（应用数学专业论文）基于生物资源开发的优化控制问题.pdf

中北大学学位论文 摘要 生物种群资源是一种可再生资源。为使种群资源能持续为人类利用，就要兼顾生态效 益和经济效益。生物资源的开发研究就是通过建立数学模型进行定性分析，预测种群的发 展变化，及人们的开发行为对种群的影响，确定正确的捕获策略，使生物资源既可维持生态 系统的平衡，又能满足人类的需要，因而意义十分重要。 本文根据近年来国内外生物种群模型的研究状况，特别是具有很强实际背景和应用价 值的生物种群开发的研究进展，在广泛调研的基础上，主要研究了以下几方面的问题： 一是建立了捕获能力不是常数而是随时间变化的单种群捕获模型。利用h u r w 毫t z 判据 证明在平衡点存在时，平衡点的稳定性。通过p o n t r y a g i n 最大值原理，得到了最优的税收 量及最优态。最后，通过b a n g - b a n g 控制得到达到最优态的最短时间。 二是考虑了二维周期系数竞争系统的捕获模型考虑到对可再生种群资源的捕获是季 节的或是有规律的，我们假设捕获是脉冲发生的，这样使模型更为符合实际。首先讨论存在 唯一的全局渐近稳定的周期解，再利用最优脉冲控制原理讨论最优的捕获时间和最优的种 群数量。 在一的的基础上建立了具有b e d d i n g - d e a n g e l i s 功能性反应的捕食食饵模型，讨论 了平衡点的存在性和全局稳定性，最后得到最优的捕获策略。 最后，建立了二维互惠系统的捕获模型，分别对四种不同的开发形式进行讨论。考虑到 价格及成本均与捕获种群个数和捕获能力有关，我们用捕获种群个数和捕获能力来表示价 格和成本，使结论更为符合实际。为了更好地维护生态平衡，确定了在被捕获种群达到一定 数量时，再进行脉冲捕获的最优捕获策略。 关键词：种群动力学模型，捕获努力量，最优控制，哈密顿函数，最大利润。 第1 页 中北大学学位论文 a b s t r a c t b i o s p e c i e sr e s o u r c ei sak i n do fr e g e n e r a t i v er e s o u r c e i no r d e rt om a k ei tp o s s i b l ef o r p e o p l et oe x p l o i ta n du s eb i o s p e c i e sr e s o u r c ed u r a t i v e l y , w es h o u l dg i v ec o n s i d e r a t i o nt o z o o l o g yb e n e f i ta n de c o n o m yb e n e f i t t h eb i o l o g i c a lr e s o u r c e sd e v e l o p m e n tr e s e a r c hi sc a r - r y m go nt h eq u a l i t a t i v ea n a l y s i st h r o u g ht h ee s t a b l i s h m e n tm a t h e m a t i c a lm o d e l ，f o r e c a s t i n g t h ed e v e l o p m e n to ft h ep o p u l a t i o na n dt h ei n f l u e n c eo fp e o p l e sd e v e l o p m e n tb e h a v i o rt o t h ep o p u l a t i o n b e s i d e s ，e s t a b l i s h i n gc o r r e c t e dc a p t u r es t r a t e g y , w h i c hn o to n l yc a nm a i n - t a i ne c o s y s t e mb a l a n c e ，b u ta l s oc a nm e e th u m a nn e e d s s o i t ss i g n i f i c a n c ei sp a r t i c u l a r l y i m p o r t a n t i nt h i sp a p e r ，a c c o r d i n gt ot h es t u d yo fb i o l o g i c a lp o p u l a t i o n sm o d e li nd o m e s t i ca n d f o r e i g n ，e s p e c i a l l y , t h ed e v e l o p m e n to fb i o l o g i c a lp o p u l a t i o n sw i t he x p l o i t a t i o nw h i c hi sa l - p l i e db r o a d l yi nr e a l i t y , w