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东北大学硕士学位论文摘要 有交易费用的欧式期权定价模型 摘要 期权在现代金融市场中发挥着重要的作用在现代金融市场中，困扰投资者的一个 关键问题是期权的定价问题b l a c k 和s c h o l c s 在这方面做了开创性的工作，建立了著名 的期权定价“b - s 模型”，为包括股票、债券、货币、商品等在内的衍生金融产品的合理 定价奠定了理论基础但是，由于“b s 模型”是建立在比较“理想化”的一些限制条 件下的，所以与实际情形有出入，应用也因此受到了限制如何弱化或修正这些限制条 件或者通过其它手段，推出改进的或者新的期权定价模型，使其更具有实用性，是很多 人一直深入研究的方向 通过仔细研究与分析“b _ s 模型”及l e l a n d 等人提出的有交易费用的欧式期权定价 模型，我们认为首次购买( 出售) 期权时因对冲而出售( 购买) 股票的交易费用，以 及在到期日实施期权时的股票交易费用也应该考虑进来，并据此给出了两个新的边界约 束条件： 欧式看涨期权的边界约束条件：s ( r ，s ) 一i n 缸( ( 1 一七) 品一x ，o ) ； 欧式看跌期权的边界约束条件：1 ( r ，s ) 一m 强( x 一( 1 一后) s ，o ) ， 以及在新的边界条件下的四种新的有交易费用的欧式期权定价方程，分别是 有交易费用的欧式看涨期权多头定价方程 鲜o t2 f 0 2 - 2 k o 压1 s 2 孑a 2 f + 心善币争o ，啷c s r i ( t ，s ) - m a x ( ( 1 - k ) s 1 ：- x ，0 1 有交易费用的欧式看涨期权空头定价方程 到0 2 - 2 k a 阑s 2 警+ 嘻巧争肛 i ( t ，s ) - 蚴( ( 1 一七) s x ，o ) 有交易费用的欧式看跌期权多头定价方程 东北大擘硕士学位论文摘要 雌d t2 f a 2 - 2 k a 圜s 訾+ 心芸小扣啷t f ，( r ，s ) - m 勰( x 一( 1 一七) 品，o ) 有交易费用的欧式看跌期权空头定价方程 到a z - 2 k a 阈s 2 警+ 唔彳争o ，o 出哪一i 1 ( r ，s ) - m 勰( 工一o - k ) s ，o ) 和基于这些方程的四种有趸易贾用的欧式朋税足价公式与平移r 公式，分别是 有交易费用的欧式看涨期权多头定价公式 球，s ) 一( 1 一七) 掰( 盔) 一x e ，( ) 一鲁h 叫川) 有交易费用的欧式看涨期权空头定价公式 ，( 啦) - ( 1 一七) 掰托) 一洫。忡) ( d ：) + 鲁( 1 一f 巾q ) 有交易费用的欧式看跌期权多头定价公式 工- 盟坤- 1 ) n ( - d ：) 一( 一一七) s n ( - d 1 ) 一鲁( 一c 一忡) 有交易费用的欧式看跌期权空头定价公式 工( 稍) 一即 ( 一d ：) 一( 1 一k ) s u ( 一盔) 噜( 1 _ e ，) 平价公式 i ( t ，s ) + x e “- l ( t ，s ) + ( 1 一k ) s 并将萁与i l a n d 等人提出的有交易费用的期权定价公式和平价公式作了全面比较 关键词：欧式期权：定价模型；平价公式；交易费用；边界条件；a 一对冲 m 东北大擘硕士学位论文 t h ee u r o p e a no p t i o n sp r i c i n gm o d e lw i t h t r a n s a c t i o nc o s t s a b s t r a c t t h eo p t i o np r i c i n gt a k e sa l li m p o r t a n tp a r ti nm o d e mf m a n c a lm a r k e t t h ep r i c i n go f o p t i o n si sak e yq u e s t i o na l la l o n gw h i c hp u z z l e st h ei n v e s t o r si nm o d e mf m a n c a lm a r k e t b l a c ka n ds c h o l e sh a v eg i v e nf a m o u s “b - sm o d e l ”w h i c hm a d eat h e o r e t i c a lf o u n d a t i o nf o r r e a s o n a b l ep r i c eo fm o n e yp r o d u c tw h i c hi n c l u d e ds t o c k , b u n o dc u r r e n c y , c o n m m o d i t ya n ds o o n w h i l e “b - sm o d e l ”w a sp r o p o s e di ni d e a lc o n d i t i