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哈尔滨理t 大学理学硕 ：学位论文 某些非线性算子的不动点理论 摘要 不动点理论是非线性泛函分析理论的重要组成部分。二十世纪二十年代 b a n a c h 提出和证明了重要的b a n a c h 压缩映像原理，不动点问题引起了广泛 的关注和深入研究。从那以后，许多入提出了一系列新型的压缩映象概念及 新型的压缩映象的不动点定理，而且其中某些结果已经被成功的应用于研究 许多方程的解的存在性和唯一性，并且还被成功应用于随机算子理论和金融 数学等诸多领域。目前，不动点理论已经形成了一个比较完善的体系。关于 非线性算子的不动点问题的讨论也一直是许多学者们关心的问题。 本文研究了几种典型的非线性算子的不动点问题及收敛性问题。特别讨 论了积空间中渐近非扩张映射的不动点问题，研究了某些非扩张映射迭代序 列在特定条件下的收敛性问题。全文共分为三部分。 首先，介绍了不动点理论的发展情况及非线性算子理论迭代算法的背 景。详尽归纳了相关文献。 其次，讨论了在自反的b a n a c h 空间中，新的非扩张映射的迭代序列的 收敛性问题。证明了在适当的条件下，迭代序列强收敛于非扩张映射其中的 一个不动点，并给出了h a l p c r n 的公开问题的部分答案。其结果推广和改进 了最近的结果。 最后，主要证明了积空间中的渐近非扩张映射一些不动点定理。指出渐 进非扩张映射具有不动点的条件，其结果也推广和改进了最近的结果。 关键词非扩张映射；渐近非扩张映射；不动点；收敛性 哈尔滨理- t 大学理学硕1 ：学位论文 t h ef i x e dp o i n tt h e o r yo fs o m e n o n l i n e a ro p e r a t o r a b s t r a c t f i x e dp o i n tt h e o r yi sa ni m p o r t a n tp a r to ft h en o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i s t h e o r y b a n a c hc o n t r a c t i o np r i n c i p l ew a sp r o p o s e da n dp r o v e db yb a n a c hi n 19 2 0 s ，f i x e dp o i n tt h e o r yw a sc a u s e dw i d e s p r e a dc o n c e r na n di n - d e p t hs t u d y s i n c et h e n ，as e r i e so fn e wc o n c e p t so fc o n t r a c t i v em a p p i n g sa n dn e wf i x e dp o i n t t h e o r e m so fc o n t r a c t i v em a p p i n g sw e r ep r o p o s e d ，s o m eo ft h e s er e s u l t sh a v e b e e ns u c c e s s f u l l ya p p l i e dt ot h er e s e a r c ho ft h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f s o l u t i o nt oe q u a t i o n , a n ds o m eo ft h e s er e s u l t sh a v eb e e na p p l i e dt or a n d o m o p e r a t o rt h e o r ya n df i n a n c i a lm a t h e m a t i c s ，a n ds oo n n o wf i x e dp o i n tt h e o r yi sa p e r f e c ts y s t e m t h ef i x e dp o i n tt h e o r yo f t h en o n l i n e a ro p e r a t o rw a sc o n c e r n i n g b ys o m es c h o l a r s f i x e dp o i n tp r o b l e