（基础数学专业论文）无穷级亚纯函数的分担值与奇异方向.pdf

摘要 本文共分为四章 第一章，主要介绍了分担值和奇异方向在国内外的研究现状和已经 取得的成果，引入无穷级亚纯函数后的一些基本概念和新的成果，以及 本文的研究内容和创新 第二、三、四章，主要研究了无穷级亚纯函数在角域内涉及高阶导 数分担值关于奇异方向的一些性质，得到了三个结果： 定理1 设f ( z ) 为复平面上级无穷的亚纯函数，且超级仃( 厂) o o ( 见定 义2 1 1 ，以下同) ，那么存在一条方向( 9 ) = ：l a r g z = e l ，o 口2 x ，在这一 方向所对应的任意小角域内f ( z ) 与厂( z ) 至多有两个不同的有穷公共值 定理2 设f ( z ) 为复平面内的无穷级亚纯函数，且超级c r ( f ) o o ，那么 存在一条公共方向( 口) = z i a r g z = e l ，0 8 2 f f ，在这一j 5 向对应的任意小角 域内f ( z ) - - 与( z ) 至多只有两个不同的有穷公共值 定理3 设厂( z ) 为复平面内的无穷级亚纯函数，且超级o - ( f ) o o ，而 l ( f ) = b k f + 反一，七q ) + 玩一。卜4 + + b o f ，其中k 3 ，屯( _ ，= o ，1 ，k - 3 ，k ) 为常数， 且b 。o ，那z , 存在一条公共方向( 秒) = z l a g z = e l ，0 g 2 f f ，在这一方向x , l - 应的任意小角域内f ( z ) 与三( 厂) 至多只有两个不同的有穷公共值 关键词：亚纯函数：分担值；奇异方向 a b s t r a c t t h et h e s i sc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w em a i n l yi n t r o d u c et h es t a t u so fr e c e n tr e s e a r c h e sa n d t h ed e v e l o p m e n to fs i n g u l a rd i r e c t i o na n ds h a r e d v a l u e so fm e r o m o r p h i c f u n o t i o na th o m ea n do v e r s e a ，a sw e l la ss o m eb a s i cd e f i n i t i o n sa n d f u n d a m e n t a lr e s u l t sf o rt h ev a l u ed i s t r i b u t i o nt h e o r yo v e rt h ec o m p l e xf i e l d m o r e o v e rw es i m p l yi n t r o d u c er e s e a r c h e sa n di n n o v a t i o n so ft h i st h e s i s i nc h a p t e r2 ，3a n d4 ，w em a i n l yd i s c u s ss o m ec h a r a c t e r sa b o u t s h a r e d v a l u e sa n das i n g u l a rd i r e c t i o no fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n so fi n f i n i t e o r d e r s ，a n dw eo b t a i nt h r e er e s u l t s t h e o r e m1 l e t “z ) b eam e r o m o r p h i cf u n c t i o no fi n f i n i t eo r d e ra n d o ff i n i t eh y p e r o r d e r t h e nt h e r ee x i s t sad i r e c t i o n a ( o ) = za r g z = 口) ，o o _ 2 n - s u c ht h a tf o re v e r ys m a l lp o s i t i v en u m b e r s ( ) ，( z ) a n d f ( z ) ( 七3 ) s h a r ea t m o s tt w od i s t i n c tf i n i t ev a l u e si nt h es i n g u l a rd o m a i n z l a r g z - 0 8 t h e o r e m2 l e t “z ) b eam e r o m o r p h i ef u n c t i o no fi n f i n i t eo r d e ra n d o ff i n i t eh y p e r o r d e r t h e nt h e r ee x i s t sad i r e c t i 。