（基础数学专业论文）banach空间内nevanlinna第一基本定理的若干推广.pdf

s e ve ral e xt e n s i on s of t he n e v a nl i n na s f i r s t ma i n the ore m i n b anac h s p ac e s ye s c h o o l o f ma t h e ma t i c s x i u f a u g s c i e n c e , n a n k a i u n i v e r s i t y a p r i l 3 0 , 1 9 9 9 ab s t r a c t n e v a n l i n n a t h e o r y i s o n e o f t h e m o s t i m p o rt a n t p a r t o f v a l u e d i s t r i b u t i o n t h e o r y f o r v e c t o r - v a l u e d f u n c t i o n s .s o me o f v al u e d i s t r i b u t i o n r e s e a r c h i n fi n i t e d i m e n s i o n al s p a c e s h as a p p e a r e d g r e a t l y . b u t f a r i n fi n i t e d i m e n s i o n al c ase a g r e a t d e a l o f w o r k i s r e q u i r e d . i n 1 9 2 5 , n e v a n l i n n a s fi r s t a n d s e c o n d f u n d a m e n t a l t h e o r e m s w e r e e s t a b l i s h e d b y i n t r o d u c i n g c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n ( ( l 0 1 ) l a t e r , t h e fi r s t m a i n t h e o r e m f o r c o m p l e x a n al y t i c m a p p i n g s o f s e v e r al v a r i a b l e s w a s r e s e a r c h e d b y s .s . c h e r n ( s e e 2 , 3 ) . t h e n , h . j .w. z i e g l e r e x t e n d e d t h e c l as s i c a l n e v a n l i n n a s t h e o r y o f m e r o - mo r p h i c f u n c t i o n s t o v e c t o r - v al u e d m e r o m o r p h i c f u n c t i o n s o n a c o mp l e x p l a n e t o fi n i t e d i me n s i o n a l s p a c e s ( 1 6 1 ) 一 i n r e c e n t y e a r s , c . g . h u a n d c . c . y a n g m a d e a c o n t r i b u t i o n t o v al u e d i s t r i b u t i o n t h e o r y o f m e r o m o r p h i c f u n c t i o n w i t h r a n g e i n a n i n fi n i t e d i m e n s i o n al h i l b e rt s p a c e ( s e e 6 ) . i n 1 9 9 7 , t h e r e s u l t s i n 6 w e r e e x t e n d e d t o a b a n a c h s p a c e b y c . g . h u ( s e e 7 ) . t h e g r e e n - r e s i d u e t h e o r e m i n c o m p l e x a n a l y s i s w as e x t e n d e d t o t h e v e c t o r - v a l u e d c as e w i t h d o m a i n i n a c o m p l e x p