（机械设计及理论专业论文）ti蜗杆的三维造型和精确磨削加工方法.pdf

中文摘要 一次包络t i ( t o r o i d a li n v o l u t e ) 蜗杆传动是由渐开线斜齿轮和其共轭 齿面组成的一种蜗杆传动。国内外学者的理论研究和实验表明，t i 蜗杆传动具 有承载能力强、传动效率高等优点，是一种很有发展前途的蜗杆传动形式。由于 t i 蜗杆齿面形状的复杂性，t i 蜗杆的精确磨削加工成为推广t i 蜗杆传动的关键。 本文对t i 蜗杆传动进行了理论分析和三维造型，推导了精确磨削t i 蜗杆的 砂轮的数学模型，为解决一次包络t i 蜗杆的精确磨削提供了理论依据。具体的 工作内容如下： 推导了理想状况下一次包络t i 蜗杆传动的啮合函数、啮合方程、渐开线斜 齿轮齿面上的接触线方程、啮合面方程和t i 蜗杆的齿面方程，并得出了理想状 况下一次包络t i 蜗杆传动中的啮合界限线方程、根切界限线方程和诱导法曲率 方程。 得出一次包络t i 蜗杆传动理论中原始参数的取值范围和接触区域的边界条 件；对一次包络t i 蜗杆传动进行了数值分析，并绘出渐开线斜齿轮的齿面曲线、 瞬时接触线、啮合面曲线、t i 蜗杆的齿面曲线以及啮合界限线：根据根切界限 线方程和诱导法曲率的特点，分析了根切情况；然后分别用直接造型和间接造型 两种方法完成了t i 蜗杆的三维实体造型。 建立了砂轮磨削t i 蜗杆的空间坐标系，通过坐标变换和对参数进行处理， 推导出砂轮轴截面的廓形曲线，并通过对运动参数的分析，得出了精确磨削t i 蜗杆的方法。 关键词：t i 蜗杆环面蜗杆渐开线斜齿轮磨削加工砂轮三维造型 a b s t r a c t t h ed r i v eo f s i n g l ee n v e l o p e dt i ( t o r o i d a li n v o l u t e ) w o l q ni st h ew o r m d r i v e c o m p o s e d o fi n v o l u t eh e l i c a lg e a ra n di t sc o n j u g a t et o o t hs u r f a c e t h ea d v a n t a g e so f t h i sw o r m d r i v e ，i n c l u d i n gs t r o n g e rc a r r y i n gc a p a c i t y ，h i g h e rd r i v ee f f i c i e n c ye t c ，a r e p r o v e di nt h e o r ya n dt e s t i f i e di ne x p e r i m e n t sb yc h i n e s ea n df o r e i g ns c h o l a r s t 1 w o r l nd r i v ei sn o tw i d e l ya p p l i e di ni n d u s t r yb e c a u s et h ek e ym a n u f a c t u r et e c h n i q u e o f a c c u r a t e l yg r i n d i n gh a sn o tb e e ns o l v e dd u et ot h ec o m p l e x i t yo fi t st o o t hs u r f a c e ， a l t h o u g hi ti sc o n s i d e r e dap r o m i s i n gw o r m d r i v e f o rt h i s t y p eo fw o r m g e a rs e t ，m a t h e m a t i c a lm o d e li s d e v e l o p e d ，c o r r e l a t i v e e q u a t i o n sa r ed e r i v e d ，n u m e r i c a la n a l y s i si sd o n ea n dt h r e e d i m e n s i o n a ls i m u l a t i o ni s d r a w n ，m a t h e m a t i c a lm o d e lo fa b r a s i o nw h e e lf o rg r i n d i n gt 1w o r l ni se s t a b l i s h e dt o g u i d ep r a c t i c a la c c u r a t em a n u f a c t u r e e q u a t i o n sr e l a t e dt os i n g l ee n v e l o p e dt 1w o i t na r ed e d u c e d t h e s ee q u a t i o n s i n c l u d e m e s h i n gf u n c t i o n s ，m e s h i n ge q u a t i o n s ，c o n