n a ( o ) - - z l a r g z = p ) ，o 秒 2 n s u c ht h a tf o re v e r ys m a l lp o s i t i v en u m b e r 占( ) 厂( z ) a n d ，”( z ) ( 七3 ) s h a r ea tm o s tt w od i s t i n c tf i n i t ev a l u e si nt h es i n g u l a rd o m a i n z l 鹕z 一纠 占 t h e o r e m3l e tf ( z ) b eam e r o m o r p h i cf u n c t i o no fi n f i n i t eo r d e ra n d o ff i n i t eh y p e r o r d e r l ( f ) = b k f ( + 一3 ，扣3 + 坟一4 。+ + b o f ，a n d k 3 色 ( = o ，1 ，k 一3 ，k ) b k 0 , t h e nt h e r ee x i s t sad i r e c t i 。n ( 臼) = za r g z = p ) ，o o 2 x s u c ht h a tf o re v e r ys m a l lp o s i t i v e n u m b e r 占( ) 厂( z ) a n d 三( 厂) s h a r ea tm o s tt w od i s t i n c tf i n i t ev a l u e si nt h es i n g u l a rd o m a i n z l a r g z - 0 i s ) k e yw o r d s ：s h a r e d - s e t ：s i n g u l a rd i r e c t i o n ：m e r o m o r p h i ef u n c t i o n l i 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献 的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律 后果由本人承担 燃名：业彳乞 醐1 ，一澌 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密团 ( 请在以上相应方框内打“4 ) 纠呼吼爷瑚锔 新虢州 日期吟r 月咱 第一章绪言 1 1 课题研究意义及国内外现状分析 十九世纪末，色b o r e l 成功地将色p i c a r d ，h p o i n c a r 6 和j h a d a m a r d 等人关 于解析函数取值的若干独立成果结合起来，产生了值分布论的一些最初结果，随 后由n e v a n l i n n a g o 立值分布论。8 0 多年来，值分布论在n e v a n l i n n a 理论的影响下 取得了巨大的进展，得到了不断深化和完善同时，它向复分析的其他方向延伸 1 9 1 9 年，j u l i a 介绍并证明了一种方向即每个超越整函数至少存在一条j u l i a 方 向，开始了值分布论中奇异方向的研究，以后又有b o r e l 方向、t 方向等的出现 使得奇异方向的理论研究也日趋完善但是把奇异方向与分担值两者结合起来考 虑，还没得到广泛研究2 0 0 5 年林伟川提出了一种新的奇异方向，亚纯函数与其 导函数是否还在公共奇异方向上有两个分担值，需要我们去探讨本课题就是在 他的启发下展开研究的 在本文中，我们主要是研究亚纯函数的分担值与奇异方向，分析了分担值与 奇异方向在目前的国内外现状，首先谈一下分担值( 见定义1 2 4 ) 的发展： 1 9 2 9 年，r n e v a n l i n n a 1 证明了著名的5 c m 值定理，这是亚纯函数的一个 唯一性理论的重要结果 1 9 7 9 年，g u n d e r s e n f 2 1 证明了4 i m 4 c m 和3 c m + i i m = 4 c m 数学工作者们在减少公共值的同时并考虑函数与导函数的分担值，又得出不 少成果： 1 9 7 7 年，r u b e l y a n g 【3 1 