（基础数学专业论文）有限支集tb小波的对称性.pdf

摘要 摘要 函数空间中的样条小波不仅在理论上而且在应用中都非常重要对信号 处理而言，离散空间中的小波分析更加重要2 0 0 2 年，a p e v n y i 和v z h e l u d e v 在幂次增长的离散样条空间中构造出t b 。小波，并给出了一个重要的例子， 在这篇论文中，我们将主要给出一类对称的t b 小波并证明a p e v n y i 和v z h e l u d e v 所举之例为这一类中支集最短的t b 小波 本文是按如下方式组织的第一章是一些必要概念，研究背景及主要结 果；第二章引入了一些辅助引理；第三章给出了主要结果的证明 关键词：有限支集；t b 一小波；对称性 a b s t r a c t a b s t r a c t s p l i n ew a v e l e t si n f u n c t i o n a ls p a c e sa r ev e r yi m p o r t a n ti nb o t ht h e o r y a n da p p l i c a t i o n s h o w e v e r ，w a v e l e t si nd i s c r e t es p a c e sa r em o r ei m p o r t a n t f o rs i g n a lp r o c e s s i n g i n2 0 0 2 ，a p e v n y ia n dv z h e l u d e vc o n s t r u c t e dt b w a v e l e t si nt h es p a c eo fd i s c r e t es p l i n e sw i t ht h ep o w e rg r o w t h w h i c hg i v ea n i m p o r t a n te x a m p l e i nt h i st h e s i s ，w es h a l lm a i n l yg i v eac l a s so fs y m m e t r i c t b w a v e l e t sa n ds h o wt h a tp e v n y ia n dz h e l u d e v ，se x a m p l eh a st h es h o r t e s t s u p p o r ta m o n gt h i sc l a s s t h et h e s i si so r g a n i z e da sf o l l o w s ：t h ef i r s tc h a p t e ri n c l u d es o m e n e c e s s a r y n o t a t i o n s ，t h er e s e a r c hb a c k g r o u n da n dt h em a i nr e s u l t s ；i nc h a p t e r2 ，s o m e a u x i l i a r yl e m m a sa r ei n t r o d u c e d ；i nt h el a s tc h a p t e r ，t h em a i nr e s u l t sa r e p r o v e d k e y w o r d s ：f i n i t es u p p o r t ；t b w a v e l e t ；s y m m e t r y i i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 北京工业大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示了谢意 签名 陋晦酗! ! ：篁 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以 公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保 存论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名导师签名 日期：兰! 墨f 第l 章绪论 11 引言 第1 章绪论 小波分析的一个重要课题是构造小波基以函数空间为例，我们要寻找一个 具有良好性质的函数咖二2 ( r ) 使 奶，k ( ) ：j ，k z ) 砂r。，=之，；签。，u旺，十。