m sa n dc o n v e r g e n c ep r o b l e m so fs e v e r a lt y p i c a ln o n l i n e a r o p e r a t o r sa s t u d i e di n t h i st h e s i s i np a r t i c u l a r , f i x e dp o i n tp r o b l e m so f a s y m p t o t i c a l l yn o n e x p a n s i v em a p p i n g si np r o d u c ts p a c e a r ed i s c u s s e d ，t h e c o n v e r g e n c ep r o b l e m so ft h en e wi n t e r a t i v es e q u e n c ef o rn o n e x p a n s i v em a p p i n g s u n d e rs p e c i f i cc o n d i t i o n sa r ed i s c u s s e di nt h i st h e s i s t h et h e s i sm a i n l yc o n s i s t s o ft h r e ep a r t s f i r s t l y , t h eh i s t o r yo ff i x e dp o i n tt h e o r ya n dt h eb a c k g r o u n do fn o n l i n e a r o p e r a t o rt h e o r ya r ei n t r o d u c e d ，t h er e l e v a n tl i t e r a t u r ea r es u m m a r i z e d s e c o n d l y , t h ec o n v e r g e n c ep r o b l e m so fn e wi t e r a t i v es e q u e n c ef o r n o n e x p a n s i v em a p p i n g si nr e f l e x i v eb a n a c hs p a c ea r ec o n s i d e r e d u n d e ra p p r o p r i a t e c o n d i t i o n s ，t h e i t e r a t i v e s e q u e n c ec o n v e r g e ss t r o n g l y t oaf i x e d p o i n to f n o n e x p a n s i v em a p p i n gw a sp r o v e d ，a n dap a r t i a l a b s w e tt oh a l p e r n so p e n q u e s t i o ni sg i v e n t h er e s u l t sp r e s e n t e di nt h i sp a p e re x t e n da n di m p r o v es o m e r e c e n tr e s u l t s f i n a l l y ，s o m e f i x e d p o i n t t h e o r e m sf o r a s y m p t o t i c a l l yn o n e x p a n s i v e 1 1 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 m a p p i n g si np r o d u c ts p a c e s a r ep r o v e d t h ec o n d i t i o n so fa s y m p t o t i c a l l y n o n e x p a n s i v em a p p i n g sw h i c hh a v ef i x e dp o i n t sa r ef o u n d t h er e s u l t sp r e s e n t e d i nt h i sp a p e ra l s oe x t e n da n di m p r o v es o m er e c e n tr e