（机械设计及理论专业论文）扫掠问题的理论研究及其在机构设计中的应用.pdf

摘要 扫掠问题的应用十分广泛，例如、计算机图形学和计算几何中的实体造型 方法，数控加工中刀具路径的生成及加工仿真验证，机器人学中机器人无碰撞路 径的规划以及计算机辅助设计与制造中涉及的碰撞检测问题等。尽管人们对实体 造型技术已有比较深入地研究，然而使用扫掠技术可以生成更为复杂的实体。国 内外关于扫掠技术的研究虽取得一些进展，但扫掠的性质( 如有效性、可计算性) 仍未被很好地理解，扫掠还需要进一步研究。本文利用离散法和扫掠法的综合及 计算机图形学的有关理论，论述了扫掠的有关原理，提出了有利于解决扫掠有效 性和可计算性的方法和策略，归纳了生成扫掠区域的计算方法，并利用 o b j e c t a r x 技术，结合v i s u a lc + + 6 0 在a u t o c a d 2 0 0 0 平台上实现了扫掠区域的 图形生成。全文共分为六章，各章的主要研究内容如下： 第一章系统地分析了国内外扫掠问题的研究现状和扫掠技术的应用领域，归 纳了扫掠问题的研究方法，并阐述了本文的主要研究内容。 第二章主要论述了扫掠技术的理论基础。 第三章将扫掠技术应用于机构分析和综合之中，提出了机构构件修形问题的 解决方案，利用离散法和扫掠法的综合提出了生成扫掠区域边界的算法，即将机 构运动分解为一系列绕相对转动极点的旋转运动，从而用圆弧曲线及任意形状的 构件外形轮廓曲线形成扫掠区域边界。依据逆扫掠的思想，提出了解决生成逆扫 掠区域边界的策略并给出了相应的算法。最后，研究了一般空间刚性构件扫掠体 生成的思路和设想。 第四章论述了生成平面构件扫掠区域的详细计算方法，提出了解决类似问题 的通用方法和策略，并对该方法的误差进行了理论分析研究。 第五章介绍了软件的开发环境，a u t o c a d 和o b j e c t a r x 2 0 0 0 的开发技术以 及面向对象的编程思想，给出了扫掠边界软件开发过程及其应用实例，实现了参 数化选择不同的扫掠轨迹和扫掠规则下，生成构件的扫掠边界图形。 第六章进行了全文总结，得出了一些有益的结论，并就进一步的深入研究提 出了一些设想。 关键词：扫掠，机构修形，扫掠边界，实体建模，o b j e c t a r x ，o o p a b s t r a c t t h e r eh a sb e e nal o to fl i t e r a t u r ea n d a p p l i c a t i o n s t l l a th a v eu s e d s w e e p t e c h n o l o g y f o re x a m p l e ，i ti sa p p l i e di nt h ef i e l d so fs o l i dm o d e l i n go fc o m p u t e r g r a p h i c s a n d c o m p u t e r a i d e d g e o m e t r i cd e s i g n ，n u m e r i c a l l yc o n t r o l l e d ( n c ) m a c h i n i n gv e r i f i c a t i o na n ds i m u l a t i o n , p a t ht r a j e c t o r yp l a n n i n g ，c o l l i s i o nd e t e c t i o n a n dw o r k s p a c eo fr o b o t i cm a n i p u l a t o r s d e s p i t ei m p o r t a n tr e c e n ta d v a n c e si ns o l i d m o d e l i n g ，r e p r e s e n t a t i o no fc o m p l e x s o l i db o d i e sc a nn o wb ep e r f o r m e d u s i n gs w e e p t e c h n i q u e s t o y i e l dv e r yc o m p l e xs o l i d s a l t h o u g hd e v e l o p e dr e s e a r c h o ns w e e p t e c h n o l o g yh a sb e e nm a d e ，s w e e pp r o p e r t i e ss u c hf l sv a l i d i t ya n dc o m p u t a b i l i t yo f s w e e ph a v en o tb e e nu n d e r s t o o dc o m p l e t e l y af u r t h e rr e s e a r c hi sn e e d e di nt h o s e d i r e c t i o n s w i t hd i s c r e t em e t h o d ，s w e p tm