（控制理论与控制工程专业论文）基于微粒群算法的倒立摆控制研究.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 摘要 倒立摆是一个典型的单输入多输出、非线性、高阶次的不稳定系统， 研究倒立摆的控制不仅能反映控制理论中有关非线性、鲁棒性以及跟踪问题 等许多关键问题，同时对工业复杂对象的控制也有着重要的应用价值。 微粒群优化算法( p a r t i c l es w a r mo p t i m i z a t i o na l g o r i t h m ，p s o ) 是近年来提出的一种新型的基于群体智能的进化算法，它具有算法简单、收 敛速度较快，所需领域知识少的特点。本文在对倒立摆、p s o 算法研究现状 进行综述的基础上，进行了基于p s o 算法优化设计控制系统的研究，论文主 要工作包括： ( 1 ) 基于牛顿力学原理建立了一级直线倒立摆数学模型，介绍了倒立摆 l q r ( l i n e a rq u a d r a t i cr e g u l a t o r ) 最优控制方法，并利用i 忪t l a b 7 研究了 倒立摆l q r 控制性能。 ( 2 ) 将微粒群算法应用于传统p i d 控制器参数优化整定，通过对不同 对象的控制系统仿真实验结果表明，与传统p i d 控制器整定方法相比，控制 系统具有更佳的闭环控制性能。 ( 3 ) 为克服b p ( b a c k p r o p a g a t i o n ) 算法不足，本文研究利用p s o 算法 作为多层前馈神经网络训练算法以实现非线性函数逼近及模式识别等，通过 对不同非线性函数的辨识及模式识别实验结果表明，p s o 算法作为神经网 络训练算法是可行的。为提高逼近精度，采用“种群爆炸”思想对p s o 算法 进行改进，实验结果表明，改进方法是有效的。为得到全局最优的b p 网络 训练算法，文中还将p s o 算法与b p 算法结合进行网络训练开展了研究工作， 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 i 页 实验表明，该方法能克服b p 算法不足，提高网络训练速度和精度。 ( 4 ) 针对一级直线倒立摆这一复杂非线性对象，本文提出了一种基于p s o 算法训练b p 网络连接权值与阈值的神经网络控制方法以实现倒立摆控制， 仿真结果表明了该方法的良好性能。 文章最后对全文的工作进行总结，并且提出了进一步研究的方向。 关键词倒立摆：p s o 算法：b p 网络：p i d 控制器 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 i i 页 a b s t r a c t t h ei n v e r t e dp e n d u l u ms y s t e mi sat y p i c a ls i n g l ei n p u ta n d m u l t i p l eo u t p u t s ，n o n l i n e a r ，h i g ho r d e r ，n a t u r a lu n s t a b l es y s t e m r e s e a r c ho nt h ea c c u r a t ec o n t r o lo ft h ei n v e r t e dp e n d u l u mn o to n l y r e f l e c t ss e v e r a lj o i n t si nc o n t r o lt h e o r y ，s u c ha s ；n o n li n e a r p r o b l e m s ，r o b u s t n e s s ，a sw e ll a s t r a c k i n g ，b u t a ls oh a s g r e a t e n g i n e e r i n gv a l u et ot h ec o m p l e xi n d u s t r i a lo b j e c t s r e c e n t l y ，p a r t i c l es w a r mo p t i m i z a t i o n ( p s o ) a l g o r i t h mc o m e s f o r t ha sa n o t h e ri n t e l l i g e n ta l g o r i t h m i ti ss i m p l ew i t hc o n c e p t ， p a r a m e t e r s a n di m p l e m e n t a t i o n i n v e r t e dp e n d u l u m、p s oa n di t s r e s e a r c h m e n ta c t u a l i t ya r es u m m a r i z e df i r s t l y ，t h e np s oi sa p p l i e d t oo p t i m i z ea n dd e s i g nt h ec o n t r o ls y s t e m s t h em a i nc o n t r i b u t i o n s g i v e ni nt h i sd i s s e r t