（工程力学专业论文）扩展有限元在断裂力学中的应用.pdf

摘要 扩展有限元法是近年来出现的一种在常规有限元框架内求解不连续问题的数 值方法。其原理是在裂尖附近用一些奇异函数和沿裂纹面用跳跃函数加强传统有 限元的基，以考虑跨过裂纹的位移场的不连续性。扩展有限元与传统有限元的根 本区别在于，它所使用的网格与结构内部的几何或物理界面无关，从而克服了在 高应力区和变形区进行高密度网格剖分所带来的困难，模拟裂纹扩展时也无需对 网格进行重新剖分。本文的主要工作如下： ( 1 ) 介绍了断裂力学中的一些基本概念，归纳了应力强度因子的计算方法，给 出了交叉能量积分计算应力强度因子的计算公式； ( 2 ) 研究了扩展有限元和改进扩展有限元的基本原理，对相关公式进行了详细 的推导； ( 3 ) 给出了扩展有限元法模拟裂纹扩展的计算流程图。解决了进行程序设计的 几个关键问题：裂纹位置、数值积分方案的确定，加强结点的选择，荷载施加方 式； ( 4 ) 通过算例进行了应力强度因子的计算，确定了程序中的一些重要参数；模 拟张开型裂纹以及拉剪复合型裂纹的扩展。算例表明，利用改进扩展有限元计算 裂纹问题，不需要进行网格的过密划分，在裂纹扩展后不需要进行网格重构，节 省了大量的时间，且计算结果具有相当高的精度。 近场 关键词：扩展有限元、改进扩展有限元、应力强度因子、裂纹开展、裂尖渐 a b s t r a c t t h ee x t e n d e df i n i t ee l e m e n tm e t h o df x f e m ) i san u m e r i c a lm e t h o df o rm o d e l i n g d i s c o n t i n u i t i e sw i t h i nas t a n d a r df i n i t ee l e m e n tf r a m e w o r k t h ep r i n c i p l eo fx f e m c o n s i s t si ne n r i c h i n gt h eb a s i so ft h ec l a s s i c a lf i n i t ee l e m e n tm e t h o db ys o m es i n g u l a r f u n c t i o n sa r o u n dt h ec r a c k 卸a n db yas t e pf u n c t i o na l o n gt h ec r a c kl i n et ot a k ei n t o a e e n u n tt h ed i s c o n t i n u i t yo ft h ed i s p l a c e m e n tf i e l da e l o s st h ec r a c k t h em a j o r d i f f e r e n c eb d h v e e nx f e ma n dt h ec o n v e n t i o n a lf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( c f e m ) i st h a t t h em e s hi nx f e mi si n d e p e n d e n to f t h ei n t e r n a lg e o m e t r ya n dp h y s i c a li n t e r f a c e s ，s u c h t h a tm e s h i n ga n dr e - m e s h i n gd i f f i c u l t i e si nd i s c o n t i n u o u sp r o b l e m sc a nb eo v e r c o m e t h em a j o rc o n t e n t sa r ea sf o l l o w s ： ( 1 ) t h es e v e r a lb a s i ct h e o r yo ff r a c t u r em e c h a n i c sa n dt h em e t h o do fs t r e s si n t e n s i t y f a c t o r s ( s i f s ) 撒i n t r o d u c e d , i m p l e m e n t a t i o n sf o r m u l a t i o no fi n t e r a c t i o ne n e r g y i n t e g r a l sa l es u g g e s t e d t oc o m p u t es i f si nx f e m ( 2 ) t h ee l e m e n t a r yt h e o r yo fx f e ma n dt h ei m p r o v e dx f e ma r ei n t r o d u c e d i m p l e m e n t a t i o np r o c e d u r e sa n df o r m u l a t i o n