e t h o da n dc o m p u t e rg r a p h i c st h e o r y , t h e p r i n c i p l eo f s w e e pt e c h n o l o g yi s ，d e v e l o p e da n d s o m em e t h o d sc o n c e r n e dw i m s w e e p p r o b l e ms o l v i n go nv a l i d i t ya n dc o m p u t a b i l i t yo fs w e e p a r ea d d r e s s e di nt h i sp a p e r a n a l g o r i t h mo f t h e s w e p ta r e aa n dt h ea p p l i c a t i o no fo b j e c t a r xc o m b i n e dw i t h v i s u a lc + + 6 0t og e n e r a t i n gt h es w e p ta r e ab o u n d a r ya r ep r o p o s e d t l l i sd i s s e r t a t i o n c o n s i s t so f s i xc h a p t e r s ；t h em a i nr e s e a r c hw o r k si ne a c h c h a p t e r a r es t a t e da sf o l l o w s ： i n c h a p t e ro n e ，t h ed e v e l o p m e n ta n dr e s e a r c h s t a t u e so ns w e e pp r o b l e mi s s u r v e y e d 1 1 1 ea p p l i c a t i o n s o fs w e e pt e c h n o l o g ya n dr e s e a r c ht h r u s t so fs w e e p p r o b l e m a 砖d i s c u s s e d t h em a i nr e s e a r c hw o r k si nt h i sp a p e ra r es t a t e d ， i nc h a p t e rt w o ，t h em e t h o da n d t h e o r y f o rs w e e p t e c h n o l o g y i sd i s c u s s e d i nc h a p t e r t h r e e ，a c c o r d i n gt oa n a l y s i so n c h a r a c t e r i s t i co f p l a n a rm e c h a n i s m ，t h e s h a p em o d i f i c a t i o p r o b l e mo fa r b i t r a r yp l a n a rc o m p o n e n ti ss t u d i e d w i t hd i s c r e t e a n d s w e p tm e t h o d s ，as w e p t a r e ab o u n d a r yg e n e r a t i o na l g o r i t h mi sd e v e l o p e dh e r e a m o t i o no fc o m p l e xp l a n a rm e c h a n i s mc a nb es i m p l yr e g a r d e da st h es y n t h e s i so fa s e r i a lo fr o t a t i o n a lm o t i o no nt h ep o i n t so f r e l a t i v em o v i n gc e n t r o d e ；t h e r e b ys w e p t a r e ab o u n d a r yi s c o m p l e t e db yc o n n e c t i n g t h e p e r i p h e r y o fs i m p l ec i r c l ew i t h t r a j e c t o r yo ft h em o v i n gs o l i d so u t e rb o u n d a r y s o m ei d e a sa n da l g o r i t h m sw e r e p r o p o s e d w i t h u n s w e e pt e c h n i q u e si na d a p t i n gu n s w e e pa 髓g e n e r a t i o np r o c e d u r e t o m o d i f ys h