a t i o na r ea sf o l l o w s ： ( 1 ) u s i n gn e w t o n sm e c h a n i c st h e o r yt oe s t a b l i s ht h e l i n e a rl e v e l i n v e r t e d p e n d u l u m m a t h e m a t i c a lm o d e l l q r ( l i n e a rq u a d r a t i c r e g u l a t o r ) c o n t r o ll e r i nm o d e r nc o n t r o lt h e o r yisd e s i g n e d ，a n d s i m u l a t i o np e r f o r m a n c e sa r eg i v e nb ym a t l a b 7 0 ( 2 ) p s oi sp r o p o s e dt oo p t i m i z et h ep a r a m e t e r so ft h ec o n v e n t i o n a l p i dc o n t r o l l e r t h es i m u l a t i o nr e s u l t so ft h ed i f f e r e n tc o n t r o l s y s t e m ss h o wt h a tt h eo p t i m a lp i dc o n t r o l l e r b a s e do np s o h a sa s a t i s f y i n gp e r f o r m a n c ea n di sb e t t e rt h a nt h ec o n v e n t i o n a l p i d c o n t r o ll e rb a s e do nt h ec o n v e n tio n a l ( 3 ) p s oa l g o r i t h mi su s e dt ot r a i nt h ew e i g h t sa n dt h et h r e s h o l d s o fm u l t i l a y e rf e e d f o r w a r dn e u r a ln e t w o r k s( m f n n ) i n s t e a do fb a c k p r o p a g a t i o n ( b p ) a l g o r i t h m t h e n nt r a i n e db yp s oi sa p p l i e dt o i d e n t i f y n o n 一1 i n e a rf u n c t i o n a n d p a t t e r nr e c o g n i t i o n t h e e x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o wt h a tt h ep r o p o s e dm e t h o di se f f e c t i v eb u t l o w p r e c i s i o nt h a nb pa l g o r i t h m t oi m p r o v et h eg l o b a ls e a r c h i n g c a p a b i l i t yo fp s o ，t h ec o n c e p t o f p a n i c l es w a r me x p l o d i n g i s i n t r o d u c e di n t ot h ep s o ，e x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o wt h a tt h ep r o p o s e d m e t h o di se f f e c t i v e t h eh y b r i da l g o r i t h mc o m b i n i n gp s oa l g o r i t h m 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 v 页 w i t hb pa l g o r i t h mi su s e dt ot r a i nt h em f n n d e f e c t so fc o n v e n t i o n a l b pa l g o r i t h m ，i e t h es l o wc o n v e r g e n c eo fw e i g h ta n dt h r e s h o l d l e a r n i n g ，p r e m a t u r er e s u l t ，a n dt h es l o wt r a i n i n gs p e e do fp s o ，a r e s e t t l e db yi t ( 4 ) an n c ( n e u r a ln e t w o r kc o n t r o lle r ) ism a d eb a s e do np s oa l g o r it h m t oc o n t r