（运筹学与控制论专业论文）复杂动力学网络的同步与参数辨识.pdf

摘要 本文利用线性矩阵不等式、反馈控制、自适应控制和参数臼适应控制等方法 研究了复杂动力学网络的同步及具参数辨识，并根据线性稳定性理论、l y a p u n o v 稳 定性理论、l a s a l l e 不变原理及压缩映射原理给出了网络同步及其参数辨谚3 的充分条 ：，| ：。首先，研究了一类既带有非时滞耦台项又带有时滞锅合项的离散动力学网络的 同步。分别讨论了拓扑结构不变和拓扑结构变化的网络，给出了网络实现同步的充 分条件。接着，研究了带行祸合时滞项的动力学网络的参数辨谚 ，讨论了具有非线 性福合时滞项的动力学网络的时滞辨识，且分别刈单时滞和多时滞的情形进行了分 析。利用网络f ，汁辅助系统，给出了时滞辨识的充分条什；讨论了带有社团结构和 多时滞祸合项的复杂动力学网络的时滞辨识，给出了时滞辨识的允分条什。其次， 研究了复杂动力学网络的拓扑结构辨谚 问题。对于带有分硝j 式时滞连续动力学网 络，设计了网络估计辅助系统，给出了拓扑辨识的充分条什；弗讨论了类离敝动 力学网络的拓扑辨识，利用参数自适应控制方法设计了网络t 5 - 汁辅助系统，根据压 缩映射原理给出了拓扑结构辨识的充分条1 _ ，l ：。最后，研究了连续时问生长网络和离 散时问牛长网络的拓扑结构辨识和监控，通过设计网络舱控器，并利用l a s a l l e 不变 原理、l y a p u n o v 稳定性理论和压缩映射原理，分别给出了实现拓扑结构辨识和监控 的充分条件。并分别给出了数值例子以验证以上方法和理论结果的有效性。第六章 对全文作了总结，i ：对今后的迸一步研究作了展望。 关键词：复杂网络，同步，参数辨识，时滞，控制，拓扑结构，生长网络 a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，s y n c h r o n i z a t i o na n dp a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o no fc o m p l c xd y n a m - i c a ln e t w o r k sa r es t u d i e db ya p p l y i n gl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s ，f e e d b a c kc o n t r o l ，a d a p t i v e c o n t r o la n dp a r a m e t r i ca d a p t i v ec o n t r 0 1 a c c o r d i n gt ol i n e a rs t a b i l i t yt h e o r y , l y a p u n o v s t a b i l i t yt h e o r y , l a s a l l ei n v a r i a n c ep r i n c i p l ea n dc o n t r a c t i o nm a p p i n gt h e o r e m ，s o n i cs u f f i - c i e n tc o n d i t i o n sf o ra c h i e v i n gs y n c h r o n i z a t i o na n dp a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o no fc o m p l e xn e t - w o r k sa r eo b t a i n e dr e s p e c t i v e l y f i r s t l y , s y n c h r o n i z a t i o no fd i s c r e t ed y n a m i c a ln e t w o r k s w i t hb o t hn o n d e l a y e da n dd e l a y e dc o u p l i n g sa r ed i s c u s s e d n e t w o r k sw i t hi n v a r i a b l e a n dv a r i a h l et o p o l o g ya r es t u d i e dr e s p e ( t i v e l y s u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fs y n c h r o n i z a t i o n a r ed e r i v e db yu s i n gt h el i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s s e c o n d l y , p a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o n o f c o m p l e xn e t w