , T i a n j i n U n i v e r s i t y , 2 3 a n j i n 3 0 0 0 7 2 ， C h i n a 2 C o l l e g e o f E n g i n e e r i n g , O c e a n U n i v e r s i t y o f C h i n a , Q i n g d a o 2 6 6 1 0 0 , C h i n a Re c e i v e d J u n e 1 6 ， 20 0 9 ； r e v i s e d Fe b r u a r y 5 ， 2 0 1 0 ； a c c e p t e d Fe b ru a r y 1 0， 2 0 1 0 ； p u b l i s he d e l e c t r o n i c a l l y Fe b ru a r y 2 5 ， 2 0 1 0 Ab s t r a c t ： Ro l l e r c h a i n d riv e s a r e wi d e l y u s e d i n v a rio u s h i g h - s p e e d ， h i g h - l o a d a n d p o we r t r a n s m i s s i o n a p p l i c a t i o n s ， b u t t h e i r c o mp l e x d y n a mi c b e h a v i o r i s n o t we l l r e s e a r c h e d M o s t s t u d i e s we r e o n l y f o c u s e d O l l t h e a n a l y s i s o f th e v i b r a t i o n o f c h a i n t i g h t s p a n ，a n d i n t h e s e mo d e l s ， many f a c t o r s a r e n e g l e c t e d I n t h i s p a p e r ， a ma t h e ma t i c a l mo d e l i s d e v e l o p e d t o c a l c u l a t e the d y n a mi c r e s p o n s e o f a r o l l e r c h a i n d r i v e wo r k i n g a t c o n s t an t o r v a r i a b l e s p e e d c o n d i t i o n I n t h e mo d e l ， t h e c o mp l e t e c h a i n tra n s mi s s i o n wi t h two s p r o c k e t s a n d the n e c e s s a r y t i g h t a n d s l a c k s p an s i s u s e d T h e e f f e c t o f t h e fl e x i b i l i t y o f i n p u t s h a ft o n d y n am i c r e s p o n s e o ft h e c h a i n s y s t e m i s t a k e n i n t o a c c o u n t ， a s we l l a s t h e e l a s t i c d e f o r ma t i o n i n t h e c h a i n， t h e i n e r t i a l f o r c e s ， the g r a v i ty and the t o r q u e o n d r i v e n s h a f t T h e n o n l ine a r e q u a t i o n s o f mo v e me n t are d e r i v e d f r o m u s i n g La g r a n g e e q u a t i o n s an d s o l v e d n u me ric a l l y Gi v e n t h e c e n t e r d i s t anc e and the tw o i n i t i a l p o s i t i o n ang l e s o f t e e t h o n d r i v i n g a n d d r i v e n s p r o c k e t s c o r r e s p o n d i n g t o t h e fi r s t s e a t i n g r o l l e r o n e a c h s i d e o f the t i g h t s p a n ， d y n am i c s o f a n y r o l l e r c h a i n d r i v e wi t h tw o s p r o c k e t s a n d t wo s p a n s c a l l b e an a l y z e d b y t h e p r o c e d u r e F i n a l l y ， a n u me ric a l e x a mp l e i s v e n an d t h e v a l i d i ty o f t h e p r o c e d u r e d e v e l o p e d i s d e mo n s t r a t e d b y an a l y z i n g t h e d y n am i c b e h a v i o r o f a t y pi c a l r o l l e r c h a i n d r i v e Th e mo d e l c a n we l l s i mu l a t e t h e t r a n s v e r s e a n d l o n g i tud i n a l v i b r a t i o n o f th e c h a i n s p an s a n d t h e t o r s i o n a l v i b r a t i o n o f the s p r o c k e t s Th i s s t u d y c a n p r o v i d e a n e ffe c t i v e me tho d f o r t h e a n a l y s i s o f t h e d y n a mi c c h a r a c t e ris t i c s o f a l l t h e c h a i n d r i v e s y s t e ms K e y wo r d s ： r o l l e r c h a i n ， d y n a mi c mo d e l i n g ， L a g r a n g e e q u a t i o n s 1 I n t r o due t i o R As a n e ffe c t i v e wa y o f t r a n s mi t t i n g po we r ,c h a i n d riv e s i mp a c t ，po l y g o na l a c t i o n a n d e x t e r na l pe rio d i c l o a d we r e c o n s i d e r e d Th e n， a r e fine d d y na mi c mo d e l o f r o l l e r c ha i n d rive wa s d e v e l o pe d b y KI M ，e t a l ，t h e c o l l i s i o n s a n d r e b o u n d s o f t he e n g a g i n g r ol l e r we r e s t u d i e d Th e a u t h o r s c a n b e f o un d e x t e ns i v e l y i n ne a r l y a l l me c ha n i c a l a bo v e a l l u s e d the s i mpl i fie d mo d e l a n d h a ve s t ud i e d a e n g i n e e ri n g a r e a s T h e ma j o r a d v a n t a g e s o f c h a i n d r i v e s a r e t h e fle x i bi l i t y i n s e l e c t i n g s h a ft c e n t e r ,t h e a b i l i ty t o d r i ve m o r e t h a n o ne s ha ft t h e h i g h r e l i a b i l i ty a n d d u r a b i l i ty Ho we v e r , t h e a p pl i c a t i o n o f c h a i n d r i ve s i n t r o d u c e s p r o bl e ms s uc h a s n o i s e a n d vi b r a t i o n ，wh i c h mo t i v a t e d r e s e a r c he r s t o i n v e s t i g a t e t l 1 e d y n a mi c b e h a v i o r o f t h e m fo r v a r i o u s e n g i n e e rin g p u r po s e s Fo r a c o mp r e h e n s i v e r e v i e w o n t h i s s u b j e c t ， t h e r e a d e r i s r e f e r r e d t o WA NG e t a l t Fo r r e c e n t wo r k ，VEI KOS ，e t a l 【 。