a p eo fp l a n a rc o m p o n e n t s t h es w e p tv o l u m eg e n e r a t i o nf o rs p a t i a ls o l i d c o m p o n e n t s i sp r o p o s e d i nc h a p t e rf o u r , 趾a l g o r i t h mo fg e n e r a t i n gp l a n a rs w e p ta r e ab o u n d a r ya n dt h e g e n e r a lm e t h o d f o rs o l v i n gt h i sp r o b l e mi sa d d r e s s e d a tl a s t , t h ee l t o ra n a l y s i so f t h e a l g o r i t h mi sd i s c u s s e dw i t hi t sa p p l i c a t i o ne x a m p l e s i nc h a p t e rf i v e ，a u t o c a d ，o b j c e t a r xp r o g r a m m i n ge n v i r o n m e n ta n do o pa r e d e s c r i b e d 1 1 1 es o f t w a r ep r o g r a m m i n gf o r g e n e r a t i n g t h e s w e p ta l g ab o u n d a r y i s p r o p o s e dw i t hi t sa p p l i c a t i o ne x a m p l e s f i n a l l y , e x a m p l e so fs w e p ta r e ab o u n d a r y c u r v ea r ep r e s e n t e d s o m eb e n e f i c i a lc o n c l u s i o n sh a v eb e e nd r a w na n ds o m ec o n s i d e r a t i o n sf o rf u t u r e w o r ka r ed i s c u s s e di nt h ee n do f t h i sp a p e r k e yw o r d s ：s w e e p ，s h a p em o d i f i c a t i o n , s w e p t a r e ab o u n d a r y , s o l i dm o d e l i n g ， o b j e c t a r x ，o b j e c t - o r i e n t e dp r o g r a m m i n g t e c h n i q u e l i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得墨壅盘茔或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：孑暮移粗 签字日期：2 口吃年2 月5 f i 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盘叠盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权苤壅盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：弓：阶墨敖 导师签名： 互壁瘩。 签字日期：2 口吃年，z 月扩e l 签字日期：细2 年f 王月7 f 日 第一章绪论 1 1 概述 第一章绪论 唐朝诗人王建有诗日：“朝日满园霜，牛冲篱落坏。扫掠黄叶中，时时一窠 薤”。诗中的扫掠，是指树叶被风吹起在空中飞舞。油笔画法中的扫掠技法，是 用笔尖把颜料轻轻扫掠上去。绘图中的扫掠效果，就是拖曳图形时在其所经过的 地方留下图的影像。工程上的扫掠又称扫描，是指二维或三维物体沿路径运动从 而形成曲面或实体，也正是本文研究的课题。 扫掠的应用十分广泛，例如、计算机图形学和计算几何中的实体造型方法， 数控加工中刀具路径的生成及加工仿真验证，机器人学中机器人无碰撞路径的规 划以及计算机辅助设计与制造中涉及的碰撞检测问题。下面就从扫掠技术的应用 领域和扫掠的分类两个方面进行阐述。 1 1 1 扫掠技术的应用领域 尽管人们对刚性物体的实体造型技术已经比较熟悉，然而使用扫掠技术可以 生成更为复杂的实体。同样地，在机器人技术方面，使用扫掠技术可用于确定工 作空间、进行灵巧分析和路径验证等。在军事上，使用扫掠技术可预测两个扫掠 飞弹是否碰撞。在笔划造型中，诸如中国字、印度字和阿拉伯字，扫掠方法被用 做产生正确的笔迹。可以说，扫掠技术应用非常广泛，扫掠领域的发展潜力也是 巨大的。 1 1 1 1 实体造型 过去十几年来，由于其在获得精确边界表示方面的重要应用，扫掠成了人们 竞相研究的技术。