so f t h ex f e m a r ed e s c r i b e di nd e t a i l ( 3 ) t h ec o m p u t a t i o nf l o wc h a r tw h i c hx f e ms i m u l a t ec r a c kg r o w t hi sp r e s e n t e d s o m ec r i t i c a lp r o b l e mo fp r o g r a m m i n gh a v es o l v e d ，s u c ha st h el o c a t i o no fc r a c k , t h e q u a d r a t u r es c h e m e , t h ee n r i c h e dn o d eo f c r a c kt i pa n dt h el o a d i n ga p p l i c a t i o np r o b l e m ( 4 ) t h r o u g he x a m p l eh a v ec a r r i e do ns i f sa n dd a e r m i n e ds o m ep a r a l i l e t e r sa n d s i m u l a t e dc r o c kg r o w t ho fm o d eip r o b l e ma n dc o m p o u n do fia n di ip r o b l e m i ti s v e r i f i e dt h a ta p p l i c a t i o no f t h ei m p r o v e dx f e mt of r a c t u r em e c h a n i c sn o to n l yr e l a x e s t h ep r o h i b i t i v er e q u i r e m e n t sf o rm e s hd e n s i t ya n dc r a c kg r o w t hw i t h o u tr e m e s h i n g ，b u t a l s os a v et h ec o m p u t a t i o nt i m ea n dc a no b t a i nt h eq u i t eh i g hp r e c i s i o n k e y w o r d ：t h ee x t e n df i n i t ee l e m e n tm e t h o d 、t h ei m p r o v e de x t e n df i n i t ee l e m e n t 、t h e s t r e s si n t e n s i t yf a c t o r s 、c r a c kg r o w t h 、c r a c kt i pa s y m p t o t i cf i e l d s 学位论文独创性声明： 本人所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工 作的同事对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意。如不实，本人负全部责任。 论文作者( 签名) ： 晶纱净勿月r 日 学位论文使用授权说明 河海大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、中国学术期 刊( 光盘版) 电子杂志社有权保留本人所送交学位论文的复印件或电 子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文 档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允 许论文被查阅和借阅。论文全部或部分内容的公布( 包括刊登) 授权河 海大学研究生院办理。 论文作者( 签名) ：3凸勿0 7 年月歹日 第一章绪论 1 1 研究背景及意义 第一章绪论 断裂力学是最近半个世纪才发展起来的一门新兴科学，它是对经典连续介质 力学的一个重要贡献。断裂力学主要研究带裂纹固体的强度和裂纹传播的规律， 它的主要任务是研究裂纹尖端应力应变情况，掌握裂纹在荷载作用下的扩展规律， 了解带裂纹体的承载能力，从而提出抗裂纹设计方法，以保证构件的安全工作i l 】。 断裂力学产生于人们对各种工程断裂事故的思考。为了避免断裂事故，人们 与之进行了长期的、艰苦的和卓有成效的斗争。起初凭经验，后来发展成为理论。 在断裂力学出现以前，传统的控制构件不发生断裂而能够安全工作的理论，称为 强度条件或安全设计，其基本思想是保证构件的工作应力不超过材料的许用应力， 即 t l r 纠 安全设计对确保构件安全工作起了重大作用，至今仍然是必不可少的。但人 们在长期的生产实践中，逐步认识到在某种情况下，“安全设计”设计出的构件并 不安全，断裂事故仍不断发生，特别是对于高强度材料构件，焊接结构，处在低 温或腐蚀环境中的结构等，断裂事故就更加频繁。