em a i u l yi n t r o d u c ef o l l o w i n gq u e s t i o n s ： f i r s t ，t h em o d e lo fs i n g l ep o p u l a t i o n si n c r e a s ei ss e t i nt h i sm o d e l ，t h eh a r v e s t i n g e f f o r ti sn o tac o n s t a n tb u tv a r i a b l e sc h a n g i n gw i t ht i m e w ep r o v et h el o c a ls t a b i l i t yo f e q u i l i b r i u m ，w h e nt h ee q u i l i b r i u me x i s t t h e nm a k i n gu s eo fm a x i m u mp r i n c i p l e ，w eo b t a i n t h eo p t i m a lr e v e n u ea n dt h eo p t i m a ls t a t e f i n a l l y , u s i n gt h eb a n g - b a n gc o n t r o la c h i e v e s s h o r t e s tt i m et og e tt h eo p t i m a ls t a t e s e c o n d ，t h ee x p l o i t e dm o d e lo ft w os p e c i e sc o m p e t i t i v es y s t e mw i t hp e r i o d i ci sc o n - s i d e r e d f u r t h e r m o r e ，w ea s s u n l et h er e g e n e r a t i v er e s o u r c ei ss e a s o n a lo rr e g u l a r s oa d i s t i n g u i s h i n gf e a t u r eo ft h em o d e lc o n s i d e r e dh e r ei st h a tt h ec a p t u r ei st h ep u l s eo c c u r s ， w h i c hm a k e st h em o d e li sm o r er e a l i s t i c f i r s t l y , i ti ss h o w nt h a tt h ep e r i o d i cc o m p e t i - t i r es y s t e mh a sa u n i q u ep o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o nw h i c hi sg l o b a l l ya s y m p t o t i c a l l ys t a b l e l a s t l y , u s i n go fo p t i m a li m p u l s i v ec o n t r o lp r i n c i p l et od i s c u s st h eo p t i m a lc a p t u r et i m ea n d t h eo p t i m a lp o p u l a t i o ns i z e 。o nt h eb a s i so ft h ef i r s t ，s e tu pap r e d a t o r - p r e y - t y p em o d e lw i t hb e d d i n g - d e a n g e l i s f u n c t i o n a lr e s p o n s e d i s c u s st h ee x i s t e n c ea n dg l o b a l l ya s y m p t o t i c a l l ys t a b i l i t yo fe q u i l i b - r i u m a tl a s t ，o b t a i nt h em o s to p t i m a lc a p t u r es t r a t e g y 第1 i 页 中北大学学位论文 a tl a s t ，w es e tu pai m p u l s i v eh a r v e s t i n gm o d e lo ft w os p e c i e sm u t u a l l yb e n e f i c i a l s y s t e m s e p a r a t e l yc a r r i e so nt h ed i s c u s s i o nf o rf o u rd i f f e r e n