（应用数学专业论文）泛函方法在积微分方程中的应用.pdf

摘要 本文对实b 赳l a c h 空间中二阶混合型积一微分方程进行了研究，主要分为以下三个方 面：二阶混合型积微分方程的初值问题，二阶混合型积微分方程的两点边值问题及二 阶混合型积微分方程的周期边值问题 在对上述问题的研究过程中均采用了上下解方法和单调迭代方法，证明了相应问题 最大解和最小解的存在性，并且得到了逼近解的单调迭代序列在本文中建立了全新的 比较定理，并且方程的形式也更加也丰富，扩大了方程的适用范围，推广了原有文献 中的一些结果 本文共分五章第一章为前言第二章、第三章分别讨论了二阶混合型积微分方程的 初值问题和两点边值问题第四章研究了二阶混合型积微分方程的周期边值问题，其中 又分为不含微分项“7 和含有微分项“7 的周期边值问题最后对本文全面总结 关键词：积一微分方程，上下解，单调迭代方法，初值问题，两点边值问题，周期边 值问题 t h ea p p l i c a t i o no ff u n c t i o n a lt h e o r yi n i n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a “o n s z h e n gj i a n ( a p p l i e dm a t h e m a t i c s ) d i r e c t e db yp r o f e s s o rs o n gg u a n g x i n g a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w em e s t i g a t et h es e c o n do r d e ri n t e g r o - d i 行e r e n t i a le q 嘣i o n s t l l em a i n r e s e a r c hi n c l u d e st h r e ea s p e c t s ：t h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e m ( i v p ) ，t h et w o - p o i n tb o u n d a 巧v a l u e p r o b l e m ( b v p ) a n dt h ep e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ( p b v p ) b yu s i n gt h eu p p e ra 1 1 dl o w e rs o i u t i o n sm e t h o da n dm o n o t o n ei t e r a t i v et e c 量u l i q u e ，w e o b t a i nt h ee x i s t e n c eo f l em a x i m a la j l dr i l j m m a ls o l u t i o n sa n dt h ei t e i a t i v es e q u e n c eo f c o r r e s p o n d i n gs o l u t i o n sf o rt h ei n t e g r o - d i 疏r e n t i a le q u a t i o n s i nt h i st h e s i s ，w ee s t a b l i s hn e w c o m p a r i s o nr e s u l t sa n dt h er e s u l t so b t a i n e dg e n e r a l i z ea n di m p r 0 v et h er e s u l t sc o r r e s p o n d i n g t ot h o s eo b t a i n e db vo t h e r s t h et h e s i si sd i v i d e di n t o f i v ec h 印t e r sa c c o r d m gt 0c o n t e n t s t h ef i r s tc h a p t e ri sa p r e f a c e i nt h es e c o n da n dt h et m r d c h a p t e r ， t h ei v pa n db v pf o rs e c o n d o r d e r i n t e 铲。