（光学工程专业论文）负折射率介质光子晶体光纤色散特性的研究.pdf

南京邮电大学硕士学位论文摘要 摘要 随着信息社会的高速发展，光纤通信在通信领域中的作用变的越来越重要，随着密集 波分复用( d w d m ) 技术的发展和提高，光纤通信技术正在向着更高速、大容量的方向发 展。随着技术的日益完善以及人们对信息量需求的不断增大，现有光纤技术的发展已经跟 不上人们的需求，于是人们就开始寻求一种新型光纤以取代传统光纤，以适应人们需求的 不断提高。此时含负折射率介质的光子晶体光纤( n 订p c f ) 的研究就被人们提了出来， 其奇异的物理特性和良好的应用前景也使得人们对该介质光纤寄予了极大的期望。 本文所研究的三角形结构负折射率介质光子晶体光纤就是其中的一种。本文采用平面 波法( p w m ) 和时域有限差分法( f d t d ) 两种数值模拟方法研究了负折射率介质光子晶 体光纤的带隙导光特性以及色散特性等。在相同结构参数的条件下，将其带隙结构与正折 射介质光子晶体光纤进行比较，比较了它们之间的导光带宽等，得出了一些有用的结论。 另外，结合平面波法和时域有限差分法两种数值模拟方法，对负折射率介质光子晶体光纤 的缺陷态和色散进行了仿真，并将其色散特性曲线结合二阶色散补偿问题进行了简单的探 讨。 目前对负折射介质材料的研究还处于起始阶段，许多理论和现象问题的研究尚需做出 进一步的探讨，由于在自然界中还没有发现负折射材料的存在，所以目前人们更多的是关 注于人工负折射介质材料的研究，以期能尽快将这些介质材料结合现有的一些技术应用到 光纤中去，使现有光纤通信系统能够得到进一步发展，推动整个信息社会向前迈进。虽然 研究还只是处于起始阶段，但就其目前所表现出来的一些奇异物理特性和现象，可以预期 由该材料所制光纤必将在未来的光通信领域内大放异彩。 关键词：光子晶体光纤负折射率介质平面波法频域有限差分法带隙结构色散 南京邮电大学硕士学位论文 a b s t r a c t o p t i c a lf i b e rc o m m u n i c a t i o ns y s t e mh a v eb e c o m em o r ea n dm o r ei m p o r t a n ti nt h ef a s t d e v e l o p m e n t i n f o r m a t i o ns o c i e t y ，a n do p t i c a lf i b e rc o m m u n i c a t i o n t e c h n o l o g y h a sb e e n d e v e l o p i n gt o w a r d sm o r ef a s t e ra n dc a p a c i t ya st h ed e v e l o p m e n ta n da d v a n c e m e n to f d w d m a si n c r e a s i n g l yp e r f e c tt e c h n o l o g ya n de n d l e s s l ye n h a n c e m e n to fi n f o r m a t i o n a l d e m a n dt op e o p l e ，d e v e l o p m e n to fe x i s t i n go p t i c a lf i b e r st e c h n o l o g y f o rt h es a k eo fb e i n g s e a s o n e dw i t ht h ee n d l e s s l ya d v a n c e m e n tt oh u m a nb e i n g ，s op e o p l eh a v et os t a r tt os e a r c ha n e w f a s h i o n e do p t i c a lf i b e r i no r d e rt or e p l a c et h ec o n v e n t i o n a lo p t i c a lf i b e r a tt h i st i m e s t u d y i n go f t h ep h o t o n i cc r y s t a lf i b e rc o n t a i n i n gn e g a t i v er e f r a c t i v ei n d e xm a t e r i a l 烈蹦一p c f ) i s p u tf o r w a r db yp e o p l e ，a n do na c c o u n to fv a g a r i o u sp h y s i c a lc h a r a c t e r i s t i ca n df a v o r a b l ea p p l i e d f o r e g r o u n dp e o p l ep l a c eo nh u g ee x p e c t a t i o nt op e o p l e i nt h i sp a p e r , t h ep h