（工程力学专业论文）基于Level+Set方法的结构优化技术.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 连续体结构的拓扑优化是近2 0 年来结构优化领域内的一个热点，被公认为是最具有 挑战性的研究课题之。针对连续体结构的拓扑优化目前采用较多的是均匀化方法和变 密度法。本文着重研究基于水平集方法的结构拓扑、形状优化技术。 水平集方法( l e v e ls e tm e t h o d ) 是国外学者s e r b i a n 和o s h e r 于1 9 8 8 年提出的一种用 于追踪运动边界的数值方法，在图像处理、流体力学等方向有着广泛的应用。自从 2 0 0 0 年s e t n a n 和w i e 鳟m r m 把水平集方法引入结构优化领域以来，由于其具有的独特 优势，引起了各国学者的高度关注和极大的研究热情。基于l e v e ls e t 方法的结构优化 技术的研究虽然兴起的时间不长，如著名学者b e n d s o n 在其2 0 0 2 年的专著中所说的，这 一技术还处于初始发展阶段。 本文对基于l e v e ls e t 方法的结构优化技术进行了研究，总的指导思想是以l e v e l s e t 方法为中心，充分挖掘l e v e ls e t 方法的特性，发挥其独特的优势，以解决传统结构 优化方法解决不了或解决得不好的问题。 文中研究了拓扑相关荷载作用下的结构拓s b 形状优化问题，此类问题采用传统的 方法处理起来非常困难，我们基于水平集方法提出了解决方案，并得到了不错的结果； 此外我们提出了基于拓扑描述函数方法的结构拓扑，形状优化一体化，在拓扑优化中通 过引入拓扑导数，大大提高了优化效率；接着我们在水平集框架下，提出了基于理性最 优化准则的拓扑优化方法，数值结果表明该方法稳定高效；然后我们成功实现了水平集 方法与扩展有限元方法( e x t e n d e d f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ) 的结合，并将其运用到我们提 出的基于欧拉描述的形状优化当中；另外，我们基于拓扑描述函数方法还做了复合材料 设计方面的工作。 研究工作表明，水平集方法在结构优化领域的应用，具有很多其他方法所不具备的 优势，是一个很有价值的研究方向。 关键词：水平集；拓扑优化；形状优化；有限元 堇王生! ! ! ! ! ! ! 查婆盟缝塑垡些垫查 s t r u c t u r a lo p t i m i z a t i o nt e c h n i q u e s b a s e do i ll e v e is e tm e t h o d s a b s t r a c t t o p o l o g y o p t i m i z a t i o n o f c o n t i n u u m s t r u c t u r e s h a sr e c e i v e d m o r ea n d m o l er e s e a r c h a t t e n t i o n s i n t h e p a s t t w e n t y y e a r s ，w h i c h i sr e g a r d e d a s o n e o f t h e m o s tc h a l l e n g i n gr e s e a r c h t o p i c s t h e m o s t p o p u l a r a p p r o a c h e sf o rt o p o l o g yo p t i m i z a t i o no f c o n t i n u u ms t r u c t u r e sa r eh o m o g e n i z a t i o na p p r o a c ha n dv a r i a b l e d e n s i t ya p p r o a c h i nt h i sp a p e r , t h et e c h n i q u e sf o rt o p o l o g y s h a p eo p t i m i z a t i o no f c o n t i n u u ms t r u c t u r e sb a s e d o nl o v e ls e tm e t h o d 日r es t u d i a d l e v e ls e t m e t h o d ( l s m ) w a s a n u m e r i c a l m e t h o d f o r t r a c i n g t h e p r o p a g a t i o n o f d y n a m i c i n t e r f a c e s ， s i n c ep r o p o s e db ys e r b i a na n do s h e ri n1 9 8 8 ，i th a sh a de x t e n s i v ea p p l i c a t i o n