（理论物理专业论文）非对易轨形上的投影算子.pdf

西北大学硕士学位论文 摘要 随着弦理论的发展，非对易场论在现代物理中扮演着越来越重要的角色特别是在 理解时空的基本结构，量子霍尔效应，高温超导等方面，非对易场论正在发挥着重要的作 用本文研究非对易轨形上投影算子的构造，并给出其有限表达式 首先，我们引入一种描写咒维非对易平空间璐上场论的重要乘法一g r o e n e w o l d m o y a l - 乘积利用g r o e n e w o l d m o y a l - 乘积代替普通空间上场论中的乘法运算，我们就 可以得到对应的非对易场论接下来，我们详细讨论了轨形的结构由于轨形是平的，所 以轨形上场论与平空间场论有很多相似的地方为了数学上的简单而又能说明问题起 见，我们详细介绍了一维轨形上的场论，它可以非常容易的推广到二维轨形的情况然 后对二维轨形严z ，在赋予了非对易结构后，我们详细的讨论了它的描述方法对 两个非对易参数互为倒数的环面，它们的结构代数山和4 。佃m o r i t a 等价在轨形上，以 在山和4 1 阳中取值的内积算子的形式给出了轨形上的算子，并利用m o r i t a 等价性，构造 了m o r i t a 等价的双模 在构造显式的投影算子过程中，l k ，口) 表象起着非常重要的作用我们讨论了具 有z 6 对称性的i 尼，g ) 表象在循环群z 6 作用下的性质z 6 作用表现为以2 7 r 6 为单位的转 动，两次丌3 的转动和一次2 r 3 的转动应该是等价的具有z 6 对称性的口) 基矢经过 这种操作后，为了使其相等，我们会得到一个非平庸的等式一g a u s s 求和公式在讨论 了l k ，口) 表象后，我们利用山代数和4 1 加代数的m o r i t a 等价，在非对易有理轨形t 2 z n 上 构造了山代数的投影算子对铲z 4 的情况，我们在i 话，g ) 表象下，给出了投影算子的矩 阵元但是，在构造投影算子的过程中，我们用到了么l p 代数元素6 的逆元，在非对易参数 小于一的情况下，我们证明了b 的逆元b - 1 存在，且仍是4 的元素 关键词：非对易场论，有理非对易轨形，m o r i t a 等价，l k ，g ) 表象，投影算子，非对易孤子 西北大学硕- 上学位论文 a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fs t r i n gt h e o r y ，n o n c o m m u t a t i v ef i e l dt h e o r yh a sp l a y e da m o r ea n dm o r ei m p o r t a n tr o l ei nm o d e r np h y s i c s ，e s p e c i a l l yi nu n d e r s t a n d i n gt h es t r u c - t u r eo fs p a c et i m e ，q u a n t u mh a l le f f e c ta n dh i g ht e m p e r a t u r es u p e r c o n d u c t i v i t y i nt h i s t h e s i s ，w ec o n c e n t r a t et ot h ec o n s t r u c t i o no fp r o j e c to p e r a t o r so nn o n c o m m u t a t i v eo r b - i f o l d 于| zn1w h i c hc o r r e s p o n dt ot h es o l i t o n i cs o l u t i o no ff i e l dt h e o r yo ns u c ho r b i f o l d f i r s t ，w ei n t r o d u c et h eg r o e n e w o l d m o y a l * - p r o d u c to p e r a t i o n ，w h i c hi s ab a s i c c o n s t r u c t i o ni nt h ed e s c r i p t i o no ff i e l d so nnd i m e n s i o n a ln o n c o m m u t a t i v ef l a ts p a c e 璐 u s i n gs u c h - p r o d u c ti n s t e a do fo r d i n a r yo n e ，w ec a no b t a i na nn o n c o m m u t a t i v ev e r s i o n o ff i e l dt h e o r y ，i e a nf i e l dt h e o r yo nn o n c o m m u t a t i v ef l a ts p a c e n e