（应用数学专业论文）非线性摄动时滞系统的鲁棒性研究新方法.pdf

哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 非线性摄动时滞系统的鲁棒性研究新方法 摘要 在对实际控制系统建模时，由于不可避免地存在着测量误差、各种干扰 及未建模动态等，导致系统模型与实际问题之间存在着误差，一般称这些误 差为系统中的不确定性。另外，很多系统中的状态变化率不仅跟当前时刻的 系统状况有关，而且与此前某些时刻的系统状况有关，一般称这种现象为系 统的时滞现象。不确定性和时滞是影响系统性能的重要因素，因此对不确定 时滞系统的研究一直是系统控制问题研究的重要内容，也是难点内容。特别 地，当系统中的不确定性具有非线性特性时，对其研究更具有重要的理论意 义与实际价值。 本文针对具有非线性不确定性的时滞系统，在对非线性不确定性的一般 假设条件下，研究其鲁棒性分析的新方法。 第一，利用传统的l y a p u n o v 方法，通过构造适当的l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函，利用几个相关的不等式。推导出系统时滞相关鲁棒稳定性 一些新的判别条件。并将这些条件用线性矩阵不等式( l m i ) 描述，同时构造 出相应的算例对所得判别条件的保守性进行了数值计算比较。基于所得判别 条件，又设计了相应的状态反馈控制器，控制器增益也以线性矩阵不等式的 解给出，构造的算例验证了控制器设计的有效性。 第二，基于传统l y a p u n o v 稳定理论，结合“自由权矩阵方法”、“参数 中立型变换”和“广义模型变换”这三种方法讨论了该系统的鲁棒性，获得 了系统时滞相关鲁棒稳定性的若干个新的判别条件，这些条件以线性矩阵不 等式的形式表示，并且这些结果所允许的时滞上界有了很大提高。1 、“自由 权矩阵方法”是在相应的处理过程中未对l y a p u n o v 函数的导数进行放大处 理，而是引入几个恒等式与l y a p u n o v 函数的导数合并，得到稳定性结果； 2 、“参数中立型变换”是引入含有自由矩阵的算子，原系统变换为一个新系 统，通过研究新系统的稳定性进而获得原系统的鲁棒稳定条件；3 、“广义模 型变换”是对系统做变换，构造增广系统，通过增广系统的稳定性给出原系 统鲁棒稳定性判据。同样地，基于这些稳定性条件设计了一系列状态反馈控 制器，且控制增益由相应的线性矩阵不等式的解表示。最后，构造算例说明 所得稳定性判别条件的保守性降低，且相应的状态反馈控制器设计是可行 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 的。 关键词非线性摄动；时滞系统；鲁棒稳定性；参数中立型变换；广义模型 变换 竺至篓翌三銮兰詈兰璧圭兰丝丝兰 t h er e s e a r c ho nn e wm e t h o d sf o rr o b u s t n e s so f t i m e - d e l a ys y s t e m sw i t hn o n l i n e a rp e r t u r b a t i o n a b s t r a c t w h e ne s t a b l i s h i n gm o d e l sf o rp r a c t i c a lc o n t r o ls y s t e m s ，t h e r ea r ee r r o r s ， w h i c hc a nb ed e s c r i b e da st h em o d e lu n c e r t a i n t i e s ，b e t w e e nt h es y s t e m i cm o d e l a n dt h ep r a c t i c a lp r o b l e m sb e c a u s em e a s u r e m e n te r r o r s ，v a r i o u sd i s t u r b a n c e sa n d u n e s t a b l i s h e dm o d e ld y n a m i c sa r ci n e v i t a b l e i na d d i t i o n ，s t a t e si nm a n ys y s t e m s a r en o to n l yr e l e v a n tt ot h ec u r r e n ts y s t e mc i r c u m s t a n c e sb u ta l s ot os o m e p r e v i o u ss y s t e mc i r c u m s t a n c e s w h i c hc a nb ec a l l e dt h et i m e d e l a yo fas y s t e m u n c e r t a i n t ya n dt i m e d e l a ya r ei m p o r t a n tf a c t o r sw h i c ha f f e c tt h ep e r f o r m a n c eo f as y s t e m t h e r