（工程力学专业论文）周期热弹性平面焊接问题.pdf

摘要 摘要 周期平面弹性问题的研究具有重要的理论意义，在岩石力学、混凝土力学、 固体力学和断裂理论中都占有重要地位，在实际工程设计中，也有着重要的应 用价值。然而由于数学上的困难及问题本身的难度，相关的研究却十分有限。 与此同时，现有的研究工作还没有考虑周期平面弹性问题中温度变化这一因素， 而在实际工程中，由于不同材料之间热膨胀系数的差异，物体中必定存在温度 应力，而温度应力会对复合材料性能具有一定的影响。 周期热弹性平面焊接问题可分为两个问题的叠加：一是考虑温度变化的周 期夹杂问题，另一是没有温度变化的周期焊接问题。本文首先分别研究以上两 个问题，应用热弹性平面问题的复变函数方法和分区全纯函数理论，结合解析 函数边值问题的研究成果，求得了上述问题的闭合解，作为特殊情形得到了周 期单圆柱形夹杂时的精确解，然后再将以上两者叠加，进行综合考虑，最后根 据上述理论结果进一步给出一个具体问题的解析结果。本文的重点在理论研究 1 - 。 关键词：周期分布；周期夹杂；平面热弹性；平面焊接问题；复变函数方法 a b s t r a c t r e s e a r c ho np e r i o d i ce l a s t i cp l a n ep r o b l e m s h a s i m p o r t a n t t h e o r e t i c a l s i g n i f i c a n c ea n dp l a y s a ni m p o r t a n tr o l ei nr o c km e c h a n i c s ，c o n c r e t em e c h a n l c s ， s o l i dm e c h a n i c sa n dt h et h e o r yo ff r a c t u r e i nt h ea c t u a ld e s i g no f t h ep r o j e c t ，w h i c h a i s oh a sa ni m p o r t a n tv a l u e h o w e v e r , t h er e s e a r c hi sv e r yw e a k ，d u et om a t h e m a t i c a l p r o b l e m sa n dt h ed i f f i c u l t yo f t h ep r o b l e mi t s e l f a tt h es a l n eu m e ，e x i s t i n gr e s e a t c h h a sn o ty e tc o n s i d e r e dt h ep e r i o d i ce l a s t i cp l a n ep r o b l e m si nt h et e m p e r a t u r ec h a n g e f a c t o ri nt h ea c t u a lp r o j e c t ，d u et od i f f e r e n tc o e f f i c i e n to ft h e r m a le x p a n s m n b e t w e e n t h em a t e r i a ld i f f e r e n c e sb e t w e e no b j e c t sm u s te x i s ti nt h et h e r m a ls t r e s s ，t e m p e r a t u r e s t r e s sc o m p o s i t e sw i l lh a v es o m ei m p a c to nm a t e r i a lp e r f o r m a n c e o np l a n ew e l d i n gp r o b l e m so ft h ep e r i o d i cp l a n et h e r m o e l a s t i c i t y c a l lb e d i v i d e di n t ot w oi s s u e s ：f i r s t ，c o n s i d e rt h et e m p e r a t u r eo ft h ep e r i o d i c i n c l u s i o n p r o b l e m ，a n dt h eo t h e ri st h ew e l d i n gi s s u e sw i t h o u tt e m p e r a t u r ec h a n g e t h i sa r t i c l e f i r s ts t u d i e dm ei s s u ef o rm o r et h a nt w o ，b yt h ea p p l i c a t i o no ft h ec o m p l e xf u n c t i o n m e m o da n dd i s t r i