（应用数学专业论文）具一倾斜翻转的非共振两点异宿环分支.pdf

具一倾斜翻转的非共振两点异宿环分支 摘要 本篇硕士毕业论文主要研究了在高维系统中具有一倾斜翻转的异宿环所产 生的分支情况通过建立局部坐标系并运用s i l n i k o v 坐标，导出p o i n c a r 6 映射和 分支方程，把证明原系统是否存在周期轨、同宿轨的问题转化为分支方程是否存 在充分小正解和零解的问题 第一章主要介绍在本文中用到的基本概念、记号及研究背景，同时介绍了本 篇论文的主要结果 第二章的第一、二节给定了假设条件，将系统( 2 1 ) 化为规范形且建立了局部 坐标系，从而导出分支方程接着讨论了在两种不同情形下的分支情况在第三 节中，研究了 1 ，韪 1 的情形，我们有如下结果：在某些条件下，系统( 2 1 ) 不 存在周期轨、同宿轨及异宿环；证明了周期轨、同宿轨及异宿环的唯一性且 给出了存在区域；得到1 周期轨、1 一同宿轨及1 异宿环不共存的性质；最后讨论 了系统( 2 1 ) 不存在2 。同宿轨与2 一周期轨在第四节中研究了鲁 1 ，茁p z 1 ，簧 1 ，t h e f o l l o w i n gr e s u l t sc a nb ed e r i v e d ：s y s t e m ( 2 1 ) h a sn o ta n yp e r i o d i co r b i t ，h o m o c l i n i c o r b i to rh e t e r o c l i n i cl o o p su n d e rs o m ec o n d i t i o n s ；w ep r o v et h eu n i q u e n e s so ft h e1 一 p e r i o d i co r b i t ，1 - h o m o c l i n i ca n dh e t e r o c l i n i cl o o p sa n do b t a i nt h e i re x i s t e n c er e g i o n ； w eo b t a i nt h a tp e r i o d i co r b i ta n dh o m o c l i n i co r b i td o n tc o e x i s t ；s y s t e m ( 2 1 ) h a sn o t a n yd o u b l e1 - p e r i o d i co r b i ta n d1 - h o m o c l i n i co r b i t i ns e c t i o n2 4 ，i f 奢 1 ，鲁 1 ，垂 1 的情7 侈1 5 2 4 奢 1 ，矮 a ；，以 a ；，p 应 a a ! 情形的两点粗异宿环的分支问题文献【1 3 】研究 了高维系统连接三个鞍点的粗异宿环的分支问题类似地，文献 1 4 】，【1 5 主要研 究了异宿环分支 同时也有许多文章讨论了非通有同宿环( 异宿环) 或沿着同宿环( 异宿环) 的 不变流形在s t a n d t e d e 的博士论文中首次研究了具有轨线翻转的同宿轨线分支 问题，文献【1 6 】研究了具有一轨道翻转的同宿环的余维2 分支，【1 7 研究了共振的 具有一倾斜翻转或一轨道翻转的同宿环的余维3 分支，并且提出了一些猜想文 献1 1 8 针对共振的同宿环翻转的余维3 分支的猜想作了数值模拟，文献 1 9 1 研究了 非共振的具有一个轨道翻转的异宿环的余维3 分支，文献 2 0 】讨论了可逆系统中 具有倾斜翻转的异宿环的余维2 分支文献【2 l 