扫掠在刻划复杂形状的曲面和实体的几何造型系统中具有很强 的造型功能。作为在实体造型领域一个可供选择的方法，扫掠技术在生成复杂实 体方面的能力尤为突出。由一个简单的几何实体开始，利用多重扫掠技术，可以 生成过去实体造型技术无法实现的复杂实体。无论是作为标准建模工具，还是在 现有的c a d 计算机编码中的嵌入能力，扫掠技术对于精确描述复杂物体都是一个 有效工具。 1 1 1 2 机器人机械手臂操作空间 扫掠公式可以有效地描述直到五自由度的操作空间( 或可实现的操作空间) ， 扫掠研究在机器人功能性、环境中距离目标的位置以及机器人设计等的理解上都 第一章绪论 有重要应用。例如，在机器人装配操作的过程中，由于各种不确定性因素的存在， 装配件于环境之间总会发生接触和碰撞，研究机器人机械手臂操作空间具有重要 意义。机器人的灵活性、位置以及可操作性都是扫掠技术的直接应用。 1 1 1 3 数控验证 零部件在正式的生产加工前，通过扫掠技术可以预先计算出需要切除的零件 的大小，不仅提高了零件的质量更显著降低了交付时间。数控验证是一个非常划 算的工具。 1 1 1 4 躲避碰撞和干涉检验 两个实体的扫掠在它们轨迹的包络线上生成了边界曲面。如果将时间看作一 个附加的参数，利用相关扫掠公式可以检测到碰撞。在许多需要判断一个物体是 否与运动中的另一个物体发生碰撞的干涉检验问题中，扫掠技术也发挥着重要作 用，例如，将扫掠技术应用于导弹上，可计算出碰撞路径的精确包络体( 例如， 飞毛腿和爱国者导弹) 。在机构的设计中，利用扫掠技术可以确保机构中所有的 构件都在某一范围内运动，并且构件之间不发生干涉。在比如，加工零件时的干 涉检验可以有效地避免刀具切到夹具和机床。 1 1 1 5 路径规划 在许多应用中，我们通过预先安排物体的运动来避免干涉的发生。计算每个 物体沿其计划路径的扫掠体有助于规划最优路径。 1 1 1 6 可维护性分析 这种技术能解决移动部件在其运动过程中占据空间的问题，解决了设计者关 心的最优工作区域的问题。例如：考虑汽车轮子的运动，为了获得汽车车身和底 盘的晟优设计必须确定出汽车运动的包络体( 扫掠体) 。 1 1 1 7 人机工程学分析 在飞机座舱、汽车里，胳膊或腿的伸缩空间在研究仪器和工具的方位中是一 个重要的因素。同样地，办公桌的空间在家具的设计和布局中也非常重要。 1 1 2 扫掠的分类【2 1 扫掠被认为是最基本的实体表达形式。作扫掠运动的物体可以是一个点， 也可以是曲线或曲面，甚至是个实体。对于由点扫掠成线比较容易理解，由曲 线扫掠可以生成曲面，对于运动物体是曲面或实体的情形，可归结为求扫掠面和 2 第一章绪论 扫掠体的问题。一般地讲，扫掠问题主要包括扫掠面和扫掠体以及扫掠面的特殊 情形扫掠区域三部分。 1 1 2 1 扫掠面 扫掠面即是曲线沿某个轨迹按某种规则在空间扫动而生成曲面。在图形生成 和设计中方便灵活、应用广泛。扫掠面的形成受到三个因素的影响：截面线( 通 常为二维曲线) 、路径曲线( 或脊线) 以及扫掠规则。截面线决定曲面的横断面 形状，路径曲线决定曲面的纵向形状走向，而扫掠规则影响曲面的形状细节，即 截面线在路径曲线上的定位方式，截面线运动过程中的形变方式，如截面线的横 向伸缩以及轴向扭转等。 设有两条曲线c l ( 和g ( v ) ，扫掠面就是曲线a ( 却沿着曲线c 2 ( v ) 运动所生 成的曲面。其中曲线c i ( z o 可能被旋转和缩放。具体地讲，对于曲线c 2 ( v ) 范围内 的每个t ，曲线a ( 砷被移至点g ( 力，这种移动可能是旋转，也可能是缩放。因 此，当f 从。变到l 时，变换曲线c 1 ( “) 扫掠得出的面就称为扫掠面。在这里， 曲线c i ( “) 和c 2 ( v ) 分别对应着截面线( p r o f i l ec u r v e ) 和路径曲线( t r a j e c t o r y c u r r e ) 。 通常有两种扫掠方法：平移扫掠和旋转扫掠。如图l l 是平移扫掠的情形， 图中a ( 六边形) 是一个二维的多边形，表示截面线。口是一条有向的直线，即 路径曲线，a 沿着占路径进行扫掠运动，则形成图中右侧所示物体。图1 2 是旋 转扫掠的情形，这个物体可看成为集合爿按口轴旋转的路径运动而成。 。信7 图1 - i 平移扫掠 91 ) 占 o ：灞 图1 2 旋转扫掠 3 第一章绪论 1 1 2 2 扫掠体 扫掠体是由三维物体运动生成的复杂实体，它的生成受原始物体及运动规 律两个因素的影响。由于扫掠体问题具有很强的应用背景，因而广泛受到人们的 重视。扫掠体即可被表示为运动物体上所有点的集合，又可表示为构造实体几何 模型( c s g ) 年1 1 边界表示模型( b r e p ) ，具体形成方法如图1 3 所示。 由于三维物体形状和运动规律十分复杂，扫掠体的计算是十分困难的。扫 掠问题按物体及路径所处空间情况还可分为二维扫掠问题和三维扫掠问题。 1 1 2 3 扫掠区域 图l - 3 形成扫掠体的不同方法 扫掠区域【3 】为扫掠面的退化情况，所谓扫掠区域是指二维物体在其定义平面 内运动时所占据的累积区域。