证明了：设厂为非常数整函数，a ，b 为两个判别的 有穷复数如果a ，b 为厂与厂的c m 分担值，则f 暑f ，于是f ( z ) = c 矿，其中c ( 0 ) 为常数 1 9 7 9 年，m u e s s t e i n m e t z 【4 1 改进了r u b e l y a n g 的定理：设厂为非常数整函 数，a ，b 为两个判别的有穷复数如果a ，b 为厂与的i m 分担值，则f 兰f 1 9 8 0 年，g u n d e r s e n ，m u e s 和s t e i n m e t z 【5 】得到厂和厂分担三个有穷值，则 f 誊f 1 9 9 0 年，杨连中又推广了r u b e l y a n gf 6 1 定理，得到：设厂为非常数整函数， k 为正整数a ，b 为两个判别的有穷复数，如果a ，b 为厂与厂的c m 分担值，则 厂暑f n 1 9 9 2 年，f r a n k s c h w i c k 7 根据b l o s c h 法则，证明了分担三个不同有穷复 数亚纯函数与其导函数的正规族问题 以后还有许多非常数整函数的分担值的研究，从而有关此方向的理论非常完 善同时，数学工作者们又想到把整函数推广到一般的亚纯函数 1 9 8 3 年，m u e s s t e i n m e t z f 8 i 将r u b e l y a n g 的定理推广到亚纯函数，得到：厂 为非常数亚纯函数，a ，b 为两个判别的有穷复数，如果a ，b 为厂与厂7 的c m 分担 值，贝u 厂罩厂 1 9 8 6 年，j a n k m u e s v o l k 髓n n f 9 1 又改进了上述m u e s - s t e i n m e t z 的定理，将 整函数推广到一般的亚纯函数，得到：厂为非常数亚纯函数，a 为异于o 的有穷 复数如果f = a f = a 厂= a ，则f 暑厂 此后，郑稼华一王书培，f r a n k - s c h w i c k 等人的结果使得对分担值的问题研 究日趋深化，函数与导函数的分担值理论也日趋完善 上述是对分担值的简单介绍，下面再谈奇异方向( 见定理2 1 a ) 的发展： 1 9 1 9 年，j u l i a f l 0 1 介绍了j u l i a 方向的概念，开启了奇异方向的研究， 1 9 2 8 年v a li r o nf l l l 介绍了一类更为精确的奇异方向- b o r e l 方向但是 v a li r o n 定义的b o r e l 方向，必须级p o ， 2 0 0 4 年郑建华f 1 2 1 推广了这一概念，提出了t 方向 同时还有许多有关奇异方向的研究，如2 0 0 0 年，p e t e rc h e r n 在文1 0 1 中证 明了零级亚纯函数f ( z ) 与它的导函数厂7 ( z ) 没有公共的b o r e l 方向 目前奇异方向的研究也非常成熟数学工作者又将分担值与例外值等结合来 考虑，像近年来的林伟川和仪洪勋用z a l c m a n 引理结合例外值和分担值得出了许 多有用的结果 但是，把奇异方向和分担值结合起来考虑，还没得到广泛的研究， 2 0 0 5 年，林伟川1 3 1 提出：f 为无穷级亚纯函数，且仃 o o 证明了复平面内 存在一条奇异方向，厂与其导函数厂在这方向所对应的任意小角域内至多有两 个不同的有穷分担值 本文的三个结果就是在林伟研究的基础上展开提出的 1 2 复域上的值分布理论概要 芬兰数学家n e v a n l i n n a 于2 0 世纪2 0 年代创立的亚纯函数值分布论是研究亚 纯函数及分担值和奇异方向的理论基础，因此首先简单介绍一下复域上的值分布 理论 首先约定，本文总是c 用表示复平面，且c = c u a o j 表示扩充复平面 定义1 2 1 对于x 0 ，定义x 的正对数： l o g + x = t 訾乞 竺 n e v a n l i n n a 弓l 入了以下定义1 2 2 的几个函数： 定义1 2 2 设厂( z ) 函数在h r ，( 0 r o o ) 上是亚纯的，对0 ， r ， 2 肌( 枷。芴1 r 。1 0 9 + i 厂( 矿) p 缈， (，)=(竺!垒j警+，l(o，f)l。g， 丙( ，) = ( ! 堕刍型警+ 二( o ，f ) l 。