】研究了四维系统中连接强稳定与 强不稳定的同宿轨线分支问题，我们可以看出具有双轨道翻转的同宿轨的分支现 象极大地依赖特征值a l ，p 1 ，a 2 和p 2 的绝对值之间的大小关系文献 2 2 】研究了具 有轨道翻转的双同宿环四维系统，在主特征值共振和沿轨道奇点处切方向共振 下的两种分支近几年来，一些文献研究高维空间中具有一轨道翻转或一倾斜翻 转的同宿环或异宿环分支问题，如文献【2 3 ，【2 4 ，【2 5 ，【2 6 ，【2 7 ，【2 8 ，【2 9 ，【3 0 ， 【3 l 】，【3 2 1 3 本文的主要结果 本文在前人的工作基础上，通过在粗异宿环附近建立活动坐标系，研究四维 向量空间中的异宿环分支此异宿环由两个通有的异宿轨组成，但在其中一个 稳定流形上发生了倾斜翻转在本文中我们研究了在两种不同情形下1 异宿环， 1 同宿环与1 。周期轨的存在性，。不存在性，共存性及唯一性另外本文给出了2 同 宿环与2 一周期轨的存在条件及分支曲面 4 1 绪论 之处在于对四维系统中非共振的具有倾斜翻转的异 、系统的分析和研究 5 2 具一倾斜翻转的非共振两点异宿环分支 2 1 假设与规范形 考虑伊系统及其未扰动系统： 2 = f ( z ) + g ( z ，p ) ，( 2 1 ) 三= ，( 名) ，( 2 2 ) 其中7 5 ，z r 4 ，p r p ，m 2 ，慨) = o ，9 慨，p ) = g ( z ，0 ) = 0 ，g c ” 我们假设： ( h 1 ) ( 通有性条件) 系统( 2 2 ) 有一个异宿环r = f 1ur 2 ，其中n = z = r i ( 亡) ： t i t ，n ( + o 。) = n + 1 ( 一o o ) = 鼽+ 1 ，r s ( t ) = r 1 ( ) ，p s = p l ，并且d ：厂慨) 的特征 值一应，一衍，m ，遐满足： 、 _ 以 一硝 0 m 遐，i = 1 ，2 ，且熊1 记孵与职是关于鼽的稳定流形与不稳定流形，e 手= 扣l i 士m o 。叫l ，那么e 弓。唧，e 砉w ，e f w 及e i 耳。w 分别是相对于特征值入i ，增，一所及 一j d 的特征向量这里假设熊- 4 ：l 表明了r 是一个粗异宿环 ( h 2 ) ( 非退化条件) d i m ( t , - , ( o w n t n ( t ) w t + 1 ) = 1 ( h 3 ) ( 非通有条件) 6 l i t 1 稳定流形w f 具有强倾斜性质，4 v - - 3 t 啼一o o 时w 薹发生倾斜翻转 ( h 3 ) 的第三个等式表明当舌斗一时，w 发生倾斜翻转条件( h 1 ) 与 ( h 3 ) 的后两个等式见图1 现在我们通过以下三个步骤建立系统( 2 1 ) 的规范形 第一步通过作线性变换，使系统( 2 1 ) 成为： l 圣= , x i ( u ) x + d ( 2 ) ， l 痧= - d 1 ( u ) y + o ( 2 ) ， i 也= 遐( p ) u + d ( 2 ) ， i 西= 一度( 肛) u + d ( 2 ) ， 7 ( 2 3 ) 2 具一倾斜翻转的非共振两点异宿环分支 第二步由稳定、不稳定流形定理知，系统( 2 3 ) 存在交于原点o 的c 7 流形 雌与吆，这里吩= z = ( z ，y ，u ，口) l z = x i ( y ，口) ，t = m ( y ，钞) ，戤( o ，0 ) = 讹( o ，o ) = o ，渊= o ，( ，u ) 叼) 与崂= z = ( z ，y ，扎，口) 1 秒= 鼽( z ，u ) ，口= 忱( z ，钆) ，玑( o ，0 ) = v i ( o ，0 ) = 0 ，= 0 ，( z ，u ) 叼) 分别是原点。