（固体力学专业论文）埋置基础的固结分析.pdf

武汉理工大学硕士学位论文 中文摘要 本文用有限元法分析了有限饱和土层中条形和圆形埋置基础的固结沉降特 性。根据分析结果，提出了归一化无量纲时间，并给出了计算圆形和条形埋置 基础固结度的计算图表。这些图表为工程师进行基础设计和地基沉降预测提供 了便捷准确的计算方法。 固结度u 的计算通常采用太沙基一维固结理论或比奥耦合固结理论。已有 的现场监测结果表明太沙基一维固结理论只有在地基土层相对较薄的情况下才 适用。而比奥固结理论由于既考虑了超孔隙水压力的水平向耗散，也考虑了土 骨架变形与超孔隙水压力耗散之间的耦合作用，能给出更准确的结果。然而， 由于方程的复杂性，比奥固结方程的解析解极少。即使随着现代数值方法的快 速发展，目前也只有几种特殊情况才能得到预测固结沉降速率的图表解。据作 者所知，目前还没有计算埋置基础沉降固结度的图表。这显然不利于应用比奥 固结理论解决实际的基础工程问题。 本文基于比奥耦合固结理论( b i o t sc o u p l e dc o n s o l i d a t i o nt h e o r y ) ，用有限 元方法研究了有限饱和土层中条形和圆形埋置基础的固结沉降特性。计算所用 的程序是大型商用有限元软件a b a q u s 。仔细分析了影响固结度的三个参数： ( 1 ) 基础埋深与土层厚度的比值；( 2 ) 土层厚度与基础宽度的比值；( 3 ) 土骨架的 泊松比。根据分析结果，提出了归一化无量纲时间，并给出了计算圆形和条形 埋置基础固结度的计算图表。矩形埋置基础可以通过面积等效转化为圆形埋置 基础，然后查阅本文的计算图表。运用文中图表计算固结度的最大误差不超过 3 。这些图表为基础设计提供了便捷准确的计算方法。 关键字：固结，埋置基础，计算图表，有限元法，耦合分析 武汉理工大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h ed e g r e eo fc o n s o l i d a t i o ns e t t l e m e n tui su s u a l l yc a l c u l a t e de i t h e rb yt h e o r d i n a r yt e r z a g h io n e d i m e n s i o n a lc o n s o l i d a t i o nt h e o r yo rb yt h eb i o t sc o u p l e d t h e o r yo fc o n s o l i d a t i o n t h eb i o t st h e o r yo fc o n s o l i d a t i o nw i l lp r o d u c eab e t t e rr e s u l t b u tr e l a t i v e l yf e ws o l u t i o n sh a v eb e e no b t a i n e de v e nw i t ht h em o d e r nd e v e l o p m e n t s o fn u m e r i c a lm e t h o d sb e c a u s eo ft h ec o m p l e x i t yo ft h ee q u a t i o n s t ot h ea u t h o r s k n o w l e d g e ，s o l u t i o n c h a r t sa n d o rt a b l e s i l l u s t r a t i n g t h e a v e r a g ed e g r e e o f c o n s o l i d a t i o ns e t t l e m e n t i n v o l v i n g e m b e d d e df o u n d a t i o n sh a v en o t a p p e a r e d h e r e t o f o r e t h i so b v i o u s l yh i n d e r st h ef r e q u e n tu s eo fb i o t st h e o r yf o rp r a c t i c a l f o u n d a t i o np r o b l e m s t h i sp a p e ru s e st h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o dt o i n v e s t i g a t et h ec o n s o l i d a t i o n b e h a v i o ro fc i r c u l a ra n ds t r i pf o o t i n g se m b e d d e di naf i n i t es t r a t u mb a s e do nb i o t s c o n s o l i d a t i o nt h e o r y t h ec a l c u l