g ， t ( r ，力= m ( r ，力+ ( ，门， 其中n ( r ，门表示函数f ( z ) 在h 厂( 0 ，r 0 0 ) 上的极点个数，且重极点按重数 计算，n ( o ，力表示在原点处极点的重级，当f 0 0 时，则咒( o ，力= 0 n ( t ，力表示f ( z ) 在h r 上极点的个数，且重极点只记一次我们称m ( r ，介为f ( z ) 的均值函数， n ( r ，门，n ( r ，力分别为f ( z ) 的密指函数和精简密指函数，称t ( r ，力为f ( z ) 的特征 函数如果设a 为任一有穷复数，我们可以如上定义厂( z ) 在a 值点的均值函数、密 值函数、精简密指函数、特征函数等，分别记为： m 击m 击) ，_ 击胁，击， 定义1 2 3 设厂( z ) 于开平面亚纯，f ( z ) 的级允与下级分别定义为特征函 数t ( r ，力的级与下级即 名：h m s u p 粤；盟， 。 m g r ：1 i l i l i l l f ! ! 翌：金 7 ”l o g r 定义1 2 4 ：设f ( z ) 与g ( z ) 为非常数亚纯函数，a 为任意复数 ( i ) 如果f = a 声g = a ，则a 称为( z ) 与g ( z ) 的c m 公共值 ( i i ) 如果厂= a 铮g - a ，则a 称为厂( z ) 与g ( z ) 的i m 公共值 n e v a n li n n a 第一基本定理： 定理1 2 1 设f ( z ) 于h r ( 0 0 ) 内亚纯若a 为任一有穷复数，则对于 0 ， r 有 m ，瓦矗) 玎( 咖+ 1 。g 卅嘶，n 其中q 为了 在原点的t a y l o r 展式中第一个非零系数，而 ，i z l a l g ( 口，) l l o g + l a + l 0 9 2 通常将式( 1 1 ) 简写为 m ，击) = m ，厂) + d ( 1 ) 3 在n e v a n l i n n a 第二基本定理的证明中，用到下面的重要的对数导数引理： 定理1 2 2 设厂( z ) 于i z l r ( 0 0 ) 内亚纯若厂( 0 ) o ，o o ，则对于0 ， p r 有 m 争 3 ) 个相互判别的复数，那么 。一2 妒( r ，n 喜承r 7 三卜i ( ，) + s ( r ，门 4 1 3 本文的研究内容与创新 本文研究的内容是无穷级亚纯函数的分担值与奇异方向 在本文的第二、三、四章中，我们从林伟川研究的结论上，推广得到三个有 关无穷极亚纯函数的分担值与奇异方向的结果： 定理1 3 1设厂为复平面上级无穷的亚纯函数，且超级口 ，那么存在 一条方向( 8 ) = z l a r g z = 秽 ，0 9 2 万，在这一方向所对应的任意小角域内f 与 厂至多有两个不同的有穷分担值 定理1 3 ，2设厂为复平面上级无穷的亚纯函数，且超级仃 o o ，那么存在 一条方向( 秒) = z l a r g z = 秒) ，0 秒2 万，在这一方向所对应的任意1 1 , 角域内f 与 厂i ”至多有两个不同的有穷公共值 定理1 3 3 设厂( z ) 为复平面内的无穷级亚纯函数，且超级o ( s ) o o ，而 ( 厂) = ，) + 魄一，卢- 3 ) + 坟一。卜4 ) + + b o f ，其中k 3 ，岛( j - - 0 , 1 ，k - 3 ，k ) 为常数， 且b 。0 ，那么存在一条公共方向a ( e ) = z i a r g z = 臼) ，o o 2 n ，在这一方向对应的 任意小角域内j ( z ) 与l ( 厂) 至多只有两个不同的有穷公共值 5 第二章无穷极亚纯函数的分担值与奇异方向 2 1 引言及其本章主要结果 我们记n ( r ，厂= a ) 作为在复数域中c 的零点的个数，计重数；并且n ( r ，f = 口) ， m ( r ，f = a ) ，t ( r ，n 以及在本章中出现的其他一些符号都与文献中定义的一样 第二部分中，我们主要是介绍一些在证明中过程要用到的定义、引理；本章第三 部分，通过定义的无穷级亚纯函数，完成定理的证明 定义2 1 1 设厂( z ) 为复平面内级名为无穷的亚纯函数，定义其超级为： 仃：l i i i l s u p 型剑 一* l o g r 定理2 1 a 1 4 】设s ( z ) 为复平面上的超越整函数，且存在非零复数c 使s ( z ) 一c 的零点重数2 ，则复平面上存在一条从原点出发的射线o r ( 奇异方向) ，使得 以o r 为分角线的任意小角域内与其导函数至多有一个i m 分担值 定理2 1 b 1 3 】设f ( z ) 为复平面上级无穷的亚纯函数，且超级口( ，) o o ，那 么存在一条奇异方向( 口) = z i a r g z = 臼 ，o p 2 z ，在这一方向所对应的任意小角 域内f ( z ) 与厂( z ) 至多有两个不同的有穷分担值 本章主要是基于定理2 1 b ，得到结论： 定理2 1 1 设厂为复平面上级无穷的亚纯函数，且超级盯 o o ，那么存在奇 异方向a ( o ) = z i a r g z = 乡 ，0 o 2 z ，在这一方向所对应的任意小角域内厂与f 