c t w i d ef u n c t i o no fp u r et h e o r y , c o m b i n e d w i t ht h eb o u n d a r yv a l u e p r o b l e mf o ra n a l y t i cf u n c t i o n s ，t h e a b o v e - m e n t i o n e di s s u e sc l o s e ds o l u t i o n l s d e r i v e d ， t h e n a u sas p e c i a lc a s e ，t h ea n a l y t i c a l s o l u t i o ni sg i v e nf o rt h ep e r i o d i c s i n g l e - c y l i n d e ri n c l u s i o ni s s u e a n dt h e ns u p e r i m p o s e d o v e rt h et w o ，t a k e nt o g e t h e r , a c c o r d i n gt of i n a lr e s u l t s o ft h ea b o v e m e n t i o n e dt h e o r i e s a r eg i v e naf u r t h e r a n a l y s i so ft h er e s u r so fs p e c i f i ci s s u e s t h i sa r t i c l ef o c u s e s o nt h e o r e t i c a lr e s e a r c h - k e yw o r d s ：p e r i o d i c d i s t r i b u t i o n ；p e r i o d i ci n c l u s i o n ；p l a n e t h e r m o e l a s t i c i t y ；p l a m e l a s t i c i t y ；c o m p l e xv a r i a b l em e t h o d i l 学位论文独创性声明 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得直昌太堂或其他教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名( 手写) ：殊乏 签字日期： 2 0 0 孑年f 月哆同 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解直昌太堂有关保留、使用学位论文的规定，有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借 阅。本人授权直昌太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编本学位论文。同时授 权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供 ( 保密的学位论文在解 学位论文作者签名( 手写) ： 签字同期：加馏年抄月多同 。 本授权书) 导师签名( 手写) ：彭啼眨 墨良黄 签字日期：厶邓争年肛月矽日 务用 服适乏 息后 ， 熊骺趴 第1 章绪论 1 1 论文的研究背景 第1 章绪论 周期平面弹性问题的研究具有重要的理论意义和一定的应用价值，它分为 双周期和单周期两种情形。就目前情况，双周期方面，由于数学上的困难及问 题本身的难度，相关的研究十分有限，研究者也为数不多。单周期的研究相对 来说比较成熟，其主要成果见路见可，蔡海涛1 1 l 的论著平面弹性理论的周期 问题。但是，现有的研究工作还没有考虑周期平面弹性问题中温度变化这一因 素，特别是在复合材料中，由于不同材料的热膨胀系数不同，必然存在由于温 度变化引起的温度应力，它对复合材料的力学性质有着重要影响。本文就把平 面弹性理论的周期问题、热弹性理论这二者有机结合起来进行研究。 1 2 关于周期平面问题国内外研究现状 在国内，在周期问题方面进行研究的主要为武汉大学的路见可教授。 路见可，精研函数论，尤以边值问题研究见长，学著甚丰。路见可的学术 成就及其见解大体可以分成四个方面： i 解析函数边值问题； i i 奇异积分方程理论； 1 1 1 奇异积分方程数值理论； 平面弹性的数学理论 这些工作，计发表论文8 0 余篇，其中( i ) 、( i i ) 方面的工作1 9 8 7 年出版专 著解析函数边值问题f 2 】集大成，( ) 方面的工作有平面弹性复变方法【3 l 和平面弹性理论的周期问题1 1 l ( 与蔡海涛合著) 面世，( i i i ) 方面的材料他拟与 其弟子联手再续一著。 1 9 6 3 年路见可【4 】在“周期r i e m a n n 边值问题及其在弹性力学中的应用 一 文中对单周期的r i e m a n n 边值问题，特别是对解在无穷远处作各种补充的要求进 行讨论，解决了平面弹性中的几个周期问题，如焊接、裂纹问题等。 