o t o n i cc r y s t a lf i b e rc o n t a i n i n gn e g a t i v er e f r a c t i v ei n d e xm a t e r i a lt h a tw e m a i n l yd i s c u s s e di so n eo f t h en o v e lf i b e r s w es t u d yt h ep r o p e r t i e so f b a n d g a p sa i r - g u i d i n ga n d d i s p e r s i o no fp h o t o n i cc r y s t a lf i b e rc o n t a i n i n gn e g a t i v er e f r a c t i v ei n d e xm a t e r i a lb yt w on u m e r i c m o d e lm e t h o d so ft h ep l a n ew a v em e t h o d 口a n dt h ef i n i t e d i f f e r e n c et i m e d o m a i nm e t h o d ( f d t d ) o nt h es a m ep a r a m e t e rc o n d i t i o n , w ec o m p a r ei t sb a n d g a p ss t r u c t u r ew i t hp h o t o n i c c r y s t a lf i b e rc o n t a i n i n gp o s i t i v er e f r a c t i v ei n d e xm a t e r i a la n de d u c es o m eu s e f u lc o n c l u s i o nb y c o m p a r i n g 、 ，i mt h e i ra i r - g u i d i n g sb a n d w i d t h i na d d i t i o n , w ea l s os i m u l a t et h ed e f e c tm o d ea n d d i s p e r s i o no fp h o t o n i cc r y s t a lf i b e rc o n t a i n i n gn e g a t i v er e f r a c t i v ei n d e xm a t e r i a l sb yc o m b i n i n g t h ep l a n ew a v em e t h o da n dt h ef i n i t e - d i f f e r e n c et i m e d o m a i nm e t h o da n ds i m p l yd i s c u s si t s d i s p e r s i o nc h a r a c t e r i s t i cc u r v ew i t ht h ep r o b l e mo fs e c o n do r d e rd i s p e r s i o nc o m p e n s a t i o n a tp r e s e n t , t h er e s e a r c ho ft h en e g a t i v er e f r a c t i v ei n d e xm a t e r i a l si se x p a n d e db a r e l y , m a n y r e s e a r c h e so ft h e o r ya n dp h e n o m e n am u s tp u tu pe m b e dd i s c u s s n o wt h en e g a t i v er e f r a c t i v e i n d e xm a t e r i a l sh a v en o tb e e nd i s c o v e r e di nt h en a t u r e ，s op e o p l ep a ym o r ea t t e n t i o nt ot h e r e s e a r c ho ft h ea r t i f i c i a ln e g a t i v er e f r a c t i v ei n d e xm a t e r i a l ss ot h a tw ec a na p p l yt h e s ei n d e x m a t e r i a l st oo p t i c a lf i b e ra ss o o na sp o s s i b l e 谢t i ls o m ee x i s t i n gt e c h n o l o g y ，t h e no p t i c a lf i b e r c o m m u n i c a t i o ns y s t e mw i l lg e tm o r ed