e f o r e ，r e s e a r c ho nu n c e r t a i nt i m e d e l a ys y s t e m si sa l w a y sa n i m p o r t a n ta n dd i f f i c u l tp a r ti nt h er e s e a r c ho nt h ep r o b l e m so fs y s t e mc o n t r 0 1 e s p e c i a l l y , t h er e s e a r c hh a si m p o r t a n t l yt h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c ea n dp r a c t i c a l v a l u ei ft h eu n c e r t a i n t i e so fs y s t e m sh a v en o n l i n e a rf e a t u r e i nt h i sp a p e r , n e wm e t h o d sf o rr o b u s t n e s sa n a l y s i so ft i m e - d e l a ys y s t e m s w i t hn o n l i n e a ru n c e r t a i n t ya r es t u d i e d ，i nt h ec a s et h a tt h es y s t e mh a sg e n e r a l n o n l i n e a ru n c e r t a i n t y f i r s t ，b a s e do nt h et r a d i t i o n a ll y a p u n o vm e t h o d ，s o m eu e wd e l a y - d e p e n d e n t s t a b i l i z a t i o nc r i t e r i o n sa r eo b t a i n e db yc o n s t r u c t i n g a p p r o p r i a t el y a p u n o v - k r a s o v s kf u n c t i o n a l sa n db ya p p l y i n gr e l e v a n ti n e q u a l i t i e s t h e s ec r i t e r i a ，w h o s e c o n s e r v a t i o n sa r ec o m p a r e dt h r o u g hn u m e r i c a lc a l c u l a t i o nb yc o n s t r u c t i n g n u m e r i c a l e x a m p l e s ，a r ed e s c r i b e di n t e r m so fl i n e a rm a t r i x i n e q u a l i t i e s a c c o r d i n gt ot h ec r i t e r i aw eo b t a i n e d ，r e l e v a n ts t a t e f e e d b a c kc o n t r o l l e r sa r e d e s i g n e d t h ec o n t r o l l e rg a i n sa r eg i v e nb yl m ia n dt h e i ra v a i l a b i l i t i e sa r e v e r i f i e db yn u m e r i c a le x a m p l e s s e c o n d ，b a s e do nt h et r a d i t i o n a ll y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r y , s o m en e wc r i t e r i a f o rr o b u s ts t a b i l i t yo f t i m e d e l a ys y s t e m sa r co b t a i n e db yd i s c u s s i n gt h es y s t e m 扭 r o b u s t n e s sb ym e a n so ft h r e em e t h o d s ，i n c l u d i n gf r e ew e i g h i n gm a t r i xa p p r o a c h ， p a r a m e t r i z e d n e u t r a lm o d e lt r a n s f o r m a t i o nm e t h o da n d d e s c r i p t o r m o d e l 芝至鋈垩三銮兰翌兰翌圭兰竺笙兰 t r a n s f o r m a t i o nm e t h o d t h e s ec r i t e r i aa