一d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r ei n v e s t i g a t e d i nt h ef o u r mc h a p t e r ，w ei n v e s t i g a t et h ep b v p f o rs e c o n d o r d e ri n t e g r o d i 行e r e n t i a le q 嘣i o n sa u l dt h j sp r o b i e mi n c l u d e st w o2 l s p e c t s ：w i t h o u t 甜i t e ma n dw i t h 甜i t e m t h el a s tc h a p t e ri st h es u m 】m a 巧o ft h j st h e s i s k e yw o r d s ：i n t e 铲。一d i 能r e n t i a le q 删i o n ，m o n o t o n ei t e r a t i v et e c t u l i q u e ， l o w e ra n du p p e r s o l u t i o n ， i n i t i a lv a l u ep r o b l e m ，t w op o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ，p e r i o d i cb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包含为获得中国石油大学或其它教育机构的学位或证书而使用过 的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意。 签名：矽移年j 月7 日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解中国石油大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件及电子版，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) y ，g 年 r 月 - ) r 二驴。参年j 一月矽日 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 第一章前言 1 1 课题研究背景及其研究意义 伴随着近代物理学和应用数学的发展，在许多应用学科中出现了新的非线性问题， 引起了人们的关注，从而使非线性分析成果不断积累，逐步形成了现代分析数学的一个 重要的分支学科非线性泛函分析 非线性泛函分析是现代数学的个重要学抖，抽象空间微分方程理论则是近年来发 展起来的一个重要分支，它把微分方程理论和泛函分析理论结合起来，利用泛函分析方 法研究抽象空间的微分方程它的理论在无穷常微分方程组、临界点理论、偏微分方程、 不动点定理等多方面都有广泛的应用 由于在无穷维空间框架中，处理分析学的非线性问题的方式有着无穷的潜力，近年 来，非线性泛函分析已经成为研究数学、物理、航空航天技术、生物技术中非线性问题 的一个重要的工具它的基本方法有拓扑度方法、变分方法、解析方法、半序方法、上 下解方法、单调迭代方法等 二十世纪以来，非线性泛函分析的发展取得了重大突破首先b a l l a c h 压缩映象原 理、l e r a y s c h a n d e r 拓扑度理论、抽象锥的不动点理论、临界点理论的提出，促进了非 线性常微分方程、偏微分方程边值问题的研究，加速了非线性分析的发展 将具体问题概括为抽象空间方程问题，其本质在于：用函数空间的语言把所给问题加 以改写；然后，借助泛函分析方法对这个抽象问题尽可能完善的加以分析；最后再把所的 结果进行“翻译”，以回到原来的问题这种方法去掉了无关紧要的枝节，更易于揭示和 分析问题的核心，而且表面上看来不同的问题可以用同一空间理论来处理因此有关抽 象空间的一些问题己就显得非常重要，而其方程解的问题又是研究空间问题的核心问 题不但它对数学的基础理论有着推动作用，而且应用于解决几何学与物理学中的一些 实际问题，推动自然学科的发展另外，自然科学和工程技术中大量非线性现象又为抽 象空间方程的发展提供了基本素材 利用抽象空间各类方程，对问题进行研究和解析是一个十分巧妙而又应用广泛的方 法抽象方程理论在许多数学领域，也正是由于这些应用，抽象方程理论才得以更迅速 发展 另外，非线性泛函分析理论的研究及完备化具有非常重要的意义，尤其是近几十年 来，国内外的许多研究学者对非线性问题的研究做了大量工作 第一章前言 郭大钧先生在专著中对非线性泛函分析的几个重要课题及其应用，诸如某些经典 的非线性算子、h a m m e r s t e r s t e i n 型积分方程、常微分方程和偏微分方程、迁移方程、 锥理论及非线性算子方程的正解、非线性算子拓扑度和不动点以及固有值、解的个数与 分支，都作了系统的概括和总结文【2 1 中利用锥理论讨论了多种非线性问题，主要是近 