t a c tl i n e si nt h et o o t hf l a n ko f i n v o l u t eh e l i xg e a r , m e s h i n gf a c ee q u a t i o n sa n dt o o t hf l a n ke q u a t i o n so ft 1w o r m t h ee q u a t i o n so fm e s h i n gl i m i tl i n e s ，u n d e r c u tl i m i t l i n e sa n di n d u c e dn o r m a l c u r v a t u r ea r ed e r i v e dt o o t h er a n g eo f o r i g i np a r a m e t e r s m a dt h eb o u n d a r yc o n d i t i o n so f m e s h i n gf l a n ka r e o b t a i n e d ，a c c o r d i n gt ot h en u m e r i c a la n a l y s i s ，t h ec u r v e so fi n v o l u t eh e l i xg e a r s t o o t hf l a n k ，c o n t a c tl i n e s ，t h ec u r v e so fm a t i n gf l a n k ，t h ec u r v eo ft iw o r m st o o t h f l a n ka n dm e s h i n gl i m i tl i n e sa r ep l o t t e d t h es t a t eo fu n d e r c u ti st e s t i f i e d b yt h e c h a r a c t e r so fa n d e r c u t1 i m i tl i n e sa n di n d u c t i v en o r m a lc u r v a t u r et h et h r e e d i m e r l _ s t o n a lm o d e lo ft 1w o r m p a i ri sp i c t u r e di ns o f t w a r eb yt w om e t h o d sb a s e do n n u m e r i c a la n a l y s i sa n dt h ep r i n c i p l eo f m a c h i n i n g t h es p a c ec o o r d i n a t e ss y s t e mf o rg r i n d i n gt 1w o r mi sb u i l t b yt r a n s f o r m i n gi n t h ec o o r d i n a t e sa n dd e a l i n gw i mp a r a m e t e r s t h ee q u a t i o n so fp r o f i l ec u r v e so f a b r a s i o nw h e e la r ed e r i v e db a s e do nt h er e q u i r e m e n ti nt h e o r ya n dp r a c t i c a lp r o c e s s t h e nt h em e t h o do f g r i n d i n gt 1w o r m i sa c c u r a t e l ya t t a i n e d k e y w o r d s ：t 1 w o r m ，h o u r g l a s sw o r m ，i n v o l u t eh e l i xg e a r , g r i n d i n g ，a b r a s i o nw h e e l t h r e e d i m e n s i o n a lm o d e l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得鑫盗盘鲎或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：2 事点正签字日期：砷年，月尹r 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解墨洼盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权盘鲞盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：，一毕苏炙 签字日期口形令年，月尹日 叼 导师签名： 豸h 签字日期：2 叶年f 月7 日 f 哆 第一章绪论 第一章绪论 1 1 蜗杆传动和齿轮啮合理论的发展 蜗杆传动是机器、设备和仪器中常见的一种机械传动，属于齿轮传动的范畴。 