o n sa n di tw a sn o tc o r r e s p o n d i n gt ot h e f a c t p e o p l ea r c ：a l w a y sd o i n gh o wt oa m e n d t h e s el i m i t e dc o n d i t i o n so ru s eo t h e rm e a s u r e st o g i v ea m e n d i n gm o d e lo rn e wp r a c t i c a lm o d e l t h r o u g hs t u d i n g “b - sm o d e l a n dt h eo p t i o np r i c i n gm o d e lw i t ht r a n s a c t i o nc o s t sw h i c h w a sp r o p o s e db yl e l a n o dw ct h i n kt h a tt h et r a n s a c t i o nc o s t so fs t o c kw eb u yo rs e l lo p t i o nf o r t h ef i r s tt i m eb e c a u s eo f a - h e d g i n ga n dt h et r a n s a c t i o nc o s t so fs t o c kw ea c t u a l i z eo p t i o ni n m a t u r i t ys h o u l db et a k e n i n t oa c c o u n t a c c o r d i n gt ot h a tw e g i v et w on e wl i m i tc o n d i t i o n sa s f o l l o w s ： e u r o p e a n c a l l o p t i o n ，( l s ) 一m a x ( ( 1 - k ) s r x ，0 1 ； e u r o p e a n p u t o p t i o n ，( 丁，s ) - m a 】【( x 一( 1 一k ) s t ，o ) ， ht h en c wl i m i tc o n d i t i o n s w eg i v ef o u rn e wo p l i o np r i c i n ge q u a t i o n sw i t ht r a n s a c t i o n c o s t sa sf o l l o w s ： t h ee u r o p e a nc a l lo p t i o nl o n gp r i c i n ge q u a t i o nw i t ht r a n s a c t i o nc o s t s 雕o r f六牡盯罔舔。心西币争lo21 2 f + o f o s s o o , o 而言的，舒j 生资产的价值取决于或派生于基础商品或资产的价格及其变化例如，股票 期权就是一种建立在股票这种基础资产上的衍生资产，它的价值取决于股票价格的变 化六十年代末到七十年代初期，随着全球性市场的迅速扩张和战后布雷顿森林体制的 崩溃，国际贸易与金融商品交易变得日益活跃，其规模不断扩大，其相应的风险也日益 增加基于抵消风险和提高效率的客观要求，美国芝加哥商品交易所( c m e ) 所属的国际 货币市场( i i i ) 于1 9 7 2 年率先推出外汇期货交易t 随后芝加哥期货交易所( c b o t ) f 1 9 7 3 年在其筹建的芝加哥期权交易所( c b o e ) 觥要交易所的上市股票有选择地开 办期权交易此后，各种创新衍生产品及交易方式不断出现 目前，金融衍生市场开展期货( f u t u r e s ) 、期权( t i o m ) 、远期( f o 刑舡d s ) 、互换( s w a p s ) 等多类业务期权是指期权合约的购买者拥有在预先约定的时间以预先约定的价格进行 基础资产的买或卖的权利( 而非义务) ，又被称为选择权期权合约包括看涨期权( c a n 1 东北大学硕士学位论文第一幸绪论 。砸o n ) 和看跌期权( p u to p t i o n ) ，前者给予持有人买入基础资产的权利，而后者则给予期 权持有人卖出基础资产的权利合约中的约定价格为敲定价格( s t r i k ep r i c e ) 或执行价格 ( e x e r c i s ep r i c e ) 按执行日的不同，期权有美式和欧式之分美式期权可以在合约到期前 的任何一天执行，面欧式期权则只能在到期日的当日执行 期权的基本特征是它给予合约持有人一种权力( 而非义务) 如果期权合约的购买 者认为现行的市场价格比合约中的执行价格对己更有利，他便会放弃对期权合约的执 行，这一点使期权有别于远期和期货合约，后者赋予持有人到期履约的义务期权的这 一特征使期权合约持有人的交易风险被控制在某一水平之下，从而防范和规避风险期 