些年来发展起来的最新成果文3 1 则讨论了各种多样的积分方程解的存在性其中内容 可谓是丰富多彩，包括了非线性泛函分析这一领域各个方面的成果 本课题正是在上述背景下提出的，通过研究抽象空间中各类方程解的理论，希望找 到使相应方程解存在且较容易验证或检验的条件；同时努力构造逼近一致收敛于解的迭 代序列，以及给出相应的误差估计式 1 2 国内外现状分析 抽象空间中的常微分方程是近年来发展起来的一个新的教学分支，它把微分方程理 论和泛函分析理论结合起来，利用泛函分析方法研究抽象空间的微分方程郭大钧和孙 经先合著文斛5 1 是这一课题的集大成之作，概括了b a i l a c h 空间常微分方程理论文【6 】 全面综述了抽象空间内非线性微分方程各个分支的内容，包括证明解的存在性时所使用 的方法以及解的某些性质，文【7 】则是一篇综合报告，概括了微分方程发展的一些最新成 果 在专著【u 中，郭大钧先生对非线性泛函分析的几个重要课题和应用作了系统的概括 和总结文献【l o 】在抽象空间中研究了各种非线性积分方程解的存在性和唯一性问题文 献【3 “8 9 1 讨论了多种非线性问题，主要是近年来发展起来的一些最新成果，包括了非线 性分析这一领域各个方面的成果文献【9 】则利用非线性分析研究常微分方程解的存在性， 唯一性及多解性，其中使用了非线性泛函分析中的理论和方法，例如拓扑度理论，半序 方法，上下解方法等 研究解的存在性的理论方法有多种：压缩映象原理、变分原理、单调算子理论、不 动点理论、拓扑度理论但其中侧重点不一样其中，压缩映象原理重点在于讨论非线 性算子方程解的存在性与唯一性；拓扑度方法要求算子全连续且只能给出解在特定意 义下的存在个数 现阶段，单调迭代方法、上下解方法以及拓扑度方法是研究热点利用上下解方法、 单调迭代方法不仅可以得出解的存在性，而且可以获得方程的最大解、最小解以及一致 收敛于解的迭代逼近序列更好的结果是我们能够得到相应近似解的误差估计式但上 下解方法和单调迭代方法对方程要求条件较高，而拓扑度方法只能给出解的存在性，一 2 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 般不能给出逼近解的迭代序列因此，如何在较广的空间中，较弱的条件下利用上下解 方法与单调迭代方法得到我们想要的结果是许多数学工作者非常感兴趣的研究问题之 一宋光兴教授( 本课题指导教师) 以及国内外一些数学专家在这方面做出了许多具有一 定开创性的工作，这些工作中的基本思想对本课题的研究有着重要的启发 1 - 3 研究目标 课题利用上下解方法和单调迭代方法研究了二阶混合型积微分方程的初值问题、 两点边值问题以及周期边值问题最大解和最小解的存在情况，得到了一些最新成果 1 4 研究目的 在以往相关文献中，讨论积微分方程的相关结果其前提条件不易验证，或者要求 较高而使其实用性降低。本文正是针对这些方面的缺陷，研究了使相应方程解存在且较 容易验证或检验的条件以及相应的减弱有关条件，扩大了有关方程的适用范围，提出了 研究相应方程的不同方法；同时也给出了解的显式迭代逼近序列或者隐式迭代序列，并给 出相应的误差估计 1 5 研究意义 非线性泛函分析是现代分析数学的一个重要分支，因其能很好的揭示自然界中的各 种各样的自然现象而受到了越来越多的数学工作者的关注。其中，非线性初值问题来源 于应用数学和物理的多个分支，是目前分析数学中研究极为活跃的领域之一 1 6 研究理论、方法 本论文主要是利用上、下解方法，单调迭代方法，建立了全新的比较定理来研究几 类不同边值问题的积微分方程，得到了一些新的结果 1 7 技术路线 首先，利用单调迭代方法和上下解方法研究了二阶混合型积微分方程初值问题最 大解和最小解的存在性，并构造了逼近解的单调序列，利用泛函的方法证明构造点列收 敛，且极限点为相应方程的解，并适当限制得到收敛序列的具体形式 其次，利用单调迭代方法，上、下解方法研究了二阶混合型积微分方程两点边值 问题的最大解和最小解的存在性，同时构造了逼近最大解和最小解的单调迭代序列。 最后，利用单调迭代方法，上、下解的方法研究了二混合型阶积。微分方程组周期 边值问题的解的存在性，并给出了解的单调迭代序列并且对该问题又分为不含微分项 3 第一章前言 “和含有微分项“7 的情况分别进行了讨论，得到了比较满意的结果 4 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 第二章二阶混合型积微分方程的初值问题 2 1 引言 混合型积- 微分方程的初值问题近年来成为非线性泛函分析的研究的热点问题，且已 取得了一定的成果本文在文献【1 1 。1 6 1 的基础上研究了如下二阶混合型积微分方程的初值 问题 f “”= 厂( f ，“，“( a ( f ) ) ，( 死) ( f ) ，( 舰) ( ，) ) ；，、，、 【“( o ) = “o ，“7 ( o ) = 甜i ，= 【o ，2 万】 、。