（信号与信息处理专业论文）基于分数阶fourier变换的lfm类信号doa估计算法研究.pdf

郑州人学硕士论文摘要 2 0 0 7 年5 月 摘要 非平稳线性调频( l f m ) 类信号的波达方向( d o a ) 估计是现代阵列信号 处理领域的一个研究重点，该技术在雷达、声纳、通信等信号处理领域有着十分 广泛的应用。作为一种新型的时频分析工具，分数阶f o u r i e r 变换( f r f r ) 在分 析和处理l f m 类信号时具有很多其他时频分析方法不具备的优良特性。基于此， 本文将f r f t 和阵列信号处理相结合，对l f m 类信号的d o a 估计进行了深入 的研究，主要的工作和创新有以下几个方面： 1 分析了基于f i t f t 的l f m 信号d o a 估计能量聚集算法眇删，利用l f m 信 号在适当的分数阶f o u r i e r ( f l 谭) 域呈现能量聚集的特性，给出了f r f 域观测 信号时不变的方向矩阵，进而在相应的f r f 域由从传统的m u s i c 算法估计出信 号的方向但是，该算法不适用于处理具有相似时频分布的相关l f m 信号，在 产生能量聚集的f r f 域，运用前后项空间平滑技术，提出了一种基于f r f t 的 相关l f m 信号d o a 估计算法。对算法进行了理论推导和仿真实验，该算法能 够准确地估计出相关l f m 信号的波达方向，在处理多个信号源时，不存在交叉 项的干扰：结合传统的矩阵算法，能量聚集算法可以实现了对位于立体空间的二 维d o a 估计，使其更符合实际应用情况，仿真实例验证了算法的有效性。 2 提出了一种基于f r f t 的l f m 信号d o a 估计解线调算法。该算法主要利 用l f m 信号在适当的f r f 域可以被解线调为平稳单频信号的特性，给出了该 f r f 域信号的时不变的方向向量，在相应的f r f 域由传统的m u s i c 算法估计出 信号的来波方向。此外，本文给出了估计误差的理论分析及c r a m e r - r a o 界 ( c r b ) ，并为仿真结果所验证，使得这一方法在理论上更加趋于完善，更具有 工程应用的价值。与基于w i g n e r - v i l l e 分布( w v d ) 的时频空估计算法相比，该 方法无需矩阵插值和汇聚运算，也不需要d o a 的初始估计，在处理多个信号源 时，不存在交叉项的干扰，因而，计算简单且估计精度高。 3 针对广泛应用于第三代移动通信系统中的均匀圆阵，结合解线调算法，提 出了一种基于f r f t 的均匀圆阵d o a 估计算法。在解线调的f r f 域采用模式激 励法，把模式空间的均匀圆阵转化为均匀线阵，结合传统的搜索算法，从而实现 了均匀圆阵的二维d o a 估计。仿真试验验证了算法的有效性，扩展了传统算法 郑州大学硕士论文摘要2 0 0 7 年5 月 的适用范围，使算法有更广泛的实际应用价值。 4 针对色噪声模型和近场信号源模型，对解线调算法进行了推广。由f r f 域 观测信号协方差矩阵估计出白化滤波器，并对观测信号协方差矩阵进行欲白化处 理，利用特征分解的方法实现了色噪声环境中的l f m 信号的d o a 估计。研究 了近场球面波的非线性和f r e s n e l 近似，并把该解线调算法扩展到近场源模型， 实现了i j p m 信号d o a 和距离的二维联合估计。以上两种推广算法均给出了理 论推导和仿真结果，丰富了解线调算法的适用范围。 关键词：d o a 估计；分数阶f o u r i e r 变换；线性调频信号；均匀圆阵：色噪声； 近场源；时频分析 郑州人学硕士论文2 0 0 7 年5 月 a b s t r a c t d i r e c t i o no fa r r i v a l ( d o a ) e s t i m a t i o nf o r n o n - s t a t i o n a r y l i n e a rf r e q u e n c y m o d u l a t i o n ( l f m ) s i g n a lh a sb e e nas i g n i f i c a n tr e s e a r c hp o i n ti i lt h em o d e ma r r a y s i g n a lp r o c e s s i n gf i e l d ，w h i c hi sw i d e l yu s e di nr a d a r , s o n a r , c o m m u n i c a t i o ns y s t e m s f o ran e w l yd e v e l o p e dt i m e - f r e q u e n c ya n a l y s i st o o l ，t h ef r a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r m o 坩- r ) h a sm o p r o p e r t i e sw h i c ha n o tb ep o s s e s s e db ya