d e v i s e d a r e a l i s t i c a n a l yt i c a l p r o c e d u r e for t h e d y n a mi c a n a l y s i s o f r o l l e r c h a i n d r i v e s M a ny t e s t c a s e s h a d b e e n pe r f o r me d u s i n g t hi s p r o c e d u r e wi t h va r i o us t y pe s o f c h a i n s ，o p e r a t i n g a t d i r e n t s p e e d s ， s p r o c k e t r a t i o s a n d l o a d s CHOI ， e t a l 4 d e v e l o p e d a mo d e l b a s e d o n a x i a l l y mo v i n g ma t e r i a l t o s t u d y t r a n s v e r s e v i b r a t i o n o f r o l l e r c h a i n d r i v e s Th e c h a i n s p a n wa s a p p r o xi ma t e d a s r i g i d ba r a t l o w s pe e d s a nd e l a s t i c b a r a t m o d e r ate o r h i g h s pe e ds I n t hi s mo d e l ， t he Co r r e s p o n d i n g a u t h o r E - ma il ： y a n g y u h u t j u 。 e d u 。 c n T h i s p r o j e c t i s s u p p o r t e d b y Na t i o n a l Na t u r a l S c i e n c e F o u n d a t i o n o f C h i n a( G r a n t No 5 0 6 0 5 0 6 0 ) ， a n d T i i n Mu n i c i p a l S c i e n c e F o u n d a t i o n o f C h i n a( Gr a n t No 0 6 YF J MJ C 0 3 3 0 0 ) s p r o c k e t a n d t he t i g h t s i d e o f t h e c ha i n d r i v e W h e l l the e mp h a s i s i s o n t he s y s t e m s g l o b a 1 vi b r a t i o n a n d d yn a mi c b e h a vi o r , a c o mp l e t e c h a i n 仃a ns mi s s i o n wh i c h r e ga r ds t h e c ha i n s pa ns a s t wo a x i a l l y mo v i n g s t r i n g s wi m t h e i r e n d s fix e d t o t wo rig i d s p r o c k e t s wa s d e v e l o pe d b y W ANG【 o J I n the s u bs e q u e n t wo r k LI U。e t a l 【 i nt e g r a t e d t h e l o c a l me s h i n g p h e n o me n a wi t h t h e g l o ba l c h a i n s p r o c k e t s y s t e m d yn a mi c b e h a v i o r I n o r d e r t o an a l y z e t h e d i s c r e t e n a t u r e o f t he c h a i n s pan s i n g l o b a l c ha i ns p r o c ke t s ys t e m，t he c ha i n s t r a n d wa s mo d e l e d a s a s e rie s o f i n d i v i d u a l l u mp e d ma s s c o n n e c t e d t o ge the r by ma s s l e s s s p r i n g s d a mp e r l Th e fi r s t t o us e t h e c o mp l e t e g e o me t r y wi t h a d y n a mi c mo d e l for d e t e r mi n i n g t h e l o a d d i s t r i b ut i o ns a l o ng t h e s pr o c k e t s a nd t h e f o r c e s a l o n g the c h a i n wa s TROEDS SON， e t a l t jI n t h e mo d e 1 t h e c h a i n t r a ns mi s s i o n wa s d i v i d e d i n t o f o u r s e p a r a t e p a r t s ： t h e t i g h t s p a n， s l a c k s pa n ，d r i v i n g s p r o c ke t a nd d r i v e n s p r o c k e t ， an d e a c h pa r t wa s mo de l e d a n d a n a l y z e d s e p a r a t e l y Be c a u s e t he c o mp a t i b i l i t y b e t we e n t he p a rts mu s t b e c o ns i d e r e d i n a c o mp l e t e mo d e l ， t h e bo u nd a r y c o n d i t i o n c h e c k i n g a nd s ol v i n g p r o c e d u r e a r e c o mp l i c a t e d A m o d e l o f a r o l l e r ： ! ： 竺 里 坐 ! 兰 ! ! 里 !e rCh a i n Dr i v e S y s t e m Con s i d e r i n g t h e Fl e x i bi l i t y o fI n p ut S h a f t c h a i n d riv e i n c l ud i n g t h e i mp a c t b e t we e n t he c h a i n a n d g u i d e b a r s wa s d e v e l o p e d b y PEDERS ENe t a l J J JI n t h e mo d e l ，a r e a l t o o t h p r o fil e i s r e p l a c e d b y a c i r c u l a r t o o t h p r o fil e a n d t h e c o n t a c t s b e t we e n r o l l e r s a nd s pr o c ke t t e e t h a r e d e t e c t e d by k i n e ma t i c c o ns t r a i n t s o f u s i n g u n i l a t e r a l c o ns t r a i n t me t h o d o l o g y F i n i t e e l e me n t t e c h n i q ue s a n d n u me r i c a l s i mu l a t i o n s o f tw a r e we r e u s e d b v ZHENGe t a l ， f o r p r e d i c t i n g t h e me s h i n g n o i s e d u e t o t h e i mp a c t o f c h a i n r o l l e r s a g a i n s t t h e s p r o c ke t o f c h a i n d r i v e s I n t h e mo d e l ， t h e c o mp l e t e s t a nd a r d g e o me t r y o f s p r o c k e t s a n d a l 1 c o mp o n e n t s o f c ha i n l i n k s we r e u s e d wi t h mi n o r g e o me t r y s i mpl i fic a t i o n T h e o b j e c t i v e i n t h i s s t u d y i s t o d e s c r i b e a n a u t o ma t e d g e n e r a l l y a p p l i c a b l e c o mp u t e r p r o c e d u r e t o wa r d s p r e d i c t i ve d e s i g n a n d a n a l y s i s o f t h e c o mp l e t e r o l l e r c ha i n d r i v e s u n de r d y n a mi c c o n d i t i o n s A ma t h e ma t i c a l mo de l i s d e ve l o pe d a n d t he n o n l i n e a r e q u a t i o n s o f mo ve me n t a r e d e r i v e d f r o 而 u s i n g L a g r a n g e e q u a t i o n s T h e e f f e c t o f t h e fle x i bi l i t y o f i n p u t s ha ft o n d yn a mi c r e s p o n s e o f t he c h a i n s y s t e m i s t a ke n i n t o a c c o u nt a s we l l a s t h e e l a s t i c d e f o r ma t i o n i n t h e c h a i