tk i n d so fe x p l o i t a t i o nf o r m s f a r t h e r m o r e ，w ea s s u m et h a tp r i c e sa n dc o s t sa r ev a r i a b l e sd u et ot h ec h a i 培eo fh a r v e s t i n g p o p u l a t i o ns i z e sa n dh a r v e s t i n ge f f o r t s s oad i s t i n g u i s h i n gf e a t u r eo ft h em o d e lc o n s i d e r e d h e r ei st h a tu s i n gh a r v e s t i n gp o p u l a t i o ns i z e sa n dh a r v e s t i n ge f f o r t st or e p r e s e n tp r i c e sa n d c o s t s ，w h i c hm a k et h er e s u l tm o r er e a l i s t i c i no r d e rt os a f e g u a r dt h ee c o l o g i c a lb a l a n c e b e t t e r ；w ec a r r yo nt h ep u l s ec a p t u r ew h e nt h ep o p u l a t i o nr e a c hac e r t a i nn u m b e r o b t a i n t h eo p t i m a lc a p t u r es t r a t e g y k e yw o r d s ：p o p u l a t i o nd y n a m i c sm o d e l ，h a r v e s te f f o r t ，o p t i m a lc o n t r o l ， h a m i l t o nf u n c t i o n ，m a x i m i z em o n e t a r yb e n e f i t 第1 i i 页 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在指导教师的指导下，独立进行 研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人或 ， 集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人承担。 。 论文作者签名：盈萱! 丛日期：丝：垒：主 关于学位论文使用权的说明 本人完全了解中北大学有关保管、使用学位论文的规定，其中包括：学校 有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印件；学校可以采用影印、 缩印或其它复制手段复制并保存学位论文；学校可允许学位论文被查阅或借 阅；学校可以学术交流为目的，复制赠送和交换学位论文；学校可以公布学 位论文的全部或部分内容( 保密学位论文在解密后遵守此规定) 。 签名：叠茎鱼 翩签名：弛竺 e t 其t l ：翌塞：笸：芝： e t ! 莓1 ：竺璺：鱼：兰 中北大学学位论文 第一章引言 种群是在一特定时间内，占据一定空间的同一物种个体的集合。种群动力学是用动力 学方法研究种群生态学，它主要研究种群个体数量和结构的变化规律。关于种群动力学系 统的研究主要有：( 一) 种群随时间演变规律的研究。( 二) 如何实施人工干预，对种群进行保 护，开发和利用的研究。实际上，第二方面的研究是种群动力系统控制问题的研究。但要很 好地完成这一方面的研究，首先要定量地研究种群的出生率，死亡率，迁入率和迁出率，以 便能了解是什么因素影响着种群波动的范围及种群的发生规律，了解种群波动所围绕的平 均密度以及种群衰落和灭绝的原因，了解这一切的目的就是为了能够更好的控制种群。也 就是说，种群动力学系统第二任务是在完成第一任务基础上进行的。 近几十年来，由于人口猛增，环境污染和资源枯竭三大问题日益突出。使生态学的研究 日益从仅仅以生物为研究主体发展到以人类为研究主体，从自然生态系统的研究发展到人 类生态系统的研究。这为控制论在生态系统中的应用提供了机遇，更促进了种群动力学系 统控制问题的研究。同时控制学科自身在广度和深度上的不断发展，也为种群动力学系统 控制问题的研究提供了更多的途径。本章将简要介绍种群动力学系统及其控制问题的研究 现状和本文将要研究的主要内容。 1 1 种群动力学的研究状况 2 0 世纪生物学得到了飞速发展，而2 1 世纪也将会是生物学的世纪。在生命现象的研究 中，人们最初把生命物质运动归结为简单的物理学和化学运动。利用比较成熟的物理学和化 学知识总结生命现象的规律性，而且许多生物物理学的先驱者在应用物理方法处理生物学 问题时意想不到的是促进了生物数学的发展。