n yo t h e rt i m e - f r e q u e n c y a n a l y s i st o o l si nt h ep r o c e s s i n go fl f ms i g n a l t h e r e f o r e , c o m b i n i n gt h ef r f rw i t l l a r r a ys i g n a lp r o c e s s i n g , t h ed i s s e r t a t i o ni sf o c u s e do nt h ed o a e s t i m a t i o no fl f m s i g n a lb a s e do nf r f rt h em a i nc o n t r i b u t i o n sa n di n n o v a t i o n so f t h ed i s s e r t a t i o na r c ： i t h ee n e r g y - c o n c e n t r a t e dd o ae s t i m a t i o nm e t h o d 睁跏i si n t r o d u c e d , u s i n gt h e e n e r g yc o n c e n t r a t i o np r o p e r t yo fl f ms i g n a li nac e r t a i nf r a c t i o n a lf o u r i e r ( f r f ) d o m a i nt og e tt h et i m e - i n v a r i a n td i r e c t i o nm a t r i xi nt h a tf r fd o m a i n ，a n ds i g n a l d i r e c t i o nc a nb ee s t i m a t e db yt h et r a d i t i o n a lm u s i ca l g o r i t h m h o w e v e r , t h i s a l g o r i t h mi sn o tf i tf o rc o h e r e n tl f ms i g n a lw h o s et i m e - f r e q u e n c yd i s t r i b u t i o n si s s i m i l a r , c o m b i n i n gw i t l lt h ef o r w a r d b a c k w a r ds p a t i a ls m o o t h i n gt e c h n i q u ei nt h a t f r f d o m a i n ，d o ae s t i m a t i o no f c o h e r e n tl f ms i 印a lb a s e do nt h ef r f ri sp r o p o s e d t h e o r yd e d u c t i o na n dc o m p u t e rs i m u l a t i o nv e r i f yt h ea l g o r i t h mc a ne x a c t l ye s t i m a t e t h ed o ao fc o h e r e n tl f ms i g n a l ，c r o s s - t e r m si sa v o i d e di np r o c e s s i n gt h e m u l t i - c o m p o n e n ts i g n a l s c o m b i n e dw i mt h et r a d i t i o n a ld o a m a t r i xm e t h o d t h e e n e r g y - c o n c e n t r a t e dm e t h o di se x t e n d e dt or e a l i z et h et w od i m e n s i o nd o a e s t i m a t i o n f r o ms o l i di n t e r s p a c e ，w h i c hi sf i tf o rt h ep r a c t i c ea p p l i c a t i o n s i m u l a t i o nr e s u l tt h e m e t h o dt ob ee f f e c t i v e 2 an e wd e - c h i r pm e t h o db a s e do nt h ef r f tf o re s t i m a t i n gd o ao ft h el f m s i g n a li sp r o p o s e db yu s i n gt h ep r o p e r t yt h a tl f ms i g n a lc 孤b ed e - c h i r p e di n t ot h e s i