e v e l o p m e n ta n df o r c et h ee n t i r ei n f o r m a t i o ns o c i e t yt o s t r i d ef o r w a r d t h o u g hr e s e a r c hi sa ti n i t i a t i v em o m e n t ，b u ti th a v er e p r e s e n ts o m ev a g a r i o u s i i 南京邮电大学硕士学位论文垒垒堕堕 p h y s i c a lc h a r a c t e r i s t i ca n dp h e n o m e n a , w ec a ne x p e c t t h e s em a t e r i a l sw i l lm a k ee x t r a o r d i n a r y s p l e n d o u ra to p t i c a lc o m m u n i c a t i o n f i e l di nt h ef u t u r e k e yw o r d s ：p h o t o n i cc r y s t a lf i b e r s ，n e g a t i v er e f r a c t i v ei n d e xm a t e r i a l s ，p l a n ew a v em e t h o d , f i n i t e d i f f e r e n c ef r e q u e n c y d o m a i nm e t h o d ，b a n d g a ps t r u c t u r e ，d i s p e r s i o n i 南京邮电大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包 含为获得南京邮电大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：盗盈亟日期：域! 妊经 南京邮电大学学位论文使用授权声明 南京邮电大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留 本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其 他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一 致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布 ( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权 南京邮电大学研究生部办理。 研究生签名：鱼盏亟导师签名： 南京邮电大学硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论 光子晶体( p h o t o n i cc r y s t a l ，p c ) 的研究以丰富多彩的物理内涵与令人期待的应用前 景受到注目。近年来，以现有的各种光子晶体光纤( p h o t o n i cc r y s t a lf i b e r ，p c f ) 作为传输 介质进行光纤通信，其在损耗、色散以及非线性效应等多方面都得到了极大的研究和提高， 并在实际生活当中得到了极大的应用。但随着技术的日趋完善，其可提高的空间也越来越 小，这就引起了人们对新型材料的研究，以打破现有的一些瓶颈，从而更好的应用于生产 和生活当中。因此含负折射介质( n e g a t i v er e f r a c t i v ei n d e xo f m e d i u m ，n i m ) 的光子晶体 光纤的研究就被人们提了出来，其奇异的物理特性和良好的应用前景也使得人们对该介质 光纤寄于了极大的期望。目前，人们对于含负折射率材料的光子晶体光纤的研究还处于起 始阶段，由于在自然界中还没有发现负折射材料的存在，所以目前人们更多的是关注于负 折射介质材料的研究，以便于将来对含有负折射材料的光子晶体光纤的研究和应用打下良 好的基础。本文就前人对负折射率材料研究的基础上，提出了对含负折射率介质的光子晶 体光纤( n i m p c f ) 的研究。 1 1 负折射介质的简单介绍 负折射介质这个概念最初是由前苏联物理学家v e s e l a g oe l 】提出的，他指出当介质的折 射率小于零时，光在常规材料( 正折射率介质) 和负折射介质的界面表现出来的特性与在两 种常规介质之间的界面所表现出来的特性完全不同，折射光线与入射光线同时出现在界面 法线的同侧( 即发生负折射) 。负折射介质改变了光波传播的传统现象。在负折射介质中， 光波传播的方向( 即波矢方向) 正好与能量传播的方向相反，同时电场、磁场与波矢满足左 手规则，因此负折射介质也被称为“左手介质”( l e a h a n d e dm a t e r i a l s ，l h m ) 。这种改变引 起了一些非常引人注目的现象，例如反常多普勒频移、反常c h e r e n k o v 辐射等。 