从此，生物数学终于成为研究生物学不可缺 少的工具。生物数学作为与生命科学相关联的一系列边缘学科( 生物物理学，生物化学，生 物经济学) 中最年轻的一位，联合国科教文组织与1 9 7 4 年把它作为独立学科编入目录中。 生物数学有三个主要分支：生物统计学，生物动力学，生物控制论。 种群动力学是生物数学主要分支之一的生物动力学的重要组成部分。研究种群动力学 的基本任务之一是：人们对种群随时间演变规律的研究。对于这类问题的研究，二十世纪二 十年代，l o t k a ( 1 9 2 5 ) 和v o l t e r r a ( 1 9 2 6 ) 建立了l o t k a v o l t e r r a 系统( 1 1 1 ) 奠定了竞争 第l 页 中北大学学位论文 关系的理论基础，他们提出的模型对现代生态学理论的发展有很大影响。同时也为后人研 究种群动力学系统提供了基础模型。 三 胍= m ( h i + h ，) ，i = 1 ，2 ，3 ，n ( 1 1 1 ) 蒿 尽管系统( 1 1 1 ) 有时与实际情况不完全吻合，但其他种群动力学模型一般是在此模型 基础上变化而成的。二十世纪八十年代到九十年代初，生物数学工作者以模型( 1 1 1 ) 为基 础，研究一些种群动力学系统极限环问题 1 - s 和结构分析问题 9 - 1 s 。而九十年代，根据实 际生活中出现的各种生物现象，生物数学工作者变换着不同的种群动力学模型，开始研究具 有阶段结构的种群动力学模型，还有具有时变周期系数的种群动力学模型。由于自然界中 种群的大量迁移，出生或死亡，又由于连续型的控制实施起来会有一定的难度，同时也会造 成人力和物力的浪费。为此，人们开始寻找间断型的控制以避免生物系统中连续型控制的 不足，这种控制就是脉冲控制。这就引发生物数学工作者研究具有脉冲的种群动力学模型 l 挎一2 2 i 这些种群动力学系统的状态仅由当前状态决定。但实际上，种群的将来状态不仅取 决于当前的状态，而且还依赖于过去的状态，这一事实的描述需要求助于具有时滞的泛函微 分方程。基于此，国内外有许多学者( f r e e d m a n ，王稳地和马知恩等) 在相关问题上做了大 量工作阳一2 7 1 。对于自然界中出现的种群扩散现象，一些学者也对其进行了研究【嬲- 3 2 】。食 物链是一种食物路径，它联系着群落中的不同物种。食物链中的能量和营养素在不同生物 间传递着。如果一种有毒物质被食物链的低级部分吸收，如被草吸收，虽然浓度很低，不影 响草的生长，但兔子吃草后有毒物质很难排泄，当它经常吃草，有毒物质会逐渐在它体内积 累，鹰吃大量的兔子，有毒物质会在鹰体内进一步积累。因此食物链有累积和放大的效应。 美国国鸟白头海雕之所以面临灭绝，并不是被人捕杀，而是因为d d t 逐步在它体内积累， 导致生下的蛋是软壳，无法孵化。一个物种灭绝，就会破坏生态系统的平衡，导致其物种数 量的变化，因此对食物链的研究也是非常重要的阳一删。用恒化器进行微分物的连续培养实 验对现实生活中商用微生物的生产，废水及污水处理，生物制药，食品加工等领域都具有非 常重要的指导意义。因此，生物数学工作者在微生物的培养方面做了大量的研究 3 r - 4 1 l 。两 种群或多种群作用下的传染病的传播，引起了很多学者的关注1 1 2 4 6 l 。而在现实世界中，相 关的现象也有很多，如在我国秦岭一带活动着羚牛，班牛两种草食动物，为争夺食物而形成 竞争。而这两种物种中有时会流行良性口蹄疫，甚至发生交叉感染现象闯。有关离散的种 群动力学模型的研究，也取得了巨大的发展 4 r 一5 1 】。我们在研究种群动力学模型中发现，当 模型中某个系数发生变化时，相应的种群动力学模型在性态上，会发生巨大的变化。这就引 第2 页 中北大学学位论文 发我们去研究种群动力学系统中的分支现象【5 2 5 a 4 。 总之，关于种群动力学系统第一方面的研究已经发展到了相当程度，而且我国学者在 其中某些方面的研究已经进入了世界先进行列。 1 2种群动力系统优化控制的研究现状 研究种群动力系统的基本任务之二是：对种群动力学系统实施人为调控，使人类能够 更好地保护种群，更好地开发和利用这些种群资源。 ， 种群动力系统的优化控制是生物控制论的一个重要分支。生物控制论是一个结合生物 学和控制论的交叉学科，用控制理论观点和方法去研究和解决生物学问题，并对与生物学 有关的控制理论方法进行研究。用控制论方法来解决种群动力学问题的同时，还解决了一 些其他生物学问题。有的把最优控制理论应用在对癌症的治疗策略中【5 9 】，试图以极小的费 用，取得最佳的治疗效果；有的把控制论应用在微生物连续培养模型中脚一6 1 】；有的把一些 控制论应用在非线性种群扩散系统中【6 2 1 ；还有的用控制理论去处理药物动力学系统阳一叫 等等。 1 2 1 有关种群动力学系统控制的几种形式 _ 般来说，控制经常以收获或投放的不同形式存在于种群动力学模型中。 ( 1 ) 具有常数收获率的种群模型 n ；n f ( n ) 一h ( 1 2 1 1 ) 其中，n ，h 或是一维或是多维，l 为常量或为常向量，是收获率。 ( 2 ) 具有常数收获能力的种群模型 n = f ( ) 一h n ( 1 2 1 2 ) 这时，收获率h n 与种群数量成正比。 ( 3 ) 具有时变收获率的种群模型 n = n f c n ) 一h ( o ( 1 2 1 3 ) 这说明收获率j l ( t ) 与时间t 有关。 第3 页 中北大学学位论文 ( 4 ) 具有时变收获能力的种群模型 = f ( ) 一h ( t ) n ( 1 2 1 4 ) 其中，收获能力取决于收获时间的长短，设备的先进程度，以及人员的技术水平。 ( 5 ) 收获率具有一般的状态反馈形式，其被开发的种群动力学模型为 n = f ( ) 一九( ) ( 1 2 1 4 ) 当然，种群动力学系统中种群的变化规律可以取不同的形式( 例如上面几个式子中 f ( n ) 可以取不同的表达式) ，但其中的控制不外乎上述几种形式。针对上述不同形式的 控制问题，人们一般根据不同的生物含义，选择更符合实际的形式，找到最优的控制策略， 从而更好的为我们的生产和生活服务。 1 2 2种群动力学系统的最优控制 最优控制问题一般的提法是：对于某个由动态方程所描述的系统，在某些初始和终端条 件下，从系统所允许的某控制系统集合中寻找一个控制，使得给定的系统性能目标函数( 泛 函) 达到最优。 最优控制问题描述如下：设受控系统的状态方程及给定初态为 规定的目标集为 亳= ，【z ( t ) ，u ( t ) ，司 z ) = z 0 ( 1 2 2 1 ) ( 1 2 2 2 ) m = z ( o ，) ：2 ( ，) j 妒，夕【z ( t ，) ，t 1 = 0 ，h z c t l ) ，亡，】o ) ( 1 2 2 3 ) 求一个容许控制t ( t ) u ，t t o ，t f ，使得受控系统式( 1 2 2 1 ) 从给定初态式( 1 2 2 2 ) 出 发，在某一末态时刻t l t o 转移目标集式并使性能指标 ，t ， d = 西【z ( t ，) ，t f 】+ l z c t ) ，u ( t ) ，司c l t ( 1 2 2 4 ) 一 为最小。 解决最优控制问题的常用方法有：庞特里雅金的最大值原理、贝尔曼的动态规划方法、 古典变分学的基本必要条件等。其中，p o n t r y a g i n 的最大值原理，在生物控制论中有着非常 第4 页 中北大学学位论文 广泛的应用。如g o b 把最优控制技术应用于渔业资源、复杂生态系统、温室作物等种群的 最优管理中删。c l a r k 在对再生性资源种群进行最优管理时，不仅考虑了生态平衡问题，还 考虑了经济效益问题，把种群动力学系统的控制问题与经济学问题有机地结合在一起，形成 一种特殊的模型生物经济动力学模型【6 6 1 。随后，还有一些学者把最优控制原理应用在更 复杂的种群动力系统中，范猛等把最优控制理论应用在具有周期系数的单种群控制系统中， 得到了使系统在周期解处渐近稳定的最优捕获策略吲。张兴安等用最优控制理论研究了具 有阶段结构的捕食被捕食系统的捕获问题，得到最优捕获律和使系统持续发展的控制阈 值l 鼹】。文献删把最大值原理应用在l o t k a - v o l t e r a 捕食被捕食模型的最优搜寻问题中 等。 1 2 3种群动力学系统的脉冲控制 一般来说，人们考虑的最优控制或是常值或是连续型状态反馈控制，这样的控制实施起 来会有一定的难度，同时也会造成人力和物力的浪费。同时，由于某些物种的出生是有季节 性的，有的可能是几小时，有的可能是几年生育一次；某些鸟类或鱼类每年在固定的时候迁 移到其他地方；植物的种子只有成熟以后才能发生扩散；渔业生产中，鱼苗的投放和成鱼的 收获；森林管理中，树木的种植和砍伐；农业中的害虫的治理中，农药的喷洒和天敌的释放 都不是连续的而是有规律的。描述这些现象，脉冲替代连续才更符合实际情况，模型才更合 理。为此，人们开始寻找间断型的控制以避免种群动力系统中连续型控制的不足，这种控制 就是脉冲控制。在种群动力学模型中，脉冲控制问题把控制论和脉冲微分方程有机地结合 起来，形成了脉冲控制理论。关于脉冲控制理论方面的研究，b l a q u i e r e 给出了脉冲微分系 统的最优控制原理【7 0 4 ；c o h e n 把b l a q u i e r e 的最优脉冲控制原理1 7 0 】应用在种群对食物的 最优捕获中f 7 1 1 。在应用方面，生命科学、工程科学、经济学中的很多问题可建立脉冲动力 系统模型，通过模型的研究来进一步对某些生物现象、经济现象进行优化控制。如s t o n e 及 s h u l g i v 等人分别把脉冲控制应用在s i r 传染病模型中，试图以极小的消费获取对疾病的最 佳治疗效果i 仫7 3 】；还有一些文章研究了种群动力学系统的脉冲能控性及最优化问题【7 4 , 7 4 。 还有学者把脉冲控制应用在一类l o t k a - v o l t e r r a 种群系统中，建立了使系统中的所有种群 都不走向灭绝的判据【7 6 1 这些都说明了脉冲控制在生物方面，尤其在种群动力学系统方面 已有了广泛应用。 