a t i o nw a sc a r r i e do u tu s i n gaw e l l - k n o w nf i n i t e e l e m e n tp a c k a g e ，a b a q u s t h ei n f l u e n c e so ft h r e ef a c t o r s ：( 1 ) t h er a t i oo fb u r i e d d e p t ht ot h et h i c k n e s so ft h es t r a t u m ；( 2 ) t h er a t i oo ff o o t i n gw i d t ht ot h et h i c k n e s so f t h es t r a t u m ；a n d ( 3 ) t h ep o i s s o n sr a t i oo ft h es o i ls k e l e t o no nt h ea v e r a g ed e g r e eo f c o n s o 】id a t i o ns e t t l e m e n ta r e e x a m i n e d b a s e do nt h er e s u l t so fa n a l y s i s ，n e wn o r m a l i z e dt i m ef a c t o r sa r es u g g e s t e d i ti s s h o w ni nt h ep a p e rt h a tt h ea v e r a g ed e g r e eo fc o n s o l i d a t i o ne x h i b i t sv e r yg o o d n o r m a l i z e db e h a v i o ru s i n gt h et i m ef a c t o r s t h ea u t h o ra l s op r e s e n ts o l u t i o nc h a r t s f o rd e t e r m i n i n gt h ea v e r a g ed e g r e eo fc o n s o l i d a t i o ns e t t l e m e n to fc i r c u l a ra n ds t r i p f o o t i n g se m b e d d e di naf i n i t es t r a t u m 。t h ec h a r t sc a l p r o v i d ee n g i n e e r sw i t haq u i c k a n s w e rt ot h ed e s i g ni s s u e s t h em a x i m u me r r o rc a u s e db yu s i n gt h es o l u t i o nc h a r t s j sw i t h i n3 k e y w o r d s ：c o n s o l i d a t i o n ；e m b e d d e df o o t i n g ；s o l u t i o nc h a r t s ；f i n i t ee l e m e n t m e t h o d ；c o u p l e da n a l y s i s i i 独创性声明 本人声明，所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。尽我所知，除了本文特别加以标注和致谢 的地方外，论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得武汉理工大学或其他教育机构的学位或证书而使用 过的材料。与我一同工作的同志对本文研究所做的任何贡献均已 在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 关于论文使用授权的说明 本人完全了解武汉理工大学有关保留、使用学位论文的规定， 即学校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅； 学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其 他复制手段保存论文。 l | 诵 日期：缈韭啦 武汉理t 大学硕士学位论文 1 1 引言 第1 章序论 在压缩性较大的地基上设计建造建筑物时，通常将基础埋置于土层中。埋 置基础与地表基础相比，具有以下几个特点【l ，2 1 ：( a ) 地基土的刚度通常随深度 增加而增大，埋置基础能将荷载传递到刚度更大的土体上，使沉降减小，这种 特点称为g i b s o n 效应 2 】；( b ) 埋置基础底面以上土体的压应力能够限制变形的 发展，减小基础的沉降 3 1 ；( c ) 基础上的部分荷载通过基础周边和土的摩擦作用 传递给土体，使得基础底面的荷载降低，从而减少了基础竖直向的沉降。 饱和土地基受到瞬时荷载作用后，任意时刻t 的沉降量s ，可以表示为 s ，= s 。