17 ，( f )2 厅 其中( 几) ( f ) = ，尼( r ，j ) “( y ( s ) ) 凼，( 砌) ( f ) = 卜( ，5 ) “( 万( j ) ) 幽口，y ，万c ( ，) o0 且口( f ) f ，( ，) f ，7 ( f ) f ，万o ) f ，厅c ( ，r ) ，尼c ( d ，r ) ， d = ( s ，f ) ，；o s o ) ，r ，) 本章证明了方程( 2 1 ) 存在最大解和最小解并且有相应的单调迭代序列一致收敛到 方程的最大解和最小解最后我们对函数适当的加以约束可以得到单调迭代序列的具 体形式 2 2 引理及证明 彻2 2 嗽理) 若眦2 ( 删满足：踹 0 且 p ( ) = m i n p ( ，) ，0 f = 一五0 若彳= 0 ，贝u p ( t ) o ，t o ，t o 】于是p ”( f ) 一( 缈p ) o ) o 5 第二章二阶混合型积微分方程的初值问题 p ( ，) 在 o ，岛】上为非增函数又p 7 ( 0 ) 0 ，故p ( ，) 0 ，【0 ，岛】 于是p ( f ) 在 o ，b 】上非增，又p ( o ) o ，有p ( t 。) o 这与假设矛盾 若无 0 ，p ”9 ) s 一( p ) o ) 丑p ( ，) ， 0 ，】又 t t2 石 p 沁) p 7 ( f ) 一p ( o ) = p ”o 油五p o 汹五j 尸( s 灿再由 o o0 b2 ，r2 j r 五 0 对于v 占 0 ，l ，2 j ， 跚州z ，且l f 叫zk 高南 ，2 ( r “) ( ) 一( 1 1 “) ( f ：) | ：i ( f l f 2 ) + ，( 卜s ) p ( s ) 一( 少“) ( s ) 】凼+ 0 6 中国石油人学( 华东) 硕士学位论文 ，l i ( f 。一s ) ( 仃( s ) 一( “) ( s ) l 凼( hi + 4 万k ) 一乞i o ，v f l ，f 2 ，j j2 云，当i 一f 2l 万时 w ( ) 一心( f ：) i - lk ( f ) 斫l 訇f l f ：im 也收敛到歹及诃 接下来证明矿面为方程( 2 1 ) 的解由定义知心为方程( 2 2 ) 的解，同时也为方程( 2 3 ) 的解，即 ( f ) = + f “。+ r f s ) 【厂 ，一。( s ) ，k 一，( 口( s ) ) ，( 巩一) ( j ) ，( 跏川) ( s ) ) o 对上式取极限有 + ( 一，) ( s ) + ( y v o ) ( 5 ) 一( y ) ( j ) 出 矿= + r + 一s ) 厂( s ，可( j ) ，矿( 口( s ) ) ，( 而) ( s ) ，( 阿) ( s ) ) 凼 ( 2 16 ) o 显然可( 0 ) = 对( 2 1 6 ) 式求导数 矿= “。+ 且f j ) 厂( 5 ，矿( s ) ，可( 口( j ) ) ，( 而) ( s ) ，( 汀) ) ) 豳，歹( o ) = 0 再对上式求二阶导数，则 矿= ( f ，可( f ) ，歹( 口( f ) ) ，( 布) ( f ) ，( 跖) ( f ) ) ，v f j 故歹为方程( 2 1 ) 的解同理可证诼也为方程 ( 2 1 ) 的解 最后证明可诼为方程( 2 1 ) 的最大解和最小解取歹h ，w 0 】为方程( 2 - 1 ) 的任一解，不 妨设v i ( f ) 歹( ，) 嵋一l p ) ，令p ( ，) = 坼o ) 一歹( f ) ， 贝i jp ”( f ) = 坎r ) 一歹( f ) = 一( v f ) o ) + 厂( f ，v 0 ) ，v ( 口( f ) ) ，( f 吒) ( f ) ，( s e ) ( f ) ) + ( 少v 一。) o ) 一r 【( s ，歹( s ) ，歹( 口( 5 ) ) ，( 万) ( s ) ，( 黟) 0 ) ) 出一( 少p ) ( f ) ，f j ；p ( o ) = o ，p ( o ) = o 由引理2 2 1 ， ； p ( ，) o ，即v ( f ) 歹( f ) ，f j 同理取g ( f ) = 歹( f ) 一w ( r ) 可以得到歹( f ) w ( f ) ，f ，有归纳法 知( ，) 萝( ，) ( f ) ，取极限厅一o 。则可( ，) 歹( ，) 诼0 ) ，故可，诼分别是方程( 2 - 1 ) 的最小解和最大解 下面讨论方程 2 巾删，( 砌) ( 味( 砌) ( f ) ) ；( 2 17 ) 【“( o ) = ，“( o ) = 扰l ，= 【o ，2 万】 、。 ， 2 石 其中( 砌) ( f ) = p ( f ，s ) “( s ) 豳，( 勋) ( f ) = 向( f ，5 ) “( s ) 出 o0 定理2 3 2 若下列条件满足 j ：取定理2 3 1 i 中暑o ，( f ) = 7 ( f ) = 万( ，) = l o 中国石油火学( 华东) 硕士学位论文 2 ，r f 码：2 万f m ( f ) + k ( f ) 弘( f ，5 ) 出 出1 o 0 g ：厂( ，墨，蔓，墨，) 一( ，乃，奶，乃，儿) 一m ( f ) ( k 一乃) 一( f ) ( e y ：) 一k ( f ) ( 匕一y ，) 一l ( f ) ( 一弘) ，f ， 其中，( f ) 乃x q ) ，( 砜) o ) sy 3s 匕s ( 7 、4 1 0 ) ( f ) ，( s ) o ) j ，一s 坛( & ) o ) 则方程( 2 1 7 ) 在【， 存在最小解和最大解，并且有单调迭代序列也) ，( 分别一致收 敛到最小解和最大解，其迭代序列由下式给出： ( f ) ：c 1 ( f ) + 妻( 一1 ) ，t 心，s ) e _ l ( s ) 出， = l o c 一，( r ) = + f + r ，一s ) l 厂o ，一o ) ，( t 一1 ) p ) ，( s 一- ) ( s ) ， ( 2 - 1 8 ) + m ( f ) 一1 ( j ) + k ( f ) ( n 川) ( s ) 】凼 ( f ) = g 一。( ，) + ( 一1 ) n ( ，s ) g 一，( j ) 出， l = l 0 q l ( f ) = + r + f ( f s ) 【( s ，一i ( s ) ，( t ，1 ) ( s ) ，( s 一1 ) ( s ) ， ( 2 - 1 9 ) o + m ( r ) 一i ( 5 ) + k ( f ) ( 丁k 1 ) ( j ) 】出 结合( 2 1 0 ) 和( 2 6 ) ，可以给出毛( s ) 由引理2 2 4 和定理2 3 1 的证明，容易得到定理2 3 2 的证明 第三章二阶混合型积微分方程的两点边值问题 第三章二阶混合型积一微分方程的两点边值问题 3 1 引言 本文在文【1 7 2 4 】基础上主要研究了如下二阶混合型积微分方程 雠耥篙嬲：! 笏游一心2 础 d ， i 口“( o ) 一6 “( o ) = ，c 材( 2 万) + 幽( 2 万) = 毛，f ，= o ，2 刀】； 。 的两点边值问题 口( ，)2 丌 此处， ( 砌) ( f ) = ，七( f ，s ) 甜( y ( s ) ) 出，( 觑) ( f ) = ，厶( r ，s ) “( 万( j ) ) 凼口，y ，j c ( ，) o o 且，口( f ) ，( ，) f ，7 0 ) ，6 ( f ) f ，七c ( d ，r + ) ， 厅( ，5 ) c ( j ，尺+ ) ，d = ( s ，f ) ，；o s ( r ) ，f ， 本文在两点边值问题中引入了时滞函数，对非线性函数厂的约束也采用了带有函数 的单边l i p s c l l i t z 条件，证明了上述方程最大解和最小解的存在性 3 2 引理及证明 引理3 2 1 ( 比较定理) 若下面条件成立 h ：m ，k ，三c ( ，r + ) ， 口( ! )2 匹 并满足m ( t ) + r ( f ) + k ( f ) j 尼( f ，s ) 豳+ 三( f ) j 办( f ，j ) 出o 2 石s ( ，) 2 石 h ： p = m a x f 且m ( f ) + o ) + k ( ，) 七( f ，f ) d f + 三( f ) ，办( f ，f ) d f 】动协， 0000 j m ( ，) + ( f ) + k ( f ) ，七( r ，f ) d f + 三乃( f ，f ) 出】抛 1 并且脚2 脯足 蒜；辚譬赫脚心啦。【印( u ，一印( u ) 2u ，印( z 刀j + 印【z 万) 之u 其中( 矽p ) ( ，) 三m ( ，) p ( ，) + o ) p ( 口( f ) ) ：)2 二 + k ( f ) i 七( f ，s ) p ( y ( 5 ) ) ( 括+ ( ，) i 厅( ，s ) p ( 万( s ) ) 西， 则p o ) 0 ，v f ， 证明：反证法，假设结论不成立，有下面两种情形： 情形1 ，若p ( f ) o ，p ( ，) o 此时，p ”( ，) o ，贝物( ，) 为减函数又 1 2 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 p ( o ) 旱p ( o ) o ，p7 ( 2 7 z i ) 一导p ( 2 万) 2o 故p7 ( r ) 兰o ，p ( f ) 为常函数又 dd 令p ( r ) 兰c 0 