x t ，w ew i l ld i s c u s s t h es t r u c t u r eo fn o n c o m m u t a t i v eo r b i f o l dt 2 z nt h o r o u g h l y b e c a u s eo ft h ef l a t n e s so f n o n c o m m u t a t i v eo r b i f o l dt 2 z n ，t h ef i e l dt h e o r yo ns u c hs p a c eh a v em a n ys i m i l a r i t i e st o t h a to fd e f i n e do nn o n c o m m u t a t i v ef l a ts p a c e a sa ne x a m p l e ，w ea n a l y z et h ef i e l dt h e o r y o n o n ed i m e n s i o n a lo r b i f o l dt 1 z 2 ，w h i c hc a nb eg e n e r a l i z e dt ot w od i m e n s i o n a lo r b i f o l d t 2 z ：ve a s i l y a f t e re n d o w e dw i t hn o n c o m m u t a t i v es t r u c t u r e ，m a n yp r o p e r t i e so ft h i s m o d e lh a sb e e nd i s c u s s e di nd e t a i l f o rt h en o n c o m m u t a t i v et o r u sw i t hn o n c o m m u t a t i v e p a r a m e t e r si n v e r s ee a c ho t h e r ，w ec o n s t r u c te x p l i c i t l yt h e i rs t r u c t u r ea l g e b r a sa a n d a 1 er e s p e c t i v e l y d u et ot h ef a c tt h a tt h e ya r ee q u i v a l e n c ei nt h es e n s eo fm o r i t a ，w e c o n s t r u c tt h em o r i t ae q u i v a l e n c eb i m o d u l e ，w h i c hp l a ya ne s s e n t i a lr o l ei nc o n s t r u c t i o n o fp r o j e c to p e r a t o r i nt h ep r o c e s so fc o n s t r u c t i o no fs o l i t o n i cs o l u t i o n s ，w ei n t r o d u c et h e q ) r e p r e - s e n t a t i o nw i t hz 6s y m m e t r y w eg i v ee x c l u s i v ea t t e n t i o nt ot h eb e h a v i o ro fs u c hk ，q ) r e p r e s e n t a t i o nu n d e rt h ea c t i o no fc y c l eg r o u pz 6 ，i e t h ea c t i o no fr o t a t i o no f2 1 r 6 a sac o n s e q u e n c e ，w i t ht h ed o u b l er o t a t i o no f 丌3a n dr o t a t i o no f2 7 r 3r e s p e c t i v e l y ，t h e r e s u l t e dr e p r e s e n t a t i o n ss h o u l dc o i n c i d ew i t he a c ho t h e r ，a n dt h i sl e a d st oan o n t r i v i a l i d e n t i t y g a u s ss u m m a t i o nf o r m u l a ，f o rw h i c ht h ep r o o fi sv e r yd i f f i c u l tt oc o m p r e - h e n di nt h ef r a m e w o r ko fn u m b e rt h e o r y t h ef o l l o w i n gc h a p t e r si sa t t r i b