l a n e c a n d r a n g e i n a b a u a c h s p a c e ( s e e 1 1 ) . i n 1 9 7 3 , p h . g r i ff i t h s a n d j . k i n g s t u d i e d t h e g r e e n - r e s i d u e t h e o r e m w i t h d o m a i n i n fi n i t e d i : 工 ， e n s i o n al s p a c e s ( s e e 4 ) . t h i s p 即e r i s i n t e n d e d t o e x t e n d t h e n e v a n l i n n a s fi r s t ma i n t h e o r e m t o t w o k i n d s o f c ase s ,i . e .f o r h e r mi t i a n h o l o mo r p h i c l i n e b u n d l e s a n d a n o p e r a t i o n i n t o p r o j e c t i v e s p a c e r e s p e c t i v e l y . f o r t h e c o u r s e , s o me r e l a t i v e c o n c e p t s a s d i v i s o r , a n al y t i c s e t , p u l l b a c k d i v i s o r , m e r o mo r p h i c ma p , a n d c o mp e n s a t i o n f u n t i o n a r e i n t r o d u c e d .s o m e p r o p e r t i e s o f t h e m a r e d i s c u s s e e d . s e v e r al a d v a n t a g e s a n d d i s a d v a n t a g e s o f t h e e x t e n s i o n a r e p r e s e n t e d . o f c o u r s e， t h e p u r p o s e o f t h i s d i s s e r t a t i o n i s t o l a y a e l e me n t a r y 2 f o u n d a t i o n f o r v a l u e d i s t r i b u t i o n t h e o r y i n i n fi n i t e d i m e n s i o n a l s p a c e s , t h e r e a r e s t i l l m a n y o t h e r o p e n p r o b l e ms t o b e r e s o l v e d . k e y wo r d s :b a n a c h s p a c e , h o l o m o r p h i c l i n e b u n d l e , p r o j e c t i v e s p a c e ,p a r a b o l i c ma n i f o l d , c o mp a c t p r o j e c t i o n . a ms n o :3 2 a 2 2 ,4 6 g 2 0 , 5 8 b 1 2 b a n a c h 空间内 n e v a n li n n a 第一基本定理的若干推广 叶秀芳 南开大学数学科学学院 1 9 9 9 . 4 . 3 0 摘要 n e v a n lin n a 理论是向量值函数的值分布论的一个重要组成部分.有 关值分布理论在有限维空间的研究已经日 趋完善，而无穷维的情形a需 进一步的探讨.本文正是本着这样的初表，将一般的n e v a n lin n a 第一墓本 定理分别推广到h e n n i t i a n 全纯向量丛和值域为投影空间的半纯映射的情 形. 在此过程中， 相应地引入了与无穷维流形相关的一些概念， 如除子， 拉回除子， 解析集， 半纯映射， 补偿函数等. 对投影空间的特性也作了 细 致的探讨，同时也分析了文中推广的优点和缺陷.当然，本文旨在为无 穷维空间的值分布论莫定初步的基础，仍有许多其它问题有待于进一步 的研 究. 关键词:b a n a c h 空间， 全纯向量丛， 投影空间， 抛物流形，紧投影. 分类 v4，二 一 切扭翁，次私 污 ; 合 “ 级 犷 第一章 1 .1预备知识 h e r m it ia n 全纯线丛的n e v a n l in n 。 