（逻辑学专业论文）逻辑悖论研究的起始和两次高峰.pdf

皿赢盘堂班究生亟 璺堡婆塞 一一内容摘要 也 本文先对多义词 佳碰有所界定 指出了什么是逻辑十是垒 然后从历史的角度考察了逻辑悖论研究起始与两次高峰时期对逻辑 悖论所做的工作 逻辑悖论的研究起始于古希腊的 说谎者悖论 但当时许多 学者只是把它看成是一种文字游戏 一种茶余饭后的闲谈 并没有 把它当作一项工作去研究 个别的哲学家虽对悖论潜心研究 但是 由于科学知识的有限 收效甚微 然而 古希腊学者毕竟首先发现 了一个逻辑悖论 从而为后人提供了研究课题 中世纪是悖论研究的首次高峰 主要成果有二 1 能够刻 意构造出一些悖论 2 中世纪时期为解除障论所做的某些工作 可以看作是近代逻辑学家 数学家解除悖论方案的伟大预言 但是 中世纪的学者并没有提出严格的逻辑悖论的定义 当然也无法用科 学的方法去解除逻辑悖论 近现代的逻辑学家 数学家发现了集合论悖论 并且构造出许 多象理查德悖论等这样的语义悖论 逻辑学家为了进一步把握逻辑 悖论的共性与本质 还对其进行了分类 其中兰姆塞的分类工作最 有代表性 近现代对逻辑悖论的解除工作多为技术性工作 这反映 出人们对逻辑悖论认识的不断深人与精确 这些工作同时也推动了 逻辑学与数学基础的发展3 堡查查堂壁塞生堡圭堂堡堡圣 一 a b s t r a c t a tf i r s tt h i sa r t i c l em a k e sb o u n dl i m i to ft h em e a n i n go ft h e w o r d 一 t p a r a d o x w h i c hh a sm a n ym e a n i n g sa tp r e s e n t t h e nf r o mh i s t o r yp o i n to f v i e w t h ea r t i c l em a k e s t h ei n v e s t i g a t i o no ft h eb e g i n n i n ga n dt w op e a k p e r i o d s o ft h es t u d yo f l o g i cp a r a d o x a n do fw h a th a db e e nd o n ew i t ht h e l o g i c p a r a d o x t h es t u d yo fl o g i cp a r a d o xb e g a nw i t h t h ep a r a d o xo fl i a r w h i c hw a s o b s e r v e di na n c i e n tg r e e c e m o s to ft h el e a r n e r so n l ys a wi ta sak i n do fw o r d g a m e sa n dc h a t t i n go v e rac u po f t e ao ra f t e ram e a l f e wo fp h i l o s o p h e r sp u t t h e i rh e a r t si n t ot h es t u d yo fp a r a d o x b u tb e c a u s eo ft h el i m i to fs c i e n t i f i c k n o w l e d g et h e yg o tn o t h i n g t h ef i r s tp e a k p e r i o do ft h es t u d yo fl o g i cp a r a d o xi st h em i d d l ec e n t u r i e s i nw h i c ht h e r ew e r et w om a i na c h i e v e m e n t s 1 t h e yw e r em e t i c u l o u sa b o u t s t r u c t u r i n gs o m ep a r a d o x 2 s o m ew o r k t og e tr i do f l o g i cp a r a d o xc a nb es e e n a sf i l e g r e a tp r o p h e s yo fl o g i c i a n sa n dm a t h m a t i c i a n s s c h e m e s i nm o d e r n t i m e s b u tt h el e a r n e