处的局部稳定 与不稳定流形叼cr s = ( z l x = 让= o ，叼c p = 名b = u = o ) ，w 叼c 阢c 叫cr 4 ，阢与w 是原点。处的充分小的领域 接下来我们想要拉直局部流形 雌= z l y = = o ，z 阢) 记四1 ，c 垆， 与吣u , i 灭1 寸 r r p 8 ；= 名i z = u = o ，z 阢) ， 四1 与c 2 分别是满足下列条件的锥： 四1c 四2 ，四1c 四2 ，q 2n 掣= ( o ) ，w 嘉c 四1 ，雌c 凹1 令霹七= g 知n 嘴，j = s ，“，七= 1 ，2 ，且u , o = 阢，那么我们选择两个g o o 冲击函 数( b u m pf u n c t i o n ) 辨与钟，使得： 一1 l 誓誉 劈( z ) = 并且当z 西2 一a 1 时，戎( 石) ( 0 ，1 ) ，当z 过“拉直变换”： 厂1 ，名西t 、o ，z 聋毋 c 垆一四1 时，钟z ) ( 0 ，1 ) 最后通 z _ z 一铹( z ) 兢( 秒，口) ， y _ y ， u _ 让一戎( z ) ( 可，口) ， _ 钉，当名四2 时， z _ 。， y y 一钟( z ) 犰( z ，u ) ，u _ u ，u _ 一钟( z ) 优( z ，u ) ，当z 四2 时， 根据与雌的不变性，系统( 2 3 ) 在阢中变为： 系统( 2 4 ) 是伊一1 的 ( 2 4 ) 第三步类似于第二步，我们可以进一步拉直伊。局部稳定流形和局部不稳 定流形，使得岷= w 5 3n 阢= z l x = y = u = 0 ，z 仉) ，w = w 伽n 阢= z l x = y = 口= 0 ，名玩) ：由于雌，嗜的不变性，系统( 2 4 ) 可局部地变为以下 正规形： 8 l o l 力力q 力0 加加 + 卜+ 卜 似似+ 卜+ 卜m 唰删黼唰肌删 m 似删 + 卜+ 卜 加h 扣h弛衍弛讧 = = = = 2 具一倾斜翻转的非共振两点异宿环分支 圣= z ( m ( 肛) + d ( 1 ) ) + o ( u ) ( d ( 可) + o c v ) ) ， 雪21 ，( 一店( p ) + 。( 1 ) ) + d ) ( 。( z ) + o ( u ) ) ， ( 2 5 ) 吐= “( ，砭( p ) + 0 0 ) ) + d ) ( d ) + o ( y ) + d ( u ) ) ， o = 钉( 一应( p ) + d ( 1 ) ) + d ( y ) ( d ( z ) + o ) + o ( u ) ) z i ) + o ( 1 y 1 ) + o ( 1 缸1 ) + o ( i v l ) ，且系统( 2 5 ) 是眇_ 2 的 2 2 局部坐标系与分支方程 记a ( ) = d ：，m ( ) ) ，考虑线性系统及其伴随系统 2 = a ( ) z ，( 2 6 ) 矽= 一a ；。( ) 妒 ( 2 7 ) ( 2 5 ) 式表明奇点处的局部稳定( 不稳定) 流形是y v ( x u ) 平面，且局部强稳定( 不稳 定) 流形是v ( u 一) 轴由( h i ) 我们知道，对于使得( z ：i z i 1 ) ，i 亍l ，2 ，j = s ，乱 为了简化分支方程，我们在阢，“= 1 ，2 ) 内作一个g 坐标变换： t ：( z ，y ，乱，u ) = ( z ，y ，面+ 鳄( z ) ，面+ 箧l + 1 ( 可) ) ，醒= 醒， ，= 三_ 2 2 2e x p 一 _ 回2 陆2 _ + 一2 。