1 9 9 7 年4 月，武汉大学的郑可1 5 j 利用复变方法，讨论了弹性长条的周期裂 缝问题，就各向同性和各向异性两种情况讨论，给出了问题的正确提法和一般 第1 章绪论 解法。 1 9 9 7 年7 月，黄民海【6 】利用平面弹性复变方法和解析函数边值问题的基本 理论，讨论了不同材料的各向异性弹性半平面和弹性长条的周期焊接问题，得 到了应力分布封闭形式的解。 2 0 0 0 年6 月，黄民海【7 】禾l j 用平面弹性复变方法和解析函数边值问题的基本 理论，讨论了一类含孔洞焊接的弹性半平面接触问题，通过适当的函数分解和 消元方法，将问题简化为一类简单的r i e m a n n 边值问题，从而得到弹性体应力 函数封闭形式的解。 2 0 0 2 年9 月，黄民海、李静1 8 】根据平面弹性复变方法和解析函数边值问题 的基本理论，把各向异性弹性长条静力平衡的周期基本问题归结为一类解析函 数的复合边值问题，通过独特的积分变换，借助级数方法，得到了描述弹性长 条应力分布的应力函数封闭形式的解。 2 0 0 3 年8 月，黄民海，孔德清，曾红云【9 l 给出了带任意裂纹的各向同性弹 性半平面基本问题的一种新提法，通过适当的函数分解和消元方法，将问题转 化为求解裂纹上的r i e m a n n - - h i b e r t 边值问题，得到了弹性体应力函数封闭形式 的积分表达式，并导出裂纹尖端的应力强度因子。 1 9 9 9 年1 2 月，曾红云【1 0 l 利用类似路见可的平面弹性复变方法处理周期的 无限多连通区域，对一个周期带中有多个孔洞的第一基本问题进行了讨论，建 立了f r e d h o m 方程。 2 0 0 0 年1 0 月，曾红云1 1 1 l 又用此方法对一个周期带中有多个孔洞的第二基 本问题进行了讨论，建立了f r e d h o m 方程。 2 0 0 0 年1 2 月，曾红云【1 2 l 对一个周期带中有多个孔洞的混合边值问题进行 了讨论，用处理非周期的多连通区域方法，建立了f r e d h o m 方程，并证明其解 的存在唯一性。 2 0 0 1 年2 月，曾云红【1 3 】在文献 3 的基础上，并借鉴路见可在平面弹性复变方 法中处理非周期孔洞问题的方法作了一个w e p m a h 变换，把周期带中有多个洞的 具平动位移的边值问题转化成一个f r e d h o l m 方程，并证明方程解的存在唯一 2 0 0 0 年3 月，张军好【1 4 l 讨论不同材料拼接的各向异性弹性平面周期裂缝第 一基本问题。先构造出复应力分布函数，用复变的方法讨论了不同材料拼接的 2 第1 章绪论 各向异性弹性平面的周期裂缝，将满足一定边界条件下寻求复应力函数的问题 归结为求解某种正规型变异积分方程，并证明这种方程的解存在且唯一。 2 0 0 0 年9 月和1 2 月，张军好【1 5 t1 6 j 采用复变方法，讨论了不同材料拼接的 各向异性弹性平面周期裂缝的混合边值问题，把满足一定边界条件下求复应力 函数的问题归结为求解某种正则型奇异积分方程组，并讨论了所转化的奇异积 分方程在h 2 0 类中求解时，其解的存在性和唯一性，并把该奇异积分方程组的奇 异部分写成了一般形式。 2 0 0 3 年9 月，张军好m 又讨论了带周期裂缝的不同材料拼接的各向异性弹 性平面第二基本问题，利用复变函数的方法转化为求解一组正则型奇异积分方 程组的数学问题，并证明了这种奇异积分方程组在h 类中唯一可解，同时将该方 程组的奇异部分写成了一般形式。 2 0 0 3 年1 2 月，张霞、焦卫东【1 8 l 应用平面弹性方法，研究了具有任意裂纹 的复合材料弹性平面周期焊接问题，通过周期s h e r m a n 变换，将其转化为带 h i l b e r t 核的奇异积分方程。这两个方程合在一起就构成l + y 上的一个奇异积 分方程，并证明了解的存在唯一性定理。把问题转化为比较简单的奇异奇异积 分方程，并证明了其解存在且唯一。 2 0 0 5 年3 月，彭南陵，王敏中【1 9 】论述了针对调和变温场的热弹性平面问题 的复变函数方法，给出了受调和变温时有限多连通域中复势的一般表达式，并 基于己知实部的双周期解析函数及其原函数的表示和多值性分析，得到了双周 期调和变温下具有双周期分布孔洞物体平面弹性问题的两个复势函数的一般公 式。并论证了两种特殊情形物体的温度应力为零，为双周期热弹性平面问题的 进一步研究提供了理论基础。 关于热弹性理论，在航空航天等现代化工业和机械工程中，有许多与温度 有关的问题，非均匀温度场的热弹性问题日趋重要。v e r r u i j d 2 0 l i i e n 了热弹性理 论通解的完备性，后来青春炳和王敏中1 2 1 l 又给出了热弹性通解完备性的一个新 证明，此外，s c h i a v o n e 和t a i t 2 2 l 讨论过板的热效应。2 0 0 2 年2 月，刘杰、盖 秉政1 2 3 l 利用复变函数方法，分析了在二维半无限弹性平面附近施加稳态温度场 条件下的圆形腔孔表面的动态热应力分布问题，得到了汉克函数表示的此问题 的解析解，给出了相应的数值结果并进行了讨论。 