， 北京工业大学理学硕士学位论文 近几年才成为人们广泛研究的课题 4 0 ”4 5 , 4 7 , 4 8 】1 9 9 4 年，a a l d r o u b i 等人将b 样条函数离散化，构造出了2 2 ( z ) 空间中的多分辨分析1 3 8 】接着又从斜投影的 角度研究了护( z ) 空间中多分辨分析和小波变换【3 9 】近年来，对离散样条的研 究几乎都集中在周期情形下 4 2 - 4 8 但在2 0 0 0 年，a p e v n y i 和v z h e l u d e v 讨 论了幂次增长的非周期性的离散样条 4 7 】2 0 0 2 年，他们在【2 中又运用z a k - 变 换在幂次增长的离散祥条空间中构造出t b 小波，并给出具有有限支集且对称 1 2 p e v n y i 和z h e l u d e v 的工作 在本小节，我们简要介绍p e v n y i 和z h e l u d e v 的工作； 民础球一舵e 0 ：， 这里0 ：n 一1 = 0 ，1 ，一，n 1 ) 利用离散卷积运算，定义p 阶离散b 样条： 岛，n ( j ) = b i n 岛一1 ，。( j ) ，p n 且p 2 第1 章绪论 定义1 22 称离散基样条岛，。的z a k 一变换为 岛，。( z ，j ) = e - i l x b p m ( ，一n ) z 记6 。( ) = 岛，。( 出乒+ n ) 和p = 【鸣】，则称 乃，。( 。) = b ，。( ) e 龇 k = - , u 为b - 样条岛，。的特征余弦多项式 记呻，2 n ( 。，j ) = f o ( ) 马m ( ；，j ) + o ( + ”) 易，。( + ”；j ) 】， 其中n ( z ) = e i x ( 1 一e - i x ) p t 2 p ，。( z + 7 r ) 定义1 2 3 称序列 c ( ) ) 踞z 是幂次增长的，若存在m 0 ，及s 受，使得 c ( ) l i ( 1 + ) 5 ，w z 定义1 2 4 设 卵( ) ) 巷一o 。为幂次增长的序列，定义周期分布为 记d7 为周期分布空间 日( z ) = q ( ) e 池 z 记k 。n2 sj s ( j ) = 曼c ( e ) b p ，。o 一，“) ， c ( d ) 是幂次增长的序列) z 。 由于嵋，2 n v p ，。故可定义小波空间如下。 ，2 n = ( 五，n ：矗o ) b p ，2 。o 一2 k n ) = o ，k z ) 即w ；，2 n 由一空间中与k ，h 弱正交的全体元素组成 北京工业大学理学硕士学位论文 定义12 5 称妒( j ) = 丽1 詹”r ( z ) t o p 加( z ，j ) d x ，r ( z ) d 为t b 一小波，若它的平 移 妒( 一2 k n ) ik z ) 生成小波空间w ，p ，2 。的一组基，即w ，p ，2 。中的任意样条r ( j ) 有唯一表示 r ( j ) = e d ( k ) 妒( j 一2 k n ) ，其中j z ，d 是z 上的序列 其中函数r 称为t b 。小波砂的密度 1 3 本文主要结果 在这篇文章中，我们通过选择不同的密度函数得到一类具有有限支集且对称 的t b 一小波进一步，我们证明了p e v n y i 和z h e l u d e v 所举之例为此类t b 小波 中支集最短者。 定理311 设密度函数，( 。) ：n c m e - i k m x 满足 m = 1 ( i ) t 协) 0 ，v x 酞； ( i ) c = c n 一+ 1 ，= 1 ，2 ， ( i i i ) h + b 一“1 为一与无关的常数 则 妒( j ) = 去口”r 扛) o j p , 2 n ( z ，j ) d x 为对称的( 或反对称的) t b 小波尤其 r ( z ) ；l 满足定理3 1 1 的条件 定理3 l 2 设密度函数r ( z ) = e ”c r n e - i k m z ( c l o ，c o ) 时，相应t b 一小 ”l = l 波记为c n ( j ) ，则 ( t ) f s u p p 币l l = 2 ( u + p ) n p ， ( 说) 当2 时， 1 5 q 甲妒0 ) 1 = 1 8 卅窄妒1 0 ) i + 2 ( 七 ，一膏1 ) n ， 垂 第1 章绪论 这里 s u p p b = m a x j l 妒( j ) o 一m 衲c 引妒 j ) o ) ，p = 【丛三半】- 显然r ( z ) ；1 时，相应t b 小波的支集最短。 1 3 本文结构 本文研究了有限支集且对称的t b 一小波。第一章主要介绍小波分析的发展 及p e v n y i 和z h e l u d e v 等人的工作在此基础上，我们给出本文的主要结果；第二 章给出证明主要结果所需的有关性质，其中绝大多数性质取自文献【4 8 和 4 9 】， 但最后一个引理是我们证明的第三章给出主要结果的证明在本文的最后我们 将列出几个尚未解决的问题 j e 京工业大学理学硕士学位论文 第2 章辅助引理 2 1 基样条与基小波的性质 本节中，我们列举一些关于基样条与基小波的性质。它们均取自文献 4 7 和 4 8 1 ，这些性质将在第三章中用到。 性质2 1 1p 阶离散b - 样条具有如下性质 ( i ) 非负紧支性：岛，。