（应用数学专业论文）几类指数分布族参数的优化检验和置信区间研究.pdf

摘要 假设检验与参数估计是统计推断的两个主要部分，在自然科学和社会科学领 域都有着极为广泛的应用。本文主要针对几类常用的指数分布族，讨论了其参数 在几种不同意义下的优化检验和优化置信区间。 一是利用多参数指数族的检验理论，对于正态分布方差检验，两正态分布方 差齐性检验以及两伽玛分布尺度参数齐性检验问题，本文推导出了其u m p u t ( 一 致最优势无偏检验) 的条件，证明了其存在唯一性，并且给出了拒绝域临界值的 具体结果；另外，根据u m p u t 和1 n d a u ( 一致最准确无偏) 置信区间的对偶关系， 给出了其参数的u m a u 置信区间； 二是利用似然比方法和势函数理论，对于两正态分布方差齐性检验以及两伽 玛分布尺度参数齐性检验问题，本文给出了在给定犯第一类错误概率条件下，犯 第二类错误累积概率最小意义下的最佳双边检验形式，证明了其存在唯一性，并 给出了具体计算结果。 本文还研究了两正态总体方差比的最短置信区间，以及端点比值最小意义下 的置信区问，证明了这两种置信区间的存在唯一性，求出了具体结果，并将其与 传统意义下( 概率对称) 的置信区间进行了比较分析。 关键词：似然比；正态分布；伽玛分布；方差；尺度参数；优化置信区间；最佳 检验；累积概率 a b s t l 淑t h y p o t h e s i st e s t i n ga n dp a r a m e t e re s t i m a t i o n ( e s p e c i a l l yi n t e r v a le s t i m a t i o n ) a r e t h ei m p o m m tp a r t si ns t a t i s t i c a li n f e r e n c e a n dt h e s et w om e t h o d sa g e n e r a l l y a p p l i e di na l m o s te v e r yr e g i o no fo u rl i v e s a sf o rs e v e r a le x p o n e n t i a lf a m i l yo f d i s t r i b u t i o n s ，t h ea r t i c l ed e d u c e so p t i m a lt e s t sa n dc o n f i d e n c ei n t e r v a l su n d e rs o l n o o 髓恤m e a n i n g s f i r s t l y , a c c o r d i n gt on pt h e o r y , f o rt e s t i n gt h ev a r i a n c eo fn o r m a ld i s t r i b u t i o n , t h ee q u a l i t yo f v a r i a n c e sf r o mt w oi n d e p e n d e n tn o r m a ld i s t r i b u t i o n sa n dt h ee q u a l i t y o fs c a l ep a r a m e t e r sf r o mt w oi n d e p e n d e n tg a m m ad i s t r i b u t i o n s ，u m p ut e s t sa l e d e d u c e da n dt h e i re x i s t e n c ea n du n i q u e n e s sa r ep r o v e d a n dt h e n b yi n v e r t i n gt h e c , e p t a n e ef e g l o n $ o f u m p ut e s t s ，u m a uc o n f i d e n c ei n t e r v a l sa l - ec o n s 仇z c t e d s e c o n d l y , a c c o r d i n gt ot h el i k e l i h o o dr a t i om e t h o da n dp o w e