因此 一p ”( f ) + ( 矽p ) ( f ) = c m ( f ) + ( f ) + k ( f ) ，尼( f ，s ) 丞+ ( f ) ，向( f ，s ) 出】 0 ，p ( f 2 ) o ，p ( 色) 2 峥p ( ，) o 由边界条件知氧，乞不能同时取 端点不妨设乞( o ，2 万) ，有p ( 乞) = 0 情形2 1 若岛( 0 ，氧) 则 芦( ，) 2 石 p ”( f ) m ( f ) + ( f ) + k ( f ) j 尼( r ，s ) 击+ ( f ) j 向( f ，s ) 西 p ( 卣) ，f ， o0 对该式从色到s 积分， j口( r )2 厅 p 7 0 ) = p 7 ( j ) 一p ( 岛) p ( 专) 且m ( ，) + p ) + k o ) ，七p ，尸) 办+ 三o ) ，厶( f ，| ) 办】触， 岛 0o 再对上式从岛到石积分，有 磊j( ，)2 。 p ( 舌) p ( 氧) 一p ( 彘) p ( 氧) f 【m ( f ) + ( f ) + kf 七( r ，) 咖+ 上( f ) f 向( f ，) 咖】沈出， 岛岛 oo 2 石 j 卢( f )2 石 有l 点则 2 万j 卢( f ) 2 万 矿( t ) j 且m ( f ) + ( r ) + k ( f ) f 七( f ，s ) 出+ 三( f ) 乃( f ，s ) 出 p ( 卣) ，f ， 0o0o 对上式从s 到岛积分有 岛卢( ，)2 万 一p ( j ) = p ( 乞) 一p ( s ) p ( 卣) 且m ( f ) + ( ，) + k ( ，) _ f 七( ，) 办+ ( ，) ，办( ，) 毋协， 再对上式从眚到岛积分，有 ! 龟 p q l2 4 p ( 舌) p ( 茸) 一p ( 乞) p ( 专) f 【m ( f ) + ( f ) + k ( f ) fj | ( f ，- ) 咖+ l ( f ) 卜( f ，_ ) 毋】坊出，得到 卣s 0o 2 石z _ j r 卢( ，) 2 石 l f ，【m ( f ) + j v ( f ) + k ( f ) ，七( f ，f ) d f + ( f ) p ( f ，f ) d f 】出出尸与条件h 2 矛盾 0s00 1 3 第三章二阶混合型积微分方程的两点边值问题 因此假设不成立，所以p ( f ) 0 ，引理3 2 1 成立 引理3 2 2 若甜c 2 ( ，尺) ，仃c ( ，月) 满足 i 一“”( f ) = 一( 矽“) o ) + 仃o ) 【口甜( o ) 一6 甜7 ( o ) = ，c “( 2 万) + 幽( 2 万) = 岛 那么微分方程( 3 2 ) 与下面积分方程同解 甜o ) = ig o ，5 ) 卜( u ) ( j ) + 仃( 5 ) 】如+ 万一【( a f + 6 ) 毛+ ( c ( 2 万一，) + d ) 】 ； 此处矽与引理3 2 1 中定义相同 g 化沪黔麓二端嚣嚣三 万一= 2 刀口c + 口d + 6 c 引理3 2 3 若条件q ，皿成立，则线性微分方程( 3 2 ) 具有唯一解 证明： 假设方程( 3 2 ) 有两个解，y ，】，c 2 ( ，尺) 令p = y 一】，且满足 蕊辚给茹m 2 咖。；蚓知【印( o ) 一幼( o ) = o ，印( 2 万) + 咖7 ( 2 万) = o ；一。 ( 3 2 ) ( 3 3 ) p ( ，) 0 ，故y ( f ) y ( r ) ，v f ，同理令p = 】厂一y 有y ( f ) y ( f ) ，v f ， 故，= y ，至多有一解下证方程有解 事实上，定义算子 2 匹 ( ，k ) o ) 三ig o ，j ) 卜( 矽“) ( s ) + 仃( s ) 】西一万一1 【( o f + 6 ) 毛+ ( c ( 2 万一f ) + d ) 】 i 定义范数i f m 掣i i “( f ) f i 利用s c h a u d e r 不动点定理 知算子f 存在不动点，即方程有解引理3 2 3 证明完毕 3 3 主要结果及证明 为了方便我们列出下面条件 h 3 ：存在，v o c 2 ( ，r ) 满足”o ( ，) v 0 ( ，) ，且 f 一“；o ) 厂o ，甜o ( ，) ，“o ( 口( f ) ) ，( 7 k o ) ( f ) ，( s 甜o ) ( f ) ) 【日“o ( o ) 一6 甜；( o ) ，c 甜o ( 2 刀) + d “；( 2 万) 尼l ，v f ， f w ( z ) 厂( ，v 0 ( f ) ，v o ( 口 ) ) ，( 砜) ( f ) ，( 砜) ( f ) ) 【口1 l o ( o ) 一6 k ( o ) ，c v o ( 2 万) + 咖；( 2 万) 毛，v f 1 4 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 h 。