( j ) 0 ，若，0 ：p ( n 一1 ) b p ，。( j ) = 0 ，其它，j z ( i i ) 对称性：b p ，。( p ( n 一1 ) 一j ) = b p ，。( j ) ，v j z ( i i i ) 单调性：当0 j 班鼍) 时，单调递增； 当p ( n 2 - 1 ) i ，j p ( n 一1 ) 时，单调递减 ( 如) ，岛，n ( o ) = 昂，。0 m 一1 ) ) = l 性质2 1 2 样条( 女) 表达式满足如下性质 ( i )b d k ) = 6 p ( ) ； ( i ) b p ( k ) 0 ，若i k l p = 【鸣】；( ) = 0 ，其它，女z 定理2 13 样条兄( j ) w ，p ，2 。当且仅当 r ( j ) = 击后”g ( 。) 坼t 2 n ( 。，j ) 出，g ( 。) d 令妒( j ) = 磊1 露”r ( 。) 唧，2 n ( 。，j ) d x ，r ( 。) d 定理2 1 4 妒为t b - 小波错r ( z ) 0 ，v x r 第2 章辅助引理 引理2 1 5 定义1 2 2 中的o ( z ) = e 缸( 1 一e - - i z ) p t 2 m 扛+ 7 r ) 可以表示为 。( z ) = ( 一1 ) 9 e 一2 州扣m ( q ) e ” 一c - 妒础 2 2 序列 日( ) k z 性质的刻划 在本小节，我们证明下述引理： 引理2 2 1 记h ( ) = ；譬”e 一( 聊k a ( x ) d x ，则 m ( q ) = ( 一1 ) 舭一p 一1 ：“一1 且h ( - p 一2 0 = ( 一1 p 丑。 ) ，其中 证明：由引理2 1 5 知： 口( 。) - ( - 1 f e - ic 一如害m 一。 李e，c。，=c一，。圭(：)。一，。c。一r， 于是日( ) ：；詹”e 叫+ 2 ) z ( 一1 ) ，e _ ( p _ 1 ) z 譬m ( 口) e 心】出 注意到 _ j 0 1r 2 1 r 。- i t 、椰+ 1 ) 。( 一1 ) 9 穹m ( g ) e t q x 如 = 2 ( - 1 ) 1 ) p 穹m ( q ) 2 a ；詹。e - 掣一口+ p + 1 ) z d x = 詹。( 扛口+ p + 1 扣 口= 一p 去叩哪p + l 。= ：轧嘉 艘气 北京工业大学理学硕士学位论文 且m c a ，= c q ，9 黑( ：j 嗡一a 一计，则我们有 = z c 一，p c 一，。+ 一+ 1 ，委( ：) 。，n 水+ p + - 一r ， l 2 ( - 1 ) 壹f p r = 。ir lb 2 p ，。( + p + l r ) j 即日c 印= z c 一，2 + 1 圭( ：) ，心+ p + - 一r ， 由于，n ( j ) 的支集含于【一p ，p ，我们可求日( ) 的支集 因为 所以 p + p + 1 一r p ，其中卢= 掣】= 【d 等半 即一p p 一1 + r 粤p p 一1 + r ，而0 r s p - t t p lsz 弘一l 故s u p p h ( g ) = 一p p 1 ：肚一1 ( 2 1 ) 下面证明h ( - p 一2 一) = ( 1 f h ( 0 ： 圩c p 一：一幻= z c 一，一p 一2 一+ 1 ，叁u ( ：) 缸驷，。c p z e + p + ，一r ， r = ll 第2 章辅助引理 = z c一，一p一一l，叁(：)赴驷，。ce一，一r， = z c 一p c 一，2 + 1 圭( ：) 嗡，c z + r + ， 注意到( ：) = ( p p ，) 及c 。- ，上述等式变为 2 3 本章小结 在这一章中，我们给出了证明主要结果所需的有关性质及引理第一节的结 果是由p e v n y i 和z h e l u d e v 证明的；第二节我们给出了一个引理，它在第三章的 北京工业大学理学硕士学位论文 3 1 定理及其证明 第3 章主要结果和证明 在本节中，我们将给出主要定理的证明： 定理3 1 1 设密度函数r ( z ) = c r a e l m 。满足 m = 1 ( t ) t ( z ) 0 ，v oe 肽； ( ) q = c n 一“l ，= l ，2 ，- 一， ( 俐) k t + k n 一“1 为一与无关的常数； 则 妒( j ) = 丽1 譬4r ( 。) 吻却( $ ，j ) d z 为t b 小波 且妒0 ) = ( - 1 ) 妒【2 n p 一2 ( k 1 十) n j 证明：设密度函数t ( z ) d 对应的t b 小波为 妒( j ) = 丽1 詹”r ( $ ) 呻加( z ，j ) d x 因为唧却( 。，j ) = 口( ) ，。( ，j ) + a ( + 7 r ) 岛，。( + ”，川，所以 妒o ) = 丽1 后”r 扛) 陋( i ) 耳，。