rf u n c t i o n , f o rt h e e q u a l i t yo fv a r i a n c e sf r o mt w oi n d e p e n d e n tn o r m a ld i s t r i b u t i o n sa n dt h ee q u a l i t yo f s c a l ep a r a m e t e r sf i o mt w oi n d e p e n d e n tg a m m ad i s t r i b u t i o n s ，t h eb e s tt e s t sa r ef o u n d i nm i n i m i z i n gt h ec u m u l a t i v ep r o b a b i l i t yo ft y p ei ie r i 研f o rg i v e nt y p ei e r r o r p r o b a b i l i t y a n dt h e i re x i s t e n c ea n du n i q u e n e s s a r ep r o v e d f o rt h er a t i oo fv a r i a n c e sf i o mt w oi n d e p e n d e n tn o r m a ld i s t r i b u t i o n s ，t h ea r t i c l e a l s og e t st h er e s u l to ft h es h o r t e s tc o n f i d e n c ei n t e r v a la n dt h eo p t i m a li n t e r v a li n m m 。l 1 m t z m gt h er a t i oo ft h er i g h te n dp o i n tt ot h el e f te n d p o i n to ft h ec o n f i d e n c e i n t e r v a l t h e s et w oi n t e r v a l sa r ec o m p a r e da n da n a l y z e d 讯吐lt h ee q u a lt a i l s c o n f i d e n c ei n m r v a l ，a n dt h eg o o dr e s u l t sa r ea l s og o t k e y w o r d s ：l i k e l i h o o dr a t i o ；n o r m a ld i s t r i b u t i o n ；g a m m ad i s t r i b u t i o n ；v a r i a n c e ；s c a l e p a r a m e t e r ；t h eo p t i m a lc o n f i d e n c ei n t e r v a l ；t h eb e s tt e s t ；c u m u l a t i v ep r o b a b i l i t y 学位论文独创性声明： 本人所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工 作的同事对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意。如不实，本人负全部责任。 论文作者( 签名) ：蕃造z 。矿年月皓日 学位论文使用授权说明 河海大学、中国科学技术信息研究所( 含万方数据库) 、国家 图书馆、中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社有权保留本人所送交学 位论文的复印件或电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保 存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期 内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅。论文全部或部分内容的公 布( 包括刊登) 授权河海大学研究生院办理。 