3 第1 章绪论 1 3 论文的研究意义及其研究内容 1 3 1 论文的研究意义 弹性理论中的周期问题的研究，在固体力学和断裂理论中都占有重要地 位，同时，在实际工程设计中，也有着重要的应用价值。但是，现有的研究工 作还没有考虑周期平面弹性问题中温度变化这一因素，而在实际工程中，由于 不同材料之间热膨胀系数的差异，物体中必定存在温度应力，而温度应力会对 复合材料性能具有一定的影响。并且，在航空航天等现代工业和机械工程中， 有许多与温度有关的问题，非均匀温度场的热弹性问题显得日趋重要，所以， 在研究弹性理论中的周期问题时有必要考虑温度这一因素。 1 3 2 论文的研究内容 周期热弹性平面焊接问题可分为两个问题的叠加：一是考虑温度变化的周 期夹杂问题，另一是没有温度变化的周期焊接问题。我们将首先分别研究以上 两个问题，并进一步给出一些特殊情形下的解析解，然后再将以上两者叠加， 进行综合考虑，最后根据上述理论结果进一步给出一个具体问题的解析结果。 本文的重点在理论研究上。 本论文针对周期热弹性平面焊接问题进行研究，主要包括以下内容： 第一章“绪论”归纳了弹性理论中的周期问题的研究现状，论述了本论 文的研究意义，并说明了本论文的组成结构； 第二章“复变函数方法”简单论述了本论文所要用的复变函数方法； 第三章“具有孔洞的周期热弹性全平面问题的复势”论述了具有孔洞的 周期热弹性全平面问题的两个复势函数的一般表达式，并讨论了几种特殊情形 下的结果： 第四章“具有周期分布柱状夹杂物体的均匀变温问题”则应用复变函数 方法和分区全纯函数理论，结合解析函数边值问题的研究成果，求得了上述问 题的闭合解，作为特殊情形得到了周期单圆柱形夹杂时的精确解： 第五章“不考虑温度效应时的周期焊接问题 应用复变函数方法与分区 4 第1 章绪论 全纯函数理论，结合解析函数边值问题的研究成果，求得了问题的闭合解，作 为特殊情形得到了周期单圆柱形嵌体时的精确解。 第六章“考虑温度效应时的周期焊接问题”则将以上两者叠加，进行综合 考虑，并给出了周期单圆柱夹杂焊接问题的精确解，数值结果揭示了这类非均 匀材料力学性质随微结构参数变化的规律。 第七章“结论与展望”总结概括本论文完成的工作和研究价值，为完善 和发展弹性理论中的周期问题的研究提出展望。 5 第2 章弹性平面问题的复变函数方法 第2 章弹性平面问题的复变函数方法 本章主要介绍弹性力学中的复变函数方法，从而为后面的理论推导奠定基 础。 2 1 应力函数的复变函数表示 在平面问题中，如果体力是常量，就一定存在一个应力函数u ，它可以用复 变量z = x + i y 的两个解析函数驴( z ) 和妒( z ) 表示为( 见 2 4 ) ： u = r e z _ c p ( z ) + z ( z ) 】 ( 2 1 ) 其中r e 的意思是取“实部”，z 表示z 的共轭x 一y ，妒( z ) ；石，( z ) 2 2 应力和位移的复变函数表示 假设不计体力，则应力分量q ，仃，k 与复变函数妒( z ) ，妒( z ) 之间有关系式 ( 见 2 4 ) ： 吒+ 仃，= 2 【妒t ( z ) + 驴t ( z ) 】= 4 r e p ( z ) ( 2 2 ) 口，一q + 2 拓0 ；2 z o o ( z ) + 妒t ( z ) 】 ( 2 3 ) 公式( 2 2 ) 和( 2 3 ) 就是应力分量的复变函数表示。只要已知伊( z ) 和妒( z ) ， 就可以把公式( 2 3 ) 右边的实部和虚部分开，由虚部得到，由实部得到 口，一吒，再利用公式( 2 2 ) 便可确定应力分量q 和盯，。 对于平面应力问题，位移分量h 、v 与复变函数驴( z ) 、妒( z ) 之间有关系式 ( 见 2 4 ) ： ?击 + i v ) = 若酢) - z 雨一雨 ( 2 4 ) 此即位移分量的复变函数表示，其中e 、1 ，分别为材料的弹性模量和泊松 比。如果已知q o ( z ) 和妒( z ) ，就可以将该式右边的实部和虚部分开，从而得到比 和v 。 6 第2 章弹性平面问题的复变函数方法 对于平面应变情况，须将该式中的e 改为r 告，y 改为芒，_ 。 2 3 边界条件的复变函数表示 设曲线a b 代表任一段边界，且从彳点沿边界曲线彻至b 点的走向为边界 正走向，而s 是从边界上彳点沿边界a b 到b 点量取的弧长。则有： x + i y 一一f 【驴( ) + z 驴1 ( z ) + 妒( z ) 笸 ( 2 5 ) m r e 【一z z 妒t ( z ) + 彳( z ) 一z l f ，( z ) 】： ( 2 6 ) 其中x 和y 是边界曲线加上面力的合力，m 是a b 段上面力对原点0 的合力 偶矩。公式( 2 5 ) 和( 2 6 ) 就是应力边界条件的复变函数表示。 平面应力情况下位移边界条件的复变函数表示为 击；眵北卜雨一雨】， ( 2 7 ) 对于平面应变情况，须将该式中的e 改为i 告，改为。 