第5 页 中北大学学位论文 1 3 本文的主要工作 研究给定物种本身的动力特性和结构，目的是根据种群个体数量和结构的变化规律，寻 求经济、有效的开发策略，并力求使策略( 例如开发利用和投放) 的综合效果最优。对合理 利用资源，保护生态环境有着重要意义。基于此，本文着力从两方面开发生物资源，一是， 从种群的生物意义及种群个体数量和结构的变化规律出发，提供可行、有效地控制策略；二 是，从经济角度出发，利用p o n t r y a g i n 最大值原理和脉冲优化控制原理，寻求恰当的控制 策略使得对生物资源的开发可以获得最大的经济效益，同时，维持生物资源的可持续发展。 ( 1 ) 第二章中考虑了单种群的l o g i s t i c 增长模型，对资源的开发被模拟为在该模型中 加上一个控制项。其中，所考虑的捕获能力不是常数的而是随时间变化的。首先，讨论了正 平衡点的存在条件，再利用h u r w i t z 判据证明了平衡点的稳定性。通过p o n t r y a g i n 最大值 原理构造哈密顿函数得到了最优的税收量，使得在维护生态平衡的基础上获得最大的经济 收益。最后，通过b a n g - b a n g 控制得到达到最优态时的最短时间。同时对这些理论结果进 行了数值模拟。 ( 2 ) 第三章结合最优脉冲控制原理研究了二维周期系数再生性资源种群的最优管理问 题。首先，讨论了存在唯一的全局渐近稳定的周期解，最后，得到使资源管理者获得最大经 济效益的最佳捕获时间和相应的种群最优脉冲捕获水平，同时对这些理论结果进行了数值 模拟。 。， ( 3 ) 第四章在第二章的基础上建立了具有b e d d i n g - d e a n g e l i s 功能性反应的捕食一食 饵模型，讨论了平衡点的存在性和全局稳定性，并得到最优的捕获策略。最后，通过数值模 拟说明了上面所得到的结果，而且描述了随着控制变量税收量的变化，捕食者，食饵和捕获 努力量也会有规律的发生相应的变化。 ( 4 ) 第五章建立了二维互惠系统的模型，分别对四种不同的开发形式进行讨论。其中， 价格及成本均与捕获种群个数和捕获能力有关。确定了在被捕获种群达到一定数量时，再 进行脉冲捕获的最优捕获策略。 第6 页 中北大学学位论文 第二章有关合理开发鱼类资源的研究 对于鱼类资源这样一种可再生资源的研究已成为一个重要的问题，因为人们日益增长 的对食物和能源的需求，和保护生态系统的必要性。如何对鱼类资源进行合理捕获，做到既 维护生态平衡，又保持渔业获利最大。已被许多学者所研究。c l a u r k 嘲研究了l o g i s t i c 模型的 最优捕获模型，提到两种捕获形式：常数捕获和按比例捕获。张晓颖1 7 7 1 在此基础上研究了 单种群的最优脉冲捕获问题。c l a r k 嘲是第一个提出把税收作为控制渔业的一种手段的人。 单种群在税收基础上的捕捞模型也由c h a u d h u r i 和j o h n s o n i t s ，g a n g u l y 和c h a u d h u r i z g ! 所研究。t a p a nk u m a r k a r s o 研究了通过税收控制依赖于比例的捕食被捕食系统，得到 了最优税收量，但没有得到达到最优状态的最短时间。本节得到了达到最优状态的最短时 间，因为越快的达到最优状态，对经济的平稳发展越有利 2 1基本模型 人类对资源的收获可被模拟为在该模型中加上一个控制项，研究这类带有控制项的系 统的动态性质具有十分重要的意义，并吸引了众多学者的关注。而在控制项的形式和意义 上各有不同，本节讨论对鱼类进行按比例捕捞的模型。 裳= r x ( 1 一x k ) 一q e x ( 2 1 1 l z 代表鱼类在时刻t 的种群密度，七代表环境对鱼类的最大容纳量，代表内禀增长率，口代 表鱼类的捕捞系数，e 代表捕获努力量。 这里，我们把e 看作依赖于时间的变量e ( t ) 我们假设满足以下关系： e ( t ) = a q ( t ) ，0 口1 ( 2 1 2 ) 警= 邢) 一7 q ( 现) = 乳 ( 2 1 3 ) 其中，( 亡) 表示总的投资率，q ( t ) 表示总投入，y 代表常数的资本贬值率。我们假设捕获努 力量e ( t ) 总是和总投入q c t ) 成比例。比如说，如果q ( t ) 表示在时刻t 可以用来捕鱼的标 准鱼船的数量，这样假设捕获努力量和鱼船数量成比例就非常合理。同时，最大的捕获能力 第7 页 中北大学学位论文 就等于鱼船的数量( 当口= 1 时) 。当o l = 0 时，表示尽管鱼船可用，但是没有捕获能力。 这就反应了过量捕获的条件：由于鱼类资源的严重缺乏，导致鱼船的停用。 我们一般把税收7 - 作为控制量，因为相比之下税收量更容易控制，同时还可以通过控 制税收量起到宏观调控的作用。政府对渔民的补贴可以理解为一个负的1 值。渔民的净经 济收入是 e i q ( p r ) x c ) 其中，p 代表单位数量的鱼的常量价格，c 代表达到单位捕捞努力量要付的常量费用。 假设总投入是和总收入成比例的。则有： 。 。 ! j 。 