r si nt h em i d d l ec e n t u r i e sd i dn o t p u tf o r w a r dt h em e a n i n g o f l o g i cp a r a d o x i nt h es t r i c t l ys p e a k i n ga n do fc o u r s e t h e yc o u l dn o tg e tr i d o fp a r a d o xi ns c i e n t i f i cm e t h o d i nm o d e r nt i m e s l o g i c i a n sa n dm a t h e m a t i c i a n so b s e r v e dm a n y p a r a d o x e s i ns e t t h e o r ya n ds t r u c t u r e dm a n ys e m a n t i cp a r a d o x e s s u c ha sr i c h a r d p a r a d o x l o g i c i a n sc l a s s i f i e dt h ep a r a d o x e sw h i c hw e r ek n o w n a tt h a tt i m et o g r a s pt h eg e n e r a ic h a r a c t e ra n dt h ee s s e n c eo ft h ep a r a d o x e sm o r ea c c u r a t e l y t h ec l a s s i f i c a t i o nm a d e b yr a m s e y i st h em o s t r e p r e s e n t a t i v ea tt h a tt i m e m o s t o ft h ew o r kt o g e tr i d o ft h ep a r a d o xi nm o d e r nt i m e si s t e c h n i c a l w h i c h r e f l e c t st h a tm a nu n d e r s t a n d st h el o g i cp a r a d o xm o r e d e e p l ya n dp r e c i s e l y a l lo ft h i sw o r k p u s ht h em o v e m e n t o fl o g i ca n dm a t h e m a t i c sf o r w a r di n t t u r n 2 逻辑悖论研究的起始和两次高峰 近几十年来 悖论已经成为数学 逻辑学 语言学 计算机科学 思维科 学等许多领域中共同研究的课题 悖论有悠久的历史 早在古希腊和我国的先 秦时期 就有 悖论 一词 不同的科学领域在不同的时期都发现过 悖论 而 悖论 的解决 都会使科学得到突破性的发展 本文主要是着眼于历史上 逻辑学的悖论的发现及其解决来看逻辑学的发展 一 什么是悖论 悖论 从字面上理解就是指荒谬的理论 有人也称它为 逆论 或 反 论 悖论的英文与德文一样 是p a r a d o x 俄文为i iapa 且okc 无论在 哪种语言中 它都是一词多义的 在目前的用法中 悖论 一词大致有四种涵 义 第一 虽然违反常识 不合直观 但是在一定范围内却是正确的 论断 例如我们所熟悉的 实质蕴涵悖论 任一命题蕴涵一真命题 假命题蕴涵 任一命题 在逻辑学中类似这样的 悖论 还有很多 但是这些 悖论 都是 相应的逻辑系统中的定理 并且这些系统是可靠一致的 之所以称它们 悖 是由于它们与相应概念的常识 直观 经验等不符合 不是我们讨论的 悖论 第二 与公认的看法或观点相矛盾的论断 似是而非 这种悖论也不是我们所讨论的 悖论 例如芝诺悖论 芝诺以诡辩的方式 否认现实世界的运动 认为运动是不可能的 芝诺悖论就是否定运动的四个悖 论 1 二分法 位移事物在达到目的地之前必须先抵达一半处 而要先抵达一 堡堕奎兰堡蜜笙堡圭堂堡垒奎 半处又必须先抵达这一半处的一半处 如此进行下去 永无止境 所以运动 是不可能的 2 阿克琉斯论证 一个跑得最快的人永远追不上一个跑得最慢的人 因为 追赶的人必须首先跑到被追的人跑的出发点 因此跑得慢的人永远领先 3 飞矢不动 飞箭在任一瞬间必须静止在一确定的位置上 所以 运动是 许多静止的总和 4 运动场问题 跑道上有两排物体 大小相同 数目相同 一排从终点排 到中问点 另一排从中间点排到起点 