2 4 考虑温度应力的平面弹性复变函数方法 命弹性体内各点的变温为丁0 ，y ，z ) ，即后一时刻的温度减去丽一时刻的温 度，以升温为正，降温为负，则物理方程为【2 4 】： 驴扣叫叩ry 声；掣 旷己1 ，- v ( m t 掣z 。 丘，言【呸一y ( q + q ) 】+ a 丁r 矽一墨蔷堕 ( 2 8 ) 其中a 为弹性体的线膨胀系数。 对于平面应力问题有： 吼= 0 ，= 0 ，吃= 0 ，t = 丁 ，y ) ( 2 9 ) i i 由( 2 8 ) 得热弹件力学的物理方程： 7 第2 章弹性平面问题的复变函数方法 ，；吉( 吼一坩y ) + 口丁，y = 吉( 仃，一坩，) + a 丁，) ，碍一垫( 2 1 0 ) 几何方程仍为： 形变相容方程为： o u枷a vo u 2 i s y2 万 2 面+ 万 a 2 x l a 2 y a 2 y 矽 却 觑2 缸却 无体力时的平衡微分方程为： 得 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 孥+ 孕乩 堡+ 竖：o ( 2 1 3 ) 缸 却却 缸 下面按应力求解。将热弹性物理方程( 2 1 0 ) 代入形变相容方程( 2 1 2 ) 等c 竿瑚，+ 菩毕埘，一茜t 竿，( 2 1 4 a ) 再利用平衡微分方程，将( 2 1 3 ) 的第一式及第二式分别对x 、y 求导， 然后相加，得 2 鱼：一啤一粤 缸却 缸2 却2 将( 2 1 4 b ) 代入( 2 1 4 a ) 得相容方程： 其柑一善+ 等。 u u y v 2 ( q + q ) + e 口v 2 r = 0 ( 2 1 4 b ) ( 2 1 5 ) 此外，对于无体力时的平衡微分方程( 2 1 3 ) n - f i f 弓l , n a i r y 应力函数u ，y ) ， 则有： q ：尝，q ：粤，k ；一塑 ( 2 1 6 )q 2 矿q2 可岛2 一石面 ( 2 。 将( 2 1 6 ) 代入( 2 1 5 ) ，就得用应力函数表示的相容方程： 8 第2 章弹性平面问题的复变函数方法 v 4 u + e a v 2 t 。0( 2 1 7 ) 对于无热源的平面稳定温度场丁0 ，y ) ，由于其满足调和方程【注：由热传 导微分方程为：_ o t 一尘v ：丁：里，其中丁；丁( x ，y ，z ，f ) 为物体内各点的温度， d t c pc p 为热源强度，p 是物体的密度，c 是比热容，a 为导热系数， v ：。三+ 乓+ 乓。无热源则；0 ，稳定温度场则坚：0 ，平面温度场则 a x a v 2a z 2a t _ o t ；0 ，从而有v z t ；0 】，因而两个这样的温度场之差也满足调和方程，即变 d z 温丁满足v 2 丁= 0 ，于是( 2 1 7 ) 简化为： v 4 u ；o( 2 1 8 ) 即与无温度应力时的形式一样，u o ，y ) 为双调和函数。 对于由两个无热源的平面稳定温度场之差引起的温度应力， ( 2 1 8 ) 及式( 2 1 6 ) 与无温度应力时的形式一样，则有： 1 u r e i z q , ( z ) + z ( z ) 】；云【z 驴( z ) + z 伊( z ) + z ( z ) + z ( z ) 】 二 i 仃，+ 吒= 2 【妒( z ) + 驴( z ) 】一4 r e , p ( z ) l 仃r q + 2 v ，r = 2 f 印”( z ) + 妒( z ) 】 其中妒( z ) = z t ( z ) ，驴( z ) 和妒( z ) 为复变量z = x + 耖的解析函数。 注意到式 ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 a ，b ) 、回雅导位移分重阴衣还瓦o ，芍愿半圆脞刀i 口j 趑，田物埋7 程【2 1 0 ) 和几何方程( 2 11 ) 有： e 罢= q 一坩，“订= ( q 竹y ) 一( 1 w ) 仃) ，姐订 ( 2 - 2 1 a ) e 詈= 口y 一峨+ 卢a 丁= ( 吼+ 叫一( 1 + ，) 吒+ e 口丁 ( 2 2 l b ) (业+詈)=(221c1c2(1 o x ) 一l + = z ， + y ) 、砂7 掣 注意到对两个无热源的平面稳定温度场之差丁仅y ) ，有v 2 t ；0 ，故丁“，) 为 9 第2 章弹性平面问题的复变函数方法 调和函数，用f ( z ) 表不以丁o ，y ) 为实郡的解析函数，即： r e f ( z ) = r ( x ，y ) ( 2 2 2 ) 再设 “o ，) ，) + 肌o ，y ) 2 f ( z ) d z = 只( z ) ( 2 2 3 ) 于是有： e ( z ) ；警+ f 娑。f ( z ) 魄o x 再注意到c a u c h y r i e m a n n 条件便得： 婴。誓：t ( x , y ) ，豢；一篓 ( 2 2 4 ) o x鲫0 y o x 将( 2 2 0 a ) ，( 2 1 6 ) 及( 2 2 4 ) 代入( 2 2 1 a ，b ) 得： e ou一2阱雨卜00x州罟勘竽o x ( 2 2 5 a ) d xd x 。 