n t h e i ne r t i a l for c e s t h e g r a v i t y a n d t h e t o r q ue o n d rive n s h a ft A r o l l e r s p r oc k e t t o o t h mo t i o n n e g l e c t e d ( 7 ) Al l p a r t s o f t h e mo d e l ， b o t h c h a i n a n d s p r o c k e t s a r e r e g a r d e d a s tw o d i me n s i o n a l bo d i e s a nd a l l va r i a t i o n s i n the d i r e c t i o n a l o n g t h e r o t a t i o n a x i s o f t h e s pr o c k e t s a r e n e g l e c t e d Fi g 1 s h o ws a mo d e l o f a t y p i c a l d r i vi ng s p r o c ke t wi th c h a i n l i nk s a r o u n d i t A c o o r d i n a t e s ys t e m i s d e fin e d i n t h e c e n t r e o f t h e dri v i n g s pr o c k e t Th i s i s t h e g l o b a l c o o r d i n a t e s ys t e m ， u s e d t o d e s c r i b e the g e o me t r y , wh e n c a l c ul a t i n g the po s i t i o n o f t h e r o l l e r s a n d t h e s pr o c ke t s Th e p o s i t i o n o f a n y l u mpe d ma s s p o i n t f c a n be e x p r e s s e d i n x a nd Yi d i r e c t i o n s Th e s t r e t c h i n g for c e s i n t h e t wo c o n ne c t i n g l i nk s a r e c a l l e d 一1 a n d Th e c o n t a c t f o r c e be tw e e n t h e s p r o c k e t a n d t h e r o l l e r i s c a l l e d a n d t h e g r a v i t a t i o n f o r c e i s mg I n e r t i a l f o r c e s i n t h e c ha i n o n e i n t h e r a d i a l d i r e c t i o n ： mR 1 a n d o n e i n t h e t a ng e n t i a l d i r e c t i o n t= mR。 l 1 ， a r e c o ns i d e r e d s i n c e t he r o tat i o n o f s pr o c ke t s i s n o t a t a ne a r l y c o n s t a n t a n g u l a r v e l o c i t y I n the s e f o r c e s t h e s t r e t c h i n g f o r c e s a n d t h e c o n tac t f o r c e c a n b e e x p r e s s e d a s t he s p r i n g - d a mp i n g f o r c e s Ad d i t i o n a l l y ,i t i s s u p p o s e d t h a t a l l t h e f o r c e s a c t a t ma s s c e n t e r I n t h e mo d e l ， t h e i n p u t s h a f t i s s i mp l i fie d a s a t o r s i o n s p rin g wi t h c o n s t a n t a nd c o n t a c t d e t e c t i o n a na l y s i s i s d e s c r i b e d i n d e t a i l i n t h i s t o r s i o n a l s t i f f ne s s a nd d a mp i n gTh e c o ns t a n t o r v a ria b l e s tud y Co mp a r e d wi t h t h e wo r k ma d e b y TR0EDS S0N e t a l 【 J wha t i s t h e s i mpl e s t n o di v i s i o n i s n e e d e d i n t h e c o mp l e t e c h a i n m o d e l a n d the bo u nd a r y c o nd i t i o n c h e c k i ng i s e a s Dy n a mi c s o f a n y r o l l e r c h a i n d r i v e wi t h t wo s p r o c k e t s a n d t wo s p a n s c a n b e a n a l y z e d b y t h e p r o c e d u r e ， i f t h r e e ne c e s s a r y p a r a me t e r s ，the c e n t e r d i s t a n c e 5 a nd t h e tw o i n i t i a l po s i t i o n a ng l e s o f t e e t h a n d 0 7 o n d r i vi n g a n d dri v e n s p r o c k e t s c o r r e s p o n di n g t o t h e fir s t s e a t i n g r o l l e r o n e a c h s i d e o f the t i g h t s p a n ，a r e g i v e n Fi na l l y ,a n u me r i c a l e x a mp l e i s g i ve n a n d t h e p r o c e d u r e d e v e l o p e d h e r e i s d e mo ns t r a t e d b y a n a l y z i n g t h e d y n a mi c be h a v i o r o f a t y p i c a l c h a i n d r i v e 。 2 Dy na mi c M o d e l - F o r p u r po s e s o f a n a l y s i s ， t h e c h a i n s tra n d wi l l b e a p p r o x i ma t e d a s a s e rie s o f p o i n t ma s s e s l u mpe d a t t h e r o l l e r c e n t e r s whi c h a r e c o nn e c t e d t o g e t h e r b y ma s s l e s s s p rin g s d a mpe r a s us e d i n t he o r e t i c a l wo r k s ”Fo r s i mp l i f y i n g c o mp l e x i ty o f t h e mo d e l ， the f o l l o wi n g a s s u mpt i o n s a r e ma d e i n t he d e riv a t i o n o f t h e c ha i n e q u a t i o n s o f mo t i o n ( 1 、 A1 1 t h e l i n k s h a v e e q u a l ma s s ， s t i f f n e s s a n d u n d e fo r me d p i t c h On e h a l f o f t h e t o t a l 1 i nk ma s s i s l u mp e d a t e a c h r o l l e r ( 2 、T he r o t a t i o na l i ne r t i a o f t he r o l l e r s a b o u t t h e i r c e n t e r o f g r a v i t y i s n e gl e c t e d ( 3 ) T h e c h a i n p i t c h i s e q u a l t o t h e s p r o c k e t p i t c h ( 4 、 Al l me c h a n i c a l c l e a r a n c e s a r e n e g l e c t e d ( 5 )A r e a l t o o t h p r o fi l e i s r e p l a c e d b y a c i r c u l a r t o o t h p r o fi l e t l l J ( 6 、 T h e f r i c t i o n b e t we e n t h e r o l l e r a n d t h e t o o t h fl a nk i n t h e p a r t o f t h e c h a i n i n c o n t a c t wi t h t h e s p r o c k e t i s s p e e ds bo u n d a ry c o n d i t i o n c a n b e i mp o s e d o n t h e r o t a t i o n a n g l e f o f i n p u t s ha ftW h e n t h e r o l l e r e n g a g e s i n t o t h e dri v e n s p r o c k e t ， i t s f o r c e c o nd i t i o n i s a l mos t t h e s a m e a s i t o n d r i v i n g s p r o c k e t A t o r q u e M i s i mp o s e d o n t h e d r i v e n s p r o c k e t s h a ft i n o r d e r t o s i mu l a t e t h e wo r ki n g l o a d mR。 