+ u ( s 厂s 。) ( 1 1 ) 式中：为瞬时沉降量；研为最终沉降量；u 为固结沉降的固结度。地基在工作 荷载下产生的变形一般比较小，因而在工程实际中通常根据弹性理论估算基础 的瞬时沉降量和最终沉降量函，但使用的“弹性常数则根据地基的受力范 围由试验确定2 t4 ，5 1 。为此目的，研究者已经制作了一系列的计算图表1 。2 ，6 m 】。 固结度u 的计算则采用t e r z a g h i 一维固结理论【l3 】或b i o t 耦合固结理论【l 4 1 。 已有的现场监测结果表明t e r z a g h i 一维固结理论计算的固结沉降时间通常 比实际的沉降时间长；这种理论只有在地基土层相对较薄的情况下才适用。而 b i o t 固结理论由于既考虑了超孔隙水压力的水平向耗散，也考虑了土骨架变形 与超孔隙水压力耗散之间的耦合作用【1 5 ，l6 1 ，能给出更准确的结果。然而，由于 方程的复杂性，b i o t 固结方程的解析解极少 1 7 - 2 2 】。即使随着现代数值方法的快速 发展【2 3 - 2 7 ，目前也只有几种特殊情况才能得到预测固结沉降速率的图表解1 5 ，1 7 之1 ， 2 4 。因此，b i o t 固结理论还无法被广泛地应用于工程预测和基础设计中。虽然有 限元法可以进行不同工况的固结度计算，但在实际工程中，针对每一种工况进 行一次固结度计算显然是很不方便且不实用的。在已有的文献中，目前还没有 计算埋置基础沉降固结度的图表。这显然阻碍了应用b i o t 固结理论解决实际的 基础工程问题。 武汉理工大学硕士学位论文 1 2 文献综述 土是矿物颗粒的松散堆积体。当作用在土体中的应力发生变化时，土的体 积随之改变。主要由于土体积压缩，地基在铅直方向的位移称为沉降，沉降的 同时还伴生水平位移。土体完成压缩变形一般要经历一段时间过程。对于饱和 土，荷载增加时，土体一般是逐渐被压缩( 压力解除一般引起膨胀) ，压缩过程 中部分水量会从土体中排出，土中孔隙水压力相应地转为土粒间的有效应力， 直至变形趋于稳定。这一变形的全过程称为固结。固结理论一直是土力学的重 要课题之一。 固结与压缩对土的工程形状有重要影响，与土工建筑物和地基的渗流、稳 定和沉降等问题有密切联系。例如，土体的压缩，渗透性减小；伴随着固结过 程，土体内的粒间应力不断改变，使土的强度相应变化；土体的压缩导致建筑 物地基下沉，直接影响上部结构的使用条件和安全。 土的固结和压缩的规律相当复杂，它不仅取决于土的类别和形状，也取决 于其边界条件、排水条件和受荷方式等。粘性土与无粘性土的变化机理不同； 二相土和三相土的固结过程迥然有别，后者由于土中含气，变形指标不易准确 测定，状态方程的建立与求解都比较复杂。天然土体一般都是各向异性、非均 质或成层的，如何合理的考虑它们对变形的影响，尚待进一步研究。就地基而 言，建筑物施加的通常是局部荷重，在固结过程中，除上下方向的排水压缩外， 同时有不同程度的侧向鼓胀，这一类二向与三向固结问题，迄今还没有获得普 遍的解析解。荷重随时间变化的情况使固结微分方程的数学处理更加复杂化了。 1 2 1固结理论研究进展 1 9 2 5 年t e r z a g h i t ”1 在其著作中提出了著名的有效应力原理，并据此建立了 单向固结理论。t e r z a g h i 的饱和土体固结理论是建立在许多简化和假设的基础上 的：土骨架是线弹性变形材料；土孔隙中所含的是不可压缩流体，且按达西定 律沿单方向流动；土体是单向压缩变形等。故这一理论常被称为单向固结理论。 计算和实测沉降表明 3 0 】，t e r z a g h i 一维固结理论计算的固结沉降速率通常比实际 的沉降要慢，主要原因之一是水平向的排水加速了超孔隙水压力的消散。只有 当基础尺寸与土层厚度之比相当大时，固结曲线才接近单向情况。 后来，r e n d u l i c ( 1 9 3 6 ) 1 2 9 】将t e r z a g h i 的一维固结理论推广到二维、三维情况， 2 武汉理工大学硕士学位论文 得出t e r z a g h i r e n d u l i c 扩散方程。该理论可以分析三向排水条件下的压缩，但是 该方程中采用了孔隙水压力变化与土骨架变形无关，总应力为定值的假定，这 与实际情况不符合，并且不能满足弹性力学的变形协调条件。因此常被称为准 三向固结理论。 b i o t ( 1 9 4 1 ) 【1 4 】直接从弹性理论出发，考虑了水流连续条件，根据有效应力原 理，土的平衡方程，弹性应力应变关系和变形协调条件建立了b i o t 耦合固结方 程。它在理论上更严格，显然比t e r z a g h i r e n d u l i c 固结理论合理。 由于b l o t 固结理论将土体变形和孔隙水的渗流联系起来考虑，多场的耦合效 应远比单场作用简单叠加复杂地多，因此，使得固结方程在数学上的求解难度 加大。迄今为止，也只是在少数特定初边值条件下获得了解析解或近似解答。 首先，m c n a m e e 和g i b s o n 【2 1 】得出了半无限土体的平面应变和轴对称b i o t 固结 问题的解析解，并进一步研究了三维问题。