一2 】 。：；荔 通过此变换，在坐标牙= ( z ，y ，霞，面) ，n ( 一砰) = ( 6 ，0 ，0 ，o ) ，亿( 霹) = ( 0 ，6 ，0 ，o ) 之 下，有鳄= 0 ，霹= 0 成立此后，我们将2 作为新的局部坐标，且仍然用z 表示 9 2 其一倾斜翻转的非共振两点异宿环分支 引理2 1 设亿( ) = ( r i ，r ；，r ；，r ：) t ( t ) 存在巧 3 与面i 3 使得系统( 2 6 ) 有满足下列 条件的基解矩阵毛( 亡) = ( 名i ( t ) ，磊( 亡) ，之( 亡) ，磊( t ) ) 名i ( 亡) ( 耳；( t ) w ) 。n ( t , - , c 0 w h l ) c ， 霜( 亡) = 端霉。( t ) w tn t r l ( ) 聊， z ；( t ) ( o 聊n ( 死【) w 苒1 ) 。， 盔( ) ( ( t ) v 吁) 。i 1t 。， 历( 一霹) = 易( 一霹) = u 扎 0 u 2 u 3 u 南 u 1 u 毳 o o 五( t i ) = 易( 砑) = “哇o 0 、 以。o i 此oi l u ；31 瑶0 以。o l l ， u 乞0 i 屹1 其中咄，以。，u 3 ，以2 ，堀，u 。，崛，u 乞0 ，且当霉，碍l 时，l 巧 3 i ，i 砑3 l ，i 瞄3 1 w 2 3 i 1 ，i ( “o ) _ 1 “2 i 1 ，t = 1 ，2 ，f 3 ) _ 1 u b i l ，j = 0 ，2 ，1 0 1 ) _ 1 u 己i 证明：这里我们仅考虑i = 1 的情形根据巩中局部不变流形的表达式，我们 有矗( 一矸) = ( 0 ，0 ，1 ，o ) t ，露( 砰) = ( 0 ，0 ，0 ，1 ) t m z o 的定义及假设条件( h 3 ) 有 霜( 一日) ，霜( 7 1 1 ) 的值和“o o ：根据r l 在点p l 发生强倾斜翻转及在点耽处保持强 倾斜性质，我们可知以1 o ，0 3 1 3 = o 及u j 2 0 然后考虑z ( 砰) 和z i ( 一矸) 根据( h 3 ) 的第一个假设条件，有霉。( 研) 耽= 唧咒 ( o ，1 ，0 ，o ) t ，( 0 ，0 ，0 ，1 ) t ) ，耳。( 硭) 胛= 印o n ( o ，l ，0 ，o ) r ，( 0 ，0 ，l ，o ) t ) 容易 看出我4 f - j 以取霹( 矸) = ( 1 ，0 ，0 ，o ) t ，霹( 一砰) = p 1 1 0 ，历 1 ，面 2 ，乃 3 ) 如果石 1 = 0 ，那么记z = 砑( t ) 如果历 l 0 ，则由以1 0 ，我们可取z ( t ) = 霹一 面 。( 以。) _ 1 霜( 亡) 僻。( t ) w i ) 。n ( 霉。( t ) 峨) 。，其中虿 3 = 一面 1 ( 以1 ) _ 1 以2 ，名 ( 一卵) = 0 一科。 。) _ 1 “岛，科。一历 。j 。) - 1 以。，击 。一面i 。5 。) 一1 此，历 3 ) ，这里记历 3 = 叫 3 由基解矩阵的非退化性得u 3 0 1 0 3 ：玲 o 1 o 岫o 1 o 瑶 3 ：旧 - o o 砘l o o 砑 ，j。一，。一 、r，、lj o l 2 z 虻订 圪 妊墙岵如。墙嵋吨 0 o 1 0 0 o 1 0 0 2 ：比 峨。墙。峨o ，。l一，j。 记皿t ( 亡) = ( 2 ：1 ( 亡) ) t = ( 妒。