o li n v e r t e dp e n d u l u ma n dt h ee x p e r i m e n tr e s u l t sp r o v e ，t h e g o o de f f e c ti v e n e s so fn n cm e t h o db a s e do np s o f i n a ll ys o m ec o n c l u s i o n sa n df u t u r er e s e a r c h e sa r ed r a w ni nt h is d i s s e r t a t i o n k e yw o r d s ：i n v e r t e dp e n d u l u m ；p a r t i c l es w a r mo p t i m i z a t i o n a l g o r i t h m ：b pn e u r a ln e t w o r k s ：p i dc o n t r o l l e r 西南交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权西南交通大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入 有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本 学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书； 2 、不保密酬适用本授权书。 ( 请在以上方框内打“”) 指导教师虢参派 日期僻6 月忡 彬日 j历?1_y 绷1=、， 澎月 名 e 徽 睁 作史 ： 论 期 御 刚 挚 西南交通大学学位论文创新性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立进行研 究所得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包括任何其他个人 或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本论文的研究做出贡献的个人和集 体，均已在文中作了明确的说明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人 承担。 花仙 雾目v 形阳 ，r轹 孵 签 。 剖作 k 刘 期 沦 日 t学 西南交通大学硕士研究生学位论文第l 页 第1 章绪论 1 1 倒立摆控制系统研究意义 1 1 1 倒立摆模型的提出 二十世纪5 0 年代，麻省理工学院的控制专家们根据火箭发射助推器原 理设计出一级倒立摆实验设备，此后世界各国的控制专家们大都以一级倒立 摆作为验证某种控制理论或方法的典型装置。以一级倒立摆为基础，在摆杆 的另一端再铰接摆杆，可以组成二级、三级倒立摆。倒立摆系统是一个多用 途的综合性实验装置，它与火箭的飞行及机器人关节运动有许多相似之处， 其原理可用于控制火箭稳定发射等。 1 1 2 倒立摆系统的特性 倒立摆根据其结构形式，主要分成直线倒立摆、旋转倒立摆、平面倒立 摆三种类型，尽管倒立摆形式多样、结构各异，但所有的倒立摆都具有以下 的特性： 1 非线性 倒立摆是一个典型的非线性复杂系统，在设计倒立摆控制器时可以通过 对系统线性化处理得到近似模型，然后对线性化后的系统进行控制；也可以 不采用线性化处理，利用非线性控制理论进行控制。倒立摆的非线性控制正 成为一个研究的热点。 2 耦合性 倒立摆的各级摆杆之间，以及摆杆和运动模块之间都有很强的耦合关 系，在倒立摆的控制中一般首先在平衡点附近进行解耦计算，忽略一些次要 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 的耦合量。 3 开环不稳定性 倒立摆的稳定状态只有两个，即垂直向上的状态和垂直向下的状态，其 中垂直向上为绝对不稳定的平衡状态，垂直向下为绝对稳定的平衡状态。 4 约束限制性 倒立摆系统的约束限制主要是指系统机构限制，如电机力矩限制、小车 运动行程限制等。为制造方便和降低成本，倒立摆的结构尺寸和电机功率等 尽量要求最小。在众多的限制中，行程限制对于倒立摆的控制尤为突出，容 易出现小车撞边现象。 1 1 3 倒立摆控制系统研究的意义 在控制理论的发展过程中，某种理论的正确性及其在工程应用中的可行 性需要有一个按其理论设计的控制器去控制一个典型的对象来验证，倒立摆 就是这样一个被控对象。倒立摆是一个自然不稳定体，能够有效地反映控制 过程中的许多关键性问题，如非线性问题、跟踪问题、随动问题以及鲁棒性 问题等。倒立摆的典型性在于：作为实验装置其成本较低，结构简单，形象 直观；作为一个被控对象又相当复杂，是一个高阶次、多变量、非线性、强 耦合、不稳定的系统，只有采取行之有效的控制方法才能使之稳定【- 】。倒立 摆系统控制效果，可通过摆杆摆动角度、小车位移和稳定时间直接度量，控 制效果好坏一目了然。 工程是理论的先导，对倒立摆的研究不仅有其深刻的理论意义，还有重 要的工程背景。在工程上来讲凡是重心在上，支点在下的控制问题都可以归 结为倒立摆的控制问题，如火箭的飞行控制、卫星的姿态控制、机器人的行 走控制，所以对倒立摆控制机理的研究具有重要的理论和实际意义，成为控 制理论中经久不衰的研究课题，人们把它喻为“任何一个自动控制部门都追 求的皇冠上的珍珠”【。 