由于当时自然界中并未发现存在负折射介质，故由g e s e l a g o 提出的这一理论被搁置了 很长一段时间。1 9 9 6 年英国的p e n d r y 的一篇理论文章中介绍了一种开路谐振金属环构成的 三维周期结构，其等效介电特征类似于等离子体【2 - 3 1 ( 众所周知，等离子体的介电常数可以 为负。但由于等离子体的磁导率大于零，因此负介电常数使得等离子体对电磁波有强烈的 屏蔽作用) ，等效的等离子体频率在g h z 水平，即该系统在r f 波段的等效介电常数为负。更 重要的是，该结构可看作一种谐振回路周期结构。理论分析表明，当电磁波的频率略低于谐 南京邮电大学硕士学位论文 第一苹绪论 振频率时，该系统的等效磁导率也可为负。2 0 0 0 年，美国加州大学的s m i t h 教授等人根据 p e n d r y 的理论文章，在实验上制成了第一个在r f 波段介电常数和磁导率都为负的人工材 料。一年以后，他们用这种负折射材料做成棱镜，从实验上证明了这种材料的折射率也是为 负1 4 5 1 。 由于负折射介质所具有的多种奇妙特性( 如负折射效应、倏逝波放大等) 、基本的物理 理论问题以及新颖的应用前景，负折射介质已成为电磁波和光电子学等方面国际会议的热 点主题之一，而其特殊的物理特性也成为人们最感兴趣的研究，具体特性在下一节中论述。 1 2 负折射介质材料的基本物理特性 1 2 1电磁波在负折射介质材料中的传播特性 由于受到其特性的影响，电磁波在负折射介质中的传播规律与其在常规介质中的传播 规律有很大的区别。电磁波在介质中的传播行为是由其介电常数g 和磁导率决定的。一 束平面波在各向同性均匀介质中传播时，假设其波矢为石，频率为，贝l j 由m a x w e l l 方程组 a x 雷：譬，a x 膏：罢，雪：风豆，d = s o c $ ， ( 1 1 ) 研。西 ” 可以得到电磁场矢量豆、厅和波矢石之间的关系： 石豆：竺豆，石膏：竺g 豆， ( 1 2 ) cc 这里提真空中光速。可以看出，平面波满足色散关系七：= 南z 刀：，其中n 代表折射率。如 果不考虑任何能量的损耗，在正常的介质中，占、n 均为正实数，刀= ( 掣) 2 。若占和 同时变为负实数，则疗= 一( 掣) i ，是负折射率。另外，在正常的介质中， 石、雷和膏遵守 右手定则。而在负折射介质中，它们将遵守左手定则，也就是说云将指向卜( 豆豆) 】的方向。 这时电磁波在负折射介质中的传播会发生一系列有趣的现象。 首先来看电磁波能量的传播方向，即群速度的方向。这个方向由p o y n t i n g 矢量 = e xh 决定。在正常材料中，i 和总是同方向，即相速和群速方向是一致的。但在负 折射介质材料中，这两个方向却正好相反。这个现象可以由图1 1 形象地表示。在正常材 料中，波源和观察者如果发生相对移动，会出现d o p p l e r 效应：两者相向而行，观察者接 收到的频率会升高，反之会降低。但在负折射介质材料中正好相反，因为能量传播的方向 南京邮电大学硕士学位论文 第一章绪论 和相位传播的方向正好相反，所以如果二者相向而行，观察者接收到的频率会降低，反之 则会升高，从而出现逆d o p p l e r 频移。在负折射介质材料中，相速与群速方向正好相反的 另一个推论就是反常c e r e n k o v 辐射。由电动力学可以知道，在真空中，匀速运动的带电粒 子不会辐射电磁波。而当带电粒子在介质中匀速运动时会在其周围引起诱导电流，从而在 其路径上形成一系列次波源，分别发出次波。当粒子速度超过介质中光速时，这些次波互 相干涉， ( a ) 正常材料；( b ) 负折射材料。 图1 1 平面电磁波传播的示意图 从而辐射出电磁场，称为c e r e n k o v 辐射。正常材料中，干涉后形成的波前，即等相面是一 个锥面，电磁波能量沿此锥面的法线方向辐射出去，是向前辐射的，形成一个向后的锥角， 即能量辐射方向与粒子运动方向的夹角，该夹角0 满足关系c o s 0 = ( 叫，其中，是粒子 运动的速度；而在负折射介质中，能量的传播方向与相速度相反，因而辐射将背向粒子的 运动方向发出，辐射方向形成一个向前的锥角，这就是反常c e r e n k o v 辐射【副。 1 2 2 反常折射现象【刁 电磁波在介质中的行为取决于介电常数e 和磁导率l 的空间分布情况，在两种介质的界 面处，电磁场的行为要满足界面连续性条件。当电磁波从介质1 入射到介质2 中，其中介质 l 为正折射介质，介质2 分正折射和负折射介质两种情况。在两种情况下，光在界面处的行 为，都遵从传统的折射定律： 伟s i i l q = 心s i n 0 2 。 ( 1 2 ) 式中和吃是界面两侧介质的折射率；q 和岛分别是入射角和折射角。光在正折射介质界 面间折射时，入射光线和折射光线分别位于界面法线两侧，即发生日常生活中常见的折射 现象。但如果两介质分别是正折射介质和负折射介质时，入射光线和折射光线将位于界面 法线同侧，这时折射角为负，这就出现了反常折射现象。 3 南京邮电大学硕士学位论文 第一章绪论 1 2 3 倏逝波放大嗍 负折射介质材料的一个最激动人心的特性是它能够放大倏逝波分量。