：存在函数m ，k ，三c ( j ，r + ) 满足条件h ，h 2 且使得 厂( f ，誓，艺，e ，k ) 一厂( f ，m ，儿，乃，儿) 一m o ) ( x m ) 一( f ) ( 砭一y 2 ) 一k ( f ) ( 匕一乃) 一三o ) ( e y 4 ) ，f j o ) 乃i q ) ，( 口( f ) ) y 2 匕( 口( f ) ) ( 砌。) o ) 乃e ( 丁) o ) ，( 甄。) o ) y 4 匕( s ) o ) 定理3 3 1 若条件日l ，4 ，也，矾成立，则两点边值问题 i 一“”( f ) = 厂( f ，”，“( ( z ( f ) ) ，( ? 切) ( f ) ，( j s k ) ( f ) ) ， 【口甜( o ) 一6 “7 ( o ) = ，c “( 2 万) + 砒( 2 石) = 尼l ，f = 【o ，2 万】； 在 ，】存在小解甜( ，) 及最大解v p ) ，并且 p ) ) ， ( ，) c ，】，使得 ( ，) 专甜( 班( ，) 寸y ( 吐丹专，v ，且有 甜。2 ，v u ( 3 4 ) 这里 f - 甜：( r ) = 厂( f ，“( ，) ，“ ( f ) ) ，( 死川) ( ，) ，( 勋) ( f ) ) 一m ( 一“。，。) o ) 一( 矽( “。一“。一。) ) 0 ) ， ( 3 5 ) l 口( o ) 一6 以( o ) = ，c 。( 2 刀) + 历( 2 万) = 岛，v f 卜嵋( f ) = 厂( f ，v 川( f ) ，一。( 口( f ) ) ，( 丁k 一。) ( f ) ，( 跏川) ( f ) ) 一m ( v 。一v 。一，) o ) 一( 矽( 一一。) ) ( ，) ( 3 6 ) l 口( o ) 一6 v ：( o ) = ，们o ( 2 刀) + 咖：( 2 万) = 七l ，v ，j “o ，v j 】= 田c 2 ( j ，r ) ：“o ( f ) 缈( f ) v j ( f ) ，f ， 证明：由引理3 2 3 ，对任意“川，k l c 2 ( ，r ) ，方程( 3 2 ) 都有唯一解“。以 下面有数学归纳法证明下面式子成立“川“。小，2 = l ，2 ，3 ， ( 3 7 ) 由( 3 4 ) 式及( 3 5 ) 式和条件马，日。有 i ( 一“。) 。o ) 一( ( “。一z 岛) ) ( ，) i 口( “l 一“o ) ( o ) 一6 ( 一扰o ) ( o ) o ，c ( “i 一扰o ) ( 2 万) + d ( 一) 7 ( 2 刀) o ，v f ， f ( v 0 1 ，。) 。( f ) ( 矽( v 0 一，) ) ( ，) i 口( v l v j ) ( o ) 一6 ( 嵋一) 7 ( o ) o ，c ( u v j ) ( 2 石) + d ( 1 ，一v 0 ) ( 2 石) o ，v f ， f ( v 。一“) o ) 一( ( v i 一) ) ( ，) 【a ( v 1 一“i ) ( o ) 一6 ( v 1 一“i ) ( o ) = o ，c ( v i 一“i ) ( 2 万) + c ( h 一“i ) ( 2 万) = o ，v r ， 由引理3 2 1 ，有列o v i v 。成立1 段设门= 尼时成立，即 1 5 第三章二阶混合型积微分方程的两点边值问题 埤一i k 屹坩类似地利用引理3 2 1 ，可以证明疗= 七十1 时也成立 因此对任意正整数，z ，( 3 4 ) 式都是成立的由( 3 - 5 ) 式( 3 6 ) 式 和条件见，可以得到 一( 矽( 一“o ) ) o ) 一0 ，v j ，v j ( 口o ) ) ，( 丁) ( f ) ，( - 熨1 0 ) ( f ) ) 睇( f ) 2 ( 妒( v 。一“。) ) o ) 一厂( f ，“o ，“。( ( z ( f ) ) ，( z h 。) o ) ，( s “。) o ) ) 甜：( m 一致有界，故 “。( f ) ) 一致有界等度连续由她e l a a s c o l i 定理和( 3 6 ) 式知， 扰。( f ) ) 在j 上一致收敛同理 屹( ，) ) 在j 上也一致收敛 令1 i m o ) = 甜p ) ，l i m ( f ) = v p ) 显然，甜+ ，v ，】并且( 4 9 ) 式成立 此外，由( 3 5 ) 式、( 3 6 ) 式和定理3 2 2 有 2 乏 ( f ) = ig ( f ，巩( s ，- i ，l ( 口( f ) ) ，( 巩一i ) ( s ) ，( 砜一1 ) ( j ) ) + 胁川( s ) 一( 矽( 甜。