si nm a n ya r e a si n c l u d i n gi m a g e p r o c e s s i n g ，f l u i dm e c h a n i c s ，e t c s e t h i a na n d s e t h i a ni n t r o d u c e dl s mi n t ot h ef i e l do f s t r u e t u r a lo p t i m i z a t i o n i n2 0 0 0 t h e nj ta r o u s e d h i g ha t t e n t i o n a n dm t l o hi n t e r e s tj nr e s e a r c h e r sa r o u n dt h ew o r l df o rj t ss p e c i a l a d v a n t a g e s a s b e n d s o ns a i d i n o n e o f h i s m o n o g r a p h s i n 2 0 0 2 t h er e s e a r c h w o r k a b o u t s t r u c t u r a l o p t i m i z a t i o n b a s e do nl s mw a si nt h ei n i t i a ls t a g e t h i st h e s i sf o c u s e so nt h e t e c h n i q u e so f s t r u 曲o m lo p t i m i z a t i o nb a s e d 0 nl s m ，a n d b ys t u d y i n ga n df u l l y u t i l i z i n gt h ec h a r a c t e r i s t i c sa n da d v a n t a g e so f l s m , w et r yt os o l v ed i f f i c u l tp r o b l e m si ns t r u c t u r a l o p t i m i z a t i o n f o rt r a d i t i o n a l a p p r o a c h e s i nt h i st h e s i s ，t o p o l o g y s h a p eo p t i m i z a t i o nu n d e r t o p o l o g y d e p e n d e n tl o a d s ，w h i c hi sh a r dt od e a lw i t hb y t r a d i t i o n a la p p r o a c h e s ，i ss t u d i e da n d 9 0 0 dr e s u l t sa f eo b t a i n e db yl s m f u r t h e r m o r es i m u l t a n e o u ss h a p e a n dt o p o l o g yo p t i m i z a t i o na p p r o a c hb a s e do n t o p o l o g yd e s e d p t i o nf u n c t i o n si sp r o p o s e d b e c a u s et o p o l o g i c a l d e r i v a t i v ei si n t r o d u c e di n t ot h e t o p o l o g yo p t i m i z a t i o n ，t h ee f f i c i e n c yo f c o m p u t a t i o n i sg r e a t l yi m p r o v e d t h e nt h er a t i o n a le v o l u t i o nm e t h o di ns t r u c t u r a lt o p o l o g y o p t i m i z a t i o ni sp r o p o s e di nt h ef r a m eo f l s m ，a n d i t sp r o v e dt ob es t a b l ea n de f f i c i e n tb yn u m e r i c a ir e s u i t s m o r e o v e r e x t e n d e df i n i t ee l e m e n t m e t h o dj s s u c c e s s f u l l yi m p l e m e n t e d a n di n t e g r a t e dw i t hl s m a n di sa d o p t e di no t t rr e s e a r c hw o r ka b o u t s h a p e o p t i m i