权的优势使期权合约不像远期和期货合约那样可以免费达成，为了取得这种权利，期权 的购买者必须支付一定数量的保险金( p r e m i u m ) ，因此保险金成为期权这一金融衍生产品 的价格【l h 4 1 1 2 期权定价理论的发展 期权的价格实际上是一种风险价格，影响期权价格的因素众多，包括基础资产的当 前价格、执行价格、期权的期限、基础资产价格的波动率和无风险利率等诸多因素长 期以来，人们一直在探索利用各种因素正确评估风险的有效方法 现代期权定价理论体系的雏形来自法国数学家路易斯巴舍利耶( l o u i sb a c h c l i c r ) ( 1 9 0 0 年) ，在其所著投机理论一书中，他提出了最早的期权定价模型该模型假 设股票价格过程是绝对的布朗( b r o w n ) 运动，单位时间方差为口2 ，且没有漂移，买权的 预期价格公式为 巾州毋西( 号) 爿呻( 等) 竹叫等) ， m ， 其中s 是股票价格，x 是执行价格，f 是距到期日的时间，t ( t ，s ) 为买权价格，m ( ) 和 驴( ) 分别是标准正态分布函数和标准正态密度函数 巴舍利耶模型莫定了现代期权定价理论的基础，但该模型假设股票价格过程是绝对 2 东北大擘硕士学位论文 第一章绪论 布朗运动，允许股票价格为负，另外，由于该模型忽略了资金的时间为正，忽略了期权 与股票间的不同风险特征以及投资者的风险厌恶，因而在应用上受到限制 在巴舍利耶以后的半个多世纪里，期权定价理论进展甚微，直到本世纪6 0 年代才 有了一些新的进展其中主要的有 1 、1 9 6 1 年，斯普里克尔( c m s p r e n l d e ) 在认股权价格是预期和偏好的指示器 一文中，假设股票价格过程是对数分布，有固定的均值和方差，以此假设为基础，他提 出了一个买权的定价公式如下， ，( f ，s ) - s m一( 1 一硝) x 。中 式中p 是市场价格杠杆的调节量 2 、1 9 6 4 年，博内斯( b 叨e 哟在股票期权价值理论的要素一文中，也假定股票 收益呈固定对数分布不同的是，博内斯考虑了风险的重要性，认为投资者不在乎风 险饱的期权定价公式是 厂( f ，s ) 一s o e x m 式中口是股票的预期收益率 3 、1 9 6 5 年，萨缪尔森限as a m n e l s o n ) 在认股权定价的合理理论中提出一个欧 式买权的定价模型该模型考虑到了期权和股票的预期收益率因风险特性的差异而不一 致，并认为有一个固定的更高的预期收益率，的期权定价公式是 一3 东北大擘硕士学位论文第一章绪论 ，o ，s ) 口一卢) l s 中 一f 毋x 垂 ( 1 4 ) 4 、1 9 6 9 年，卡苏夫( 勋鹦o u 0 在暗含投资者预期与冒险性的期权价格的计量经 济模型中用如下公式估计买权价格 ，( r ，s ) - x 【( s ，x ) 7 + - 】；一 ，r s m ( ，5 ) 它限定了买权价格的范围为m 娃( s x ，0 ) 上述期权定价模型的提出，推动了期权定价理论的发展，为后来的b l a c k s c h o l e s 模型的建立奠定了基础 期权定价理论的全新革命始于1 9 7 3 年，这一年布莱克( b l a c k ) 和斯克尔斯( s c h o l e s ) 发表了他们关于期权定价的经典论文期权定价与公司债务，在文中提出了著名的期 权定价模型- b - s 模型 詈1 2s2警+心吾一r2 o ( 1 6 ) ma s za s 、。 除o r 外，模型中其它变量均可以直接观察到该定价模型公式与其它期权定价模型不同， 期权的价格并不依赖于似乎相当重要的投资者对股票价格变动收益的预期，而且通过 建立与未来股价无关的一个对冲投资组合，获得期权的均衡价值因此。股票收益不论 如何变化对这一对冲投资组合的报酬都不产生任何影响b - s 模型为投资者提供了一种 方便精确确定期权价值的方法和控制风险的手段 b s 模型为投资者提供的适用于股票的任何衍生证券的定价公式在理论和应用上都 存在缺陷，它的推导及运用受到各种条件的约束，过于严格的假设削弱了定价公式在实 际中的运用之后不久，默顿获得了对b - s 模型另一种推导方法，并且给予了推广 在以后的时间里期权模型得到了不断的发展1 9 7 9 年，考克斯、罗斯和罗宾斯坦提 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 出了二叉树模型，而哈里森和克雷普斯提出了多时段的鞍方法和套利1 9 8 1 年，哈里森 和普利斯卡提出了等价鞍测度( 与“市场有效性假设”密切相关) 这些工作本质上都是 为风险管理服务的1 5 h 6 1 1 3 期权定价理论的现实意义 期权定价理论几乎与期权同时出现，而且自诞生以来发展十分迅速，对现代金融市 场的发展起到了积极作用，主要体现在以下四点 ( 1 ) 期权定价理论加速了现代金融理论的建立 现代金融理论是指在金融经济学中大量运用金融数学，研究金融风险的防范与控 制、资本市场的运营、资本资产的结构及定价等问题取得的成果金融数学是指以概率 