1 ，c lg ， 一 一 ， ) F i g 1 M o d e l o f s p r o c k e t wi t h t h e c o n t a c t i n g c h a i n p a r t Fi g 1 s h o ws a s t a n d a r d g e o me t r y o f s p r o c k e t t o o t h wi t h t h r e e a r c s a nd o n e s t r a i g h t l i n e M o d e l i n g the f u 1 1 s p r o c ke t g e o me t r y a n d d e t e c t i ng t h e c o n t a c t b e tw e e n i t a n d r o l l e r i n mo v e me n t i s q u i t e d i ffi c ul t S oi n t h i s s t ud y a r e a l t oo t h pr o fil e i s r e p l a c e d b y a c i r c ul a r t o o t h p r o fil e a s u s e d i n t he wo r k t “Ja s s h o wn i n F i g2 Th e a d va n t a g e o f t h i s s i mp l i fic a t i o n i s t h a t t h e c o n t a c t s b e tw e e n r o l l e r s an d t e e th c a n be d e t e r mi n e d e a s i l y Th e r a d i us o f the c i r c u l a r t o o t h pr o fil e i s R+ a n d t h e r o l l e r r a d i us i s R ， y i e l d i n g a c l e a r a nc e o f AR = Rt R I n t h e e ng a g i n g p r o c e s s ， o n l y CHr NES E J OURNAL oF M ECHANI CAL ENGI NEEI UNG 3 6 9 o n e s i ng l e p o i n t a t t h e t o o t h s u r f a c e c a n s i mu l t a n e o us l y b e i n c o n t a c t wi t ht h e s a me r o l l e r ( a ) Re a l t o o t h p r o fi l e ( b ) Ci r c u l a r t o o th p r o fi l e F i g 2 S i mp l i fic a t i o n o f t h e t o o t h p r o fi l e Th e c h a i n s pa n i s fina l l y mo d e l e d a s a s e r i e s o f ma s s p o i nt s c o n ne c t e d wi t h ma s s l e s s s p r i n g e l e me nt s a s s h o wn i n Fi g 3 Bo t h o f t he v i b r a t i o n s i n a n d y d i r e c t i o n s c a n be r e fle c t e d b y t he mo d e 1 Th e l i n ks i n b o t h the t i g h t a n d the s l a c k s p a ns s u ffe r t h e e 佰： c t o f g r a v i t y I n t h e m o ve me n t the e n g a g e me n t a n d d i s e n ga g e me n t ph e n o me no n be t we e n r o l l e r s an d s p r o c ke t t e e t h wi l l o c c ur p e rio d i c a l l y Th e c o n t a c t d e t e c t i o n b e t we e n t he m wi l l b e s p e c i fie d i n n e x t pa r t ： mo t i o n a nd c o n t a c t d e t e c t i o n an a l ys i s F i g 3 M o d e l o f the c h a i n s p a n 3 M o t i o n a nd Co nt a c t De t e c t i o n Ana l y s i s An e x a mp l e o f a g e n e r a l c h a i n t r a n s mi s s i o n i s s h o wn i n Fi g 4 I t r e p r e s e nt s t h e s i mp l e s t k i n d o f tra n s mi s s i o n s i n c e i t o nl y i n c l u d e s t wo s p r o c k e t s a n d o n e c h a i n On e s p r o c k e t i s d rivi n g， t h e o t h e r o n e i s d riv e n a n d t h e c ha i n t r a n s mi t s t h e p o we r b e tw e e n t h e m Th e t wo s p r o c ke t c e n t e r s a r e a s s u me d t o b e l o c a t e d a t t h e s a me he i g h t wi t h t h e g r a v i t a t i o n a l f o r c e a c t i n g i n t h e ne g a t i v e v d i r e c t i o n 辨 N- 1 )r N r l r 2 r 3 l l g n t s l a e -x i 鼍。 i i d eA 一 ： s p r o c k e 一f ： ， s l a c k s 囝 一 F i g 4 Co mp l e t e c h a i n t r a n s mi s s i o n i n g l o b a l c o o r d i n a t e s y s t e m To d e s c r i b e t h e mo d e l a f e w p a r a me t e r s h a ve t o b e d e fin e d As s h o wn i n Fi g 4 ，t h e r e a r e N l i nk s i n t h e c h a i n Th e fir s t l i n k s e a t e d o n t h e d r i vi n g s p r o c k e t t o o t h wi l l be i nd e x e d 订 ， a l o n g t h e a r r o w p o i n t i ng d i r e c t i o nt h e n u mb e r i nc r e a s e I t i s a s s u me d t ha t t he fi r s t l i nk s e a t e d o n t he d r i v e n s p r o c k e t t o o t h wi l l b e i nd e x e d r p，a n d t h e l a s t o n e i n the e h a i n i s i n d e x e d r N ( 1 p ) T h e i n i t i a l p o s i t i o n an g l e s o f t e e t h me s he d wi t h r o l l e r r 1 a n d r p o n d r i vi ng an d d rive n s p r o c k e t s a r e d e fin e d a n d r e s p e c t i v e l y I n t he a n t i c l o c k wi s e r o t a t i o n o f d r i vi n g s p r o c k e t t h e po s i t i o n an g l e s o f s p r o c k e t t e e th c o rre s po n d i ng t o r o l l e r r l a n d r p c a nbe e x p r e s s e da s f o l l o ws ： = + ， 0p l= 0 2+ 2 ， ( 1 ) ( 2 ) whe r e 1 an d 2 a r e t h e r o t a t i o n a l a n g l e o f d r i vi n g a n d d riv e n s p r o c k e t s ，r e s pe c t i v e l y The n ，the p o s i t i o n a n g l e s o f t h e c o rre c t s e a t i n g t e e th c o rre s po n d i ng t o r o l l e r订 o n d r i v i n g a n d d r i v e n s p r o c ke t s c an b e d e riv e d f r o m = + 一 =O 2+ 2+ 0 1 ) x 3 6 0 。 ( pf ) 3 6 0 。 Z2 ( 3 ) ( 4 ) wh e r e z l a n d z 2 are n u mb e r s o f t e e t h o f d r i v i n g an d d r i ve n s p r o c k e t s ， r e s p e c t i v e l y I n t h e mo ve me n t ， the d e v i a t i o n o f r o l l e r r i f r o m t h e i r c o r r e c t s e a t i n g p o s i t i o ns o n d r i vi n g a n d d r i v e n s pr o c ke t s d e n ot e d b y s f an d p f a r e e x p r e s s e d a s f o l l o ws ： 。 f= R。 f 一 ， p f= Rp f一 ， wh i c h c an b ewr i t t e n a s s f = p f R 1 c o s 一 Rs 1 s i n f Yf ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) ( 8 ) wh e r e R。 1 ，Rs 2 a r e t he p i t c h r a d i us f o r t h e d r i v i n g a n d d r i v e n s p r o c k e t s ； i s t h e c e n t e r d i s t a n c e b e tw e e n t he t wo s p r o c k e t s W h e n t h e c o n t a c t ha p p e ns ， tw o k i ne ma t i c c o n s t r a i n t s a r e r e q u i r e d t o me e t Fo r t h e c o n t a c t b e tw e e n r o l l e r r i a nd t h e c o rre c t s e a t i n g t o o th o n d riv i n g s p r o c k e t， t h e c o n s t r a i nt i s ( 9 ) Fo r t h e c o nt a c t b e tw e e n r o l l e r r i a n d i t s c o r r e c t s e a t i n g t o o t h o n d r i v e n s p r o c k e t ， t h e c o ns t r a i n t i s 量 = R ， 【 ： ! ： 坚 ! 璺 里 竺 ! ! 苎 ! ! 垦 ! ! ! 里 ! S y s te m C o n s id e r in g th e F le x ib i lity 。 f In p u t S h R Rt R ， ( 1 0 ) f k ( y H R。 2 Ge ne r a l l y ,t he n u mbe r o f l i n ks i n t h e c h a i n i s n o t a n i n t e g r a l mu l t i p l e o f t he n umbe r o f s p r o c k e t t e e t hTh e r e f o r e ， wh e n t h e c h a i n l i nk r l e n g a g e s i n t o t h e d r i v i n g s p r o c k e t a g a i n，t h e s e a t i n g t oo t h i S n o t t h e p r e v i o u s o ne At t hi s po i n t ，i n o r d e r t o k e e p t he c o r r e c t me s h i n g e ffe c t s ，t h e ki ne ma t i c c o ns t r a i nt s b e t we e n r o l l e r s a n d s p r o c ke t t e e t h ne e d t o be r e d e fin e d W i t h t h e s a me c a s e whe n t h e c ha i n l i n k r p e n g a g e s i n t o t h e d riv e n s p r o c k e t a g a i n， t h e k i ne ma t i c c o ns t r a i n ts b e t we e n r o l l e r s a n d s p r o c ke t t e e t h a l s o n e e d t o b e r e de fin e d 4 De r i v a tio n o f Equa tio n s o f M o t i o n k ( y f 卜 h i k ( 。 1 s i n 0 s f Y f ) Rt R ( R l c o s 0 s f X i ) +( 。 1 s i n 0 s f Y i ) q i k 。 ( 。 2 s i n 0 p f Y i ) Rt R + The e q u 砒i 。 。 f m。 i 。 n酊e d e r V e d m u s i n g c ( j 2 i _ 1 - f ) +c ( 一 川) 一 c 。 f b l R 。 1 s i n ( +9 0L a g r a n 。 ) 一g e e q u a t i o n s a s z ， 、 l I 十 l I C S l 一 S 。 ， d I_ + + ： Q i ) a 口f J a g f g a 口 The d e r i v a t i o n o f t h e k i n e t i c e ne r g y , d e f o r ma t i o n e ne r g y , d i s s i p a t i o n f un c t i o n a n d g e n e r a l i z e d f o r c e o f t h e s ys t e m a r e s ho wn i n Ap pe n d i x Th e n t h e a p pl i c a t i o n o f La g r a n g e e q u a t i o n s l e a ds t o 2 Jv+2 e q ua t i o n s o f m o t i o n Th e e q u a t i o n s o f l i nk s i n X a ndy d i r e c t i o n s a r e l i s t e d a s f o l l o ws ： m 2 f k ( x f一 1 一 X i ) L 1 k ( x f X i + 1 ) 11 ( 一 l X i ) + ( 一 Y i ) h i k c ( 1 c o s 0 s 一X f ) Rt R ( 1 c O S 0 s f X i ) +( 1 s i n 0 s f q i k 。 ( +R 2 c o s 0 p f f ) Rt R + f 一 q i c 。 。 2 s i n ( O p f +9 0 。 ) 一 f + g=Q s +Q p ( 1 3 ) Th e e q u a t i o n s o f mo t i o n o f d r i v i n g a n d d r i v e n s p r o c k e t s a r e a s f o l l o ws ： X f ) s i n f 十 R s 1 ( R s 1 s i n 0 s f Y f ) c o s 0 s f I x Rt R ( l c o s 0 s 一X i ) +( R 1 s i n 0 s f Y i ) + v 一 R R c o s ( 0 s + 9 0 。 ) 一 毫 i = l s i n ( 0 s f +9 0 。 ) + l R 。 1 AR l s i n ( 0 s f +9 0 。 ) 一 c o s ( 0 +9 0 。 ) 一 -rp 1 ) 一c 一 ) =0 ， ( 1 4 ) 2 2+ g f k o 一 R 。2 ( fi + R 。 2 c O S 0 p f f ) s i n 0 p f + i =1 R 2 ( 2 s i n O p Y i ) c o s O p f I x Rt ( b 2 R 2 2 R 2 c o s ( 0 f +9 0 。 ) 一毫I x + c ( X i _ l -X i ) +c ( X i -2 i + 1 卜 c c 1 R s l c o s f +9 0 。 ) 一 s i f + 9 0 o ) ： n ( ”9 o o f 毫卜g fc c 【 s2 c 。 ( +9 0 。 ) 一 戈 f = “ +Q p r 】 2 、 c 。 s ( p i +9 0 o ) ： ( 1 5 ) r 1 2 1 。 ， J J S O C R 一 + =： 厂 C g CHI NES E J OURNAL 0F M ECHANI CAL ENGI NEERI NG 3 71 W h e r e，i s t h e u n d e f o r me d c h a i n l i n k pi t c h ； k a n d c a r e t he l o n g i t u d i n a l t e ns i l e s t i f f ne s s o f a c ha i n l i n k a n d the d a mp i n g i n t h e l i n k r e s p e c t i v e l y； k 。 a n d c a r e t h e c o n t a c t s t i ffn e s s a n d c o n t a c t d a mp i n g r e s pe c t i v e l yI n t he e q u a t i o n s ，i = 1 ， 2， ， a n d i t s ho u l d b e pa y a t t e n t i o n t h a t x 0： ，Y0= Ywhe n i =1 Th e Ru ng e Kut t a 。 