z a t i o n b a s e do ne u l e rd e s c r i p t i o n b e s i d e st h ea p p r o a c hb a s e d0 1 1t o p o l o g y d e s c r i p t i o nf u n c t i o ni s p r o p o s e d f o rt h ed e s i g no f 她n , c r o s t r u c t m e s o f c o m p o s i t e n m t e r i a l sw i t h p r e s c r i b e dp r o p e r t i e s a ss h o w e di no u rr e s e a r c hw o r k , l s mh a s u n i q u ea d v a n t a g e s w h i c ho t h e ra p p r o a c h e sd o n o th a v ei n s t r u c t u r a lo p t i m i z a t i o n ，a n di sav a l u a b l er e s e a r c ht o p i c k e yw o r d s ：t o p o l o g yo p t i m i z a t i o n ，s h a p eo p t i m i z a t i o n ，l e v e ls e t ，f i n i t ee l e m e n t m e t h o d 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究 工作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得 大连理工大学或其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢 意。 作者签名：日期： 大连理工火学硕士学位论文 引言 随着市场经济的发展尤其是市场竞争的日益加剧，工程人员和产品设计人员需要采 取更系统、更科学的设计思想和方法，以达到节约原材料和成本以及提高产品质量和性 能的目的，结构优化设计是实现这些目的的有力手段。 结构优化技术在实际生活中的应用有很悠久的历史，但是对其进行系统的科学的研 究是最近几个世纪才开始的事情，尤其是在过去的半个世纪中，随着有限元技术和计算 机技术的发展，以及不断增长的市场需求的推动，结构优化技术有了飞速的发展，并且 有了很多成功的应用，在航空航天、汽车制造等很多行业，对产品进行结构优化目前已 经成为生产过程中一个必须的而且是至关重要的环节。目前众多的大型商业c a e 软件 如o p t i s t r u c t 、a n s y s 、n a s t r a n 等，都提供了结构优化的功能。 结构优化按照设计参数的类型可大致分为尺寸优化、形状优化和拓扑优化。尺寸优 化是通过调节壳的厚度、梁的横截面数据等尺寸参数来改善结构的特性；形状优化则是 通过调节结构边界形状来达到优化结构的目的：拓扑优化的目的是要寻求结构的某种布 局( 如结构内有无孔洞，空洞的位置、数量以及组合结构中构件的连接方式等等) ，使 其能够在满足一定约束条件的情形下，让某种性能指标达到最优。拓扑优化有助于工程 师提出新颖高效的概念设计方案，因此引起了工程界的广泛关注，也成为近些年科研工 作者的一大研究热点，这方面的研究成功层出不穷，许多成果已经在大型c a e 软件中 得到实现，并在工程领域内取得了大量成功的应用。 连续体结构的拓扑优化是近2 0 年来结构优化领域内的一个热点。被公认为是最具 有挑战性的研究课题之一。针对连续体结构的拓扑优化目前采用较多的是均匀化方法1 1 】 和变密度法1 2 - 3 1 。均匀化方法将具有微结构的复合材料引入优化问题列式，并采用基微 结构的尺寸作为拓扑设计变量，通过其调整来改变材料的力学性能，进而决定结构的最 优拓扑。相对于均匀化方法而言，变密度方法的概念更为简单，实现也相对容易。这种 方法不需要引入微结构，而是直接把材料的密度作为拓扑设计变量来实现结构的拓扑变 化( 如设计区域中某点密度值为0 则认为此点无材料；否则认为此点有材料) ，同时通 过人为假定的材料宏观弹性常数与其密度之间的某种非线性关系对o 1 之间的密度值进 行惩罚，以使优化结果尽可能具有非0 即1 的密度分布。有关这方面的最新进展，可以 参见e s c h e r a u e r 和o l h o f f 最近发表在a p p l i e d m e c h a n i c sr e v i e w 杂志上的长篇综述文章 【4 l 。 基于l e v e is e l 方法的结构优化技术 水平集方法( l e v e ls e tm e m o d ) 是国外学者s e t h i a n 和o s h e r 于19 8 8 年提出的一种用 于追踪运动边界的数值方法 s l 6 l ，在图像处理、流体力学等方向有着广泛的应用。