u t e dt ot h e c o n s t r u c t i o no fp r o j e c t o r b ym e a n so fm o r i t ae q u i v a l e n c eo f 山a n da i o ，w ec o n s t r u c ta n l 英文摘要 p r o j e c t o ro nn o n c o m m u t a t i v eo r b i f o l dt 2 z n f o rt 2 z 4 ，w eg i v et h em a t r i xe l e m e n t so f p r o j e c t o re x p l i c i t l yi ni k ，q ) r e p r e s e n t a t i o n i nt h ee x p l i c i tf o r mo fp r o j e c t o r ，t h ei n v e r s eo f e l e m e n to fa 1 oa l g e b r ab h a sb e e nu s e d i nt h ec a s et h a tn o n c o m m u t a t i v ep a r a m e t e r s i ss m a l l e rt h a no n e ，w ev e r i f yt h a tb e x i s t sa n db e l o n g st oa 1 o k e y w o r d s ：n o n c o m m u t a t i v ef i e l dt h e o r y ，r a t i o n a ln o n c o m m u t a t i v eo r b i f o l d ，m o r i t a e q u i v a l e n c e ，i k ，q ) r e p r e s e n t a t i o n ，p r o j e c to p e r a t o r ，n o n c o m m u t a t i v es o l i t o n 一i v 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。学校 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许 论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所等机构将本学位论 文收录到中国学位论文全文数据库或其它相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 ， 学位论文作者签名：丛生丝指导教师签名：趔2 徘占月? 日 穸多月应日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西 北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的 同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢 ：匕 思。 学位论文作者签名：琴匙易移 砰6 月p 日 西北大学硕士学位论文 第一章引言 非对易的思想由来已久很早以前，人们就意识到两个绕空间不同方向的转动是非 对易的量子力学建立以后，坐标与其共轭动量的非对易性更成为量子力学的核心概念 h e i s e n b e r g 在量子场论的初创阶段就提出，在非常小的尺度上，可以引入时空坐标的非 对易结构，以此来避免电子自能奇异的出现1 1 。但是，引入时空坐标非对易会破坏理论 的l o r e n t z 协变性，这是大多数物理学家所不能接受的1 9 4 7 年，s n y d e r 在五维空间，在坐 标表象下，利用满足能壳条件的动量算符，成功的构造出了l o r e n t z 协变的非对易空间口1 ， 系统研究了该空间上的量子电动力学，并试图用这种方法来解决其中出现的紫外发散 问题p 1 y a n g 在s n y d e r - v 作的基础上将这种非对易结构推广到弯曲空间，特别是a d s 空 间卜1 但是由于当时重整化在处理该问题的时候取得了巨大的成功，他们的工作并没有 引起人们的广泛重视 时空坐标不对易的空间称为非对易空间，研究非对易空间的几何就是非对易几何， 在非对易空间上建立的场论称为非对易场论众所周知，在量子力学中坐标和动量是 不对易的，所以量子的相空间就是非对易空间1 9 4 8 年，m o y a l 乖0 用w i g n e r 相空间分布 函数研究了这种非对易空间的问题【5 1 由于受至u w e y l 序的相空间算子与经典相空间函 数同构的启发，m o y a l 三j i 入了一种非对易的可结合乘积，就是著名的g r o e n e w o l d m o y a l - 乘积( 参看总结f 6 】) 1 数学家v o nn e u m a n n 也试图描述这样的量子空间，提出了无点几 