从而一个简单的 平板就可以充当完美的透镜，这和普通的凸透镜成像有很大的不同。其物理原理可简单地 描述如下。考虑一个点光源置于负折射介质平板透镜跟前，点光源辐射出的电磁波包含两 种成分：第一种为传播模，可以传播到远场区域，第二种为倏逝波，将随距离的增加而指 数衰减，无法传播到远场区域，只能局域在物点附近。传统的光学透镜的焦平面位于物点 光源的远场区域，只能接收到传播模信号，而不能够探测到倏逝波信息，因此成像的分辨 率总有一个可以和波长相比拟的极限，称为衍射分辨率极限。而负折射介质材料透镜将不 会丢失这些信息，会将所有能量，包括倏逝波成分在内，完全复制到像点。透镜可以补偿 传播模分量的相位，放大倏逝波的振幅。因此点光源辐射出的电磁波的所有分量的相位和 振幅都得到了还原，这样它们传播到像平面时不会损失任何信息，能量百分之百透过。正 因为这一点，这种透镜被称为“完美透镜 。 负折射介质材料的物理特性还有很多，在此就不一一赘述了，但从以上三个基本特性 里还是可以看出负折射介质材料的应用前景是非常广阔的，因此对含负折射率介质材料的 光子晶体光纤的研究就显得很有必要了。而不论是对带隙、损耗还是色散的仿真研究都离 不开数值计算，因此，采用一种简便、快速的数值计算方法对研究是非常重要和有意义的。 下面就数值计算方法进行一些介绍。 1 3 光子晶体光纤的数值计算方法简介 光子晶体光纤具有复杂的几何结构，由传统的电磁场理论的解析方法很难得到精确的 解析解，因此需要利用数值计算方法，通过模拟电磁场在光子晶体光纤中的传播过程来对 p b g - p c f 进行分析研究。 目前，有多种方法可以用来分析研究光子晶体的特性，而这些算法有着各自的收敛速 度和所需硬件条件，因此选择适合自己研究的一种算法就显得尤为重要，这里就简单介绍 几种数值模拟算法及各自的优缺点，如多重平面波散射法、转移矩阵法、平面波展开法、 时域有限差分法等等。 1 3 1 多重平面散射法【9 j 多重平面波散射理论已经被用在描述动态声光互作用过程。多重平面波散射理论的基 4 堕塞墅皇奎堂堡主堂堡丝苎里二兰堡垒 础是：光场和声场可以分解成无数的角平面波。数学上可用耦合微分方程组( 1 ) 来表示 鲁：j 竽 p 一4 铷2 肛l 饼乓d + p _ ，争 ( 2 肿l 麟毛+ 。 ( 1 3 ) a f2 、 ”1” 边界条件为：在z 0 时，e = 瓯o ，瓯。是克罗内克符号，毛是频率为q = t o o + ，疵在 吮= 妣+ 2 n # a 方向上光波的复振幅。n 为射级，可以取正数也可以取负数，所以e 可以代 表上移和下移的衍射级。s i n # , = 叫2 k = 厶2 a ，k 和k 分别为声波和光波的传播常数，人和 气分别为声波和光波在介质中的波长，九为布喇格角，妣是入射平面波的入射角，品 是峰值相位延迟，表达式为 珏c k , s l ：业k 三 ( 1 4 ) z n o ( 2 ) 式中，c 是与弹光系数p 相关的常数，c = 一露p ，s 是声场的振幅，l 是声光互作用长 度与声场的有效宽度相近，光沿z 向传播，孝= z 三是在声光互作用区的归一化坐标。 ( ) 一= n o c s 2 ，n o 是介质在没有加声场的平均折射率。q ( 也被称为e n c 0 0 k 参数) 是描述声光互作用的重要参量，定义为 q = 等= 警 n5 ， 多重散射理论的物理含义是：n 级衍射光e 由低一级衍射光e - 和高一级衍射光e + 。散射产 生。这就等于假设不同级次的光只同相邻的光发生耦合。 1 3 2 平面波展开法1 0 】 这是在光子晶体光纤带隙结构研究中用得比较早和用得最多的一种方法，主要适合于 研究完整周期性结构的光子带隙。通过将电磁场在倒格矢空间以平面波叠加的形式展开， 可以将麦克斯韦方程组化成一个本征方程，通过求解本征值便得到可传播的光子的本征频 率。这种方法的优势是直接在频域内求解本征频率，编程简单，收敛的速度快，在计算完 整周期性结构的光子带隙时不失为一种好的选择。但是，这种方法有明显的缺点，计算量 与平面波的波数有很大关系，几乎正比于所用波数的立方，因此受到较严格的限制，对于 存在缺陷的有限周期结构，需要将平面波展开方法结合“超晶胞 法来求解，这需要大量 平面波，将导致计算量的急剧增大。 南京邮电大学硕士学位论文第一章绪论 1 3 3 时域有限差分法 i f - 1 2 】 f d t d 方法在计算任意几何结构中的电磁场分布时，是一个非常通用的方法。它是基于 离散的m a x w e l l 方程，对波的传播方向不作任何假设，也不需要其他的理论假设，能直观 地得到电磁波的传输特性，所以它是一种非常有效的方法，对于具有周期性结构的光子晶 体，可以将一个单位原胞划分成许多网状小格，把m a x w e l l 方程转化为离散的有限差分方 程形式，在网格的边界处可利用周期性的边界条件。通常将整个计算时间分为t 个时间步， 随着时间的推移，场被不断的更新，当时间步足够长时，场会逐渐趋于稳定。然而，周期 性的结构模拟并不能总是很好地适应实际的有限尺寸的结构。对于周期性的结构中存在缺 陷或晶体不具备周期性时( 如p b g p c f ) ，可以使用非周期性的边界条件，目前使用最广 泛的是完全匹配层( p e r f e c t l ym a t c h e dl a y e r ，p m l ) 吸收边界条件。 