至多有两个不同的有穷公共值 2 2 一些定义与引理 为了证明我们获得的结论，需要用到以下定义和引理 定义2 2 1 设f ( z ) 定义在x ( a ，) = z i 口a r g f f ，o 一口 2 z ) 的亚纯函数 以小班竺f r ( 三r 一多 1 0 9 + 珏) 1 + l o g + l 厂( ) i ) 孚 吃小) = 等r l o g + i f ( e 旧) i s i i l 础一口) d o ( ，门= 2 娜z b ( 六一眵) s i n 蝇叫 l 弧i ，1 i ， o j = 刀- p 一口1 r o o = l b i e 峨是厂( z ) 在i 似，) 上的级点，由n e v a n li n n a 关于 & r ，) = 以，r ，) + 吃，( ，) + e ，r ，f ) 当口：go o 时，可同样定义以，r ，1 f - a ) ，吃，r ，1 f - a ) ，q r ，1 f - a ) ， 鼠，( ，, l f - a ) 我们为了方便还可用a ( r ，口) ，b ( ，口) ，c ( ，口) ，s ( ，口) 代替 以，声( r , 1 f - a ) ，吃，声r ，l 一口) ，q r ，1 f - a ) ，& ，( r , 1 f 一口) 定义2 2 2 设s ( z ) 为a o ：l a r g z l - , o：i a r g z l - a ( a o ) g ) 形领域上的亚 纯函数则 “啦，= 州器卜一以 ，( r ，) ：【萼如 ，( ，a ) 叫a h l f o r s s h i m i z u 特征函数，而( ，f ) ，r ( ，厂) 是定义在整个 复平面n ( r ，a 。，口) 表示厂( z ) 一口的零点，多重只算一次 。 n ( r , a o , a ) ：丙( ，。，厂= 口) 兰f 掣 由定义2 2 1 我们有以下三个性质： 引理2 2 1 设s ( z ) 为石似，励上的亚纯函数，那么对任意有穷复数口，有： s ( r ，口) = s ( ，厂) + s ( ，口) ， 占( ，口) = 0 ( 1 ) 当，寸0 0 时 引理2 2 2 设s ( z ) 为整个复平面上c 的亚纯函数，x ( a ，) c ，则有： 彳( 厂，手) + b ( _ 手) = q ( ，厂) q ( r ，厂) 定义如下： ( i ) q ( ，f ) = d ( 1 ) 当，_ 0 0 ， 兄( 门 0 0 时 ( i i ) q ( r ，f ) = o ( 1 0 9 r t ( r ，门) ，甓e 当，- - o o ，允( 力= 时e 是一个有穷线性 测度集 引理2 2 3 设s ( z ) 为整个复平面上c 的亚纯函数，x ( a ，) c ，则有： 7 ，手) 邶( ，手) = q ( “) q ( r ，厂) 定义如引理2 2 2 此引理由定理1 2 3 和引理2 2 2 容易推得 引理2 2 4 设s ( z ) 为复平面cl - i 函数，x ( a ，) 5c ，那么对g 个不 同复数口l ，a 2 ，a q ，有： ( q - 2 ) s ( ) 喜否( r ，志) + q ( ，n 其中，q ( r ，f ) = o ( 1 0 9 r t ( r ，厂) ) ，萑e ，e 是一个有穷线性测度集，c ( r ，1 f - a , ) 是 厂一q 的零点的精简密指函数，在x r 、 z ：h ，) 内f - a , 的零点只计一次，当呸- 0 0 用否( 厂，力表示此引理可由定理1 2 3 推出 引理2 2 5 设厂( z ) 为复平面c 上的非常数亚纯函数，口。，口2 ，a 3 为三个不同 有穷复数，假设和厂在x ( 口，) ，o 口 f l 2 n ：分担q ( i = 1 ，2 ，3 ) 那么必有 ( i ) f 暑厂， ( i i ) s ( r ，厂) = q ( ，厂) 二者之一必成立 证明假设厂季厂f 与f 分担a i ，a 2 ，呜又设f = i i ( i - a ) ，g = 1 ( 。一口) ， 口口f ( i = 1 ，2 ，3 ) 为有穷复数，显然f 盯”分担o o ，可知聊g 分担1 ( q - a ) ( i = 1 ，2 ，3 ) 和0 ，由引理2 2 4 得： 2 s ( ，g ) 童i = l 石( ，石南 + 石( ，g ) + q ( ，g ) 5c ( 厂，击) + q ( 妒) s ( r , f - g ) + q ( 妒) + 。