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西南交通大学硕士学位论文第1 页 摘要 空间谱估计是阵列信号处理的一个重要分支，近年来在雷达、通信、声 纳、地震、射线天文等科技领域取得了极为广泛的应用。空间谱估计的主要 目的是利用空间多传感器所构成的阵列对空间分布信号的参数和信源位置进 行估计。近几十年来成为了阵列信号处理技术领域的一个研究热点，在理论 研究和工程实用系统中均取得了迅猛发展，在众多军事和民用领域有着极为 广阔的发展空间。 本论文着重于研究信号稀疏分解在空间谱估计中的应用。信号稀疏分解 作为一种新的信号分解与表示方法，在信号处理中有着广泛的应用，已经应 用到诸如信号压缩编码、信号识别、信号的时频分布研究等方面。本文首先 对空间谱估计的发展及研究现状作了分析，然后介绍了空间谱估计和信号稀 疏分解的基础知识。在随后的章节中，分几个方面介绍了信号稀疏分解在空 间谱估计中的应用。在第三章中，介绍了基于信号稀疏分解的频率估计方法。 提出一种基于m p 分解的频率估计算法，新算法在低信噪比情况下的性能远 远超过传统的d f t 方法。另外还讨论了一种基于时频原子实现信号时频分解 的方法，实现了对非平稳信号的时频分析，并提出了瞬时频率的估计方法。 在第四章中，介绍了信号稀疏分解在d o a 估计中的应用。从阵列信号的稀疏 分解入手，通过建立适当的过完备原子库，将阵列信号自适应的分解到各个 导向矢量张成的子空间上，实现了空域信号d o a 的超分辨估计。提出一种基 于m p 分解的d o a 估计方法，计算机仿真证实新算法在低信噪比情况下的估 计性能远远超过m u s i c 算法和e s p r i t 算法。在第五章中，介绍了基于m p 分解的信号降噪处理，提出了一种基于m p 分解的阵列信号降噪方法，并结 合m u s i c 算法实现信号d o a 估计。计算机仿真证实，经降噪处理后，算法 估计性能得到了较大的改善。 关键词阵列信号处理；稀疏分解；波达方向估计；频率估计；降噪 西南交通大学硕士学位论文第1 i 页 a b s t r a c t s p a t i a ls p e c t r u me s t i m a t i o ni s a ni m p o r t a n ta r e ai na r r a ys i g n a lp r o c e s s i n g ， w h i c hi sw i d e l yu s e di nr a d a r , c o m m u n i c a t i o n , s 咖r e a r t h q u a k e ，c h r o n o m e t e ra n d o t h e ra s p e c t so fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y t h em a i np u r p o s eo fs p a t i a ls p e c t r u m e s t i m a t i o ni st oe s t i m a t et h ep a r a m e t e r sa n ds o u r c eb e a r i n go fs p a t i a ls i g n a l su s i n g s p a t i a l l yd i s p l a c e ds e n s o ra r r a y s i th a sb e c o m eah o t s p o ti nt h ef i e l do fa r r a y s i g n a lp r o c e s s i n g ，a n dh a so b t a i n e dr a p i dd e v e l o p m e n ti nb o t ht h e o r e t i c a lr e s e a r c h a n de n g i n e e r i n gp r a c t i c e ，a n dw i d ed e v e l o p m e n ts p a c ei nm a n ym i l i t a r ya n dc i v i l d o m a i n s t h i st h e s i sf o c u s e so na p p l i c a t i o no fs i g n a ls p a r s ed e c o m p o s i t i o ni ns p a t i a l s p e c t r u me s t i m a t i o n a sa n e wa p p r o a c ho fs i g n a ld e c o m p o s i t i o na n de x p r e s s i o n ， s i g n a ls p a r s ed e c o m p o s i t i o nh a sb e e nw i d e l yu s e di nm a n yf i e l d so fs i g n a l p r o c e s s i n gi n