F e h l ma n ( RKF 1 me t h o d i s u s e d f o r t h e r e s o l u t i o n o f e q u a t i o n s o f mo t i o n Th e n u me r i c a l me t ho d u s e s a v a r i a b l e s t e p 1 e n g t h a l g o r i t h m t o find t he s o l u t i o n f o r a g i ve n o r d i na r y d i f f e r e n t i a 1 e q u a t i o n The c o n t a c t s be t we e n r o l l e r s a n d s p r o c k e t s t he n h a v e t o b e c a l c u l a t e d for e v e r y t i me s t e P Wi t h o u t c o n c a c t ( d o n o t me e t t h e r e q u i r e me n t o f E q s ( 9 )o r( 1 0 ) ) ，h o r q = 0 a n d wi t h c o n t a c t ( me e t t h e r e q u i r e me n t o f f o r mu l a s 9 o r 1 0 ) ，h o r q =1 5 Ca l c u l a t i o n o f t h e Equ i va l e nt Co nt a c t St i f f ne s $ Fo r g e t t i n g a n a c c u r a t e s i mu l a t i o n r e s u l t s ，t h e e q u i v a l e n t c o n t a c t s t i f f n e s s mus t be gi ve n r e a s o n a b l y As s h o wn i n Fi g 5 s i n c e a 1 i nk i s a n a s s e mbl y o f s e v e r a l c o mp o n e n t s t h e c o n t a c t e f f e c t c a n b e d e s c r i b e d a s a p i n - b us h r o l l e r a s s e mbl y c o n t a c t wi t h t h e t o o t h s u r f a c e Th e e q u i v a l e n t c o n t a c t s t i f f ne s s c a n b e s e e n a s a s e r i e s c o n n e c t i o n o f t h e t h r e e c o n t a c t s t i f f n e s s Th e y a r e t he c o n t a c t b e t we e n p i n a n d b u s h( k D b ) ， c o n t a c t b e t w e e n b u s h a n d r o l l e r ( 后 b ) a n d c o n t a c t b e t we e n r o l l e r a n d t o o 也 s u r f a c e( 露 ) T h e c o n t a c t b e e e n e a c h o t he r c a n b e r e g a r d e d a s t h e c o n t a c t b e t we e n t h e p a r a l l e l c y l i n d e r a n d t he c o n c a v e c y l i n d r i c a 1 s u r f a c e u n d e r t he l o a d c o n d i t i o n Ac c o r d i ng t o t h e He r t z c o n t a c t t h e o r y u s e d i n t h e R e 1 3 ， t h e c o n t a c t s t i f f n e s s b e t we e n e a c h o t h e r c a n be d e t e r mi n e d Th e n t h e e q u i v a l e n t c o n t a c t s t i f f h e s s k c a n b e g i v e n by 1 1 1 1 + + ( 1 6 ) F i g 5 Co n t a c t b e t we e n p i n b u s h r o l l e r a s s e mb l y a n d s p r o c k e t t o o t h 6 Ca l c u l a t i o n o f t h e Lo n g i t u di na l Te n s i l e St i f f n e s s o f a Ch a i n Li n k I n t he l o ng i t u d i n a l d i r e c t i o n o f t he c h a i n ， o nl y t h e e l a s t i c d e f o r ma t i o n o f t h e l i n k pl a t e s i s c o n s i d e r e dTh e fin i t e e l e me n t me t h o d wa s u s e d t o c a l c u l a t e t h e s t i f f n e s s i n t h e l i nk i n the s t ud y I n t h i s wo r k a c o mpa r a t i ve l y a c c u r a t e e x p e r i me n t a l me t h o d i s us e d t o c a l c u l a t e t h e l o n g i t u d i n a l t e n s i l e s t i f f n e s s o f a l i n kFi g 6 s h o ws t h e e x pe r i me n t a l a p pa r a t u s a n d t e s t i n g r e s u l t By d r a wi n g t h e c h a i n，t h e e l o n g a t i o n of a l i n k p l a t e i s me a s u r e d b y a d e f o rm a t i o n s e n s o r Th e s t i f r n e s s k c a n b e c a l c u l a t e d b y t h e r e l a t i o n s h i p b e t we e n f o r c e a n d d e f o r m a t i o n A c h a i n i s n o r ma l l y ma d e b y t wo k i nd s of 1 i n k p a i r wh i c h i s o n e o ut e r p a i r a n d o n e i n n e r p a i r Th e o ut e r p a i r i s n o rm a l l y s ma l l e r t ha n t h e i n ne r p a i r Th e s t i f h e s s for o n e o u t e r a n d o n e i n ne r wa s t e s t e d a nd t h e me a n v a l u e wa s t h e n u s e d i n t h e mo d e 1 Z 菪 ( a ) E x p e r i me n t a l a p p a r a t u s De f o r ma t i o n L mm ( b ) T e s t i n g r e s u l t Fi g 6 St i ffne s s c a l c ul a t i o n f o r a c h a i n l i n k 7 Nume r i c a l Exa mpl e A r o l l e r c h a i n d rive s ys t e m，wh i c h h a s t h e n u mbe r o f c ha i n l i n ks N=40 ， s p r oc k e t t e e t h z =2 0 a n d z ，=1 0 wa s t a k e n a 8 a n e x a mp l e 【 He r e t h e s t ud i e d c h a i n d rive s ys t e m h a s t h e nu mbe r o f c h a i n l i n ks N=4 6，t h e s p r o c k e t t e e t h z =2 5 a n d z ，=1 7 ，t h e c e n t e r d i s t a n c e = 1 9 77 mm f s e e F i g 4 1 T h e s p r o c k e t s a n d t h e c h a i n 1 i n k s h a v e t h e s a m e p i t c h l 5 87 5 mi l 1 Co mp a r e d wi t h t h e 2 0 1 0 s p r o c ke t t e e t h mo d e l ， t he a d v a n t a ge o f t h i s n u me r i c a l e x a mp l e i s t ha t i t me e t s t he r e q ui r e me n t o f t h e s ma l l e s t t o o t h n u mbe r o f t h e s ma l l s p r o c k e t u n d e r t h e c o nd i t i o n o f p i t c h， = 1 5 8 7 5 mm a c c o r d i ng t o t h e e n g i n e e r i n g 。