o r k sw i t hd e l a y e dc o u p l i n gi si n v e s t i g a t e d d e l a yi d e n t i f i c a t i o no fc o m p l e x n e t w o r k sw i t hn o n l i n e a rd e l a y e dc o u p l i n g ，i n c l u d i n gs i m p l ed e l a ya n dm u l t i - d e l a y s ，a r e c o n s i d e r e dr e s p e c t i v e l y b yd e s i g n i n gs o m en e t w o r ke s t i m a t o r s ，s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n s o fi ) a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o na r eg i v e n a n dc o m p l e xn e t w o r k sw i t hc o m m u n i t ys t r u c t u r e a n dm u l t i d e l a y sa r ea l s oa d d r e s s e d t h e n ，t o p o l o g yi d e n t i f i c a t i o no fc o m p l e xd y n a m i c a l n e t w o r k si ss t u d i e d n e t w o r ke s t i m a t o r sa r ed e s i g n e dw i t hf e e d b a c kc o n t r o la n da d a p t i v e c o n t r o l ，a n ds o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o ra c h i e v i n gi d e n t i f i c a t i o na r ed e r i v e db ya p p l y i n g t h el a s a l l ei n v a r i a n c ep r i n c i p l e ，l y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r ya n dt h ec o n t r a c t i o nm a p p i n g t h e o r e m f i n a l l y , t o p o l o g ym o n i t o r i n go fg r o w i n gn e t w o r k si ss t u d i e d f o rc o n t i n u o u s t i m eg r o w i n gn e t w o r k s ，t h e i rn e t w o r km o n i t o r sa r ed e s i g n e db ya d a p t i v ef e e d b a c kc o n t r o l ， a n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rr e a l i z i n gt o p o l o g ym o n i t o r i n ga r ep r e s e n t e db a s e do nl a s a l l e i n v a r i a n c ep r i n c i p l ea n dl y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r y f o rd i s c r e t e - t i m eg r o w i n gn e t w o r k s ， b a s e do rc o n t r a c t i o nm a p p i n gt h e o r e m ，s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h e i rt o p o l o g ym o n i t o r i n g a r ea l s og i v e n n u m e r i c a le x a m p l e sa r eg i v e nt os h o wt h ee f f i c i e n c yo ft h ea b o v em e t h o d s a n dt h e o r e t i c a lr e s u l t s c h a p t e r6s u m m a r i z e st h i sd i s s e r t a t i o na n dl i s t ss o m ep r