( ，j ) + n ( + ”) 昂，。( + ”，j ) 】 = 鞒1 户r ( z ) 。( ) b ，。( ，j ) d x + 嘉詹”r ( 。) 。( + ”) 岛，。( + ”，j ) d x = 丢面r ( 2 z ) 。( z ) 廓，。( z ，j ) d x + 两2 鼻”，- ( 2 x 一2 ”) o ( 。) 岛，。( 。，) 如 = ；君。_ r ( 2 z ) a ( x ) e p ，。( 。，j ) d z = i 1 露。r ( 2 z ) o ( 。) e - - 缸岛，。o 一肋) 出 c t 厶 由于岛一具有有限支集，所以可将求和号与积分号换序得； 一1 0 第3 章主要结果和定理 妒( ，) = b p ，。o 一n ) ；詹”r ( 2 z ) o ( z ) e - i t ：d z n 将r ( z ) = c 。e l k 。代入上式有 妒( j ) = 岛，n 0 一g n ) 片” c l e 一2 讯1 。+ c 2 e - 2 i k 2 。+ + c 一1 e - 2 i k 一l 。 c t o + c n e - 2 i k o ( z ) e 卅。如 = 蒌b p ，n o 一朊) 詹”e - i ( “2 1 ) 。a ( x ) d x + + 警詹”e - i ( t + 2 k n ) 。a ( x ) d x 眭z 。 又由定义日( ) = ；后“e 一( c 十2 如a ( x ) d x ，则 日( e + 2 k 。一2 ) = ；1 后”e i ( + 2 加a ( x ) d x 于是 币0 ) = b u g n ) c l h ( g + 2 k l 一2 ) + c 2 h ( t + 2 k 2 2 ) + z + c 日( + 2 后一2 ) 】( 3 1 ) 据引理2 2 1 ，我们有s u p p h = 一p p 一1 ：卢一1 进一步，s u p p h ( g + 2 k i 一2 ) = 一p p + l 一2 k ：p + 1 2 k i 由于k l k 2 k n ，故在( 3 1 ) 中的范围为 卢p + 1 2 k n ：“+ 1 2 k l 再利用b p ，n ( - ) 的支集性质：s u p p b p ，。( - 一胁) = g n ：p ( n 1 ) + 饥 由( 32 ) 、( 3 3 ) 式可得妒( j ) 支集 s u p p 妒冬( 一p p + 1 ) n 一2 k i v n ：p ( 竹一1 ) + ( p + a ) n 一2 k l n 易见上述支集关于n 一一( l + k t c ) n 对称且由( 3 1 ) 知 ( 3 2 ) ( 3 3 ) 北京工业大学理学硕士学位论文 妒 2 n p 一2 ( l + k n ) n j = b p 【2 n p 一2 ( 女l + k n ) n j 一叫 z c l h ( + 2 k i 一2 ) + c 2 h ( $ + 2 k 2 2 ) 十- + c n h ( g + 2 k n 一2 ) 】 由引理2 2 1 可得； h ( e + 2 k 一2 ) = ( 一1 ) p 日( 一p 一一2 k ) 令g = 一p 一”1 2 ，贝4 进一步 h ( g + 2 k 一2 ) = ( 一1 ) p h m 一( 2 一2 ) 妒 2 n p 一2 ( k l + k n ) n j 】2 岛，n 2 n p 一2 ( 女1 + k n ) n j 一( - p m 一2 ) n 】 m z 。 ( 一1 p c l 叮 m 一( 2 k l 一2 ) 】+ c 2 h m 一( 2 k 2 2 ) 】 + 1 十c n 一1 h m 一( 2 k n 一1 2 ) + c n h m ( 2 k n 一2 ) 1 ) = 岛扎 p ( n 1 ) 一d 一( m 一2 ( k l 十k n ) + 4 ) n 】) m e z 。 ( 一1 ) s i l l m 一( 2 k l 一2 ) 】+ c 2 h m 一( 2 k 2 2 ) 】 + - + c n 一1 1 4 m 一( 2 k n l 一2 ) 】+ c n h m 一( 2 k n 一2 ) ) 由于b p ，n 具有对称性，b p ，。( ) = 岛。( n 一1 ) 一玎那么上式可改写为 妒【2 n p 一2 ( 七1 十k n ) n 一州= ：b p ，n ，一【m 一2 忙l + 七 ) + 4 i n m z ( 一1 ) c a h m 一( 2 l 2 ) 】+ c 2 i t m 一( 2 k 2 2 ) 】 + t 1 + g n 一1 h m 一( 2 k n 一1 2 ) 】+ c s r 彳 m 一( 2 k n 一2 ) 】) 令= m 一2 ( 女l + k s ) + 4 ，贝4 砂 2 扎一p 一2 ( 七l + k n ) n 一州= ( 一1 p b p ，。