在此基础上g i b s o n 和m c n a m e e 【l 吼2 l 】 给出了矩形基础作用在三维弹性半无限土体表面的固结问题解答；之后g i b s o n 和s c h i f f m a n 采用了地基底面光滑不透水的假设，给出了单层地基轴对称和平面应 变固结问题的解答，并对典型问题给出了图表解。但是，地基底面光滑的假设 明显不符合实际情况。 针对g i b s o n 等给出的地基地面光滑假设条件下的解答，b o o k e r 等1 7 - 1 8 予以修 正，用积分变换法分析了有限厚度地基底面刚性粗糙条件下的问题，并对不同 泊松比的地基表面上的条形基础、圆形基础和矩形基础的固结沉降情况予以估 计。之后又得出了光滑圆形筏板基础作用在各向同性土层上，基础透水或部分 透水条件下的复变函数解，并给出了接触应力、孔隙水压力、筏板基础位移和 力矩的分析结果； 黄传志等【3 1 】基于b i o t 固结理论，给出了一些二维问题的孔隙水压力、应力和 位移各分量的形式解，获得解的情况包括：土层顶面透水，底面不透水的有限 层地基，顶面透水的半无限地基，地基表面受集中荷载、分布荷载及随时间而 变的荷载；分析了顶面透水的有限层及半无限地基的二维固结问题，并给出了 几种不同荷载条件下的解析解； 胡亚元等阮3 7 1 采用积分变换、算子法研究了多层地基二维b i o t 固结问题， 获得地基表面作用荷载时任意层内任意点应力( 包括孔压) 、位移( 包括流体流 量) 的一般积分形式解。按照本文的方法也能获得多层地基b i o t 固结的“m i n d l i n 问题”的形式解答，结论可推广应用于边界元法求解多层二维b i o t 圃结问题。后 武汉理工大学硕士学位论文 来又从考虑土颗粒和流体体积压缩的b i o t 固结方程出发，求得一般b i o t 固结方程 的势函数形式通解和齐次b i o t 固结方程的势函数形式通解【3 7 1 。当达西渗透系数趋 向无穷大时，齐次b i o t 固结方程的通解退化为经典弹性静力学的帕普科维奇通 解：当颗粒和流体的体积模量趋向无穷大时，b i o t 固结方程退化为不考虑土颗粒 和流体体积压缩的简化b i o t 固结方程，从而得到一般简化b i o t 固结方程的势函数 形式通解和齐次简化b l o t 固结方程的势函数形式通解。 c h e n 等【4 叫提出了土层底面粗糙且不透水条件下，横观各向同性土层表面受 到圆形均布荷载情况下固结问题的半解析解。分析采用横观各向同性土层的b i o t 固结理论，通过h a n k e l 和l a p l a c e 变换得到变换域的通解。对于横观各向同性固 结问题，这些解答可以用来求解变换域相应的边值问题，然后，将变换域的解 用数值积分逆变换，得出物理区域内的孔隙水压力和位移。 陈仁朋等 2 2 】基于b i o t 固结理论，分析了基底不透水，侧壁为半透水介质的埋 置基础沉降随时间变化规律。采用h a n k e l 和l a p l a c e 变换，简化固结控制方程。基 底平面的渗流和接触应力采用级数逼近的方法模拟。获得了地基表面和基础底 面任意点的位移积分形式解。运用积分逆变换技术可以获得位移随时间的变化 规律。该方法对于复合地基、沉井基础等地基的固结理论研究及工程设计有一 定的借鉴意义。 以上学者均给出了特定边界条件下b i o t 固结方程的解答，但是由于条件的特 殊性和解形式的复杂性，所得结果极难为工程实际所应用，且大多只限于基础 直接作用于地基表面的情况。到目前为止，在文献中还见不到适合计算埋置基 础固结度的计算图表。 1 2 2 固结问题的有限元法研究进展 由于b i o t 固结方程难于获得解析解，多年来发展缓慢，七十年代以来，随 着计算机的发明并运用于科学计算，以有限元方法为代表的各种数值方法的出 现和逐渐成熟，使得b i o t 固结方程可以用数值方法求解，并且将该理论运用于 岩土工程实践，发展了b i o t 理论。 s a n d h u 和w i l s o n 3 3 率先应用变分原理推导出b i o t 固结理论的有限元公式； b o o k e r 和s m a l l t 2 3 】分析了有限元求解b i o t 固结理论解的稳定性，提出了s a n d h u 有限元解答方式不稳定的原因，并获得一种稳定的数值解格式； c h r i s t i a n 和b o e h m e r 【39 2 4 j 从虚位移原理推导了圃结有限元法公式。随后应用 4 武汉理工大学硕士学位论文 有限元法分析了条形荷载作用下单层地基的固结问题，他们考虑了载荷几何形 状、排水条件和材料常数对固结的影响，与t e r z a g h i 的单向固结解进行了比较， 指出在有限厚度土层情况下，渗透率的正交各向对固结的影响很大，考虑多向 固结是非常必要的。 。 殷宗泽等指出c h r i s t i a n 和b o e h m e r 的推导在物理概念上比较清楚，但在 数学上不太严密，解题也比较麻烦。而s a n d h u 和w i l s o n 等人的推导在数学上严 密，但物理意义不太明确。