g p 一丁净二_ c ) e ，o p 0 ，驴 0 需要满足如下条件： r 。， ( 2 2 6 ) 忱= 口2 矿口p f ( p 一丁) + ( r i 2 r z 一g e ) 【筇( 孵一9 7 7 一c ) 一州 ， = ，( c q p + ，y ) ( 1 一高) 0 ( 2 2 7 ) 厄( ，“p iz ，一7 i 因为r r $ 1 0 ，忱 0 ，由h u r w i t z 判据知平衡点( 矿，e ) 是局部渐近稳定的。 2 3 最优税收政策 为获得最大纯收入，应使j 的值达到最大。 t ，= 上专一船。g z c ) e 出 ( 2 3 1 ) 其中6 是贴现率控制问题的哈密顿函数为： ，h = e 一以伽z c ) e + a r x ( 1 - z k ) 一q e x + 九陋砌p 一一z c 一州e ( 2 3 2 ) 要达到我们的目标就要使得哈密顿函数h 达到最大值在r t r a i n ，卫】 等= _ 入2 e a 3 q z = o 砒= 0 ( 2 3 3 ) 第9 页 中北大学学位论文 由( 2 3 5 ) 式知， 等= 一筹= 一( e - 6 。砌+ 枷一等2 z a - 归) ， 警= 一筹= 一 e - 6 t 一c ) 叫 a - = ! 竺鱼q 型x = e 一以一面c ) 对( 2 3 6 ) 式中的入1 ( t ) 对亡求导，得 等- ( e 础) ，( 等) 1 _ e - 6 t ( p q x - c ) 币q x - 广q x ( p q x - c ) ：e 一鼬二鱼鱼翌二1 2 ! ! ! 二i 2 = ! 堡 q x ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) 由( 2 3 4 ) 式与( 2 3 7 ) 式作比较，得 。 ， ， 一占一c ) + 叩一喜) 一口晒= 一研z r 她一c ) + 警咖一c ) + g e ( p q z c ) ( 2 3 8 ) 将( 2 1 1 ) ，( 2 1 5 ) 代入( 2 3 8 ) 式中可得到矿的值 丁+ 一面等等等雨， ( 2 3 9 ) 其中 = m 一咖+ i r e ) 2 + 4 巧挈 1 0 ) 2 4 最优时间控制 上面已经找到了最优的税收量，使得渔业的获利最大，而且此最优状态是稳定的。因 此，我们希望这个最优态能够越快达到越好，因为经济的稳定是发展的基础。在最短的时间 之内达到最优态，是许多学者都想解决的问题。下面使用b a n g - b a n g 控制来解决最优时间 这个问题，将系统由初始状态转移到平衡点的时间作为性能指标，即m i nj = 廖d t 。 设i u ( t ) is 1 。 我们主要讨论的系统为 i _ 幽t 咄- - _ _ r x 触l ( 1p - 一z l k ) - 一q c ) x l x 刊2 , d t r ) x l强 ro 1 ) l 垡幺= 【口p ( g p 一 一c ) 一，y 】z 2 。 第1 0 页 将此系统平衡点( x l ( r + ) ，x 2 ( r ) ) 处线性化，得 t = r - g x l - q x 2 r ) x 2a f l q x l ( p ：啦7 ) 一下、一q 8 c 一 其中， 。 州丁卜塑鼍芋地渤旷) = 卜坠掣) 故 t 二p r 芒p q - ! 幽6 p q + - f 惫+ ? _ 颧一旧、) 。( 2 4 2 ) 上一i打2 丛c 口p + 一y )nj 、_ 一叫 ，七( q ，g 一点姆+ 警+ ) 。 设 。 。 ， 一去( 啊一咖+ i r c + 俩= a ， 一南( 叩g 一咖+ i r c + 俩姐 一4 r 2 p ( c a 卢+ ，y ) 一 k ( r p q 一咖+ 詈+ 、) 则可控的线性定常系统的系统状态方程为： 、 文= ( 三：) x + ( ：) u c 。 寻找满足下列不等式约束的r 维容许控制向量u ( t ) l u j ( t ) i 1 ，u = 1 ，2 ，) 使受控系统从给定初态 ，“：x ( t o ) = x o 出发，转移到末态目标集( 原点) 使性能指标为最小 ( 2 4 3 ) ( 2 4 4 ) ( 2 4 5 ) ( 2 4 6 ) ( 2 4 7 ) 第1 1 页 西 n q o钏厂厶 d = j x nn 一 中北大学学位论文 圣 x c t l ) ，t ，】= 0 ，f 【x ) ，u ( t ) ，司= 1 故哈密顿函数为 h = 1 + 入1 ( a z l + b x 2 ) + , 入2 ( c z l + u ) ) = 1 + 入i ( a x l + b x 2 ) + 入2 c x l + 入2 u ( 亡) ( 2 4 8 ) 为使h 为全局最小，可知最优控制为 i 1 ，a 2 0 由正则方程组 文= a ：) x + ( ：) u c 。 一。入e t ，= 一刁o h i = 一誓入= 一a 詈) ( 2 ) c 2 4 1 。