2 0 0 0 年s e t h i a n 和w i e g m a n n 7 首次把水平集方法引入结构优化领域，a l l a i r e 8 1 ( 2 0 0 2 ) 等人 采用l e v e ls e t 方法进行拓扑优化，并使用响应泛函的灵敏度信息构造水平集发展所需 要的速度场。基于l e v e ls e t 方法的结构拓扑优化技术的研究虽然兴起的时间不长，如 著名学者b e n d s e n 在其2 0 0 2 年的专著中所说的，这一技术还处于初始发展阶段1 9 j ，但 是由于其具有的独特优势，引起了各国学者的高度关注和极大的研究热情。国内学者香 港中文大学的的王煜( m i c h a e ly uw a n g ) 教授、大连理工大学的王小明教授等人在这方面 也有出色的工作1 1 0 i 1 1 1 。总的来说，国内外目前这方面的工作还不多，而且主要集中 在柔顺性优化，基于水平集方法的结构优化技术的研究还处于起步阶段。 本人在攻读硕士学位期间，在导师郭旭副教授的悉心指导下，对基于l e v e ls e t 方 法的结构优化技术进行了研究，总的指导思想是以l e v e ls e t 方法为中心，充分挖掘 l e v e ls e t 方法的特性，发挥其独特的优势，。以解决传统结构优化方法解决不了或解决得 不好的问题。在此期间我完成的工作包括以下主要内容： 拓扑相关荷载作用下的结构拓扑，形状优化 在以往连续体结构的拓扑优化研究中，往往都假设外荷载与设计无关，也就是不随 结构的拓扑变化而发生改变的。而对于拓扑相关荷载，意即其作用位置，大小和方向都 要取决于当前结构拓扑的荷载作用下的结构拓扑优化设计问题，传统的方法( 如均匀化 以及变密度法等基于单元描述的拓扑优化方法) 处理起来非常困难。著名学者b e n d s o e 和s i g m u n d 在2 0 0 3 年的一本专著中提到【1 2 】，拓扑相关荷载作用下的结构拓扑优化问 题是一个极具挑战性的问题。我们基于水平集方法( l e v e l s e tm e t h o d ) 对这个问题提出 了新的解决办法，可以稳定高效地处理此类问题。相关工作完成论文l l + l l s “ 1 9 “】( 带+ 号 的表示是我参与完成的论文，见论文最后攻读硕士学位期间发表学术论文情况) ，另外 有一篇论文已投到s t r u c t u r a l a n d m u l t i d i s c i p l l i n a r yo p t i m i z a t i o n 。 基于拓扑描述函数的结构拓t b 形状优化一体化方法 传统的基于水平集的结构优化方法，通过求解一个双曲守恒型方程( i - i a m i l t o n - j a c o b i 方程) 来控制结构边界的演化。但是，由于受到c f l 条件的限制，每个迭代步内结构边 界推进的距离不能超过一个网格宽度，这是此类方法运算效率的一个瓶颈。 2 大连理工大学硕士学位论文 2 0 0 3 年著名学者b e l y t s c l a k o 提出了一种基于隐函数( 水平集函数) 的结构拓扑优化 新方法1 1 3 】，突破了传统水平集方法基于双曲守恒型方程演化的框架，但是由于作者在 优化过程中忽略了拓扑导数的信息，因此其方法在本质上还是一种边界演化的算法，从 丽导致了算法的计算效率很低( 通常需要上千次迭代才能收敛) 。 针对这一缺陷，我们提出了基于拓扑描述函数的结构拓扑优化方法。通过特殊地构 造拓扑描述函数与单元刚度之间的关系以及适当选取近似h e a v i s i d e 函数和d i r a c 函数过 渡区的宽度，成功地将拓扑导数信息引入了优化算法，从而极大的提高了优化的效率。 此外，由于水平集方法对结构边界描述能力强，以及传统水平集方法基于边界演化 的特点，并有平均曲率流等辅助技术光滑化边界，特野j 适合于形状优化，所以，我们进 一步提出了基于拓扑描述函数的拓扑形状优化一体化方法，主要思想是先利用基于拓 扑描述函数的结构拓扑优化方法对结构进行拓扑优化，得到结构的拓扑后，无缝切换到 传统水平集方法，进行形状优化。相关工作完成论文 3 1 1 6 1 7 * 1 。 基于理性准则的连续体结构拓扑优化进化类算法 针对连续体结构拓扑优化问题，基于拓扑以及形状导数信息，我们提出了一种基于 最优性必要条件的新的进化类算法。与x i e 以及s t e v e n 等人所提出的基于直观准则的进 化算法1 1 4 1 不同，我们所发展的此类算法基于严格的理性准则，因此可以有效地实现双 向进化( 材料的生长与删除) 。数值结果表明，这种新的算法计算效率高，可以得到边 界清晰的结构拓扑，而且可以实现与形状优化的无缝切换。相关工作完成论文【4 * 】。 基于水平集的高精度有限元计算 虽然采用水平集函数描述结构拓扑非常简洁方便，但是，由于我们采用结构化网格 覆盖整个计算域，通过水平集函数的零等值线( 面) 体现结构边界的做法，势必造成结构 边界与有限元网格的边界不重合的情况，这样边界上的位移、应变、应力等响应值的精 度就会受到很大的影响。