c l u d i n gs i g n a lc o m p r e s s i o na n dc o d i n g ，s i g n a li d e n t i f i c a t i o n ，s i g n a l t i m e f r e q u e n c yd i s t r i b u t i o n , e t c f i r s to fa l l ，t h i st h e s i sa n a l y s e st h ed e v e l o p m e n t a n dr e s e a r c hs t a t u so fs p a t i a l s p e c t r u me s t i m a t i o n ，t h e n i n t r o d u c e sb a s i c k n o w l e d g eo fs p a t i a ls p e c t r u me s t i m a t i o na n ds i g n a ls p a r s ed e c o m p o s i t i o n i nt h e f o l l o w i n gc h a p t e r sa p p l i c a t i o n so fs i g n a ls p a r s ed e c o m p o s i t i o ni ns p a t i a ls p e c t m m e s t i m a t i o na r ei n t r o d u c e dr e s p e c t i v e l y i nt h el l l i r dc h a p t e r , am e a s u r eo f f r e q u e n c y e s t i m a t i o nb a s e do ns i g n a ls p a r s ed e c o m p o s i t i o ni si n t r o d u c e d af r e q u e n c y e s t i m a t i o na l g o r i t h mb a s e do nm pd e c o m p o s i t i o ni sb r o u g h tf o r w a r d , a n dt h e p e r f o r m a n c eo f n e wa l g o r i t h mw e l lo u t p e r f o r m st h a to f t r a d i t i o nd f ta l g o r i t h mi n l o ws n rs i t u a t i o n i na d d i t i o n ，am e t h o do fs i g n a lt i m e f r e q u e n c yd e c o m p o s i t i o n b a s e do ns p a r s e d e c o m p o s i t i o n w i t ht i m e f r e q u e n c ya t o mi sd i s c u s s e da n d t i m e f r e q u e n c ya n a l y s i so fn o n s t a t i o n a r ys i g n a li so b t a i n e d m o r e o v e r , an e w m e t h o do fi n s t a n t a n e o u sf r e q u e n c ye s t i m a t i o ni sp r o p o s e d c h a p t e rf o u rp r e s e n t s a p p l i c a t i o no f s i g n a ls p a r s ed e c o m p o s i t i o ni nd o ae s t i m a t i o n i ts t a r t sw i t hs p a r s e d e c o m p o s i t i o no fa r r a ys i g n a l ，e s t a b l i s h e sp r o p e ro v e r - c o m p l e t e da t o md i c t i o n a r y , d e c o m p o s e sa r r a ys i g n a la d a p t i v e l y o ns u b s p a c e so fe a c hd i r e c t i o n ，a n d i m p l e m e n t sh i g h r e s o l u t i o ne s t m a t i o no fd o a an e wa l g o r i t h mo fd o a e s t i m a t i o nb a s e do nm pd e c o m p o s i t i o ni sp r o p o s e d , a n ds i m