s u l t s k e y w o r d sn o n e x p a n s i v em a p p i n g s ，a s y m p t o t i c a l l yn o n e x p a n s i v em a p p i n g s ， f i x e dp o i n t s ，c o n v e r g e n c e 1 1 1 哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文某些非线性算子的不动点理 论，是本人在导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间独立进行研究工 作所取得的成果。据本人所知，论文中除已注明部分外不包含他人已发表或撰写过 的研究成果。对本文研究工作做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式注 明。本声明的法律结果将完全由本人承担。 作者签名：毕艳秀日期：矽7 r 年牛月莎日 哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书 某些非线性算子的不动点理论系本人在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间 在导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归哈尔滨理工大学所有，本 论文的研究内容不得以其它单位的名义发表。本人完全了解哈尔滨理工大学关于保 存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门提交论文和电子版本，允许 论文被查阅和借阅。本人授权哈尔滨理工大学可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文，可以公布论文的全部或部分内容。 本学位论文属于 保密，口在年解密后适用授权书。 不保密阻 ( 请在以上相应方框内打4 ) 作者签名： 毕晒 导师签名务 日期乒硼c 年午月彩日 日期：知d 7 年午月影日 哈尔滨理工人学理学硕士学位论文 1 1 课题背景 第1 章绪论 不动点理论是目前正在迅速发展的非线性泛函分析理论的重要组成部分， 它与近代数学的许多分支有着紧密的联系，特别是在建立各类方程解的唯一性 问题中起着重要的作用。 1 9 1 2 年，德国数学家l e j b r o u w e r 在拓扑学的基础上，运用度理论证明 了关于连续单值映射的一个著名的不动点定理【1 1 ，即每一个映有限维b a n a c h 空 间单位球到自身的连续映射有不动点，它是现代数学的优秀成果之一。后来 s c h a u d e r , k a k u t a n i 等人又相继对b r o u w o r 的结果进行了推广，1 9 4 1 年， k a k u t a n i 将b r o u w 盯的结果推广到集值映射之中，得到了觥的任何一个非空紧 凸子集c 具有k a k u t a n i 性质，即每一个映c 到c 的k - 映射具有不动点【2 】。 b r o u w e r 不动点定理在不动点理论中是一个重要的基本定理。 上个世纪初，b a n a c h 提出了著名的b a n a c h 压缩映象原理【3 1 ，这一原理实 际上是经典的p i c a r d 迭代法的抽象表达，它是经典的代数型的不动点原理。根 据这一原理，不仅可以判定不动点的存在性和唯一性，而且还可以构造一个迭 代序列逼近不动点的任何程度，因此，b a n a c h 不动点定理在近代数学的许多分 支，特别是应用数学的几乎各个分支都有广泛应用。b a n a c h 在上个世纪二十年 代提出这一原理后，b a n a c h 压缩映象的概念和b a n a c h 压缩映象原理已经从各 个方面和各个角度有了重要的发展，许多人提出了一系列新型的压缩映象概念 和压缩映象的不动点原理，而且其中某些结果已被成功的应用到研究空间解的 存在性和唯一性，并且还被成功应用于随机算子理论和金融数学等诸多领域。 b a n a c h 压缩映象的一种自然推广是非扩张映射，r d e m a r r 证明了关于非 扩张映射的不动点理论一个重要结果，他得出了著名的k a k u t a n i m a r k o v 不动 点定理的一个有趣推广。