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 1 2 倒立摆系统控制综述 多年来，国内外不少专家学者对倒立摆系统进行了大量的研究，试图寻 找不同的控制方法以实现对倒立摆的控制。到目前为止，倒立摆的控制已有 不少成功的记载，倒立摆的控制规律可总结如下： 1 p i d 控制 一级倒立摆系统的控制对象是一个单输入、两输出的非最小相位系统， 根据对系统的力学分析，应用牛顿第二定律，建立小车在水平方向运动和摆 杆旋转运动的方程，并进行线性化，根据使闭环系统能稳定工作的思想设计 p i d 控制器以实现控制【2 1 。 2 状态反馈也控制 用现代控制理论控制倒立摆的平衡主要是用矾状态反馈来实现的p 5 1 。 也状态反馈控制是通过分析倒立摆物理模型，根据倒立摆的动力学模型， 利用状态空间理论建立系统状态方程和输出方程，然后利用风状态反馈和 k a l m a n 滤波相结合的方法，实现对倒立摆的控制。文献 3 中采用极点配置 方法、l q r 方法对倒立摆进行控制并取得了较好的控制效果。 3 模糊控制 文献 6 7 采用模糊控制方法控制倒立摆，模糊控制的思想是根据被控 对象确定模糊规则，设计出模糊控制器实现对倒立摆的控制，大量的实验研 究表明，用模糊控制的方法控制一级、二级倒立摆是非常成功的。 4 神经网络控制 用神经网络方法来实现倒立摆控制，迄今已经取得了不少成果。已证 明神经网络( n e u r a ln e t w o r k ，n n ) 能够任意充分地逼近复杂的非线性关系， n n 能够学习与适应严重不确定性系统的动态特性，具有良好的容错性与联 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 想记忆功能，具有很强的鲁棒性，文献 8 作者将q 学习算法和b p 神经网 络有效结合，实现了状态未离散化的倒立摆的无模型学习控制。 5 模糊神经网络控制 文献 9 1 1 作者分别提出了基于模糊神经网络的模型参考自适应控 制、二级倒立摆的状态变量合成模糊神经网络控制、基于b p 算法的自适应 模糊控制等倒立摆控制方法，其主要特点是利用神经网络的自学习功能，不 断修正模糊神经网络控制器的隶属函数和权值，实现模糊控制规则的自动更 新，从而解决模糊控制的自学习、自调整问题，以提高控制精度。 6 神经网络与遗传算法结合控制倒立摆 基于遗传算法学习的神经网络控制倒立摆 1 2 。1 4 ，以神经网络为基础， 用遗传算法来学习神经网络的连接权系数，它既保留了遗传算法的较强全局 随机搜索能力，又具有神经网络的鲁棒性和自学习能力，在倒立摆控制中取 得了较好的控制效果。 7 神经网络与预测控制算法相结合控制倒立摆】 基于神经网络模型的预测控制算法用于倒立摆的平衡控制，首先用前 向神经网络描述对象的输入输出关系，根据此关系可计算预测出系统在未来 某时刻的输出值，从而得到未来某时刻系统的误差，根据此误差确定系统的 目标函数，然后设计在线的优化算法实时解决下一时刻的控制量。 8 用云模型控制倒立摆 用云模型构成语言值，用语言值构成规则，形成一种定性的推理机制。 这种方法不要求给出对象的精确的数学模型，而仅依据人的经验、感受和逻 辑判断，将人用自然语言表达的控制经验，通过语言原子和云模型转换到语 言控制规则器中，就能解决非线性问题和不确定性问题 i g , , m t l 。从文献 1 6 对 倒立摆的仿真实验可以看出，云模型对被控对象的状态和参数变化具有一定 的鲁棒性。 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 国际上每年都有上百篇关于倒立摆控制的研究论文发表，其中大部分 是建立在一级倒立摆基础上的计算机仿真研究，用二级倒立摆和平面倒立摆 来仿真的文章则很少，而用三级倒立摆乃至多级倒立摆进行仿真研究的更是 罕见。三级及以上倒立摆的控制作为控制界的经典难题一直为人们所关注， 也一直是研究的热点【l 】。 1 3 微粒群优化算法综述 微粒群优化算法“”( p a r t i c l es w a r mo p t i m i z a t i o n ，p s o ) 是由美国社会 心理学家j a m e sk e n n e d y 和电气工程师r u s s e lle b e r h a r t 于1 9 9 5 年共同提 出的一种基于群体智能的演化计算方法，该算法特点是通过个体问的协作和 竞争来实现全局搜索，在该算法初始化种群中每个个体称之为微粒，与遗传 算法通过交叉、变异等操作实现个体更新不同，p s o 算法是通过微粒在解空 间中追随当前的最优粒子来实现搜索。 自微粒群算法提出以来，由于算法具有计算速度快、算法本身相对容 易编程实现等特点，因而引起了国际上相关领域众多学者的关注和研究，成 为进化计算研究的一个重要分支。当前，p s o 算法的研究大致可分为算法的 改进、算法的理论分析以及算法的应用研究三个方面口”。下面就这三个方 面的研究情况做简单的介绍。 在算法的改进方面，首先是k e n n e d y 和e b e r h a r t 在1 9 9 7 年提出了二 进制编码的p s o 算法啪，。p s o 算法能有效的处理连续优化问题，但是实际工 程中存在很多非连续优化问题，如组合优化问题。