对于以考虑局部约束( 如应力) 的优化问题，边界上的响应值的 精度至关重要，因此我们考虑采用扩展有限元( x f e m ) 1 1 5 】方法进行有限元分析。 我们基于水平集函数成功地实现了该方法，数值检验结果表明，该方法有很好的计算精 度，为基于水平集方法的进一步的工作打下了良好的基础。 一3 基于l e v e is e t 方法的结构优化技术 基于欧拉描述的结构形状优化新方法 传统的结构形状优化都是基于拉格朗日描述进行的。因此需要频繁地进行网格重新 划分，以防止网格畸变所造成的计算精度的丧失( 绝大部分商品化软件似乎都是采用的 这样的求解策略) 。因此对于许多问题，相应的计算量较大。我们新近提出了一种基于 欧拉描述固定网格( 也即不需要网格重新划分) 的结构形状优化方法，结合拓扑描述函 数和x f e m 技术，发展了相应的灵敏度分析，有限元分析技术，从而形成了一套完整 的数值求解框架。相关工作完成论文1 2 1 8 l 。 特定性能复合材料设计 通过采用拓扑描述函数作为设计变量，把复合材料微结构的设计问题转化为了一个 在周期性单胞上的拓扑优化问题。拓扑描述函数以及相应正则化机制的引入不仅可以有 效消除棋盘格式等数值不稳定现象，而且能够有效地抑带0 传统算法处理此类优化问题时 所引发的边界扩散效应。数值结果表明，我们的方法可以稳定高效地实现具有特定性能 的复合材料微结构设计。相关工作完成论文一篇，已投到力学学报。( 巴描牧 i d 叮 论文结构是这样安排的：第一章基本理论，主要主要介绍了水平集方法的基本概念 和基于水平集方法的结构优化的基本思路，以及t d f 方法的基本思想；第二章则依次 介绍了我的各项研究工作，在介绍每一项研究工作的时候，基本都是按照“问题提出、 优化问题列式和敏度推导、数值实现、算例演示、结论与展望”这样的顺序展开的，在 第二章最后部分介绍了我的一些课外小制作；在论文的最后，是对整篇论文工作的个 总结。 4 大连理 ：大学硕士学位论文 1 第一章基本理论 1 1 结构优化简介 结构优化简单来说就是在满足一定的约束条件下，通过改变结构的设计参数，以达 到节约原材料或提高结构性能的目的。 一个结构优化问题有三个要素：目标函数、设计变量和约束条件。目标函数是用来 衡量结构“优劣”的指标；设计变量是可供设计人员调整的结构的参数；约束条件则是 对设计变量的限制。结构优化的任务，就是对于一个结构，寻求设计变量的最优值，使 其既满足约束条件又使得层标函数最优。 结构优化按照设计参数的类型可大致分为尺寸优化、形状优化和拓扑优化。尺寸优 化是通过调节壳的厚度、梁的横截面数据等尺寸参数来改善结构的特性；形状优化则是 通过调节结构边界形状来达到优化结构的目的：拓扑优化的目的是要寻求结构的菜种布 局( 如结构内有无孑l 洞，空洞的位置、数量以及组合结构中构件的连接方式等等) ，使 其能够在满足一定约束条件的情形下，让某种性能指标达到最优。 随着有限元技术和计算机技术的发展，以及不断增长的市场需求的推动，结构优化 技术有了飞速的发展，并且有了很多成功的应用，在航空航天、汽车制造等很多行业， 对产品进行结构优化目前已经成为生产过程中一个必须的而且是至关重要的环节。目前 众多的大型商业c a e 软件如o p f i s h - u c t 、a n s y s 、n a s t r a n 等，都提供了结构优化的功 能。 5 基于l e v e ls e t 方法的结构优化技术 1 2 水平集方法介绍 1 2 1 结构拓扑的水平集描述 水平集方法( l e v e ls e t m e t h o d ) 是国外学者s e 也j a n 和0 s h e r 于1 9 8 8 年提出的种用于追 踪运动边界的数值方法1 5 1 1 6 1 ，在图像处理、流体力学等方向有着广泛的应用。2 0 0 0 年 s e t l l i a n 和w i e g m a n n t 首次把水平集方法引入结构优化领域。 采用水平粲方法求解结构拓扑优化问题的基本思路是引入一个水平集函数 = ( x ，r ) ，然后采用如下的方式对结构的拓扑形式加以描述。 ( x ，f ) 0 x n 庐( x ，r ) = 0 x s 妒( x ，) 0 x d ，q ( 1 2 1 - 1 ) 这里q 代表结构实体材料所占有的区域；s 是其边界，s = r i ( x ) = x l 妒( x ，r ) = 0 ， 在二维问题中为零等值线，三维问题中为零等值面，本文中所有研究都在二维问题中展 开，但是水平集方法推广到三维问题是非常直接和容易的；d 是一个计算区域，它包含 了结构在优化过程中可能占有的一切构型，参见附a 。 采用水平集方法求解拓扑优化问题最大的优点在于它可以用一种隐含的方式灵活地 描述结构的拓扑变化。所有有关结构拓扑和结构边界的信息都体现在了这个水平集函数 之中。在整个结构优化过程之中，我们无需显式的提取出结构的边界。 1 2 2 水平集演化和重新初始化 一旦我们用水平集函数隐式地描述了结构拓扑，那么结构的拓扑优化可以通过求 解以下h a m i l t o n j a c o b i 方程来实现。 掣+ v v 妒：0 8 t 。