扫掠区域的应用十分广泛，在机构分析与综合中， 可采用扫掠区域边界轮廓对构件进行运动分析、改变构件形状及构件构造。例如， 通常当我们设计一个平面机构时，连杆间的干涉是通过反复试验来避免的。而采 用扫掠区域方法就不需要进行反复地干涉检验，在某已有连杆扫掠区域之外设计 新连杆几何结构，就可以避免新设计的连杆与已有连杆间的干涉，而无须进一步 的模拟仿真试验。 扫掠被认为是最基本的实体表达形式。扫掠问题的定义虽然很简单，但其 完善的数学表达却是十分困难的甚至是不可能的【4 】。由于扫掠问题涉及领域的广 泛性及数学模型建立的复杂性，许多学者对此进行了深入的研究并取得了一定成 果。 1 2 国内外对扫掠理论的研究 1 2 1 扫掠面( s w e e p s u r f a c e s ) 虽然扫掠面形成方法简单且具有较强的几何造型功能，但要得到符合设计 要求、计算简便的曲面也非易事。许多专家学者对此问题进行了研究，并提出了 4 第一章绪论 一些算法。在以往的研究中，扫掠面的表达即数学模型是研究重点。c h o ir 5 1 币l j 用 坐标变换及曲面融合方法给出了扫掠面的数学模型。具体方法分为四步，首先给 出坐标系及曲线的定义，然后进行扫掠变换，第三步利用边界条件校正截面形状， 最后对所得曲面进行融合操作以得到扫掠面。他推导了按照四种扫掠规则进行扫 掠所得扫掠面的参数化表达式。其中工程设计上经常遇到的扫掠面的表达形式 为： r ( u ，v ) = ( s ( u ) 一g ) s w e e p ( q 6 ，臼( v ) ) + g ( v ) 其中、双v ) 为路径曲线，双“) 为截面曲线，g 为参考点，s w e e p ( 哆口( v ) ) 为扫掠变 换。 由于n u r b s 曲面作为几何数据的标准形式得到广泛使用，因此一些学者 对扫掠面的n u r b s 曲面表达进行了研究。汪国平f 6 】对扫掠面的n u r b s 曲面逼 近情况进行了研究。他通过仿射变换用拟合方式来控制扫掠面的逼近精度，将逼 近误差控制转化为插值曲线的估计，从而具有直观快速，精度控制方便，符合扫 掠面生成的特点。此外、还采用广义平移标架降低对截面线形状的要求。k l o k 7 】 针对f r e n t 标架的缺陷，论述了当二维物体沿空间曲线运动及曲线法线变得病态 时应如何选择标架的问题，并推导出适合规则曲线的运动标架。b l o o m e n t h a l s l 研 究了截面线和路径曲线皆为n u r b s 曲线的扫掠问题，给出了张量积的n u r b s 曲面。他通过控制点方法，并利用一系列偏移曲线生成n u r b s 形式的扫掠面。 算法具有快速、可靠的特点。j u t t l e r 9 介绍基于有理运动技术以n u r b s 曲面形式 产生扫掠面的问题。首先基于一条空间脊线的旋转最小标架建立有理扫掠面模 型：并将有理运动下的可展曲面的准确包络曲面表达为有理曲面。文章还利用 h e r m i t 插值法，给出标架的改进方法。 1 2 2 有关扫掠区域的研究 1 ，22 1 扫掠区域近似边界计算法 l i n g t 4 l 对一个凸形二维物体在其所处平面内以任意形式运动形成的扫掠区 域边界进行了研究，并提出了扫掠区域近似边界的计算方法。他提出的算法分为 11 个步骤，基本思想是：首先确定物体每个离散位置上的包络点，当物体上包 络点数目发生变化时将扫掠区域分成固定数目包络点的区域集合。为了减少包络 点的计算时间，采用了瞬时运动中心的方法。然后跟踪在物体两离散位置上的对 应点并将包络点列表排序，排除由于运动反向等原因造成的重复点，并用参数化 样条曲线将相邻包络点连接起来与运动物体外部曲线段一起构成扫掠区域的外 部轮廓形状。s a m b a n d a n m i 也提出了类似的方法，但其处理的物体为多边形。 1 22 2 简化截面形状 第一市绪论 s a p i d i s 【i ”在研究机器内部零件布局时提出截面形状的简化问题。由于限定 零件的移动为直线方式，因而此时扫掠变为拉伸，所形成的扫掠曲面为柱面，扫 掠面的形状只受截面线的影响。他用直线段来简化截厩形状，所提简化标准是鲁 棒性的。算法采用自顶向下的方式，即先整理整体( 大特征) 轮廓，如特征未得 到简化，则再考虑局部小特征轮廓的简化，从而节省计算时间。算法最坏时间复 杂度为o ( n 3 ) ，其中n 为轮廓线段的边数。 在一些具体应用中，扫掠面的计算往往可以得到简化。b r o n s v o o r t 1 2 】用b 样条曲线表示了一种特殊的扫掠面广义柱面。c h u n g1 1 3 1 在研究n c 刀具加工仿 真验证问题时，提出了用形如z = ，h ，力的单值函数来解决刀具扫掠面的表达问 题。刀具扫掠面为规则曲面，其由刀具开始及终止位置的轮廓线决定。c h u n g 所 得扫掠面虽然形式及计算简便，但由于刀具运动为直线运动，因而应用范围受到 一定限制。u e n g l l 4 l 在解决反求工程时，提出一个由三维测量数据重构扫掠面的 方法。他利用非线性优化算法生成b 样条曲线截面形状、路径曲线，通过组合 高斯消除法和鲍威尔搜索法优化每个测量值和b 样条曲线定义多边形顶点的未 知参数值，然后使截面线沿路径运动形成一系列扫掠面片，所有面片然后被拼合 从而形成所要求的扫掠面。