为此，k e n n e d y 与e b e r h a r t 提出了二进制版离散p s o ，用来解决工程实际中的组合优化问题，并对p s o 算法与遗传算法的性能进行了比较，也为有关学者进一步研究提供了一个有 用的模型。c l e r k t 2 副对其进行了推广研究，并应用于求解旅行商问题( t s p ) ， 通过使用不同的参数设置，对1 7 城市问题进行测试，取得了较好的结果。 c l e r k 的研究表明离散化的p s o 算法可以用来解决t s p 等组合优化问题，但 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 作者并未深入分析算法的性能。文献 2 4 ，2 5 也应用二进制版离散p s o 对 t s p 问题进行了相关的研究。s h i 和e b e r h a r t 于1 9 9 8 年在p s o 算法的速度 项引入了惯性权重啪硎，并提出在进化过程中可通过动态调整惯性权重以平 衡收敛的全局性和收敛速度，该模型被相关学者称之为标准p s o 算法。c l e r c 在对算法的参数选择和收敛性进行了初步的数学分析基础上，于1 9 9 9 年在 p s o 算法的进化方程中引入收缩因子以保证算法的收敛性m - ，c a r l i s l e 与 d o z i e r 通过一系列实验研究，详细分析了p s o 算法中不同参数对算法性能 的影响，并在此基础上提出了经典p s o 算法模型，给出了参数选择的指导性 建议口”。 p s o 算法改进的另一个研究趋势是与其它进化计算技术相结合。例 如，a n g e l i n e 借鉴进化计算中的选择概念，在p s o 算法中引入复制、交叉 和变异等算子来提高算法的性能心“。如通过复制算子，具有最好性能的粒 子将被直接复制到下一代，从而在种群中可以保持最优性能的粒子；通过交 叉算子，成对的粒子将互相交换彼此信息，以使微粒获得飞向新搜索空间的 能力；通过引入适当的变异算子可增强p s o 算法跳出局部极小的能力。 在p s o 算法的行为分析和收敛性分析方面有关学者也进行了大量的研 究工作。在收敛性方面，f r a n sv a nd e nb e r g h 引用s o l is 和w e t s 关于随 机性算法的收敛准则，证明了标准p s o 算法不能收敛于全局最优解，甚至于 局部最优解。另外还证明了保证收敛的p s o 算法能够收敛于局部最优解，但 不能保证收敛于全局最优解n ”。其次是采用代数方法对几种典型的p s o 算法 的运行轨迹进行了分析，给出了保证算法收敛性的参数选择范围。目前由于 p s o 算法本身的理论分析还不完备，因此用理论方法分析p s o 算法的运行行 为和收敛性等是目前研究热点之一。 在p s o 算法的应用方面，p s o 算法最早应用于函数优化及人工神经网 络的训练，k e n n e d y 和e b e r h a r t 将利用p s o 算法训练神经网络成功地应用 于分类x o r 问题。p s o 算法在控制系统设计。”、多目标优化、约束优化、 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 极大极小等问题优化中均得到了成功的应用。另外也可见其成功应用于电力 系统、系统辨识等问题的报道m 。 1 4 论文工作介绍 研究p s 0 算法的目的是为了将p s 0 算法应用于更多领域，根据算法在具 体应用中发现的问题也为算法的改进提供了思路。本文主要研究工作是将 p s 0 算法应用到p i d 控制器参数整定、一级直线倒立摆控制系统的神经网络 控制器设计等控制器优化问题中，主要工作包括： 1 ) 详细介绍了一级直线倒立摆的数学建模方法，并根据l q r 最优控制 方法设计倒立摆控制器l q r 控制器，并结合m a t l a b 进行了仿真研究工作。 2 ) p i d 控制器参数的优化整定一直是自动控制领域的研究热点。本文 利用p s o 算法的强大寻优能力，将其应用于对传统p i d 控制器的参数优化整 定中，通过把控制器参数的整定转化为函数优化问题，利用p s 0 算法求解， 取得了较为满意的效果。仿真结果表明，相对于传统方法整定得到的控制器 参数，所获得的控制性能指标更优，控制系统具有更佳的闭环控制效果。 3 ) 介绍了p s o 算法的基本原理，并利用p s 0 算法代替b p 算法作为多 层前馈神经网络训练算法开展了非线性函数逼近、模式识别等仿真实验，仿 真实验表明，利用p s o 算法训练后的多层前馈神经网络对于所研究的模式 识别问题是有效的，也能实现非线性函数逼近，但逼近精度较b p 算法本身 要差。为提高算法收敛精度，本文利用”种群爆炸”思想对p s o 算法进行改进， 实验表明，该方法能有效提高算法收敛精度。文中还讨论了将p s 0 算法与 b p 算法相结合利用各自算法优点以得到具有全局最优的多层前馈网络训练 算法，该方法先利用p s 0 算法优化多层前馈网络，将优化后的网络权值作为 b p 算法的初始权值，然后利用b p 算法进行网络进一步训练，仿真实验表明， 该方法能克服p s 0 算法、b p 算法各自的不足，提高网络训练的精度和速度。 4 ) 提出了一种用p s o 算法代替b p 算法作为多层前馈神经网络训练算 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 法以设计神经网络控制器实现一级直线倒立摆控制的新方法，经m a t l a b 环境下的编程仿真实验表明，该方法是有效的，对倒立摆控制效果良好。 