( 1 2 2 - 1 ) 这里的v 是一个适当选择的用来演化水平集函数的速度场，而时间变量r 则对应梯 度优化算法中的下降步。 由( 1 2 i 一1 ) 式的定义可以看出，对应同一拓扑的水平集函数矽不是唯一的。因为在保 证边界( 水平集函数的零值线) 不变，即的符号不变的前提下，的可以任意取值。但 6 大连理工大学硕士学位论文 是，在实际求解过程中，为了保持数值稳定性，我们通常要保持( x ，f ) 始终是点x 到边 界r ，( x ) 的符号距离函数( s i g n e d d i s t a n c e f u n c t i o n ) ，即 fa ( x ，r f ( x ) ) 妒( x ，r ) = 0 卜d ( x ，r ，( x ) ) x q x r ，( x ) x d q ( 1 2 2 2 ) 所以，在优化过程中，我们通常要借助重新初始化( r e i 血i a l i z a t i o n ) 的方法，在保证 边界( 零等值线) 不变的前提下，使得水平集函数重整为上式中定义的距离函数。 关于水平集演化和重新初始化的具体实现，在后面的数值实现部分有详细介绍。 1 2 3 基于水平集方法的结构优化流程 基于水平集方法的结构优化，其主要任务就是求解根据敏度分析得到的速度场，通过该速度场 演化水平集函数，使得目标不断下降，直到收敛。 k = o 初始化水平集函数呻= 0 1 上 根据对应的结构进行有限元分析， 并由敏度分析计算得到速度场v 耻 户 爹 工否臣 由“，v 求解h - j 方程，得到+ ( “1 j r 对+ “1 1 进行重新初始化得到 图1 2 3 - 1 基于水平集方法的结构优化流程图 7 一 基于l e v e ls e t 方法的结构优化技术 l _ 3 拓扑描述函数汀d f ) 方法介绍 传统的基于水平集的结构优化方法，通过求解一个双曲守恒型方程( h a m i l t o n - j a c o b i 方程) 来控制结构边界的演化。但是，由于受到c f l 条件的限制，每个迭代步内结构边 界推进的距离不能超过一个网格宽度，这是此类方法运算效率的一个瓶颈。 2 0 0 3 年著名学者b e l y t s c h k o 提出了一种基于隐函数( 水平集函数) 的结构拓扑优 化新方法1 1 3 1 。与传统的水平集方法不同的是，该方法以水平集函数的节点值做为设计 变量，采用数学规划法求解，从而彻底摆脱了c f l 条件对于计算效率的限制。但是由 于作者在优化过程中忽略了拓扑导数的信息，因此其方法在本质上还是一种边界演化的 算法，从而导致了算法的计算效率很低( 通常需要上千次迭代才能收敛) 。针对这一 缺陷，我们在对h e a v i s i d e 函数进行正则化处理时，合理地考虑了目标函数的拓扑导数 信息，从而大大提高了算法的计算效率，通常3 0 - 4 0 步就能收敛。数值算例表明我们提 出的方法稳定高效，它不仅可以消除拓扑优化中经常出现的棋盘格式、边界扩散等现 象，而且能够显著节省计算量，因而更适用于大规模拓扑优化问题的求解。为了区别传 统的基于边界演化的水平集算法，我们把这种方法称为拓扑描述函数 法( t o p o l o g y d e s c r i p t i o nf u n c t i o nm e t h o d ) ，简称t d f 方法。 8 大连理工大学硕士学位论文 2 研究工作介绍 2 1 拓扑相关荷载作用下的结构拓手i n 状优化 2 1 1 问题提出 著名学者b e n d s o e 和s i g m u n d 在2 0 0 3 年的一本专著1 1 2 1 中提到，拓扑相关荷载作用 下的结构拓扑优化问题是一个极具挑战性的问题。在以往连续体结构的拓扑优化研究 中，往往都假设外荷载与设计无关，也就是不随结构的拓扑变化而发生改变的。而对于 拓扑相关荷载( 即其作用位置，大小和方向都要取决于当前结构拓扑的荷载，如静水压 力，雪荷载等，见下图所示) 作用下的结构拓扑优化设计问题，就我们所掌握的资料的 来看，相关的研究工作还不是很多。 图2 z i i 三肉静农压力 图2 i 1 2 雪荷载 h a m m e r 和o l h o f f 首先研究了在静水压力作用下二维结构的拓扑优化问题。为了处 理拓扑相关荷载，他们首先根据密度等值线信息选取一些插值节点，然后基于这些节点 用b e z i e r 三次样条构造出一条光滑的荷载作用曲线。最后再利用等效功原理把外荷载移 置到有限单元的节点上。随后他们又将上述工作推广到了三维。最近d u 和0 1 h o 圩又对 算法的鲁棒性作了进一步的改进。c h e n 和k i k u c h i 也在基结构方法的框架下研究了类似 的拓扑优化问题。他们用特殊构造的变温荷载来模拟拓扑相关荷载，因而在一定程度上 减少了荷载作用曲线( 曲面) 提取所带来的额外工作量。 我们发展了- 0 e n 用水平集演化技术求解拓扑相关荷载作用下结构拓扑优化问题的 数值方法。通过引入水平集函数，我们以隐含的方式对结构的拓扑和形状作了描述。这 样就把拓扑优化问题转化为了寻求最优水平集函数的数学规划问题。利用基于连续体概 念的灵敏度分析技术，我们构造了用于驱动水平集演化的速度场。