u l a t i o np r o v e st h e 西南交通大学硕士学位论文第1 i i 页 p e r f o r m a n c ei sm u c hb e t t e rt h a nt h a to fm u s i ca n de s p r i ta l g o r i t h m si nl o w s n rs i t u a t i o n i nt h ef i f t hc h a p t e r , s i g n a ld e - n o i s ep r o c e s s i n gb a s e do nm p d e c o m p o s i t i o ni si n t r o d u c e d a na r r a ys i g n a l d e n o i s em e t h o db a s e do nm p d e c o m p o s i t i o ni sp r o p o s e d , a n dan o v e li m p r o v e dm u s i ca l g o r i t h mb ya r r a y s i g n a ld e - n o i s ei si m p l e m e n t e di nl o ws n rs i t u a t i o n s i m u l a t i o ns h o w st h a tt h e p e r f o r m a n c eo f a l g o r i t h mw i t hd e - n o i s ep r o c e s s i n gi sw e l li m p r o v e d k e yw o r d sa r r a ys i g n a lp r o c e s s i n g ；s p a r s ed e c o m p o s i t i o n ；d o ae s t i m a t i o n ； f r e q u e n c ye s t i m a t i o n ；d e n o i s e 西南交通大学硕士学位论文第1 页 第一章绪论弟一早三百下匕 1 1 论文研究背景及实际意义 空间谱估计是阵列信号处理的一个重要分支，近年来在雷达、通信、声 纳、地震、射线天文等科技领域取得了极为广泛的应用。阵列信号处理是通 过设置在空间不同方位的传感器阵列对空间分布的信号场进行接收，并利用 信号的空域特征来增强期望信号的强度，抑制干扰、噪声以及其他不感兴趣 的信息以及有效提取所接收信号的特征参数。阵列信号处理的两个主要研究 方向是自适应空域滤波和空间谱估计“。 空间谱估计的主要目的是利用空间多传感器所构成的阵列对空间分布信 号的参数和信源位置进行估计。由于空间谱估计技术具备对感兴趣的空间信 号的多种参数进行精确估计的能力，满足了雷达、声纳、通信等领域的基本 需要，因此近几十年来成为了阵列信号处理技术领域的一个研究热点，在理 论研究和工程实用系统中均取得了迅猛发展，在众多军事和民用领域有着极 为广阔的发展空间“。 从上世纪6 0 年代开始，空间谱估计方法层出不穷，研究者从不同角度、 不同思想提出了空间谱的分析方法。s c h m i d t 和r o y 等人于1 9 8 6 年分别提出 了基于子空间分析的多重信号分类算法。1 ( m u s i c ) 和旋转参量子空间不变 法( e s p r i t ) 算法”1 。子空间分析方法的出现给阵列信号处理技术带来了飞 跃。现在的超分辨空间谱估计技术研究往往围绕着这两种算法展开，提出 了许多改进的算法或应用于各种特殊信号环境下的算法。随着现代信号处 理理论的发展，基于高阶累积量”1 、小波分析。1 、神经网络。1 的空间谱估计 方法也被提出。目前应用最广泛的子空间分析方法及小波分析方法等大多 是基于信号的正交分解，将阵列信号正交投影到完备的子空间上。但是由 于信号的正交分解将信号分解为在各个正交基函数上投影分量的加权和， 故存在诸如基函数系的正交性、完备性保证及信号的固有最小分辨率等诸 多的限制。 正是由于基于正交分析的信号处理方法存在以上诸多限制，近年来信 西南交通大学硕士学位论文第2 页 号的非正交分解引起人们越来越多的研究兴趣。m a l l a t 和z h a n g 首先于 1 9 9 3 年提出了信号在过完备原子库( o v e r - c o m p l e t ed i c t i o n a r yo f a t o m s ) 上分 解的思想n m 。通过信号在过完备库上的分解，用来表示信号的基函数可以自 适应地根据信号本身的特点灵活选取。分解的结果可以得到信号非常简洁的 表达( 即稀疏表示s p a r s er e p r e s e n t a t i o n ) 。而得到信号稀疏表示的过程称为信 号的稀疏分解( s p a r s ed e c o m p o s i t i o n ) 。由于信号稀疏表示的优良特性，信号 稀疏表示已经被应用到信号处理的许多方面，如信号去噪“”、信号编码“”1 、 信号识别“”和信号的时频分析“”等。 