何( p o i n t l e s sg o m e t r y ) 的概念，以说明在量子力学中由于h e i s e n b e r g 不确定性原理使得相 空间中不再有点的概念，这导致了v o nn e u m a n n 代数的产生，也是非对易几何研究的开 始p 1 实际上，在量子力学中也存在坐标不对易的情况，例如考虑个带电粒子在带有强 磁场的二维平面中运动，在最低l a n d a u 能级很自然就会出现电子坐标之间的不对易 c o n n e s ，d r i n f e l d 等在v o nn e u m a n n - v 作的基础上，首先系统的研究了非对易空间的 性质1 1 将微分结构推广到非对易空间，建立了非对易几何理论，这使得非对易空间的结 构代数成为研究其上物理的重要手段，这种非对易结构代数称为c ，c 一代数和量子力学中 一样，在非对易空间中，由于时空坐标不能同时测准，为了描述其上的物理现象，我们必 须放弃以前的坐标观念而改用非对易代数上的生成元，即将时空坐标直接看作是作用在 1 这种乘积在m o y a l 引入它之前就已经存在了，但是m o y a l 町能并不知道弘，8 1 ，有时这种乘积也称 为m o y a l - 乘积 1 一 第一章引言 希尔伯特空间上的算子，希尔伯特空间给出了定义基本非对易几何代数的表示空间，从 而非对易空间上定义的函数是算子的函数但是，对确定的非对易空间，其微分结构并不 唯一确定，这导致在其上定义的微积分并不唯一然而，当我们引入一个积分以后，理论 上我们可以定义一大类非对易空间上的y a n g - m i l l s 场的作用量1 1 1 随着量子引力发展，使大家广泛相信在包含引力和时空的量子理论中，当尺度可以 和p l a n c k 尺度相比拟的时候，引力和时空的性质将会发生变化1 1 引量子引力中的不确定 性原理就禁止位置测量的精度高于p l a n c k 长度又由于包含引力和时空的量子理论一直 都不是一个局域的理论，这种非局域性为对量子引力进行深入的研究带来了概念上和 实践上的困难非对易场论恰好具有量子引力的上述特点，所以它可以为引力研究提供 一个简单的模型，为深入研究量子引力奠定基础，这吸引了一大批研究弦论的物理学家 来研究非对易场论实际上在弦理论中，非对易几何自然地出现在至少三种不同而又密 切相关的背景里w i t t e n 的开弦场论用非对易几何描述了玻色开弦的相互作用1 1 非 对易是由于在弦的粘和过程中定义的w i t t e n 星乘积引起的第一个弦的右半部分和第 二个弦的左半部分相互粘结，就得到第三个弦，这个粘结过程是不可交换的在非对易 环( t o r u s ) 上矩阵理论的紧化对应于带有常量三形式张量场的超引力更为普遍的是，当 考虑开弦在一个常数二秩反对称张量b 场中的情形时，开弦的端点坐标就会不对易这 意味着非对易空间上的量子场论解释为开弦的低能极限1 9 9 9 年，s e i b e r g 和w i t t e n 讨论 了在带有常数b 背景场中d 膜的低能行为可以分别由非对易规范理论和对易规范理论 来描述1 14 。它们对应于在开弦理论中采取不同的正规化方案，前者是p a u l i - v i l l a r s 方案， 后者是p o i n t s p l i t t i n g 方案他们还讨论了非对易规范理论和对易规范理论之间的联系， f i p s e i b e r g w i t t e n 映射在矩阵模型中，由于坐标是用矩阵表示的，所以时空很自然是非 对易的u “ 非对易的另一个来源是广义相对论1 1 圳在广义相对论中，当能量密度足够大的时候， 就会有黑洞形成根据h e i s e n b e r g 不确定性原理，空间位置的不确定性与动量的不确定 性成反比因此，当测量将位置限制在一个区域内时，相应的能量动量也限制在这个区域 内，当该区域足够小时，系统将达到它的s c h w a r s c h i l d 半径，形成一个没有任何信息泄露 的黑洞，这使得位置测量精度有一个下限防止这种黑洞形成的充分条件是在空间引入 测不准关系，通过这种测不准关系，我们可以得到空间坐标的非对易关系 为了得到自洽的超弦理论，时空的维数必须至少是十，但我们生活的时空却是四 一2 西北大学硕士学位论文 维，这要求我们要将原来的十维理论化成一个四维空间的有效理论实现这个目的有 两种方法，一种是将多的六维约化掉( d i m e n s i o nr e d u c t i o n ) ，另一种方法是令多的六维 紧致化( c o m p a c t i f i c a t i o n ) 在紧致化方法中，为了满足超对称条件，紧致的六维必须 是r i c c i 平的，即必须是c a l a b i y a u 的1 17 1 由于一般的c a l a b i - y a u 流行无法显式的给出度 规结构，所以直接研究它是非常复杂和困难的，甚至连一个显式的例子都很难给出由于 轨形( o r b i f o l d ) 自动满足超对称约束条件，所以对研究c