由于结构的边界可以 9 基于l e v e ls e t 方法的结构优化技术 用水平集函数的零水平集来描述，因此利用适当的数学变换，我们可以方便地处理施加 在结构上的拓扑相关荷载，这样就避免了以往算法中繁复的边界提取工作以及为了处理 拓扑相关荷载所采取的特殊技巧。文末的数值算例表明了本文提出的优化方法在处理此 类问题时所具有的独到的优越性。 2 1 2 优化问题列式和灵敏度推导 2 1 2 1 优化问题列式 在本节中，我们将给出在水平集方法框架下，受体积约束的结构整体柔顺性最小化 问题的优化列式。不失一般性，我们将仅针对二维问题展开讨论。 如果引入一个水平集函数来描述结构的拓扑，则我们所考虑的优化问题可以列式 如下： f i n d 庐，u s u p i n fn ( u ( x ) ，矽) s t 他( 矿) d 矿= 矿 这里i 1 u 是结构的位移场，h 代表h e a v i s i d e 函数。位移场所属的许用函数空间 为：u = w l w h 1 ( q ) a n d w = 1 1 。o n s 。) ，其中u 。是位移边界瓯上的给定位移。n 代表 结构的总势能。如果所考虑的拓扑相关荷载为沿外表面负法向的静水压力荷载，则n 可 以表示为如下形式： 兀( 庐，u ) = 丢肛日( 矿p ：研矿一p o n u 船 这里o - 和s 分别代表应力和应变张量。它们在笛卡尔坐标系下的分量分别为： o 。= c 州s 。一口s 。= ( “。+ “。) 2 。f 为弹性张量的分量，n 为结构边界的外法线矢 量。 可以看到通过水平集函数的引入，我们把拓扑优化问题转化为了一个寻求最优水平 集函数的问题。为了得到庐，我们需要求解一个发展型的h a m i l t o n - j a c o b i 方程。下面 我们将讨论如何得到控制水平集函数演化的速度场，也就是( 2 1 2 1 2 ) 式中的v 。 1 0 大连理工大学硕士学位论文 2 1 2 2 速度场构造 不失一般性，我们假设在给定位移边界上，结构的位移被约束为零，即在s ，上 u = 0 。我们还假设仅仅结构的s ，边界在优化过程中是可以自由移动的边界。 优化问题的目标泛函为： 炳) = f p o u d s 对其求物质导数，我4 i t f i ： d ( ，( u ) ) 击= f ( 二) = f ，( p ；q + 研“：) 舔+ f ，( p t j u ，n j + p i t l i , i _ 十p c u r ) n m v , f l s 而结构平衡方程的弱形式为 日( u ，w ) = i c # k l ”u ，d v = ，( w ) = f p w 钌f o re v e r y w u “ 这里u f s wo ，u “= ( w f w h 1 ( q ) ，w i & - o 为试探函数空间。 对( 2 1 2 2 3 ) 求物质导数，并且假设，和p 是空间不变的( 也就是c 知= 0 以及 p = 0 ) ，我们有： 对每个w u m c 知( 珥) ，坼，d 矿+ c 知珥，( 以) 。，d v + ( c o 一，坼，) d s = f ，p ，w ；d s + l ，( p u w , n j + p ，w i ， ，+ 只r ) ，v 。d s n n e s o _ k u = w = v = 0 ，所以我们有u = w 。= 0 。这里( ) 和0 分别代表对括号中 的量求物质导数以及空间导数。如果假定结构的边界以及刻画结构形状改变的速度场具 有适当的光滑性，则可以证明u + h 1 ( q ) 以及w h 1 ( q ) 。这意味着u u “以及 w 1 u 。这样我们就有： 口( u ，w + ) = 扎q ，( 以) 。，d v = l ( w ) = fp ，w ：嬲 对任何w u “成立。利用上式并结合( 2 1 2 2 4 ) 我们有：对任何w e u 。 基于l e v e ls e t 方法的结构优化技术 儿：q t ，( 彰) ，m ，d 矿= f ，( p i ，_ + 只一，_ + b 符) ，k ，d ，一f ( c k ，“。，) v 。d ， ( 2 1 2 , 2 6 ) 因为u u “，所以我们有： 豫( 抽( “i ) , j l x k , ! d v = f ，( p i , j u l n j + n k ，_ + p ，珥r ) y n ，k ，d s f ( c ，k l 蚝，叱，) v 。d s 进一步，因为 a ( u ，u 2 ) 2 旭坼( 讥d v = ，( u ) = e 刑；a s 以及 口( u ，u ) = 乞“坼，( 以) 。，d 矿司( u 。，u ) = c 知( “山巩，d v 所以由( 2 1 2 2 7 ) ，我们有 f c 吲“也d s 3 = f ( u ) = fp ，u l d s = 儿q t ，( “t ) , j u l 。, l d q = l ，( p + , j f d s n j + 只，_ + p t u , x ) n ，k ，嬲一f ( ，) k ，搬 ( 2 1 2 2 - 1 0 ) 综合以上推导，我们有 z 0 ) = 2 ( p j i “一j + p 斗。