3 72XU Lixi n，e t a l ： Dy na mi c M o d e l i n g o fa Ro l l e r Ch a i n Dr i v e S y s t e m Co n s i d e r i n g t h e Fl e xibi l i t y of I n p u t S h a ft a p p l i c a t i o n b a c k g r o u n d Th e e x a mp l e c a n b e a b l e t o r e fle c t t h e g e n e r a l c h a r a c t e r i s t i e s o f a r o l l e r c h a i n d r i v e Th e t o r s i o n a l s t i f f n e s s f o r i n p u t s h a ft 疋 =1 2 l m r a d - t h e ma s s o f a c h a i n l i n k i n c l ud i n g o n e r o l l e r m=0 0 1 6 2 kg t he e q u i va l e n t c o n t a c t s t i f f n e s s i s 8 4 6 k N mma me a n v a l u e o f t h e l o n g i t u d i n a l t e n s i l e s t i f f n e s s o f a c h a i n l i nk i s 5 l k N mm t h e mo me n t s of i n e r t i a for t h e d r i vi n g a n d d r i v e n s pr o c ke t s I 1 =4 01 0 8 k g 1 T l n l a n d 1 2 - - 9 3 3 k g mm a n d t he t o r q u e M o n d r i v e n s h a ft i s 4 3 2 k N mm An a c c u r a t e c a l c u l a t i o n o f d a mp i ng i s q ui t e d i ffi c ul t Ho we ve r d a mp i n g mus t b e i n t r o d u c e d t o p r o d u c e a s t a b l e s o l u t i o nI n t h e nu me r i c a l e x a mpl e t h e d a mp i n g i n t h e c h a i n i s 1 0 0 N sm- I n s i mu l a t i o nt h e s p e e d o f i n p u t s h a ft i s 1 2 0 r mi n T h e a n g u l a r v e l o c i t y o f i n p u t s h a f t s t a r t s a t z e r o a f t e r 0 O 5 s i t r e a c h e s 1 2 0 r mi n T h e n t h e i n i t i a l v e l o c i t i e s o f c h a i n l i n ks a nd t h e i n i t i a l a n g u l a r ve l o c i t i e s o f d riv i n g a n d d riv e n s p r o c k e t s c a n b e t a k e n z e r o Fi g 7 s h o ws the t e ns i o n f o r c e i n c h a i n s pa n s o n e i n t he t i g ht s p an a n d o ne i n t h e s l a c k s p a n I t c a n be f o u n d t h a t t he t i g h t s p a n b e a r s a l a g e r l o a d Be f o r e t he l i nk e n g a g e s i n t o t h e d r i vi n g s pr o c k e t ，t h e ma g n i t ud e o f t h e t e n s i o n f o r c e r e a c h e s t h e ma x i mu m v a l u e a nd i t s fl uc tua t i o n i s a l s o s e r i O U S Thi s i s c a u s e d b y t h e f a c t t h a t d u e t o t he p o l y g o n a c t i o n a n d t he i mpa c t b e t we e n r o l l e r a n d t o o t h t h e fo r c e i n t h e c o n ne c t i n g l i nk a t t h e t i g h t s p a n o n t h e dri vi ng s p r o c k e t i n c r e a s e s Th i s s i mu l a t i o n r e s ul t i s i n a grc e me n t wi t h t he r e s u l t ma d e b y TR0EDSS ON e t a l 【 | 歪 。 2 盆 重 兽 M o v i n gt i me t s F i g 7 T e n s i o n f o r c e i n c h a i n s p a n s Fi g 8 s h o ws t h e v i b r a t i o n o f a c ha i n 1 i nk i n t i g h t s p a n i n a n d d i r e c t i o n s ，r e s pe c t i v e l yTh e l i nk e n g a g e s o u t t h e d r i v e n s p r o c k e t a n d mo v e s t o wa r d t h e dri v i n g s p r o c k e t I n t h i s mo v e me n t i t i s i n t e r e s t i ng t o n o t i c e t h a t mo s t o f t h e v i b r a t i o n c o me s f r o m the i mp a c t wh e n a r o l l e r c o me s i n to c o n t a c t wi t h t h e d r i v i n g s p r o c k e t F i g 9 s ho ws the v i br a t i o n o f a c ha i n l i n k i n s l a c k s pa n i n x a nd Y d i r e c t i o ns r e s p e c t i v e l y Th e l i nk e n g a g e s o u t t h e d riv i n g s pr o c k e t a n d mo ve s t o wa r d t h e d ri ve n s p r o c k e t Co mp a r e d wi t h t he vi b r a t i o n o f t he l i nk i n t i g h t s p a n， i t i s o b s e r v e d t ha t t he vi b r a t i o n o f s l a c k s p l a l l i s r e l a t i v e l y s m a l l ： I n t h e s l a c k s p a nwh e n t h e 1 i nk a p p r o a c h e s t h e d riv e n s p r o c k e t ， the vi b r a t i o n s t r e ng th e n s g r a d ua l l y Mo v i n gt i me t s F i g 8 Vi b r a t i o n o f a c h a i n l i n k i n t i g h t s p a n M o v i n g t i me t l s Fi g 9 Vi b r a t i o n o f a c h a i n l i nk i n s l a c k s p a n Th e t o r s i o n a l v i b r a t i o n o f t h e d r i v i n g a n d d riv e n s p r o c k e t s i s s h o wn i n Fi g 1 0i n c l u d i n g t h e t i me d o ma i n v i b r a t i o n r e s p o n s e a n d t he i r f r e q u e n c y a n a l ys i s I t i s o bs e r v e d t h a t t h e f u nd a me n t a l f r e q u e n c y o f e x c i t a t i o n i s t h e me s hi n g f r e q u e nc y 5 0 Hz I n a d di t i o n t o t h e b a s i c f r e q u e n c y h a r mo ni c c o mp o n e n t s s t i l 1 e x i s t I n t h e s i mu l a t i o n i t i s f o u n d t h a t t h e t o r s i o na l v i b r a t i o n o f d r i v i n g s p r o c k e t i s r e l a t i v e l y 1 a