它们以相同的速度作相反的运动 芝诺 认为 一半时间和整个时间相等 芝诺悖论的结论是不科学的 它包含有辩证法的因素 揭露了运动的矛盾 却没有揭示辩证法 其中的有限与无限的思想对数学的发展也起到了推波助澜 的作用 第三 从一组看似合理的理论前提出发 但是其中却隐含有不正 确的因素 通过有效的逻辑推导 得出一对自相矛盾的结论 例如 著名的 希帕索斯 p y t h a g o r a s 悖论 即 幢 悖论 当时毕达哥 拉斯学派有这样的信条 宇宙问的一切现象都归结为整数或整数之比 但是希 帕索斯的证明却推翻了这一信条 厄如果是有理数 那么万可以用p q 来表示 p q 是自然数 且 p q 1 即麽 p q 两边同平方 得2 p 2 q 2 两边同乘以q 得2 q 2 p 2 所以 p 2 是 偶数 由于奇数的平方只能是奇数 所以 p 2 是偶数 可以令p 2 p p 是自然 数 代入2 q 2 p 2 可得2 q 2 4 p 2 两边同除以2 得q 2 2 p 2 同理 q 也是 偶数 这样p q 就有公约数2 这就与 p q 1 矛盾 从一前提出发 进行有效的推理却得出 对矛盾 那么只有前提出现错误 这也就是我们常用的归谬法 毕达哥拉斯本应为弟子的这一发现而感到欣慰 但是他为固守自己的信条 堡查查堂墼蜜望堡圭董堡垒苎 一 一 残忍地把希帕索斯抛进了大海 然而 数学的发展并未因此驻脚 相反它却为 人们揭开了 无理数 的面纱 许多自然科学领域中都有这一类的悖论 特别是在物理学与天文学中 悖 论的作用是有目共睹的 在物理学革命中 爱因斯坦所创立的相对论 开辟了 物理学发展的新纪元 悖论在其革命性的科学创造中起了不容忽视的作用 在 天文学领域中 引力佯谬 和 光度佯谬 的提出及其解决 其意义也不能 低估 佯谬即悖论 第四 从一组看似合理的前提出发 这些前提却隐含着不合理或 者说不正确的因素 通过有效地逻辑推导 得出一个由互相矛盾的命 题构成的等价式 p 一一 p 例如 说谎者悖论 和 罗素悖论 我们以 说谎者悖论 为侧 它形容的是这样的情形 一个人说了唯一一 句话 我说的这句话是假的 那么在判断这句话究竟是真还是假却出现了矛 盾 如果这句话是真的 则这句话表述的是实情 也就是这句话是假的 反之 如果这句话是假的 则这句话表述的不是实情 即这句话是真的 这样的悖论 还有 理发师悖论 鳄鱼悖论 等 目前逻辑学界倾向于第四种悖论定义 但是我认为这是不妥的 逻辑学界 认为许多集合沦悖论如 最大序数悖论 最大基数悖论等是第四种意义上的悖 论 但是它们用第三种意义上的悸论形式却显得更加自然 所以 悖论 采取 三和四两种意义上的结合形式应该说更妥当 我们所讨论的悖论其严格定义如 下 如果一理论体系看上去合理 但是按照其推理规则进行推理却推出两个相 互矛盾的命题或者两个相互矛盾的命题的等价式 那么 我们称这个理论体系 中包含一个悖论 相互矛盾的命题当然是逻辑矛盾的 两个相互矛盾命题的等价式也是逻辑 矛盾 可以用命题逻辑的演算得知 p 一1p 一 p 命题演算定理 堡查查堂堡 塞生堡圭堂堡垒塞 一 p p 一p 命题演算定理 p 一一 p 一pa np1 0 命题演算定理 从此可以看出 悖论的最终表现形式是逻辑矛盾 逻辑矛盾是可以被排除 的 一理论含有悖论 那么这个理论体系中就包含有逻辑矛盾 这个理论体系 就是不可靠的 其中认为合理的理论一定有缺撼才造成了矛盾的存在 随着人 们认识的深入 会对这些理论有进一步的了解 找出其漏洞 正是在此意义上 我们说发现并解决悖论推动了科学的发展 逻辑悖论是在逻辑学研究领域中第三和第四种涵义下的悖论 同样 逻辑 悖论对逻辑学的发展 其意义也是重大的 最早的逻辑悖论可追溯到公元前6 世纪古希腊的 说谎者悖论 而且它揭开了逻辑悖论研究的序幕 此后对逻辑 悖论的研究一直绵延不断 大致经历了两次高峰时期 分别是欧洲中世纪经院 逻辑对逻辑悖论的研究和1 9 世纪末叶一直延续至今的悖论研究 二 古希腊时期一一悖论的起始 在古希腊时期不仅发现了最早的逻辑悖论而且在许多自然科学领域发现了 悖论 例如在数学中发现的 以悖论 等 之所以悖论在此时期发现众多特别 是逻辑悖论的首次发现 是与其文化背景相关的 我们知道 古希腊科学文化是奴隶制社会科学文化发展的最高峰 与此相 适应 古希腊哲学在人类哲学史上也占有十分显赫的地位 欧洲哲学史上最早 出现的 辩证法 一词就出现在古希腊哲学中 但它的意思与今天的 辩证法 一词意思完全不同 辩证法 一词最初是以 谈话 辩论术 等用语演化而 来的 其本意是一种辩论的方法 这种辩论的方法就是通过对对立意见的反复 诘难 揭露对方论断中的矛盾 并克服这些矛盾 以达到追求真理的目的 