十 论文作者( 签名) 笙堕加宫年月修日 第一章绪论 第一章绪论 1 1 研究背景及国内外研究现状 统计的起源可追溯至十八世纪甚至更早，然而统计学主要的发展却迟至十九 世纪末叶二十世纪初期才真正开始，到了四十年代才逐渐成熟。 2 0 世纪以前是数理统计学的萌芽时期，在这漫长的时期里描述性统计占据 主导地位，但最重要的、超出描述性统计范围的成就是g a u s s 和l e g e n d r e 关于 最小二乘法的工作，其在统计思想上的重大进展是数据是来自服从一定概率分布 的总体，统计学就是用数据去推断这个分布的未知方面，这个观点强调了推断的 地位，使统计学摆脱了单纯描述的性质。另外g a u s s 等人在误差方面的研究工作 使得正态分布( 又叫高斯分布) 的性质和重要性受到广泛重视，1 9 世纪末i cp c 鼬m 又引进了一个以他的名字命名的分布族，它包含了正态分布及现在已知的一些重 要的非正态分布，扩大了人们的眼界，另外，德国的大地测量学者eh d r m a 在 1 8 7 6 年研究正态总体的样本方差时发现了十分重要的f 分布，f 。g a l t o n 在生物 学研究中提出了回归分析方法，这些都是数理统计学发展史中的重要事件。 2 0 世纪初到第二次世界大战结束是数理统计学蓬勃发展达到成熟的时期， 许多重要的基本观点和方法以及数理统计学学科的主要分支都是在这个时期建 立和发展起来的。在其发展中，以r a f i s h e r 为代表的英国学派起了主导的作 用。p e a r s o n 在1 9 0 0 年提出了检验拟合优度的f 统计量，并证明其极限分布( 在 原假设成立时) 是f 分布，这个结果是大样本统计的先驱性工作。紧接着的一项 重要进展，是p e a r s o n 的学生英国医生戈塞特1 9 0 8 年导出了t 统计量的精确 分布t 分布，开创t d , 样本理论的先河。比p e a r s o n 略晚的f i s h e r 对现代数理统 计的形成和发展做出了重大的贡献，他是一些重要统计分支和方法的开创者，其 重要的成就有：系统地发展了正态总体下统计量的抽样分布理论，这标志着相关、 回归分析和多元分析等分支的建立；建立了以最大似然估计为中心的点估计理 论；创立了实验设计，并发展了相应的数据分析方法一方差分析；另外在数理统 计学的另一个主要分支一假设检验的发展中，f i s h e r 也起过重要作用。但假设 检验理论的系统化和深入研究，则应归功于j n e y m a n 和es p e a r s o n 。他们在 河海大学硕士学位论文 1 9 2 8 1 9 3 8 年期间发表了一系列论文，建立了假设检验的严格数学理论。n e y m a n 对数理统计作出的另一项很重要的贡献是在1 9 3 4 - 1 9 3 7 年间建立了基于概率的频 率解释的置信区间理论，并与n e y m a n - p e a r s o n 的假设检验理论有着密切关系。 一般而言，数理统计学可以划分为三大块：抽样、估计和检验。作为统计学 中两个非常重要的部分，假设检验和区问估计一直受到国内外学者的广泛关注， 并取得了大量的研究成果。作为经典检验理论的奠基人，n e y m a n 和p e a r s o n 在 1 9 2 8 年发表的论文【l 】中提出：一个合理的检验不仅要考虑零假设同时也要考虑备 择假设，并且介绍了第一类错误与第二类错误的差异，他们是最早认识这一问题 的学者。同时，他们把似然比条件作为构造检验的方法，在1 9 3 3 年发表的论文 2 h 3 】中提出了u m p 检验理论。其后，他们建立的n e y m a a - p e a r s o n 引理被广泛地 应用在各个方面，逐步形成和完善了经典检验理论体系。而第一次对置信区问做 出合理描述的是e b w i l s o n 4 ，而后在1 9 3 7 1 9 3 8 年，n e y m a n 提出了完整的置 信区间的理论 5 h 8 1 ，这一理论与他建立的假设检验理论有着非常密切的联系。 由于指数结构在数理统计中发挥着重要的作用，理论上的许多重要问题只在 指数结构中才能比较彻底的解决，并且实际应用中的几个常见分布均匀分 布，指数分布，正态分布，g a m m a 分布，t 分布等一都属于指数型分布族，因 此指数型分布族的假设检验和置信域问题一直以来是国内外众多学者研究的重 点。 