竹j + p “l 砖一c u d “。m m v 。d s = f 【2 ( v ( p u ) n + 印u ) 一c i j k l u i , f l d k j n m d s 这样，假若我们取v = _ 【2 ( v ( p u ) - n + 坪u ) - c 删“。虬 n ，则有 晡) = - c 一 2 ( 甲( p u ) n + 印u ) 一“。魄d s _ o 也就是说可以保证结构柔度的下降。值得注意的是式( 2 1 2 2 1 2 ) 中的每一项都在整个计 算域上有定义，因此v 无需作任何延拓就可以直接用于h a m i l t o n - j a c o b i 方程的求解。 1 2 大连理工大学硕士学位论文 如果所考虑的荷载是静水压力，则我们有p = p o n ( p 。 o ，n = 一v ，4 审酬) ，此时能 够保证柔度下降的速度场形式为： v = 一 2 p 。d i v ( u ) 一c 州“，】n 2 1 2 3 边界荷载的转化 在水平集方法的框架下，我们可以方便地处理拓扑相关荷载。这可以通过利用水平 集函数把面积分( 线积分) 转化为体积分( 面积分) 来实现。事实上，如果在边界上对 某个标量r 进行线积分运算，则我们有： ，( x ) d s = f c r ( x ) j ( 印即矿 这里占( ) 代表一维d i r a e 函数。 这样，如果假设边界上的线分布力集度为p 并考虑到在s 。边界上任何虚位移 w = 0 ，我们有： f p w d s = l p w d s = 珏p w d ( 柙舭y 如果所考虑的拓扑相关荷载是静水压力荷载，贝, l j p = p o r t 这样我们有 量p w d s = 量n w d s = 一j j l p 0 占( 庐w d v 这里，我们利用了关系式n = 一v 妒l v 1 。 经过这样的变换，我们就把边界上的线分布力形式上转换为了体积力。由式( 2 0 ) 可以 看出：这样只要我们知道了当前水平集函数的取值，我们无需显式地提取出结构的边 界，就可以方便的处理拓扑相关荷载。这在很大程度上节省了问题求解的工作量。 2 1 2 4 体积约束的处理 为了使得体积约束条件得到满足，我们引入如下的拉格朗日泛函数 l ( c ( x ，r ) ，五) = ，( 痧( x ，r ) ) + , t g ( d ( x ，0 ) 这里兄是一个拉氏乘子，而g ( 妒) 的表达式为： g w ( x , f ) ) = j 1 1 日( 地t ) ) d v 一矿 1 3 基于l e v e ls e t 方法的结构优化技术 优化问题的最优性条件为 d l d f = 0 和g 渺) = 0 因为 d g d t = f j ( 印酬v i n d v 且 d l l d t = j 2 ( v ( p u ) n + 印u ) 一( k 毡。酞，】v n 嬲= 儿d ( l v k v 日d v ( 2 12 4 5 ) 这里心= 2 ( v ( p u ) n 十印u ) 一c o k ，“j “ 这样我们有； d l i d t = f c 5 ( 剜v i ( 以+ a ) v n d v 如果我们选取”n = k = 一( 只+ z ) ，则 d l d t = 一儿j ( ) 刚( 儿十 ) 2 d v p 吒( 伊) = - f i 1 + c o s ( 砷p ) 仲i p i f 西 一s i f i l - 占 这里的f 和p 为控制近似程度的参数，计算中通常取o 3 0 4 倍的网格宽度，而氏；。 为一个为了避免总刚度矩阵出现奇异而引入的一个小量。 计算域中任意一点的弹性常数： 1 5 基于l e v e ls e t 方法的结构优化技术 c 社，( 工) = 日。( 庐( x ) ) c 知 ( z d ) 其中，h 。 ) 是( 2 1 3 1 4 ) 式中定义的光滑化的h e a ：v i s d e 函数，c 。o ，是实体材料的 弹性常数。 有限元离散之后的单元刚度阵： k 。= 1 。b 7 ( f ，r i ) d b ( 善，节) ，吁) 陬孵t 1 ) ) d 善d r l 其中，b 为应变矩阵，d 为弹性矩阵，。( ) 是( 3 1 ) 式中定义的光滑化的h e a v i s i d e 函数。 对上式采用高斯积分得： n gn g k 。m h b 7 皤，叩，) d 四( 专，吁刊j ( 点，叩川h 。( ( 专，吼) ) t = 1j = i 其中n g 是高斯积分的阶数，计算中通常取3 。 2 ，1 ，3 2 拓扑相关荷载的处理 我们利用公式( 2 1 2 3 一1 ) 把边界上的面力转化为相应的体积力，且体积力的集度为 f = p o 占( p ) v 妒a 榭抻懒r 舰过阱般黝嬲黑矧 转化为等效节点力的。所以我们有节点力的表达形式： 最l jj j ( f ，o p 。占( p 似借，叩) ) 却计( 善，叮) 缸l ，( f ，叩) i d 彰7 7 i 1 厂in ，