公 元前6 世纪至4 世纪 由于希腊民主政治的发展 人们需要具备讲演和辩论的 才能t 当时就出现了一批人 专门教授讲演和辩论 被称为 智者 正是在这 样的 辩者成风 的背景下 古希腊的科学得到了长足的发展 说谎者悖论 也正是在这样的背景下在研究命题真假关系的过程中被发现的 在公元前4 世 堡蜜奎堂堡蜜圭垒圭堂堡垒圣 纪的我国也有着类似的社会文化背景 当时就已成书的 墨经 中也提到过悖 论 但是 墨经 的内容都是通过驳倒别家的观点而讲的 其目的不在于研究 命题问的真假关系 正因此 墨经 乃至所有中国古代书籍中 都没有出现过 逻辑悖论 说谎者悖论 的最早形式是由公元前4 世纪麦加拉学派的著名学者欧布 里德 e u b n l i d e s 提出的 说谎者悖论 的前身 历史上称为 伊壁门尼 德悖论 是由公元前6 世纪克里特岛的一个哲学家伊壁门尼德 e p i m e n i d e s j 发现的 其实所谓的 伊壁门尼德悖论 指的是伊壁门尼德讲的一句话 所有 的克里特岛人都说谎 而伊壁门尼德是克里特岛人 我们知道这句话并不能推 出逻辑矛盾 并不是真正意义上的逻辑悖论 但是它却引起了一些古希腊学者 的思考 亚里士多德在分析这个难题时没有找到问题所在 只是在分析 说谎 一 词的歧义性 其实伊壁门尼德并不见得不会意识到这个自然的问题 这个难题 所反映的更深层的东西也许并没有被亚里士多得体会 麦加拉学派的欧布里德于公元前4 世纪对 伊壁门尼德悖论 做了修改 把它改为 我现在是说谎者 当时人们还发现了许多与 说谎者悖论 的形式 相同的悖论 这些都可以称得上逻辑悖论 说谎者悖论 在文章第一部分曾做过分析 这里就不在赘述 它的最终 形式表现为两个相互矛盾的命题的逻辑等值式 说谎者悖论 确实给古希腊某些学者带来很大烦恼 黑格尔曾援引古希 腊史料指出 斯多葛学派的著名学者克吕希波曾经为这个悖论写了6 部书 但 没有一部成功 另一个人是柯斯的斐勒塔由于用心研究解除悖论的方法而积劳 成疾 得痨病死去 传说这位学者的身体生前已经病得十分瘦弱 他的鞋常常 带着铅 以免被大风吹跑 可见 他真的是被这悖论搞得身心憔悴了 不过当时多数学者并没有在这个问题上花费很大功夫 他们把 说谎者悖 论 看成是一种文字游戏 茶余酒后的闲谈 s 堡查查兰墼窒垡堡圭堂堡垒圣 正是由于当时的知识水平有限 才使得这个悖论的真正解决直到近代才基 本得以实现 说谎者悖论 反映出当时人类的思维已经进步到抽象地思考命题 间的真假关系了 说谎者悖论 为后人提出了一个新课题 其意义是重大深远 的 它还在数学基础研究中起了很大作用 具有重要的认识论意义 其中一些 有重大认识的元数学定理的证明都与说谎者悖论相关 例如 哥德尔 g s d e l 不完备定理 等 三 中世纪时期一一逻辑悖论研究的一次高峰 中世纪时期的逻辑与哲学一样 曾经被谴责成冗长乏味和繁琐无聊 但是 那些十五世纪末或十六世纪初以来出版的著作中易于为人们接受的中世纪逻辑 学家的成就 现在看来确实在某种程度上是近代逻辑科学某些重大发现的伟大 预言 我们可以从其悖论研究中见其一斑 在这个时期 一些学者构造出许多 悖论来从事悖论研究并且提出了许多见解 这些见解有些可以称得上现代逻辑 悖论解除方案的预言 所以中静纪时期是悖论研究的一次高峰是当之无愧的 正如涅尔夫妇在 逻辑学发展 中说道 o 当亚里士多得和他的阿拉伯注 释家的著作译成拉丁文后 西方的哲学家就开始消化和吸收这些新材料 其目 的不仅作注释 而且要写出他们自己关于一些特殊问题的论文和概要 或系统 大纲 中世纪时期的论辩理论虽然不如三段论理论完善 但是却为其提供 了创新的领域并且对亚里士多德的理论做了一些补充 这个时期的许多学者希 望能够研究论辩理论 新的诡辩术与诡辩论的研究向人们提出新的难题 在亚 氏理论未传播之前 在西方辩论已很盛行 在研究逻辑中 人们把更多的时间 和精力放在说明日常用语的精巧性方面 而这些都为悖论的研究创造了环境 经院逻辑的俘论研究始于1 2 世纪 于1 4 世纪达到了顶峰 当时几乎所有 著名的哲学家都探讨了悖论问题 并且提出了 说谎者悖论 的许多表达形式 他们把这些语义悖论形式统称为 不可解命题 注 逻辑学的发展 威廉 涅尔 玛莎 涅尔著 第2 9 3 页 第1 3 一1 5 行 6 壑堕奎堂垒塞笙堡圭堂堡垒塞 一 一 这些 不可解命题 其实就是 说谎者悖论 的变形和引申 都可以归结 为 说流者悖论 这些复杂得需要仔细辩析才能看出其矛盾所在的不可解命题 大多是中世纪逻辑学家为研究不可解命题产生的机制而刻意构造出来的 经院学者威尼斯的保罗把下面的命题称为 单称不可解命题 可以看出这 些命题都是 说谎者悖论 的变形 1 