u e n g 所述方法仅适用于路径曲线为直线或圆弧的情 况。 机器人操作臂工作空间规划问题也涉及扫掠面的生成问题。由于它涉及因 素较多，这里不对其进行讨论。 i 2 3 有关扫掠体的研究( s w e p tv o l u m e ) 令4 代表进行扫掠运动的物体即生成体，a ，表示生成体运动过程中某一位 置上的姿态，s v ( a ) 为扫掠体。根据扫掠体的定义有s 州) = u a ，t = - 0 ，1 ，t = o 和t = - i 代表生成体运动初始与结束时的姿态。这个定义没有显式地表示出运动路 径的情况，也未提供扫掠体的相关几何信息、如边界及内部信息，因而无法利用 它进行计算。许多专家学者在不同领域对扫掠体的表达与计算进行了研究，下面 对他们的一些研究进行论述。 1 2 3 1 实体造型 m a r t i n i ”1 论述了求解扫掠体的复杂性，提出了扫掠体的理论基础问题，认 为应融合几何造型技术、计算代数及计算机图形学等方法来解决扫掠体问题。 m a r t i n 主要采用包络理论来求出扫掠体，即将原始物体看成是由一系列超曲面边 界构成，扫掠体表面就是这些超曲面扫掠后所形成的包络面。在求解包络面时现 有的任何一种方法都不能单独地、很好地解决问题，如采用因式分解法虽可求出 包络面但可能产生多解或奇异解的情况。m a r t i n 所述方法应用于物体图形绘制方 6 第一市绪论 面较好，对具体的扫掠体计算效果并不理想。g a n t e r h 6 1 等也采用包络理论来求出 扫掠体。 j o h n 】导出了生成体为平面立体时所得扫掠体的几何表达。利用集合方法 给出扫掠体的点集定义，从而将立体的扫掠体问题转换为多边形的扫掠体问题。 认为扫掠体上边界点是多边形平面扫掠边界上点的子集。通常扫掠体的边界曲面 由规则曲面和可展曲面两部分构成。规则曲面部分是由生成体多边形的边扫掠所 形成，而可展曲面则由生成体多边形的平面扫掠形成的单参数平面族的包络得 来。边界点决定规则曲面和可展曲面。提出了利用面法线来确定规则曲面段和可 展曲面段上哪些点为边界点的方法。发现当多边形在空间不相交时，扫掠边界仅 由规则曲面形成( 这种情况可用于简化扫掠路径为直线段或圆弧段的计算问题) ， 否则扫掠边界由规则曲面段和可展曲面两部分构成。 b l a c k m o r e 嵋】利用李氏群和微分方程的方法给出扫掠及扫掠体的准确定义。 此定义具有全局特性，因而可用于分析扫掠体的拓扑和几何性质。此外生成体在 运动过程的任一位置上姿态也可被准确描述。b l a c k m o r e 认为扫掠体表面可由一 些经过适当选择点的运动轨迹所确定，据此解决了扫掠体的类型判断问题。 b l a c k m o r e 所提算法适于处理简单物体的扫掠体，对于复杂物体的扫掠体计算则 很困难并且无法处理扫掠体的自相交问题。l e u 1 9 】等人也使用微分方程方法来解 决问题。b l a c k m o r e l 2 0 1 还采用扩展微分方程方法来解决变形扫掠问题。为解决扫 掠体的自相交问题，b l a c k m o r e 【2 l 】以扫掠包络微分方程( s e d e ) 算法为基础，提 出了处理分段光滑物体沿光滑路径扫掠的有效、稳定的裁剪算法。 a b d e l m a l e k l 2 2 】利用雅可比条件给出了双参数或多参数几何实体的扫掠体 的几何表达。他瞄1 还给出多重扫掠的概念并利用其来产生涉及扫掠体的所有超实 体，并提出确定扫掠体边界的标准。采用机构运动学中的d e n a v i t - h a r t e n b e r g ( 简 称d 胁方法解决多重扫掠问题，如机构构件的扫掠体。d - h 方法可为每个扫掠 操作提供确定坐标系的系统方法，并可作为扫掠体建模的前处理过程。d - h 方法 利用相邻两坐标系的四个独立参数表示每个扫掠，并提供计算实体质量特性的能 力。 1 2 3 2 仿真验证 w a n g 2 4 】在进行五轴刀具实时加工仿真验证时，对圆柱、圆球端刀具加工运 动所形成的扫掠体进行了研究并导出了相应的公式。他将物体看成是由一系列曲 面构成，而曲面又由一些线段和临界线所组成。扫掠体表面就是这些线段扫掠后 所形成的包络面的并集。由于限制扫掠体路径为连续可微的，物体表面是凸的规 则曲面，因此扫掠所得包络面也是规则曲面，其隐式方程为： 第一章绪论 烈, 3 0 t 弘乙d 。0 l ， e = r ( u ( v ，f ) ，v ，f ) 】 医熹扣f瓦面瓦r ”j l i u 2 刀依据扩展四叉树适于表达实体拓扑信息、易于进行布尔操作及b - r e p 法可 b l a c k m o r e l 2 3 1 利用扫掠包络微分方程( s e d e ) 方法计算沿任意光滑路径运 扫掠体可用相对简单的静态干涉检测来对动态碰撞进行测试。g a n t e r l 2 9 1 针 第一章绪论 计算较简便，但运动物体限为凸多面体且离散点如何选取也未详细论述。 k i e f f e r 3 0 1 基于微分几何给出了扫掠体的一般表达形式。