r g e r t h a n t h a t o f d r i v e n s pr o c k e t Th i s i s c a u s e d b y t he f a c t t h a t t h e i n p ut s h a f t i s no t rig i d a n d t h e dri v i n g s p r o c k e t b e a r s t h e i mp a c t a n d l a r g e r t e n s i o n f o r c e i n t i g h t s p a n W i t h t h e i n c r e a s e o f t o r s i o n a l s t i f f n e s s o f i n D ut s h a ft，the v i b r a t i o n o f d rivi n g s p r o c k e t wi l l b e we a k e n e d 8 Co nc l us i o n s r 1 1 A d y n a mi c mo d e l o f a c o mp l e t e r o l l e r c h a i n d riv e s ys t e m c o n s i d e r i n g t h e fle x i b i l i t y o f i n p ut s h a ft i s d e ve l o p e dDy na mi c s o f a n y r o l l e r c h a i n d r i v e wi t h tw o s p r o c k e t s a nd t wo s p a ns c a n b e a n a l y z e d b y t h e p r o c e d u r e i f t h e c e n t e r d i s t a n c e a n d t he i n i t i a l po s i t i o n a n g l e s o f t e e t h o n d r i v i n g a n d d r i v e n s p r o c k e t s c o r r e s p o n d i n g t o t h e fir s t s e a t i n g r o l l e r o n e a c h s i d e o f t h e t i g h t s pa n a r e g i v e n r 2 、Th e mo s t v i br a t i o n s o f the c ha i n s pa n s ， the i nc r e a s e d t e ns i o n for c e i n t i g h t s p a n a nd i t s fluc tua t i o n a r e ma i nl y c a u s e d b y the me s h i ng i mpa c t be tw e e n r o l l e r a nd s p r o c k e t g ) 0 一 J 。 一 Q 譬 0 一 J q 【 A _ S g一 0一 矗一 0 0 譬 I 1 0 一 J q 一 CHI NES E J OURNAL OF M E CHANI CAL E NG rI NEE R1 NG 3 7 3 t o o t h r 3 1 e n t h e fle xi b i l i t y o f t he i n p ut s ha f t i s t a k e n i n t o a c c o u n t ，t h e e f f e c t of me s h i ng i mp a c t o n t h e vi b r a t i o n o f d r i v i n g s p r o c k e t i s g r e a t e r t h a n i t o n t he vi b r a t i o n o f d r i v e n s p r o c k e t W i t h t h e i n c r e a s e o f t o r s i o n a l s t i f f n e s s o f i n p u t s ha ft， t h e v i b r a t i o n o f dri v i n g s p r o c k e t wi l l b e we a ke n e d 4 萼 2 堇 毽 C 景 0 立 8 等 量 2 4 七 毽 g 董 8 葛 j 【 6 】 7 8 】 9 】 【 1 O 1 2 0 2 O 02 5 03 0 0 3 5 0 4 O 0 4 5 0 5 0 R o t a t i o n a 1 t ime s I 3 】 ( a ) T i me d o ma i n r e s p o n s e 3 0 0 2 0 0 l O O 一 一 L L 从 0 l O O 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 F r e q u e n c y。t T I z ( b ) F r e q u e n c y d o ma i n a n a l y s i s F i g 1 0 Vi b r a t i o n o f d r i v i n g a n d d r i v e n s p r o c k e t s Re f e r e n c e s 【 1 】 WANG K M， L I U S P On t h e n o i s e a n d v i b r a t i o n o f c h a i n d r iv e s y s t e ms J S h o c ka n d V i b r a t i o n Di g e s t , 1 9 9 1 ， 2 3 ( 4 ) ： 8 1 3 2 】 VE I KOS N M， F R E UDE NS T E I N F O n t h e d y n a mi c a n a l y s i s o f r o l l e r c h a i n d r i v e s ：p a r t 1 - t h e o r y C P r o c e e d i n g s o f t h e 2 2 n d Bi e n n ia l Me c h a n i s ms C o n f e r e n c e S c o t t s d a l e ， A Z， US A， S e p t e mb e r 1 3 1 6 1 9 92 ： 431 - 43 9 3 】 VE I K os N M， F R E uD E NS T EI N F O n t h e d y n a mi c a n a l y s i s o f r o l l e r c h a i n d r i v e s ： p a r t I I c a s e s tu d y C P r o c e e d i n g s o f t h e 2 2 n d B i e n n i a l Me c h a n is ms C o n f e r e n c e , S c o t t s d a l e ， AZ ， US A S e p t e mb e r 1 3 -1 6 1 9 9 2： 4 41 14 5 0 4 C HOI W， J 0 HNS ON G E Vi b r a t i o n o f r o l l e r c h a i n dri v e s a t l o w， me d i u m a n d h i g h o p e r a t i n g s p e e d s C P r o c e e d i n g s of t h e 1 4 t h B i e n n i a l AS ME C o n f e r e n c e o n V i b r a t i o n a n d No i s e , Al b u q u e r q u e ， NM ， US A， S e p t e mb e r l 9 2 2 1 9 9 3： 2 4O 5 KI M M S ， J O H NS ON G E Ge n e r a l ， mu l t i - b o d y d y n a mi c mo d e l t o p r e d i c t t h e b e h a v i o r o f r o l l e r c h a i n d r i ve s a t mo d e r a t e a n d h i g h s p e e d s C P r o c e e d i n g s o f t h e 1 4 t h B i e n n i a l C o n f e r e n c e o n M e c h a ni c a l 6 r a t i o n a nd No i s e , Al b uq ue r q u e 。 NM U S A S e p t e m b e r 1 9 2 2 1 9 9 3 ： 2 47 46 8 W ANG K W On t h e s t a b i l i t y o f c h a i n d riv e s y s t e ms u n d e r p e r i o d i c s p r o c k e t o s c i l l a t i o n s J J o u r n a l of V i b r a t i o n a n d Ac o u s t i c s ，1 9 9 2 ， l 1 4 ( 1 1 ： 1 1 9 1 2 6 LI U S P ， W AN G K W ， HAYEK S I ， e t a I A g l o b a l l o c a l i n t e g r a t e d s t u d y o f r o l l e r c h a i n me s h i n g d y n a mi c s J 1 J o u r n a l of S o u n d a n d V i b r a t i o n ， 1 9 9 7 ， 2 0 3 ( 1 ) ： 4 1 6 2 T ROEDS S ON I VEDM AR LA me t h o d t o de t e r mi n e t h e s t a t i c l o a d d i s t r i b u t i o n i n a c h a i n d ri v e J J o u r n a l o fMe c h a n i c a l De s n ， 1