r eg i v e ni nt h ef o r mo fl m i ，a n dt h e i r a l l o w a b l et i m e d e l a yb o u n d sa r ei m p r o v e d f i r s t ，f r e ew e i g h i n gm a t r i xa p p r o a c h d o e sn o te n l a r g el y a p u n o vf u n c t i o nd e r i v a t i o nb u ti n t r o d u c e ss o m ei d e n t i t i e st h a t c o m b i n ew i t hl y a p u n o vf u n c t i o nd e r i v a t i o na n do b t a i n ss t a b i l i t yc o n d i t i o n s t h r o u g hc a l c u l a t i o ni nt h ec o r r e s p o n d i n gp r o c e s s s e c o n d ，p a r a m e t r i z e dn e u t r a l m o d e lt r a n s f o r m a t i o nm e t h o dt r a n s f o r m st h eo r i g i n a ls y s t e mi n t oan e wt h e s y s t e mb ya l l o w i n ga f to p e r a t o rw i t hf r e em a t r i xa n do b t a i n ss t a b i l i t yc r i t e r i af o r t h eo r i g i n a ls y s t e mb ys t u d y i n gt h es t a b i l i t yo fn e ws y s t e m f i n a l l y , d e s c r i p t o r m o d e 】t r a n s f o r m a t i o nm e t h o dm a k e st r a n s f o r m a t i o nf o rs y s t e m c o n s t r u c t s a u g m e n t e ds y s t e ma n d o b t a i n st h er e l e v a n ts t a b i l i t yc o n d i t i o n sf o ro r i g i n a l s y s t e ma c c o r d i n gt ot h es t a b i l i t yo fa u g m e n t e ds y s t e m s i m i l a r l y , b a s e do nt h e s e s t a b i l i t yc o n d i t i o n s ，as e r i e so fs t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e r sa r cd e s i g n e da n d c o n t r o l l e rg a i n sa r ed e s c r i b e db yr e l e v a n tl m i s f u r t h e r m o r e ，i ti ss h o w nb y n u m e r i c a le x a m p l e st h a tt h ec o n s e r v a t i o no ft h es t a b i l i t yc r i t e r i aw eo b t a i n e di s d e c r e a s e da n dt h ed e s i g no f s t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e r si sf e a s i b l e k e y w o r k n o n l i n e a rp e r t u r b a t i o n ；t i m e - d e l a ys y s t e m ；r o b u s ts t a b i l i t y ；p a r a m e t r i z e dn e u t r a lm o d e lt r a n s f o r m a t i o n ；d e s c r i p t o rm o d e lt r a n s f o r m a t i o n 哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文非线性摄动时滞系统的鲁棒性 研究新方法，是本人在导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间独立 进行研究工作所取得的成果。据本人所知，论文中除已注明部分外不包含他人已 发表或撰写过的研究成果。