现代信号处理理论越来越多的应用到空间谱估计研究中，信号稀疏分 解作为一种新出现的信号分析思想，已经在诸多应用领域体现出其优势。 信号稀疏分解思想突破了目前空间谱分析中基于正交分解的诸多限制。利 用信号稀疏表示的优良特性，以及分解过程中原子参数的自适应匹配特性， 可以极大提高空间谱估计的分辨率以及在低信噪比环境下的算法估计性 能。研究信号稀疏分解在空间谱估计中的应用，有着重要的现实意义。 基于上述分析，本文致力于将信号稀疏分解的思想引入到阵列信号处 理领域中，建立过完备基函数系。理论上可以根据阵列信号的特点，通过 自适应调整过完备库的原子向量参数设置，将阵列接收信号投影到任意逼 近期望信号的基函数上，从而实现了阵列信号的稀疏表达，并进而实现空 间谱的超分辨估计。 1 2 国内外研究现状 从上世纪6 0 年代开始，很多空间谱估计方法被提出，最早的基于阵列的 d o a 估计算法是b a r t l e t t 波束形成法。这类方法将传统时域傅立叶谱分析的 方法扩展到空域分析中，以空域各阵元接收的数据替代频谱分析中的时域数 据从而完成分析。在此方法中角度分辨能力受阵列的物理孔径的限制。如何 突破阵列孔径的限制一度成为空间谱估计研究领域的主要方向。 进入7 0 年代，一些研究者将非线性参数估计方法推广到空间谱估计领 域，产生了高分辨谱估计方法。如c a p o n 提出的最小方差法“、b u r g 提出的 最大熵谱估计法“”等。1 9 8 6 年，s c h m i d t 和r o y 等人分别提出了基于子空间 分析的m u s i c 和e s p r i t 算法州。这类方法通过对阵列接收数据进行特征 西南交通大学硕士学位论文第3 页 分解，将阵列信号划分两个子空间，即将阵列信号分别投影到与信号阵列流 型一致的信号子空间和与信号子空间正交的噪声子空间上。利用两个子空间 的正交特性构造空间谱，从而得到高分辨率的空间谱估计。子空间分析方法 的出现给阵列信号处理技术带来了飞跃。现在的超分辨空间谱估计技术研究 往往围绕着这两种算法展开，提出了许多改进的算法或应用于各种特殊信 号环境下的算法，如r o o t m u s i c 算法“”、解相干m u s i c 算法“”、基于矩 阵束的e s p r i t 算法啪3 等。8 0 年代后期，又出现了一类子空间拟合算法， 其中比较有代表性的是：最大似然法( m l ) 算法。“、加权子空间拟合( w s f ) 算法脚矧以及多维m u s i c 算法等。这类算法相比于子空间类算法估计性能 有了很大提高，在低信噪比环境和小快拍数的情况下优势更为明显，但这 类算法同时具有运算量大的缺陷。 信号稀疏分解的思想始于1 9 9 3 年，m a l l a t 和z h a n g 首次提出了应用过完 备冗余原予库对信号进行稀疏分解的思想，并引入了匹配跟踪( m a t c h i n g p u r s u i t ，m p ) 算法。在文献 1 0 中，作者详细分析了过完备冗余原子库对信 号表示的必要性，同时强调原子库的构成应较好的符合信号本身固有的特性， 以实现m p 算法的自适应分解。由于信号稀疏表示的优良特性，信号稀疏表 示已经被应用到信号处理的许多方面，如信号去噪、信号编码、信号识别和 信号时频分析等。 将信号稀疏分解应用到空间谱估计中是一个全新的课题，k a m b u l u t 和 k u r t 在文献 2 4 中提出了一种基于m p 分解的波达方向角估计算法。文中作 者描述了阵列信号在导向索引矢量张成的空间上的自适应投影分解过程，用 m p 算法结合原子参数特性得到了波达方向( d i r e c t i o n o f a r r i v a l ，d o a ) 的超 分辨估计。大量的仿真数据显示，基于信号稀疏分解的波达方向估计算法的 性能在低信噪声比的情况下极大的优于传统的子空间算法。此后，又有些关 于算法改进o “删和在特定信号环境下的算法实现啪，的研究公布。信号稀疏分 解在空间谱估计中的应用是一个新的方向，很多问题都亟待进一步的研究， 诸如算法的复杂度、过完备原子库的建立、基于m p 分解的自适应时频分析 在非平稳信号空间谱估计中的应用、空域信号特征参数的联合估计等。 西南交通大学硕士学位论文第4 页 1 3 本文的主要工作和内容安排 本文研究了信号稀疏分解在空间谱估计中的应用，利用空间信号的稀 疏表达特性以及过完备原子库中原子参数根据期望信号特性自适应匹配的 特性实现了对空域信号特征参数的超分辨估计。最后一部分还探讨了基于 m p 分解的阵列信号降噪方法，并将此方法结合到传统的d o a 估计方法中， 提高了d o a 估计性能。 本文的主要创新之处如下： 1 ) 提出了一种基于阵列信号m p 分解的d o a 估计算法，该算法利用 每次迭代中原子矩阵和阵列信号矩阵的欧几里德距离作为收敛条件。仿真 显示，在低信噪比环境下，新算法性能远远超过m u s i c 算法和e s p r i t 算 法，且新的估计方法可以直接应用于相干信号的d o a 估计中。 2 ) 提出了一种基于信号m p 分解的一维信号频率估计方法。选取离散 余弦包建立过完备原子库，对信号进行稀疏分解。根据迭代约束条件得到 逼近信号特性的原子，并通过原子的参数特性完成信号的频率成分估计。 