f d t d 方法的一个主要优点就是在一次运行过程中，记录下所观察的网格点处的每个时 间步的场值，对记录的场值作f o u r i e r 变换就可以得到整个频率范围内的频率响应。因此， 它适合于光子晶体结构的模拟和带隙结构的分析，尤其在带有缺陷的光子晶体结构的计算 时相对与p w m 有很大的优势。 本文采用p w m 和f d t d 方法分别对含负折射介质材料的光子晶体光纤的带隙和色散 特性进行数值模拟和仿真，这两种方法将在第二章中进行详细介绍。 1 4 论文的研究重点和内容安排 本文主要分析研究含负折射介质材料的光子晶体光纤( n i m p c f ) 作为传输介质，其 所具有的带隙和色散特性，并将p w m 和f d t d 两种方法相结合，进行数值模拟和仿真。 下面是本文的内容安排。 第一章首先简单介绍了负折射产生的原因，随后介绍了到目前为止关于负折射介质的 研究历史和现状，接着简单介绍了几种比较经典的负折射现象，最后简单介绍了几种用于 分析光子晶体光纤的几种常用的数值计算方法。 第二章对p w m 和f d t d 这两种分析光子晶体光纤的数值计算方法作比较详细的介 绍，并对两种方法的优缺点和适用的范围进行比较，作为随后在第三、第四章中分析和计 算仿真含负折射介质的光子晶体光纤带隙结构，进一步讨论光子晶体光纤的缺陷态及波导 色散特性的理论基础和基本方法与工具。 第三章给出了利用p w m 方法计算带隙结构的算法流程，并利用p w m 计算仿真了不 6 南京邮电大学硕士学位论文 第一章绪论 同参数条件下n i m p c f 的带隙边界结构，最后给出了在相同参数条件下n i m p c f 与 p b g p c f 的带隙结构的比较。 第四章对研究n i m p c f 缺陷态及波导色散特性的理论基础进行了论述，并给出了计 算缺陷态与相应波导色散特性的方法及算法流程，随后利用该方法( 将f d t d 与p w l v 结 合起来) 仿真计算不同参数条件下n i m p c f 的缺陷态及对应的波导色散特性曲线，最后 进行了总结。 第五章在第四章仿真结果的基础上对n i m - p c f 的色散平坦以及色散斜率在光通信中的 应用进行了分析，并对未来的发展进行了展望。 7 南京邮电大学硕士学位论文第二章平面波法( p w m ) 和时域有限差分法( f d t d ) 的基本理论 第二章平面波法( p w m ) 和时域有限差分法( f d t d ) 的基本理论 光子晶体具有复杂的几何结构形式，用传统的电磁场理论分析方法很难得到精确的解 析解，因此只能采用数值计算的方法通过仿真计算来对其进行分析。目前有多种方法可以 用来研究光子晶体，如：平面波方法( p l a n ew a v e sm e t h o d p w m ) 【】、时域有限差分法 ( f i n i t ed i f f e r e n c et i m ed o m a i n - f d t d ) b 3 、转移矩阵方法( t r a n s f e rm a t r i xm e t h o d - t m m ) 、 有限元法( f i n i t ee l e m e n tm e t h o d - f e m ) 1 1 4 】等等。在本文中，运用p w m 计算完整周期结构 光子晶体的带隙结构，运用f d t d 计算方法来计算带缺陷的光子晶体光纤中的缺陷态进而 来研究光子晶体光纤的波导色散特性。下面介绍这两种方法的基本理论，作为后续章节的 理论基础。 2 1 负折射率材料的电磁性质 在经典电动力学中，介质的电磁性质可以用介电常数占和磁导率两个宏观参数来描 述。正弦时变电磁场的波动方程( h e l m h o l t z 方程) 为： v 2 雷+ 七2 豆：0( 2 1 ) 其中，k 2 = 缈2 胪= 国2 m 岛，豆( ，t ) - 雷( ，k 埘。 自然界中物质的和占一般都与电磁波频率有关，并且在大多数情况下都为正数，此 时方程( 2 1 ) 有波动解，电磁波能在其中传播。电磁场遵循的m a x w e l l 方程组为 v 西( ，) = p ( ，f ) v 召( ，r j = 0 v 疗怫掣+ 歹 v 西，f ) = 一1 a b ( r 厂, t ) 、 ( 2 2 ) 对于无损耗、各向同性、空间均匀的介质，1 0 有p ( r ，f ) = 0 ，了( ，) = 0 ，占( ，) 为实数。 其中国为振荡频率。由此( 2 2 ) 式可改写为： 8 南京邮电大学硕士学位论文 第二章平面波法( p w m ) 和时域有限差分法( f d t d ) 的基本理论 v s o 归( ，) = 0 品y - 日【，) 2 2 、 ( 2 3 ) v x 厅( ，) = _ ，嬲。占( ，归( ，) 、厶j7 v 豆( ，f ) = 一歹和( ，) 可推出云豆= 雄豆，k x h 一= 一嬲雷，k 。- e 一= 0 ，云h 一= 0 。可见，豆、膏、石之间满足右 手螺旋关系，通常这种一般材料被称为右手介质( r i g h t - h a n d e dm a t e r i a l s ，r h m ) 。 