对本文研究工作做出贡献的个人和集体，均已在文中 以明确方式注明。本声明的法律结果将完全由本人承担。 作者签名：叟军艿日期：砌7 年3 月够e l 哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书 菲线性摄动时滞系统的鲁棒性研究新方法系本人在哈尔滨理工大学攻读 硕士学位期间在导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归哈尔滨理 工大学所有，本论文的研究内容不得以其它单位的名义发表。本人完全了解哈尔 滨理工大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门提交论 文和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权哈尔滨理工大学可以采用影印、 缩印或其他复制手段保存论文，可以公布论文的全部或部分内容。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用授权书。 不保密团。 ( 请在以上相应方框内打) 日期：) 明年3 月，7 日 日期：硼年3 月蜉日 色衫 蔫氖， 船陈 名 名 签 签 者 师 作 导 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 1 1 课题背景 第1 章绪论 本课题属于理论研究范畴，主要针对带有非线性摄动的连续时滞系统进行 鲁棒稳定性分析，以获得判断该类系统鲁棒稳定的充分条件，并在此基础上给 出状态反馈控制器的设计方法。 1 2 研究的目的和意义 在理论上研究一个实际的对象，首先要建立其数学模型。在建模的过程中 常常忽略一些次要因素使模型得到简化，从而造成了实际的运动过程与其数学 模型之间的不一致，这就需要引入模型的不确定性。鲁棒性问题就是基于这种 情况提出的。鲁棒性问题兴起于2 0 世纪7 0 年代，目前仍然是一个非常活跃的 研究领域，具有非常广泛的研究内容和实际应用价值。 所谓鲁棒性，就是系统在受到各种各样的不确定性扰动( 摄动) 情况下保 持其原有性质的能力。这里所说的摄动是由系统工作环境的变化、模型的不精 确、降阶近似及非线性的线性化等等所产生的。现代鲁棒分析最重要的特点就 是要求讨论参数在有界摄动下系统保持原有性质的能力。鲁棒稳定性是指系统 在参数摄动下保持稳定性的能力，这也是对系统鲁棒性最基本的要求。因此对 于一个实际系统的设计来说，具有鲁棒性是非常重要的。 再者，在工业过程控制系统中，当物质和能量沿着一条特定的路径传输时 就会出现时滞，它是作为物理系统的一个固有的特性而存在的。它的特点就是 当控制参数已经改变时，被控量并不立即改变，而是要延迟段时间才开始变 化。含有时滞的系统称为时滞系统。在实际的生产过程中时滞系统普遍存在， 时滞影响了系统的稳定性，常使稳定的系统变得不稳定。因此，研究时滞系统 是一个难点、也很具实际意义。 本课题着重研究带有非线性摄动的连续时滞系统的鲁棒稳定性，应用 l y a p u n o v 第二稳定性理论获得系统稳定性的条件，并且基于稳定性结果给出状 态反馈控制器的设计方法。 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 1 3 鲁棒稳定性的发展概况 从2 0 世纪6 0 年代以来，通过结合实际工程问题和数学理论，鲁棒控制理 论取得了令人瞩目的发展，而时滞系统的稳定性分析一直是时滞系统的一个难 点。人们从各种途径出发，获得了许多用于判断时滞系统的稳定性的判据，时 域分析成为时滞系统尤其是不确定时滞系统( 包括系统矩阵参数不确定性以及 时滞本身的不确定性) 稳定性分析以及控制器综合的主要方法。近年来有关不 确定时滞系统的结论基本上都是采用时域方法分析获得的。下面就介绍一下时 域方法的发展概况。 对于线性不确定时滞系统的鲁棒稳定性分析有以下结果。s s w a n g 。b s c h e r ta n dt p l i o l 和a h m a m e d t 2 1 研究了带有非线性不确定性时滞系统的鲁棒 稳定性，其中的非线性摄动是时交范数有界的，文中给出了系统鲁棒稳定性的 充分条件，其方法是用矩阵的测度及状态变换对系统的解进行放缩变换，从而 得到瞬间响应的界，进而证明系统在所给条件下是鲁棒稳定的，但其保守性较 大。 在时域分析中，自从l y a p u n o v 第二方法被用来处理线性系统问题，该方 法很快被引入到时滞系统分析中，得到了广泛地应用。其一般思想是针对不确 定状态空间对象，选择一个合适的l y a p u n o v 函数，然后基于范数的概念得到 系统鲁棒稳定性界限或鲁棒稳定性条件。l y a p u n o v 方法已成为人们处理时滞系 统的有利的工具，其优点主要表现在：方法统一，最后都可以转化为一个 r i c c a t i 方程的解，近十几年来，由于计算机的广泛应用，可将最后结果转化成 若干个线性矩阵不等式( l m i ) ，利用l m i 工具箱能更便利快捷地求解问题；处 理范围广泛，不管是参数摄动还是时变时滞系统都可适用。因此，l y a p u n o v 方 法在工程实际中有广阔的应用前景。