( j 一n ) ( c 1 汀( + 2 k _ 一2 ) ，z 1 2 第3 章主要结果和定理 + c 2 日( + 2 k i + 2 k n 一4 2 七2 + 2 ) + r + c n h ( 孽+ 2 k l 一2 ) 】( 3 4 ) 比较( 3 1 ) 、( 3 4 ) 两式右端得 当r ( z ) 满足c 1 = c n ，c 2 = c 一1 ，c 3 = 。，v 一2 且l 十k n = 2 + k n 一1 = k 3 + k 一2 = 时，有 c l h ( e + 2 k l 一2 ) + c 2 h ( e + 2 b 一2 ) + - - + c n h ( e + 2 k g 一2 ) 】 = c l h ( e + 2 k n 一2 ) + c 2 h ( e + 2 k l + 2 k n 一4 2 七2 + 2 ) + - - + c 日 + 2 k 1 2 ) 进一步 于是 互b p ，n ( j e n ) c l h ( e + 2 k l 一2 ) + c 2 日( “2 k 2 2 ) + + c _ 日( + 2 k 一2 ) f z = 讳，n ( j 一n ) c l h ( e 。+ 2 k n 一2 ) + c 2 h ( 1 十2 k 1 + 2 k 一4 2 k 2 + 2 ) + ( t m + c 日( 2 + 2 k l 一2 ) 】 定理3 1 1 证毕 妒( j ) = ( 一1 ) 9 妒f 2 n p 一2 ( k l + k l v ) n j 1 口 定理3 1 2 设密度函数r ( z ) = 壹钸e - i k m z ( c l 0 ，c o ) 时，则相应的t b t r = 1 小波为币_ ( j ) 满足 ( z ) f s u p p c i ( j ) i = 2 ( p + p ) n p ； ( 乱) -当2 时， i s u p p c n ( j ) l = i s q 刎l ( j ) i + 2 ( 七一k 1 ) 礼 证明：由( 3 1 ) 可知：当r ( 。) = 萎c n e i k n z 时。 n = 1 1 3 北京工业大学理学硕士学位论文 c n ( j ) = b p m ( j 一n ) c l h ( g + 2 k l 一2 ) + c 2 h ( t + 2 k 2 2 ) + 十c 日犯+ 2 一2 ) 而由引理2 2 1 知： s u p p h ( ) = 一p p l ：“一1 ， 从而 s u p p h ( g + 2 k n 一2 ) = 一芦一p + 1 2 k n ：p + 1 2 k n ，n = 1 ，2 ，一， 设k l k 2 b 且k z ，则 “+ 1 - 2 k 1 砂0 ) = 岛，。( j z n ) i c l ，0 + 2 k l 一2 ) + c 2 h ( z 十2 乜一2 ) = - - t 卜p + l - - 2 k n + + c n h ( g + 2 k n 一2 ) 】 利用h ( t + 2 k n 一2 ) 和廓，。0 一n ) 的有限支集性得到妒_ ( j ) 的支集满足： s u p p 妒( j ) ( 一p p + 1 ) n 一2 k n n ：p ( n 一1 ) + ( 芦+ 1 ) n 一2 k l n ， 从而 l s u p p c n ( j ) j = 2 ( 芦+ p ) n p + 2 ( k l v k 1 ) n 下面分别验证： 当j = ( 一p p + 1 ) n 一2 k n n 与j = p ( n 一1 ) + ( “+ 1 ) n 一2 k l n 时，妒( j ) 0 由于马。0 一n ) 具有性质； 当0 冬j 一饥p ( n 1 ) 时，岛，。0 一n ) 0 从而有絮迎； 若歹= ( 一p p + 1 ) n 一2 k 扎，贝0 ( 一“一p + 1 ) 一2 南一班 半s 孽s ( 一p p + 1 ) 一2 k n 1 4 第3 章主要结果和定理 而由( 3 2 ) 得到 于是 ( p p 十1 ) 一2 k n 茎孽墨卢+ 1 2 k l “十1 2 女1 c n ( j ) =e f = 一“一p + l 一2 k n岛，n ( j 一n ) c l h ( e + 2 k l 一2 ) + c 2 t i ( e + 2 k e 一2 ) + + c l v h ( e + 2 k n 一2 ) 的右端只有一项 即妒( 歹) = b p ，n d 一( 一p p + 1 2 k n ) n c g h ( 一u p + 1 2 k + 2 k 一2 ) = b p ，n l j 一( 一卢一p + 1 2 k y ) n c n h ( 一肛一p 一1 ) 日c 一肛一p 一，= z c 一，c 一“一，一1 ，+ 1 黑( ：) 。如。