o b l e m s f o rf u r t h e rr e s e a r c h k e yw o r d s ：c o m p l e xn e t w o r k ；s y n c h r o n i z a t i o n ；p a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o n ；t i m ed e l a y ； c o n t r o l ；t o p o l o g ys t r u c t u r e ；g r o w i n gn e t w o r k i i i 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人存导师指导下进行的研究 工作除了文中特别加以标注和敛谢的地方外，论文中不包含其 他人已发表和撰写过的研究成果参与同一工作的其他同志对 本研究所做的任何贡献均已在论文中作了说明并表示了谢意 签名：黑星垄墨一一一日期础! 堕! ! ! 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定即： 学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅； 学校可以公布论文的全部或部分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 一丝翩豁鲜日期毕 第一章绪论 1 1 引言 上毡! ：纪水，随着两篇丌创性的文章【1 ，2 】的发表，复杂网络的研究进入了新纪元。 复杂网络的小 l = 界特征和无标度性质在这丽篇文章中给予了阐述，并皿建立了相应 的模型。又由于世纪之交计算机的数据处理i j 匕) j 的快速增强不w i n t e r n e t 的迅猛发展， 使得人们能够快速有效地采集和处理大规模的不同种类的实际数据，更促使复杂动 力学网络研究的突飞猛进。 复杂网络种类繁多，如力维网( w w w ) 【3 】，科研合作网络【4 ，5 】，经济网络【6 】， 校网友谊网络【7 】，社会网络和生物网络【1 ，8 】，世界贸易网【9 】以及各种政治和交通网 络等，他们既有自己的个性，又有共性。交叉学科研究的突飞猛进使得研究者可以 广泛收集和分析各类不同网络的数据，得以找出现实不同网络之问的共性，如小世 界效应和无标度特性。 早期的复杂网络研究，由于客观条件的限制，研究者们将他们的研究重心放在 局部和个体的动力学复杂性研究上，但在非线性科学的研究中发现，很多复杂系统 展现一种称为涌现的特性，即整体的动力学行为不能由其个体的动力学行为进行预 测，整体的行为也不能还原为个体的行为，如神经网络中，单个神经元没有意识行 为，但多个神经元组成的网络则涌现出意识行为。近年来随着复杂性科学研究中还 原论和整体论的兴起，促使研究者们丌始以宏观的眼光从整体上研究各类复杂动力 学网络的结构与网络的动力学行为之问的关系。如在网络中单个结点的动力学不是 混沌的，但当采取一定的方式耦合起米后，会涌现出混沌的特性 1 0 ，1 1 ，1 2 。 近年来，复杂网络的研究如火如荣，并取得丰硕的成果，其中动力学网络的同 步与反同步及其控制是一个有趣的研究课题，这在实际应用中意义重大。关于同步 与反同步及其控制已经取得了大量的成果 1 3 - 1 s ，其中大量的结果是基于已知的系 统参数得到的，但在现实网络中，由于系统自身的复杂性，单个结点系统的参数乃 至整个网络的参数都可能是未知的或不确定的，如l o r e n z 系统( 单个结点的动力学) 参数、时滞动力学网络的耦合时滞、各个结点之问的连接关系( 网络的拓扑结构) 、 网络的连接拓扑结构在演化过程中发生的跳变及生长网络中新结点进入后网络的 连接拓扑如何变化等。由于系统参数的改变对网络的整体动力学行为有著根木的影 响，所以能否有效快速地辨识出未知的系统参数显得尤为重要 1 9 - 2 6 。 本文我, f i j f f l 从上述几个方面来研究复杂动力学网络。第二章我们研究复杂动力 学网络的同步；第三章探讨时滞动力学网络的耦合时滞辨识；第四章研究连续及离 散动力学网络的拓扑辨议；第五章研究生长网络的参数辨识；第六章总结全文。 1 22 0 0 9 上海大学博士学位论文 1 2 复杂网络概述 复杂网络是研究复杂系统的一个有力工具，一个网络可以看成是山点集y 和边 集e t ；：, j 成的图g = ( ue ) ，其中瞥个结点表示复杂系统中的个体，连接边则表示系 统中个体之f o j 的拥互作用关系，结点f 与结点7 的连接关系用n j 表示。 复杂网络的分类多种多样，就其总体而言，可分为有向网络和无向网络；加 权网络与无权网络；生长网络和。1 e 生长网络等等。称网络为无向网络( u n d i r e c t e d n e t w o r k ) ，如果埘丁二网络中的任意点刘( 幻) 有n i ，= 口鲋；甭则称为有向网络( d i r e c t e d n e t w o r k ) 。