n g l ef r e q u e n c ys i g n a li nac e r t a i nf r fd o m a i n t h et i m e a n v a r i a n td i r e c t i o nv e c t o r i sp r e s e n t e di nt h ec o r r e s p o n d i n gf r fd o m a i n , t h ed o ao fl f ms i g n a lc 锄b e e s t i m a t e db yt h et r a d i t i o n a lm u s i cm e t h o d a d d i t i o n a l l y , t h et h e o r yd e d u c t i o na n d c r a m e r - r a ob o u n da r oa l s op r o v i d e da n dv e r i f i e db yt h es i m u l a t i o nr e s u l t st h u s h i 郑州大学硕：l 论文 2 0 0 7 年5 月 m a k e st h i sm e t h o dm o r er e l i a b l ei nt h e o r ya n di np r a c t i c e c o m p 砌w i t ht h ed o a e s t i m a t i o na l g o r i t h m sb a s e d0 1 1t h ew i 印e r - l l ed i s 伍b u t i o n ( w v d ) ，t h i sm e t h o d a v o i d sf o c u s i n ga n di n t e r p o l a t i o n , a n dn e e d sn oi n i t i a ld o ae s t i m a t i o n s ot h i s a p p r o a c hh a sg o o de s t i m a t ep e r f o r m a n c e 稍t l ll i t t l ec o m p u t a t i o nc o m p l e x i t y , a n df o r m u l t i - s o u r c e , t h e r e 玳n oc r o s s - s t e m s 3 i na l l u s i o nt ot h eu n i f o r mc i r c u l a ra r r a y ( u c a ) w h i c hi sw i d e l yu s e di nt h e 血d m o b i l ec o n n n u n i c a t i o ns y s t e m , c o m b i n gw i t ht h ed e c h i r pm e t h o d ，a l la l g o r i t h mf o r d o ae s t i m a t i o nb a s e do nt h ef l u 可u s i n gu c ai sp r o p o s e d t h em o d ee x c i t a t i o n - b a s e db e a m f o r m i n gi si n t r o d u c e di n c o r r e s p o n d i n gf r fd o m a i n , w h i c h c a n t r a n s f o r mt h eu c ai n t ot h eu n i f o r ml i n e a ra r r a y ( u l a ) i nt h em o d es p a c e , a n d t w o - d i m e n s i o nd o ac a nb ee s t i m a t e db yt h et r a d i t i o n a ls e a r c h i n gm e t h o d t h e m e t h o di sv e r i f i e dt ob ee f f e c t i v eb yt h ec o m p u t e rs i m u l a t i o n s ，m e a n w h i l ee x t e n dt h e a p p l i c a t i o nr a n g eo f t r a d i t i o n a lm e t h o da n dm a k eo u rm e t h o dt ob ee x t e n s i v ep r a c t i c a l v a l u e 4 t h ed e c h i r p e dm e t h o di se x t e n d e di n t ot h eu n k n o w nc o l o r e dn o i s em o d e la n d n e a r - f i e l ds o u r c