， 归竖竺掣掌+ 鲤二筌掣望，_ ( 2 4 m ) b 、_ 一7 ，猕) ：a e ( 一吾+ 平) t + 岛e ( 一鲁一平) t ( 2 4 1 2 ) 而u ( 亡) = - s g n a 2 ( t ) 】= 4 - 1 故a 2 ( t ) 与u + ( t ) 的对应关系可供选择的最优控制序列有下列4 种： 一1 ) ， + 1 ) ， - 1 ，- i - 1 ， - i - 1 ，- 1 切换次数至多二次，切换时刻为：t = 撼，且一亟o l 1 ， 为了用状态反馈实现最优控制，现在来寻求旷 ) 与r ( 亡) 之间的关系 当t l = 1 时，状态方程的解为 州= 赢【e ( 出霉弦( 、a 2 + 4 b c + c z l 。a 2 + 4 b c + a a c x m - 2 b c z ) + e ( 平) t ( , c a 2 + 4 b c + c x l 。v i a 2 + 4 b c a + a 1 。+ 2 b ) 】- 吾， x 2 ( t ) = 夏菇7 b 【e ( 尘型粤) t ( b c x 2 0 、a 2 + 4 b c a 、a 2 + 4 b c 一2 b c a x l o - - a 2 + a b 一2 b o ) + e ( 峰) ( b c 锄、a 2 + 4 b c a a 2 + 4 b c 一2 b c 哩x l 。+ 斧 - a b c x 2 0 + 2 b c ) 】+ 丽a ，t ( 2 4 1 3 ) 第1 2 页 中北大学学位论文 当t = 一1 时，状态方程的解为 z 1 0 ) = 一夏刁妇【e ( 尘土平) 。( 、刁可干面一c z l 。 再f 干面+ a + a c z l 。 + 2 b 蚀) + e ( 峰) t ( _ a 2 + 4 b c + c x l 。饱可丽+ a + a l 。+ 2 b c 。2 。) 】 + 吾， “ 。 。 娩o ) ；一元活7 b 【一e ( 生型粤) t ( b g 。2 0 、再f f 虿百虿+ a 、页f 面一2 b c 2 2 1 。 + 印+ a b 仇2 。+ 2 b c ) + e ( 出型孚) ( 一b c x v a 2 + 4 b c a a 2 + 4 b c 一2 b c 2 x l o + a 2 + a b c x 2 0 + 2 b c ) 1 一南 一 对上式进行坐标变换，将( x l ( r ) ，z 2 ( r 。) ) 变为( o ，0 ) u = 1 时， ( 2 4 1 4 ) z 1 ( t ) 一砚( 7 - ) = 两蕊1 _ 【e ( 华) t ( c a 2 + 4 b c + c ( x l o - - x 1 ( r ) ) 4 a 2 + 4 b c + a a c ( x l o z l ( 7 i ) ) 一2 b c ( z 加一z 2 ( 7 i ) ) ) + e ( 生型掣) t ( 、a 2 + 4 b c + c ( z l o x lt + ) ) a 2 + 4 b c a + a c ( x l o x l ( r + ) ) + 2 b c ( x 2 0 z 2 ( r + ) ) ) 】一否1 ， 现( t ) - x 2 ( 7 + ) = 面丽1 【e ( 华h ( b c ( x 2 0 - x 2 ( r ) ) 以砜一a 以可硕 一2 9 c 2 ( x l o z 1 ( 7 ) ) 一a 2 + a b c ( x 一x 2 ( r ) ) 一2 b c ) + e ( 出型挚) t ( b c ( x 加一x 2 ( r * ) ) 、a 2 + 4 b c a a 2 + 4 b c 一2 b c 2 ( x l o x l ( 7 ) ) + a 2 一a b c ( z 一x 2 ( r ) ) + 2 b c ) 1 la b g 。 ( 2 4 1 5 ) 让= 一l 时， z l ( t ) 一z 1 ( r ) = 一夏习霄1 辱弱罨【e ( 尘型笔垡) f ( a 2 + 4 b c - c ( x l o - - x l ( + ) ) a 2 + 4 b c + a + a c ( x l o z l ( ，) ) + 2 b c ( x 加一z 2 ( ，) ) ) + e ( 出型警) ( 一v i a 2 + 4 b c + c ( z l o 一2 , 1t ) ) 、刁万了面+ a + a c ( x 1 0 一z l ( 丁) ) + 2 b c ( x 2 0 x 2 ( r + ) ) ) 】+ 否1 ， 勋( 亡) 一z 2 ( ，) = 一菘茹7 赢卜e ( 生型挚) t ( b g ( z 一z 2 ( 7 ) ) , c a 2 + 4 b c + a 、再r 干面一2 b c 2 ( x l o x lr ) ) + + a b c ( x 一t , 2 ( 下) ) + 2 b c ) + e ( 生b 丝 ：缎) t ( 一b c ( z 2 0 一。2 ( r ) ) c a 2 + 4 b c a f 4 2 + 4 b c