写在这卷书中的 切语句都是假的 而这个语句是写在这卷书中的 唯一语句 t 是由所有不是自己成员的集构成的 由概括性原 则可知 t 是一集合 如果t t 根据t 集合的元素性质可知 t 不是自己成员 则t 匹t 所以 t t t 芒t 如果t 仨t 根据t 集合的性质可以知道t 满足集合t 的性质 则t t 所以tgt t t 也就是说t t 当且仅当tgt 罗素悖论在朴素集合论中是一悖论 它与前两个集合论悖论相比 虽然论 证方式类似 但它有其自身的特点 它只涉及集合论中最基本的概念和原则 并不属于任何专门的技术领域 能够被人容易地理解 具体地说 罗素悖论只 涉及三个问题 首先 命题的组成方式 x 蓝x 这样的表达式能否被看成是合理的表达式 其次 集合论中的概括性原则是否有效 再次 排中律是否在集合论中有效 由此可以得出 罗素悖论并不是某些技术性的错误 而是集合论本身的弊 病 这一发现使数学界非常震惊 由于非欧几何的相容性 实数论的相容性以 及自然数论的相容性都直接或间接地还原到集合论的相容性 这就使得集合论 的相容性在数学基础的研究中变得极为重要 以至数学家们力图去证明集合论 的相容性 以便使集合论成为整个数学的基石 在罗素悖论发现之前 人们认 为 集合论建立在明显的直觉之上 这一理论的可靠性是没有问题的 因此只 需要把全部数学理论建立在集合论之上 数学的可靠性就解决了 如 彭加勒 试图把集合论作为分析学的基础 而就在这时罗素悖论被发现了 德国数学家 g 弗雷格 g o l t l o bf r e g e 的 算术的基本规律 印刷快要完成时 罗素先 1 2 塑堕奎堂堡壅笙堡圭堂堡垒茎 生给弗雷格去了一封关于罗素悖论的信 使得他觉得刚刚完成的工作的奠基石 塌了下来 罗素悖论引起了人们对数学可靠性的担忧 以此引发了第三次数学危机 罗素悖论可以化归为最基本的逻辑概念的形式 这不仅关系到集合论本身 也 关系到逻辑可靠性的问题 由罗素悖论引发的关于语义悖论 格雷林悸论就是对逻辑可靠性提出质 疑的例子 我们在后面会对它有所介绍 这样 逻辑学家同数学家一样都分外 关注罗素悖论 同样 罗素悖论也引起了哲学家的思考 悖论的本质是什么 悖论能否消解 悖论的成因以及康托集合论中的实无穷的哲学意义 都引起 了哲学家们极大的兴趣 于是罗素悖论成为学术界关注的焦点 人们为解除悖 论做了不懈的努力 并且极大地促进了数学基础与逻辑学的发展 二 集合论悖论的解决工作 面对集合论特别是罗素悖论的挑战 数学家和逻辑学家们开始了解除集合 论悖论的工作 在第四大部分的开头已经谈过数学家根据对数学大厦的基础是 否可靠以及什么是可靠的依据的不同回答形成了逻辑主义 直觉主义 形式主 义的三大学派 我们就先来看这三大学派对悖论解除所做的工作 1 逻辑主义 逻辑主义的主要代表人物是弗雷格和罗素 逻辑主义的主要观点是 逻辑 的可靠性是没有问题的 只要能把全部数学化成逻辑 数学的可靠性问题就解 决了 弗雷格很早就从事了这方面的工作 只是由于集合论悖论的发现 弗雷 格对自己所倡导的逻辑主义宗旨发生了动摇 并最终放弃了这一立场 但是罗 素却依然一如既往 刚才我们已谈到了逻辑的呵靠性由于罗素悖论的发现而产 生了怀疑 摆在罗素面前的工作首先必须是对逻辑学进行改造 其次才是把全 部数学化归为逻辑 罗素在对解决悖论的方法研究后确信是逻辑出了问题而非 数学 于是对逻辑开始进行改造 趣亩太堂班荭生塑 望僮垃塞 罗素认为 出于意义的考虑 必须对命题的组成方式加以限制 不能把所 有形如 a b 的命题都看成是有意义的 罗素的简单类型论就是规定了什么样的命题才是有意义的 按照类型论原 则首先必须按照对象的类别对集合进行分类 t y p e 具体地说 属于0 类的是 论域中的对象 即个体 属于i 类的是个体的集合 属于2 类的是l 类中的集 合的集合 即个体的集合的集合 其次 类型论划分的基本原则是 每一集 合都必须从属于确定的类 只有当a 和b 分属于两个紧邻的类甘寸 aeb 这 样的命题表达式才有意义 由此可以看出 按照简单类型论的原则只能考虑前一类中的集合与其后一 类集合的关系而不能考虑同类集合间的关系 这样罗素悖论就排除了 罗素的 简单类型论根据上述原则规定了合法的集合 简单类型论不仅把罗素悖论排除 了 而且也排除了最大基数悖论等其它集合论悖论 罗索的分支类型论是为了排除象理查德悖论这样的语义悖论 后由他的学 生兰姆塞加以发展 在后面的语义悖论部分我们还会详细介绍 罗素在由逻辑推演数学时采用了无穷公理和选择公理等非逻辑公理 并非 类型论的矛盾性而是由于哥德尔的不完全定理在理论上不能得到证明 逻辑主 义把数学归结为逻辑的企图宣告失败 虽然逻辑主义宣告失败了 