正态分布在实际工作中应用非常广泛，对正态分布参数的研究成果也很多。 高杰，李从珠在对样本容量、假设组合、第一类和第二类错误的选取进行改进的 基础上，提出了正态分布方差已知情况下均值检验问题的改进方法【9 】；王建华， 张来成对正态分布方差的最短置信区间进行了研究，并提出了在犯第二类错误累 积概率最小意义下的方差检验问题 1 0 1 ；t a t e ，k l e t t 对正态总体方差的最短置信区 间、u m a u 置信区间以及概率对称置信区问进行了讨论和计算【l l 】；b a r r y c a r n o l d ， r o b e r tm s h a v e l l e 讨论了正态总体方差和均值的联合置信域问题，并对各种置信 域的面积、置信度、稳健性进行了比较分析【1 2 l ；肖玉山在均方损失下给出了关于 线性置信区间的r a o - b l a c k w e l l 定理，并证明了正态总体均值的常用置信区间是最 优线性无偏置信区吲】；另外，肖玉山利用未知分布参数之间的序限制，通过使 用改进估计量的i e r d 方法，对无序限制情况下正态均值的m i n i m a x 置信区间进行 了改进，构造了一族改进置信区间1 1 4 】。由于现代计算机技术的发展，置信区间的 最短化问题变成了研究的热点，梁小筠，章家顺讨论了正态总体方差的最短和 第一章绪论 u m a u 置信区间的定解条件，并且梁小筠还讨论了均值和方差的联合置信域问题 【15 l 【1 6 1 ；高尚，王正武，游文杰等讨论正态总体方差的最小置信区间问题的计算 机实现方法【1 7 】【1 8 1 8 9 l ；夏乐天，郭宝才等具体给出了正态总体方差的最短置信区 问的计算方法和计算结果，并指出在区间估计的小样本理论中，凡是抽样分布的 总体不是单峰对称的，都可以进行未知参数的最短置信区间的研究 2 0 l ；牛莉，毕 雅军讨论了均值和方差的最小置信区间问尉2 1 】；黄斌，刘磊讨论了正态总体标准 差最短平均长度下的优化置信区剐2 2 1 。 q l 珊分布本身具有很多优良的性质，而且常用的指数分布和z 2 分布都是它 的特殊形式，同时也是实际应用中的一个重要分布。王静龙，朱宏讨论了对形状 参数无任何限制下置信度精确等于l - a 的q n i m 分布形状参数的置信区间【2 3 】；王 用生归纳了3 种g a m m a 分布尺度参数的区间估计方法，并对3 种方法的优劣进行 了比较 2 4 1 ；唐湘晋利用u 一统计量的渐进性质，研究了q 叫m 分布的自协方差估计， 同时给出了尺度参数的大样本区间估计，并用随机模拟的方法进行了计算模拟 恻；作为q m m 分布的特殊形式，指数分布的置信区间问题也一直受到关注，夏 乐天，郭量祀袁b 逝筹给出了了指数分布参数的最短置信区间的计算结果，并对 最短置信区间的长度与概率对称置信区间长度进行了分析比较，得出在小样本情 况下，最短置信区间的精度更高【2 6 】【2 刀；蒋福坤，刘正春对指数分布的区间估计 和假设检验问题进行了讨论研列2 8 】1 2 9 ；蒋福坤，刘正春利用f 分布给出了两个指 数分布总体的参数比的区间估计方法，并研究了指数分布参数比的最短区间阴。 不同总体之间的比较也非常重要，因此两个正态总体的检验和置信域问题也 一直是研究的重点问题。1 9 2 9 年，b e h r e n s 提出了两正态总体均值差异的区间估 计问题，而后f i s h e r 提出信仰推断方法对其进行求解，因此两正态总体均值的比 较问题就称为b e h r e n s - f i s h e r 问题，简称b f 问题。当两正态总体方差未知且不等 的情况下，b f 问题始终没有一个明确统一的方法，得到结果都是从近似或渐进 的角度进行分析，因此b f 问题一直是学者们研究的热点，并且也有很多方法得 出了一些好的结果1 3 j 】书9 1 。