他从虚位移原理和流量平衡关系推导了b i o t 固结方 程的有限单元法公式，并引入增量概念使之能适用于求解非线性固结问题。 v e r m e e r 和v e r r u i j t t 2 6 】曾证明，固结问题的绝大多数有限元解法都存在着时 间差分步长的下界。如果在计算时选取的时间差分步长小于这个下限值，计算 时就会出现数值振荡现象，结果很不准确。这和我们通常理解的步长越小，结 果越精确有所不同。而应用大的时间差分步长得到的结果则显然常常不能满足 精度的要求。 z h u 和y i n 【27 】仔细分析了导致数值方法不稳定性的原因，并对一维问题构造 了绝对稳定的有限元数值方法。z h u l 4 1 等进一步从理论上证明了新的方法消除了 通常的数值振荡现象，从而取消了时间差分步长下界的限制。 丁州祥等瞄5 j 提出了一种基于改进b i o t 固结理论的移动网格有限元分析方 法。在传统b i o t 固结控制方程组中引人土水势方程( s w p ) 和移动网格算法，根据 虚功原理和加权残值法推导了相应的增量有限元方程。通过算例分析研究了土 水势方程和网格算法的影响。结果表明：改进理论的地基沉降和总土水势小于 传统理论，而侧向位移大于传统理论。该移动网格算法的各场变量值小于固定 网格算法。提出的方法在小变形理论范畴内能更好地模似地基固结性状。 阮光雄等1 3 6 j 基于b i o t 固结理论，研究了固结过程中的时步自适应问题。采 用基本原理推导出时步控制公式，从而全面控制应力和孔隙压力场的计算。 1 3 本文的主要研究内容和目的 本文的主要研究内容和目的是根据b i o t 耦合固结理论，运用有限单元法分 析有限饱和土层中条形和圆形埋置基础作用下土的固结沉降特性，以求得到典 型埋置基础的固结度计算图表，方便工程沉降预测和基础设计。计算所用的程 序是大型商用有限元软件a b a q u s l 2 8 1 。文章将从以下几个方面进行论述。 武汉理工大学硕士学位论文 第1 章为序论，对固结理论的发展进行综述，提出本文的研究方向和目的。 第2 章介绍b i o t 耦合固结理论。 第3 章阐述b i o t 固结理论的有限单元法原理，并简要介绍了有限元软件 a b a q u s 在岩土工程中的应用。 第4 章对条形埋置基础作用下饱和土的固结情况进行了分析，根据分析结 果，提出了归一化无量纲时间，并给出了计算条形埋置基础固结度的计算图表。 第5 章分析了圆形埋置基础作用下饱和土的固结情况，同样根据分析结果， 提出了归一化的无量纲时间，并给出了计算圆形埋置基础固结度的计算图表。对 于矩形埋置基础固结度的计算，本章给出了等效的方法，并进行了实例验证。 第6 章对全文进行了总结和展望， 方向。 提出了埋置基础固结分析进一步的研究 6 武汉理工大学硕十学位论文 2 1 引言 第2 章b i o t 耦合固结理论 在实际固结过程中，因孔隙水压力不断变化，应力将发生重分布，同时需 要调整总应力以满足应力和应变的相容条件。故在固结过程中，虽然外荷重保 持不变，土体中的主应力之和却是不断变化的。而目前解决三向固结问题的方 法有俩种： 一种是t e r z a g h i r e n d u l i c 理论，它是t e r z a g h i 理论的延伸，该理论推导时， 假设固结过程中土体内的正应力之和( 总应力) 保持不变，忽略了实际存在的 应力和应变的耦合作用，因而它常常称为准三向固结理论【2 9 1 。因其与物体热导 方程形式类似，故又称扩散方程。 另一种是b i o t 耦合理论，它直接从弹性理论出发，满足土体的平衡条件、 弹性应力一应变关系和变形协调条件，此外还考虑了水流连续条件。由于b i o t 方程涉及到应力重分布，在理论上较准三向理论严格。但由于b i o t 理论求解复 杂，目前只有少数几种情况能获得精确解，故它多用于有限元法的计算中。 2 2b i o t 耦合固结理论 2 2 1b i o t 固结理论的基本假设 1 ) 土体饱和且各向同性； 2 ) 水和土颗粒不可压缩； 3 ) 达西定律成立； 4 ) 小应变； 5 ) 土骨架变形服从广义虎克定律。 6 ) ，惯性力可以忽略。 武汉理工大学硕士学位论文 2 2 2 笛卡尔坐标下饱和土的基本方程 力平衡方程： ( 2 1 ) 式中：u 。为超孔隙水压力，仃：，分别为五yz 方向的有效正应力( 压应力 为正) ，乞，岛为剪应力。 位移一应变关系： d w ， = 一_ = d x a w 、， g 一音 a w t 一言 铲鲁 q 乏 铲隆等) 一( 警+ 警) 式中：t ，0 ，t 分别为五z 方向的正应变( 压应变为正) ；如，k ，如分别为x y , y z , 硝面上的剪应变；虬，w ，k 分别为五弦z 方向的位移。 本构方程： c c n v = = = 丝孤韭匆札i监砣噱一芘渺一砣 k可珉可眈一砂 碱i弧i监舐 武汉理工大学硕士学位论文 t = i 1l 吒一v ( ，+ t ) t 2 i l 吒叫【q ，+ 呸j j o 可1l y ， v ( t + t ) 0 2 i l ，叫【g + 呸j j t = 去 哇v ( 7 0 r + t ) t 2 i l 嚷叫 + 吒j j y ：三堡! ! 生 y ：三垒! 