称网络为无卡义网络( u n w e i g h t e dn e t w o r k ) ，如果网络中结点 和结点j ( i 歹) 梢互连接行啦f = n ，t = 1 ，不连接有啦，= a j t = o ；否则称为加权网络( w e i g h t e d n e t w o r k ) 。称网络为生长网络( g r o w i n gn e t w o r k ) ，如果网络的结点数及拓扑结构是 随h j 问变化的，甭则称为非生长网络( n o n g r o w i n gn e t w o r k ) 。 网络中各结点之| 的相互作用关系刈网络的动力学行为有着巨大的影响，故此 要想有效地改善网络的效用和控制网络的演化，就要对网络的拓扑结构有足够的了 解，并建立榭应的网络模型。下面简竹介绍一下其中几类模型： 勿贸念 藤*惑 沁越杪 ( a ) ( b ) 图1 1 ：( a ) 全局耦合网络；( b ) 最近邻耦合网络。 一、规则网络 任意两个结点之问都有边直接相连的网络( 图1 1 ( a ) ) ，称之为全局耦合网络 ( g l o b a l l yc o u p l e dn e t w o r k ) 。该类网络具有最小的平均路径长度和最大的聚类系数， 反映了许多实际网络的小世界性和高聚类性，但是实际网络的连接边都是很稀疏的， 故这类网络模型的局限性也是显而易见的。相对于全局耦合网络有着广泛研究的一 类稀疏规则网络是最近邻耦合网络( n e a r e s t n e i g h b o rc o u p l e dn e t w o r k ) ( 图1 1 ( b ) ) ，这 复杂动力学网络的同步与参数辨识 3 类网络中的每个结点只与其周围的邻居结点相连，其具仃高聚类性，但没有小世界 性。另外一类得到广泛研究的规则网络为巾心网络，包括坼中心锅合网络( 星形橘合 ， 、 ( a ) 鼓 菠丽夕念 ( b )( c ) 图1 2 ：( a ) 单中心网络；( b ) 多中心网络；( e ) 、二层r f l 心网络。符号表示中心点 和多层网络的第一层中心点；o 表示第二层中心点：o 表示非中心点。 网络) ( 图1 2 ( a ) ) 、多中心祸合网络( 图1 2 ( b ) ) 及多层多中心耦合网络( 图1 2 ( c ) ) ( 【2 7 ， 2 8 】) ，这类网络在现实世界中也普遍存在。 二、随机图 完全随机网络是与完全规则网络截然相反的一类网络，最具代表性的是由e r d s s 和r 6 n y i 研究的e r 随机模型( 【2 9 】) 。这类网络巾的结点以概牢p 随机连接，e r 随机图 具有小世界特性卸没有高聚类特性，刘于现实网络的建模与研究有一定的局限性， 图1 3 描述了1 0 个结点的随机图的演化过程。 o o o o o o o o o o ( a ) p 哪 图1 3 ：随机图的演化示意图：( a ) p = 0 给定的1 0 个孤立点；( b ) ( c ) ( d ) 分别以连接概 率p = 0 1 、0 1 5 、0 2 5 生成的随机图 1 1 2 】 4 2 0 0 9 上海大学博士学位论文 三、小世界网络 现实网络既不是完全规则的也不会足完全随机的，因此随机图和规则网络在应 用中都受到很大的限制，、v a t t s 和s t r o 酗a - 1 9 9 8q i 提出了种由完全规则网络过渡 到完全随机网络的网络模型( 【1 】) ，其构造算法女| l 卜： j ，考虑一个由个结点组成的最邻近耦舍网络，其中每个结点都与其左右相邻的删 点相连，励偶数： 盯，以概率p 随机地重连网络中的每条边，规定任意两个不同节点之间至多只能有一 条边，且每个结点不能与自身相连。 上述模型中，p = o 为完全规则例络，p = 1 为完全随机网络，通过调节p 值町以 实现两者之问的过渡。这类网络模型燕具较短的平均路径长度和较高的聚类系数， 称之为小世界网络( s m a l l - w o r l dn e t w o r k ) ，幽上述算法生成的网络称为w s d , 世界网 络模型( 图1 4 ( a ) ) 。生成小世界网络模型的构造算法有很多种，女l j n w z j , 吐界模型 ( 图1 4 ( b ) ) ( 【3 0 】) ，该模型用随机化力i l 边取代w s 小世界模型的随机化重连，以避免 破坏网络连通性的可能性。 翩嬲她 a ) 翩鹏赢 b ) 图1 4 ：小世界网络模型：( a ) w s d 、世界模型( 随机化重连) ；( b ) n w d 、世界模型( 随 机化加边) 【1 1 2 复杂动力学网络的同步与参数辫识 5 矿一v 一印一晕 四、无标度网络 图1 5 ：b a 无标度网络的演化( m = 7 7 1 0 = 2 ) 1 1 2 近年来对复杂网络的研究发现，许多实际网络的规模不是一成不叟的，而是不 断扩大的，即具有增长特性，且新增的结点倾向于与连接度大的结点连接，即优先 连接特性。基于这些特性，b a r a b 自s i 幂| l a l b e r t 提出了一种新的网络模型( 【2 】) ，其构造 算法如下： j 、增长：从一个由t n o 个结点组成的网络开始，每次引入一个新的结点，且连到m 个 已存在的结点上，这_ y - m m o ； 肌优先连接：新结点与已存在的结点潞目连接的概率n 与结点i 的度及其他结点的 度之间满足关系p i = # 卺。 