利用l y a p u n o v 第二方法，通过构造恰当 的l y a p u n o v 函数判断时滞系统的稳定性及设计无记忆反馈控制器方法简单， 在线计算量小，而且便于进行闭环系统的鲁棒稳定性分析，因而近年来受到很 多学者的重视，尤其是在r i c c a t i 方程及l m i 在线性不确定性系统的鲁棒综合 问题研究中得到了广泛的应用以后，许多学者将该方法推广到线性不确定时滞 系统的分析中，取得了很多好的结果。 j s l u oa n dp p j v a nd e nb o s c h t 3 j 针对带有矩阵多胞型结构不确定性的时 滞系统，利用l y a p u n o v 方程得到系统时滞独立的稳定条件及不确定参数边界 的上界。 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 j h a l e t 钾提出了如下的状态变换方法： 川一f ) = 工( f ) 一l i o ) a s 变换后的系统包括原系统作为一个特例，因此变换后系统的稳定性将保证原系 统的稳定性。后来，在许多文献中应用了这个变换研究系统的鲁棒性。 t j s ua n dc gh u a n g t s l 和曹登庆【6 】针对带有强结构不确定性的时滞系统构 造l y a p u n o v 函数，结合r a z u m i k h i n 稳定理论导出系统的时滞依赖稳定性条 件，得到了保证系统稳定的最大允许滞后界。m s m a h m o u da n dn f m u t h a i r i r q 讨论了变时滞系统，得到用r i c c a t i 方程表示的系统鲁棒稳定性条 件。s ln i c u l e s c ua n dc e d es o u z a t 8 3 给出的时滞相关鲁棒稳定性判据是基于 一个r i c c a t i 方程的解的，但该方法难以通过简单的方法求得使系统鲁棒稳定 的最大允许时滞上界。j h l e e 。w h k w o na n dj w l e e m 讨论了具有广义 f r o b e n i u s 范数有界不确定性的线性系统的稳定性和镇定问题；陈东彦，徐世杰 1 1 0 将其推广到时滞系统的鲁棒性能分析中，给出了系统二次稳定条件及二次镇 定控制器的设计方法，其中二次稳定的条件是充分必要的，且由一个r i c c a t i 方程给出。x l ia n dc e d es o u z a t “】1 1 2 】【1 3 】利用l m l 方法给出了存在状态滞后 的线性不确定性时滞系统的时滞相关鲁棒稳定性判据。c h l e ee ta i 利用复 l y a p u n o v 方法，给出线性时滞不确定系统渐近稳定和指数稳定的充分条件。j h k i m t ”1 利用l y a p u n o v 函数方法，分别讨论了变时滞系统在线性非结构摄动 和线性矩阵多胞型结构摄动下系统时滞独立渐近稳定的充分条件。j h k i m t ”1 讨论了带有强结构不确定性的线性交时滞系统，引入带有时滞的积分项。构造 比文献【5 】复杂的l y a p u n o v 函数，用配方的方法消去时滞，得到系统稳定的充 分条件。yj s u n ，j gh s i e ha n dh c y a n g t ”吲入状态变换讨论了带有非线性 摄动的时滞系统，获得系统稳定性条件。陈东彦【1 s l 讨论了带有矩阵多胞型结构 不确定性的线性时滞系统，利用l y a p u n o v 函数和矩阵的高斯分解，给出使其 渐近稳定的充分条件。 随着计算机的广泛使用，出现了l m i 工具箱，使得一些结果的计算大大 减少，因而l m i 的方法也得到了广大学者的青睐。 俞立【1 9 1 基于l y a p u n o v 稳定性理论，导出了具有滞后时变摄动的线性系统 二次稳定的一个充分必要条件，通过求解一个具有l m i 约束的凸优化问题， 得到保持系统稳定的最大允许摄动界。 美籍华人k q g u t 2 1 l 引入离散化l y a p u n o v - k r a s o v s k i i 泛函( d i s c r e t i z e d l y a p u n o v k r a s o v s k i if u n c t i o n a l ) 来分析获得时滞系统的鲁棒稳定性的充要条 哈尔滨理工大学理学颐士学位论文 件，由于该l y a p u n o v 函数的多个权矩阵都是滞后区间 o f 】上的可测函数，求 得一个解析解是相当困难的。他采用近似的数值方法，对这些矩阵函数做离散 化处理，并把在整个区间上的由稳定性条件所导出的l m i 归结为离散点上的 矩阵不等式条件，由于所得矩阵不等式都是线性的、可以一起联立求解，所以 该方法大大改善了保守性，所求得的最大允许滞后相对其它结果要大一个数量 级，但是随着离散化的点数的增多，该方法的计算量大大增加，该方法难以进 行控制器的综合设计。q l h a n v 2 】l 2 3 l 聊1 使用上述方法给出了以l m i 形式表示的 线性时滞系统稳定性条件，文中也未给出控制器的设计方法。以色列学者e f r i d m a n t 冽介绍了一种新的l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函。