一一，) ) ( 5 ) 出 i + 万一1 【( 口f + 6 ) 毛+ ( c ( 2 万一f ) + d ) - 2 乏 心( f ) = ig ( r ，s ) 【 ，一，k l ( 甜( ，”，( 7 k 一，) ( s ) ，( s k 一，) ( 5 ) ) + 朋n l ( s ) 一( 矽( 一心一。) ) ( s ) ( 如 j + 万- 1 ( 讲+ 6 ) 盔+ ( c ( 2 万一，) + d ) 】 取极限，2j ，得到 站( f ) = g ( f ，s ) 【厂( s ，“，“ ( ，) ) ，( 砌) ( s ) ，( 勋+ ) ( s ) ) + 胁( s ) 】出， 0 + 万一1 ( 口f + 6 ) 毛+ ( c ( 2 7 一f ) + d ) 】 2 庀 v ( f ) = f g ( f ，s ) 【厂( s ，v ，v ( 口( f ) ) ，( n ) ( s ) ，( 跏) ( 5 ) ) + a 如( s ) 】凼， 6 + 万1 ( 口，+ 6 ) 向+ ( c ( 2 万一，) + d ) 】 对上式求导知“，v 4 【，v o 是方程( 3 1 ) 式的解接下来证明 z f ，v 分别是方程( 3 1 ) 式的最小解和最大解 事实上，假设缈阻。，v 0 1 也为方程( 3 一1 ) 式的解，即 f 一国”( f ) = 厂( ，缈，国( 口( f ) ) ，( 7 1 缈) ( f ) ，( s 缈) ( ，) ) ， i 口国( o ) 一6 国( o ) = 岛，c 甜( 2 万) + d 国7 ( 2 万) = 岛，f = o ，2 万】 利用( 3 4 ) 式、( 3 5 ) 式、条件乩和引理3 2 1 容易证明 ”。缈v 。，玎= 1 ，2 ，3 ，当，2j 时，有“缈v ，即，“，分别是方程( 3 1 ) 的最大解 1 6 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 和最小解主要定理证明完毕 1 7 第四章二二阶混合型积微分方程的周期边值问题 第四章二阶混合型积微分方程的周期边值问题 4 1 不含“7 项的二阶混合型积微分方程 4 1 1 引言 这部分在文【2 5 - 3 1j 的基础上主要研究二阶混合型积微分方程 卜”( ) = 儿，型口( 掣死) ( ) ，( 砌) ( ) ) ， ( 4 - 1 1 ) 【甜( o ) = “( 1 ) ，“7 ( o ) = 甜( 1 ) ，f ，= o ，1 】； 、7 的周期边佰问题 芦( ，)l 此处( 砌) ( f ) = 尼( f ，s ) “( 厂( s ) ) 出，( 鼽) ( f ) = 弘( r ，s ) 甜( 艿( s ) ) 凼口，y ，万c ( j ，j ) oo 且口o ) f ，( f ) f ，厂( f ) f ，j ( f ) f ，七c ( d ，r + ) ， j i z ( r ，5 ) c ( ，j ，r + ) ，d = ( 5 ，f ) ，；0 s ( f ) ，f j ) 4 1 2 引理及让明 引理4 1 2 1 ( 比较定理) 若下面条件成立 n 1 m 吣巩圳，等等p 凼+ 铷。 h ：p = m a x j m + l v + k 弘p ，f ) d r + p 驴，f ) d z - 】融， ll，l j f 且m + + kp ( ，f ) d f + 上p ( ，f ) d f 】办出) 1 ) 并且眦2 蹦足 裟篙鬟磁舴， p ( f )l 其中，( 矽p ) o ) 三人矽( 口o ) ) + k 七( f ，5 ) p ( y ( s ) ) 出+ ，办( f ，s ) p ( 万( s ) ) 出， 00 贝0 p ( ，) 0 ，v ， 证明：反证法，假设结论不成立，有下面两种情形： 情形1 ，若p ( r ) o ，p ( f ) o 此时，矿( f ) 0 ，则p ( f ) 为减函数，又p ( o ) p ( i ) 故p ( f ) 为 常函数，p ( f ) 为一次函数又p ( o ) = p ( 1 ) 则p ( f ) 三c 0 ，l 因此一p ”( f ) + c m + + k 卜( ，s ) 凼+ p ( f ，s ) 出】 o ，p ( ，2 ) o ， 1 8 中国石油大学( 华东) 硕上学位论文 p ( 言z ) = i 静p ( f ) o - 由边界条件知品，受不能同时取道端点 不妨设岛( 0 ，1 ) ，有p ( 色) = o 情形2 1 若邑( o ，卣) 则 f1 p ”( f ) m + + 足- f 尼( f ，s ) 凼+ 厶u ，j ) 出】p ( 卣) ，f ， 对上式从受到s 积分，有 jf 1 p o ) = p 7 ( s ) 一p 7