em o d e l f o rt h ec o l o r e dn o i s ee n v i r o n m e n t , t h ew h i t i n g - f i l t e ri s e s t i m a t e db yt h ec o v a r i a n c em a t r i xo ft h eo b s e r v e ds i g n a l si nt h ed e - c h i r p e df i 心 d o m i a n , a n dc o v a r i a n c em a t r i xi st r a n s f o r m e di n t ow h i t en o i s ec o v a r i a n c eo n eb y p e r - w h i t i n gp r o c e s s i n g , t h ed o a o f l f ms i g n a li nt h ec o l o r e dn o i s ee n v i r o n m e n tc a n b ee s t i m a t e db yt h ee i g e n v a h ed e c o m p o s e dm e t h o d f o rt h en e a r - f i e l ds o u r c e s ，t h e n o n - l i n e a rp c o p e r t ya n df r e a n e la p p r o x i m a t i o no ft h en e a r - f i e l ds p h e r i c a lw a v ea r e a n a l y z e di n t h es a m ed o m m na n dt h ed e - c h i r pm e t h o dc a nb ee x t e n d e di n t ot h e n e a r - f i e l dm o d e , t h 盯e f o r et h et w o - d i m e n s i o nj o i n te s t i m a t i o n sf o rd o aa n dd i s t a n c e o fl 】f ms i g n a l sc a nb ea c c o p l i s h e d t h et h e o r yd e d u c t i o na n dc o m p u t e rs i m u l a t i o n a b o v et h et w oe x t e n d e da l g o r i t h ma r ep r o v i d e dt ov e i l 匆t h ev a l i d i t y , m e a n w h i l et h e a p p l i c a t i o nr a n g eo f d c - c h i r p e dm e t h o di se n r i c h e d k e y w o r d s ：d o ae s t i m a t i o n , f r a c t i o n a l f o u r i e rt r a n s f o r m , l i n e a rf r e q u e n c y m o d u l a t i o ns i g n a l ，u n i f o r mc i r c u l a ra r r a y , u n k n o w nc o l o r e dn o i s e ，n e a r - f i e l d5 0 u l c , t i m e - f r e q u e n c ya n a l y s i s i v 郑州大学硬士论文第一章绪论2 0 0 7 年5 月 第一章绪论 1 1 课题研究背景及意义 阵列信号处理是现代信号处理的一个重要分支，作为空间谱估计重要分支的 波达方向( d i r e c t i o no f a r r i v a l ，d o a ) 估计阵列测向技术【1 l 是阵列信号处 理领域的一个重要研究方向，该技术在雷达、声纳、地震探测、导航、移动通信 等阵列信号处理领域中有着十分广泛的应用。d o a 估计的主要问题是如何从背 景噪声中估计出信号的方位。该技术的关键在于利用处于空间不同位置的天线阵 列。接收多个不同方向信号源的信号，运用现代信号处理方法快速、商精度的估 计出信号源的来波方向【2 】。 线性、平稳性、高斯性是传统的信号与信息处理的三个基本假设，然而，许 多天然的或人工信号，如语音、生物医学信号、雷达和声纳信号都具有明显的非 平稳性，其中广泛存在的是以线性调频( l i n e a rf r e q u e n c ym o d u l a t i o n , l f m ) 类 为代表的非平稳信号。传统的高分辨d o a 估计算法都是在假设观测信号是平稳 信号的前提下提出的，对于l f m 类非平稳信号已不再适用。