如果介质的和s 两者之间一个为正数而另一个为负数，则七2 o ， 0 )( b ) 负折射率材料( e o ， 印 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 霄( ，) - - h c o , ，名弘惦崛妒占a j 崛 ( 2 1 7 ) 其中q 为倒格矢，占五j + 西为垂直于g + 石的两个方向矢量( 旯- - i ，2 ) 。将( 2 1 7 ) 和( 2 1 5 ) 代入( 2 i i ) ，经简化可得【7 l ： g i k + g i i 1 1 6 - i ( g 叫嚣：剥阡稚 亿埘 ( 2 1 8 ) 是一个标准的特征方程，通过数值方法求解该特征方程，可以得到对于特定波矢 k 的一系列特征值，进而得到带隙图： 需要指出的是，在实际计算过程中由于人力和计算机的限制只能取有限的g ，这相当 于信号处理中的高频成分的截取，如果g 足够多的话，可以很好地趋近实际信号。在计算 中取有限的n 个g ，对于这n 个g ，式( 2 2 2 ) 是一个含有2 n 个未知量的2 n 维方程组，在 矩阵形式上，系数矩阵为2 n x2 n 的矩阵。以第f 个等式为例，个g 表示为 g l ，g 2 q g ，有： 胀+ q ) 巳( g ，) 】胀+ g t ) x e ( g 。一( g l g 1 獗( g i ) + 酝+ g j ) p 。( g i ) 】酝+ g ：) p 。( g ：准。1 缸一g ：溉( g 2 ) 4 - 酝+ g j ) x e 。( g 1 ) 】胀+ g ) p 。( g 一心一g 溉( g ) + 酝+ g i ) x e 。( g ，) 】+ g 1 ) x e ：( g 。一( g i g 。溉( g 1 ) + ( 2 1 9 ) + g 1 ) x e 。( g i ) 】+ g 2 ) 口：( g ：堆。1 心一g 2 ) 7 1 2 ( 6 2 ) 4 - 胀+ g f ) p 。( g i ) 】酝+ g ) p ：( g 堆。1 慨一g m 姚( g ) = 等1 l l ( g ，) 南京邮电大学硕士学位论文第二章平面波法( p w m ) 和时域有限差分法( f d l 田) 的基本理论 胀+ g ) p ：( g ，) 】眙+ g 。) g ：( g 。堆。1 心一g ，m 。( g 1 ) + + q ) p ：虹) 】胀+ g 2 ) p ：( g 2 活。1 ( g j g 2 ) 7 l i ( g 2 ) + 酝+ q ) p ：( g ，) 】胀+ g ) p ：( g 。1 一g 溉( g ) + 胀+ q ) p ：( g ，) 】+ g 1 ) 气( g 。1 虹一g ih ( g 1 ) + ( 2 2 0 ) + q ) p ：( g i ) 】胀+ g ：) p 。( g ：堆q 虹一g 2 溉( g ：) + 酝+ q ) p ：虹) 】酝+ g ) p 。( g 一1 虹一g 溉( g ) = 等红b ) 将( 2 1 9 ) 和( 2 2 0 ) 综合表示为阻p 】= 人口】的矩阵形式： 所l i m 2 1 聊2 ，。1 ( g 。) 1 啊( g ) 办：( g 1 ) 如( g ) j z l ( g 。) 啊( g ) 坞( g 1 ) h ：( g n ) ( 2 2 1 ) 在实际求解过程中就是通过求解式( 2 2 1 ) 来得到本征频率，进而得到带隙结构的。 、 以上给出了p w m 求解带隙结构的基本理论及其公式的推导过程。对于具体情况，通 常还可以对式( 2 1 8 ) 和式( 2 2 1 ) 作进一步的化简处理，采用p w m 求解光子晶体带隙 结构的基本过程是类似的，可归纳如下： ( 1 ) 给定一个后值； ( 2 ) 根据晶体结构找倒格矢，选择倒格矢集g ； ( 3 ) 求出傅里叶变换系数f 1 ( g g ) ； ( 4 ) 求石+ g 和两个单位矢量集； ( 5 ) 构成肘矩阵； ( 6 ) 求本征值。 ( 7 ) 取另一个给定一个j i 值，重复上( 1 ) - ( 6 ) 直至后值集满足问题要求。 ( 8 )由本征值构成带隙结构图。 可见，p w m 求解过程中的一个主要问题是如何得到傅里叶变换占( g g ) ，通常需要 对s 伊) 进行f f t ，这要求较大的计算量。但幸运的是，对于一些简单结构( 如正方形，圆 等) ，其傅里叶变换可以直接由解析式得到，从而大大减少了计算的时间和内存需求。 1 4 vioijoiijooo且 州 名工； ； 脚? 唧 堕塞塑皇奎堂堡圭兰垡笙塞塑三兰! 耍鎏鎏! ! ! 型! 塑堕苎蔓堡茎坌鲨! 坚! 堕! 塑墨查堡丝 需要指出的另一点是，根据布洛赫定理，由于介电常数结构存在周期性，带隙结构也 将存在周期性，因此在计算过程中，仅需计算第一布里渊区中的某些k 值点即可。而利用 第一布里渊区的对称性，计算可以进一步简化，仅需计算一些边界上具有对称性的k 值点 即可，其余k 值点相应的频率缈都是落入带内的，利用这一点可以大幅度的减少计算量， 提高计算速度。 