e 面o v - 2 i 阱雨】- ( 1 卅等也詈 ( 2 2 5 b ) d y凹d y 一妙 将( 2 2 5 a ) ，( 2 2 5 b ) 分别对x ，y 积分，得： e u 。2 【驴o ) + 雨卜0 + ，) 掣+ e a u + ，1 ( y ) ( 2 2 6 a ) 西；磁【旷( z ) 一雨卜0 + 1 ，) 祟+ e 钟。+ ( 2 2 6 b ) 其中 、厶为待定函数。将( 2 2 6 ) 代入( 2 2 1 c ) ，并注意到( 2 1 6 ) 第三式、 ( 2 2 4 ) 第二式，得到： d r y ( y ) ：d l ( x ) ；为常量 一一= 一；，j ，、i mm a y d x 于是：l ( y ) = u o - t o y ，l ( x ) 一+ 删， 均为刚体位移。 不计刚体位移，由( 2 2 6 ) 得到： e ( u + i v ) ；却( z ) 一0 + ，) ( 掣+ i 当+ e a + i v ) ( 2 2 7 ) 0 x d v 1 0 第2 章弹性平面问题的复变函数方法 利用型+ i8 u ：2 型； o x 砂 o z 代入( 2 2 7 ) 最后得： 驴( z ) + z 妒t ( z ) + z t ( z ) = q d ( z ) + z 驴( z )+ 妒q ) ( 2 2 8 ) 击咖而3 - v 酢) 一z 丽一雨+ 鲁似仉) 公式( 2 2 9 a ) 是针对平面应力情况导出的。对于平面应变情况，e 改为 ( 2 2 9 a ) e i 了、。 改为一，口换为0 + ，k 。得： 1 一， i 兰二( “+ i v ) = ( 3 4 y ) 驴( z ) 一z , p ( z ) 一妒( z ) + e a ( u + i v ) ( 2 2 9 b ) 土+ ， 综合( 2 2 9 a ) 、( 2 2 9 b ) 即： 2 ( h + i v ) = k 驴( z ) 一z c p ( z ) 一缈( z ) + 2 1 u a 。只( z ) 舯叫暑川口辜翟一一糕， 22 ( 1 + 1 ，)为剪切弹性模量。 1 1 ( 2 3 0 ) 第3 章具有孔洞的周期热弹性全平面问题的复势 第3 章具有孔洞的周期热弹性全平面问题的复势 本章介绍文献 2 6 的主要工作。首先论述了针对调和变温场的热弹性平面 问题的复变函数方法，给出了受调和变温时有限多连通域中复势的一般表达式， 然后基于已知实部的周期解析函数及其原函数的表示和多值性分析，给出了周 期调和变温下具有孔洞的物体全平面弹性问题的两个复势函数的一般表达式， 并讨论了几种特殊情形下的结果。 3 1 受调和变温时的基本公式及有限多连通域中的复势 考虑无热源的平面稳定温度场丁 ，y ) ，由热传导理论可知其满足调和方程 v 2 z 一( a ：+ a ；沙= 0 ，这样两个温度场之差也满足调和方程，即变温丁0 ，y ) ( 以 后r ，y ) 均表示变温，即后一时刻温度减去前一时刻温度，以升温为正，降温 为负) 满足v 2 丁：o 而为单值调和函数。根据m u s k h e l i s h v i l i 2 6 j 的研究，可引入 解析函数f ( z ) 使其实部为丁0 ，y ) ，即 r e f ( z ) = z ( x ，y ) 再设其原函数 然后令 其中 只( z ) 2f f ( z ) d z = “o ，y ) + i v o ，y ) u ( x ，y ) - - - - u7 ( x ，y ) + 口。u 。( x ，y ) ，v ( x ，y ) zv o ，y ) + 口。y 。0 ，y ) f a a 。= 【( 1 + ，沁 平面应力 平面应变 ( 3 1 a ) ( 3 1 b ) ( 3 2 a ) ( 3 2 b ) 口为弹性体的线膨胀系数， ，为物体的泊松比，则函数q 、o r 、和、y 间 满足无变温时的平面弹性理论方程，并且u7 、v 处于位移的地位。由此，若将关 于仃，、o r ，、和甜、1 ，的问题称为“辅助问题 ，则对其便可采用通常( 无变温 时) 的复变函数方法，即有 1 2 第3 章具有孔洞的周期热弹性全平面问题的复势 ，+ q 一2 【驴( 2 ) + 驴( z ) 】= 4 r e 驴( z ) 仃，一吒+ 2 i - r 9 2 z , p ”( z ) + 妒( z ) 】 2 , u ( u + i v ) = 婶( z ) 一z 妒( z ) 一妒( z ) ( 3 3 a - c ) 其中驴( z ) 、妒( z ) 为关于z z + f y 的两个解析函数( 称复势) ，a 为剪切模量， r 为 r ：( 3 一，) ( 1 + y ) 平面应力 ( 3 4 ) l 3 一和平面应变 。 特别值得注意的是，应力o r x ，仃，k 在原问题与在辅助问题乃是一致的，但原问 题的位移分量“，v 与辅助问题的位移分量比，y 不同，它们之间满足关系式 ( 3 2 a ) 。 