c c 一卢一p 一，十p + 一r ， r = u l = z c 一，一一，叁( ：) k 争，。c p r ，= z e 一- ，一一一印c p ， 故咖 ( 一“一p + 1 ) n 一2 k n n = 。岛，。( o ) 2 ( 一1 ) 一p p b 2 p ( 卢) = c n 2 ( 一1 ) 一“一b 2 p ( 卢) 0 罗似地，当j = p ( n 一1 ) + ( 肛+ 1 ) n 一2 k l n 时， ( 肛+ 1 ) 一2 k l s ( 卢+ 1 ) 一2 k 1 + d 等半 即c n ( j ) = 易，n d 一( p + 1 2 k 1 ) n c l h ( p + 1 2 k 1 + 2 k l 一2 1 = 岛m u 一( 卢+ 1 2 k 1 ) 扎】。1 丑。( p 一1 ) 1 5 北京工业大学理学硕士学位论文 日c p 一，= 。c 一，一l ，+ 1 毫( ：) 。：，c p 一- + p + 一r ， = 。c 一，“杰( ：) 。却，c p + p r ，= 。c 一，“阮净c p ， 故妒“p ( 礼一1 ) + ( p + 1 ) n 一2 k l n = b p ，。眵( n 一1 ) 】c 1 2 ( 一1 ) p 6 2 p ( 卢) 0 综上所述，当r ( z ) = c n e k 。时，对应小波妒_ ( j ) 的支集满足 特别地，当r ( z ) = c e l “时，对应t b 一小波妒l ( j ) 支集 它是当r ( z ) ；1 时，对应t b 一小波妒支集向左平移2 k n 个单位而成的 由( 3 5 ) 、( 3 6 ) 、( 3 7 ) 、( 3 8 ) 式，易知 当n 2 时，i s u v p c u ( ) l = l s t t 印妒1 0 ) i + 2 ( _ 一k 1 ) n 显然当t ( z ) = c e l 妇时对应小波妒1 ( j ) 支集最小证毕 t 6 ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) 口 第3 章主要结果和定理 例1 ：令r ( 。) i1 ，p = 1 ，n = 2 时，相应t b 一小波妒的图象如下 5 1t 5 1 7b9 图l - 1 例2 ：令r ( z ) = e 1 。+ 5 + e “，p = l ，n = 2 时，相应t b - 小波咖的图象如下 舶 5 3 10! 8o 图1 2 1 7 北京工业大学理学硕士学位论文 例3 ：令r ( z ) ；1 ，p = 2 ，n = 2 时，相应t b 一小波妒的图象如下 jj点 。 - 2 - 101 23 7e0 圈1 - 3 例4 ：令r ( z ) = e 一。+ 5 + e i ：cp = 2 ，n = 2 时，相应t b 小波妒的图象如下 _ 1 辅 - h a a 蛐 一 ! r，。t印! o 2。5 ： 。 一 囝l - 4 ，1 8 - 第3 章主要结果和定理 3 2 本章小结 本章研究当密度函数r ( z ) 满足一定条件时，对应的t b 小波具有有限支集 和对称性。同时，我们还证明了当r ( z ) ；1 时，对应小波支集最短，本章最后的 图形也说明了这一点 1 9 - 北京工业大学理学硕士学位论文 结论 小波分析是研究小波基构造及其应用的一门学科函数空间上的小波分析已 经取得了丰硕成果，而离散空间则不然p e v n y i 和z h e l u d e v 等人在幂次增长的 离散样条空间中建立了t b 一小波的理论本文主要是在他们工作的基础上给出 了一类有限支集且对称的t b 小波具体地，我们有 定理3 ，1 ，1 设密度函数，( 。) ：nc m e - i k 。：t ：满足 ( i ) f ( z ) 0 ，v z r ； ( 吲翻= 。一+ 1 ，= 1 ，2 ， ( i i i )k t + k n l + l 为一与无关的常数； 则 妒( ，) = 击詹”r ) u 啦。( 。，j ) d z 为t b 小波， 且妒0 ) = ( 一1 ) 妒【2 n p 一2 ( l + k n ) n 一州 定理3 1 2 设密度函数r ( 2 ) ：n e - i k m x ( 。l o ，。