统计和泛函分析为基础，以随机分析和轶论为核心的数学理论现代金融理论伴随着金 融市场的发展而不断完善成熟起来金融市场是指债券、基金、股票、期货和期权等金 融证券市场由于经济的迅速发展，要求金融市场不断完善，以防范控制和化解金融风 险，由此而言，各种金融衍生产品层出不穷，这就要解决金融衍生产品的定价问题和投 资决策问题在现代金融理论发展的过程中，马克维茨( m a r k o w i t z ) 组合投资理论开创了 由传统非数量化金融分析( 基本分析、技术分析以及经验占主要成分) 的定性分析方法向 数量化方法转交实现了第一次质的飞跃 另一个金融市场创新实践成功的典范是期权定价1 9 7 3 年，美国芝加哥大学的b l a c k 教授和s c h o l e s 教授在美国“政治经济学杂志”上发表了一篇名为“期权定价与公司负 债”的论文，同年美国哈佛大学的m e r m n 教授在另一刊物“贝尔经济与管理科学杂志” 上发表了另一篇关于期权定价的论文“期权的理性定价理论”，这两篇文章奠定了期权 定价的理论基础，开创了现代金融理论的发展新纪元虽然人们对期权这一衍生工具的 诞生期待己久，但当时却很少有人能够预料到其后的几十年它会对现代金融理论与实践 带来巨大的冲击和影响 期权定价理论及其应用成为现代金融理论领域最活跃的分支之一，如果说马可维茨 的投资组合理论引发i “华尔街第一次革命”，那么b l a c k 、s c h o l e s ，m e r t o n 的期权定 5 东北大学硕士学位论文第一章绪论 价理论则引发了“华尔街第二次革命”，使现代金融理论以前所未有的速度得到发展 ( 2 ) 期权定价理论促进了金融技术的发展 所谓金融技术是指现代金融理论的方法与计算机技术在金融领域的结合从前人们 认为只有在制造业才有技术，其实金融技术更为复杂，威力更大，凭借金融技术，素罗 斯曾让许多国家的经济处于风雨飘摇之中期权就像一把双刃剑，其期权定价理论在为 风险管理提供有效工具的同时，也为投机者提供了一个绝妙的投机手段，刺激投资者的 冒险心理国际金融市场上利用金融衍生工具进行投机活动时有发生有百年历史的 巴林银行的倒闭和东南亚金融危机让金融界和世界各国政府感到震惊，也引起了他们对 金融投机活动的商度重视和警惕为更好她肪范、控制和化解金融风险，他们纷纷投入 了大量的人力、物力从事金融技术的研究，以求找到金融活动的内在规律，并用以指导 实践。 ( 3 ) 期权定价理论繁荣稳定了金融衍生市场 期权既是一种有效的避险工具，又是一种绝妙的投机手段，期权因此倍受投资者和 投机者的青睬在标准期权的基础上，人们对期权定价理论直在做进一步的探索和发 展金融工程师利用期权的理论和分析方法设计出了各种风格迥异期权品种：亚式期权 ( a s i a no p t i o n s ) 、回望期权( 1 0 0 k b a c ko p t i o n s ) 、障碍期权( b a r f i e ro p t i o n s ) 、阶梯期权( s t e p o p t i o n s ) 、永续期权( p e r m a n e n to p t i o n s ) 、( r a i n b o wo p t i 加s ) 等等变异期权 自美国芝加哥期权交易所( c b o e ) 正式开始交易股票期权以来，交易额出现了爆炸 性的增长风险的定量化“开创了在华尔街上，饱读数理化的火箭科学家用数字而不是 凭直觉赚钱的新时代”，又正如瑞典皇家科学院在一份嘉奖辞中所说：“期权定价理论和 公式可l ；上说是2 5 年以来经济学领域中最为重大的突破和最卓越的贡献”，引导了全球近 6 0 万亿美元的金融衍生市场的产生和蓬勃发展并带来了金融衍生市场近十年来的迅猛 发展 ( 4 ) 期权定价理论拓展了财务金融学理论 从上个世纪七十年代以来，期权定价理论的发展日新月异，期权定价理论的应用也 6 东北大学项士学位论文 第一幸绪论 紧随其后由于期权定价理论的应用，传统财务理论的许多难题得以解决，许多局限得 以突破，财务理论面貌一新1 9 9 7 年研究期权定价理论的两位美国经济学大师获得n o b e l 经济学奖，使得期权定价理论的研究和应用进一步升温门 1 4 本文的主要工作 期权在现代金融市场中发挥着重要的作用在现代金融市场中，困绕投资者的一个 关键问题是期权的定价问题b l a c k 和s c h o l e s 建立的期权定价“b - s 模型”为衍生金融 产品的合理定价奠定了理论基础由于。b - s 模型”是建立在比较。