时频分析是处理非 平稳信号的一种重要方法，利用经典的w i g n e r - v i l l e 分布( w i g n e r - v i l l e d i s t r i b u t i o n , w v d ) 3 - 4 1 ，人们提出了很多非平稳信号的d o a 估计算法。比较具 有代表性的研究工作有gw a n g 等的相位补偿d o a 迭代估计方法【5 l 和a b g e r s h m a n 的时频一相干信号子空间方法t 6 - 7 1 等。gw a n g 的方法采用常规的时频 分析方法估计信号的调频率，并以循环迭代的方法重建信号的调频结构。但是， 这种方法需要来波方向的初始预估计以初始化迭代过程，这就导致严重的有偏估 计，并且迭代过程的全局收敛性能得不到保证。参考h w a n g 的频率平滑 s l 和b f r i e d l e n d e r 的插值矩阵 9 1 ，g e r s h m a n 的方法将频率平滑和插值汇聚应用到空间时 频矩阵肛1 ，有效的估计出了l f m 信号的波达方向。但是，算法采用了简化的阵 列模型，存在模型误差，插值区间的选取和矩阵插值过程也存在一定的难度，稳 健性不好，且计算复杂。同时，上述方法均采用w v d 对信号进行处理，其最佳 窗函数长度的选取存在一定的难度，并且当处理多个信源时，存在交叉项干扰， 郑州大学硕士论文第一章绪论 2 0 0 7 年5 月 降低了信号的时频聚集性，影响估计精度。 分数阶f o u r i e r 变换( f r a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r m ，f l t f t ) 是一种新的时频 分析工具【l 川，可以看成传统的f o u r i e r 变换的推广，特别适合于处理瞬时频率呈 线性变化的l f m 类信号。信号的f r f t 可以解释为信号在时频平面内将坐标轴 绕原点逆时针旋转任意角度后构成的分数阶f o u r i e r ( f r a c t i o n a lf o u r i e r , f r f ) 域 上的表示方法【l l 】。在适当的f r f 域，l f m 信号的能量呈现高度聚集，这为信号 与干扰、噪声的分离提供了可斛埘，成为信号估计的一个出发点，此域称为能量 聚集f r f 域。在另一个适当的f r f 域，l f m 信号被解线调为单频信号，这为信 号的估计、检测提供了另一个出发点，此域称为解线调f r f 域。此外，f r f t 还 有以下优点：一可以借助于f f t 来实现，因此计算简便；二f r f t 是一种一维 的线性变换，在处理多分量信号时可避免交叉项的干扰因此，在d o a 估计中 采用f r f t 对非平稳l f m 信号进行处理，比采用基于w v d 的矩阵插值算法具 有更好的性能，更小的计算量目前，基于f r f t 的l f m 类信号d o a 估计技术 还很不成熟，国内相关的研究文献还很少。而且，这些基于f i l f t 的d o a 估计 算法有的只是利用f r f t 进行信号分离，在对信号进行d o a 估计时采用的仍然 是基于w v d 的矩阵插值算法；或者仅从f r f t 的能量聚集性角度考虑，容易受 到环境干扰的影响。因此，研究基于f r f t 的l f m 信号d o a 估计。以及与之相 关的估计精度问题、分辨率问题、抗干扰问题等，具有重要的理论价值和现实意 义。本文利用l f m 信号在两个不同的f r f 域分别呈现能量聚集和解线调的特性， 对l f m 类信号的d o a 估计进行了深入的研究。 1 2d o a 估计技术的研究现状 高分辨率阵列信号处理的出现可追溯到六十年代j e b u r g ( 1 9 7 6 年) ”】提出的 最大熵谱估计方法和j c a p o n ( 1 9 6 9 年) 【1 4 】的最小方差谱估计方法。而最近二十多 年则是阵列信号处理发展迅猛的时期，出现了大量优秀的阵列信号处理算法，其 中r o s c h m i t ( 1 9 8 6 年p 5 疑出的m u s i c 算法开创了子空间类阵列信号处理算法 研究的先河，可视为阵列信号处理算法研究中的一个里程碑。子空间类算法通过 对数据矩阵的奇异值分解或空间协方差矩阵的特征分解来获得信号子空间和噪 声子空间，然后利用阵列流形矢量和子空间的关系来构造各类信号参数估计算 2 郑州大学硕士论文第一章绪论 2 0 0 7 年5 月 法，突破了过去谱估计算法中阵列孔径对参数估计性能的瑞利限制而成为超分辨 算法的开端。后来，p a u l r a j t 6 】等人提出的e s p r i t 方法又为特征结构法的研究翻 开了新的一页，该方法利用信号子空间的旋转不变特性来估计信号参数，避免了 m u s i c 算法因需要一维搜索而带来的大量计算，同时在一定程度上降低了算法 对硬件的要求。常用的基于特征结构的谱估计方法还有最小范数法、r o o t - m u s i c 法l 切、加权子空间拟合法( w s p l 3 】) 以及基于多维搜索的最大似然( m “1 9 - 2 0 1 ) 方法等时至今日，可以说关于d o a 估计的基本理论和基本算法已经相当成熟。 