例如，1 9 3 8 1 9 4 0 年比利时阿 尔伯运河上几座大桥的断裂；1 9 4 3 1 9 4 7 年美国5 0 0 0 余艘焊接船竟然连续发生 了一千多起断裂事故，其中2 3 8 艘完全毁坏；1 9 4 9 年东俄亥俄煤气公司的圆柱形 液态天然气罐爆炸使周围街市变为废墟。这些接连不断的工程断裂事故引起了人 们高度的警觉，这些事故发生在工作应力低于材料的屈服极限的条件下，用传统 的安全设计观点是无法解释的。从大量断裂事故分析中发现，断裂皆起源于构件 有缺陷。传统的设计思想的一个严重问题是把材料视为无缺陷的均匀连续体，而 实际上构件总是存在着形式不同的缺陷，因而实际材料的强度大大低于理论模型 的强度。断裂力学正好弥补了传统设计思想的不足。 根据国际坝工委员会( i c o l d ) 1 9 8 8 年所作关于大坝工作状态的调查报告， 在失事的2 4 3 座混凝土坝中，有3 0 座是由裂纹问题而引起的。我国曾对9 8 座大 中型水电工程进行耐久性调查，结果发现7 0 大坝存在不同程度的裂纹。混凝土 坝存在各种类型的裂纹，裂纹的存在和扩展，使大坝的承载力受到一定程度的削 l 河海大学硕士学位论文 弱，同时还会引起坝体渗漏、加速混凝土碳化、降低混凝士抵抗各种侵蚀性介质 的耐腐蚀性能力等，甚至危害大坝的正常运行或缩短大坝使用寿命，因此裂纹问 题是影响工程结构质量和耐久性的重要因素之一。结构中裂纹的存在并不可怕， 可怕的是裂纹的发展问题，因此研究裂纹的稳定性、预测裂纹的发展是评估结构 的安全性、可靠性和耐久性必不可少的重要内容和关键技术。 1 2 断裂力学的研究现状 断裂力学的基本概念最早是英国物理学家g r i f f i t h 于1 9 2 0 年在对玻璃的断裂 研究中提出来的。c j r i f f i t h 用材料内部有缺陷( 裂纹) 的观点，解释了材料实际强度 仅为理论强度的千分之一的现象，同时认为，裂纹体受载时，如果裂纹扩展所需 的表面能小于弹性能的释放值，则裂纹就扩展并将最后导致断裂。这一理论在玻 璃中得到了证实，但因它只适用于完全弹性体，即完全脆性材料，所以没有得到 发展。由于当时生产力水平的限制，断裂问题还不是一个严重问题。直到第二次 世界大战期间及战后，广泛采用焊接工艺及高强度材料，严重的脆断事故迭起， 断裂问题引起了人们的关注，这方面的研究才蓬勃地开展起来。从文 2 c o 得知， 1 9 4 8 年，i r w i n , o r o w a n 各自独立地提出了修正的g r i f t i t h 理论，指出将裂纹尖端 区塑性功计入耗散能，就能将g r i 街m 理论用到金属材料；1 9 5 6 年，i r w i n 提出了 应力强度因子理论和断裂韧度的新观念，建立了临界应力强度因子准则，认为裂 纹尖端应力强度因子达到临界值时，裂纹就会失稳扩展，奠定了线弹性断裂力学 理论基础；1 9 6 1 年，w e l l s 提出了裂纹张开位移准则；1 9 6 2 年p a d s 提出了疲劳裂 纹扩展公式，开辟了疲劳寿命预测的新领域；1 9 6 2 年d u g d a l e 提出了著名的窄带 屈服区模型；1 9 6 8 年r i c e1 3 1 建立了j 积分原理，提出了j 积分的守恒性； h u t c h i n s o n h ，r i c e 和r o s e n g r e n 提出了弹塑性裂纹尖端h r r 奇异性，为弹塑性 断裂力学奠定了理论基础。在1 9 6 1 年，k a p l a n 首次将断裂力学概念应用于混凝 土，并进行了混凝土断裂韧度的试验。 现场观测与试验表明，在断裂力学的研究中，裂纹的起裂并非意味着试件或 材料体的破坏。因此，对裂纹的扩展过程的研究就显得更加重要。研究裂纹的起 裂或裂纹模拟裂纹的扩展一般采用数值方法，目i j 比较有代表性的数值分析方法 为：有限单元法、边界元、离散单元法、界面元、不连续变形分析方法、流形元、 2 第一章绪论 无网格法等。这些方法都可以分析静态裂纹问题，只是复杂程度不同而已，但均 不能理想地解决动态裂纹问题。 有限元法是目前最为成熟且应用最多的数值分析方法。由于有限元采用连续 函数作为形函数，对于处理像裂纹这样的不连续问题时，需要将裂纹面设置为单 元的边、裂尖设置为单元的结点、在裂尖附近不连续体的奇异场内要进行高密度 网格划分以及在模拟裂纹扩展时需要不断的进行网格的重新划分，使得有限元程 序计算相当复杂，且效率极低【5 】。有限元分析动态裂纹问题一般有两种方法一变 网格法和不变网格法。变网格法：随着裂纹的扩展，有限元网格不断重新剖分。 这种方法的优点是可以直接利用现有的有限元程序，但每一步分析前后数据处理 工作量大，网格调整困难，破坏带附近的网格过于密集，导致网格剖分和有限元 计算过程极易出现病态等缺陷；不变网格法：保持网格不变，通过修改开裂单元 的材料力学性质反映裂纹的影响。由于宏观断裂力学模型的数值分析方法分析能 力不强，近年来，不少学者在细观层次上采用损伤力学模型研究混凝土和岩石类 材料的破坏过程，提出了一种将损伤、断裂融为一体的断裂损伤模型 6 - 8 1 ，该模型 详细模拟其组份之间的相互作用和组份自身的破坏，断裂过程作为一种损伤积累 的过程。