他采用曲面、线段 即b r e p 形式来表达物体，并导出了扫掠曲面、线段的准确的解析表达。通常情 况下。扫掠体表面的形成可有三种情况，判断哪些曲面、线段属于表面是困难的。 常用方法是首先给出满足扫掠体边界点的充分条件，然后利用某些方法确定边界 点的侯选集合，删除或裁剪在扫掠体表面内的一些无效侯选点 3 1 - 3 4 】。k i e f f e r 使用 一定的规则排除了某些不在扫掠体表面的曲面、线段。在研究圆柱螺旋运动实例 时，提出了接触轮廓的概念。所谓接触轮廓是指扫掠体表面与物体的接触线，它 与生成体及其运动位置有关。利用接触线简化了扫掠体的计算。硒e 脏r 利用扫掠 体的二维投影解决了回转体和拉伸体运动的干涉检测问题。但对于一般扫掠体， 此方法利于图形显示，不利于干涉检测。 h u t 硐通过包络曲面来建立扫掠体模型，而包络曲面由一系列的特征线组 成。他利用包络理论导出了二次曲面体( 如平面、圆柱面和圆锥面等) 的特征曲 线并借助运动学分析中的瞬时旋转轴描述扫掠运动。最后通过相应特征曲线的变 形及扫掠初始、结束位置时的曲面来建立扫掠体无自交的三角化表面模型。 1 2 3 4 其他情况 扫掠体的点集定义虽然很简单的，但它不宜用来计算扫掠体的体积特性如体 积、质心坐标及惯性张量等。扫掠体的体积特性在某些特定条件下不需要精确计 算，并可以使用较为简单的特殊方法解决。如h a 啦i i i s p 3 6 j 将扫掠体计算变为数学 形态和的计算，通过各离散位置上生成体的轮廓点集的布尔并来近似表达扫掠 体，具体计算过程是利用射线法即一簇平行线段的端点集合来实现。d a c c a k p l 基于二维截面线和扫掠参数，导出了扫掠体的体积特性的计算公式。将三维计算 降为二维计算问题，从而减少了计算量并避免了计算不稳定的情况。i l i e s 3 8 1 和 b l a c k m o r e 等还研究了扫掠变异或变形的情况。 1 2 4 总结及展望 由于扫掠问题应用的广泛性及理论的重要性，因而得到许多专家学者的关 注，并提出了一些方法来解决问题。解决扫掠问题的主要方法有： l 、计算几何方法 2 、包络理论方法 3 、运动学方法 4 、空间分解法 关于扫掠问题的研究虽取得一些进展，但扫掠的性质( 如有效性、可计算性) 仍未被很好地理解。扫掠研究还存在一些问题，如 第一章绪论 + 有关研究往往简化运动物体类型，如简化为球和凸多面体等，或限制截 面曲线的面法矢与路径线垂直。 t 扫掠运动仅允许简单的运动( 不自交) ，或限制为简单的平移( 直线运动) 、 旋转运动( 绕某固定轴的旋转) 。 + 在有限位置上离散运动物体，利用它们的并形成近似扫掠体。 + 使用渲染方法计算扫掠体的图象而不是扫掠体的完整表示。 目前，研究扫掠问题的焦点主要集中在以下几个方面： 12 4 1 多重扫掠 实体沿着一根轴( 或另外一个长的几何体) 扫掠，根据现有公式容易生成扫 掠体。但是，如果实体沿着第二根轴、第三根轴连续扫掠生成的复杂扫掠体就不 是很容易的事了。在实体建模中，利用多重扫掠的技术可以生成更为复杂的扫掠 体。 1 2 4 2 空间辨识 由于在确定形成包络空间的边界曲线上的困难，在扫掠技术中的空间辨识需 要独特的公式表示。 1 2 4 3 自交叉 当物体回到先前的位置时就发生了扫掠面的重叠。例如，如果连接物的曲线 有一个尖点，它的扫掠面就会重叠。已经找到影响重叠的三种运动情况：瞬时运 动中心与物体边界的交叉点、物体角速度的变化和沿物体边界的包络点位置的反 转。为了获得完整的扫掠面，必须解决自交叉问题。 1 2 4 4 基于贝赛尔变形曲面和非均匀有理b 样条曲线张量的扫掠 这种表面已经成为工业标准，但还缺乏与此分析相关的精确数学表达，所以 对它的研究显得尤为重要。此外，应用该曲面的变形处理也具重要性。 1 3 本文的研究目的和主要内容 1 3 1 研究目的 由于扫掠体问题具有很强的应用背景，因而广泛受到人们的重视。目前，对 于扫掠理论国内外专家学者进行了一些研究，但正如上文所述，扫掠问题还需要 进一步的研究和探讨，如：二维物体在扫掠时形状发生变化时如何计算扫掠体的 体积，凹多面体及复杂曲面的扫掠体模型如何建立，扫掠路径为任意曲线时扫掠 第。章绪论 体的计算怎样进行，采用何种有效、简便方法自动组合多重扫掠体或区域为一个 完整的扫掠体或区域等。 本课题通过对国内外扫掠理论及现状的研究，针对当前许多扫掠生成算法中 计算量大，连接曲线复杂，扫掠体的生成仅局限于一些特殊的形体和特定的扫掠 规则进行研究，提出了有利于解决扫掠的有效性及可计算性的方法和策略，并将 其应用于机构综合问题中。 1 3 2 课题的主要研究内容 本课题利用离散法和扫掠法的综合及计算机图形学的有关理论，论述了扫 掠的有关原理，提出了解决扫掠问题有效性及可计算性的方法和策略，归纳了生 成扫掠区域的计算方法，利用o b j e c t a r x 技术，结合v i s u a lc + 十6 0 在 a u t o c a d 2 0 0 0 平台上实现了扫掠区域的图形生成。根据误差的理论分析和图形 的实现表明，该方法是有效而可行的。全文包括以下内容： 第一章是绪论部分，评述了国内外扫掠理论的研究成果及不足，并提出了本 课题的研究内容。 