( 1 ) s ( ，) + s ( ，g ) + q ( ，f ) s ( r ，g ) s ( r ，f ) + q ( ，f ) ， 即 双门双堋+ g 力 ( 2 1 ) 同理 2 即烈击扣吖) 咧吖) 2 c ( r ，厂) + c ( ，厂) s ( ，f ) s ( r ，) + q ( ，f ) = 2 s ( r ，厂) 一s ( r 厂) + q ( ，f ) 毫万( ，古 + 研叫吖) + q ( r 8 由式( 2 2 ) 还可得 c ( ， 南) + - ( ，胪+ q ( “) s ( r 南) + _ ( r 介+ q ( “) s ( ，厂一) + 石( ，厂) 一s ( 厂，厂) + q ( ，- ，s ) 3 石( ，) + q ( ，f ) c ( ，) 否( ，s ) + q p ，f ) ( 2 2 ) c ( ，) c l ( ，厂) + 瓦( 厂，s ) + q ( r ，厂) q ( 厂，厂) + c ( ：( 厂，厂) q ( ，厂) + 瓦( 厂，厂) + q ( ，) c ； ：( r s ) - 瓦( ，) q ( ，厂) 瓦( ，s ) - q ：( ，) 一瓦( 厂，) q ( ，厂) q ：( r ，厂) q ( r ，f ) ( 2 3 ) 由式( 2 i ) 、( 2 2 ) 得 s ( ，s ) s ( ，厂) + q ( ，s ) 3 c ( r ，) + q ( ，f ) ( 2 4 ) 引进辅助函数：h ：了；! ! 盟其中吩( 歹：1 ，2 ，3 ) 为厂和厂一的i m 分 兀( 厂一q ) ( 厂一一口，) 担值，易验证 彳( ，日) + b ( r ，h ) = q ( ，厂) ， 而h 为整函数从而 s ( r ，日) = 么( ，日) + b ( ，日) = q ( ，s ) 又设 g l 南) = c ( ，南媾石卜南 = c ( r ，南垮否( r ，志) c ( 毋c 一射j = lk ，南h ，去 卟舟射，志h ，南 + 2 ( c ( ，小_ ( ，) 蜗l 南) c = 射，南h ，f - - 1a # + 口( 吖， 亿5 ， c 悖麒c l 志h ，志肿，弦6 ， c o ( r ，南) _ q ( ，厂) ( 自2 2 ，2 5 ，2 6 删) ，o - ，o，、 再引入一个辅助i l l 数：j ：乓j 型易验证为全纯函数，从而 兀( 厂一口，) 石( ，；) 司吖) + q ( m 再设 i t g 5 了 由引理2 2 3 易得到 o ( r ，f 7 ) = q ( ，厂) = q ( ，f ) ， a ( r ，) + b ( ，) = q ( ，- ，) = o ( r ，f ) a ( r ，g ) + 曰( ，g ) = q ( ，) = q ( ，f ) ( 2 7 ) 从( 2 2 ) ，( 2 3 ) 式知道，可设为f 的单极点 并设 作) 2 i m + 4 + 4 ( z z o ) + 4 ( z 一气) 2 一 计算得 l o m ) = 一砉( ) 2 一扣“+ 。( ( ) 3 ) g 2 i 2 一( z 一气) + 。( ( z z o ) 2 ) 再设 h = 9 7 + 去9 2 + 3 则 ( z ) = d ( ( z 一) ) 下面分两种情况： ( 1 ) 若h 0 ，由( 2 7 ) 式易推得 a ( r ， ) + b ( 厂，h ) = q ( r ，厂) 而f 的单极点为h 的零点，故有 c ( r ，h ) = q ( r ，) ， s ( r ，h ) = q ( r ，f ) 再由引理2 2 1 得 石( n 厂) c ( ，去) + q ( ，厂) s ( ， ) + q ( ，) = q ( ) 再由( 2 4 ) 式- - f 得 s ( r ，f ) = q ( r ，f ) ( 2 ) 茬：h - o 此时g 必为g ，+ 委g z + 3 = o 的解，作变换g ：2 堡则 “。+ 三“= 0 ( 2 8 ) 及 g = 洲2 ( 2 9 ) 其中c ( o ) 为臧解微分方程孙矿、扩，其中 = 唇小一唇，c l c 2 为积分常数由( 2 8 ) ，( 2 9 ) 知c l o ，c 2 0 ，不失一般性，不妨设 u = e 如( p 2 缸一d ) ， ( 2 1 0 ) 其中d ( o ) 为常数，设z o 为厂的单极点，则u ( z 。) - o ，于是 再由( 2 7 ) ，( 2 9 ) 得 “( z o ) 2 6 d ， 于是m = 石1 与z o 无关，有 如果h 4 8 c 2 d 2 由( ( 2 11 ) ) 式得 从而可得到 c ( “( z o ) ) 2 = 一击， h ( z o ) = 矿3 = 4 8 c 2 d 2 石(，厂)c(，上h-48c2d2)ss ( ，日) + 。( 1 ) = q ( 厂) s ( r ，厂) = q ( ，厂) 如果h 暑4 8 c 2 d 2 从而 c = 射，者h ，去 ) c = 烈，南h ，志 c ( ，厂) = 弓( ，厂) = c ( ，丢) = 。