但该方法的计算量大，目前只是研究小试件；h o l l i s t e r 和k i k u c h i n 提出 了一种基于数字成像的有限元技术，使用与数字成像相同的分辨率的均匀网格按 像素一个一个识别单元，但这样的模型代价极高。 边界元法是分析断裂问题的一种有效的工具。它仅仅只要在边界上进行离散 化，数据处理量小。其不连续位移法，通过引入不连续位移单元和不连续应力单 元，来求解断裂问题，对于任意混合模式裂纹有相当好的计算效果。在研究裂纹 扩展方面有较成熟的应用，黄云等【1 0 】采用三维弹性边界元分析了高拱坝上游坝踵 裂纹稳定性及其扩展。孙玉周等f 1 1 】利用边界元方法对g r i f f i t h 裂纹进行了编程计 算。但是边界元法在处理非线性材料、多介质等复杂问题时，非常不方便。 无单元法是近年来很热门的一种新型数值分析方法，它将整个求解域离散为 独立的结点，无需将结点连成单元，因而在裂纹扩展数值模拟中得到了广泛的应 用 1 2 j 3 1 。寇晓东1 1 2 1 9 1 等运用无单元法追踪裂纹的扩展。胡云进i h l 等利用无单元法 进行了三维裂纹前缘点的应力强度因子计算。田荣1 2 0 l 应用有限覆盖无单元法模拟 裂纹扩展，取得了满意的结果。但是现有的各种无单元法存在以下不足：缺少坚 实的理论基础和严格的数学证明：计算时间长、效率低；存在一些未确定的参数， 河海大学硕士学位论文 如插值域的大小，背景积分域的大小等；解决复杂的工程和科学问题的研究不够； 没有成熟的商业软件包，限制了其实际应用和推广等不足。 近年来发展起来的流行元方法在模拟裂纹扩展方面得到了应用，如中科院武 汉岩土所的王水林1 1 5 - 1 7 1 以及国外学者t s a y 8 1 等，他们的研究表明，流行元法可以 模拟静态张开与闭合平面裂纹扩展问题，但流行元法具有双重网格，造成其在模 拟裂纹扩展方面的困难不少。 由于各个数值方法分析裂纹扩展的局限性限制了它们的实际应用，不得不寻 求新的解决裂纹扩展问题的途径。从通用性和理论基础成熟性角度而言，有限单 元法是最好的数值方法。传统的有限元分析静态裂纹问题的缺点主要是数据准备 复杂，分析动态裂纹问题能力不强，若能够改进传统的有限元，让有限元的形函 数既能满足常规部分的连续性又能反映裂纹部分的不连续性，则有限元就具有较 强的处理裂纹问题的能力。以美国西北大学b e l y t s c h k o 教授为代表的研究组于 1 9 9 9 年提出了种在常规有限元框架内求解不连续问题的扩展有限元法 f e x t e n d e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d - - x f e m ) 1 2 ”。在短短几年时间内，该方法在断裂 力学中得到了广泛的应用。 1 3 扩展有限元研究现状 1 3 1 扩展有限元的定义及特点 x f e m 是基于单位分解的思想在常规有限元位移模式中加进一些特殊的函 数，即跳跃函数和裂尖渐近位移场，从而反映裂纹的存在。扩展有限单元法将结 点位移分为常规位移和加强位移两部分，加强位移是由于裂纹的存在而产生的， 采用跳跃函数和渐近裂尖位移函数来模拟。在x f e m 中，不连续裂纹面与计算网 格是相互独立的，划分单元时不依赖于裂纹的几何界面，在裂纹扩展后也不要重 新划分网格，因此能方便地分析不连续力学问题。 1 3 2 国外的研究现状 ( 1 ) x f e m 在计算断裂力学中的研究与应用 x f e m 问世后在国际上引起了极大关注，得到了快速发展和广泛应用。 k a r i h a l o o 和x i a 0 1 2 2 1 综述了x f e m 在静态和扩展裂纹问题中的应用，并与早先提 4 第一章绪论 出的广义有限元( g f e m ) 进行了比较。s u k u m a r 掣2 3 1 用x f e m 对任意材料细观 结构准静态裂纹扩展问题进行了模拟，并提出了一种用新的约束三角化算法形成 初始有限元网格。n a g a s h i m a 等1 2 4 1 采用x f e m 研究了双材料界面裂纹问题的应力 强度因子的计算。s u k u m a r 等【2 5 1 把x f e m 用于研究三维裂纹问题中，采用单位分 解概念，在传统有限元的逼近中增加了不连续函数和二维裂纹的裂尖渐近位移场， 解决裂纹存在问题。s t o l a r s k a 等1 2 6 1 把水平集法( l s m ) 和x f e m 结合起来研究裂 纹扩展问题，l s m 用以表征裂纹和裂尖位置，x f e m 用于计算应力和位移，以确 定裂纹扩展率。d a u x 等利用x f e m 研究了任意源自孔洞的分支和交叉裂纹， 根据不连续几何特征的相互作用，对逼近空间进行了改进。m o e s 等f 2 8 1 利用 x f e m 研究了非共面三维裂纹扩展问题，其中不但使用了h e a v i s i d e 跳跃函数表 征裂纹，而且引入了分支函数表示裂纹波前以改善方法的精度。c h e s s a 等【3 l 】通过 扩展应变法改善了扩展有限元自由度和标准有限元自由度混合出现始时单元的性 能。d o l b o w 等【3 2 】利用x f e m 求解了板的断裂问题，提出了一种恰当形式的相互 作用积分。