a l a b i y a u 流行和弦紧化都是是非 常有用的1 1 但是由于轨形上存在固定点，严格的说，它不是流行 对于给定的佗维环面t n ，其上允许作用的离散群p n 也随之确定，但一般离散群的作 用不是自由的，所以在商空间p p n 上会存在固定点，这种商空间称为轨形由于固定 点的存在，轨形有奇性，但是轨形的奇异性可以通过一些方法将其消除对六维轨形，消 除奇性后，其同伦群是s u ( 3 ) | 1 因此，轨形可以看成一些光滑流行( 例女w c a l a b i - y a u 流 形) 的奇异极限对低能的观测者来说，轨形和c a l l a b i y a u 流行具有同样良好的性质因 此，研究轨形可以为研究一般的c a l a b i y a u 流形提供非常重要的线索除此而外，它对研 究弦对偶也是非常有用的，特别是对研究联系i i a 和l i b 弦论的镜像对称非常有用另 一个研究轨形上场论的非常重要的原因来自量子场论人们一直试图建立一个比标准模 型更基本的大统一场论( g r a n du n i f i e dt h e o r y ) ，但是在四维空间遇到了很多难以克服的 困难，因此引入额外维是解决问题的重要手段同样，在引入额外维以后，理论需要紧化 到四维，而令紧致空间为轨形可以有一些好的结果，例如，轨形要求场具有一些对称性， 这些约束可以将一些理论中不需要的场排除掉，另外，我们利用轨形紧化还可以得到手 征场【20 1 在弦理论中，空间由于背景b 场的存在而变得非对易1 1 驯，从而使紧致空间也具有非 对易结构，这促使大家研究非对易轨形上的场论而且非对易场论的许多特点，也恰好符 合现代物理的要求，如紫外红外混合( u v i rm i x t u r e ) 以及前面提到的空间位置测不准 非对易场论的一个非常重要的特点是，它在许多情况下，允许存在孤子解，使得它成为一 个可以精确求解和研究的理论，而不是像普通场论2 那样，在绝大多数情况下不得不满足 于仅得到微扰解 非对易理论非微扰方法的研究长期以来在非对易场论的发展中占有重要的地位， 这是由于非微扰解，如孤子，瞬子，单极在现代规范理论中起着非常重要的作用类孤 2 在这里使用“普通”这个词是由于对易场论可能与阿贝尔场论混淆 一3 一 第一章引言 子的经典场构型通常出现在理论的b p s 分支，甚至可积分支中，使得显式的构造它们 以便研究它们的动力学成为可能，这促使我们研究这种良好的性质在多大程度上适用 于非对易理论实际上，研究非对易场论的孤子解对研究弦论中d 膜的孤子特性非常 重要，因此吸引了大批物理学家进行研究d e r r i c k 证明了维数在大于1 + 1 的普通标量场 论不存在孤子解悼1 。，但是在2 0 0 0 年，非对易平面上的孤子解被构造了出来【2 引，接着发现 在背景b 场下，弦场论中d 膜可以表示为非对易孤子瞄引，利用非对易孤子的性质，s e n 对 偶的许多性质可以得到完美的解释阱1 ，更为有趣的是人们发现在非对易空间中，场论 中的孤子解可以由投影算符构造口引，这使得研究非对易空间中的投影算符变得非常重 要r e i f f e l 在非对易环严上构造了投影算子的完备集1 2 引；b o c a 构造了整数非对易轨形上 的投影算子，得到了许多重要的结果【2 剧，并用椭圆函数给出t t 2 z 4 上的投影算子的显 示形式m a r t i n e c 和m o o r e 研究了与投影算子相对应的孤子解以及它与物理的关系弘“； g o p a k u m a r ，h e a d r i c k 和s p r a d l i n ( g h s ) 在具有一般7 的非对易整数环构造了多孤子解p 驯， 这种方法可以用来构造整数非对易轨形t 2 z 上的投影算子i ”驯 人们已经显式的构造了许多整数非对易轨形铲z n 上的投影算子，但是对非整数非 对易轨形，我们无法用g h s 的方法来构造其上的投影算子的显式表达式，所以非整数非 对易规形上的投影算子还没有显式地构造本文试图来处理这个问题 本文安排 在本文中，我们利用将近两章的篇幅来介绍有关非对易场论和非对易轨形的基本知 识然后用接下来的篇幅讨论m o r i t a 等价，l k ，g ) 表象，投影算子的构造问题这些讨论基 于我们的工作【3 0 】 在第二章，首先介绍非对易空间的基本概念我们仅讨论非对易平空间璐中的问 题在处理非对易平空间中的问题时，g r o e n e w o l d m o y a l 乘积显得非常有用为了引 f l , g r o e n e w o l d m o y a l - 乘积，我们首先介绍与此相关的w 匆l 量子化，其中的w e y l 映射给 出了经典相空间上的函数对应的量子相空间函数，称为w e y l 算符它恰好可以看成是非 对易空间上的函数，因此w e y l 映射实际上是给出了普通空间函数到非对易空间函数的 变换，其的逆变换称为w i g n e r 映射，它和著名的w i g n e r 分布函数有关w e y l 算符之间的 