但逻辑主义者所做的工作确实对逻辑学和数学 的发展起了积极的推动作用 主要表现在以下几方面 第一 由于逻辑主义者的工作 由传统逻辑到数理逻辑的发展基本上完成 了 第二 由于逻辑主义者的工作 数学基础的研究 特别是数学理论系统化 和公理化的研究 大大地加深了 第三 类型论对于集合论悖论消除是起作用的 面且它对以后语义学的发 展也起到了积极的影响 2 直觉主义 1 4 堡枣奎堂堑塞生堡圭堂焦鎏茎 一 彭加勒和布劳维尔 l e 5 b r o w e r 等人为主要代表的直觉主义学 派对已有的数学和逻辑采取一种审查和否定的态度 而这与悖论的发现有着直 接的联系 他们认为承认实无穷是集合论悖论的根源 应对实无穷的概念和方 法绝对排斥 他们认为悖论在集合论中的出现并非一件偶然的事 它们反映了 数学的 不可靠性 必须按照 可靠性 标准对传统数学进行彻底审查 对已 有数学的某些部分作出一些技术性的修改和限制并不起多大作用 他们对于传 统逻辑法则 特别是排中律 的有效性加以否定而且对传统数学中大部分成果 也加以否定 他们认为只有在直觉上能予 构造 的概念和方法才是可信的 直觉主义的理论是错误的 如果绝对否定传统数学和逻辑的真理性的话就 无法解释它们在一定范围内的有效性 并且直觉主义者本身的工作已经表明 要想用构造性的数学来完全代替非构造性的数学是不可能的 直觉主义认为无 穷集不能用排中律的观点也被形式主义的代表人物希尔伯特驳倒 但是直觉主 义者对数学的发展也作出了重大贡献 例如直觉主义所强调的构造性在数学的 发展中就有重大意义 3 形式主义 德国著名的数学家d 希尔伯特 d a v i dh i l b e r t 是形式主义的主要代表 人物之一 他的基础研究的出发点与直觉主义者一样 也是由于集合论悖论的 出现而引起的对数学基础的担忧 与直觉主义不同的是希尔伯特认为应当尽可 能地保存已有的概念和方法特别是实无穷的概念和方法 希尔伯特强调 悖认 的根源不在于实无穷本身而在于对实无穷的错误认识 他把实无穷看成是无意 义的 理想元素 为了保证在数学的某一领域使用 理想元素 而不导致矛盾 就需要相容性的证明 他主张把数学的某一分支构造成形式系统 然后通过有 穷方法 用元数学研究形式语言系统的逻辑性质 证明其相容性 以保证与此 相应的数学系统中根本不可能出现矛盾 而这样的证明却不可能实现 1 9 3 1 年 哥德尔 k g s d e l 不完全性定理表明 整个数学的相容性在本系统是不可能 证明的 由此 形式主义宣告失败 l5 翅直太堂班宣生塑曼 坐僮泣塞 一 虽然希尔伯特的研究规划失败了 但是他的形式化的研究方法以及元数学 的研究思想对逻辑学的发展仍有重大意义 尽管这些学派对悖论解除的尝试失败了 但他们的研究仍对数学发展作出 了重大的贡献 他们的数学思想在数学发展中也起到了巨大的积极影响 德国数学家策梅罗 e z e r m e l o 是公理化集合论的主要创始人之一 他 通过构造集合沦公理系统来避免悖论 1 90 8 年策梅罗建立了第一个集合论 公理系统 他认为康托集合论之所以出现悖沦是因为造集的任意性引起的 而 造集的任意性是由概括性原则保证的 因而必须对概括性原则的使用加以限制 在策梅罗的公理系统中构造集合要受到公理的限制 例如 由于公理集合论限 制了 xjx 是集合 不是集合 这样 通过限制集合的构造而规定什么是集 合从而也就避免了康托集合论中的悖论 后来 弗兰克尔 a a f r a e n k e l 等人对策梅罗的公理化集合论加以鳃释和发展 形成了zf 公理集合论系统 公理集合论的初衷是保留集合论中有价值的地方 使公理集合论仍能起数 学理论的基础作用 zf 系统在一定程度上实现了这个目标 首先 策梅罗等 人的工作表明 以zf 系统为基础开展出的主要数学理论中不可能构造出所有 已知的集合论悖论 但是zf 本身的协调性却没有也不可能得到证明 这仍是 哥德尔不完金定理所决定的 所以 不能担保今后集合论中永远不再出现悖论 值得一提的是冯 诺依曼 j l v o m n e u m a n n 对公理化集合论的发展也 做出了重要贡献 康托本人发现集合论悖论后也曾提出区分相容多数体和不相 容多数体 只有相容多数体才是集合 这实际上已经预示了集合和类的区别 但是康托给出的判断标准是不够明确的 1 92 5 年 冯 诺依曼对集合和类 的要领给人们做出了确切的解释 一个多数体只有当它可以作为另一个多数体 的元素时才是集合 否则就是类 公理集论是由悖论的发现而促使其发展和完善的 并且已经成为现代逻辑 的重要分支之 以上可以看出悖论研究直接影响了逻辑主义 直觉主义 形式主义等学派 1 6 扭亩太堂讶荭生硒 堂i l 监噩 虽然它们都未实现其目标 