o ) 时，相应t b 一小 m = l 波为c n ( j ) ，则 ( i ) j s u p p 妒l o ) j = 2 ( p + p ) n p ； ( t ) 当n 2 时， s u p p 妒v ( j ) l = i s u p p 妒1 ( j ) l + 2 ( k 一k 1 ) n ， 最后我们列出几个尚未解决的问题 问题1 ：在定理3 1 1 的条件下，讨论当密度函数r ( z ) ：曼c m e - - i 女m z o ) m = l 时，相应t b 一小波妒的对称性； - 2 0 - 结论 句题2 ：研究t b - 小波妒中参量p z 和n z 发生变化时，相应t b 小波的性质 北京工业大学理学硕士学位论文 参考文献 1 m e y e r ，y p r i n c i p l ed i n c e r t i t u d e ，b a s e sh i b e r t i e u n e se ta l g e b r e sd ，o p e r a t e u r s b o u r b a k is e m i n a r ，n o 6 6 2 ，1 9 8 5 1 9 8 6 2 d a u b e c h i e s ，i ，o r t h o n o r m a lb a s e so fc o m p a c t l ys u p p o r t e dw a v e l e t s ，c o m , n p u r ea p p l m a t h ，4 2 ( 1 9 8 8 ) ，9 0 9 9 9 6 3m a l l a t ，s ，m u l t i r e s o l u t i o na p p r o x i m a t i o na n dw a v e l e to r t h o n o r m a lb a s e so f l 2 ，t r a n s a m e m a t h s o c ，3 1 5 ( 1 9 8 9 ) ，6 9 8 8 4m a l l a t ，s ，a t h e o r yf o rm u l t i r e s o l u t i o ns i g n a ld e c o m p o s i t i o n ；t h ew a v e l e t r e p r e s e n t a t i o n ，i e e et r a n s o np a t t e r na n a l y s i sa n dm a c h i n ei n t e l l e g e n c e ， 1 1 ( 1 9 8 9 ) 5 d a u b e c h i e s ，i ，t e nl e c t u r e so nw a v e l e t s ，s i a m ，p h i l a d d e p h i a ，1 9 9 2 6n i n gb i ，d a r e nh u a n g ac r i t e r i o nf o ro r t h o g o n a l i t yo fr e f i n a b l ef u n c t i o n s a p p l ，m a t h j c h i n e s eu n i v s e r b ，2 0 0 1 ，1 6 ( 4 ) 3 9 7 - 4 0 1 7 b e l o g a y ，e ，y a n gw a n g c o m p a c t l ys u p p o r t e do r t h o g o n a ls y m m e t r i c s c a l i n g f u n c - t i o n s a p p l c o m p h a r m a n ，a n a l 1 9 9 9 ，7 ，1 3 7 - 1 5 0 8s o a r d i ，p m ，b i o r t h o g o n a lm c h a n n e lc o m p a c t l ys u p p o r t e dw a v e l e t s c o n s t r a p p r o x ，2 0 0 0 ，1 6 ，2 8 3 3 1 1 9 h e r v e ，l ，c o n s t r u c t i o ne tr e g u l a r i t ed e sf o n c t i o n sd e c h e l l e ，s i a mj m a t h a a n a ，2 6 ( 1 9 9 5 ) ，1 3 6 2 1 3 8 5 1 0 c o h e n ，a - ，g r o c h e n i g ，k ，v i l l e m o e s ，l f ，r e g u l a r i t yo fm u l t i v a r i a t er e f i n a b l ef u n c t i o n s c o n s t r a p p r i x ，1 9 9 9 ，1 5 ，2 4 t 一2 5 5 一2 2 参考文献 1 1 q i y us u n s t a b i l i t yo ft h es h i r so fg l o b ms u p p o r t e dd i s t r i b u t i o n j m a t h a n a l a p p l ，2 0 0 1 ，2 6 1 ，1 1 3 1 2 5 1 2r i e m e n s c h n e i d e r ，s h e n ，s d a n dz w ，b o x s p l i n e ，c a r d i n a ls e r i e sa n