此外，还有沿物体内弧段彳否上的合力公式 【伊( z ) + z 妒o ) + 妒( z ) 谚一( x 。+ i y 。) a s ( 3 5 ) 注意，式中弧段a b 的微元素d s 上的力仁。+ i y ) d s 指的是沿着此弧由a 到b 方向前进时的右侧部分作用于其上的力。 现在讨论多连体的情形。设物体所占域s 由几个互不相交的简单闭围线厶， l 2 ，乙，k + 。所围成，其中围线k + ，包围其余诸围线( 图3 1 ) 。z k ( k 一1 ，2 ，m ) 为在内边界k 内任意选取的定点，l ：为在域s 中仅包含丘且不与其余边界相交 的任意简单闭围线。 图3 1 有限多连通区域示意图 设以上多连体受调和变温丁o ，y ) ，注意到在多连通域中，由式( 3 1 ) 引入的 1 3 第3 章具有孔洞的周期热弹性全平面问题的复势 解析函数f ( z ) 、只0 ) 可能是多值的，我们可以将其中的多值部分分离出来， 并将它们表示为【2 l ，( z ) 2 荟色1 n ( z z k ) + 全纯函数 ( 3 6 ) 只( z ) 2 地+ 如j z 荟1 n ( z - z t ) + 荟( 口：+ f 反) l n o z k ) + 全纯函数 ( 3 7 ) 其中暖，口：，所均为实常数，当丁0 ，y ) 已知时，这些实常数便是确定的。 当z 沿“逆时针绕行一周时，由式( 3 7 ) 知 阻+ 肌k 。纫i ( 色z + + f 反) ( 3 8 ) 记号【】“表示括号内表达式当z 沿逆时针绕行一周时的增量。 注意到原问题的位移u + 加是单值的，则由式( 3 2 a ) 有 【h + i v7 】工：+ a 。i n 。+ i v 。】“一0 再代入式( 3 8 ) ，得 i n + 如k 。一2 z - r i a ( 反z + + f 厦) = 1 ，2 ，肌) ( 3 9 ) 式( 3 9 ) 表明，对多连体，辅助问题的位移u7 + v7 可能是多值的【2 1 。由此可 推知，即便多连体所有边界上无位移约束且所受面力为零，而只受调和变温场 丁o ，y ) 作用，仍可能产生温度应力。 不难推知满足应力单值而位移具有如式( 3 9 ) 所示多值性的两个复势为 驴q ) = z 4i n ( z - - z k ) + ，tl n ( z 吃) + 驴o ) i - 1i - 1 妒( z ) = 罗，：i n ( z 一) + 妒( z ) 矧 ( 3 1 0 ) 其中 a t 。一2 z a ，b i ， 一丽x k + i y k 一等嘲肛笺署一等陂- i f l ；) ( 3 1 1 ) x 。+ i y k 表示作用于内边界厶上的面力主矢量，妒+ ( z ) 和妒z ) 为域s 上的全纯 函数。 1 4 第3 章具有孔洞的周期热弹性全平面问题的复势 3 2 已知实部的周期解析函数及其原函数的表示和多值性分析 考虑周期为口石的全平面问题。设弹性平面中第_ 个周期带( j 一0 ，l - 2 ，) 内有，z 个孔洞，其内边界为j = u 髭n ，以逆时针方向为正，并将髭。简记为厶。 把弹性体所占区域记为s 一，髭所围孔洞记作爱小，爰卟则简记为霹，并 记s = q 筇，基本周期带( 如图3 2 所示) i x i 0 ) 的圆柱体的情况。将坐标原点o 取在基本周期 带只中圆柱形嵌体的中心，规定l 以逆时针方向为正，则 g o ) ； + + 咖+ ) 一 一+ 加一) = 一p i 8 一一要 其中f = r e 阳厶 于是由式( 5 11 ) 咐= 去c o t 等出= 去g 一詈胁等出= 乍警= 4 2 第5 章不考虑温度效应时的周期焊接问题 j l ( f ) 。峨 【( 盯一+ 1 ) 而一( r + + 1 ) 一f - ( t ) l + 6 一f ) 陋+ 1 ) r + ( f ) 一( r + + 1 ) r - 一q ) l 确釉。+ 6 一r ) ) 为以口刀为周期的函数，其中 当z e s + 时 p - = 南 丽1 似t - 口z d t e 去擎犸) c o t 孚出 = 急，堡一一e t i 】i c o t - 卜- - - - z - q 出i tra= 一i l ：l f2 口疵， 。 。一三咝c o t 三+ 2 p l e r aa 【z 】o p i s 【z 】0 丽1 g 山徊t 等出一去罕叫c o t 等出 一一了2 r 2c o t 吾+ 焉_ 【z 】。 故由( 5 1 8 ) 、( 5 1 9 ) 得 酢卜器+ 品 当z s 一时 北) ；警c ，z 一品 + c 警，p 一言c o t 詈+寺一z + c 等嘲p 曲石 ( 5 2 9 ) 去c o t t - _ _ 口_ 三z d t2 丽p tj l _ 2 e r 一铷挚 2 p 1 水 z c o t - 口 第5 章不考虑温度效应时的周期焊接问题 去f c 山脚等出 故由( 5 1 8 ) 、( 5 1 9 ) 得 综上可得 妒( z ) 一 绯) = 毛 2 r 2z 一c o t 口口 炸) 邮。p 。- p k , e ) 2 r 口2c 。