b a r r y k m o s e r ，g a r y l 乙s t e v e n s 在两正态总体方差齐 性的条件下，对均值的齐性检验问题的集中方法进行了比较研究1 4 0 l ：a m a b m a i v j ，m i c h a e ls h e r m a n l - 2 论了两正态总体在一个方差未知情况下均值的t 检验问 题【4 l j ；曲中宪，武文华利用广义似然比方法给出了两正态总体参数的单侧检验函 数，开辟了均值与方差同时检验的途径【4 2 1 ，其后又讨论了大样本情况时一特定假 设组合下均值与方差同时检验的方法，并给出了检验函数【4 3 1 ；罗纯利用广义似然 河海大学硕士学位论文 比方法讨论了两正态总体均值与方差的联合检验问题，给出了检验统计量的分 布，并编写了求解拒绝域临界值的算法与结果m 】；张志文，阚永志讨论了在均值 和方差未知且均值和标准差比等值条件下，两正态总体标准差的似然比检验问 题，给出了似然比检验统计量及其渐近分布等结剿4 5 1 ；秦祖启，彭莉等讨论了两 正态总体方差比的最短置信区间条件【删。 随着计算机技术和计算方法的发展，优化置信区间问题备受关注，前面也列 举了很多学者针对具体的分布所得到的研究结果，除此之外，还有一些学者在关 注着这一问题的理论研究钱瑛，蒋书法讨论了单峰分布的优化置信区间问题【4 7 】 【4 8 】；常安定，左大海对按高度对称和概率对称取得的置信区间进行了比较分析 【4 9 】；梁建英利用拉格朗日条件极值求解方法分析了区间估计时参数置信区间的选 取方法【删：李柏林中讨论了区间估计的最优性，并证明了最优区间估计的存在性， 同时给出了一种寻求最优区间估计的方法【引】；察可文，解新江提出了设计置信区 间的一种方法，并利用非线性规划理论证明了最优置信区间应满足的条件嘟1 ； r c j u o l a , 将连续分布参数的最短置信区间问题转化为某一区域上的积分优化问 题，并做了例证分析【5 3 】；k kf c r c n t i n o s ，kx k a r a k o s t a s 对最短置信区间问题 进行了进一步的讨论，并将其与概率对称置信区间进行了比较分析【划。 总之，假设检验和区间估计问题有着相当重要的研究意义和应用价值，值得 我们进一步研究完善。 1 2 预备知识 1 2 1 一致最优无偏检验和一致最准确无偏置信区间 定义1 2 1 ：设巾是原假设4 0 ：0e 。o 对备择假设儡：口e l 的检验函数，若其 势函数g ( 0 ) = e a 州0 满足条件： 烈毋旺， v 0 e o o g ( 毋， v 0 0 1 则称巾为水平为伍的无偏检验。并记 中嘉 一切+ ：e 砷虫，v 一0 0 ；e a x ) 拉，v e 0 1 ) 则称o ，为假设检验问题水平为o r 的无偏检验类若巾( 力e 西，且对一切+ l ( 功 q k 有 e 巾( 矽e 砷l ( 功， v 口e o l 第一章绪论 则称十为一致最优无偏检验，记为u m p u t 。 对于多参数指数型分布，样本z 的密度函数为： p ( z ；只，) = c ( 只r ) e x p e “o ) + o ) ) j j i ( 力 ( 1 2 1 ) i - i 其中劝被检验的参数，r - - - ( r ! ，哟为多余参数，( u ( a 3 ，孔的声( u c 0 ，兀( 幻， r k 0 0 ) 是参数( 只，) 的充分，完备统计量。 定理1 2 1 ：设样本肖服从多参数指数型分布( 1 2 1 ) ，则原假设1 t o ：o = o o 对备择 假设局：良岛的双边假设检验问题的水平为a 的u m p u t 为： io ，e j ( t ) “ c 2 ( o 妒( ”，t ) = ( f ) ，= c t ( f ) ，i = l ，2 【1 ， c 2 ( f ) 其中硝力( o 训巧1 ) 和c 聊由以下两式确定： 矿( ( ，印p = 小= 口 毛【，妒( u ，r ) l r = f 】= 口【up = 嵋 假设检验和区间估计这两个统计推断问题之间有着非常密切的联系，由参数 假设检验问题的水平为a 的检验，可以得到该参数的置信水平为1 n 的置信区间 ( 置信限) 。因此，n e y m a n 才可以将n e y m a n 和p e a r s o n 的最优假设检验理论推广 到区间估计，得到u m a u 置信区间。 定义1 2 2 ：设p 。，乱似) 】是口的置信水平为l a 的置信区间。如果在口护 时都有 弓p 。r ) s 扩各。c r ) ) 1 一口 则称p 。伍) ，乱) 】是目的置信水平为l a 的置信区间。如果对任意一个口的置信 水平为l a 的无偏置信区间眵。似) ，乱) 】，在口口时，都有 局痧。伍) 伊s 乱伍) ) s b 痧。伍) 伊免伍” 则称 乱伍) ，乱伍) 】是0 的置信水平为1 吨的置信区间。