算子乘法对应着普通空间函数的一种特殊的乘法，称为g r o e n e w o l d m o y a l - 乘积因此， g r o e n e w o l d m o y a l 一乘积在普通空间给出了一种描述非对易场论的方法，而在非对易空 间描述非对易场论的方法则由w e y l 算符决定，这种对应称为w e y l w i g n e r 对应接下来我 一4 西北大学硕士学位论文 们利用这种对应，给出了几种常见非对易场的作用量，讨论了它们的对称性 在第二章讨论非对易场论的基本概念后，为了研究非对易轨形上的场论，我们在第 三章详细讨论了轨形的基本概念和几何结构我们首先给出严格的轨形定义，它与我们 常说的轨形稍有不同，在以前并不为物理学家所感兴趣但是随着物理的发展，严格定 义的轨形开始有越来越重要的应用【3 1 。接下来，我们讨论r i c c i 平的轨形，我们从普通平 面彤出发，一步步介绍了轨形的构造方法，并用具体的例子说明了轨形如何构造，如何 描述接下来，为了能说明问题，又不陷入复杂的数学计算，我们讨论了五维场论如何通 过轨形t 1 z 2 紧化，从而得到四维的有效理论我们这些讨论很容易推广到其它维数的 轨形在了解了普通轨形及其上的场论后，我们来讨论非对易轨形严z 在普通轨形 上，由于对称性的限制，我们可以对场进行模式展开对非对易场论，我们这可以这样做 我们可以将其上的场作展开，各个模式对应的算符构成非对易环面的结构代数山的生成 元由此，可以定义非对易轨形对应的代数，它由a 代数中，在z 作用下不变的算子构 成，我们显式的构造了这种算子对两个非对易参数互为倒数的轨形，我们利用它讨论 了m o r i t a 等价的相关问题 在第四章，我们讨论对构造非对易轨形上投影算子非常有用的一个表象一i k ，g ) 表 象在限g ) 表象中，具有周期性的基矢i k ，g ) 在一个周期内构成一个正交完备集我们可 以使它的周期性恰好与轨形的周期性相容，因此对显式构造轨形上孤子解非常有用在 简要回顾l 七，口) 表象的定义后，详细讨论了具有z 6 对称性的i 庇，g ) 基矢的幺正变换z 6 对 称性表现为i k ，g ) 基矢的周期性与轨形丁2 z 6 相容循环群z 6 的作用表现为z 6 的转动， 且p 2 7 r 6 的转动由于i 后，g ) 基矢的周期性与轨形严z 6 相容，所以经历两个7 r 3 的转动和经 历一个2 7 r 3 的转动后，得到的基矢应该相同，这导致了一个非平庸的等式数论中的 高斯求和公式在数论的框架下要证明该式是非常困难的 在第五章，我们来讨论有理非对易轨形上投影算子的构造问题对一般的有理非对 易轨形，由于其结构代数的生成元不再能够交换，所以g h s 的方法不再能用于构造它上 面的投影算子由于本文利用的方法与g h s 的方法没有直接的继承性，所以g h s 方法在 此不再缀述在本章，我们首先讨论非对易场论中的孤子与投影算子的对应问题当非 对易参数趋于无穷时，在非对易标量场论中，容易得到孤子解与投影算子对应当非对 易参数有限时，由于非对易标量场不具有u ( ) 对称性，所以不存在稳定的孤子，为了的 到孤子解，我们必须加入规范场加入规范场后，我们也得到孤子解与投影算子对应接 一5 第一章引言 下来，我们来讨论有理非对易轨形上的投影算子构造问题通过非对易环的结构代数山， 利用与其m o r i t a 等价的代数a 肌我们构造了非对易轨形上的投影算子对非对易轨 形严z 4 ，在g ) 表象下我们显式的写出了投影算子的矩阵元在构造投影算子的过程 中，我们用到了a 1 坩代数元素6 的逆元，在非对易参数小于一的情况下，我们证明了b 的逆 元b - 1 存在，且仍是4 的元素 在最后，我们安排两个附录附录a 介绍在显式写出投影算子矩阵元时非常有用 的t h e t a 函数的性质附录b 介绍文中非常常用的一些公式 6 一 西北大学硕士学位论文 第二章非对易场论基础 非对易场论指建立在非对易空间的场论，非对易空间的坐标用厄米算符表示常 见的非对易空间坐标满足的关系有 h e i s e n b e r g - w e y l 代数 【圣，】= i p 巧( 2 1 ) 其中卵为反对称实常数矩阵，称为非对易参数交换关系出现虚数i 是由于两个厄 米算符的对易子是反厄米的 l i e 代数 ， = i 路2 知 量子代数 岔= q - 1 r 錾圣七岔2 本文仅限于讨论( 2 1 ) 描写的非对易空间，即非对易平空间璐更进一步，我们讨论的非 对易空间满足关系1 p ，圣j 】= i 0 叼，陋。，矿】= i ，瞄。，矿】= 0 ( 2 2 ) 其中是圣的共轭坐标并取危= 1 在此空间上，我们先引入g r o e n e w d l d m o y a l - 乘积，然 后再讨论其上的场论 2 1 g r o e n e w o l d m w a l * - 乘积 g r o e n e w o l d - m o y a l 一乘积( 有时称为m o y a l * - 乘积) f h g r o e n e w o l d 在1 9 4 6 年引入，是 相空间乘积的最重要的例子2 1 9 4 9 年，m o y a l 在不了解g r o e n e w o l d 的工作的情况下也 独立的引入了这种乘积1 5 一。 