t 言一黑+ c 3 z m ，2 爹 丝孙csz石c，1石zr石+ 1 ( 5 3 0 ) + 巳 ze s + r + + 1 ( 5 3 1 ) z s 一 邯t 罗。一等p e c o t 吾一寺+ z 卜譬一胁础+ m 。一争孚c o t 吾一品坞z z s 一 ( 5 3 2 ) 式( 5 3 1 ) 、( 5 3 2 ) 即为周期单圆柱形嵌体焊接时复势的精确解，其中实常数c 。， 复常数c 3 由式( 5 2 6 ) 、( 5 2 7 ) 给出。 最后将( 5 3 1 ) 、( 5 3 2 ) 代入( 4 3 ) 得周期分布的应力场 旷4 脚心) _ 8 “z e 冲 f4 c 1 ir 一4 - 1 2 s + 2 s 一 ( 5 3 3 ) 出 竺口 毗 弘 。 堑， 小b 上撕 = 第5 章不考虑温度效应时的周期焊接问题 o ，一ox + 2 i r q 2 2 z p ”( z ) + 妒0 ) 】 2 c 警，卜砉甜詈音h + 丝一墨+ 2 c ，z e s + rk + + 1 。 等学一廊2 詈一罴班， z s 一 ( 5 3 4 ) 特别地，若在z = o o i 处应力为零，则c 1 = c 3 = 0 ，于是解( 5 3 1 ) ( 5 3 2 ) 退化 为路见可的结果。( 见文献【1 】第5 3 页。) 4 5 第6 章考虑温度效应时的周期焊接问题 第6 章考虑温度效应时的周期焊接问题 由于实际工程中的焊接问题总是伴随着温度效应，故本章将第四章和第五 章的解进行叠加，讨论了考虑温度效应的周期焊接问题，并给出了周期单圆柱 形嵌体焊接问题的精确解，数值结果揭示了这类非均匀材料力学性质随微结构 参数变化的规律。 6 1 问题的描述 图6 1 为具有周期分布柱状孔洞的无限弹性体示意图，今在各孔上焊接材 料不同，但剪切弹性模量一致的柱状嵌体。图6 2 表示基本周期带昂，其内部 含有刀个任意截面形状的柱状嵌体。设横截面z = x + i y 内的基本周期为a l g ( a 为实常数) ，其余周期带记为p i ( j 为整数) 。基本周期带昂内基体与嵌体的交 界面为一条简单闭围线，记为k u 厶，并以逆时针方向为正，l o 在p j 中的周 k - 1 期合同像记为l j 。此外，1 o 中基体、嵌体区域分别记为s o 和s ；，它们在所有 周期带中对应区域的集合分别记为s 一( 基体) 和s + ( 嵌体) ，取坐标原点o e s ；。 设基体受均匀变温r 一作用，嵌体受均匀变温a 丁+ 作用。以升温为正，降温为负。 对于焊接问题，在基体与嵌体的交界面；上，存在着微小的位移跳跃， 记为 + + i v + ) 一 一+ 扣一) = g ( o ，f l j 。 其中g ( f ) 为周期函数，满足 g q + 口万) = g o ) 。 在z = f 处设应力分量( q ，q ，) 保持有界，且为常量。把z = + _ c o i 处 的应力记为： 第6 章考虑温度效应时的周期焊接问题 d ，= q ( t i ) ，t = ( m f ) ，t = q ( + m i ) 图61 具有周期分布柱状孔洞的弹性体 v s 0 一 | l 。 ， 嚼瓤 ” 鳃黟 口z 2 62 问题的通解 图62 基本周期带昂 第6 章考虑温度效应时的周期焊接问题 显然问题的通解为特解( 4 1 6 ) 、( 4 2 0 ) 和( 5 1 0 ) 、( 5 1 3 ) 与齐次解( 4 2 6 ) 、 ( 4 2 7 ) 叠加，即 妒0 ) = 驴。卜筹母z + 羔酢，+ 品 1 ， l一 ，一7 ( p c 1 p o ) i 二tr ( 2 f f ) c o t2 出 z 口忽? 口 + 去p ( f ) c 。t 等疵+ c 3 z ze s 一 ( p c l p 。) 三“荔一f ) c o t t - z d t z a j g 哆a + a ：f h ( t ) c o tt - 一z 出+ p c l p 。) 扣万+ c 3 z z s + 其中p 见( 4 1 7 ) ，p o 见( 4 2 3 ) ，f ( z ) 见( 5 1 1 ) ，h q ) 见( 5 1 2 ) ， c 1 为实数，c ，为复数。 将( 6 1 ) ( 6 2 ) 代回到( 4 1 1 ) 得 妒q ) 一 喇2 d 蠢c o t 等出一筹母z + 啬 3 ， c p 一，去卅似等出+ 去c o t 等出 一二生- 、2 p c t 7a t - z g z 一 szl t z ) + az- - i - 乙 一3z z t ( p - c , p o ，茹1 山，草+ 菇每出 ( 6 4 ) 丽，( 山) c o t 等出+ 去似等出 一而2 p zr t ( z ) + 笔4 - 1 z 一品+ c 3 z 啦c 1 p o ) 弦石矧+r + + 1 、7 r +r + + 1 3。“”77 6 3 常数的确定 设 口。一仃y ( o o f ) ，7 。一z 砂( i ) ，h ：= o r ( - x - _ o o i ) 第6 章考虑温度效应时的周期焊接问题 由应力周期条件，考虑周期带