d o l b o w 和g o s z p 3 1 用x f e m 研究了功能梯度材料中的混合型应力强度 因子。 j r 6 t h o r 6 等( 3 5 j q 采用x f e m 模拟动态裂纹的扩展，其正确性通过与理论解 或试验数据得到验证。对动载荷的静态裂纹，该方法具有静态情况一样的优点； 对移动裂纹，证明该方法是稳定的且能满足能量守恒。t m e n o u i l l a r d 等【3 7 1 采用 x f e m 模拟动态裂纹扩展，他们得到了这样的结论：x f e m 模拟动态裂纹扩展时， 采用合适的时间步，可以使用显示时间积分技术。1 钮b e l y t s c h k o 等【3 8 】采用x f e m 和水平集模拟率无关材料的动力牙裂。t 酗b e l y t s e h k o 等1 3 9 】采用x f e m 模拟弹性 动力裂纹扩展。b p r a b e l 等【柏】采用x f e m 模拟弹塑性介质中的动态裂纹扩展，数 值模拟和试验结果一致。j e o n g - h o o ns o n g 等【4 l 】通过重新安排x f e m 基函数和结 点自由度，用叠置单元和虚结点描述不连续体。算例表明该方法模拟动态裂纹的 扩展具有有效性和健壮性。g o a n g s e u pz i 等i 4 2 采用x f e m 模拟动态裂纹的扩展， 数值分析表明x f e m 能很好地捕捉冲击载荷下混合模式断裂的实验现象。 j o i l l ld o l b o w 等刚采用x f e m 模拟摩擦接触裂纹的扩展，接触面采用三种不 同的非线性本构关系( 完全接触、摩擦接触和无摩擦接触) ，用l a t i n 法迭代求解 非线性边值问题，数值结果和解析解或实验结果吻合得很好。a r k h o c i 和m n i k b a k h t p 4 】采用只用跳跃函数加强的x f e m 模拟摩擦接触引起的不连续问题。基 5 河海大学硕士学位论文 于单位分解法采用三角形子单元离散接触区域，对接触面分割的单元，利用接触 结合带上积分点处接触面材料性质矩阵计算劲度矩阵的积分，不需要在裂纹两面 布罨积分点。数值分析表明该方法能有效地模拟二维接触问题。 基于d u g d a l e 4 4 1 雨lb a r e n b l a t t 【4 5 1 对粘着裂纹的理论研究，w j l l s 和s l u g s t 4 6 期j 用x f e m 求解粘着裂纹问题。m o e s 和b e l y t s c h k 0 1 4 7 l 在三角形单元上利用x f e m 模 拟粘着裂纹，如果某单元被裂纹完全分割，则用跳跃函数改进；如果裂尖位于单 元内部，就用分支函数改进。z i 和b e l y t s c h k o 4 8 l 提出了一种新的x f e m ，仅用一 种改进函数就可以处理包括裂纹端部的整个裂纹，该法已用于线性三结点单元和 二次六结点三角形单元，为了保证粘着裂纹的光滑闭合，使垂直于裂尖的应力投 影与材料的强度被迫相等。 x f e m 还被用于数值求解与薄膜有关的裂纹问题。h u a n g 等1 4 9 1 提出了一个基 础为黏性层的弹性薄膜内槽型裂纹的二维模型，用y u f e m 在相对糨糙的网格上计 算位移场和应力强度因子；他们还利用x f e m 求解了具有任意奇异性的不连续问 题弹性薄膜结构中的裂纹问题，奇异性是由于两种材料弹性不匹配参数决定， 他们【5 0 】证明了x f e m 在粗糙网格上非常有效；l i a n g 等【5 1 通过引入一个搭接模型， 以使x f e m 在粗糙网格上能处理弹性薄膜结构中的多裂纹演化问题。 最初的x f e m 中研究裂纹问题时，位移模式中加进的是裂尖渐近位移场函数 的主要项，且围绕裂尖加强结点的相应系数是相互独立的，这样加强位移场并不 是真实的裂尖附近的渐近位移场，因此，局部位移场的精度仍不能令人满意，应 力强度因子必须经过后处理才能求出惭1 。b l k a r i h a l o o 等m 提出了一种改进的 x f e m ，提高了局部位移场的精度，且不需要经过后处理就可以直接求出应力强 度因子，从而为分析裂纹扩展提供了方便。 ( 2 ) x f e m 在孔洞和夹杂类问题中的研究与应用 m o e s 等1 5 2 1 利用x f e m 进行细观结构的多尺度分析，他们认为，虽然计算中 网格不需要与物理表面一致，但仍需要细到足以捕捉这些表面的几何特征。 s u k u m a r 等【5 3 】在x f e m 中采用水平集描述孔洞和夹杂，且用水平集函数去形成材 料界面的局部加强，平面弹性静力问题表明了该方法的精确性和潜能。p a t z a k 和 j i r a s e k i “】将x f e m 应用于非局部连续损伤力学中，通过引入能准确捕捉局部变化 概貌的特殊形状函数，在非常租糙的网格上改进标准的位移逼近。 ( 3 ) x f e m 在其它问题中的研究与应用 6 第一章绪论 x f e m 还被用于固体力学以外的不连续问题。b e l y t s c h k o 等【5 5 l 处理了结构化 有限元网格中的内部特征，例如，材料界面、滑动界面和裂纹。