理想化”的一些限 制条件下的，所以与实际情形有出入，应用也因此受到了限制如何弱化或修正这些限 制条件或者通过其它手段，推出改进的或者新的期权定价模型，使其更具有实用性，是 人们一直深入研究的方向 本文将通过对b s 模型及l e l a n d 等人提出的有交易费用的欧式期权定价模型仔细而 深入的研究，尝试从以下五个方面开展工作： 1 、在交易费用的全面性上作文章，考虑首次购买( 出售) 期权时所产生的股票交 易费用和在到期日实施期权时的股票交易费用，以及如何将它们引入模型的问题 2 、探讨改进边界约束条件的可能性 3 、建立新的有交易费用的欧式期权定价模型 4 、导出新的有交易费用的欧式期权定价公式以及对应的平价公式 5 、作新旧有交易费用的期权定价方程、定价公式和平价公式的比较 7 东北大学硕士学住论文 第二章欧式期权定价的基本模型 第二章欧式期权定价的基本模型 2 1 期权理论中的基本数学概念 欧式期权定价模型是建立在数学理论的基础上的，下面就本文中用到的主要数学概 念介绍如下1 8 h 切 ( 1 ) 随机过程设( 口，p ) 是概率空间，t 是给定的参数集，若对每个时间 参数f 丁，有一个随机变量x ( 1 ) 与之对应，则随机变量族墨- j ( f ) ，f r 】是( q ， p ) 上的随机过程或随机函数 ( 2 ) 独立增量过程设 x ( f ) ，t e t 是随机过程，着对于任意的正整数撑和 f l t t ：t t “r ，1 l j ) ，随机变量工( f 2 ) 一x “) ，工似) 一x 化) ，工k ) 一x ( f l 。) 相互独立，则称 z ( f ) ，f z ) 为独立增量过程 ( 3 ) 维纳过程设 x ( f ) ，f r ) 为随机过程，如果 1 ) x ( o ) - o , 动它是独立、平稳增量过程： 3 ) 对于任意s ，t ，o ，增量( z ( f ) 一工0 ) ) 一( o 盯2 p s i ，口2 ) o ) ， 则称 z ( f ) ，f r ) 为维纳过程，也称布朗运动 当口一1 时， x ( f ) ，f f l 称为标准布朗运动 ( 4 ) 伊藤( t , o ) 随机过程若随机过程 石( f ) ，f r ) 满足如下的积分，对 v o t o f r 有 x ( f ) 一x k ) - 6 ( s ，x o ) ) 幽( s ，工( s ) ) d _ b ( s ) ， ( 2 1 ) 或等价的如下微分形式 d x ( f ) 一6 ( l 石( f ) ) 出+ 盯( f ，z o ) ) 扭( f ) ， ( 2 2 ) 9 东北大学硕士学位论文 第二章欧式期权定价的基本模型 其中6 ( f ，z ) 和盯( f ，x ) 是二元连续函数，口0 ) 是标准布朗运动，则 x ( f ) ，f r ) 称为伊藤 随机过程 ( 5 ) 伊蓐公式设 x ( f ) ，f r ) 是伊藤随机过程，y - ，( f ，石) 是二元函数，且具有连 续偏导数堕o t ，罢，塑a x 2 令y ( f ) - ，( f ，z ( f ) ) ，则y - y ( f ) 。f r ) 也是随机过程，且对 v 0 s f oc f 满足如下的伊藤积分方程 y 一y ( f 0 ) “匮+ 6 差+ 三矿軎卜x ( s ) 泌唾( 蹦( s ) ) 扭( s x ( 2 3 ) 或等价的伊藤微分方程 哪) - ( 扣弘id 2 塑a x 2 札) 、( f ) ) 掣嘶( 2 4 ) ( 2 3 ) 式、( 2 4 ) 式都称为伊藤公式 2 2 期权的相关定义 期权是经济方面的问题，其中有很多专业术语，下面是本文用到的期权中的一些定 义【1 3 h 蜘 ( 1 ) 期权持有人在确定时间，按确定价格向出售方购( 销) 一定数量和质量的原生 资产的协议，但他不承担必须购入( 销售) 的义务 ( 2 ) 期权按标的物的不同分为金融期权和实物期权 金融期权以金融性资产( 如股票、债券、外汇等) 为标的资产的期权； 实物期权以实物性资产( 如土地、石油、新产品开发等) 为标的资产的期权 ( 3 ) 期权按实施方式分为欧式期权和美式期权 欧式期权只能在合约规定的到期日实施的期权； 美式期权能在合约规定的到期日之前任何一个工作日实施的期权 ( 4 ) 期权按持有者有权购买或销售标的资产分为看涨期权或看跌期权 看涨期权使持有者有权在某一确定时间以某一确定价格购买标的资产的期权； 看跌期权使持有者有权在某一确定时间以某一确定价格出售标的资产的期权 ( 5 ) 期权金期权是一种未定权益，为取得这个未定权益所需付出的代价称为期权 东北大擎硕士学位论文第二章欧式期权定价的基本模型 金 6 ) 实施按期权合约的规定执行买进或卖出标的物的操作行为 7 ) 到期日在期权合约中规定的执行买进或卖出标的物的日期 8 ) 期权价格期权的价值 8 ) 实施价格或敲定价格在期权合约中所规定的期权交割价格 ( 9 ) 多头期权的购入方称为多头，亦即多头交易 ( 1 0 ) 空头期权的销售方称为空头，亦即空头交易 ( 1 1 ) 衍生证券价值依赖于基本的标的资产的证券，也称为衍生工具 ( 1 2 ) a 一对冲对于给定的一份期权，在相反方向( 买入期权，则囊出原生资产； 或卖出期权，则买入原生资产) 交易a 份额的原生资产s ，若投资组合i i ；一f + 丛无 风险，则称为a 一对冲 2 3b i a o k - s c h o i o s 定价模型理论 b l a c k 和s c h o l e s 在1 9 7 3 年发表的第一篇关于期权定价模型的论文中揭示了一个很重 要的关系，即期权实际上是标的资产价值的一种体现形式标的资产价值的波动直接影 。 ， 响市场参与者对标的资产的心理预期，从而影响期权的价格为研究对期权定价，他们 首先建立起一个合理的反映标的资产价格波动的模型由于标的资产价格波动符合维纳 过程，b l a c k 和s c h o l e s 给出了如下的标的资产价格模型 d s p s d t + a s d w ，( 2 5 ) 其中s 为标的资产价格，为资产价格的期望收益率，仃为资产价格的波动率，矽是表 示影响标的资产价格的不确定因素的维纳过程 b l a c k 和s c h o l e s 基于如下假设： ( 1 ) 股票的价格遵循( 2 5 ) 所满足的弘，仃为常数的随机过程； ( 2 ) 对卖空没有任何限制，卖空所得资金可以由投资者自由使用； ( 3 ) 没有交易费用或税收； ( 4 ) 在期权的有效期内没有红利支付； 1 1 东北大学硕士学位论文 第二章欧式期权定价的基本模型 笪o t + 1 2 盯强2 1 a s 垂+ 心堕o s 一矿- o ， ( 2 6 )z ， 、， 其中期权价格，是标的资产价格s 和时问f 的函数，即f 一，( f ，s ) ，它关y - t - 阶可导， ( 1 ) 对于欧式看涨期权，期权价格应该满足的偏微分方程为 肛2 l - a s 虿a 2 f + 巧芸小o ，啷t 叩砒r。 j ，( t ，s ) - h ( s ，z ) ， 其中s r s 口) ，h ( s ，x ) - m a x ( s r - x ，0 ) m a x ( s t - x ，0 ) 表示的是到期日的期权价值 当到期日标的股票的价格大于标的股票的敲定价格时，应该执行期权；否则，不执行期 ( 2 ) 对于欧式看跌期权，期权价格应该满足的偏微分方程为 j o a f f + 1 2 a 2 s 2 孑0 2 f 梆芸一矿1 0 0 乳叩“副 ( 2 8 ) l ，( t , s ) = h ( s r ，x ) ， 其中s - s 仃) ， ( s ，x ) - m a x ( x - s r ，0 ) m 缸( z s r ，o ) 表示的是到期目的期权价值 当到期日标的股票的价格小于标的股票的敲定价格时，应该执行期权；否则，不执行期 定理2 1 t 1 5 j 设s 是股票的价格，x 是期权到期日的实施价格，f 为到期日，为 无风险利率，f 为时间，盯为股票价格的波动率，期权价格，( f ，s ) 关于f 一阶可导，关 东北大学硕士学位论文第二章欧式期权定价的基本模型 于s 二阶可导，则欧式看涨期权的定价公式为 i ( t ，s ) - s ( d 。) 一x e - f f - ) n ( d ：) ， 其中 吐刿：独：卟仃厉，1 a 历t - t o q r t 。 ( 砷为标准正态分布变量的累计概率分布函数 定理2 。2 1 1 5 设s 是股票的价格，x 是期权到期日的实施价格，r 为到期日，为 无风险利率，f 为时间，口为股票价格的波动率，期权价格l ( f ，s ) 关于f 一阶可导，关于 5 二阶可导，则欧式看跌期权的定价公式为 l ( f ，s ) - x e l “) ( d ：) 一删( 叫) ， ( 2 1 0 ) 其中 b ) 为标准正态分布变量的累计概率分布函数 2 4 平价公式 对于上面给出的具有相同到期日和执行价格的欧式看涨期权和欧式看跌期权定价 公式，我们可以得出这两类期权定价公式具有某种关系，称之为平价公式 定理2 3 l s s l 设，( f ，s ) ，工( f ，s ) 是分别由定理2 1 和定理2 2 决定的，具有相同敲定价 格工和到期日r 的欧式看涨期权的价格与欧式看跌期权的价格，则 厂o ，s ) + x e ”仃。) - 工( f ，s ) + s 平价公式反映的是无套利机会的市场，即若平价公式不成立，则表示市场存在套刹 机刽1 5 】 1 3 东北大学硕士擘住娩丈 第三章有交易费甩曲欧式期权定债模型 第三章有交易费用的欧式期权定价模型 3 1 引言 自1 9 7 3 年b l a c k 和s c b o l c s 提出期权定价模型以来，期权定价就一直是金融数学和 计量经济学研究的一个重要内容给期权定价就是研究期权价格如何随股票价格变 化1 9 8 5 年，l e l a n d 将交易费用引入到b s 模型，之后又有一些学者对有交易费用的 期权定价模型进行了研究，但这些学者考虑的只是从购买( 出售) 期权之后到期权到期 日这段时期内，进行对冲时买卖股票需要支付的交易费用在本章我们将把首次购买 出售) 期权时因a 对冲而出售( 购买) 股票的交易费用，以及在到期臼实施期权时的 股票交易费用也考虑在内，给出在额豹边界条件下更加全面的有交易费用的欧式期权定 价方程，以及以此方程为基础的有交易费用的欧式期权定价公式 3 2 定价模型 设w 为定义在( q ，p ) 的维纳过程，p 为股票价格的收益率，d 是股票价格的波动 率，标的股票价格s 满足如下的微分方程 d s j s d t + 盯剐矿 ( 3 1 ) 期权价格，是标的股票价格s 和时间f 的函数即，一，( f ，s ) ，它关于f 一阶可导， 关于s 二阶可导，由伊藤公式有 矽。