o 34 上述网络模型具有小世界特性，上1 因为这类网络的结点的连接度没有明盟的特 征尺度，故称为b a 无标度网络模型( 图1 5 ) 。 图1 6 ：具有三个社团结构的网络示意图 1 1 2 6 2 0 0 9 上海大学博士学位论文 五、社团网络 随着交叉学科的快速发展，研究者盎深入研究网络的数学特性及其现实意义 时，发现很多网络具有个共性，即网络憋体是山多个群( g r o u p ) 或簇( c l u s t e r ) 组 成的，每个群( 簇) 内部的结点连接紧密，不同群( 簇) 之问的结点连接柏对稀疏， 这类网络称为社刚网络( 图1 6 ) 。 综上可知，现实网络种类繁多，演化机制复杂多变，随着埘网络的深入研究，更 多有趣彳j 用的现象会被发现。 1 3 复杂动力学网络的同步 复杂网络的研究方兴未艾，研究的问题r 差万别。自1 7 世纪物理学家惠更斯发 现钟摆的同步摆动现象之后，人量的同步现象被陆续发现，如同时发光的萤火虫、 戏剧院观众的掌声以及我们心脏细胞的同步振动等，于是刈。网络的同步及其控制的 研究成为一个有趣且实用的课题。 现实网络种类繁多，其同步现象也是形态各异，如完全同步 3 1 ，3 2 】、相位同 步 3 3 ，3 4 】、滞后同步【3 5 ，3 6 】、部分同步 3 7 ，3 8 币1 1 广义同步【3 9 ，4 0 】等。研究的网络 类型也是种类繁多，如规则网络f 2 7 】、随机网络【4 1 】、小世界网络 4 2 ，4 3 】、无标度网 络【3 9 ，4 4 】等。研究网络同步的一个重要内容就是判定同步态的稳定性，下面我们就 几种网络模型简单介绍几种同步态稳定性的判据。 一、连续耗散耦合动力学网络 这r f l 我们主要介绍用主稳定函数( m a s t e rs t a b i l i t yf u n c t i o n ) 法判定网络的同步 稳定性。考虑一个由n 个结点构成的连续耗散祸合动力学网络( 见文献【4 5 】) ，其状 态方程为： n 五= ，( 翰) + c a i j g ( x j ) ，i = 1 川2 一，n ， ( 1 1 ) j = l 其中：x = ( x m x 协，x i n ) r r ”为第i 个结点的状态变量；，：r n _ r n 刻画尊个结 点的局部动力学；g ：r “_ r ”为内部耦合函数；c 为耦合强度；a = ( ) r 为 耦合矩阵，即网络的拓扑结构，且满足耗散耦合条什，即行和为零。 如果有 1 i ml i x i ( t ) 一s ( t ) l i = 0 ，t = 1 ，2 ， ( 1 2 ) 则称动力学网络( 1 1 ) 达到完全同步。s ( ) 为网络的同步态，为孤立结点的解，即满 足童( z ) = ，( s ( ) ) ，它可以是平衡点、周期轨道或混沌轨道。 复杂动力学网络的同步与参数辨识 7 令已( ) = x i ( t ) 一s ( ) ，对( 1 1 ) 进行线性化可得： n 毫= d f ( s ) f i + c a i j d q ( s ) f j ，i = l 2 一，n ， ( 1 3 ) j = l 其中：d f ( s ) 和d g ( s ) 分别是，( s ) 和g ( 0 关于同步态s 的j a c o b i 矩阵，令= 陈1 2 知】， 我们有： 霉= d ，( s ) f + c d g ( s ) f a t ( 1 4 ) 这翟我f | 、j 假定耦合矩阵a 是对称不可约矩阵，则a 有且只有_ 个重数为i i l l l j 零特征 值，对应于网络的不变同步流形( i n v a r i a n ts y n c h r o n i z a t i o nm a n i f o l d ) 。记。，1 的j o r d a n 分 解a t = s a s ，这里a = d i a g ( a 1 ，入2 ，入) ，a i 是矩阵4 的特征值且入l = 0 。再 令叩= 【叩1 ，抛，：7 7 】= s ，贝q 有 力= d f ( s ) r + c d g ( s ) q a ( 1 5 ) 上式等价于 讯= 【d f ( s ) + c a i d g ( s ) t l i ，i = 2 ，3 ，( 1 6 ) 如果上式的横截l y a p u n o v 指数全为负值，则网络关于不变同步流形是局部稳定的。 上述方程称为主稳定方程，最大的l y a p u n o v 指数称为主稳定函数。 二、连续时变耦合动力学网络 这里我们主要介绍用基于连接图的稳定方法( c o n n e c t i o ng r a p hb a s e ds t a b i l i t y m e t h o d ) 判定网络同步态的稳定性。上一小节我们介绍了主稳定函数的方法，其中 需要求解耦合矩阵的特征值及最大的l y a p u n o v 指数，但在网络不规则且规模很大 时，特征值就难以求得，主稳定函数法就不能有效判定网络同步态的稳定性。