第一基本定理 本文仍然未用复平面上半纯函数的n e v a n li n n a 理论的一系列基本术语. 假设e 和e 是复b a n a c h 空间，e 有一组s c h a u d e r 基介 。 篡i . 令方是f 上的连 通黎更域( s e e 1 2 ) ,m是一个维数为m的连通复流形. 为准备起见，下面首先我们给出一些基本的定义. 设r ( 0 ) 是定义在m上的一个函数，acm, 对于: e lb 十 卜( 0 ， 十 ) ) ， 定义 a r = 二 a r ( x ) o ,m 日是紧 的. 于 是， mr 称作闭伪球， m ( r ) 称作开伪球， m ( r ) 称作伪球面 令。= (w i , -, w , ) 为 复流形m上的坐 标v ij = u j + i v j ( j 二l ,， 间， 实 基d u j , d v , 或复基恤 = d u j + i d v j , d iv v ， 二 、 ， 一 、 v 7 张 成 流 形m在 一 点 的 余 切 空 间 ， 它 的 对 偶 是 具 有 实 基 a ， aa u , i a, , 和 复 基 a 一 z ( au ; 一 0 ; ) , aw ; 一 扒 希 + a a . ) 的 切 空 问 . 对 于以 上 定 义 的了 ， 记a r 一 艺奇 d w j , a , 一 艺 d u , 定义1 . 1 在每一个复流形上，关于微分形式的外微分d 可分为d 二a + a记d _ 六 ( a 一 a ) 如果以上定义的二 是一个c -类函数， 且对于t 而言，m 。 笋 功 ， 我们在m和从 上分别定义 。 = d d t , w = d d l o g t , a = d lo g t n w 0 - 一( 1 .3 ) 显然。 是一个标准 k d h l e r 形式. 定义 1 .2我们称二 在m上是抛物的，如果在m . 上 。全0 . d 。二。 饥-0葬v -( 1 .4 ) 可见，在m土，v 0 . 另外， 如果m上v 0 , 则t 被称作在m上是严格抛物的;知果二 是对的一个 抛物穷举，则( m ， 下 ) 被称作一抛物流形;若? 是严格抛物的，则我们称( m司是一 严格抛物流形. 例1 . 1 1 . ( c - , t ) 是抛物的，当t ( 2 ) 二 国 2 .( 这里c为复 数域、 2设m和m是二维连通的、非紧的复流形. 设0 : m m是真的( 见定义1 .6 ) ,满的、 全纯映射，二 是m的一抛物穷举，则 二 。 0是m的抛物穷举. ， . 设( m1 , 7 -1 ) 和 m 2 , t 2 ) 是抛物流形， 定义m二m 1 x m 2 ， 设n 3 : m一岭 是投影( j - 1 ,2 ) , 则二 =马o 2 r 上 +飞。 心是 m 的一抛物穷举.因此抛抽流形的积是抛物的. 子 . 设b是一个维数为。 - 1 的紧的、 连通复流形， 设m是b 上的全纯线丛， b 上沿m 的纤维的一个h e r m i t 。 度量: ， 恨设m上陈形式c ( m , t ) 0 , 在某点a o ,c ( m , t ) ( x o ) 0 ， 使得对于。 m和f : r ,n如下 二 ( 二 ， ， ) = 二 ， b ( x , y ) r ; f ( x , y ) = y , d ( x 。 ) r . ( 1 .9 ) 对于 二 m， 定义分散集 f m = y e x 或， 使得 r n u 二 。 厂 1 ( 0 ) n . . . n g . 1 ( 0 ) 从而二 一 ， ( x ) 非空， 由 前所述， v y e n ， 存在， 的一开邻域u 2 和有限多 个全纯映射g , , . 一 ， g , : u 2 f , 使得 f (x i n u 2 = ( 9 , ) 一 ( o ) n二 n ( 9 , ) - ( 0 ) 紧性. 欲证f x i 紧，证二 一 ( x ) 紧即可. 事实 上，二 是真的， 则对于m的任意紧 子集m 而言，二 一 ( m ) n r 是紧的， 而 v 二 m ， 存在某个m， 使 得x e m， 从而二 一 ( x ) c ( - - i ( m ) n r ) . 于是f 国的紧性得证. i f 的解析性， 不舫设 r 二r , x r 2 ， 由前部分证明，iv x e m， 存在 x的一开邻域 u ， 和有限多个 全纯映射g. . . , 9 s ， 使得 r 1 n u , = ( 9 , ) 一 ( o ) n二 n ( 9 e ) 一 ( 0 ) 由于i f c r , , 则 ( i f n u , ) ( r , n u , ) 从 而 ( i f n u , ) : (， ; ) 一 ( o ) n二 n (。 ; ) 一 ( o ) 另 外， 设二 。 ( 。 ; ) 一 ( o ) n 一n ( s ; ) 一 ， ( o ) ， 显然# f z l 1 . 从而: i f 综 上 .i f n u 1 = ( 。 ; ) 一 ( o ) n一 。 ( 9 s ) 一 ( o ) 下证 i f cs . 显然 介n a二叻 证毕， 从而， 全纯映 射f : a - + i v 唯一地扩 展成 一 个 全纯 映射f : m一 1 1 - r iv若b c m , 则f ( , - ( b ) ) 称作f 作用下b的映像， 记作f ( b ) ; 若g c n , 则二 ( f - 1 ( c ) ) 被称作c的 逆映像，记作f - 1 ( c ) . 若c是解析集，则f - 1 ( c ) 也是解析集. 设。n、z ( 7l = 0 ， 士 l , ， 士 。 ， . ” 是一昨负 除 子 . 令5 = s u p p ， = ， 角v ( g ) 0 , f : m - 4 r是一半纯映封， 五f ( m ) n s j4 f ( m ) , 则我 们称f 对于。 是自 由的，且存在 一个拉回除子/ ( v ) : m、2 ， 具有如下性质: 1 . 设ua o ,u 是n的一个开的、 连通子 集， 使得o = f 一 ( u ) i4 0且存在u上两 个全纯映射夕 笋。 ;t h ， 使得 v ( u=u 。 一p h 则在u的每个分支上，g o f %0 , h o f -$0 ， 且 f ( v ) i u=1 4 . ， 一 “ h a l . ( 1 . 1 1 ) 2 . 若。 ， 和。 : 是凡上的两个除子， 且f ( v l ) 和f ( v 2 ) 存在，则f ( v l + u 2 ) 也存 在。且 f ( 1 1 +v 2 卜 f ( u 1 ) + f * ( v 2 ) . ( 1 . 1 2 ) 3 . 若 。 全。 ， 则 f * ( v ) 0 设f o 二 f : m一 i f 。n ， 显然f o 是全纯的. 若f o ( m一 i f ) 不 含在s 中 ， 拉回 除子可以 定义在“一 i f 上 由于d i m i i 。 时，定义。 的计数函数、 ， 为 几 卜1 /(t2i - z ja ltl一，一 这里，s t 卜 z e s it ( x ) 0 且趋向于0 时，n ( t ) - r n ( 0 ) 0 . 若。1 ， 则 二 “ ， 一 关 .itk 1t;一 + 二 。， ( 1 . 1 3 ) 当0 0 . 设 w是一个沿w 的纤维具有h e r m it i a n度量k的全纯向量丛， k : w. w- r c是一个c 0 0 类函数， 使得对于每个二 方 ， 限利k z : w x w - 4 c是一 个正定h e r m it i a n 型.a ( e 队) 的范 数定义为1p ilk = 办石面 0 . 设e是一个带有基 e i _ ， 的。 维截向 量空间 投影算子p: e - r e 。 是e与该基相关 的一 个实 现. 我 们称m上的一个全纯 ( 或半纯) 集d cm, 当。 足够大时， il p n f 从而，我们有如下结论: 映射具有紧投影，若任意给定: )。 ， 对于任意紧子 f ll 定理1 . 1 ( g r e e n - r e s i d u e 定理) 设( m , 动是一个、维的抛物流形，方是e上的黎受 域 设f : a ll fi是对于“自 由的半纯映射( 即f ( m - l 力不包 含在u 的零集z ( u ) 中) ， 且f 具有紧投影性质.则 f , d d lo g ilu o f 1ik 八 v ， 一 1 而 d t.-i + 凡 (: ， 。 ) 一 i ln g llu 0 f llk 。 一 1 lo g llu o f llk a , ( 1 .1 8 ) j , j m! = ij n 2 i r ) j m( ， ) 这里， m( r ) = 二 任 川t ( x ) = r 2 且 二 是一个穷举. 证明; 利用f 的紧 投影性质， ( 详见参考文献8 1 ) . 下面我们继续在以上定理相同的假设下讨论全纯向量丛的n e v a n li n n a 第一基本 定理. 特别 4_ ,设w二l是一个全纯线丛则( l , 劝是一h e r m i t i a n 线丛. l在n的 开子集u上的一个全纯标架77 是一个没有零点的全纯截，77 e f a l ) : z ( 77 ) 二 0 , 若77 1 , 77 : 分别为u 1 , u 2 上的两个全纯标架， 且u , 2 = u 1 n u 2 56 . 则存在一个 无零点的 全纯函数h : u 1 2 - c . 