使用广义模型变换 ( d e s c r i p t o rm o d e lt r a n s f o r m a t i o n ) ，分析了单时滞和多时滞线性系统的稳定条件 及带有范数不确定性的中立型系统的稳定性，就单时滞的情况给出了输入输 出反馈控制器的设计方法。g u 提出的这种方法只适用于具有定常时滞的系 统，对于具有时变时滞的系统是失效的。因此，这类方法自提出后，只有少数 学者进行研究，没有得到广泛的推广和应用。 y y c a n ，y x s u na n dc w c h e n g t ” 用j h a l e 提出的状态变换方法，将 系统方程代入，构造l y a p u n o v 函数，利用基本不等式研究了范数有界不确定 性多时滞系统的时滞依赖稳定性条件，并且透过解最优问题获得最大时滞上 界；j h k i m u n 构造带积分项的l y a p u n o v 函数，用上文的方法得到系统时滞 依赖的稳定性条件；彭达洲和胥布工网，x j m aa n db gx u t 2 9 j 将上述结果分 别引入带有非线性扰动的时滞系统和多时滞系统，得到系统的鲁棒稳定性条 件。 韩国学者p gp a r k 刚通过引入一个自由矩阵，推广了一个基本不等式，导 出p a r k 不等式，文中利用其得到线性时滞系统的渐近稳定条件，与以前的结 果相比保守性减小。但其仅得到了线性时滞系统渐近稳定的条件；m w u , y h ea n dj ，h s h e f 3 l l 用p a r k 不等式得到了带有范数有界不确定性的线性时滞系统 的稳定性条件和带有非线性摄动的系统的稳定性判据，但在处理非线性摄动时 使用了s 过程，文中也仅获得了系统鲁棒稳定的充分条件，文献 3 0 1 和文献【3 l 】 均未涉及控制器的设计；e f r i d m a na n du s h a k e d p 2 l 对中立型系统引入状态变 换，利用p a r k 不等式获得系统稳定条件及见，控制器的设计：h j g a oa n dc h w a n g t a 3 1 用这个不等式处理了王，。和厶一l 过滤器问题；杨斌使用这个不等 式研究了具有时滞的中立型系统的绝对稳定性条件。y s m o o n ，p - gp a r k , w h k w o na n dys l e d 3 目顺着p a r k 不等式的证明思想，引入多个自由矩阵，进 一步推广了p a r k 不等式，导出m o o n 不等式。得到带有范数有界不确定性系统 - d - 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 稳定性条件及状态反馈控制器的设计方法，结果的保守性比文献【3 0 1 进一步减 小，文中的不等式在许多文献中使用：x ey a n g ，w h c h e na n dh j f a n g 晰l 用它来研究保成本控制；e f r i d m a na n du s h k e d 3 a 处理了带有多面体不确定性 的线性时滞系统：vs u p l i n ，e f r i d m a na n du s h a k e d t 3 8 j 研究了中立型系统的稳 定性条件并获得了吃状态反馈控制器的设计，等等。可见p a r k 不等式、 m o o n 不等式应用广泛，处理了很多类型的系统和控制器的设计，所得结果相 对于以前文献保守性大大降低。但是未见有文章在文献 3 9 1 中非线性描述形式基 础上讨论带有非线性不确定性系统的稳定性及控制器的设计。张先明，吴敏和 何勇 4 e l 再次改进了p a r k 不等式，得到了范数有界不确定性线性对滞系统稳定 性条件和状态反馈控制器的设计方法，张先明，吴敏1 利用该不等式的一种特 殊情况设计了线性时滞系统的时滞相关无源控制器。随着不等式的改进所得到 的结果保守性也越来越小。 近几年，何勇等人提出了“自由权矩阵方法”( f r e ew e i g h i n gm a t r i x a p p r o a c h ) ：在处理l y a p u n o v 函数的导数( 矿) b e 不似以前用不等式放缩矿，而 是引入一些恒等式与矿中的项合并，配成l m i ，从而得到稳定性条件，其保守 性大大的降低了。y h e ，m w u ，j h s h e a n d g e l i u 【4 2 l 引入了三个含有自由矩 阵的恒等式，将每项与原l y a p u n o v 函数中的项合并计算，从而得到线性时滞 系统渐近稳定条件及带有多面体不确定性的线性时滞系统的鲁棒稳定条件；之 后m w u ，y h e r 4 3 获得了多面体不确定性线性多时滞系统的稳定性；m w u ，y h ea n dj h s h e l 4 4 1 用该方法得到了中立型系统的稳定条件；张先明，吴敏，何 勇p o 获得了多时滞中立型系统系统的稳定性条件；s yx ua n dj l a m 脚1 针对带 有范数不确定性的线性时滞系统，利用加减项等计算技巧，通过等式计算将矿 中所有项合并到积分号内，再将其转化成l m i ，得到系统的稳定性条件。这种 引入自由权矩阵的方法得到的结果较以前的方法得到的结果有很大改进，但是 引入的自由矩阵并不是多多益善，较多的自由矩阵有时反而并不能降低所得条 件的保守性。 