c h e s s a 等【5 5 1 利用 三角形单元的x f e m 研究了多维相变问题，模拟了相界面和单元内温度梯度的不 连续性，并用实例展示了该方法的精度和有效性；j i 等【5 6 l 利用x f e m 通过夹杂数 值方法在固定网格上模拟剧烈变化界面的演化；w a g n e r 等【5 7 1 用x f e m 模拟粒子 在流体中的运动；c h e s s a 和t e l y t s c h k o 等f 5 8 】将x f e m 用于两相不相融和的流体问 题中，使得这种界面跟踪有界面捕捉法的许多优点。 1 3 3 国内的研究现状 相对于x e f m 在国外的快速发展和广泛应用，国内对x f 蹦的研究还比较少。 武汉大学的陈胜宏教授1 5 9 l 基于复合单元采用了有限元分析了小湾拱坝坝踵开裂 问题。这种复合单元实际上就是简化的扩展有限元，即只考虑跳跃函数反映不连 续性。文中对裂纹的扩展做了很大的简化，认为单元开裂，裂纹则贯穿整个单元， 没有考虑到裂纹尖端单元，不能反映裂纹尖端的应力集中，在分析时受到单元尺 寸的影响较大。西安交通大学的李录贤唧l 综述了x f e m 的基本思想，实施步骤及 其应用，初步展望了该领域需进一步研究的课题。韦未1 6 1 l 在介绍混凝土扩展模拟 研究进展时也介绍了该方法。余天堂【6 2 l 基于扩展有限元法的基本原理，导出了相 应的公式，提出了求解不连续函数的积分方法，进行了裂纹尖端应力强度因子的 计算。李建波等【6 3 l 在有限元框架内完整的推导了能模拟宏观裂纹力学场的扩展有 限元实现公式，在理论上考虑了内部裂纹面上分布外荷载及缝内粘连刚度的影响， 提出了统一构建扩展有限元刚度矩阵形成模式；杜效鹄等i 删采用局部富集函数表 征混凝土的开裂区域，进行了混凝土粘结裂纹扩展的数值模拟，研究了预制缝重 力坝模型的断裂特性，数值模拟得到了和试验结果一致的裂纹扩展路径和荷载响 应曲线，他们1 6 5 】还模拟了混凝土梁在剪切作用下的断裂过程，证明了该方法的有 效性。 1 4 本文的研究内容 断裂问题是评价工程项目安全性、可靠性、耐久性的重要内容之一。因此， 研究断裂面的应力强度因子和裂纹失稳破坏形态具有重要的理论意义和应用价 7 河海大学硕l 学位论文 值。本文的主要工作如下： ( 1 ) 从断裂力学的研究现状出发，分析了各种数值分析方法模拟断裂问题时 的优缺点；总结了国内外扩展有限元法研究不连续问题的研究现状。 ( 2 ) 详细介绍了扩展有限元法以及改进扩展有限元的基本原理，推导了相应 的公式，给出了扩展有限元的具体实施步骤。 ( 3 ) 解决了程序实现中的几个关键问题，即裂纹尖端以及裂纹穿过单元的数 值积分方案，水平集法确定裂纹位置，自动确定改进单元和加强结点的选取方法。 ( 4 ) 对典型的平面断裂模型进行了数值模拟分析，比较各种参数取值对应力 强度因子的影响。 ( 5 ) 模拟了平面拉伸型边裂纹和拉剪复合型裂纹的扩展。 8 第_ 二章断裂力学的摹奉理论 2 1 引言 第二章断裂力学的基本理论 断裂力学是一门研究带裂纹物体的强度及裂纹扩展规律的学科，其先导者是 英国科学家a a g - f i f f i t h t ”。他在1 9 2 0 年和1 9 2 4 年相继发表的两篇论文中建立了 脆断理论的基本框架。g r i f l i t h 这一划时代的贡献得益于i n g l i s 关于含椭圆孔无限 平面介质的弹性解。g r i f f i t h 在研究玻璃与陶瓷这类脆性材料断裂时，认为裂纹的 存在与传播是导致断裂的原因。i r w i n 和o r o w a n 在同一历史时期内分别独立地建 立了工程材料脆性断裂理论，提出了把g r i f f i t h 学说应用于不局限于表面能控制 的脆性断裂过程的物理基础和操作方案。i r 、j l ，i n 【阚在1 9 5 7 年完成了应力强度因子 理论的基本构架，并提出弹塑性材料的小范围屈服理论。裂纹这类力学边值问题 的出现激发了固体力学家的热忱。1 9 7 5 年，以t a d a , p a r i s 和i r w i n 纂写的第一本 应力强度因子手册问世，标志着线弹性断裂力学趋于成熟。 2 2 断裂模式 对于同一种材料，在相同的环境条件下，由于所受的外荷载不同，裂纹的变 形也有所不同。裂纹( 或断裂) 模式分成三类1 1 l ：张开型( i 型) ，滑移型( i i 型) 和剪 切型( i i i 型) ，如图2 1 示： ( a ) 张开型( i 型) ( a ) 滑移型( u 型) ( a ) 剪切型( 1 i i 璋j ) 图2 1 三种基本裂纹模式 9 淘 河海丈学硕上学位论文 i 型裂纹的特征是外荷载垂直于裂纹面，并且裂纹面的位移垂直于这个表面； i i 型裂纹的特征是裂纹面在其平面内沿x 方向相互滑动；i i i 型对应于反平面剪 切，又称为面外剪切或纵向剪切，在这种情况下，裂纹面沿z 方向滑动。 ( 1 ) i 型裂纹应力位移场 钐一 7 l o l - 。_ 。1 。_ 。_ 。“。一 x 图2 2 受拉伸的g r i f f i t h 裂纹 图2 3 袈级坐怀糸 如图2 2 所示，当口= 时，为i 型g r i 衔t l l 裂纹问题，问题具有精确解。