( ) ，峨( 亡) ，砒( 亡) ，以( t ) ) ，则吼( t ) 是伴随系统( 2 7 ) 的 基解矩阵在r 的领域内取变换z = n ( ) + ( z i ( 亡) ，之( t ) ，乏( t ) ) ( 前，礼；，钆；) t 磐 & ( 亡) ，t 【一砰，砑】，则系统( 2 1 ) 变为： 唬( t ) + 之( ) ( 啦，0 ，佗；，磁) t + 磊( ) ( 衔，0 ，鸸，磁) t = ，( n ) ) + a ( ) 磊( ) ( 啦，0 ，扎；，礼；) t + 甄( n ( ) ，p ) + h o t 由吃( ) = 厂( n ( t ) ) 与幺( ) = a i ( ) 磊( ) ，我们可以将上式化简为： 五( t ) ( 元i ，0 ，元；，鹊) t = 钆h ( 亡) ，p ) + h o t 将上式两边同乘以皿( ) 且由皿 ( ) 五( ) = ，得到： q ( t ) = ( 孵( ) ) t 鲰( ) ，肛) + d ( 1 ( 前，n ；，磁) i ? ) ， i = 1 ，2 ，歹= 1 ，2 ，3 方程( 2 8 ) 诱导一映射砰：研_ 岛，其中g = z = & ( 一砰) ：i z 一亿( 一霹) i e 6 2 ) ，岛= z = & ( ) ：i z 一- t ( 雩) l 0 ，8 1 由础= o 得： 0 ，8 2 = 0 和8 1 0 ，8 2 0 瑶= 明p + 巧；3 ( i s 2 + ( 以1 ) 一1 6 s ：2 + o ( s 2 ) ， p i 将瑶代k g ；= 0 ，得： 诣：孵肛+ ( 瞎) 一- 孵p + _ 2 3 畹+ 。( s 笋) + d ( 拳“) 容易看出方程q = o ，i = 1 ，2 存在解u ；= u ( 肛，8 1 ，8 2 ) ，u i = u ( p ，s 。，8 z ) 1 5 o t ， 将；，乱 ，谣与砧代入q 中，得： 这里我们根据特征值譬的大小分成以下两种情形： i 知1 ， a i i i 慧 慧 譬 1 因此不失一般性，只需讨 论情形i 当惫 1 ，譬 1 时，( 2 1 5 ) 式变为： 1 一h 0 t ( 2 1 6 ) 定理2 i 假设条件( h 1 ) 一( h 3 ) 成立，且 砰， 砰线性独立，则下列命题为真： ( 1 ) 存在一曲线( 或曲面) d = e f 1 ，舞 1 时，有 = 堂出12 1 掣1 2 i y ：吣：。= 一600 0 00 060 o 00 0010 00 000100 巧 3 6 000 - 10 0 研3 6 0 0 0 - 1 = 6 2 0 其中y = ( 8 2 ，8 1 ，u ，u ；，站，谣) 由隐函数定理知，在( p ) = ( 0 ，o ) 的领域内存 在唯一满足条件( o ) = o ，u i ( o ) = 0 ，谣( o ) = o 的解 魂= 鼠( 肛) ，讲= 诟( p ) ，瑶= 瑶( p ) ，i = 1 ，2 若s l = 0 ，s 2 = 0 ，则系统( 2 1 ) 存在两条连接点p l 与点仡的异宿轨，即异宿环r 是 保持的若s l = 0 ，s 2 0 ，则系统( 2 1 ) 有唯一的1 同宿轨若s 1 0 ，8 2 0 ，则系 统( 2 1 ) 有唯一的l 一周宿轨综上可知异宿环、同宿轨与周期轨不能共存 1 7 2 具一倾斜翻转的非共振两点异宿环分支 定理2 2 假设条件( h 1 ) 一( h 3 ) 成立，且懈， 砰线性独立，则下列结论成立： ( 1 ) 若 砰p 0 ，则系统( 2 1 ) 在r 附近当6 1 m p 