该算法基于信号稀疏逼近的全局优化，突破了传统离散傅立叶分析( d f t ) 中存在的最小分辨率问题，且新算法在低信噪比情况下的估计性能远远超过 传统的d f t 估计方法。 3 ) 讨论和分析了基于m p 分解的自适应时频分析方法，利用g a b o r 函 数构造原子库，进行自适应时频变换，并由此得到信号能量的时频分布。 与w i g n e r - v i l l e 分布相比，基于m p 分解的时频分析方法避免了交叉项干 扰。本文结合理论分析，通过g a b o r 原子的自适应时频特性实现了线性调 频信号的时频分析，并给出了瞬时频率估计的方法。 4 ) 提出了一种基于m p 分解的阵列信号降噪处理方法，结合一般的 m u s i c 算法完成d o a 估计，改善了估计性能。文中对基于m p 分解的信 号降噪进行分析，讨论了迭代过程中的收敛条件，给出了阂值确定的理论 分析，并将此降噪算法应用到阵列信号中，完成了阵列输出信号的降噪， 结合m u s i c 算法完成了d o a 估计，仿真显示，低信噪比情况下算法估计 性能得到明显增强。 本文的内容安排如下： 第二章对空间谱估计及信号稀疏分解的基础知识进行了概述。第一节介 西南交通大学硕士学位论文第5 页 绍了空间谱估计的基本概念，给出了阵列信号的数学模型，简要描述了几种 传统的d o a 估计方法，并对各自优缺点进行了分析。第二节介绍了信号稀疏 分解的基本原理，并对目前常用的几种信号稀疏分解算法进行了分析和描述。 本章是以下各章的基础。 第三章首先对传统的频率估计算法进行了对比和分析，然后分析了信号 稀疏分解在频率估计中的应用原理，提出了一种基于m p 分解的频率估计方 法。本章最后一节分析了通过信号m p 分解进行时频分析的方法，提出了基 于m p 分解的瞬时频率估计算法，并结合仿真对算法进行了性能分析。 第四章介绍了信号稀疏分解在d o a 估计中的应用，提出了一种基于m p 分解的d o a 估计方法，第二节详细介绍了新算法的实现过程，利用每次迭 代中原子矩阵和阵列信号矩阵的欧几里德距离作为收敛条件，在低信噪比 和小快拍数的情况下得到信号波达方向的超分辨估计。 第五章首先讨论了m p 分解在信号降噪中的应用，从理论的角度分析了 通过m p 分解进行信号降噪的实现过程，并详细分析了降噪过程中迭代收敛 条件的确立。第二节讨论了基于m p 分解的降噪方法在阵列信号中的应用， 通过m p 分解对阵列接收信号进行降噪，然后结合一般的m u s i c 算法实现 d o a 估计，极大的提高了算法的估计性能。 论文的最后是结论与展望，对本文的主要工作进行了总结，并结合本人 在学习和论文写作整个过程中的体会，提出了对下一步工作的展望。 西南交通大学硕士学位论文第6 页 第二章空间谱估计及信号稀疏分解概述 2 1 空间谱估计的基本原理 空间谱估计是利用空间阵列实现空间信号特征参数估计的技术。由于其 优越的空域参数( 如信号波达方向，d o a ) 估计性能，引起了人们越来越多 的研究兴趣，并在很多领域得到了广泛的应用。空间谱估计技术是阵列信号 处理的重要组成部分，其基本理论都是基于阵列信号处理的基础知识。本节 中我们从阵列信号模型入手，介绍了信号d o a 估计实现的基本原理，并对基 本的几种d o a 估计算法进行介绍。 2 1 1 阵列信号模型 考察在空间分布的d 个远场窄带信号源。为简化说明，我们利用一个m 阵元的均匀线性阵列天线( 如图2 - 1 所示) 对这些信号进行接收。窄带信号 源可以用如下的复包络形式来表示： s 0 ) = “0 k ，( 州+ 9 ) ( 2 - 1 ) 式中，“( f ) 是接收信号的幅度，妒o ) 是接收信号的相位，是接收信号 的中心频率。 l2 m 图2 - 1阵列天线结构 用上述均匀线性阵列进行接收，两个相邻阵元子间隔为d ，因电波传播 延迟f ，两个相邻阵元间接收的第i 个信号可以分别表示为： 西南交通大学硕士学位论文第7 页 量( f ) = 虬( f k ，( 哪啊，) ) j ，( f f ) = 甜，( f f k 7 ( 嘞( 一7 卜神一7 ”( 2 - 2 ) 只考虑窄带信号源的情况下，有： “，p 一力z “，( d 仍o f ) z 昵( f )( 2 - 3 ) 由式( 2 2 ) 和式( 2 3 ) 可知， ( f f ) = “，( ，k - f + 如岛t o 叫埘0 7 ( 2 - 4 ) 由图2 - i 所示阵列天线结构易知，信号波达方向只与传播时延f 间存在关系： f ；d s i n o , ( 2 - 5 ) f = 一 c 引起的相位差为以，则有： j 1 0 = 2 u n 只 ( 2 6 ) 几 式中，d 为相邻阵元子间隔，五为信号波长，c 电波在自由空间传播速度。 以第一个阵元为参考阵元，可以得到第，个阵元接收信号为： d x t ( f ) = 吼j ，( f - ) + 一( f ) ，= 1 , 2 ，3 ，m ( 2 - 7 ) i = l 式中，“为第，个阵元对第i 个信号的接收增益，以) 表示第，个阵元在t 时刻 的噪声，表示第i 个信号到达第，个阵元时相对于参考阵元的时延。 