为了 避免计算这类网络的耦合矩阵特征值，b e l y k h 等人将l y a p u n o v 函数法与图论年h 结合， 提出了用来研究如下连续时变耦合网络同步态的全局稳定性的有效方法一一基于 连接图的稳定性分析方法( 见文献【4 6 】) ： 觑= f ( x i ) + e o ( t ) p x j ，i = 1 川2 一，n ， ( 1 7 ) j = l 其中奶= ( z ，z ) 为第i 个振予的状态变量，p r d 。d 中的非零元素决定振了之 问的耦合关系，即为内部耦合矩阵，在文献【4 6 中，假定网络内部耦合矩阵为刈角 阵p = d i a g ( p l ，p 2 ，p d ) ，其r f l p = 1 ，h = 1 ，2 ，s 幂l l p h = 0 h = s + 1 ，d 。 令g = ( ( ) ) 为一行和为零且非对角元素非负的n 礼刈。称矩阵，即= 剪0 ，i j ，税( t ) = 一l ，j 和( ) ，i = l ，2 ，n 。假定矩阵g 定义一个n 个顶点和仰条边的 连通网络，记e 谢k 0 ，k = l ，2 ，m ；岛k a = 0 ，k = m + 1 ，mh - 2 ，n ( ，n 一1 ) 2 。 82 0 0 9 上海大学博士学位论文 令粕= 一死，i ，j = 1 ：2 ， 表示研结点之f f j 的状态变量之箍，则有 艾巧= f ( x a f ( x i ) + ：1 ( r - j k p x j 缸一e i k p x i k ) = 【j 孑d f ( 3 x j + ( 1 一, 3 ) x i ) d s x o + ：l ( 勺七p 七一e i kp x i k ) = 【j 孑d f ( f l x j + ( 1 一) z i ) 以8 一4 】j + 以j + ：l ( 勺知p 玛七一矗知p 托知) ( 1 8 ) 其中a = d i a g ( a l ，2 ，n d ) 是有着与p 的非零刈角线元素相刈应的刈角矩阵。下面 引入一个辅助系统： r l 又0 = 【d f ( 1 3 x j + ( 1 一) 。r i ) d , 6 一4 x _ f j x j ，i = 1 2 ， ( 1 9 ) ，o 假定上述辅助系统由于a 的引入使其足稳定的，而4 带来的升i 稳定性山耦合项去抵 消。这样作者便得到如下两个稳定性判定定理： 定理1 3 1 ( 【4 6 】) 上述假设条4 ：，l ：成立，若不等式 mn l t l 九磺a 芸磅 k = l i = 1j i 成立，则网络( 1 7 ) 的同步流形是全局渐近稳定的。其中，m 为网络中连接边的条 数，o 代表a 的所有非零对角元素。 定理1 3 2 假定( 【4 6 】) 定理1 3 1 成立，若对于任意时刻都有 钆( ) 罢k ( 礼，m ) ，后= 1 ，2 ，叭 则网络( 1 7 ) 的同步流形是全局渐近稳定的。其中“( m * ) = 知 z ( ) ，k ， 其中为结点i 到结点7 的路径，z ( ) 为该路径中的边数。 三、具有耦合时滞的连续动力学网络 考虑如下时滞动力学网络模型( 见文献【4 7 】) ： 规= ，( 耽) tc n 订q ( 一7 - ) ，i = 1 ，2 ， ( 1 1 0 ) j = 1 其中，( ) ，c ，a 0 与网络( 1 1 ) 中的摧述一样，h r ”n 为内部祸合矩阵，7 - 为时滞。 作者利用l y a p u n o v - k r a s o v s k i i 泛函和线性矩阵不等式( 1 i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s ，l m i ) 的方法，得到如下同步流形稳定性的判定定理： 定理1 3 3 ( 【4 7 】) 财于时滞动力学网络( 1 1 0 ) ，如果以下一1 个n 维线性时变时滞 变分方程 o = d f ( s ( t ) ) w ( t ) + c a k h a ；( t 一7 ) ：k = 2 ，3 ， 复杂动力学网络的同步与参数瓣识 9 的零解足渐近稳定的，那么同步流形，l ( ，) = = r n ( i ) = s ( t ) 足渐近稳定的。 定t 1 1 h 3 4 ( 阻7 】) 如果存在两个证定矩阼只q 0 ，使得 聊二擀叫一n q p h o 都是渐近稳定的。 四、离散耦合动力学网络 考虑如下离散祸合动力学网络( p 8 】) ： 皇 ( 七+ 1 ) = ，( 黝( 岛) ) + c “巧，( q ( 矗) ) ，i = 1 2 一，：k = 1 州2 一， ( 1 1 1 ) j = l 称网络( 1 1 1 ) 达剑完全同步，如果当k _ 。o 刚。有 z l ( 露) s ( 南) 一0 ，i = 1 ，( 1 1 2 ) 对于网络( 1 1 1 ) ，有如下同步流形稳定性判定定理： 定t 1 1 h 3 5 ( 【4 8 】) 对于网络( 1 1 1 ) ，1 天1 天2 天为耦合矩阵a = i n + c a 的 特征值。