任 意一点到裂纹尖端的距离，用极坐标系( r i ，o e ) 或( 吃，岛) 表示，如图2 3 所示当 考虑裂纹尖端的近邻处，即必“l 时，有： ，l q - r l c o s 0 1，222 l + r i c o s o l ( 2 1 ) 口= ( ) 渊岛= 三( 必) 硼 亿z ， 得到裂尖渐近应力分量为： 砒砧= 击删舟s 伽知詈) s ， 砒训= 击哪知加知詈) 亿4 ， “，b ) = 去砌旦2 伽旦2 螂翌2 ( 2 5 ) 位移分量为： 妣啦叠g v 匠2 z rs 舟掰罢) ( 2 6 ) i o 第二章断裂力学的基本理论 v 摊鲁压s 加2 - 2 v - 螂2 a ( 2 ) i i 型裂纹应力位移场 裂尖应力分量为： 砒剐一去咖知伽詈伽书 位移分量为： “，b ) 2 g 丽l ! s 加i 0 伽i 0 螂下3 0 砒棚= 厢k i ! 鲫弘s 加扣詈) 删= 鲁压砌( 2 - 2 v + c o s 2 墨 比，目) = 鲁丢螂詈( 一t + z y + s 加2 詈 ( 3 ) i i i 型裂纹应力位移场 裂尖应力位移分量为： 其中，足为应力强度因子，g 为剪切模量，y 为泊松比。 ( 4 ) 二维裂纹应力强度因子的一般定义为 k 矧2 耘 ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 16 ) 曰卜2 口一2 口一2 啦 口俨2 _ 伊2矗牵悟 一 一 型7秀啬锭 口 护 k 铆 r-，、j、j o o o “ 审 肛 盯 盯 盯 河海人学硕士学位论文 2 3 应力强度因子的计算 对于断裂力学问题，由于裂纹尖端的应力、应变存在奇异性，即应力、应变 在裂尖附近变化非常陡峭( 如图2 4 ) ，应力梯度很大。我们一般只关心裂纹尖端附 近的应力分布情况，应力强度因子正是表征裂尖附近一定范围内应力场强度的参 量，它对于我们研究含裂纹结构的强度、承载能力、剩余寿命等问题有重要的意 义i 叫。 y = j l x 图2 4 裂纹顶端附近鹿力分布 确定应力强度因子的方法大体可以分为解析法，数值法和实验法【7 0 1 。解析法 是其它方法的基础，它包括复变函数法，积分变换法，以及应用弹性力学守恒率 的方法等。数值法中广泛采用的是有限单元法，边界元法和边界配黄法等。较为 常用的实验方法有光弹性法，激光全息和散斑干涉法等。解析法只能计算简单的 问题如“无限大”平板中的简单裂纹，而对于实际构件以及各种试样，当裂纹尺 寸与构件或试样其它特征尺寸相比并不很小时，应计算自由边界对裂纹尖端应力 强度因子的影响。对于这类问题很难获得严格的解析解，只能通过一些数值方法 求得近似解。同时，对于复杂的结构或实际情况不允许，用实验法存在着困难， 这也需要数值解法。虽然对于某些问题，由于计算机容量和费用的限制，数值解 法仍有困难，对于大多数问题来讲，无疑它是一种比较简捷方便的方洼： 2 3 1 确定应力强度因子的有限元方法简介 借助于有限单元法计算应力强度因子的方法一般分为两类：一类应用常规单 元首先计算出弹性体中的位移或应力，然后予以推算；一类是针对裂纹尖端应力 1 2 第二章断裂力学的基本理论 场的奇异性而采取特殊单元来解析，从而由奇异单元法直接计算。 应用常规单元的方法可分为直接法和间接法。直接法指先计算出裂纹尖端临 近的位移和应力，再根据公式直接估算出应力强度因子，常用方法有：位移法和 应力法；间接法是指先用有限元法求出能量释放率，再换算成应力强度因子，常 用的方法有：能量法，柔度法，刚度导数法和j 积分。 由于真实的应力在裂纹尖端存在奇异性，为了解决这一问题，可以在裂纹尖 端临近区域选取特殊的奇异单元，使它能够反映出这种奇异性。常见的奇异单元 法有：奇应变三角单元法，等参数奇应变单元法，内嵌裂纹尖端的多阶奇应变圆 单元法。 2 3 2 采用j 积分计算应力强度因子 1 9 7 6 年，r i c e 在报告t h eb r o w nu n i v e r s i t ya r p as d - 8 6r e p o r tn o e 3 9 中定 义了下列j 积分描述平面裂纹顶端附近的力学状态： ，= f ( 鼢：一霉罢凼 = f h l 渊叫r 仨研 其中，为应变能密度，r 代表作用在曲线r 的微弧凼上的外应力矢量，“为该 处的位移矢量，r 是任一条从裂纹下表面开始按反时针方向绕裂纹顶端且终止于 裂纹上表面的曲线。上述积分对路径r 守恒。 通过区域积分和相互作用能量积分嘲( i n t e r a c t i o ne n e r g yi n t e g r a l s ) 型的应力强度因子。用相互作用能量积分，引入辅助场并迭加到满足边界条件的 真实场中。通过恰当的选择辅助场，可以得到混合应力强度因子和相互作用能量 积分之间的关系。一旦边界条件已知，这些积分可以通过区域形式表达并通过后 处理过程计算出。 对于混合模型的能量释放率与应力强度因子的关系可表示为： ，：毕k 卜嗣) ( 2 1 8 ) 7 定义为： 河海大学硕士学位论文 如侈鬻 c o ( 2 1 9 ) 考虑两种状态，状态1 中盯2 、2 、甜 1 为真实应力，应变和位移状态：状 态2 中砖、占、甜j 2 为辅助应力、应变和位移状态，两种状态共同作用下的j 积 分表达式为： 产2 ) = f 巴+ 砖黼+ 廿h ，一研) + 砖避蚓j ”，d r ( z 2 0 ) ，( 。