此后不久，b r o u w e r , r d l lp e t r y s h y n 等分别讨论了定 义在空间中的有界闭凸集上的非扩张映射的不动点的存在性。 1 9 6 5 年，w a k i r k 证明了具有正规结构的b a n a c h 空间具有弱不动点性 质【钔，从那以后利用b a n a c h 空间性质研究非扩张映射的不动点性质得到了迅速 的发展。1 9 6 7 年，z o p i a l 证明了具有o p i a l 性质的b a n a c h 空间具有弱不动点 性质【5 】。1 9 8 1 年，b a i l l o n 和s c h o n e b e r g 进一步将正规结构弱化，证明了自反 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 的具有渐近正规结构的b a n a c h 空问有不动点性质 6 1 。几十年以来，国内外数学 工作者利用空间的几何性质对不动点性质进行了广泛的研究，得到了许多重要 韵结果。 1 2 国内外研究现状分析 本节主要对不动点理论，和非线性算子的理论做简要介绍。 1 2 1 不动点理论的发展 b a n a e h 压缩映象原理，s c h a u d e r 不动点地理及k r a s n o s e l s k i i 不动点定理是 算子方程中广泛应用的三条不动点定理。b a n a c h 压缩映象原理是最典型的代数 型的不动点定理，这一定理是经典的p i c a r d 迭代法的抽象表述，s c h a u d e r 不动 点定理是典型的拓扑型不动点定理，它是经典的b r o u w e r 基本的不动点定理最 重要的推广；而k r a s n o s d s k i i 不动点定理是代数性和拓扑型不动点定理的典 范，以下是一些具体的定理： 1 9 2 2 年，b a n a c h 证明了著名的b a n a c h 压缩映象原理 3 1 。 定理1 1 设( 置d ) 是完备的度量空间，t ：x 专x 是压缩映射，则丁在x 中有唯一的不动点。并且对于每个x o x ，由下式定义的迭代序列 r ”而 k i = 玩，n 0 强收敛于丁的不动点。 二十世纪初，除b a n a c h 压缩映象原理外，还有著名的b r o u w e r 不动点定 理。 定理1 2 设d 是彤中的某有界闭凸集，t ：d 专d 连续，则z 在d 内必有 不动点。 1 9 3 0 年，s c h a n d e r 证明了著名的s c h a u d c r 不动点定理 7 1 。 定理1 3 设x 是b a n a c h 空间，k 是x 中的闭凸集，是k 到k 的连续映 象，f ( r ) 是x 中的紧集，则必存在y k l 吏f ( y ) = y 。 1 9 5 4 年，k r a s n o s e l s k i i 成功地将b a n a c h 压缩映象定理与s c h a u d e r 不动点定 理有机的结合到一起，证明了著名的k r a n s n o s e l s k i i 不动点定理。即讨论了一 个紧映射与一个压缩映射的和映射的不动点定理。 定理1 4 设x 是b a n a e h 空间，y 是x 中的非空闭凸集，设f 与r 都是】， 到x 内的映射，且满足下面条件： 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 ( 1 ) f x + t y y ，v x ，y y ； ( 2 ) ，是紧的和连续的； ( 3 ) r 是压缩的， 则存在y o y ，使得( ，+ 丁) = y o 。 1 9 5 5 年，k r a s n o s e l s k i i 证明了如下的非扩张映射的收敛定理【8 】。 定理1 5 设x 是一致凸的b a n a c h 空间，c 为x 的非空有界闭凸子集， 若t ：c - - hc 是非扩张映射且r ( c ) 为紧集，则对于任意给定的x o c ，由下列 式子定义的映射互：c 专c t i x = i ix t 孜 序列 毛) 是定义如下， 靠l = 寺+ 寺玩，刀0 则序列 强收敛于丁的不动点。 若c 是b a n a c h 空间的闭凸子集，t ：c c 是非扩张映射，则对于所有的 力( o ，1 ) ，由下列定义的映射毛：c 哼c ， z 石= 允工+ 1 1 一a l t x ，工c i l ,、， 也是非扩张映射，且丁和乃有相同的不动点。 1 9 5 7 年，s c h e a f e r 在定理1 5 的条件下，证明了由下式定义的序列 毛 c c ， 毛+ l = a + ( 1 一a ) 乃巳 玎0 强收敛于丁的不动点。 