dw a v e l e t s ，p r e p r i n t ，1 9 9 0 1 3 c o i f m a n ，r ，m e y e r ，y ，w i c k e r h a u s e r ，m v ，w a v e l e ta n a l y s i sa n ds i g - n a l p r o c e s s i n g ，w a v e l e ta n dt h e i ra p p l i c a t i o n s ，m b r u s k a ie t a l ( e d s ) ，j o n e s a n db a r t i e t t ，1 9 9 2 1 4c h u i ，c k ，l i ，c ，n o n o r t h o g o n a lw a v e l e tp a c k e t s ，s i a mj m a t h a n a l 2 4 ( 1 9 9 3 ) ，7 1 2 7 3 8 15z u o w e is h e n ，n o n t e n s o rp r o d u c tw a v e l e tp a c k e t si n l 2 ( r 。) ，s i a mj m a t h a n a l ，2 6 ( 1 9 9 5 ) ，1 0 6 1 1 0 7 4 1 6w i c k e r h a u s e r ，m v a c o u s t i cs i g n a lc o m p r e s s i o nw i t hw a v e l e tp a c k e t s ，i n w a v e l e t s ：at u t o r i a li nt h e o r ya n da p p l i c a t i o n s ，c h u i ，c k ，e d a c a d e m i c p r e s s ，n e wy o r k ，1 9 9 2 ，6 7 9 7 0 0 1 7b a t t l e ，g ，ab l o c k s p l i n ec o n s t r u c t i o no fo n d e l e t t e s p a r ti l l ：an o t eo n p r e o n d e l e t t e s ，p r e p r i n t ，1 9 9 0 1 8c h u i ，w a n g ，c a n dj z ，ac a r d i n a l s p l i n ea p p r o a c ht ow a v e l e t s c a t r e p o r t2 1 1 ( 1 9 9 0 ) ，t e x a sa m u n i v e r s k i t y 1 9m a l l a t ，s ，at h e o r yf o rm u l t i s c a l es i g n a ld e c o m p o s i t i o n ：t h ew a v e l e tr e d r e s e n t a t i o n ，i e e et r a n s ，p a t t ，a n a l a n dm a c h ，i n t e l l ，1 9 8 9 i1 1 ，6 7 4 6 9 3 2 0 c 0 h e n ，a ，d a u b e c h i e s ，i ，f e u v e u u ，j c ，c i o r t h o g o n a lb a s e so fc o m p a c t l y s u p p o r t e dw a v e l e t s ，c o m m p u r ea n da p p l m a t h 1 9 9 1 2 3 北京工业大学理学硕士学位论文 2 l m a l l a t ，s ，m u l t i r e s o l u t i o na p p r o x i m a t i o na n dw a v e l e to r t h o n o r m a lb a s e so f l 2 ，t r a n sa m s ，1 9 8 9 ，3 1 5 ，6 9 8 7 2 2 g o p i n a t h ，r a ，b u r r u s ，c s ，w a v e l e tt r a n s f o r ma n df i l t e rb a n k s ，w a v e l e t s at u t o r i a li nt h e o r ya n da p p l i c a t i o n ，6 0 3 6 5 4 2 3 s c h i e n b e r g ，i j ，c a r d i n a ls p l i n ei n t e r p o l a t i o n ，c b m s n s fs e r i e si na p p l i e d m