与此同时，学者0 m k w o na n dj h p a r k 4 1 利用引入参数中立型模型变换 的方法处理了带有范数不确定性的时滞系统，得到了系统的稳定性条件，同时 给出状态反馈控制器的设计。特殊地，当引入的算子中自由矩阵等于时滞系数 矩阵时，即为中立型模型交换，m s m a h m o u da n da i s m a i l 4 8 1 使用这种方法研 究了一类线性时滞系统，得到系统稳定的充分条件，并且得到了满足马，耳。， 巩，且。性能指标的控制器设计法方法。 再有，以色列学者e f r i d a n2 0 0 1 年提出广义模型变换，基于这种变换取 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 得了一系列成果。e f r i d a na n du s h a k e d l 4 9 1 使用系统的描述符形式构造增广系 统研究原来线性时滞系统的时滞依赖和时滞独立的有界实引理，并且得到状态 反馈控制器的设计方法；e f r i d m a na n du s h a k e d 竭使用该方法并结合p a r k 不 等式，得到中立型系统的稳定性条件和e 。状态反馈控制器的设计；同样，e f r i d m a na n du s h a k e d 3 日结合m o o n 不等式获得带有多面体不确定性的线性时 滞系统稳定的条件及状态控制器的设计；e f r i d m a n ，f g o u a i s b a u 。m d a m b r i n e a n dj p r i c h a r d i s o j 使用该方法研究了滑模控制器；x jj i n g d l t a na n dy c w a n g s q 构造新的l y a p u n o v 函数，使用该方法获得带有范数有界不确定性的线 性时滞系统的稳定性条件。 1 4 研究内容 本文的研究内容分为以下两部分： 1 本文针对带有非线性摄动的连续时滞系统利用l y a p u n o v 方法分析了系 统的鲁棒性。其中非线性摄动以一种一般的形式给出，常见的范数有界形式是 该形式的一种特殊情况，故本文讨论的系统更具一般性。文中使用l y a p u n o v 方法，构造适当的l y a p u n o v 函数y ) ，但在对矿求导的过程中使用不同的 不等式进行放缩，从而得到不同的时滞依赖稳定性条件，通过算例比较了它们 保守性的大小；以往在处理非线性摄动时通常使用s 一过程，而本文使用不等 式放缩处理。之后，在稳定性条件的基础上给出了状态控制器的设计，实例表 明控制器设计定理是可行的。 2 使用l y a p u n o v 方法结合“自由权矩阵的方法”、“参数中立型变换”和 “广义模型变换”得到带有非线性摄动的线性时滞系统鲁棒稳定条件及状态反 馈控制器的设计方法。其中引入自由权矩阵的方法是在对l y a p u n o v 函数求导 的过程中不使用不等式对其放缩，而是引入几个恒等式，并将其与l y a p u n o v 函数的导数合并，构造l m i 得到系统稳定性条件；使用广义模型变换的方法 是引入含有自由矩阵的算子，对算子求导得到的一个新系统系统，利用 l y a p u n o v 方法获得系统的稳定性条件；参数中立型变换是引入一种状态变换， 构造增广系统，然后针对增广系统得到稳定性的条件，之后证明增广稳定时原 系统也是稳定的。在稳定性条件的基础上给出了状态反馈控制器的设计方法。 实例表明得到的系统稳定性判据所允许的时滞上界大大提高，并且控制器设计 方法是有效的。 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 第2 章基础知识 为了叙述方便，本章给出动态系统稳定性理论、l m i 中的基本概念和主要 引理，以及常用的数学工具。 2 1 l y a p u n o v 稳定性理论 在稳定性理论发展进程中，最伟大的事件乃是俄国数学力学家l y a p u n o v 在1 8 9 2 年完成的博士论文“运动稳定性的一般问题”。其中科学地给出了系统 中运动是稳定和渐近稳定的概念，提出了后来被人们称为l y a p u n o v 函数的概 念，将微分方程解的渐近性质归结为讨论一个标量函数( 即l y a p u n o v 函数) 及其系统全导数的一些特性，成功地建立了稳定性理论研究的框架。后经许多 学者的研究，逐步完善成为动态系统稳定性分析的主要理论依据。 考虑一般的非线性动态系统 童( f ) = 厂( 五，) ，x ( t o ) = x o ，t t o ( 2 - 1 ) 式中苫为栉维状态向量，以，) 为聍维向量函数。 定义2 1 p 2 1 如果存在某个状态t ，满足 丸= ，( 以，o = 0 ，v t t o 则称工。为系统的一个平衡点或平衡状态。 定义2 2 嘲设t 为系统( 2 - 1 ) 的一个平衡状态，称t 为l y a p u n o v 意义下稳 定的，如果对给定的任一实数占 0 ，都对应地存在一个实数j ( ，t o ) 0 ，使得 由满足不等式 0 一ti 阵艿( 占，t o ) 的任一初态出发的受扰运动都满足不等式 i | 妒( f ；而，t o ) 一z 。