1 5 本文组织结构 全文共七章。第二章主要介绍了一级直线倒立摆模型及其l q r 最优控 制，第三章主要介绍p s 0 算法基本原理及其相关的基础知识，并给出了p s 0 算法参数选取的一些指导性规律。第四章针对常规p i d 控制器的参数整定， 介绍了基于p s 0 算法的优化整定方法，并进行了仿真实验。第五章介绍了使 用p s 0 算法作为多层前馈神经网络训练算法，以实现非线性函数逼近与模式 识别，给出了相关仿真实例。第六章提出了一种基于p s 0 算法的倒立摆神经 网络控制新方法，并进行了仿真实验研究。结论部分对全文进行了总结，并 提出了进一步研究的方向。 西南交通大学硕士研究生学位论文第9 页 第2 章一级直线倒立摆模型 2 1 倒立摆数学模型 图2 一l 为直线一级倒立摆的模型示意图。图中摆杆通过铰链与小车顶部 相连，小车只能沿x 轴左右运动，摆杆只能在x - y 平面内自由摆动( 摆杆2 ， 为匀质细长杆) 。由图2 1 可知x 为小车的位移，秒为摆杆与竖直向上方向的 夹角，u 为作用在小车上的控制力。 y 0 图2 1 一级倒立摆系统示意图 表2 - 1 一级倒立摆参数表 符号含义取值( 单位) x小车相对初始位置的位移m 0 摆杆与竖直向上方向的夹角 r a d u作用在倒立摆系统上的控制量( 力)n m小车质量 1 0 k g m 摆杆质量，0 1 k g l摆杆长度 1 0 m l摆杆质心到转轴的距离0 5 m i 摆杆绕质心转动惯量0 0 0 8 3 3 k g * m * m p c小车与地面之问的摩擦系数 2 * 1 0 。4 n m s e e 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 0 页 2 1 1 倒立摆系统的微分方程模型 v 图2 2 小车受力分析图2 3 摆杆受力分析 首先选取摆杆作为分离体，受力分析结果如图2 - 3 所示，对摆杆运用质 点系动量矩定理，有 1 0 = 刃s i n o 一觑c o s 0 ( 2 1 ) 在摆杆的水平和竖直方向上分别使用牛顿第二定律，有 ( 2 - 2 ) ( 2 - 3 ) 在小车的水平方向上使用牛顿第二定律，有 m d 彬2 x ：”一h 一心膏 ( 2 4 ) d t z l 联立以上方程( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 - 4 ) ，解得 痧：竺等一m 1 0 2 5 ， 程一等塑) “ 、3m + m 7 戈：兰唑翌垒璺旦二翌! 竺塑二丝主( 2 - 6 ) m - - i - m 日 姆 = o 、 y n = 吼 磅 琊 妇 ，f ) “ x 【 u 一舻 扩矿 所 m 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 1 页 2 1 2 动力学方程的线性化 痧：1 9 0 _ ( u 吲- , u 盟。x ) ( 2 _ 7 ) 碍一熹) 譬一u m l o 一弘c 交x = o m + m 2 1 3 倒立摆系统的状态空间模型 针对倒立摆系统设状态向量为 x o ) = ( 翻良而莺) 1 则根据前面方程( 2 5 ) 和( 2 6 ) 有如下代数方程组 矽：矽 痧：3 9 ( m + m ) + ! 丝i c 一 ! 甜 l ( 4 m + 历) l ( 4 m + ，z ) l ( 4 m + 聊) 戈= 戈 戈：一! 鲨0 一兰丝戈+ 兰甜 由代数方程组( 2 9 ) 可得倒立摆系统的状态空间模型如下： ，y x ：= c a x x + + 。b u u 式中： ( 2 - 8 ) ( 2 - 9 ) ( 2 1 0 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 2 页 a = j ( ，) = ( 反痧，立j f ) 7 o l 0 0 丽3 9 ( m + m ) 。蒜z ( 4 m + m )，( 4 m + 聊) 00 01 一! 鳖oo 一兰丝 4 m - i - m4 m + m ，b = 0 3 ，( 4 m + 肌) 0 4 4 m + m c=1。：。，d=。，y=!，u0 000 = 材= i i ，= li ，= il ，= 材 i 1 lilxi ：悔2 1 节中模型参数代入各矩阵有( 不考虑摩擦，将心置o ) 0 1 5 7 7 5 6 0 - 0 7 1 7 1 ： 2 1 4 倒立摆可控性分析 1o o 0 o 0 0 01 0 o o 0 0o f 01 0 j + 0 - 1 4 6 3 4 o 0 9 7 5 6 心 ( 2 1 2 ) 设系统由状态方程( 彳，b ，c ，d ) 给出，对任意初始时刻乇，如果状态空间 中任一个状态z ( f ) 可以从初始状态五( 岛) ，由有界信号“( f ) 驱动，在有限时 间0 内到达任意预先指定的状态鼍( 0 ) ，则程此状态是可控的m 1 。如果系统 中所有状态都是可控的，则称该系统为完全可控的系统。 对任意n 阶线性系统，可构造可控性判定矩阵，其形式如下： 乃= ( b ，a b ，么2 即一纩1 b ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 3 页 若矩阵乃是满秩矩阵，则称系统为完全可控。