使得: 2 1u 1 2 = h 77 1 1u 1 2 . r = 1 此，在u 1 2 上，有 d ( 0 l o g 1177 2 11k = d d lo g 1 h 12 + d d 0 l o g 1177 1 11k = d d l o g 1177 1 11k . ( 1 . 1 9 ) 这样， 存在且唯一 存在w上的一 个双幂( 1 , 1 ) 和c 0 0 形式c ( l , k ) ( 被称作( l , k ) 的陈形式) ， 使得， 对于n上每个全纯标架。 ( u , l ) 有 c ( l , k ) iu=- d d l o g 1177 11又 ( 1 .2 0 ) 再考虑与以上定理1 . 1 相同的情形，w二l , 对于。 t e r ， 定义球像函数街 为 a f (t,l ,k ) = tx,n= s i f - (c (l ,k ) 11 一 mf 亡 ( 1 2 1 ) 街递 增， 且当7- 。 时， 街 : ， l , k ) 。街( 0 , l , k ) ; r 、0 0 时， 街( : ， l , k ) 、街( oo , l , k ) 、存在. 对于。 。 : 皿 ， 定义特征函数t f 为 t f (二 ，l ,k ) 一 j r a f (t l , k ) dt ) 。 ( 1 . 2 2 ) 取 ( ) 尹 ， r ( n, l ) , 使得 f 对于。来说是 自由的.定义补偿函数为 m f , (r , l , k ) 一 1 to 二探 。 j m( r ) l l u0ll l k ( 1 . 2 3 ) 1 . 2 主要结果 因为有 c ( l , k ) 二一 d d l o g j u jj呈 所)7, c 由g r e e n - r e s i d u e 定理可以推出h e r m i t i a n线丛的第一基本定理. 定理1 . 2 ( h e r m i t ia n 线丛的第一 基本定理) 设( m , 动为m维的抛物流形， 介是e 上黎 更 域， w= l 是一具有沿w的纤维的h e r m i t i a n 度量k 的全纯线丛， f : m、n是对于 u自 由的半纯映射 即a m - i f ) 不 含在。 的零集z ( u ) 中) ， 记n f ,u ( r , s , l ) = n f ,u ( r , s ) , 则有 乃( r , s , l , k ) =价,u ( r , s , l ) + m f ,u ( r , l , k ) 一 。 f , ( s , l , k ) , 0 。 。 都成立， 注1 .1 我们已 知，斤上的全纯h e r m i t i a n 线丛( l , k ) 的同 构类 构成一 个群. 设l 是l的一对偶线丛，k 是k 沿着l 的纤维的对偶h e r m i t ia n 度量 l 在u上的一个全纯标架，犷是l 在u上的对偶全纯标架则在u上，有 1 17 1 11 07 1 * i lk =1 这样，( 1 .2 0 ) 可得出 c ( l , k ) 二一 c ( l , k ) a l ( t , l , k ) =一 a f ( t , l , k ) t j ( r , s , l , k ) =- t f ( r , s , l , k ) ?7 是 ( 、 2 5 ) ( 1 .2 6 ) ( 1 . 2 7 ) ( 1 . 2 8 ) 设( l i , k i ) 和( l 2 , k 2 ) 是n上的全纯h e r m i t i a n 线丛，l = l , b l 2 为它们的张童 积 则可在沿l的纤维止定义h e r m i t i a n 度量k = k , = d - 一 0 ) . 群c . ( = c - 1 0 ) 作用于d : , 则商空间q ( d * ) = d ; / c 。 是一紧的连通复流形.剩余映射q : d r -4 q ( d . ) 是开的且 全纯的，对于。 e q ( d ) 和二 c n 卞 x , a 卞 k = 定义 11- ( 二 ) ilk i i i。 川 ， 。d : , q ( u ) =a( 1 . 3 4 ) n il o 二1 ) c v ( 2 8 ) 则v , 在v中是开的. 是a全纯的.令 p o , p i p ( 10) _p ( v ) 一 e ( a ) 在p ( v ) 中是开的. 限制p o : 二 p : a o p ( v , ) p n ， 为v 。 的基。且p 。 二 p ， 则 h 。 二 ( p“ 嵘 ， . . , p n 。 嵘 ， 二p ( a ) 、e( 2 . 9 ) 是双全纯的，从而是p ( v ) 的一个图。其中p o 满足 (p a )一 (p (” )。 = 杀 ,v 9 。 、 ( 2 . 1 0 ) 定义2 . 