i i 占，v t t o 定义2 3 t 竭设t 为系统( 2 - 1 ) 的一个平衡状态，如果对给定的任一实数 s 0 ，都对应地存在一个实数占( 占) 0 ，使得由满足不等式 h 而一t 临文力 的任一初态出发的受扰运动都满足不等式 i l 妒o ；，t o ) 一x el 匿s ，v t t o 则称平衡状态算。是一致稳定的。 定义2 4 f 5 2 j 系统( 2 1 ) 的一个平衡状态屯称为是渐近稳定的，如果 芝玺鎏詈王查兰翌耋翟圭：竺丝銮 ( 1 ) 墨是l y a p u n o v 意义下稳定的； ( 2 ) 对j ( f ，t o ) 和任意给定的实数 0 ，对应地存在实数r ，j ，t o ) 0 使 得由满足不等式0 一t 临占p ，t 。) 的任一初态出发的受扰运动都同时满足不 等式 i f 矿o ；而，t o ) 一临a ，v t t o + 硪胁最t o ) 定义2 2 1 设x 为系统( 2 - 1 ) 的一个平衡状态，如果以状态空间的任一有 限点而为初始状态的受扰运动( f ；，t 。) 都是有界的，且成立 i m 。矿( f ；善o ，t o ) 2t 则称系统( 2 1 ) 的平衡状态以是大范围渐近稳定的。 通常，也称大范围渐近稳定为全局渐近稳定，而称小范围渐近稳定为局部 渐近稳定。 定义2 6 1 5 2 设t 为系统( 2 1 ) 的一个平衡状态，如果对于任意的有限实数 占 0 ，都存在相应的实数以s ) o 和口 0 。使得由满足不等式 0 一t 临以占) 的任一初态出发的运动满足不等式 l i 矿o ；粕，t o ) 一t 临钟“伽，v t t o 则称平衡状态x ，为指数稳定的。 定义2 7 ( 5 z ) 设并r “，q 是r 。中包含原点的一个封闭有限区域；v ( x ，f ) 是 定义在 t o 。) q 上的一个标量函数。如果 ( 1 ) v ，f ) 关于x 和f 均具有一阶连续偏导数； ( 2 ) v ( o ，t ) = 0 ： ( 3 ) 矿“f ) 有界正定，即存在两个连续的非减标量函数a ( i i x l l ) 和风0 工0 ) 满足口( o ) = p ( o ) = 0 并使得对任何t t o 和x 0 有 0 0 ，则称矿为定义在q 上的时不变正定函 数。进一步，如果i ；m 矿( 力= ，则称正定函数矿 ) 具有无穷大性质。 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 引理2 i t 5 2 1 如果存在包含原点的某邻域q c r ”和定义在 t o ，) q 上的一 个有界正定函数v ( x ，f ) ，它沿系统( 2 - 1 ) 的全导数在【f 0 ，m ) q 上为有界半负定的 ( 或负定的) ，则系统( 2 1 ) 的零平衡状态是一致稳定的( 或一致渐近稳定的) 。 引理2 2 s 2 1 如果存在一个具有无穷大性质的定义在【t o ，) r ”上的有界正 定函数y 似d ，它沿着系统( 2 - 1 ) 的导数矿“砖在阮，叫x r 上一致有界一致负定， 则系统( 2 1 ) 的零平衡点为全局一致渐近稳定的。 当系统( 2 - 1 ) 是定常的时，即f ( x ，f ) = ，( 力时，有 引理2 3 t 2 1 如果在原点的某邻域q 内存在一个正定函数y ( 曲，它沿着系 统( 2 1 ) 的全导数矿( 在q 上为半负定( 或负定) 的，则系统( 2 1 ) 的零平衡点为 局部稳定的( 或渐近稳定的) 。 引理2 4 t 竭如果在原点的某邻域q 内存在一个正定函数矿( x ) ，它沿着系 统( 2 - 1 ) 的全导数矿( 力在q 上为半负定的，但在q 中矿( 功在系统( 2 1 ) 的非零解 上非零，则系统( 2 - 0 的零平衡点渐近稳定。 引理2 5 1 s 2 1 如果在上存在一个具有无穷大性质的正定函数y ( 功，它沿 着系统( 2 1 ) 的全导数矿( x ) 在r ”上为负定的，则系统( 2 1 ) 的零平衡点为全局渐 近稳定的。 当系统( 2 - 1 ) 是线性时，即，伉f ) = 一( f ) 确：) 时，有 引理2 6 s 2 1 设工，= 0 是系统( 2 1 ) 的唯一平衡状态，则零解一致渐近稳定的 充分条件是，对任意给定的实对称、一致有界和一致正定的时变矩阵q ( f ) ，矩 阵微分方程 一尸( f ) = p ( f ) 彳( f ) + a ( f ) p o ) + 旦f ) 有唯一的实对称、一致有界和一致正定的矩阵解p 。 当系统( 2 1 ) 是定常线性时，即f ( x ，) = a x ( t ) 时，有 引理2 7 蚴定常线性系统为渐近稳定的充分必要条件是矩阵方程 a ep + p a = 一q 对任意给定的正定对称矩阵q ，都有唯一正定对称解p 。 2 2 线性矩阵不等式 本节简单介绍一些线性矩阵不等式的有关知识，下面首先给出线性矩阵不 等式的概念。 定义2 9 口o l 下面的矩阵不等式称为线性矩阵不等式或严格线性矩阵不等 式 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 f ( x ) = f o + 薯互