生尘 u 2 e y ：三垒! ! 尘 或击7 = d 主 式中：ey 分别为土骨架的弹性模量和泊松比。 有效应力原理： iqj = p 。+ l 呸j 嚷 6 ， 呸 = 日w o + “f + 吒 瓯 ： g ( 2 - 3 ) ( 2 4 ) 式中：p 。为孔隙水压力，h 0 为参考水头，吒，q 呸分别为五) iz 方向的正应 力。 达西定律： a “， a 工 a 比。 ay a “。 a z ( 2 5 ) 式中：k 为渗透系数；为水的重度；q ，q ，q ：分别为五) ；z 方向的流速。 连续性方程： 一a e v ：亟+ 盟+ 弦 ( 2 。6 ) d td x d y d 乙 式中：岛为体应变，且乞= t + 。+ 乞。 根据式( 2 5 ) 和( 2 6 ) ，可得关系式 9 足一九 一 = 、， 玑巩玑 武汉理工大学硕士学位论文 主v 2 叱= 一粤( 2 7 ) 圪 o t 由式( 2 3 ) 矛1 ( 2 - 4 ) ，考虑到参考水头为常数，可得公式： 鲁= 1 - 2 r e 未t ( o - 3 u e ) ( 2 - 8 ) 式中：e = 吼+ 仃，+ 吒为一点的总应力之和。 将( 2 8 ) 代入式( 2 7 ) ，则可求得 警喝v 2 矿j 1 百0 0 ( 2 _ 9 ) 式中：e s = 瓦妄兰丽为三维固结系数。 t e r z a g h i r e n d u l i c 固结理论假设一点的主应力之和不随时间变化，即 a e a 仁0 ，不满足变形协调条件；而从式( 2 9 ) 可以看出，在b i o t 固结理论中， e 是一点的总应力，在固结过程中并不一定为常量，这是由于固结过程中土体 应力会重新分布，只有在固结完成后，它才等于外荷载在该点的三个正应力分 量之和。因而，b i o t 固结理论在理论匕是完整严密的。 2 2 3b i o t 三维固结问题的边界和初始条件 图2 1b i o t 固结理论边界条件示意图 如图2 一l 所示，边界条件可表达为： 1 位移边界条件：边界上位移己知 w l s 。= w ， ( 2 1 0 a ) 2 应力边界条件：边界上面力已知 1 0 武汉理工大学硕十学位论文 o n i 毛= 一p 。 3 孔隙水压力边界条件：边界上孔压己知 心i - - u e s 4 流量边界条件：边界上法向流量已知、 q n = 口。 初始条件表达为： 6 i ，- 。= 6 。 w k = o “。k = o ( 2 1 0 h ) ( 2 1 0 c ) ( 2 1 0 d ) ( 2 1 4 ) ( 2 - 1 5 ) ( 2 1 6 ) 武汉理工大学硕士学位论文 第3 章b i o t 固结理论的有限单元法 3 1 引言 对实际岩土工程问题进行分析，绝大多数情况下不大可能用解析方法来完 成。只能采取试验和数值模拟的方法。试验研究成果是数值模拟的前提，而岩 土工程数值模拟中的基本方法是有限元法。用有限元法可以有效地解决许多岩 土工程分析问题的困难。 岩土工程中最基本的两种分析方法是总应力分析法和有效应力分析法。总 应力法把岩土介质视为固体来分析，因此，总应力有限元法与一般固体力学中 的有限元法是相同的。对于土体，应当采用有效应力分析法。有效应力分析法 区分了分别由土骨架、孔隙水或孔隙气体传递或承受的应力，并且考虑土骨架 变形，孔隙水压力消散和孔隙气压力消散三者的耦合作用，因而有效应力分析 结果更加符合实际情况，但其表达形式较为复杂。总应力法可视为有效应力法 的特殊情况。 对于饱和土体，任一点的总应力为该点的有效应力和孑l 隙水压力之和。在 岩土工程分析中，基于b i o t 固结理论的固结分析是典型的有效应力分析。本章 导出线性b l o t 固结理论的有限元方程。 3 2b i o t 固结问题的有限元法 3 2 1 控制方程的弱形式 将第3 章的b i o t 固结方程转化为g a l e r k i n 弱形式。方程( 2 1 ) 和( 2 4 ) 对时间 求导得： 1 2 ( 3 1 ) 0 0 o = = j j 亟砣眈一砣渺一跳 噱一砂眼一砂噱一砂 璩一如珑一如监孤 武汉理工大学硕士学位论文 云= 云- t i 。i n ( 3 2 ) 将方程( 3 1 ) 分别乘以虚位移w x ，w ：和w ：，运用g r e e n 公式： 矽警饱一y 警d q + f 缈，刃 ( 3 3 ) 有 妒去拉= p 叮+ f 。w r t i 。d r ( 3 - 4 ) 这里矽和y 为函数；n 。为单位矢量n 的z 向分量； 刀为求解区域； r = s 盯+ s 。；w = ( w ：，w ：，w 2 ) r ；f = ( ，t ) r ；否+ 为( 2 2 ) 计算所得的虚应 变。虚位移按照下式进行选择 w l ：0 l s ” ( 3 5 ) 方程( 3 - 4 ) 等效于满足方程( 3 1 ) 和应力边界条件( 2 1 0 ) 。事实上，如果满足( 3 1 ) 和( 2 1 0 b ) ，则式( 3 - 4 ) 成立。相反，如果( 3 - 4 ) 对满足方程( 3 5 ) 的所有虚位移都成 立，则在整个区域内部及其边界上，( 3 ，1 ) 和( 2 一l o b ) 必须同时满足。 