1 e ( 8 ) 是如上所定义的线性子空间定义集合 a ( - 1 ) = ( 0 , 79 ) p ( v ) x v 1 a9 e ( e ) 是p ( v ) x v的一个连通复子流形， 且投影a ( - 1 ) 、p ( v ) 们称p ( v ) 上的一个全纯线从为冗余丛， ( 2 . 1 1 ) 由定义e ( = , 19 ) =三 ， 则我 包含映射2 : a ( - 1 ) - p ( v ) x v使 a ( - 1 ) 成为平凡丛p ( v ) x v的一个子aa.若 三 e p ( v ) ， 纤维a ( - 1 ) _ = e ( 三 ) 是一条线， a ( - 1 ) 是一个线丛、 对偶丛h:二 a ( 1 ) := a ( - 1 ) 被称作超平面截丛，对偶映射。 二 e : ? ( v ) / v . 、h是满的， 称为wk 映射. 若p e v , 定义一个全纯截p : ? ( v ) - p ( v ) x v ， 满足 f ( ) 二( 三p ) , v 三 r p ( v )( 2 . 1 2 ) 进而可得到，e o p 是h在lp ( v ) 的全纯截，h在? ( v ) 的所有全纯截由此获得. 显然， 如， 护 ， 。 。 v , b e v , 则e o p 6 e o b这样、 规定， = e o p ， 于是v 二 r 伊 ( v ) , h ) 若三 任 ? ( v ) , 则( e o p ) ( = ) h e 二e ( = ) . 是线性映升户 ; v- c的限制，且 ( 。 0 司( e ) =p l e ( = ) 二p o l : e ( e ) - c , 二 , we ( 3 ) 如p i4 0 ， 则a = 叫 川 巩 v ) , 戳 : 。 月二 侧 司是一个超平面. 设p e n ， 定义 a (p ) =h p =a ( 1 ) 1 , a ( - p ) =a ( 一 1 ) v 作为第p 次张量积，今a ( u二p ( v ) x c 则卿均 上的每个全纯线丛同构于这些线丛 中的唯一一个. 例:典范丛可以如下给出 k( p ( v ) ) 二a ( - n 一1 ) 设1 为v上的h e r m it i a n 度童， 范数记作11 - 11 或i n 对于79 e v , y e v 1 ( v , v ) ( 2 . 1 3 ) 二( my ) , 这样1 诱导出一个洛? ( v ) x v的纤维的h e r m it i a n 度量i ， 它限制为沿a ( - 1 ) 的纤维的 h e r m i t i a n 度量1 .同时，1 诱导出一个 v 上的对偶度量1 * . 取 1)v ， 设线性函数 b v 满足 1 9 ( e ) =( e h ) , e v . ( 2 . 1 4 ) 定义共耗线性同构-y : v - r v , r ( t9 ) =,9 设p e v , b e v , 定义 1 ( p , b ) = ( 7 - ( b ) 17 - i ( p ) ) 则1 定义一个沿f ( v ) x v 的纤维的度圣1 . . 设s是t : p ( v ) x v - r h的核，则s是p ( v ) x v 的纤维的全纯向量子丛 于是，v . 下垂直子丛s 1 是1p ( v ) x v * 的可微子丛，1 限制到沿s l的纤维的一个 h e r m it i a n 度量上，同时， s l 一h是书沿s l 的h e r m i t ia n 度蚤映射到沿h的原来对 偶h e r m it i a n 度量1 的一个微分丛同构. 这样h e r m i t i a n 线丛( h , 1 ) 的陈形式称作ip ( v ) 上的 f u b i n i - s t u d y 形式，且 r=c ( h, 1 ) 0 定义 t o : v - + lft + 如下 t o ( e ) = iie 112 , = v f 。 v 则 t . ( h ) “d d l o g t o . ( 2 . 1 5 ) 至于v上的度量1 和 1 . , 上的v ， 有s c h w a r z 不等式 p ( v ) , a = p ( p ) e ip ( v ) ， 从三到e a 的距离按照如t定义 。 t h , a t = i 】 110 日 p ii 这里 三 1( 2 . 1 7 ) 根据( 1 .3 4 ) ， 我们也可求得距离t = , a 十 凌 ，f ( v ) , a p ( v ) . 引理2 . 1若e e ? ( v ) , a e p ( v ) , a ?1 t 三 ， a t , =t = , o f 证明:取。 ? ( v - ) . 首先我们欲证明 a1- t a , a )a? ( v ) ? =i ( 2 . 