本节首先根据w e y l 的相空间量子化方案给出非对易空间上算符与对易空间上定 义的函数的关系，即对易空间的函数通过w e y l 映射变为非对易空间的算符，其逆映射 是w i g n e r 映射，它们之间的对应关系称为w e y l - w i g n e r 对应接下来我们讨论非对易空间 1 也有人指出m 1 ，为了保持非对易理论的b o 舱统计，我们必须引入动量非对易的空间有关这种空间上 的讨论，参看 3 3 】 2 相空间乘积的定义不是唯一的，关于- 乘积唯一性的讨论请看 3 4 】 一7 一 第二章非对易场论基础 上算符的乘积在对易空间上的对应，这种对应关系给出t g r o e n e w o l d m o y a l * - 乘积，这 样我们就建立了非对易空间上函数的对易空间表示，以及它们之间的运算规则我们 利用二维量子相空间作为例子，根据w e y l 映射，导出t g r o e n e w o l d m o y a l * 一乘积，这对理 解g r o e n e w o l d m o y a l 一乘积很有帮助最后我们不加证明的总结了g r o e n e w o l d m o y a l * - 乘积的一些性质 关于g r o e n e w o l d - m o y a l - 乘积一般性理论可以参看 3 5 】，更物理的介绍可以参看 3 6 ， 本节主要参考 3 6 2 1 1 w e y l 算符 考虑d 维非对易欧几里得空间r 尹，假定r d 空间中的函数厂( z ) 都属于一个恰当 的s c h 僦z 函数空间，即，厂( z ) 在无穷远处以足够快的速度趋近于零【3 7 1 这意味着对任意 的k ，m z + ，有 s u p ( 1 + i x l 2 ) ”扣。懈1 0 3 d f ( x ) 1 2 。 o 因此，厂( z ) 可以用f o u r i e r 变换后的函数，( 七) 来描述，其中 ，十 ，( 尼) = d d x f ( x ) e 。h ，一o o ( 2 3 ) 在非对易空间础中，满足对易关系( 2 1 ) 的厄米算符替代了普通对易空间的局域坐标， 它是非对易空间上算子非对易代数的生成元w e y l 量子化给出了这种非对易算子和普通 欧几里得空间r d 上函数的一一对应关系，这种对应关系与局域量子场论中的算符一态对 应类似给定函数厂( z ) 和它对应的f o u r i e r 系数( 2 3 ) ，我们可以引进w e y l 算符为 哪 = e 研d d k m ) e i 蛐 ( 2 4 ) 其中，我们取对称的w e y l 算子序 m ( 2 3 ) 和( 2 4 ) 得 伽【月= d d x f ( x ) 厶( x ) ( 2 5 ) 其中 厶= e 研d d k 沙) 这种函数到算子的映射称为w - e y l 映射 8 ( 2 6 ) 西北大学硕士学位论文 例如，取，( z ) = e i f ，则有 v 矽 e i 】= e 两d d k d d x 砂始飞岫 = d d k 7 e 啦粕d ( k i 一联) = e i k i h t 算符( 2 6 ) 是厄米算符，满足厶( z ) = 厶( z ) 它是算符和函数在时空中的一个混合基底通 过( 2 5 ) ，我们就可以将场，( z ) 解释成w e y l 算符仰 卅的坐标表象当一。时，( 2 5 ) 变成 平庸的等式仰【月枷= ，( 圣) 但是当o 时，由于坐标之间不对易，( 2 5 ) 揪x l z 庸 引入非对易空间的求导算符反，它满足关系 限，】= 彰，【反，岛】= 0( 2 7 ) 这与( 2 2 ) 相容所以 蛐删娟，e 器舻鼬) “c 啬舶勺 = - o , x ( z ) 结合定义( 2 5 ) ，我们有 r - + - o o ，- 1 - o o 【反，仰【月】= d d 厂( z ) 厶( z ) ，侥】= d d ( 魏，( z ) ) 厶( z ) = 1 汾【a ，( z ) 】 i ，一o o ，一 拶厶e 一反= e 研d d k 鼬一铲 = e 爵一舷q 以， = 厶( z 一钉)( 2 8 ) 因此，e t ，反是平移算符根据( 2 8 ) 式，我们还可以推出 t r 厶( z u ) ：t r e 反厶( z ) e 一反：t r e 一反反厶( z ) ：t r x ( z ) 这意味着厶( z ) 的算子迹与z 无关因此，我们容易得到 t - t r e 器一= 1 9 一 ( 2 9 ) 根据( 2 5 ) ，有 t r w f 】：厂+ o o ( i 。z ，( z ) 一 现在，我们来计算厶( z ) 厶( 可) ，由( 2 6 ) 式可得 + 一。d d z e i k i z 厶( z ) _ + 一一。d d z e i k i z 一一0 0 研d d k 扩抄一) ：厂+ d d k ，e i 磁5 。