类似的，方程( 2 6 ) 乘以虚孔压“：，运用g r e e n 公式，则( 1 1 3 ) 转化为 啦鲁+ r qp 上q u e + 订一e ；蚀 ( 3 - 6 ) 选择虚孔压“：需满足 u e l 。= o ( 3 7 ) 方程( 3 6 ) 等效于同时满足方程( 2 6 ) 和边界条件( 2 1 0 d ) 。 由方程( 2 3 ) ，( 2 - 5 ) 和( 3 2 ) ，方程( 3 - 4 ) 和( 3 6 ) 分别可写为 扩( d 主+ t o n i 。) d f l = 卜叮f d f 2 + f 。w * r l i 。d l ( 3 - 8 ) ；l l u ：m 夸( v “：) r 瓦kv 卜2f ，u e + q , , f l f - 盥 ( 3 - 9 ) 只有对非常简单的问题才能求得式( 3 - 4 ) 和( 3 6 ) 的精确解，大多实际问题都只 能得到近似解，这里用有限单元法求解。首先将区域线0 分为许多不重叠的单元， 未知场变量用节点之间的形函数来近似表达，最后再确定节点的场变量值。这样， 在每个单元内部，根据节点的场变量值和单元的形函数可以得到近似解。 3 2 2b i o t 固结理论的有限元公式 有限元分析的一个重要问题是单元的选择和每个单元内形函数的定义。对 武汉理工大学硕士学位论文 于三维问题，通常将所求区域划分为六面体单元。本章运用等参单元，即单元 内场变量选择相同的形函数1 4 2 1 。 形函数还可以用来进行局部坐标和笛卡尔坐标之间转换，假设单元内的节 点数为m ，则局部坐标和笛卡尔坐标之间的转化关系可表示为 x = nj x ( 3 - 1 0 ) j = t 式中：x 为节点x j 在笛卡尔坐标系下的坐标，m 为形函数，r n 为单元节点个数。 从公式( 3 8 ) 和( 3 9 ) 可以看到，我们的问题是要在区域骈时旨定的边界条件厂 找到满足( 3 8 ) 和( 3 9 ) 的未知位移和超孔隙水压力。将区域贼0 分为有限个不重叠 的六面体单元。对于具有m 个节点的单元q ，在单元内的位移场可近似表达为： w = n 。w 。 ( 3 1 1 ) 卟陪0 ，0 。0 w 1 0 01 w0 0 n ： o 0 0 n ； 0 0 ：0i ( 3 1 2 ) o ：j w 。= h 确w 蛳w 确w 碗w 眈w 奶 w 砒w 蝙w 巩r ( 3 一1 3 ) 式( 3 1 2 ) q b 的：i ( ，= 1 ，m ) 为定义的形函数。式( 3 1 3 ) 中的歹j ，止，和l 为节点编号。类似的，具有超孔隙水压力的n 个节点的超孔隙水压力场可表达 为： u 。= n 。u 8 ( 3 1 4 ) 式中： 和 n 。= i n ；：】 u 。= k “。掰，畦 材。折】丁 ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) 分别为形函数和节点超孔隙水压力矢量。式( 3 - 1 5 ) q 啪n ；( 户1 ，z ) 为定义的 形函数。式( 3 1 6 ) q b 的i ，i 2 ，和为节点编号。可以注意到，一般情况下位移 场变量和超孔隙水压力场变量的形函数不相同。这就意味着单元内的节点可能 会有不同的自由度，一些与位移有关，一些与超孔隙水压力有关，另些会与 两者都有关。为了让孔隙水压力与应力一致，通常超孑l 隙水压力形函数的多项 1 4 畔o o 武汉理工大学硕士学位论文 式选择得要比位移形函数的多项式低一阶。为了保证单元之间位移和超孔隙水 压力的连续性，有必要在单元边界上分配足够多的满足单元形函数的节点。 应用公式( 3 11 ) ，单元q 内的应变矢量可以表达为： 毛= - b 。w 。 ( 3 1 7 ) 式中：应变插值矩阵b w 通过下式计算 b 。= ( 3 1 8 ) 类似的，应用公式( 3 1 4 ) ，单元q 内的超孔隙水压力梯度可以表示为： v u 。= b 。u 。 ( 3 1 9 ) 式中： b 。= b n ； 孤 硼： a v b n ： a z a ： 孤 a n ： a v b n ： a z 方程( 3 1 1 ) 类似，对虚位移运用相同的插值函数，我们可以得到 w + n 。w ( 3 2 0 ) 云+ = 一b 。w “ ( 3 2 1 ) 式中： w “= b 。w y j ，w z 。 w x j ：w ：w 乞 一 w w w j 。 o ”- z “ 、z ) 5 【w 确1l 2w 班w 矾 一 w 砜w w 如j 类似的，对虚孔隙水压力使用相同的插值函数，方程( 3 1 4 ) 可得： n ：= n 。u + 。 ( 3 2 3 ) o o w 百o m 一砂眦i o嵋一砂。嵋一孤吣一砣o o嵋一砂。蛾i蛾i o 蛾i o o眦一砂o百 o o 州i o川一砂mi o川一砂。岍i川i o w i o o川一砂o w 一跳 o o w i o川一砂堕孤 。川一砂。川i w 一砣。 吖i o o吖一砂。吖一破 m i o o w 一砂o w 百 川卜蔷州一砂州i v u ；= b 。u ” 式中： e r 。 