如果矩阵乃不是满秩矩 阵，则它的秩为系统的可控状态的个数。 在m a t l a b 中利用函数c t r b ( a ，b ) 生成可控性判定矩阵 t c = 0 - 1 4 6 3 4 o 0 9 7 5 6 - 1 4 6 3 4 0 0 0 0 6 8 2 9 2 0 9 7 5 6 - 0 0 0 0 4 8 7 8 0 0 0 0 6 8 2 9 2 - 2 3 0 8 6 - 0 0 0 0 4 8 7 8 1 0 4 9 4 - 2 3 0 8 6 0 0 11 0 5 8 1 0 4 9 4 - 0 0 0 1 0 1 4 4 再通过求秩函数r a n k 得到r a n k ( t c ) = 4 ，求得判定矩阵的秩为4 ，所以 系统可控。 2 1 5 倒立摆可观性分析 假设系统由状态方程给出，对任意初始时刻，0 ，如果状态空间中任一个 状态z ( f ) 在任意有限时刻0 的状态誓吩) 可以由输出信号在这一区间内 ， t o ，t a 的值精确地确定出来，则称此状态是可观测的。如果系统中所有状 态都是可观测的，则称该系统为完全可观测的系统。 类似于系统的可控性，可以构造如下的可观性判定矩阵： t o = c c 4 c a 2 c a 疗一1 由控制理论可知，系统的可观测性问题和系统的可控性问题是对偶关 系，若想研究系统( 彳，c ) 的可观测性问题，可以将其转换成研究( 彳7 ，c r ) 系 统的可控性问题，故前面所述的可控性分析的全部方法均可以扩展到系统的 可观测性研究中。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 4 页 在m a t l a b 命令窗口中调用函数c t r b ( a r , c r ) ，得到可观测性判定矩阵 t o = 10 o01 5 7 7 6 - 0 7 1 7 l o 0 0 0 5 0 1 9 70 0 0 0 3 5 8 5 5 o o1oo o1 5 7 7 6- 0 7 1 7 1 010 00 000 0 0 010 0 0 0 7 - 0 0 0 0 5 - 3 5 e 一0 0 72 5 e 一0 0 7 再调用函数r a n k ( t o ) 得到r a n k ( t o ) = 4 ，求得判定矩阵的秩为4 ，所以系 统可观。 2 2 倒立摆系统的l q r 最优控制 2 2 1 线性二次型最优调节器原理 假设线性时不变系统的状态方程为： 戈o ) = a x ( t ) + b u ( t ) ( 2 1 3 ) y ( ，) = c x ( t ) + d u ( t ) ( 2 1 4 ) 可引入最优控制性能指标，即设计一个输入量“( ，) ，使得 ，= ( 。) 融( 。) + 互1 盯x 飞) 龇) 州，) p ( 2 - 1 5 ) 为最小，其中q ，r 是半正定矩阵，9 ，r 分别是对状态变量和输入向量的加 权矩阵，删是聆维状态变量，“( f ) 是m 维输入变量，终端状态x ( t i ) 自由。 要使性能函数，最小，则可首先建立如下的h a m i l t o n 矩阵： h = 丢p ( f ) 缈( ，) + 甜7 ( f ) r “( 纠+ 允r ( f ) 【血( f ) + b 甜( ，) 】( 2 一1 6 ) 因输入信号“( f ) 不受约束，根据最小值原理，可对日函数进行求导并 令其值为0 ，求出最小值，从而得到最优控制信号： “( ，) = 一r 。1 8 7 力( ，) ( 2 1 7 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 5 页 其中 五( ，) = p ( t ) x ( t ) 其中p ( t ) 为对称阵，该矩阵满足下面著名的r i c c a t i 微分方程 一户( ，) = 一p ( t ) a a7 p ( t ) + p ( t ) b r 一1 b7 p ( f ) 一o ( 2 1 8 ) 式中该矩阵的终值为p ( t f ) = s ，这样就可以求出最优控制信号为 u ( ，) = 一r b 7 1 p ( t ) x ( t ) ( 2 1 9 ) 可见，最优控制信号将取决于状态变量x ( ，) 与r i c c a t i 微分方程的解p ( t ) 。 可以看出，r i c c a t i 微分方程的求解是很困难的，而基于该方程解的控制 器的实现就更困难，所以这里只考虑稳态问题的简单情况，在稳态的情况下， 终止时间假定为，一o o ，这样会使系统的状态渐近地趋于0 。r i c c a t i 微分方 程的解矩阵p ( t ) 将趋于常数矩阵，使得p ( t ) = 0 ，在这种情况下，r i c c a t i 微 分方程将简化成 剐+ 彳r 尸一尸b 尺一1 b7 p + q = 0( 2 2 0 ) 该方程常称作r i c c a t i 代数方程。假设甜( ，) = 一k x ( t ) ，其中k = r - i b 7 p ， 则可以得出在状态反馈下的闭环系统的状态方程为 ( 彳一b k ) ，b ，c ，d 】 s s l 。 用m a t l a b 中的幻，函数，可以得到最优控制器对应的反馈增益矩阵 k 。幻，函数通过选择两个参数r 和9 来平衡输入量和状态量的权重。 