( 厂) 由( 2 4 ) 式可得 c ( r ，厂) = o ( r ) 设乙为厂的单极点，在z = z o 附近 c o ( ，： - - i = 。 作) 5 i m + 以+ 4 ( z z 0 ) + 4 ( z 一气) 2 + e bb - 4 8 c 2 d 2 得m = 石1 ，4 = 三( 4 。+ 吃+ 口，) ，均与无关定义函数 由( 2 1 0 ) 式得 显然有 于是有 v ( z ) ：e 2 缸- d v ( z 。) = 0 ， ( z o ) = 2 a l d ， ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 砟) 2 南+ 三( a ! + a 2 + a 3 ) + c 2 + 口( z ) y ( z ) ( 2 1 3 ) 1 2 其中c l = 尝，c 2 = 鲁，口为整函数由( 2 4 ) 、( 2 1 2 ) 得 三c 己n 4 ( ，厂) + 曰( ，s ) - - o o o g , ) ， 显然有 彳( ，古) + 曰( ，吉) = 。( ) c 2 4 ， 注意到矿= 2 2 r e 2 ：= 2 y + 2 d 由( 2 1 3 ) 式得 f = 1 2 y q 。d 2 18 芦q d 一6 q v + ( 口y ) ，y 一矿2 、， 再由( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 式得 彳( ( 口y ) ) = d ( 1 0 9 r ，) 注意到a v 为整函数，故a v 为多项式设a v = p 其中p 为多项式，则 妒吾 ( 2 15 ) 由( 2 1 5 ) 式知当且仅当p - _ 0 时，口才为整函数于是 口暑。，他) 2 南+ 3 ( a t + a 2 + a s ) + c 2 由此即得 a ( r ，) + 召( ，厂) = d ( 1 ) 再由( 4 ) 式得 s ( r ，厂) = q ( ，厂) 引理得证 由定义2 2 3 和第二基本定理可得： 引理2 2 5 设( z ) 为复平面c 上的亚纯函数，对会上任意三个不同零点 a i , a 2 ，a 3 ，有 s m ) s 3 善乏2 r , a o , a ) + 。( 1 0 9 r ) 耵( 啦) 3 喜丙( 2 r ，o ，q ) + 。( ( 1 0 9 砂 引理2 2 6 设厂( z ) 为复平面c 上的亚纯函数，那么有 i t ( ，厂) 一r ( ，厂) - l o 旷i ：( o ) l l 丢l 。9 2 2 3 定理的证明 定理2 1 1 的证明：反设结论不成立，那么对任意口【o ，2 万) ，存在 ( o ，州2 ) ，f 与f 在x ( 口) 内有三个不同有穷分担值 a 。i ，3 ，z ( 口) = z | i a r g z 一口i 毛 ，因为五( 厂) = ，所以厂厂，对任意角域x ，由 引理2 2 5 我们得到( 口) ( ，厂) = q ( ，厂) 再由引理2 2 1 对任何复数口会，得到 q ( 口) ( 厂，厂= 口) = d ( ，。g ( ，丁( ，川) ，萑吃 ( 2 1 6 ) 也口刀u r 冈明伺乃线任铡发， 另外足义x 【口) l2 z a r g z 一口i 1 ) ，从而有 唰2 m 冲刮l b m 2 r 寿一挎h 州删 镊鼯挎 = 店嘶川训叫t 川训一p 砌h 吐击h 州砒击) = 压 掣叫掣掣一两1 水忡) l 口，) 所以 + ( 2 r ) 2 一f 以( r ，x ( 口) ，口) r 俨1 出) = 斗j 7 掣牲+ 寿r 7 止_ 纠刊 压 产协叫+ 寿小州一矿弋2 一) 也( 嘣( 叭，口) 专，叫+ 专厂1 ) 1 4 ，l ( ，x ( 口) 。，口) = d ( ，毋1 0 9 ，t ( 2 ，川，正 ( 2 1 7 ) 因为【o ，2 万) c 口掣。，( 口一等，口+ 等) ，由开覆盖定理，可选取有限个区间 - 一吼 4 ，a + 飘 4 1 ，0 一s 2 4 ，仅七s 。 吣，b s 强 4 ，仅+ 。 心 这后个区间是紧致的且能覆盖【o ，2 刀) ，e = u ：& 由引理2 2 6 和( 2 17 ) 5 ，对任 何三个复数口夕，j = l ，2 ，3 ，可得： 叫哪纠t 等册封刁 得到 喜 3 喜；( 2 ，( 口一等，口+ 等) ，厂= 口夕 + 。c ，。g ， = d ( 尸l o g ( ，t ( 4 ，纠) ，正e ( 2 1 8 ) ，( ，厂) = d ( ，叶1 1 。