第二章主要论述了扫掠技术的理论基础。 第三章将扫掠技术应用于机构分析和综合之中，提出了机构构件修形问题的 扫掠解决方案。最后，研究了一般空间刚性构件扫掠体生成的思路和设想。 第四章论述了生成平面构件扫掠区域的详细计算方法，提出了解决类似问题 的方法和策略，并对该方法的理论误差进行了分析研究。 第五章介绍了软件的开发环境a u t o c a d 下利用o b j c c t a r x 2 0 0 0 的开发技术 和面向对象的编程思想，给出了扫掠边界软件开发过程及其应用实例，实现了参 数化选择不同的扫掠轨迹和扫掠规则下，生成构件的扫掠边界图形。 第六章进行了全文总结。 第一章引掠技术的理论基础 第二章扫掠技术的理论基础 任何一个图形都是由若干个简单几何图形构成的，而简单几何图形又是由 点、直线、圆弧等基本的几何元素构成的。用计算机生成图形，就是根据基本的 图形信息( 点、线、弧、坐标值等) 在图形中的几何位置以及相互之间的关系进 行处理，因而首先要把它们这种在图形中的几何位置以及相互之间的关系进行数 学描述，即构造出图形的数学关系表达式，然后再设计出一种绘图程序，让计算 机按照此程序自动绘制图形。本章介绍了描述这些数学关系的理论基础。 2 1 齐次坐标 所谓齐次坐标表示法【3 9 l 就是由时l 维向量表示一个订维向量。n 维空间中点 的位置向量用非齐次坐标表示时，具有玎个坐标分量( 尸。，尸2 ，r ) ，且是唯一 的。若用齐次坐标表示时，此向量有n + 1 个坐标分量( h p l ，h p 2 ，矗r ， ) ，且不 唯一。普通的坐标与齐次坐标的关系为一对多，若二维点0 ， 的齐次坐标表示为 【h ，h y ，h ，则叻i h t y , h i 】，【h ：x ，蛔p ，h 2 ，【 硝， ， 。】都表示二维空间中的 同一个点o ，力的齐次坐标。如 1 6 ，8 ，4 】、 8 ，4 ，2 】和【4 ，2 ，l 】等都是表示【4 ，2 】这一 点的齐次坐标。 齐次坐标提供了用矩阵运算把二维，三维甚至高维空间中的一个点集从一个 坐标系变换到另一个坐标系的有效方法。 利用齐次坐标还可表示无穷远点，而普通坐标则不能。在n 维空间中，h = o 的齐次坐标表示了糟维的无穷远点。如二维的齐次坐标陋b 】，当厅一0 ，表示了 a x + b y = o 的直线，即在尸一( 扔h 上的连续点i x 卅逐渐趋近于无穷远，但其斜率 不变。 2 2 图形的几何变换 2 2 1 二维图形的几何变换 耻 第二章扣撩技术的理论基础 从变换功能上可把乃。分为四个子矩阵，其中 ： 是对图形进行缩放、旋转、 对称、错切等变换；【c ，】是对图形进行平移变换；l ：i 对图形作投影变换：【f 】 时t 2 d 可看作是三个行向量，其中【1 0 o 】表示z 轴上的无穷远点，【0 1 o 】表 示y 轴上的无穷远点，【o 0 l 】表示坐标原点。 k y t ，= k y t ， 主曼司= k 十t y + l t ， 2 ) 丁0 时沿垂宜方向向上平移；弓= o 时，沿垂直方向不动：t y o 时， k ，= k y ，誉丢习= k ，工s ，y 1 1 当s = s y = l 时，为恒等比例变换，即图形不变； 2 ) 当s f 驴- l 时，图形沿两个坐标轴方向等比例放大； 3 ) 当乳= 墨 |旧 2 2 2 4 旋转变换 0 s y 0 s ，) y ， 00 s y 0 0 s ： 00 0 0 s 2 ( 卜s ：) 淞 i z ，1 00 10 01 y f z j 旋转分为3 种基本旋转，即绕z 轴旋转、绕x 轴旋转、绕y 轴旋转。在下述 旋转变换公式中，设旋转的参考点在所绕的轴上，绕轴转口角，方向是从轴所指 处往原点看的逆时针方向。 ( 1 ) 绕x 轴旋转的矩阵运算表达式为 i x y z 1 】= 卜y z l 】 ( 2 ) 绕y 轴旋转的矩阵运算表达式为 i x j ，z l 】- b y z l 】 ( 3 ) 绕z 轴旋转的矩阵运算表达式为 k y z1 1 = b y z 1 】 2 3 求交点算法4 0 1 2 3 1 一般方法 假定曲线段c 。与c 2 的参数方程分别为 p 2 _ ( 。u i y = y l ) 5 l0 0c o s 0 0 一s i n 日 oo oo s i n 占0 c o s 口0 ol c o s 90 一s i n 口0 oio0 s i n 00c o s 臼0 o0o1 c o s 0s i n 臼00 一s i n 0c o s 000 o010 o0o1 ( ， r ) t 0 o 虬 一l ( 第二章丰1 掠技术的理论皋础 c 2 ： x 2 z z ( w。v i y = y 2 ( v ) 当存在( “o ，v o ) u v ，使 z l ( i d o ) = z 2 ( v 0 ) i y l ( b 1 0 ) = y 2 ( v 0 ) 成立，则c l ，c 2 就有交点0 i ( 蜘) ，y l ( u o ) ) 或( x 2 ( v o ) ，y 2 ( v o ) ) 。 反之，仅当 f x i ) = x 2 ( v ) i y l ( “) = y 2 ( v