但是，实际的应用系统还十分罕见，其原因是大部分超分辨方法的优良性能都是 在理想的信号源及噪声模型下取得的，而在实际应用中，这些理想条件总是难以 满足信号环境、误差背景复杂多变，在系统存在多种误差情况下其性能变得很 坏，因而探索非理想条件下更有效，更稳健的方法也是高分辨率方法走向实际应 用的关键。 目前，d o a 估计算法的研究仍处于高速发展之中。主要研究领域主要集中 在以下几个方面： ( 1 ) 相关信号源的空间谱估计。传统的高分辨阵列信号参数估计方法都是假设 信号源是相互独立的，但是由于多径传播及人为干扰等原因，阵元接收到来自不 同方向的信号可能是相关的，这时，传统的高分辨d o a 估计方法就不再适用。 为了解决这种相干信号的d o a 估计问题，人们采取了一系列方法对信号进行去 相关处理，经典的算法如空间平滑算法【2 1 。2 5 】、空域滤波算法 2 6 - 2 7 、前后向线性预 测算法【姐】、基于高阶累积量的估计算法 2 9 - 3 0 l 等。 ( 2 ) 宽带信号源的d o a 估计。最初的高分辨阵列信号参数估计方法都是基于 窄带信号源的假设提出的，然而，实际应用中接收到的信号往往是以l f m 类信 号为代表的宽带信号宽带源的相关处理方法是引入了聚焦的概念，通过聚焦， 将各个频率点上的观测量在某一子空间上对齐，得到聚焦合成的观测量，并由此 进行信号方位估计。著名的相干信号子空间法( c s m 法) 3 1 1 就是应用聚焦矩阵将 各个窄带互谱密度矩阵对应的信号子空间聚焦到参考频率上，然后对各个聚焦后 的窄带互谱密度矩阵进行平均，得到聚焦平均的协方差矩阵，从而实现了宽带信 号的d o a 估计c s m 法具有较好的估计精度，较低的分辨门限，而且聚焦交换 相当于频域平滑，使得c s m 方法能够分辨相干源。但是该方法要求有一个初始 郑州大学硕士论文第一章绪论 2 0 0 7 年5 月 方向估计和预选的聚焦频率来确定聚焦矩阵，易受信号的影响；为此，出现了各 种聚焦矩阵的计算方法1 3 2 - 3 7 1 ，以提高估计性能。 ( 3 ) 多维参数联合估计。实际环境中，信号源处于立体空间，它们的波达方向 要用矢量角表示；为了提高估计精度和处理效率，研究空问信号的方位、俯仰二 维到达角、频率方向乃至频率方向极化等多维参数联合估计成为发展的必然趋 势瑚9 l 。信号- - 维方向角估计方法主要分为两类：一种是已成熟的一维谱估计方 法的推广，如二维最大熵 4 0 1 、二维m u s i c 樊劓l 及二维最大似然【4 2 l 等方法这些 方法都存在诸如二维谱峰搜索、非线性优化、分维处理及参数配对等难题，且计 算量大，精度不高。另外一种是直接针对二维谱提出的方法，如d o a 矩阵法【躬i ， 时空d o a 矩阵法l 等 ( 4 ) 非平稳信号的d o a 估计上述高分辨d o a 估计算法都是建立在假设信 号源是平稳的基础上，不适应现代信号处理以非线性，非高斯、非平稳信号为分 析和处理对象的发展趋势要求。为此，人们尝试将时频分析方法与阵列信号处理 相结合，充分利用非平稳信号的时频域信息提高空域处理算法性能，并进而实现 非平稳信号时频空多维参数联合估计。a b e l o u c h r a n i 和m a m i n 等提出基于 c o h e n 类二次型时频表示的盲分离技术以及时频- - m u s i c 高分辨d o a 估计方 法，使得这一领域的研究引起了人们的重视。一些传统的阵列测向方法相继被拓 展到时频域，如时频- - e s p l u 一悯、时频一最大似然【4 6 1 、时频一信号子空间拟合 m 等，形成了新的阵列信号参数估计方法理论体系。这类方法的共同思想在于使 用空间时频分布( s p a t i a lt i m e - f r e q u e n c yd i s t r i b u t i o n s ，s t f d ) 4 0 1 矩阵取代传统 的阵列协方差矩阵进行后续空域参数估计处理，因而该类算法具有信号选择性以 及更好的分辨力、过载能力、抗干扰能力和抗噪声能力等。 此外，还有特殊信号的d o a 估计、模型未知或存在误差的d o a 估计和 特殊阵列的d o a 估计等。 f r f t 作为一种新型的时频分析工具应用于d o a 估计，目前为止研究的作 者和成果还不多，比较有代表性的工作是文献 4 9 - 5 0 1 提出了一种基于f r f t 的 l f m 信号的d o a 估计能量聚集算法。但是，该算法仅利用了时频汇聚的峰值点 信息，实际应用中，容易受到噪声干扰的影响。此外，算法不适合处理相关l f m 信号模型。 郑州大学硕士论文第一章绪论2 0 0 7 年5 月 1 3 本文主要工作和章节安排 本文的正文部分共分为五章，其余各章的主要内容安排如下： 第二章介绍了f r f t 的相关理论知识以及其特性首先给出了f r f t 的定义 及其典型性质及离散算法；然后，分析了f r f t 与w v d 变换的关系以及两个特 殊的f r f 域，这两个域也是本文d o a 估计算法提出的基本出发点；最后，分析 了高斯白噪声f r f t 的性质。 第三章分析了基于f r f t 的多分量l f m 信号d o a 估计能量聚集算法 4 9 - s 0 1 。 