k = l q r ( a ，b ，q ，r ) ( 2 2 1 ) 其中q 、r 为正定或半正定实对称矩阵，q ，r 分别表示了误差和能 量损耗的相对重要性，q 中对角矩阵的各个元素分别代表各项指标误差的相 对重要性。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 6 页 2 2 2l q r 控制器设计与仿真 应用线性反馈控制器，其系统结构如图2 4 所示 图2 4 线性反馈控制器 其中，r 是施加在小车上的输入，四个状态变量 9 ，矽，x ，卅分别代表摆杆 角度、摆杆角速度、小车位移和小车速度，输出y = 【x ，秒】7 包括小车位置和 摆杆角度。设计l q r 控制器使得当倒立摆处于某一初始状态时，摆杆摆动 一段时间后仍然回到垂直位置，小车仍回到原点。 ( 1 ) 取g = l0 o 0 0 0 0 0 o o o o 10 o 0 ，r = 1 ，由式( 2 2 1 ) 可得l q r 控制器反馈增益 矩阵k = - 3 0 2 1 7 4 7 6 8 2 81 0 0 0 0 1 9 9 2 1 。 其初始条件响应如图2 5 所示： 锈j r e s p o n s eo fi n i t i a ls t a t e ( x o = - o ，0 3 4 90 龟飞媳。谚t 荤帕耋庠芦f f # # # # 崩 翌 b r a e ( s ) 露o ：臣= j 二三二 = f = 二j j = = j j 量n ，卜专寺卜_ 卜亨 卜矗 毛time(s) 耋。：降三互；j 二e ；习7 f h _ 叶寸赢十f * ；。 鲁02r r r r r r ：t t 1 1 1 薹。：岛三3 兰4 三5 毒；烈； u 8126，b9 1 0 ，dine(s) 童 图2 5 倒立摆l q r 控制初始条件响应曲线 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 7 页 由图2 - 5 可以看出，摆杆的角度超调足够小，稳态误差、上升时间和稳 定时问都很小，在摆杆保持倒立平衡的同时，小车的位置也能从偏离原点 0 1m 处大约经4 秒后回到原点，整个系统得到了较好的控制，说明利用l q r 方法设计的控制器能够取得较好的控制效果。 ( 2 ) 取q = 1 0 00 0l o o0 0o oo oo 1 0 o ol ，r = 1 ，由式( 2 2 1 ) 可得l q r 控制器反馈 增益矩阵k = - 4 3 7 0 6 7 1 1 3 4 8 0 3 1 6 2 3 4 7 1 7 3 。 其初始条件响应如图2 6 所示，比较图2 5 ，图2 6 ，随着q 矩阵中代表小 车位置误差权重元素q ( 3 ，3 ) 加大，小车从初始位置回到原点的时间缩短到 大约1 秒，控制效果更佳。 i ：77 。r e s p o n s eo fi n i t i a ls t a t e ( x 0 = 【_ o 0 3 4 90o 如琴 mo0 5r r r t t 1 t t 1 _ 1 ；耄。耋0 目j j 三4 毒车划i j t235b7b91 d ；坐tlmes) ： ：垂a j 降；孑j = 互；j j 习! ；量n ，卜叶 - 卜一吉尹1 卜“7 图2 - 6 倒立摆l q r 控制初始条件响应曲线 2 。3 本章小结 本章主要介绍了一级直线倒立摆模型及其可控性和可观性分析，在此基 础上介绍了倒立摆l q r 最优控制方法及m a t l a b 仿真，结果表明该方法是有 效的。采用l q r 控制系统响应速度较快，超调量小，还可以保持稳态误差 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 8 页 为零，控制效果较好。其不足在于控制器的反馈控制矩阵在控制开始前已经 确定，控制中无法进行调整，不具备自适应能力，而倒立摆系统因为其非线 性和不确定性因素，往往需要自适应控制策略以弥补自身的不足。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 9 页 3 1 引言 第3 章p s o 算法原理 微粒群优化算法是由美国社会心理学家j a m e sk e n n e d y 和电气工程师 r u s s e l le b e r h a r t 于1 9 9 5 年共同提出的一种基于群体智能的演化计算方法 m ，”，其基本思想受他们早期对鸟类群体行为进行建模与仿真研究结果的启 发，在研究算法时其模型及算法则利用了生物学家f r a n kh e p p n e r 的生物群 体模型。 在f r a n kh e p p n e r 的鸟类模型中，一开始飞行时每一只鸟均无特定目 标，直到有只鸟飞到期望栖息地，当设置期望栖息地比期望留在鸟群中鸟 的所在位置具有较大的适应值时，每一只鸟都将离开群体而飞向期望栖息 地，随后就自然地形成了鸟群。 由于鸟类使用简单的规则确定自己的飞行方向与飞行速度，当只鸟飞 离鸟群而飞向期望栖息地时，将导致它周围的其它鸟也飞向期望栖息地。这 些鸟一旦发现期望栖息地，将降落于此，从而驱使更多的鸟落在期望栖息地， 直到整个鸟群都落在期望栖息地”。 鸟类寻找期望栖息地与对一个特定问题寻找最优解很相似，已经找到栖 息地的鸟引导它周围的鸟飞向期望栖息地的方式，增加了整个鸟群都找到期