若以下一1 个n 维线性时变系统 u ( 膏+ 1 ) = d f ( s ( k ) ) ) q w ( k ) ，i = 2 ，3 ， 是指数稳定的，则同步流形( 1 1 2 ) 是指数稳定的。 定理1 3 6 ( 【4 8 1 ) 对于网络( 1 1 1 ) ，如果 1 e h m a x1 + e h m a z 矿乱 0 ，x yz 使得 i ，( “幻”丁p d f ( “幻卜p + q 以“町( s o ”尸朋l m 时，有i t , i = 0 ，即此方法是不稳定的，也就是 说这个方法无法辨识未知参数个数人于状态变量个数的系统。最后作者考虑超混 沌h 6 n o n 映射，给出了数值例了说明此方法的有效性。 二、动力学网络的参数辨识 网络的拓扑结构制约着网络的演化行为，因此能否有效快速地辨识一个网络的 未知拓扑结构非常重要。在【1 9 ，2 0 ，2 1 中，作者分别讨论了网络的邻接矩阵、加权网 络的耦合矩阵及带有时变时滞的一般动力学网络的耦合矩阵的辨识。 在 1 9 】中，作者讨论的网络演化方程为： n 麓= f i ( x i ) + c ：a i j h j ( 巧) ， ( 1 2 8 ) j = l 其中，i = 1 ，2 ，他，x i = k ，y i ，磊，】t r 为第i 个结点的状态变量，f ：r _ r 为簟个结点的动力学。网络中每个结点仪第一个分量相互连接，因而h j ( z f ) ：r _ r 为第j 个结点的输出，耦合强度c = f 1 ，0 ，o 】丁。网络的连接拓扑由邻接矩阵a = ( ) 决定：如果结点i 与结点j ( i ) 有连接贝1 a i j = 1 ，否则= 0 。这个网络模型 可以用来描述混沌振了构成的网络。 在理论推导中，作者考虑一个一维振予构成的网络，演化方程如下： ：i q = ( ) + a i j h j ( x j ) ， j e v ( 1 2 9 ) 复杂动力学网络的同步与参数辨识 1 3 其中，i v ：= 1 2 ， n ) ，x i r 为第i 个结点的状态变量， ：r 一酞为单个结点动 力学。假；乏映射 埘于仟意i 是l i p c h i t z i a n 的，即存在币常数l l l 2 使得i l f i ( y ) 一 ( r i ) i l l l i i l y 一x i i i 不lj l l h f ( 玑) 一h i ( x i ) 1 1sl 2 i l i v i x i l l x j 于任意潞l ，成立。 上述网络中假定映射， ， i 是已知的，状态变量是可观测的，网络的拓扑是未 知的。为了辨谚! 未知的网络拓扑，设i ；l - 女n 下网络估计于( n e t w o r ke s t i m a t o r ) ： 瓠 = 五( 耽) + l6 i j j ( t j j ) + i ( y 曲洲讹 ( 1 3 0 ) b i j = 一j h j ( y j ) ( y i x i ) ， 其中，i j v ，为正常数，为n 玎的f 占计，y = b 1 ：可2 ，y n l t ， 表示未知的 非线性函数，如扰动和模型误差等。我们假定a i 5 ( y ，) “( ) ，其中5 ( y ，) 为已知函 数，d ( t ) 是未知的但是有界的时变扰动。选取控制器m 为： 蚴一h 岛一击萨 其中：k 1 ，e l 为任意常数，即可以任意调节。令e i = y i 一翰，通过选取如下l y a p u n o v 函 数： 1 n 1 nn - q = 吉e ；+ 专去( b i i n 妇) 2 i = 1i = lj = l j 作者证明了通过调节忌l ，1 的值，系统( 1 - 3 0 ) 可以有效估汁出网络( 1 2 9 ) 的拓扑。 另外上述方法适用于网络中的任意_ 了网络的拓扑结构估计，并且可以有效监控网络 拓扑的跳变。并通过数值例了给予了验证。 在【2 0 】中，作者考虑个结点构成的线性耦合加权网络的拓扑辨识，首先考虑的 是单个结点动力学为相同的网络，其状态方程如下： 文i = f ( x i ) + q j a x j ， ( 1 3 1 ) 其 - 卜，1si n ，x - ( 1 ，z 珐，z 伽) t r n 为第i 个结点的状态变量，f ：r ”_ r ”是 为单个结点动力学，a r n x n 为内部祸合矩阵，c = ( ) n r 为未知的或不 确定的加杈矩阵，如果结点i 和结点j 有连接，则权重0 ，否则= 0 。这里的内 部耦合矩阵a 不必是对称的，加权耦合矩阶c 也不必是对称的，不可约的和耗散的。 为了辨识未知的或不确定的加权耦合矩阵，作者引入如下假设： 假设1 4 1 假定存在证常数n 使得 成立，其中y ，z 为时变向量。 f ( y ) 一f ( z ) i | q l i y z 0 ， 1 42 0 0 9 上海大学博士学位论文 为了辨以未知的或不确定的加十义耦合矩阼，作者考虑如下一个控制动力学网 其中，1 i n ，文i = ( 如1 ，叠珐，童m ) 丁r ”为第i 个结点的响应状态变量，u i 为控 制输入，岛为加十义耦合矩阵的f 汁。 