九( 肛) 时有唯一1 - 周期轨，当6 1 懈p = ( p ) 时有唯一的连接点耽的同宿轨，当6 1 懈p 一( 叫 1 ) 一1 ( 6 1 聊肛) + o t 时有唯一1 一周期轨，当万一1 聊肛= 一 1 ) 一1 一1 m i m 嚣, + 九o t 时有唯一的连接点p 1 的同宿轨，当6 1 聊p o ，u l 0 ，则： 当懈p o ，u i 3 露肛 0 且u 3 巧2 3 o 时，在区域6 _ l 聊肛 一( ；1 ) 一1 一1 懈p ) 碚p 2 + 九。t ( 相应地，6 1 砰肛一( u 1 ) 一1 ( 6 1 a 甜p ) 莲+ 九。t ) 内， 系统( 2 1 ) 在r 附近有唯一( 相应地，没有) l 一周期轨 当埘p o 且叫 3 巧；3 0 ， 一5 - 1 ( u 3 ) 一1 蟹p 一1 岬p ) 蘑一( 叫 3 ) 一1 i 苑( 6 6 - 1 ( u 3 ) 一t 眩p ( 6 1 砰肛) 辱一( 叫 3 ) 一1 - 2 3 ( 6 近有唯一( 相应地，没有) l 一周期轨 时，在区域6 。1 聊p 一- 蚴2 肛) 警帆。t_ 1 鸠p ) 一l + 九d 。峭2 p ) ( 相应地，5 - 1 聊p + 九o t ) 内，系统( 2 1 ) 在r 附 当a 砰肛 0 ，u b 蟹肛 o ，u b 回3 0 且( 玷p ) 万蕊i 孵弘i ( p _ o ) 时，如果6 1 聊p = 一( 1 ) 一1 ( 6 1 聊p ) + 九d t ，那么系统( 2 1 ) 在r 附近有 唯一的连接点p 1 的同宿轨；如果一( u 1 ) _ 1 - 1 聊p ) 1 i + 0 t 5 - 1 聊p ( 一紫) 才+ d t ，那么系统( 2 1 ) 在r 附近有唯一1 一周期轨；如果6 1 聊肛= ( 一锵) 蔷+ d t ，那么系统( 2 1 ) 在r 附近有唯一的连接点p 2 的同宿轨；如 果6 1 聊肛 ( 一号嗟擎) 葛+ d ， 那么系统( 2 1 ) 在r 附近没有1 一周期轨 当_ 2 3 鹏肛 0 ，e ( u ) 0 ，a ( u ) ( 一6 1 u l 聊p ) 苟+ 九o t 时没有1 一周期轨，当c ( p ) = - - 6 1 u 1 聊肛) 才+ o t 时 有唯一的连接点p l 的同宿轨，当c ( 肛) 0 ，c ( u ) o 且( p ) 0 ，那么系统( 2 1 ) 在r 附近当e ( 肛) ， ( 一6 1 u l 聊p ) 才+ d t 时没有1 周期轨，当c ( p ) = ( 一6 1 叫 l m 肛) 碡+ 0 亡时 有唯一的连接点p l 的同宿轨，当c ( u ) 6 1 聊p + h o 亡时有唯一1 一周期轨，当s l k 一 6 - 1 m 2 # + h o 亡 s ，k 。时没有1 一周 期轨，当s 。k 一= 6 1 懈p + h o 或8 。k = 6 - 1 聊肛+ d 亡时有唯一的连接点p 2 的 同宿轨，当s 。k + 6 1 聊p + h o 时有唯一1 一周期轨 ( i v ) 如果a ( p ) 0 ，z x ( u ) 0 ，那么系统( 2 1 ) 在r 附近没有l 一周期轨 ( v ) 如果4 ( 肛) 6 1 聊p + h o 时没有1 一周期轨，当s 。k 一= 6 。聊p + h o 亡或s 。k 。= 占- 1 m 2 # + h o t 时有唯一的连接点耽的同宿轨，当s ，k 一 6 _ 1 聊p + h o 亡 s 。k + 时有唯 一1 一周期轨，当s 。k 。 ( 一j 一1 u 1 鹏2 ，+ 九d 亡时没有1 一周期轨，当c ( p ) = ( 一6 1 u l m p ) 艿+ 九d t 时有 唯一的连接点p l 的同宿轨，当g ( p ) 6 1 m p + h o 时有唯一l 一周期轨，当s 。k = 占- 1 m 2 # + h o 时有唯一的连接点耽的同宿轨， 当g ) ( 一6 1 u 1 聊p ) 碚+ 九d 亡且s 。k j o ，叫 1 0 ，那么只要s 2 o 贝j j s l 0 在( 2 1 6 ) 中消去8 1 得： f ( s 2 ) 全8 2 6 1 a 砰p 一万一1 ( u k ) 一1 蟹肛( 6 1 a 砰肛 一( u 3 ) 一1 _ 2 3 ( 石1 岬p + ( u 。) 一1 s ) 尊 竹扩s 多) 鸯 + h 0 t = 0 ， 由譬 奢 1 ，矮 1 ，得p ( s z ) 1 0 ， f ( o ) ：一6 1 砰p 一6 1 ( u 3 ) 1 a 蟹p ( 6 1 a 砰弘) 簧一( u 3 ) 一1 - 2 3 ( 6 1 a 砰肛) o t 全一6 1 毋肛+ ( 弘) + 若6 1 柳p 九( 肛) ，贝u f ( s 2 ) = o 有 - - n # , i 、的正解若6 1 懈p = ( 肛) ， 贝u f ( s 2 ) = o 有唯一解s 2 = 0 若6 1 m b , o 则s 2 0 在( 2 1 6 ) 中消 ：去s 2 f 4 ：g ( s ! ) =一a 砰肛一( u 1 ) 一1 一1 a 砰p + ( u 3 ) 一1 ( a 蟹卢+ 鹾) s ：1 + 1 8 1 6 - 1 6 - 1 ( u 1 1 3 ) 一1 - 2 3 s 1m ) 1 it o t ，且g 7 ( s 1 ) 1 0 ，g ( o ) = 一6 1 a 砰p 一( u ；1 ) 一1 ( 6 1 a 砰p ) + d t若g ( o ) 一( u 1 ) 一1 ( 6 1 a 砰p ) 蘑+ h o t 则g ( s 1 ) = o ；g 唯一充分小的正解若g ( o ) = 0 ，即6 1 砰肛： 一0 ；1 ) 。 _ 1 m p ) 1 1 + d t ，则g ( s 1 ) = o 有唯一解s l = 0 若a ( o ) 0 ，即 6 q 聊p 一 1 ) 一1 一1 懈p ) + 危d t ，则g ( s 1 ) = o 没有任何充f f d , n i e 解 ( 4 ) 若懈p o ，u 3 孵p 0 且u i 3 巧；3 0 ，则n ( 2 1 6 ) 的第二式可知当8 1 0 时 8 2 0 ，因此可以消去s 2 o 并将( 2 1 6 ) 写成l 18 1 ) = g l ( 8 1 ) 的形式，其中 三1 ( 5 1 ) ：p l ( s l 一6 1 聊p ) 】著+ 九。 ， k l ( s 1 ) = j 一1 聊p + 6 1 ( u 3 ) 一1 硝p s ：1 + ( 叫 3 ) 一1 砘s 1 1 + d 璋丛土生 ”解 r 乙 一，_ 1凯脯 盼蚰 正叫p 脏州 砰小 = 聊孙沪 d 多 钆蚋骱概k 任也枞桃帆 s 九小九 ”局+ ，- l 羽 = 衍碍 当 研吼唑掷触胁一班州弋知酣mk 尢p 。h一 0 1p一 1 我们有： + h o t 是髓( s 1 ) = o 充分小的正 ( u 是) 一1 砑3 t q + 5 - 1 ( 叫；3 ) 一1a 蟹p t + 6 1 砰p + h o t = 0 ( 2 1 7 ) 在区域以1 增肛 o 且( 懈p ) 譬i 增肛i ，因为l ( u 3 ) 一1 砑3 i = o 3 ) a l 乃 3 i i ；象i a 6 1 懈弘，故( 2 1 7 ) 有唯一充分小正解f = 一唾乎+ 2 1 + 0 蓦 足 麟弩 如 = 。 