针对具有相似的时频分布的相关信号源，利用前后向空间平滑技术对算法进行了 改进，提出了一种基于f r f t 的相关l f m 信号d o a 估计算法。为了解决l f m 信号的二维d o a 估计问题，将f r f t 与d o a 矩阵法相结合，对能量聚集算法 进行扩展，提出了一种基于f r f t 的l f m 信号的二维d o a 估计算法。对上述提 出的几种算法，本章均给出了理论分析和仿真实例，本章提出的能量聚集类改进 和扩展算法都具有很好的估计性能，能够很好的估计出相应l f m 信号的波达方 向，且计算简单，计算量少 第四章提出了一种基于f r f t 的l f m 信号d o a 估计解线调算法。利用l f m 信号在适当的f r f 域可以被解调为单频信号的特性，定义f r f 域信号的时不变 方向向量，从而采用传统的m u s i c 算法实现了l f m 信号d o a 估计。此外，还 给出了算法的估计误差的理论分析及c r a m e r - r a o 界【射】( c r a m e r - r a ob o u n d , c r b ) 。针对广泛应用于第三代移动通信系统中的均匀圆阵，对解线调算法进行 扩展，提出了一种基于f r f t 的均匀圆阵d o a 估计算法。在对应的f r f 域采用 模式激励法，把模式空问的均匀圆阵转化为均匀线阵，从而可采用传统的搜索算 法可以解决二维d o a 估计的问题。针对色噪声模型，由f r f 域观测信号协方差 矩阵估计出白化滤波器，并对观测信号协方差矩阵进行欲白化处理，实现了色噪 声环境中的l f m 信号的d o a 估计。针对近场源模型，研究了近场球面波的非 线性和f r e s n e l 近似，实现了l f m 信号d o a 和距离的二维联合估计。 第五章是总结与展望。这一章对论文的研究工作进行了全面的总结，探讨了 相关技术的未来发展方向，并对需要进一步研究的有关问题提出了看法和建议。 5 郑州大学硕士论文第二章f r f t 及特性分析2 0 0 7 年5 月 第二章分数阶f o u r i e r 变换及特性分析 回顾信号处理的发展史，f o u r i e r 变换是信号处理领域的一个重要里程碑，传 统f o u r i e r 变换将信号分解为一系列复指数正交基，适合于描述频谱不随时间变 化的平稳信号。在对非平稳随机信号进行分析时，根据“不确定性原理”原理， 传统的f o u r i e r 变换处理能力遇到了瓶颈。f r f t 是一种广义的f o u r i e r 变换，它 以l f m 信号作为时变信号的分解基函数，特别适合于分析处理l f m 类信号。和 f o u r i e r 变换一样，f r f t 作为一种新的信号处理工具，直到快速分解型算法出 现以后，才被广泛应用于时频分析、非平稳信号处理、人工神经网络、多路传输、 小波变换等研究领域。 2 1f r f t 的定义、性质及离散算法 2 1 1f r f t 的定义 1 9 8 0 年vn a m i a s 首先从数学的角度提出了f 呵的定义【1 0 1 ，信号的哪 可以解释为信号在时频平面内坐标轴绕原点逆时针旋转任意角度后构成的f r f 域上的表示方法【1 “。如果信号的f o u r i e r 变换可看成将其由时问轴上逆时针旋转 # 1 2 后到频率轴上的表示，则f r f t 可以看成是将信号在时问轴上逆时针旋转角 度口到“轴上的射线表示，如图2 1 所示。 y j 守 ， a 。 d 7 图2 1 分数阶f o u r i e r 变换的定义 6 郑州大学硕士论文第二章f r f t 及特性分析2 0 0 7 年5 月 信号x ( o 的m 定义为： ( “) = ，【雄) 】= 亡m ) 巧( f ，“) a t ( 2 - 1 ) 式中，p 为f r f t 的阶数，可以为任意实数，周期为4 ，口= p a 2 ，f 【】为f r j 呵 的算法符号，( f ，“) 为f r f t 的变换核，如下式所示： k p ( t ，) = 降唧( ，1 2 + 2 u 2 一m 雠口) 舸 8 ( t - u ) , 口= 2 n x( 2 2 ) a ( t + “) 口= ( 2 n 1 ) 露 根据定义，f i 岍的逆变换为角度口= 一p 月r 1 2 的f r f t ，即： 工( f ) = e 4 ( “) 赶，( f ，”) d u ( 2 3 ) 由( 2 - 3 ) 式可以看出，信号加) 被分解为u 域上一组正交l f m 基的线性组 合，1 l 域一般称为f r f 域，它既包含时( 空) 域信息同时也包含频( 谱) 域信息。 从本质上说，f 黜可可以看作一种时频分析方法，时域和频域只不过是f r f 域的 特例。 2 1 2 分数阶f o u r i e r 变换的性质 f r f t 作为时频平面内的一种坐标角度旋转算子，具有许多重要性质。为便 于后文引用，这里列出最基本和最常用的几个性厨5 2 l ： ( 1 ) 线性性质 若f 9 【正( f ) 】是原函数z ( f ) 的p 阶f i t f t ，则有 f 9 【e 。