1 9 6 7 年，b r o w d e r 证明了下面的非扩张映射的强收敛定理【9 l 。 定理1 6 设z 是定义在h i l b e r t 空间日的非空有界闭凸子集c 上的非扩张 自映射，设而cr 对于任意0 七 o f f ：取x o c ，“c ， 二是区间【o ，1 】中的序列。 1 9 7 4 年，i s h i k a w a 通过引入m a n n 迭代序列的更一般形式( i s h i k a w a 型迭代 序y u ) ，并证明了下列定理l l 。 定理1 8 设c 是h i l b e r t 空间日的紧凸子集，r ：c 专c 是l i p s c h i t z - 伪压 缩映射，令 ) ， 孱) c o ，l 】是满足下列条件的实数序列 ( 1 ) 0 吒s 尾1 ； ( 2 ) l i r a 尾= 0 ； ( 3 ) 孱 - - 0 0 ， n = i 则由下列定义的序列 ) ix o c ； 儿= ( 1 一成) + 孱砜； ( 1 一1 ) 【件i = ( 1 一) + 吒乃，刀o ， 强收敛于r 的不动点。 1 9 7 2 年，g o e b e l 和鼬r k 引进了渐近非扩张映射的概念并且给出了下列定 理【1 2 1 。 定理1 9 令x 是一致凸b a n a c h 空间，c 是x 的有界闭凸子集。则每个渐 近非扩张映射t ：c 专c 有不动点。 1 9 7 4 年，d c i m l i n g 证明了b a n a c h 空间中的连续的强伪压缩映射的不动点 定理【b 1 。 定理1 1 0 令x 是b a n a c h 空间，c 是x 的非空闭凸子集且t ：c 寸c 是强 伪压缩映射，则丁在c 中有唯一不动点。 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 1 9 7 5 年，b a i l l o 证明了第一个非线性遍历定理【1 4 1 。 设c 是日的非空有晃闭凸子集，丁是c 中的非扩张自身映射，则对任给的 工c ，4 z = 三矿工弱收敛于t 的不动点。” n 管 1 9 8 3 年，r e i c h 引入了下面的序列 仨x = x ：o c 州l 一) 玩，刀0 ( 1 - 2 ) l + i = x + ( 1 一) 乃吒，刀 、1 。7 并证明了如果c 是一致光滑b a n a c h 空间x 的弱紧凸子集，t ：c 专c 是不动点 集合非空的非扩张映射，令设 ) = 刀一，o 0 强收敛到丁的一不动点。 其他关于c 3 ，c 4 ，c 5 的结论可参看文献 2 9 ，3 0 ，3 1 。 h a l p e m 证明了对h i l b e r t 空间日的任意一个闭凸子集c ，任意的非扩张 映射r ：c c ，( ，) a ，由式( 2 3 ) 定义的序列 吒 强收敛于，的不动点， 则 一定满足条件q ，c 2 瞰1 。现在仍然存在一个公开问题：条件g 、c 2 足可以推出由式( 2 - 3 ) 迭代格式确定的序列 是强收敛的。关于这个问题的 部分结论已经分别被c h i d u m 0 3 3 1 、和s u z u k i m l 证明了。y a o 3 6 1 给出了期中的部 分结论如下： 定理2 3 1 3 6 1 令c 是实b a n a c h 空间x 的非空闭凸子集，并且具有一致g 可 微范数，r 是c 上的非扩张自映射且f ( 丁) f 2 j ，假设当f 专。时， 薯) 强收敛 于r 的不动点z ，这里的工是c 中满足 毛= t u + ( 1 一f ) z x ，“c 的唯一的元素。 令 ， 尼) ， 以 是三个【o ，l 】上的实序列，并且满足下面 的条件 ( 1 )+ 尾+ 以= 1 ； ( 2 ) 舰2o 且2 ； 哈尔滨理t 大学理学硕士学位论文 ( 3 ) 0 l i m i n f 展l i m s u p 1 ， 令序列 毛 定义如下： 毛+ l = ”+ 展矗+ 以魄 则序列 吒 强收敛于r 的不动点。 这一章的目的是为了证明这个问题的另一部分。可找到一个成功的逼近方 法找到丁的不动点。考虑的是自反的严格凸的b a n a c h 空间x ，并且有一致俨 可微的范数，r 是非扩张映射，迭代 毛+ = 厂( 毛) + ( 1 一) ( 旯巩+ ( 1 一五) ) ，刀o ( 2 4 ) 的收敛情况。 最后，证明了非扩张映射迭代序列的收敛性。 