g ( ，t ( 4 ，厂) ) ) ，匹e ( 2 1 9 ) 由引理2 2 6 和( 2 1 9 ) 式可得 丁( ，f ) = o ( r m + l1 。g ( ，t ( 4 ，厂) ) ) ，叠e ， e 为一个线性测度可测集，对任意足够大的，存在厂( 厂，2 r ) e ，使得 丁( ，) = d ( ，。+ 11 。g ( ，- r ( 4 ，- ，厂) ) ) = d ( ，毋+ 1l o g ( ，r ( 8 ，) ) ) 这就与力( 厂) = o ot y - , j 舌因为，l i m s u p l o g l o g t ( ，厂) l 。g ， o d ，从而定理得证 1 5 第三章涉及高阶导数的无穷级亚纯函数的 3 1 引言及本文结果 分担值与奇异方向 林伟川证明了复平面内级为无穷且超级o r ( f ) o o 的亚纯函数，存在一条公共 方向( 9 ) = za r g z = 乡) ，o p 2 万，在这一方向所对应的任意小角域内厂( z ) 与 f ( z ) 至多只有两个不同的有穷公共值 第二章中证明了i ( z ) 与二阶导函数厂( z ) 也应具有这样的性质，依此类推， 厂( z ) 与( z ) 是否还具有这样的性质，需要进一步探讨，本文得到以下结论： 定理3 1 1 ：设( z ) 为复平面内的无穷级亚纯函数，且盯( 厂) ，那么存在 一条公共方向( 口) = za r g z - - o ，0 0 2 ，k 为整数) 至多只有两个不同的有穷公共值 3 2 引理 引理3 2 1 ：设( z ) 为整个复平面上c 的亚纯函数，x ，) sc ，则有： ，仕，( i ) 彳o ，上f ) + b ( ，上f ) = q ( ，厂) q ( r ，f 1 定义如下： ( i ) q ( ，f ) = o ( 1 ) 当，专0 0 ，a ( 门 0 0 时 ( ii ) q ( ，f ) = o ( i o g r t ( r ，力) ，芒e 当，专0 0 ，见( 力= 0 0 时e 是一个有穷线性 测度集 此引理由定理1 2 3 和引理2 2 2 容易推得 引理3 2 2 ：设厂( z ) 为复平面c _ k 的非常数亚纯函数，q ，a 2 ，a 3 为三个不同 有穷复数，厂和f ( ) 在x ( 口，) ，( o 口 2 万) 上分担a i ( i = 1 ，2 ，3 ) 那么必有： ( i ) 厂量。) ( ii ) s ( ，f ) = q ( ，厂) 二者之一必成立 证明：假设厂厂与分担a i 口：，口，又设f - 1 ( i 一口) ，g = 1 ( 厂( 一口) ， 1 6 口q ( i - - i ，2 ，3 ) 为有穷复数，显然f 刁g l f 0 分担，可知脚g 分担1 ( q - a ) ( i = l ，2 ，3 ) 和0 ，由引理2 2 4 得： 2 s ( ，g ) 砉虿( r ，石桶 + - e ( ，g ) + q ( ，g ) c ( ，南) + q ( 咿) s ( 妒一g ) + q ( 妒) + d ( 1 ) s ( ，f ) + s ( ，g ) + q ( 厂，f ) 即 s ( r ，g ) s ( ，f ) + q ( r ，f ) s ( r ，) s ( r ，厂) + q ( 厂 ) ( 3 1 同理可得 2 烈，杏扣吖) + q ( “) k c ( ，厂) + c ( 厂，厂) s ( ，”) s ( ，) + q ( ，) = 2 s ( r ，f ) - s ( r ，厂) + q ( ，f ) 主t = l 万( ，7 i ) + 万( ，) 一s ( ，) + q ( r ，厂) 鲥( ，南扣 伊+ q ( ，厂) 鲻( r 南扣，介即+ q ( 厂) s s ( 厂，j k ) - - ) + 否( ，厂) 一s ( 厂) + q ( ，厂) ( 竞+ 1 ) 否( ，厂) + q ( ，f ) 得 c ( r ，厂) c ( ，厂) + q ( ，f ) ( 3 2 ) 由( 3 3 ) 式还可得 c ( r ，f ) c j ( ，) + q ：( ，f ) + q ( ，f ) c ：( ，厂) + c ；：( ，f ) c ；( ，厂) + q ：( ，f ) + q ( 厂，f ) q ：( r , ) - q ：( ，f ) q ( ，厂) q ：( 厂，厂) c ( ：( ，) 一c ( ：( ，厂) q ( ，f ) q ：( r f ) - q p ，厂) ( 3 3 ) 由( 3 1 ) ( 3 3 ) 式得 s ( ，厂( ) s ( ，厂) + q ( ，厂) 3 石( ，厂) + q ( ，厂) ( 3 4 ) 引进辅助函数：日： 竺：盟其中口，( ，：l ，2 ，3 ) 为厂和厂( t ) 的 i m 分 f i (