1 8 ) 取 p v 中 其对偶塞 满足 a 二咧 川且 回 二1 ， 令p o , . . , p n是 v 的一组正交基，且 p 二 。 。 ， . 二 ， 。 。 ， 也是正文的， t e , a t 且 二1 , 1 令 。 =咧e o ) , 由于 l e o 11 1 1e o 1 1 1 lp o l1 对所有 且 满足 c e ip ( v ) , 由千作 时1 ， 从而 ( 2 . 1 8 ) 成立，取a 和p 如上，令 三= 二 1 ， p ( 1 9 ) p o , 则 4 t 1 p ( v ) ipi卜 1 . g 1 1 f e , a t 二 . 向量p 定义h内 截: 。 厄且二 。 动 但 ) 侧马 二 = 几， 这里 : 。 司 ( 匀: 侧匀。c 是一个线 性函数. 由于i9 e e ( 三 ) ， 我们由( e 0 a ) ( e ) ( 19 ) 二 e c 向蚤 是e ( 0 ) 的基，于是存 在e ( c ) = h : 的对偶基， . 又由于e 是满的.则存在b e v ， 使得( : 。 扔 ( ) = y 、 且 ( : o b ) ( 0 ) o) = y ( t9 ) 二1 . 由对偶范的定义r二 可推得 ii v i i i ii ( e o b ) ( r ) i l 1 =1 , ( 2 . 1 9 ) 这里 z ( e o 11叫 二 b ) ( e ) 11,9 11+ 二 1 , q 此“ ( e o b ) (= ) i i, = 1 ， 这 样， 存 在一 个复 数z e c ， 使得(e o a ) (= ) 二 于是 二( 。 o a ) ( e ) ( ty ) 二: ( : o b ) ( e ) ( d ) =: ， t e , a t 二 卜 l z l l l ( e o b ) ( e ) i l r = ll ( e o pp- ) ( e ) ili 07式( 1 .3 3 ) ， 我们有 ! ) : o a l l =m a x l l l ( e o p ) ( e ) ii i ie e p ( v ) l =m a x i t s , a t l e e p ( v ) “1 根据( 1 .3 4 ) ， 我们有 ( 2 . 2 0 ) ( 2 .2 1 ) ( 2 . 2 2 ) . _ ， m e o me ) iii _: _ _ 。二 、 0_、 二_ 、 t g al t二 一. -i_ i i一 i i 铸 ，n 从一川 一 ! ， 叫 h i e o夕川 ( 2 . 2 3 ) 证毕 2 . 2 到投影空间的半纯映射的第一基本定理 设v是无限维复b a n a c h 空问， 设m是一。维连通复流形.a 是一使得s = m- a 是解析的非空开子集.令 了 : a - r p ( v ) 是一全纯映射 定义2 . 2 设ua 0 是m的开的连通子集，称一全纯向量函数。 ;9 v : u v是i 的 一个表示，若对于任意x e u n a , 有f ( ) 二 p ( v ( - ) ) , 且v ( x ) x 0 . 若d i m。 一 ， ( 0 ) 。一 2 , 则我们说这个表示是简化的. 若v i : u j 。v 是f 的表示( .7 = 1 , 2 ) ， 且u , ， 二 u , n u 2 o p ， 则存在一 个u 1 2 上的一 个半纯函数h ， 使得在u 1 2 上，1,2 = h v , . 工 .若 v , 是简化的，则h 是全纯的. ii .若v i 和v都是简化的，则半纯函数 h 无零点. 如。 : u iv是f 的一个表示，x 0 e u , 则我们称， 是在: 。 点的一个表示， 定理2 . 1 全纯映射f : a一p ( v ) 在m上是半纯的的充要条件是在m的每点存在f 的一个表示. 定义 ( 1 ) m 2 . 3你e in 流形) 设 m是一复流形，m是s t e i n 流形，当且仅当 的每个连通分支都有一个可数拓扑. ( 2 ) 若: m , w m ， 且: 0 二 ， 则 存在一个全纯函数f : “、c ， 满足f ( z ) 3 - f ( w ) - ( 3 ) 若n是m的一个元聚点的、 闭的无穷子集， 则存在一个全纯函数ip : m一c ， 使 得 回n ) i 无界. 设m是一s t e in 流形，若h 2 ( m, z ) = 0 ， 这里h 3 ( m, z ) 是系 数为整数的m的第 二上同调群，则 1 ) m上的每个全纯线丛是平凡的， 2 ) m上的每个非负除子是m上一全纯函数的除子 3 ) 每个半纯映射f: m、? ( v ) 都有一个简化表示。 : m、v ， 这里v是无限维复 b a n a c h空间. 根据3 ) ， 我们得到: 定理 2 . 2若f 是半纯的，若u0 是m的开的连通s t e i n 子集，且h