定义2 1 令x 为一个b a n a e h 空间，c 是x 的闭凸子集，映射t ：c 专c 是 非扩张映射，如果对任意工，y c 时，有 l i t x - t y i i o 使 得驯= h y l l - l ，n x - , u 吼可以推出，降8 0 ；c 的一个子集d 称作是太阳型非扩张收缩核， 如果存在从c 到d 上的太阳型非扩张保核收缩映射。 2 2 非扩张映射的强收敛定理 证明主要结果需要几个引理 引理2 i t 3 8 】设x 是一个实b a n a c h 空间，_ ，是一正规对偶映射，则对任意 的y x ，有下面的结论成立： i i x + y l l 2 - l l x l l 2 + 2 ( y ，j ( 工+ y ) ) 其中，( x + y ) j ( x + y ) 。 引理2 2 嗍设 ， 吃 ， q 是三个非负的实序列，且满足 a n + l ( 1 一气) 口。+ 吃+ q 其中c 【o ，1 】，乙= ，玩= 。( 乙) 且巳 ，则q o 。 月；o一= o 哈尔滨理工大学理学硕十学位论文 引理2 3 4 0 令 毛 和 只 是b a n a c h 空间x 中的有界序列，使得 + l = 以毛+ ( 1 一以) 儿，刀o 其中 以 是 o ，1 】中的序列，且满足0 1 i m i n f y , , l i m s u p y 1 ，假设 l i r a 。一s u p ( 1 l y + , - y i i h 一毛肛o ，m ! 鳃l l y 一毛0 = 0 。 引理2 4 【3 5 1 设x 是实自反严格凸的具有一致伊可微的范数的b a n a c h 空 间，并且c 是x 的非空闭凸子集，且 乙) ：。是c 的一个非扩张自映射列，它的 公共不动点集f ：= n f ( 乙) a ，令是( o ，1 ) 中的序列! 受= o ， f i n 。是 【o 1 】上的序列，且坚恶争= o ，则定义如下的 乞)一一 _ + ，y 一 乙= 厂( ( 1 一尾) 乙+ 孱呢乙) + ( 1 一) 呢( ( 1 一成) 乙+ 孱形乙) 强收敛于f 中的点p ，点p 是变分不等式 ( ( i - f ) p , j ( p - x 。) ) o ，工， 的唯一解。 设x 是实自反的严格凸的b a n a c h 空间，c 是x 的非空闭凸子集， t ：c 专c 是非扩张映射，f ( r ) a ，r f ：c 专c 是压缩映射，压缩常数为 口。对f ( o ，1 ) ，玉c 是压缩映射x 专矿( x ) + ( 卜f ) 戤在c 上的唯一的不动 点，即有下列等式成立： 薯= 矿( ) + ( 1 一t ) t x ， ( 2 5 ) 则有引理2 4 式( 2 - 5 ) 定义的 ) 在t 专o + 时，收敛于，( r ) 的一个不动点。 定理2 4 设x 是实自反的严格凸的具有一致g - 可微的范数的b a n a c h 空 间，并且c 是x 的非空闭凸子集， 丁：c 专c 是非扩张映射，( 丁) a 。 f ：c 专c 是压缩映射，压缩常数为口。对t ( o ，1 ) ，c 是压缩映射 x 一矿( x ) + ( 1 一f ) a 在c 上的唯一的不动点。对任意给定的而c ， 毛 的定 义见迭代序列式( 2 - 4 ) ， 满足条件q ，c 2 。则 毛) 收敛于q ( 厂) ，其中 q ( 厂) = = l i m 。 证明：首先证明 ) 是有界的，事实上，对任意p f ( r ) 可以得到 k 。一p l i 帆矗) 一p 0 + ( 1 一) ( 五0 巩- p l l + ( 1 - x ) l l 工- p 1 1 ) - ( 口恢一p i | + i | 厂( p ) 一p l i ) + ( 卜) 忆一p 忙 哈尔滨理t 大学理学硕上学位论文 ( 1 一( 1 一口) ) 8 k p i i + 吒0 厂( p ) 一p 0 从本章引言中，知道 -pll一kpiiii矗-plli i ，掣 脚 ( 2 - 6 ) 鲰卜p ，哔铲 脸o ( 2 - 6 重新把式( 2 - 4 ) 写成如下形式 毛+ 。= 厂( ) + ( 1 一) 旯乃吒+ ( 1 一) ( 1 一旯) = + ( t 一) 五 竺互 乏号舻+ ( - 一) ( 一a ) 矗 如果令 靠= + ( 1 一吒) 五 v ：丝丛益! ! ! 二丝! 堡 ，” + ( 1 一吒) 兄 则 k i = ( 1 一以) 毛+ 以咒 容易证明 只 是有界的，所以 巩 和 危 也是有界的。 下面证明 为了证明它，计算 8 。