眈 气 证 仉 保 | | 为j 知0 d h 足 眦捕 m n 琉 。埒 扣聊 虬矿 s 扎毛m 畋 若善 观 2 其一倾斜翻转的非共振两点异宿环分支 九0 t ，即s 。k ：( 一弩) 蓦+ d 亡是甄( s 1 ) ：。充分小的正解接下来求方 程j = l i ( s 1 ) = 所( s 1 ) 的充分小正解s 1 ，y f 上l o 8 1 m i n s 。，8 1 k ) 1 当l ( o ) k ( o ) ( 即s 1 l = 5 - 1 m # + h 。工一( u 1 ) 一1 ( 6 1 懈p ) + d 厄 ( 一弩) 苷+ p 彳 h o t = 8 x k ) 时，因为三i ( s 1 ) o ，碍( s 1 ) ( 一紫) 蔷+ 危d - 时，l l ( s 1 ) = k l ( s 1 ) 在( o ，s ，k ) 上没有充分小的正解当 一0 1 ) 一1 一1 1 1 4 罕肛) 鲁+ d m p 一0 1 ) 一1 一1 罕肛) + d p 硒( o ) ，l l ( s 。) = 0 o ，c ) s l l ，则： ( i i ) 一( v i ) 的证 (h ? bh 7 c ( p j l l 。8 1 一 ( i ) a ( p ) 0 ，c ( u ) 0 ，z x ( u ) 0 ，c ( u ) 0 ，( p ) 0( i v ) a ( p ) 0 ，a ( u ) 0 s 1 ) 2 具一倾斜翻转的非共振两点异宿环分支 d 2 l 1 ( 8 1 ) l 义惑! c 乏 恼k 一亏- 。、+ 7 ) 8 1 ( v ) a ( u ) 1 ，莲 1 的情形 在此情形下重新令s 2 = e - 衍他，类似于上一节中求分支方程的方法，我们得到 以下分支方程： ， ls 1 = 6 _ 1 m 2 # + ( u 1 2 1 ) 一1 8 2 + 危d 亡， 1s 雾1 2一一一p l ：帕扩。掣m 扎q j 定理2 4 假设条件( h d 一( h 3 ) 成立，且懈，懈线性独立，则得到以下结论： ( 1 ) 存在一曲线( 或曲面) 磐札：聊p + o ( 1 p 1 ) = 聊肛+ o ( 1 p 1 ) = o ) ，使得 当肛且0 0 ，叫 1 m 2 # o ) ( 在p = o 处，1 的法向量为聊) ，使得当p 1 且0 o ) ( 在p = o 处，2 的法向量为明) ， 使得当肛2 且0 1 ， l 的情形下，周期轨与异宿环、同宿轨 的共存性 定理2 5 假设条件( h 1 ) 一( h 3 ) 成立，且懈， 砰线性独立，则当p 且0 川 1 时有以下命题成立： ( i )若u 1 0 或u 3 鸳p o h 鹰 o ，则由( 2 2 0 ) 中第一式可知当s 1 o 时s 2 0 将8 2 = u 1 8 1 + h 0 t 代入( 2 2 0 ) 的第二式中得： 丝掣 ( u ；l s l ) 艿= 6 _ 1 ( u ：3 ) - 1 孵p s ：2 + ( u 知) 一1 _ 2 3 s l 1 2 + 危d t ( 2 2 1 ) 显然地，当著 畚且p 一0 时 有s 如一删p i s ，s 埔此方聊2 1 ) 没有充分小的正解 ( 3 ) 若是 筹 乌铲，( 2 2 0 ) 式变为如下形式： 本掣 6 1 ( u 是) 一1 墙p s ；2 + w ；3 ) 一1 - 2 3 s l