但是现代逻辑雏形却形成了 数学的基础研究工作 也得到了长足的进展 悖论的研究还直接导致了公理集合论的建立 而公理集 合论已经成为现代逻辑与数学基础的重要组成部分 三 语义悖论的解决 罗素悖论的发现使逻辑学家对悖论研究的兴趣更加浓厚 一些逻辑学家刻 意去构造一些悖论 如 理查德悖论 贝里悖论 格雷林悖论等一些语义悖论 l 里查德悖论 此悖论是由法国的理查德 j r i c h a r d 于1 9 0 5 年发现的 其内容如下 任一语句都是用可能重复的语法或其他语言的字母加上若干其他符号或空位构 成的有穷长的符号序列 由能用有穷长语句加以定义的一切十进位小数组成的 一个集合z 并且令z 中的元素按字典顺序排列为z z z z 且令 z n 0 x x x n 3 一k 这里x 表示z 中第n 个小数的小数点之后的第n 位数 再构造一个无限十进位小数n 0 y y y y 并将y 定义为 如果x l 则 令y 1 如果x 5 1 则令y l 这样每一个y 都不同于x n 是能用有穷长 语句定义的无限十进位小数的集合 故n z 但是 由n 的定义可知 n 与z 中的任一十进位小数都有一个有穷差值 故n 与z 的任一十进位小数都不相同 故n z 由此得到一悖论 2 贝里悖论 1 9 6 0 年剑桥大学的图书管理员贝里 g b e r r y 发现了贝里悖论 其内容 如下 用少于二十个汉字不能命名的最小整数 这个摹状词本身只有十七个汉 字 但它却命名了这个最小整数 所以得出了矛盾 3 格雷林悖论 格雷林悖论叉称 非自谓悖论 是德国人格雷林 k g r e l l n g 于1 9 0 8 年提出的 内容如下 可以把所有形容词分为两类 一类是对自身适用的 称 堡直垄堂墅塞圭堡圭堂堡垒茎 一 一 之为 自渭的 如 中文的 短的 一类是对自身不适用的 称为 非自 漏的 如 英文的 红色的 根据推理可知 非自谓的 这个词是自谓的 当且仅当它是非自谓的 矛盾1 1 9 2 5 年 拉姆塞 f p r a m s e y 把当时已知i 的悖论分为逻辑数学悖论和 语义悖论两大类 只与元素 类或集合 属于和不属于 基数和序数等概念相 关并且能用符号逻辑体系的语言表述的悖沦称为逻辑 一数学悖论 另一种悖 论不是纯逻辑和纯数学的 它与一些语义概念 如 意义 真 假等有关 称 为语义悖论 我们后来常把逻辑 一数学悖论称之为语形悖论 我们把已知的 悖论按照此种方法分类 列表如下 语形悖论语义悖论 布拉里 一福蒂悖论说谎者悖论及其变形 康托悖论格雷林悖论 非自谓悖论 罗素悖论里查德悖论 等等贝里悖论等等 前面我们已经介绍过关于集合论悖论的解决方案 那么我们现在就来看逻 辑学家是如何解决语义悖论的 语义悖论并不象集合论悖论那样可以归结为纯形式 它涉及到真 假等概 念 罗索在1 9 0 2 年提出的简单类型论虽然能解除集合论悖论但是在语义悖论面 前却显得单薄无力了 根据他的学生兰姆塞的研究 罗素的简单类型论不能解 除象 说谎者悖论 这样的语义悖论 为了解除语义悖论 罗素本人提出了关 于 真 假 概念的分支类型论 罗素的 分支类型论 是在 简单类型论 的基础上做出的进一步的发展 主要是把同一型的集合又分为不同的级 o r d e r 高级别的集合不能作为低级别的集合看待 最低级别的集合称为直 谓的 涉及某一类集合的全体丽又属于此类型的集合叫做非自谓集合 分支类 型论虽然排除了一些语义悖论 但是同时也排除了许多合理的东西 在类型沦 巾某些无害的数学概念被认为不合法 这样一来 许多重要的数学定理无法得 r 堡查奎堂墅窒量堡圭堂堡垒圣 到证明 这就与罗素主张的逻辑主义的目标相去甚远了 于是 罗素引入可化 归定理 但是这实质上等于取消了级的划分 罗索对此也很失望 罗素遇到的困难被他的学生兰姆塞减轻了 兰姆塞指出 认识论的r 语义 的 概念并不属于逻辑 数学系统的必要组成部分 而这些概念在 语义悖 论 中却是不可缺的 因此 认识论悖论 就不会在逻辑 数学系统中得到 表达 兰姆塞还严格地论证了简单类型论l 经他简化过的罗素类型论对与解决 集合论悖论在形式技术方面可以称得上比较圆满了 对于语义悖论 兰姆塞认为应归咎于日常语言的某种缺陷 或许也可以通 过某种层次的区分得以解决 而这种思想在塔尔斯基的工作中得以贯彻 2 0 世纪3 0 年代 塔尔斯基 a t a r s k i 详细地研究了说流者悖论 进一 步认为产生这种语义悖论的根源在于人们在使用日常语言时混淆了语言的层次 和语义的层次 塔尔斯基认为要避免语义悖论首先要区别两种语言 一种是对 象语言 被研究的语言 另一种是元语言 表示语言的手段和工具 以及 包含对象语言中表示真和假的渭词 