- y u = 当万专时，k 一巩0 _ o 笋n + l 。) 叫) o + i 等劫i i 胞) l | + h ，斛l ，” ( 卜+ 。) a 以+ lo 巩+ 。一玩i | + 兄l 与 一警| | i 巩i l a + l ai i 叫i + l 等爿胞) | l + ( 1 - + ) 力 以+ 1h 叫+ 叫掣一半岫l i i x , + , - z , l l + 睁和c 讣l 掣一半1 1 4 ( 2 - 7 ) 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 则司得到如f 式子 峙刊卜i l x + ! - x i i 隐爿盹) 8 + | 鲁一 因为专0 且以_ 允( o ，1 ) ，由最后一个不等式可以推出 n m s u p ( 1 l y + ；- y f l - i i x , + 。- x 1 1 ) - lnt ( 0 , 1 ) 时，慨- x i i - m ，使得 1 5 哈尔滨理工大学理学硕十学位论文 l i m s u p ( x t 一厂( ) ，( 一毛) ) m 寺 令t - - h 0 ，因为x 是一个自反的b a n a c h 空间并且有一致g 可微范数，因 此，有式( 2 - 9 ) 成立。 最后证明矗寸工，应用引理2 1 ，可得到不等式 i x n + i - - x * 1 1 2 = | k ( 厂( 毛) 一，) + ( 1 一) ( 名( 一f ) + ( 1 一名) ( 巩一x ) ) 1 1 2 ( 1 一) 2 陬吒- - x ) + ( 1 一a ) ( 巩- - x * ) 1 1 2 + 2 ( 厂( 毛) 一，( 一工) ) ( 卜) 2k 一，旷+ 2 ( ( ) 一( 工。) ，( k 一跏+ 2 ( ( f ) 一，( 一x ) ) ( t 一吒) 2k - - x * i f + 瞩咻一x l p + h 一邓卜 弛( ( 工) 一，- ，( 稚。一x ) ) ( 1 2 + + 瞩) 忙- - x * | 1 2 + 瞩h 一邓+ 弛 即 卜工h t 一掣) k 一币去 ( 一警卜i i 胛u + 鼍a 。l f 讹2 il 一嬲j 4 l 一 ”“ 其中s u ，p 0 x , - - x * 1 2 m ，且 以+ = m a x ( ，一厂( ，) ，( ，一矗+ 。) ) ，0 运用引理2 1 和式( 2 9 ) ， 磊 强收敛于，。 定理2 4 证明了条件c l 和g 是这个迭代收敛的充分条件，下面我们证明条 件q 和g 是我们这个迭代的必要条件。 例2 l 令丁是单位区间上的映射，定义如下：戥= 量并且范数是直线上通 常的欧几里得距离，令f = l 是一个常数，c 为有界闭凸子集 c = p 【o ，1 ：l l , l l - l 。 可以把式r 2 4 ) 写成如下形式 哈尔滨理t 大学理学硕士学位论文 毛+ 。= ( ) + ( 1 一) ( 1 一名) 毛+ + ( 1 一) 旯乃 可以看出 吒+ ( 1 一) ( 1 一五) + ( 1 一) 名= 1 鉴于此，我们令 = 吒，吃= ( 1 一) ( 1 一乃) ，q = ( 1 一) 名 则序列 ， 包 ， q 满足下列条件 ( c 1 )a n + 吃+ q = l ； ( c 2 1 l i m a n = 0 h z a 。= 鸭 有下列推论成立 推论2 1 令x 是一个实的自反的b a n a c h 空间且具有一个弱序列连续的正 规对偶映射，j ：x 专x ，c 是x 的非空闭凸子集，r ：c c 是非扩张映 射，且f ( r ) o ，厂：c 寸c 是压缩映射，压缩常数是口，令 ) ， 允 ， 以 是三个在 o l 】上的实序列，并且满足下列条件： ( 1 )+ 孱+ 以= l ； ( 2 ) 熙吒2o 且2 o 。； ( 3 ) 0 l i r a i n f 展l i r a s u p 成 1 ， 对任意给定的x o c ，令迭代序列 毛 定义如下： + l = t r , f ( x 。) + 尾+ 以巩 ( 2 1 0 ) 则 毛 强收敛于r 的不动点。 注记我们知道任何一个具有一致g 可微范数的b a n a c h 空间，可推出从 x 上的强拓扑到x 。上的弱时石扑的对偶映射在x 的有界子集上是一致连续的 【4 1 1 。特别的，令( 工) - - u c 是一个常量映射，则我们可以推出定理2 3 。 下面证明b a n a c h 空间上非自映射的收敛定理。 