q z ( f ) 】- e 。c f 9 【z ( f ) 】( 2 - 4 ) 其中，q 是任意复常数，n 是任意整数。 ( 2 ) 旋转相加性 f f = f n + ( 2 5 ) 7 郑州大学硕士论文第二章h 町及特性分析2 0 0 7 年5 月 特别地，p 1 l 厂( f ) 】是f 9 叭州的f o u r i e r 变换，f 川【邝) 】是，9 【八f ) 】的f o u r i e r 反变换。 ( 3 ) 时移特性 f x ( t - o l = e x p ( j 盯2s i n a c o s a ) e x p ( - 2 ，r u r s i n a ) x m ( u - r c o s a ) ( 2 - 6 ) 其中，以m ) 是加) 的f r f t ，口= p t r l 2 。 ( 4 ) 频移特性 f 【h f ) 】= 乃0 一vs i n 口) 髓p 【o ( 哥s i n a c o s a + u v c o s a ) l i p - ( 2 - 7 ) ( 5 ) 常见的一种l f m 类信号f r f t 川砂，= 压等酬譬筹兰， 协s ， ( 6 ) p a r s e v a l 关系式 e x ( f ) j ，( f ) 出= c ) r p 胁 ( 2 - 9 ) 由此可以推出f r f t 具有能量守恒的特性 c i f ) j 2 出= c k ( “) j 2 幽 ( 2 l o ) f r f t 的其它重要性质如尺度性、微分特性、积分特性等可参见文献 5 2 1 。 2 1 3 离散分数阶f o u r i e r 变换及其数值计算 在实际的工程应用中，我们要处理的往往是数字信号，因此研究离散形式的 分数阶f o u r i e r 变换( d f r f r ) 及其快速算法尤为重要。近年来，国内外学者提 出了多种d f r f t 的定义及快速方法。本文的研究中选用由土耳其科学家hm o z a k t a s 提出的分解型快速算法【踊，该算法可将f r f t 分解为信号的卷积形式， 并利用f f t 实现，计算复杂度较低，与f f t 几乎相当，其计算结果与连续的f r f t 输出比较接近，非常适合对信号进行实时的f r f t 数值计算。但是，这种快速算 法的运算机理决定了在进行f i t f t 数值计算之前必须先对原始信号进行量纲归 一化处理，其原理如图2 - 2 ，在此不作赘述。 郑州大学硕士论文第二章p r f r 及特性分析 2 0 0 7 年5 月 y 缸t ，、 上、 图2 - 2 归一化后信号的时频支撑区域 采用量纲归一化的离散分数阶f o u r i e r 变换定义为： 乃( 垆乒孕唧防酬彬 e 缸f ) e x p 防唧( e x p 【一彻酬酬出 ( 2 1 1 ) 假定x ( f ) 的w v d 限定在以原点为中心直径为a x 的圆内若令分数阶次 - 0 5 p 1 5 ，则与l f m 信号乘积后的信x ( t ) e x p 1 x t 2 t 似) 】在频域具有带 宽a x 函数f ) c x p 【弦f 2 c o t ( 叻】可以用s h a n n o n 插值公式表示为： 坤) e x p f l r t 2c 。删= 羔，嗑州学s i n c 【2 嘶一劫( 2 1 2 ) 其中= ( d 2 求和从一到是因为雄) 假定在【一2 ，a x 2 以外为零。将 ( 2 1 2 ) 式代入( 2 1 1 ) 式并交换积分与求和的顺序得到： 舳m 懿，c f i r c o t ( 嘲毫“意m - 【罨孚】 协 e e x p 一j 2 u c s c ( 口) “f 】s i n c 2 a x ( f j 石n ) 协 上式中的积分项等于e x p 【丝篆塑】去酬警】。在o 5 斛5 的范 围内，矩形函数旭d ! 兰；譬竽】在变换函数的支撑区i 卅s 等将总是等于l 。因此可 z 凸x 上 9 郑州大学硕士论文 第二章f l t f r , , j 1 特性分析2 0 0 7 年5 月 以得到： 一( “) = 去羔唧【归州口内 ( ：州) c x p 【丝篆业】e x p 【簪h ( 寺 这样，令= m 1 2 a x ，则离散化后的样本值为： x m 石j ，、 协1 5 ) 去圭c x p 罨垆一1 j 2 j r c s 矿c ( a ) m n + 罨笋 c 帮# 1 1 这是有限求和，使得可利用原函数的离散样本值, 求l i lf r f t 的离散样本值 按上式直接计算的计算量为0 ( 2 ) 。为了使计算量减小为o ( n _ d g ) 上式 可以写作： 一日m 。2 急e x p 掣铲 协 圭唧r 地黜掣】c x p t 迹笋玛x c 南 可以看出( 2 1 6 ) 式的求和实际上是两个信号的卷积运算。该卷积可以用f f t 计 算，计算量为o ( n l o g n ) 。 2 2 两个特殊的f r f 域 2 2 i 理论推导 w v d 是处理非平稳信号的重要工具 5 4 - 5 5 1 ，f i 岍和w v d 之间有一个非常 简单的关系，即f l 岍的w v