( 詈+ 心善+ 三1 盯爷粤a s1 出+ 盯s 堕a s d 矿， ( 3 2 ) 方程( 3 1 ) 和( 3 2 ) 的离散形式分别为 6 s - v s 6 t + o 6 ，( 3 3 ) 班( 詈+ 舻弘1 招2 剥叭甜芸矾 其中6 5 ，d ，和6 矽分别是s ，厂和矽在短时间问隔加内的变化量 1 5 东北大学硕士学位论文第三幸有交易费用的欧式期权定价模型 由于股票价糈及以该股票为称的明明秋价格郡叟哭同阳个确足性凼黍的影响，这葸 味着经过任意一个短时期，两者高度相关，同时看涨或看跌如果建立起一种恰当的股 票与以该股票为标的的期权的投资组合，使得股票头寸的盈利( 损失) 总与期权的损失 ( 盈利) 相抵消，那么在短时期末该投资组合的价值就确定了，以股票价格及；g 其l l 权价 格同时看跌为例，如果某时刻，关于s 的瞬时变化率为丢，那么以一份期权对芸份股 票的投资组合方式( 卖出一份期权、买入善份股票) 的投资组合的价值为 i i - - ，+ 争 ( 3 - 5 ) 注意到在短时期内，善不会发生明显的变化，可以看作常量，所以尝- 。表明该投资 组合符合上述思想 所时间后该投资组合的价值变化量# 1 1 为 扣一句，+ 芸强 ( 3 6 ) 将( 3 3 ) 、( 3 4 ) 代入( 3 6 ) ，整理得 - ( - 等2 幽2 警卜 l a f舔2j 。7 因为该方程中不含有不确定性因素j 矽，所以经过短时间毋后投资组合n 必定无风险 当f 变化时，s 随之变化，善也变化，为保证投资组合总无风险，就有必要连续调整 投资组合中期权与股票的相对比例 在实际交易中，股票的交易费用通常以交易额的固定比例来支付设股票交易双方 都以交易费率t ( 七( o 1 ) ) 支付交易费用，那么买或卖份股票的交易费用则为七硝 投资者采用投资组合( 3 5 ) n ，由于股票价格随着时间随时在发生着变化，投资组合 的a 一因子( 衍生证券价格的查化对奠标的瓷产价格变化的比率称为a 因子即a 丙子 1 6 东北大学硕士学位论文第三章有交易费用曲欧式期权定价模型 等于芸) 般也会随之变化，所以该组合中的股票头寸在不断地调整用，因子可反映 出调整频率，其定义为r 警当r 绝对值较小时变化缓慢，即股票头寸的改变 量不明显，可不进行调整；而当y 绝对值较大时，a 对于股票价格的变化就相当敏感， 即股票头寸的改变量明显，此时则需要对股票头寸进行调整对欧式期权多头而言，r 始终为正；而对欧式期权空头而言，y 始终为负1 1 7 h 1 s 1 设该投资组合经过m 时阃后股票头寸所发生的份额改变量为珊，则有 脚- 盖( 戤川s ) 一弘s ) ， 根据泰勒展式， 珊一丢( 川啦圳) 一熟s ) - 警( 秘) m 舔o 椰f 、蟠) & + 将( 3 3 代入，得 m ( 脚+ 邢豢( 够) 础塞( 啪) + ， 又因矽为维纳过程，有6 缈- 籼石，妒为标准正态变量，所以 - ( 脚甜瓶) 警( 啦) 础嘉( 蟠) ” 一c r s 妒軎) 面+ 卜警+ 岳卜+ ，r 忽略关于石的高阶无穷小项，只保留带有石的项，取 m 埘瓶甚争 因此进行对冲所产生的股票交易费用为r i d s - 1 7 东北大擘硕士学位论文第三章有交易费用的欧式期权定价模型 由于妒服从所以服从正态分布( 帅2 ( 豢) 2 & ) 考虑股票交易费用 k 1 4 s 的均值，有 e ( 七i i s ) - t 疆( 1 棚i ) 心r + 。 j 一i 1 寸卅s 懈& 炉 - 去槲厄l 靴b l e 乞 - 去槲届脚0 2 f 。膨乞 一2 拄斟厄 假设从初始时刻t - o 到到期日t - t 期间，在相等时间间隔m 内共进行了 次对 冲，即6 t 。t i n ，并考虑a 对冲中的股票交易费用，那么该投资组合的财富在6 t 时间 内的变化量b m 为 捌- 6 f l z ( k l 。i s ) 一争， ( 3 9 ) 其中昂是初始时刻因- 对冲所产生的股票交易费用，即昂- 七l 芸i - 0 s ( 。) ，而墨tm 是 将费用矗平均分摊到各个m 时间段内的股票交易费用 将( 3 7 ) 、( 3 8 ) 代入( 3 9 ) ，得 刑- ( - 等一j 1 招2 警卜一栅2 后降怍寺乩 根据无套利原理，有 1 8 东北大学硕士学位论文第三章有交易费用的欧式期权定价模型 将( 3 5 ) 和( 3 1 0 代入( 3 1 1 ) ，经整理得 堕+!盯2s2等+七西2w臣6tll堡晒li郴堕as8t 2一矿+ 墨t - o ( 3 1 2 ) 舔。 、 将历。丁肺代入上式，并注意到对欧式期权空头而言，鍪始终为负，因此得到有交易 费用的欧式期权空头定价模型为 “卜撕雁】s 2 鲁+ 幅盖印争观 类似地，可以得到有交易费用的欧式期权多头定价模型为 弘卜放。