+ 2 ) = t ，( 。) + ，( 2 ) + ，( 1 + 2 ) ( 2 2 1 ) p “) 是状态1 和状态2 的交叉积分，其表达式为： 一十2 ) = f p ，卅等哪矧叫r一“2 k 妒2 铲田筹叩p 矧叫r 矿( 1 2 ) 交叉应变能为： 矿o 。= 础s ；2 = 砖s 2 结合上式可知： ：，m + ) + 塑掣o k 2 j + 足g 足2 ) 选择状态2 为纯i 型裂纹状态，即k f 2 ) = 1 ，k 乎= o ， 1 4 ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 则相互作用能量积分 第二二章断裂力学的摹奉理论 的i 型应力强度因子为： k i ( 1 ) = 扣懈 类似的，选择状态2 为纯i i 型裂纹状态，即k 擘= 1 ，足f 2 ) = 0 ， 能量积分的i i 的型应力强度因子为 k o ) _ p 舭l i ) 则相互作用 ( 2 2 6 ) 交叉作用区域积分为： t 2 ) = 婶等坤等彬2 尝幽 亿z ， 其中q 为权函数，区域爿的边界为a 4 = f u g u c + u c 一，如图2 5 示。 肼= ：在c 嚣 亿zs，ouc肼_ i + 厅 + u c 一 ( 2 z 劲 相互作用积分，( i + ：j 的积分区域为以裂尖为圆心r 为半径的圆所穿过的单元。 半径，= r j i ，s 为裂尖单元的面积，为一给定参数。算例分析表明【8 5 1 ，j 取 3 左右时，其精度就能满足要求。 2 4 断裂判据 2 4 1 单一型裂纹断裂判据 对一具体裂纹，在给定外载荷的条件下，每种材料的应力强度因子k 都存在 一个临界值疋，当k 达到这个临界值时，裂纹就失稳扩展。这个临界值k ，反 映了材料本身固有的一种属性，表示了材料抗脆性起裂的能力，又称作断裂韧度。 实践表明，材料的断裂韧度大多随着材料厚度的增加而降低，取决于材料的温度、 加载速度、环境及裂纹尖端区域的材料属性等若干因素。 断裂韧度反映了材料的固有属性，就可以以此为判据建立断裂准则。其含 意可以描述如下：对于外载荷作用下含裂纹的弹性体，当裂纹尖端的应力强度因 子值不小于材料的断裂韧度时，裂纹就会发生失稳扩展而导致裂纹体的破坏。断 裂准则是用于确定裂纹扩展的必要条件，或裂纹的极限平衡条件，进而可以推测 河海大学硕士学位论文 出裂纹体对结构安全性能的影响程度，为工程提供安全预测参数。 以i 型裂纹为例，其断裂准则为： k i k i c( 2 2 9 ) 对于型、i i i 型裂纹，理论上可以通过上述原则建立类似的断裂准则。 2 4 2 复合型裂纹断裂判据 实际结构中由于荷载分布不对称，裂纹方位不对称以及材料各向异性等因素 使得裂纹不是单一的受力状态。因而复合型裂纹断裂准则的研究有重要的理论意 义和广泛的实用价值。复合型裂纹扩展与经典的c , - r i f f i t hi 型裂纹扩展的重要区 别在于裂纹不是沿原来的裂纹面扩展，而是沿新的分枝扩展。因此，复合型裂纹 的断裂准则基本上都是围绕以下两个问题展开的：( 1 ) 、裂纹沿什么方向扩展；( 2 ) 、 裂纹在什么条件下扩展，即确定裂纹初始扩展的方位角良和裂纹扩展的i 临界荷 载。从宏观连续介质力学的观点研究复合型裂纹扩展断裂的问题，可以有多种方 法。其中比较常用的是两种方法：一种是应力参数型，如最大周向应力准则7 2 1 ， 最大剪力准则【7 3 】；另一种是能量型，如能量释放率准则加，应变能密度因子准则 1 7 5 , 7 6 。还有以应变、位移以及其它一些参数作为依据来探讨的复合型裂纹扩展断 裂的理论，如最大拉应变准则【锕，广义应力强度因子准则【7 8 1 ，复合型弹塑性位移 准则1 7 9 1 ，复合型裂纹扩展的应交能准则1 8 0 1 ，复合型疲劳准则等。这些裂纹扩展准 则所求得的开裂条件与开裂角度相差不大，大致都在实验数据分散度以内，其中 以最大周向拉应力理论计算应力强度因子最为简便，在工程上最常被采用【7 0 1 。 ( 1 ) 最大周向应力理论 e r d o g a n 和s i h 提出了最大周向应力理论【7 2 】( 又称为最大周向拉应力理论) ， 该理论假定： 裂纹沿最大周向拉应力强度因予方向开展； 当最大周向拉应力强度因子达到临界值时，裂纹开始扩展，此临界值与材料常 数k 。和k 的比例无关。 对于i i i 复合型裂纹问题，裂纹尖端附近的极坐标应力分量( 如图2 6 示) ， 其表达式为： 仃产丽1 州k t ( 3 一c o s 咖詈蝎加咖1 ) s i n 匀 ( 2 3 。) 6 第一二章断裂力学的摹本理论 咿去伽私螂2 羟聃刁 ( 2 3 1 ) 铲去卿罢k j s i n 0 + k 。( 3 c o s ) 】 ( 2 3 2 ) 图2 6 裂纹尖端的极坐标分颦 上述裂纹尖端的极坐标应力分量公式，在极坐标半径，远远小于裂纹半长度口 时适用。 裂纹扩展方向由下式确定： ( 等) ，一= 。，等 。 将式( 2 3 1 ) 代入式( 2 3 3 ) 得： k ls i n o + k ( 3 s i o 一1 ) =