将特定时刻阵列的接收信号写成矢量形式有： 而( f ) 而( f ) ： ( f ) 岛1 呐q 2 岍2q 1 岍。 吃l f ”4 1屹一岷f 咖锄 ； ；i； q 矗懈”a o 懈m a 矗删“ t 与 啊 is d t ) i 。f 他 卜 s o 刨h ( 2 - 8 ) 对于各向同性的理想阵元子，我们归一化阵元接收增益，式( 2 8 ) 可写为： 西南交通大学硕士学位论文第8 页 而 而( f ) ： 如( f ) e x p ( 讥弓1 ) e x p ( 讥五2 ) ：lc x p 哆毛) c x p 哆) b x p 1 6 ) e x p ( - - j w r m )懂 ( 2 9 ) 简单写成矢量形式如下： x i t ) - a s t + n t t l q l o ) 式中，朋 为阵列接收信号的m 1 维数据快拍矢量，一为阵列信号的m x d 维导向矢量矩阵，吖f j 为空间分布的d 个窄带信号源的d x l 维数据矩阵， l v ( t ) 为阵列的m x l 维噪声数据矢量。 上式( 2 - l o ) 中的阵列导向矢量即为： a = i 口l ( 棚o ) 口2 ( 翻o ) 口d ( 翻o ) j ( 2 - 1 1 ) 对于第i 个信号我们可以得到其导向矢量为： 4 。( c o o ) = e x p ( - j a o f l ) e x p 鳓乃。) e x p ( - j o j o r 埘, ) i = 1 , 2 ，3 ，d ( 2 1 2 ) 式中，气为第f 个信号到达第k 个阵元时的传播延迟。由式( 2 5 ) 易知： ：( k - 1 ) d s i n o , ( 2 - 1 3 )“一 c 由上面的阵列信号模型，显然可知，只要有阵列信号的导向矢量，进而 得到传播时延，然后根据式( 2 一1 3 ) ，就可以得到对信号的波达方向角度的 估计乜7 1 。 2 1 ，2 基本的i ) 0 a 估计算法 基于阵列的d o a 估计方法大致可以分为四大类：传统法、子空间法、最 大似然法以及将特性恢复和子空间法结合起来的综合法。传统法，基于经典 波束形成方法，需要大量的阵元才能获得高分辨率。子空间法利用数据矩阵 的特征结构，是高分辨率的次最优方法。最大似然方法是最优方案，即使在 西南交通大学硕士学位论文第9 页 信嗓比很低的环境下也能获得很好的性能，缺陷是计算量过大。综合法是一 种新的方法，它利用特性恢复方案区分多个信号，估计空间特性，进而采用 子空间法对波达方向进行估计。 下面我们对基本的几种d o a 估计算法汹1 进行介绍。 1 、延迟相加法 延迟一相加法，又称为经典波束形成器法或傅立叶法。空间窄带信号的 阵列接收输出信号j ，( | i ) 是传感器阵元输出的线性加权之和，即 j ，( 七) = w “x ( k )( 2 1 4 ) 则总的输出功率可以表示为： p = e o j ，( 后1 2 = e o w “x ( i 1 2 】= ”研x ”( 后) x ( 七) 】，= - ，“r 。， ( 2 1 5 ) 上式中，曰。是阵列输入数据式( 2 - 1 4 ) 所示的自相关矩阵。它包含了阵列响 应矢量和信号自身的有用信息，由胄。可以估计得到信号的参数。 考察一个以角度妒入射到阵列上的信号s ( i ) ，考虑噪声成分后可得信号 的表达式： x ( 七) = 口( 妒) s ( i ) + 弗( 七) ( 2 - 1 6 ) 将式( 2 1 4 ) 代入式( 2 - 1 5 ) 可得波束形成器的输出功率： p = e 1 w ”工( 后1 2 】= e 4 ，“( 4 ( ) s ( _ i ) + 开( i ) 1 2 】 = 妒4 ( 硝( 一+ 拜) ( 2 1 7 ) a ( 妒) = 吒( 妒) ，a ：( 力，吼( 彩】是阵列方向矩阵，即所谓的阵列流型，在其中 包含了信号的方向信息。n ( k ) 是阵列输出端的噪声向量，吒= 研j ( 后) 2 】和 吒= 研甩( | | ) 2 分别是信号和噪声的功率。从式( 2 一1 7 ) 可知，当口( ) = w 时， 阵元处读入信号的相位对齐，达到了最大合并，得到了最大输出功率。我们 将波束离散地在感兴趣的区域内进行扫描，对不同的矿形成不同的权值 w = a ( 妒) ，并测量输出功率。由式( 2 一1 7 ) 可得，输出功率与波达方向的关系： p ( 妒) = ”j k ，= 4 “( 妒) 足。口( 妒) ( 2 1 8 ) 因此，如果对输入信号样本的自相关矩阵进行估计，就能得到输出功率关于 西南交通大学硕士学位论文第1 0 页 波达方向角矿的函数。输出功率关于波达角的函数即为通常所讲的空间谱。 2 、c a p o n 最小方差法 c a p o n 最小方差法是对延迟一相加法的改进。延迟一相加法在空间所有 感兴趣的方向上进行扫描以得到期望信号的功率输出最大值以得到估计值， 当在多个信源的情况下进行估计时，阵列输出功率受到来自其他方向非期望 信号的影响，使分辨率下降。c a p o n 最小方差法对此加以改进，在部分期望 方向上形成一个波束，同时利用剩余的自由度在其他方向上对非期望信号形 成零陷，使得输出功率最小，达到非期望于扰信号对输出功率贡献最小的目 的，同时对观测方向上的增益保持为1 ，即： m i n 0 y ( | ) n = r a i n w ”r 。 ， 约束条件：w “口( 妒) = l ( 2 1 9 ) 利用拉格朗日乘子，可以证明式( 2 一1 4 ) 中权值的向量解为： 一撼 4 “( 妒) 胄二4 ( 妒) 、 利用c a p o n 波束形成方法，阵列输出功率关于波达方向的函数可由c a p o n 空 间谱得到： 删卜再蔬丽 g 。2 1 ) 由上式，即可得到全部范围上的空间谱，通过寻找谱上的峰值可以估计出d o a 。 3 、多重信号分类法( m u s i c ) 窄带远场信号的阵列接收数据模型为： 工0 ) = 爿p b o ) + n ( t ) ( 2 2 2 ) 阵列数据的协方差矩阵为； r 。= e x x “】 = a e s s ”1 a “+ 盯2 i =ar嚣a”+盯2(2-23) 由于信号与噪声相互独立，数据协方差矩阵可分解为与信号、噪声相关的两 部分，其中置。是信号协方差矩阵，a r 。a ”是信号部分。 西南交通大学硕士学位论文第1 1 页 式中，玑是由大特征值对应的特征矢量张成的子空间也即信号子空间t 而0 是由小特征值对应的特征矢量张成的子空间也即噪声子空间。 理想条件下，数据空间中的信号子空间与噪声子空间是相互正交的，故 信号子空间中的导向矢量也与噪声子空间正交，即： 4 “( 印= 0 ( 2 - 2 5 ) 经典的m u s i c 算法正是基于上述这个性质提出的，但考虑到实际接收数据矩 阵是有限长的，即数据协方差矩阵的最大似然估计为： r = 研魁“】( 2 2 6 ) 对应进行特征分解可以计算得到噪声子空间特征矢量矩阵疗，。由于噪声的 存在，4 “( 研和u 。并不能完全正交，也就是说式( 2 2 5 ) 中的等号并不能成立， 但在实际中，等号左边部分可以取到极小值。 基于以上的分析，建立m u s i c 算法的谱估计公式为： 1 p m c2 万两蒜( 2 - 2 7 ) 通过对公式( 2 - 2 7 ) 的值进行最大优化搜索，上述谱公式的谱峰即对应信号的 波达方向，d o a 估计可由下式得到： b s l c = a r g m i n a “( 口) 疗础4 ( 功 ( 2 - 2 8 ) 4 、旋转不变子空间算法( e s p r 盯) e s p r i t 算法建立在存在两个完全相同的子阵的基础上，且两个子阵的间 距已知为d 。由于两个子阵的结构完全相同，则对于d 个信号而言，两个子 阵的输出只存在一个相位差仍，利用矩阵和向量表示，两个子阵上的接收信 号向量可以写作： x o l t = a s t ) + n o t ) x l 以j = a o s ( t ) + n l r ( 2 2 9 ) 式中，中是d x d 的对角矩阵，对角线元素代表子阵间对d 个信号的相位延 q 之 0碟 + 碟s 氰 解 = 分置 征特 行进 足对 西南交通大学硕士学位论文第1 2 页 迟，由下式给出： m = d i a g ( e 一7 咿，e 1 叩，e j 嘞7 ) 将两个子阵的模型进行合并即 x = 阱褂凇+ 对式( 2 - 3 1 ) 给出的阵列数据的协方差矩阵进行特征值分解， 到类似于式( 2 - 2 4 ) 的形式： ( 2 - 3 0 ) ( 2 - 3 1 ) 同样可以得 r = u s sc ，；+ u ，暑 ( 2 3 2 ) 式中，特征值分解中大特征矢量张成的信号子空间与阵列流型张成的信号子 空间是相等的，即： s p a n u j ) = 印鲫伍( 口) )( 2 3 3 ) 此时，存在一个唯一的非奇异矩阵r ，使得： 嘲r = 讲= 。u s , 式中，和分别为两个子阵的大特征值矢量张成的信号子空问。显然， 、和阵列流型a 张成的子空间相等，即： # p 鲫帆- - - - 8 p a l t t f s tj = 印册臼( 口) ) ( 2 3 5 ) 由两个子阵阵列流型a 。和a 。的关系：a 1 = a 。中，以及式( 2 3 4 ) g n i g 个子 阵信号子空间的关系如下： = u s o t l 西r = 甲 ( 2 3 6 ) 式( 2 3 6 ) 反映了两个子阵之间信号子空间的旋转不变性。 如果阵列流型a 是满秩矩阵，则由式( 2 3 6 ) 可以得到： 中= 卅r 一1 ( 2 3 7 ) 故式( 2 3 7 ) 中甲的特征值组成的对角阵一定等于m ，而矩阵r 的各列就是矩 阵甲的特征矢量。所以通过得到旋转不变关系矩阵甲，就可以由式( 2 3 0 ) 得 到信号的波达方向估计。 西南交通大学硕士学位论文第1 3 页 2 2 信号稀疏分解基本原理 过完备信号稀疏表示方法肇始于上世纪九十年代，1 9 9 3 年s m a l l a t 和z z h a n g 首次提出了应用过完备冗余原子库对信号进行稀疏分解的思想，并引 入了匹配追踪( m a r c h i n gp u r s u i t , m p ) 算法。传统的信号表示理论基于正交线 性变换的思想，由于基函数的正交性和完备性限制使得在这种信号表示方法 在信号分析的诸多方面存在缺陷。