雁) s 2 豢+ 唔币争- 0 似q 考虑到期日实施期权时股票的交易费用，这里给出两个新的边界约束条件如下： ( 1 ) 对于欧式看涨期权，新的边界约束条件为 1 r ，s ) - h ( s ，石) ， 其中s r - 即) j l ( 品，x ) - m 积( ( 1 一七) 品一z ，o ) m 缸( ( 1 一七) 品一x ，0 ) 表示的是到期日 的期权价值当到期日标的股票的价格与可能发生的股票交易费用之差大于标的股票的 敲定价格时，应该执行期权；否则，不执行期权 ( 2 ) 对于欧式看跌期权，新的边界约束条件为 ，( t ，s ) - h ( s r ，工) ， 其中s - s ( r ) 矗( s ，x - 越x ( x 一( 1 一t ) s ，0 ) ，m 缸( 工一( 1 一是) s ，o ) 表示的是到期日 韵期权价值当到期日标的股票的价格与可能发生的股票交易费用之差小于标的股票的 敲定价格时，应该执行期权；否则，不执行期权 结合这两种边界约束条件，这里给出四种具体的期权定价方程如下： ( 1 ) 有交易费用的欧式看涨期权多头定价方程为 刚六孔饲s 2 面0 2 f + 心知争肛， i ，( r ，s ) - h ( s r ，z ) ， 东北大学硕士学位论文第三章有交易费用的欧式期权定价模型 其中昌- s ( r ) ，h ( s t ，x ) 一m 瓤( ( 1 一七) 品- x ，o ) ( 2 ) 有交易费用的欧式看涨期权空头定价方程为 髀卜盯阗s 2 警+ 嘹叮争加脚回 i ，( r ，s ) - h ( s ，工) ， 其中s - s ( t ) ，h ( s t ，x ) - m a x ( ( 1 一七) s x ，0 ) ( 3 ) 有交易费用的欧式看跌期权多头定价方程为 雕卜盯罔s 2 警+ 唔矿争舢r s 乃 i ，( r ，s ) - h ( s r ，x ) ， 其e e s , - s ( r ) ，h ( s r ，x ) - m a x ( x 一( 1 一k ) s t ，0 ) ( 4 ) 有交易费用的欧式看跌期权空头定价方程为 髀8 t 2 ! 六殁仃阗妒豢+ 心扣争皿似国 l ，i t ，sj - h ( s ，x ) ， 其中品s ( r ) h ( s ，x ) 一m 强( j 一( 1 - k ) s r ，0 ) 3 3 定价公式 对于上节给出的有交易费用的欧式期权定价方程，我们利用变量的等价代换等手 段，可以推导得出相应的期权定价公式 定理3 1 设s 是股票的价格，x 是实施价格，t 为到期日，为无风险利率，t 为 时间，七为交易费率，口为股票价格的波动率，厚为投资组合建立后到到期日期问进行 对冲的次数，期权价格，( f ，s ) 关于f 一阶可导，y i 5 = s 二阶可导，则有交易费用的欧式 看涨期权多头定价公式为 ，( 蟠) - ( 1 一七) 剐( 吐) 一盈”p 卅( d ：) 一鲁( 1 一p 竹。) ， ( 3 1 9 ) 其中 2 0 - 东北大擘硬士学位论文 第三幸有交易费用的改式期权定价模型 4 -d 2 - 噍一q 焉，a t 一 ( d 为标准正态分布变量的累计概率分布函数 证明考虑有交易费用的欧式看涨期权多头定价方程 雕( a z - 2 k o 罔s 2 丽0 2 f 崤o f 干扣o t s 。 卜( j ，o ) - 妒( j ) ，一* t j t + * 巾一- 赤触) e 赤j ：j = = 辔黾毗咖) 赤仁妒( s ) e 百籼赤j ：j = = 专警群k 毗 所以方程( 3 刎的解为 小一毛小p 掣舡击伍意鲁锚捌a 毗小赤e 甲( s k 掣妣， 叫舻) 1 扔仁意善。描删尢 j ，f ) “。x ，f ) + h ：( 工，f ) 将“( x ，r ) 代回( 3 2 3 ) ，得 f ( t ，s ) 一x e 4 k ，( 算，r ) + x e 一砷k ：x ，f ) 化简弛一砷k ( j ，f ) 这里的l l ( j ，f ) 与文献【1 6 】中的( x ，f ) 仅在各自的伊( e ) 上略有 东北大学硕士学位论文 第三幸有交易费用的欧式期权定价模型 略推导过程，仅列出结果如下： x e 。o k ( 工，f ) 一( 1 一七) 肼( 吐) 一x e ”“) ( 吐) ， 其中 d l -，如一4 一q 两，q 一 仁) 为标准正态分布变量的累计概率分布函数 再化简妇暑o k ：x ，f ) 为此令 则 b 坚， 2 4 r a h - a ， 雠而而 渊锝 2 压 且变换瞄而她k 于变“a 的积分区域 q - 一* t t + m ，o a t f ) 变为关于变量叩，a 的积分区域q - 一* t 町t + m ，o a t 订， 并有 d d a 一 将上述结果代入“：( 工，f ) 中，得 砌d 2 周彬a “矗卜知f 杀一胁 2 4 剖。而。 东北大学硕士学位论文 第三章有交易费用的欧式期权定价模型 于是 其中 因此 一知f 等争彬 三， 一忑2 q f ：0 肿e 扎啦e 1 锄 - 一瓦2 锄f 0 j ? 。e n 。- - - ：, l d a 斟e 予) ， 矾“小砂斟一盯卅) - 一墨r t f l l 一e 一，( r _ ) 1 ，( f ，s ) 一船4 l k ( 耳，f ) + 舵嘶k