( 一磁)= 7 磁d ( 一磁) ，一 = e i 扩 因此，利用g l a u b e r 公式( b 6 ) 式，我们有 ( z ) ( 剪) = = = = d d kd d k 7 ( 2 7 r ) d ( 2 7 r ) d d d kd d k ( 2 丌) d ( 2 丌) d d d kd d k 7 ( 2 7 r ) d ( 2 7 r ) d d d z 2 k ( z ) e i k i ( $ 一) e i 巧( 一y j ) e i ( k i q i j 。a i e 一；p 巧巧e - i ( + 矿) - 一+ - o o ! z i 厶( z ) e 一 j 巧e 一“一+ 矿) = j 二二铲z 公。孙j 二二 如果是非退化的，则我们可以得到 ( z ) ( 可) =7 r d id e t 0 ( 2 1 0 ) 害集一如) 厂佃蒜e ；巧( z j - u j ) e - j 抄巧 ( 2 7 r ) d 。一( 2 7 r ) d 。 啬一缸。( 耖卅卅) ，十 d d z h ( z ) e 一2 “一一1 ) t ，( 一：) ( 掣j - z j ) ( 2 1 1 ) t ，一 利用( 2 9 ) 式，以及p 的反对称性，我们有 t r 厶( z ) 厶( 矽) = 6 dx y ) 即，厶( z ) 构成一组正交基底，由此我们得到( 2 5 ) 的逆变换为 m ) = t r ( 谛 门厶( z ) ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 从一个算符通过( 2 1 3 ) 式得到的函数通常称为w i g n e r 分布函数【3 8 1 ，上式的关系称 为w i g n e r 映射厶( z ) 在w i g n e r 分布函数和w | e y l 算符之间建立了一一对应的关系，这 种对应关系称为w e y l w i g n e r 对应 2 1 2 g r o e n e w o l d m o y a l - 乘积 现在我们来计算w e y l 算符之间的乘法与w i g n e r 分布函数之间的乘法对应关系，以此 来说明g r o e n e w o l d m o y a l 一乘积的物理意义 1 0 西北大学硕士学位论文 t r ( 衄嗍私( z ) ) 一t r ：o od d y d d z 厶( 泓m ) 出) 厶( z ) ：+oodd，y。dldzddlw，(、可)夕()e-2i(0-1),j(y*-w*)(zj-i z 、j t r ( 厶( w ) 厶( z ) ) d =t ，1 口f ” ( f1 f z ) 1 l ，一o o 丌de t0 i 。w 脂、 、一、7 一r 川 2 雨丽1f ，嘶 m ) 出矿2 “旷。j 佃q 勺 = e 两d d k d d k m 顾尼7 ) e i k t x i e - 抄蛳巧 三( f g ) ( z ) ( 2 1 4 ) 上式中，我们定义的乘积称g r o e n e w o l d m o y a l * - 乘积，有时也称为m o y a l 一乘积又由 于 t r ( 咖郇) 劬 e d d 锄酬阳黼 = e 酬加( 厶厶) = d d z ( ，9 ) ( z ) 护( z z ) = ( f g ) ( 甸 所以w e y l 算符之间的乘法与w i g n e r 分布函数的g r o e n e w o l d m o y a l * 一乘积对应 w ， w m = w f g 】 ( 2 1 5 ) 这就是著名的w e y l w i g n e r 对应公式另外，由( 2 1 0 ) ，( 2 1 3 ) 以及( 2 1 4 ) 式，我们也可以得 到( 2 1 5 ) 式，这说明w e y l - w i g n e r 对应与g r o e n e w o l d m o y a l - 乘积是自洽的 下面我们以二维量子相空间为例来进一步说明g r o e n e w o l d - m o y a l 乘积的物理意 义对经典的二维相空间( z ，p ) ，其上任意的函数f ( x ，p ) p - 似写为 f + o o f ( x ，p ) = d x 7 d p 7 6 ( z z w ( p p 7 ) ，( z 7 ，) t ，一 2 南，d x d p d ，7 - d a e i ( r ( x - x ) + a ( p - # ) ) 八，p ，) 对量子的二维相空间，( z ，p ) 对应的算符( 2 ，少) 构成h e i s e n b e r g - w e y l 代数，满足对易关系 【圣，多】= i ，陋，岔】= 防，西】= 0 一1 1 一 第二章非对易场论基础 而e ( 糟+ 卯) 是其对应的群元按照w e y l 的方案，经典相空间的函数f ( x ，p ) 对应的量子相空 间算符，( 岔，矽) 定义为 m 三南，出w 打曲e i p 吨。扣铲们) ，( ， ( 2 1 6 ) 此