定义2 9b a n a c h 空间x 的非空凸子集c ，在c 中关于工点的c 的内部集合 定义如下：i c ( x ) = z x ：z = x + 口一石) 存在y c ，且a 0 映射t ：c x 满 足内部条件，如果对任意的x c 有戥如( x ) 成立。 定义2 1 0b a n a c h 空间x 的非空凸子集c ，在c 中关于x 点的c 的内部集 合定义如下：l ( x ) - - z x ：z = j + 口( j ，一工) 存在y c , k a 0 ，r 满足弱内向 条件。如果对任意的xec 时，a l ( x ) ，其中t xe 七( 工) 是如( x ) 的聚点。 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 现在考虑下面的序列： 吒+ 。= p ( ( 1 一允) 毛+ 名厂( 毛) + ( 1 一) 乃吒) ，l o 这里p 是x 到c 上的太阳型非扩张的保核收缩，由上面的定义， 2 5 和引理2 6 。 ( 2 1 1 ) 能够得到引理 引理2 5x 是一个自反的b a n a c h 空间且具有一个弱序列连续的正规对偶 映射j ：x 寸x ，c 是x 的一个非空闭凸子集，并且是x 的一个太阳型非扩张 收缩核，映射t ：c - - ) x 满足弱内向条件，p 是工到c 上的太阳型非扩张保核 收缩映射，则f ( r ) = f ( 刀) 。 引理2 6 t 4 2 1 令e 是实光滑的b a n a c h 空间，c 是e 的非空闭凸子集，并且 c 是e 的一个太阳型非扩张收缩核，并且映射t ：c - - ) e 满足弱内向条件，p 是e 到c 上的太阳型非扩张保核收缩映射，则f ( r ) = f ( p t ) 。 引理2 7 f 4 2 1 令e 是一个自反的b a n a c h 空间，且具有一个弱序列连续的正 规对偶映射，：e 专f ，假设k 是e 的非空闭凸子集，是e 的太阳型非扩 张的收缩核，并且t ：k e 是一个非扩张映射并且满足弱内向条件， v ( r ) a 令f ：k 专k 是k 到其自身的固定的压缩映射，t ( o ，1 ) ，令 定 义如薯= p ( 矿( 薯) + ( 1 一f ) 取) ，这里的p 是e 到足上的太阳型非扩张的保核收 缩映射，则当t 专0 时，五强收敛于丁的某个不动点p ，使得p 是下面的变分 不等式( ( ，一厂) p ，j ( p 一“) ) o ，”f ( t ) 在，( r ) 中的唯一解。 定理2 5 设x 是自反的b a n a c h 空间且具有一个弱序列连续的正规对偶映 射，从x 到石，j ：x 专x ，假设c 是x 的一个非空闭凸子集，并且是x 的 一个太阳型非扩张收缩核，映射t ：c x 是非扩张映射且满足弱内向条件且 f ( t ) f 2 j 。令 是由式( 2 - 1 1 ) 定义序列，这里的p 是x 到c 上的太阳型非扩 张保核收缩映射，口。( o ，1 ) 满足下面的条件 ( c 1 ) l i m a n = 0 ； ( c 2 ) = o o ； n = o ( c 3 ) h 一i o o 或l i m 争= 1 ， n2u一月+ i 则瓴) 强收敛于丁的不动点p ，使得p 是下面的不等式在f ( t ) 上的唯一解 ( p - f ( p ) ，( p 一，) ) o ，f ( 丁) 证明因为p 是太阳型非扩张的保核收缩映射，也就是说对任意工，y c ， 哈尔滨理丁大学理学硕上学位论文 有如f 式子成立： i i p x - 砂l l - b - y l l 即由定理2 4 中的式( 2 - 6 ) 容易证明： 是有界的，所以 ( 毛) ) 和 巩 也是有 界的。下面证明 熙 i x , + l - 毛1 1 = o ( 2 - 1 2 ) 事实上，由式( 2 儿) ，可以得到 一毛+ 。= p ( 名一。厂( 毛一。) + ( 1 一名) 一。矗一。+ ( 1 一一。) 巩一。) 一 p ( a 吒厂( 毛) + ( 1 一五) + ( 1 一吒) 乃) 和 兄厂( 毛) + ( 1 一名) + ( 1 一) 乃一允口，厂( 罐。) + ( 1 一五) 口，靠。+ ( 1 一一。) 乃q = ( 1 一兄) ( _ 一一。) + ( 1 一) ( 乃i 一乃吒一。) + 旯( 厂( 毛) 一厂( 一。) ) + ( 一口o 。) ( ( 1 一a ) 而一。+ 名厂( 靠) 一孔吒一。) 则 8 一毛8 ( 1 一名) 吒恢一靠。8 + ( 1 一)