( 证明参见文献 【5 5 1 2 8 6 2 8 7 页。) 河海大学硕士学位论文 1 2 2 似然比检验 以n e y m a n - p e a r s o n 理论为基础的一致最优势检验有相当大的局限性，特别 是对于多参数复合检验，可解决的问题较少，限制较大。而似然比检验出发点虽 然和n - p 基本引理类似，但是实施简便，而且对于无论简单假设或复合假设，或 者有无未知的冗余参数问题都非常有效，因此应用范围广泛，理论上也非常重要。 假设一简单随机样本屉蜀，翮，且五可以6 ，口 ；x = ( x l ，硝 是一组观测到的样本值，则样本的似然方程为： 工( 刃= 工( p ； ，) = 兀f ( x l ；卵= ，( 墨d i = 1 对于假设检验问题： 凰：0 o o ； 两：口o l锄t ) o x = o 考虑如下广义似然比： 。，、翟他口他反) 烈加南：而2 锗 其中鼠和舀分别是参数赃 o 和 上的极大似然估计。埘就称为似然比，记为 l r ，显然眶l 。 若凰不成立，则口 i ，从而，反) 较小，( 善；甸较大，所以广义似然比 应该比较小，接近于o ；反之凰成立时，广义似然比饥砷应该比较大，接近 于1 ；所以上述检验问题的似然比检验的拒绝域为：w = 似删知) 。由于似然 比是样本的函数，假设它有概率密度g ( 句，则给定水平为a 的检验，知满足下面 条件： p ( 五( j ) 厶) = r g ( 丑) 以= 口 虽然埘的分布一般都非常复杂，但是在很多情况下我们都可以发现实际上是关 于另外一个已知分布变量的函数，从而可以得到一个等价的检验。另外，似然比 检验得到的结果不一定是最优的，但是往往可以得到我们需要的性质和结果。 1 3 研究手段、创新点及技术路线 本文在假设检验和区间估计的理论研究方法和评价方法上做了大量的工作 和探索，使用的关键理论方法和技术是高等数理统计，统计计算，c 语言数值算 第一章绪论 法等。 主要创新点； ( 1 ) 研究了两正态分布方差比在置信区间端点比值最小意义下的优化置信 区闻，得到其与u m a u 置信区问的定解条件完全一致，并证明了其结果的存在 唯一性； ( 2 ) 研究了犯第二类错误累积概率最小意义下，两正态分布和g a m m a 分 布尺度参数齐性问题的最佳检验。 采用的技术路线： 假设检验和区间估计理论研究和探索一提出问题一对其进行研究，推出定解 条件一根据定解条件，编写程序，计算结果一分析结论。 i a 各章内容简介 本文主要针对多参数指数族分布，讨论其尺度参数在不同意义下的最佳检验 和最佳置信域。 第一章绪论部分主要介绍了前人所做的工作及问题的研究背景，一致最优无 偏检验和一致最准确无偏置信区间及两者之间的对偶关系，以及似然比检验的基 本概念。 第二章给出了正态分布方差的u m p u t 和l r t ，并且通过u m p u t 构造出了 u m a u 置信区间，且对置信区间长度给出了精度分析。 第三章是本论文的重要部分，并且论文的主要创新和成果都在本章中给出。 本章不但给出了两正态分布方差比的最短置信区问和u m a u 置信区间，并对其 进行了长度比较分析，而且给出了u m p u t ，以及在犯第二类错误累积概率最小 意义下的最佳检验。 第四章也是本文的重要结果，主要是将第三章的方法推广到了g a m m a 分布 上，得到了一些较好的结论，并给出了计算结果。 第五章对全文内容做了总结，并对下一步的工作做了进一步的规划和展望。 第二章正态分布的优化检验和置信域 第二章正态分布的优化检验和置信域 假设一简单随机样本x = ( x i ，蜀) 来自于参数为，d 2 的正态总体， 在期，而) 是一组观测到的样本值，则样本的联合密度函数为： 八础呐( 寿卜 - 专喜“耐 2 1 正态分布方差的t r b l p u 检验和u b l a u 置信区间 2 1 1 正态分布方差的u b l p u 检验 考虑如下假设检验问题： 凰：0 2 = o - 0 2 ；上，l ：o ；口0 2 为了得到u m p u 检验，首先将样本的联合密度函数改写为： 胞4 一却p f 鼽册地，力) 其中口一古，伊2 等，肚善_ 2 ，卜；，6 是i t , 盯2 的函数。 接下来，我们要找到一个统计量n 使它满足肛坎是【，的严格增加函 数，且在凰成立的条件下，v 与r 独立。