v u 2 阻明u 啦u 嘲j 将方程( 3 1 4 ) ，( 3 1 7 ) 一( 3 2 1 ) ，( 3 2 3 ) 和( 3 2 4 ) 代入方程( 3 8 ) ( 3 9 ) ， ( w ) r ( k ，、i l ，。一k c d 。) - z ( w 厂f ， “) 丁( - k c 宙。一k p u8 ) = ( u ) 7 l 式中：k r = 上b 。r d b 。讹为单元切向刚度矩阵； k c = lb ：i n n 。拉为耦合矩阵 m i k e ! ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) 可以得到： ( 3 - 2 6 ) r 3 2 7 ) k p2 i 。b t ，k _ _ _ b 。d r 2 为渗透率矩阵 方程( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) 左边的f w 和f “分别为 f 。2 n t 。+ i , n s on rp。dr(3-28) l2 邝。n d l 一，n r q ，抛 ( 3 2 9 ) 上述矩阵的积分可以采用相同的位移形函数，通过建立局部坐标和整体笛卡 尔坐标的坐标变换求得。 除了在边界( 3 5 ) 和( 3 7 ) 之外，虚位移和虚孔隙水压力是任意的，方程( 3 2 6 ) n ( 3 - 2 7 ) 代表了关于时间的一阶常微分方程组。组装单元刚度矩阵成为整体坐标 系中的方程 睫一k 。c di w u j + ”p 研嘲 p 3 。， 式中：k nk c ，k e ，f w ，f 。，w ，u 分别为k r , k c ，k p ，f w ，毛，w 和u 的组合数量。 方程( 3 - 3 0 ) 在时间区域内的离散采用一般的梯形方法，或者叫做伊法。在时 刻t 瑚= t i + 8 a t ，方程( 3 3 0 ) 通过下式近似计算： 隘剞捌巩惘h 0l m 州卅础制+ 口 ( 3 3 1 ) 式中：a t 为时间步增量，妫介于0 和1 之间的值，角标厶i + 1 ，a n dj + 秒表示分 别在时刻t i ，t i + l 和t i + 口计算数量，整理( 3 3 1 ) 可以得出： 1 6 武汉理工大学硕士学位论文 睫一意上 w 川= 陵。二0 k ) a t k 上阶嘲3 碰，【- 一k ：一跳f k pl 【_ ul 【- 一k ：( 1 一p l l u j ，【- ll v 7 方程( 3 3 2 ) 可以用来确定任意时刻相对于初始值的w 和u 的值。 3 3a b a q u s 在岩土工程的应用 a b a q u s 最初由美国h k s 公司开发，2 0 0 5 年5 月，前a b a q u s 软件公司 与法国达索集团合并，共同开发新一代的模拟真实世界的仿真技术平台 s i m u l i a 。是国际上最为先进的大型通用非线性有限元分析软件之一。 a b a q u s 具有丰富的适合岩土工程分析的本构模型，如弹性和非线性弹性 模型，多孔弹性模型，m o h r - c o u l o m b 塑性模型，扩展的d r u c k e r - p r a g e r 模型， d r u c k e r - p r a g e r 塑性与蠕变的耦合模型，修正的剑桥模型，节理材料模型等。此 外，a b a q u s 还提供了用户自定义材料模型的子模型u m a t ，方便用户添加自 己的本构模型。 a b a q u s 提供的单元可模拟各种复杂岩土介质的力学性能，位移孑l 隙压力 单元可以模拟固体与流体的相互作用；a b a q u s 还可以进行饱和土与非饱和土 的变形一渗流计算，考虑固体变形、渗流和温度影响的三相耦合计算；大多数岩 土工程问题，如结构岩土介质相互作用，岩土边坡，地下工程等问题，都会涉 及到无限域或半无限域。为了使有限元离散不至于产生太大误差，必须建立足 够大的计算模型，以尽可能地接近无限远的真实状态。针对这种情况，a b a q u s 也提供了有限单元与无限单元耦合的方法。此外，a b a q u s 提供了初始应力状 态的建立过程，单元的生死功能和分步骤求解的方式，可以很好地模拟地下洞 室和隧道的开挖和施工过程，使开挖模拟和地应力作用符合施工的实际情况。 本文采用了a b a q u s 提供的多孔弹性模型对饱和土固结问题进行了计算， 计算文件见附录1 。 武汉理工大学硕士学位论文 第4 章条形埋置基础固结分析计算图表 4 1 基本方程及分析模型 第二、三章给出了一般的固结控制方程。以下对平面应变状态，将前述方 程进行简化。 4 1 1 平面应变固结分析基本方程 笛卡尔坐标系下的基本方程为： 力平衡方程： 式中：为超孔隙水压力；，分别为鼻z 方向的有效正应力；为剪应力。 位移应变关系： d “ t2 一_ 出 ：= 一_ d w ( 4 2 )t2 一i( 4 2 ) f ，a w 施、 一i 面+ 瓦j 式中：e x ，t 分别为五z 方向的正应变；圮为剪应变；“，w 分别为五z 方向的位 移。 本构方程： 1 一v 2 t2 t 1 v 2 t2 了 t 吒 ，一勺( 1 + v ) 2 掣 v 一吒 l v v 瓯