以此类推还可以构成 元语言的元语言 从而得到一个开放而有层次的语言学上的语言 一个语句相对于一种层次上的 语言来说 它可能就是 假 的或者是无意义的 因此 借助于元语言 我们 可以避免语言悸论 塔尔斯基对说谎者悖论的分析和处理 导致他建立了逻辑语义学 他认为 真理的定义只有在区分了对象语言和元语言后才能获得确切的意义 并且他还 指出了确切的真理定义必须满足 实质充分条件 即 t 的格式 t s 是真的 当且仅当p 是真的 其中s 是语句的名称 它是用元语言来表示的 而p 是句子本身 例如 雪 是白的 是真 当且仅当雪是白的 单就形式而言 塔尔斯基的语义学对语义悖论的解决比较今人满意 也增 强了人们对语言层次沦的信心 但是 在日常思维中真与假的概念本来是单一 的 把 真 假 看成是 有规则的歧义谓词 违于人们的直觉 因此从哲 1 9 望查奎堂堡l 塞圭堡圭堂堡垒圣 一 一 学观点看 这个方案不能令人满意 2 0 世纪7 0 年代克里珀克 s a u lk r i p k e 又进一步试图分析说谎者悖论 的根源并寻找避免悖论的更好的办法 克里珀克认为并非每一合式的语句都有 一个经典的逻辑值 象 说谎者悖论 的语句就没有一个经典的逻辑值 也就 是它没有二值逻辑中的任一逻辑值 它非真非假 克里珀克的这种分析是建立在 有底性 g r o u n d e d u e s s 这个概念j 二的 例如 一个人有把握断言 雪是白的 这时他就有把握去断言 雪是白的 是 真的 所谓 有底性 是指一个语句如果按上述这种过程最终可以得到一个真 假值 我们就说这个语句是有底的 象 本句是假的 就是无底性语句 基于对 无底性 的分析 克里珀克认为语义悖沦可通过 三值 逻辑来 避免 令人遗憾的是加拿大著名的悖论研究专家赫兹博格却推出了多值逻辑与 二值逻辑一样 都不能解决悖论 我们国家的逻辑学家莫绍葵也独立地论证了 多值逻辑中存在悖论 赫兹博格于是尝试着建立一种理论 这种理论既能保留克里珀克的长处 又能适用于通常的二值语义学 他后来提出了素朴语义学 但是素朴语义学仅 仅限于语义悖论的研究 并没有进一步与集合论悖论相联系 这样素朴语义学 并没有造成很大的影响 还有一些逻辑学家也对悖论的研究做出了很大贡献 例如 汤姆逊发现了 对角线定理 找到了两类悖论的共同结构 限于篇幅我们这里就不一一分析了 悖论的文献在这个世纪中可以称得上很浩瀚了 但是哲学界 逻辑学界与 数学界对悖论仍在热烈讨论 公认没有得到圆满的解答 但是近现代的逻辑学 家 数学家为消除悖论所做的工作的确具有划时代的意义 集合论悖论特别是 罗素悖论引起的第三次数学危机为数学以及逻辑学的发展产生了深远的影响 逻辑主义 直觉主义 形式主义都因悖论得到了发展 为了解除集合论悖论 数学家还建立了公理集合沦 使它成为现代逻辑与数学基础的重要学科 但它 自身的协调性无法得到证明 数学的可靠性仍是数学家亟待解决的课题 塔尔 2 0 堡查奎堂堡塞笙堡圭堂堡垒塞 斯基的语义学也是为解除逻辑悖论而建立的 并且成为了逻辑学不可分割的一 部分 然而它不符合人们的直觉 那么怎样建立一套符合人们的直觉的逻辑语 义学呢 这仍需要现代学者的努力 五 结语 从古代到近现代人们对悖论的认识从模糊到逐渐清晰 古西腊学者多数把 说谎者悖论 看成是一种文字游戏 一种茶余饭后的 闲谈 而没有把它当作一项工作去研究 但是这个时期毕竟首先提出了一个逻 辑悖论 为后人提供了研究课题 中世纪时期 人们对悖论的认识产生了一次飞跃 首先 中世纪学者能够刻意构造一些悖论 这本身就说明了他们对逻辑悖 论的某些共性有所了解和把握 其次 他们对不可解命题的解释中指出的自身涉及就是一个对悖论很好的 解释 再次 中世纪学者为解除悖论所做的某些工作可以看成是近代逻辑学家 数学家解除悖论方案的伟大预言 但是 申世纪的学者并没有提出严格的逻辑悖论的定义 直到近代集合论 悖论的发现 人们才对悖论有了严格的定义 近现代的逻辑学家 数学家对悖论的解除做了许多技术性的工作 逻辑悖 论的研究也推动了逻辑学和数学基础的发展 从古至今的悖论研究工作者都为悖论的解除做了不懈的努力 从他们的成 果来看 我们认为 悖论的出现是因为思维中的混乱引起的 例如 集合论悖 论是因为在概括性原则的使用上是否应有限制的问题上出现了混乱 悖论的产生是客观实际与主观认识的矛盾的反映 从认识论的角度看 悖 论的出现是不可完全避免的 这是由认识的本质所决定的 所以在讨论如何解 除悖论的问题上不能存在一劳永逸的企图 这就类似于逻辑对蕴涵的刻画一样 严格蕴涵虽然避免了 实质蕴涵怪论 但是又产生了 严格蕴涵怪论 相干 堡查奎堂堡壅笙堑圭堂堡垒塞 蕴涵虽然避免了不相干谬误却保留了模态谬误 思维