这时v 就是检验统计量，通过v 就 可以求得这一问题的u i v l p u t 。可以用如下形式来构造n y ：u 一甩丁：= 窆g 。一；) z ：s ： i = i i 显然矿是【，的严格增加函数o i i 在胁成立的条件下，r l = f 州( 加1 ) ，与参数妒无关，且此时丁为完备 充分统计量，所以，y 与r 独立。 因此这一检验问题的u m p u t 的拒绝域就是伽iv c y 0 2 a 或矿盯0 2 b ) ，其中 a ，b 由以下两个条件确定1 1 5 5 5 l ： 【八 一l ；x ) d x = l - c t = 只”- 1 ；6 ) 一f ( n - l ；4 ) ( o 3 ) 处达到最 大值；在x x o 时， 严格单调增加；珈口时， 严格单调减少；并且在卜旧 或h 0 时，| | l 一0 。( 见图2 1 1 ) 又由于o a x o 时，由图2 1 1 可以看出，对应的a a x o 。又由于f ( n 一1 ；n 是严格单调增加的， 可得f o - 1 ；b ) f ( n - i ；6 ，所以f ( n - l ；砂玎( n - l ；a 3 ，以6 ) 4 0 时，a ，6 取值的变化均已控制在2 以内，可以直接使用x 2 分布表中 i 拘o t 2 ，l 刮2 分位点的值作为a ，b 的近似值。这是由于随着 的逐渐增大，x 2 分布的密度函数曲线越来越趋于对称。 2 1 2 正态分布方差的u m a u 置信区同 由假设检验与区间估计的对偶关系，我们可以从u m p u t 对应得到u m a u 置信区间。 由于u m p u t 的拒绝域为扛i ，s a 粕或盘者6 ) ，可以等价的改写成伽l s 2 a a a 0 2 s 2 b _ c r 0 2 ，其中s ：妻g 一；) 2 。则由上述定理知， s 2 b , s ：】为 l 。l a 2 的置信水平为l n 的u m a u 置信区间。因此传统方法中直接用【j l 矾( 加1 ) ， 竹z o ( 俨1 ) 】得到的置信区间并不是u m a u 置信区间，应该用表2 1 1 中求出的 a ，b 的值来构造u m a u 置信区间，即正态分布方差的u s 从u 置信区间应为【s 2 b , s 2 口】。 当样本观测值得到以后，传统方法( 按概率对称方法) 取得的置信区间和 河海大学硕士学位论文 u m a u 置信区间的长度显然可以统一的表示成【s 2 c 2 ，s 2 c i 】，并且区间的长度只 与( 1 c 广1 c 2 ) 有关，因此比较两种置信区间的长度只需要比较( 1 z 2 们 ( 俨l 卜1 j c 2 i 毗0 一o ) 和o a 一1 b ) 的长度即可。表2 1 2 对n 从4 到3 9 的情况，列 出了上述两种置信区问的区间长度，并对其进行了精度分析。 表2 1 2a 2 的一致最准确无偏置信区间的精度分析 t a b l e1 p r e c i s i o na n a l y s i so f u m a uc o n f i d e n c ei n t e r v a lo f d 0 9 00 9 50 9 9 工厶 e 厶 e w o 厶l揣 419 9 3 i2 7 i3 02 6 5 43 2 8 6 24 5 2 2 72 7 3 49 8 2 9 91 3 暑1 1 02 8 8 3 51 0 4 1 71 3 0 1i1 9 9 4l5 6 9 31 9 7 6 42 0 6 03 7 2 9 l4 7 6 3 62 1 7 2 6o 6 5 7 80 ，7 8 3 01 6 0 009 4 1 31 1 2 5 41 6 3 6l9 6 1 4 2 3 6 7 51 7 1 5 70 4 6 1 50 5 3 2 21 3 2 906 3 8 80 7 3 9 21 3 5 81 ，2 2 3 51 4 2 5 4 1 4 1 6 80 3 4 6 00 3 9 0 41 1 3 704 6 8 10 5 2 9 31 l5 608 4 5 6 0 ，9 6 1 81 2 0 9 9 0 2 7j 6o3 0 1 4 9 9 003 6 1 20 4 0 1 71 0 0 7 06 2 5 10 ，6 9 8 51 0 5 0 l oo 2 2 0 40 2 4 1 68 8 00 2 8 9 40 3 1 7 8 8 9 5 