令羁= 文i x i 和萄= 一，可以得到误差方程为： n n 吏i = f ( x i ) 一f ( x i ) + a 文j + c i j a 文j + u i ， ( 1 3 3 ) j = l j = l 其中1 isn ，丛于上述假设作者给出了如卜拓扑辨识的充分条件。 定理1 4 2 假定假设1 4 1 成立。一般线性耦合复杂动力学网络( 1 3 1 ) 的加杈耦合矩 阵c 可以被如下响应网络的( d i i i 矩阼e 辨识f i j 来： x 二i = f ( 文i ) + 墨l 萄a 文j + u i ， 白= 一文f a 南，( 1 3 4 、 u l = - d i i l ， 也= k i l l 文i i l 2 ， 其中，1 i ，j n ， o ) b 任意正常数。 通过考虑如下l y a p u n o v 函数： y ：互妻文禹+ 互1l n n 苟+ 丢尝去( d i - 1 z ， y = 石文禹+ 石l 苟+ 去去( d ) 2 ， 其中d 是待确定的足够大的正数，作者给出了定理的证明。此外作者在文中还考虑 了如下结点动力学不十h 同的加权网络的拓扑辨识： 文i 2 g ( x i ) + 等l c 钌a x j ，1 i + ， ( 1 3 5 ) l 文i = h ( x i ) + 尝1c i j a x j ，4 + 1 i n ， 、。 假设1 4 2 假定存在正常数p 和 ，使得 g ( y ) 一g ( z ) l i 了l l y z l i ，i i h ( y ) 一h ( z ) t | s - y l l y z i i ， 成立，其中y jz 为时变向量。 基于上述假设，作者给出了拓扑辨识的充分条 ： t - - 3l u+ 毪 a q 触 + xp = 二x 络 复杂动力学网络的同步与参数辨识 1 5 定理1 4 3 假定假设1 4 2 成立。一般线性耦合复杂动力学网络( 1 3 5 ) 的加权祸合矩 阵c 可以被如下响应网络的估汁矩阵e 辨识出来： g ( 文i ) + 墨1 锄a 南+ u i ，1 i n 4 ， h ( 螽) + 墨1 岛a 文j + u i ，+ + 1si n ， 一文尹a 文j ，1 i ，j n ， ( 1 3 6 ) - - e i x i ，1 i n ， l i i i 文i l l 2 ，1 i n ， 其中，如 o 为任意诈常数。 通过构造l y a p u n o v 数作者给出了定理的证明。最后作者分别给出了数值例了 以说明上述方法的有效性。此外这种辨识方法对于网络拓扑的跳变也可以有效监 控。 在【2 1 】中，作者讨论的是带有时变耦合时滞的一般加权动力学网络的拓扑辨识， 首先讨沦的是单个结点动力学相同的网络，网络的状态方程如下： 奶( t ) = f ( t ，眈( ) ) + c o a x j ( t 一7 - ( t ) ) ，i = 1 州2 一， ( 1 3 7 ) - j = l 其中：x i ( ) = ( 耽1 ( t ) ，z 2 ( t ) ，x i n ( t ) ) ? r ”为第i 个结点的状态变量，：rxr ”_ r n 是连续可微的，丁( ) 为时变耦合时滞，a r 似”为内部耦合矩阵，c = ( c q ) n n r 为未知的或不确定的加权矩阵，如果结点i 和结点j ( j i ) 有连接，则耦合强 度0 ，甭则r 动= 0 。对角元素定义如下： c i i = 一c i j ，i = l 川2 一，n j = l ，j i 为了辨识未知的或不确定的加权祸合矩阵，作者引入以下两个假设和一个引 理： 假设1 4 3 假定存在非负常数。使得 y ( t ，可( t ) ) 一f ( t ，z ( ) ) i i c d l y ( t ) 一x ( t ) l l ， 刘。于任意者成立，其中z ( ) ，可( ) 为时变向量。 假设1 4 4 假定7 - ( ) 是可微函数且o i - ( t ) 0 ，k i o 为任意常数，则响应网络( 1 3 8 ) 与驱动网络( 1 3 7 ) 达到同步， 网络( 1 3 7 ) 的加权耦合矩阵c 可以被估计矩阵谳识出来，即： 熙i i 龟( t ) l l2 熙i 岛一i = 0 ，t ，j = l ，2 ， 通过考虑如下l y a p u n o v 函数： v = ；墨1 色( t ) t 龟( ) + ；墨l 墨l 击荀+ ；丝l 击( 也一矿) 2 ( 1 4 2 ) + 高正，( t ) 竺l 色( 1 9 ) t 色( o ) d o ， 其中d + 是待确定的足够大的正数，作者给出了定理的证明。此外作者在文中还考虑 了如下结点动力学不相同的加权网络的拓扑辨识： f 觑( t ) = g ( t , x i ( ) ) + 蹀lc i j a z j ( t 一7 ( ) ) ，1 i + ， ( 1 4 3 ) 【五( t )= h ( t ，翰( ) ) + 墨1c 巧a z j ( t 一7 - ( ) ) ，n + + 1 ts n ， 其中：9 ，h ：rxr n _ r n 是连续可微的。 假设1 4 5 假定存在非负常数p 和7 使得 i i g ( t ，可( t )