2 3时域有限差分法( f d t d ) 基本理论0 9 - m 1 2 3 1y e e 氏网格介绍 电磁波满足的麦克斯韦方程组是宏观电磁现象的一组基本方程。这组方程既可以写成 微分形式，也可以写成积分形式。f d t d 方法是由微分形式的麦克斯韦旋度方程出发，通 过对各电磁场分量进行时间和空间上的差分离散，进而得到差分迭代公式，然后利用计算 机编程进行数值模拟的。 为了建立差分离散方程，首先要把变量空间的连续变量离散化。通过把计算空间划分 为许多网格，把原本连续的变量在计算空间内离散化，然后在离散点上用差分方程代替原 来的微分形式，这样就把在一定空间内解微分方程的问题变为求解差分方程的问题，从而 通过对差分方程的编程得到在计算机上的数值模拟。 在f d t d 离散方程中电场和磁场在各节点的空间分布如图2 2 所示，这就是著名的 y e e 网格。从图2 2 来看，这个网格体系具有这样的特点，电场和磁场各分量在空间的取 值点被交叉地放置，使得每个坐标平面上每个电场分量的四周由磁场分量环绕，同时每个 磁场分量的四周由电场分量环绕。这样的电场空间配置符合电磁场的基本规律一一法拉第 电磁感应定律和安培环路定律的要求，也就是m a x w e l l 方程的基本要求，因而也符合电磁 波在空间传播的规律，同时电磁场各分量的相对空间位置也比较适合m a x w e l l 方程的差分 运算。 南京邮电大学硕士学位论文第二章平面波法( p w m ) 和时域有限差分法( f d l m ) 的基本理论 图2 2 电磁场在y e e 网格中的空间分布 电磁场的计算与计算空间媒质的电磁性质有重要关系，在网格空间中除了规定电磁场 的离散取值点以外，还必须同时给出各离散点相应媒质的电磁参量。通过赋予空间电磁参 数的方法可以在网格空间中模拟各种媒质空间及各种电磁结构，计算时可使这些网格组成 的整体在几何形状、物理尺度和电磁特性等方面都与被模拟的媒质结构最大限度的接近， 这使得用时域有限差分法模拟电磁波与各种复杂的媒质结构的相互作用变得比较容易。 在y e e 网格中，每个坐标轴方向上场分量间相距半个网格空间步长，因而同一种场分 量之间相隔正好为一个空间步长。为了保证计算的稳定性，时间离散的步长与空间步长必 须满足一定的关系，由后面的分析可知，时间步长可选为电磁波传播一个空间步长所需时 间的一半。在选定了空间网格结构后，就可以在时间上迭代求解，由给定相应电磁场问题 的初始值，f d t d 方法就可以在时间上迭代，求得以后各个时刻电磁场的空间分布。 2 3 2m a x w e l l 方程的有限差分表示 假定所研究的电磁场问题只涉及各向同性、线性且与时间无关的媒质，但可以存在电 和磁的损耗。于是在无源区域，可以把m a x w e l l 方程表示为如下的形式： v 膏：望+ 歹( 2 2 2 ) a v 小一詈+ 无 各向同性线性介质中的本征关系为： ( 2 2 3 ) d = 龌，b = 脾，j = o e ，l = 日 ( 2 2 4 ) 1 6 南京邮电大学硕士学位论文第二章平面波法( p w m ) 和时域有限差分法( 咖) 的基本理论 其中，s 表示介质介电常数，表示磁导系数，在本文中由于讨论的负折射介质，所以这里g 和均为负值，仃表示电导率，表示等效磁阻率。仃和分别为介质的电损耗和磁损 耗。引入等效磁阻率的目的主要在于使方程具有对称性。 在直角坐标系中，( 2 2 2 ) 和( 2 2 3 ) 式写为： ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) f 面考虑m a x w e l l 方程的f d t d 差分离散形式。根据图2 2 ，可以定义网格点的坐标 ( i ，j ，k ) 为 f ( x , y ，z ) = f ( i a x ，y a y , k z ) ( 2 2 7 ) 其中缸，缈，垃分别是直角坐标系x ，y ，z 轴方向上网格间距，i ，j ，k 都为正整数，如果 用缸表示离散化的时间间隔，n 表示时间长度，则可将上式变为含时间变量的函数 f n ( x ，j ，z ，t ) = f ( i a x ，j a y ，k a z ，n a t ) ( 2 2 8 ) 对厂g ，少，z ，r ) 关于时间和空间的一阶偏导数取中心差分近似，即 翌垒：型) | 生：2 11 = 1k ) a x i 扣如谭 a x 笙鱼：z ! 三：! ) i! ：( ! ：兰：圭：! ) 二! ：( ! ：兰二墨：! 砂 i ，嘶 缈 1 7 ( 2 2 9 ) e 色 巨 盯 伊 伊 一 一 一 吗i堡锄堡钞 盟钞盟勃吗一劫 il，i 一s一占一占 = = = 皿一防晖一钟幔一办 致 q 县 b 薯 b 驽 b 鸯 堡钞堡钯辑卜毽 一 一 一 吗i堡锄堡钞 一一一 = = = 戤百里钟魍i 南京邮电大学硕士学位论文第二章平面波法( p w m ) 和时域有限差分法( 舳) 的基本理论 量蚓! ! ( ! ：兰：! 二圭) 二! ! ( ! ：兰：! 二圭 出 i ：池 a z 在三维直角坐标系中，通常可将y e e 元胞取为立方体，即等间隔离散： 缸= 缈= z = 万 ( 2 3 0 ) 并记： 828 n s r z2 z o p r ( 2 3 1 ) 在大多数