0 4 8 4 605 3 4 09 2 5 l l 01 8 3 40 1 9 9 2 7 9 202 3 8 40 2 5 9 28 0 2 03 8 9 00 4 2 4 18 2 8 1 2o 1 5 5 70 j 6 7 87 1 80 2 0 0 702 1 6 4 7 2 7 0 3 2 0 80 3 4 6 87 5 0 1 301 3 4 30 1 4 3 86 5 80 1 7 2 00 1 8 4 266 50 2 7 0 20 2 9 0 06 科 1 40 1 1 7 40 1 2 5 06 0 60 1 4 9 50 1 5 9 26 1 30 2 3 1 40 2 4 6 96 2 5 1 50 1 0 3 80 1 1 0 056 20 1 3 1 40 1 3 9 456 80 2 0 l l0 2 1 3 55 8 2 1 6o 0 9 2 60 0 9 7 75 2 50 1 1 6 80 1 2 3 35 3 00 1 7 6 70 1 8 6 95 4 2 1 70 0 8 3 30 0 8 7 64 9 10 1 0 4 6o 1 1 0 14 9 60 1 5 6 90 1 6 5 350 7 l b0 0 7 5 40 0 7 9 14 6 20 0 9 4 50 0 9 9 146 70 1 4 0 501 4 7 54 7 7 1 90 0 6 8 70 0 7 2 l4 6 700 8 5 80 0 8 9 84 4 00 1 2 酣0 1 3 2 74 4 9 2 00 0 6 3 00 0 6 5 74 1 40 0 7 8 40 0 8 1 84 1 60 | 1 5 i0 1 2 0 24 2 4 2 10 0 5 8 00 0 6 0 33 9 20 0 7 2 00 ，0 7 5 03 9 501 0 5 l0 1 0 9 54 0 2 2 20 0 5 3 60 0 5 5 73 7 40 0 6 6 50 0 6 9 i3 7 60 0 9 6 50 1 0 0 33 8 2 2 30 0 4 9 70 0 51 63 5 60 0 6 1 60 0 6 3 936 00 0 8 9 000 9 2 33 6 5 2 400 4 6 30 0 4 8 03 4 000 5 7 300 5 9 334 30 0 8 2 4 00 8 5 4 34 9 2 500 4 3 3 0 0 4 4 8 3 ”0 0 5 3 40 0 5 5 23 2 900 7 6 6 0 0 7 9 23 3 4 2 60 0 4 0 60 0 4 1 93 1 40 0 5 0 00 ，0 5 1 63 1 500 7 1 4 0 0 7 3 7 3 2 0 2 700 3 8 1 0 ，0 3 9 3 3 0 10 0 4 6 90 0 4 8 43 0 3 0 0 6 6 80 0 6 8 93 0 8 2 b 00 3 5 9 0 0 3 7 0 2 9 00 0 4 4 1 00 4 5 5 2 9 2 00 6 2 60 ，0 6 4 52 9 5 2 90 0 3 3 90 0 3 4 92 8 00 0 4 1 60 0 4 2 8 2 8 l 00 5 8 90 0 6 0 62 8 5 3 00 0 3 2 10 0 3 3 0 27 000 3 9 3 0 0 4 0 4 2 7 1 00 5 5 50 0 5 7 l2 7 5 3 l0 0 3 0 40 0 3 1 22 6j00 3 7 30 0 3 8 3 26 2 00 5 2 50 0 5 3 92 6 5 3 20 0 2 8 90 0 2 9 62 5 200 3 5 40 0 3 6 325 400 4 9 70 0 5 1 02 5 7 3 30 0 2 7 500 2 8 22 4 40 0 3 3 60 0 3 4 5 24 6 00 4 7 100 4 8 32 4 9 3 40 0 2 6 20 0 2 6 82 3 70 0 3 2 00 0 3 2 823 800 4 4 80 0 4 5 92 4 l 3 50 0 2 5 00 0 2 5 62 3 000 3 0 50 0 3 1 22 3 100 4 2 6 0 0 4 3 6 2 3 4 3 6 0 0 2 3 9 0 ，0 2 “ 2 2 400 2