诸如，基函数的正交性使得最小分辨率的 存在，以及单一的基函数在多信号成份分析中存在劣势。 在众多信号处理的应用中，都希望找到一种稀疏的数据表示。用稀疏逼 近取代原始信号数据表示可以从实质上降低信号处理的成本，提高压缩效率。 最近几年，在信号稀疏表示方面的研究有了很大进展。 2 2 1 稀疏分解基础知识 稀疏分解理论的基本思想就是：基函数用称之为原子库的过完备的冗 余函数系统取代，原子库的选择尽可能好的符合被逼近的信号的结构，其构 成可以没有任何限制，原子库中的元素被称为原子。从原子库中找到具有最 佳线性组合的肌项原子来表示一个信号，被称作是信号的稀疏逼近( s p a r s e a p p r o x i m a t i o n ) 或高度非线性逼近( h i 曲l y n o n l i n e a ra p p r o x i m a t i o n ) 。 从非线性逼近的角度来讲，高度非线性逼近包含两个层面：一是根据目 标函数从一个给定的基库中挑选好的或最好的基；二是从这个好的基中拣选 最好的聊项组合。利用贪婪算法和自适应追踪从一个冗余函数系统中进行m 项逼近或阈值逼近也属此例。非线性逼近理论也给出令人信服的实例，证明 过完备系统的逼近优于已知的正交基o “。 1 、稀疏逼近的定义 稀疏逼近理论主要关注下述问题：给定一个集合d = k 。，k = 1 , 2 ，置) ， 其元素是张成整个h i l b e r t 空间h = r ”的单位矢量，k n ，我们称集合d 为 原子库，其元素为原子。对于任意给定的信号厂h ，我们可以在d 中自适 应地选取m 个原子对信号厂进行分解： 厶= c r g ， ( 2 - 3 8 ) 西南交通大学硕士学位论文第1 4 页 其中，是乳的下标集，其维数为卅。则我们可以得到由聊个原子在原予库 d 中张成的最佳子集： b = s p a n ( g t ，l )( 2 3 9 ) 我们定义逼近误差为： 吒( ，d ) = i n q l 厂一，卅i ( 2 4 0 ) 由于m 远小于空间的维数，这种逼近被称作稀疏逼近。 显然信号稀疏逼近的问题即为寻找式( 2 - 3 8 ) 的最稀疏表达形式：鉴于原 子库的冗余性k n ，矢量g ，不再是线性独立的。显然式( 2 3 8 ) 在h i l b e r t 空间有多种解答，不同原子组合所张成的子空间口构成不同的向量基。我们 在满足式( 2 4 0 ) 所示误差的前提下，从各种可能的组合中，拣选出分解系数 最为稀疏的一个，或者说脚取值为最小的一个。 2 、非相干原子库 要想在冗余原子库中获得高度非线性逼近的建设性结果，我们必须首先 将注意力集中在某些特别的原子库上。许多研究人员瞄准了非相干原子库， 也就是说相干系数小于某个常数的原子库。相干系数的定义为： = 鲫p k g j ，g 川( 2 - 4 1 ) f ，j ， 当相干系数较大时，原子间的相互关联也较强，如果= l ，则意味着原 子库中至少包含了两个一模一样的原子。反之，当相干系数较小时，我们就 称原子库是非相干的，正交基的相干系数为零。相干系数为原子库的冗余性 提供了另一种可能的测度手段。( 2 4 1 ) 式说明当充分小时，原子库d ( 虽 然可能是过完备的) 接近一个正交基。 2 2 2 信号稀疏分解算法 s m a l l a t 和z z h a n g 首次提出应用过完备冗余原子库对信号进行稀疏分 解的思想的同时，引入了匹配追踪( m a r c h i n gp u r s u i t , m p ) 算法。1 9 9 9 年， d d o n o h o 等人又提出了基追踪( b a s i sp u r s u i t , m p ) 算法。”。开辟了信号稀疏 分解方法的两个主要方向。 如何实现信号稀疏分解的快速算法，降低算法的复杂度，以及选择何种 类型的原子构造合适的原予库或级联原子库族，或者何种构造的信号适用于 西南交通大学硕士学位论文第1 5 页 哪一类原子库以获得良好的逼近等问题是稀疏分解算法研究的热点。很多相 关理论和现有算法的改进被提出。 在下面的章节中我们主要介绍基本的m p 算法和b p 算法。 l 、匹配跟踪( m p ) 算法 考虑一维信号的稀疏分解过程，采样信号长度为d ，采样信号用x ( n ) 表 示，当讨论在信号空间进行时，采样信号用工表示。d = 台，l ，为用于进行信 号稀疏分解的过完备库，g ，为由参数组y 定义的原子，用不同的方法构造原 子，参数组y 所含有的参数及参数个数也不一样。原予应作归一化处理，即 恬，0 = l 。r 为参数组，的集合。m p 方法分解信号过程如下： 首先从过完备库中选出与待分解信号x 最为匹配的原子g 。，其满足以下 条件： l = 8 u p 陋g r ) i ( 3 - 6 ) 托i 其中，g 。= c o s ( 2 须, h ) ，则这一接收信号中包含频率为五的正弦信号，由此 得到待估信号中的频率成份疋。 对分解后得到残余信号： r x = x - i x , g h ) g 靠 ( 3 - 7 ) 继续进行上述分解，通过得到的最佳匹配原子，估计出信号另外的频率成份。 分解停止的迭代收敛条件定义如下： 1 、如果接收