由于它的传动速比大，结构紧凑，用途广泛，特别是随着工程应用的发展和技术 的进步，蜗杆的研究受到了很大的重视。 齿轮啮合理论是针对齿轮传动的研究发展起来的，也是蜗杆传动的理论基 础，从公元前4 0 0 2 0 0 年，中国古代使用齿轮开始，到1 8 世纪欧洲工业革命后 齿轮的广泛应用，齿轮和齿轮啮合理论的研究获得了逐步的发展。 1 1 i 典型蜗杆的发展1 2 2 0 0 0 年前的古希腊学者阿基米德发明了蜗杆传动卷扬机，在蜗杆传动方面 给人类创造了光辉业绩。 1 7 6 5 年英国人h i n d l e y 首次提出弧面蜗杆传动( h o u r g l a s sw o r mg e a r i n g ) 后，经过一百多年，到1 9 2 8 年美国人做了重大改进，逐步发展到今天，成为目 前世界著名“c o n ew o r m ”。 1 9 2 2 年美国创制成平面直齿蜗杆传动，被誉为威氏蜗杆( w i l d h a b e rw o r m ) 。 五十年代，同本人发展了此项技术，就是平面蜗杆传动( p l a n aw o r m ) 。 1 9 5 3 年西德尼曼( n i e m a n ) 教授为蜗杆传动做出重大贡献，发明了凹圆弧 齿圆柱蜗杆传动，就是现在的“c a v e xw o r m ”。 我国在1 9 7 1 年实现了一项发明，即平面二次包络环面蜗杆传动( 又称s g7 l 型蜗杆副) ，它吸收了平面蜗杆传动和“c o n ew o r m ”的优点，是用独创的专用工 具和创造性工艺制造出来的，获得了很大的成功。 1 1 2 齿轮啮合理论的发展 l a - h i r e ，p 6 n c e l l e t 和c o m u s 最先制定了平面啮合中求共轭齿廓的包络曲线 法和旋转曲线法。l e u l e r 提出了圆柱迭轮的渐开线啮合，这种啮合后来在工业 中获得了非常广泛的应用。杰出的法国几何学家t o l i v e r 和俄国学者x m r oxma h 的著作奠定了空间啮合理论的基础。t o l i v e r 提出了求共轭齿面的 普遍法包络曲线法。但是，他虽然论证了利用辅助曲面得到线接触和点接触 第一章绪论 共轭曲面的可能性，却局限于一种几何模式。这一论断后来被x m fo xma h 加以纠正。x m ，foxmah 的巨大贡献在于他建立了齿轮啮合原理的理论 基础 3 】0 在x m r 1 oxmah 之后，一些学者如中j 1 李特文 4 1 1 5 研究了齿轮 啮合的解析法，并简化成所谓的运动学法。运动学法的主要特点是：互为包络的 两齿面，在其接触点处的相对运动速度矢量7 垂直于齿面法线矢量n ，即 n v = 0 。 国内的一些学者如严志达、吴大任、骆家舜、王树人、吴序堂等 6 - 1 2 1 利用相 对微分理论研究了齿轮啮合问题，并建立了“齿轮啮合理论的数学基础”，为推 动我国啮合理论的研究起到了十分重要的作用。陈惟荣【i3 】分析了共轭曲线的奇 异点和根切界限点之间的关系。曹存昌1 14 】提出了空间螺旋啮合中啮合点和接触 点三维坐标的计算方法。 1 2 蜗杆传动的特点和分类 1 2 1 蜗杆传动的特点 蜗杆传动是用来传递两相错轴之间的运动和转矩的装置，其相错角可以为任 意值，但通常取为9 0 。螺旋线的方向可任选左旋或右旋，但蜗杆和蜗轮的螺旋 线方向必须保持相同，传统上取右旋的较多。此时蜗杆相当于个单头或多头等 导程或变导程的螺旋，与蜗杆相啮合的蜗轮相当于一个变态的斜齿轮。这样的一 对齿面已经不能够像圆柱齿轮传动副那样来获得，要获得线接触的蜗杆传动，蜗 杆必须用对偶加工法展成为蜗轮的轮齿。它具有以下特点【l 6 】： 1 运动特点：由于蜗杆齿面为连续不断的螺旋面，在传动过程中它和蜗轮 轮齿是逐渐进入啮合并逐渐脱离啮合的，所以传动平稳、冲击小、噪音低。由于 蜗杆和蜗轮的轴线是空间交错，在共轭齿面接触点处的相对运动速度总大于蜗杆 或蜗轮的圆周速度，而且在任意位置接触都不会为零，因此两共轭齿面间相对滑 动大，摩擦损耗也较大，导致摩擦热大、油温高。两共轭齿面间容易产生粘着磨 损和磨料磨损，要求齿面间有较低的粗糙度和较高的硬度，材料具有较好的减摩 和跑合性能，传动要有充分的润滑。传动兼有螺旋传动和齿轮传动的特性，目同 时啮合的齿数多。 2 可以实现较大的传动比：单级蜗杆传动在传递动力时，一般可实现的传 动比为6 8 0 ，传递运动时最大可达1 5 0 0 。由于实现的传动比大，机构中零件的 数目较少，可以得到结构紧凑、体积小、重量轻、成本低的减速机构。 3 可实现自锁：当蜗杆的螺旋升角小于共轭齿面间的当量摩擦角时，如果 蜗轮为主动件便具有自锁性。 第一章绪论 4 工艺特点：由于蜗杆传动是传递交错轴之间的运动和动力，要使两共轭 齿面间为线接触，必须采用对偶加工法展成蜗轮或蜗杆的轮齿。否则，两共轭齿 面间只能为点接触。所谓对偶加工法，是指加工蜗轮( 蜗杆) 时，刀具和毛坯的啮 合是蜗杆和蜗轮啮合过程的再现，亦即几何尺寸和运动特性两者相同。 环面蜗杆可以增加蜗杆与蜗轮同时啮合的齿数，增加瞬时接触线的总长度， 具有承载能力大、传动效率高、同样传动比时的中心距小等优点，成为研究的热 点。 1 2 2 蜗杆的分类 根据蜗杆分度曲面的形状，蜗杆传动可以分为三大类：圆柱蜗杆传动，环而 蜗杆传动和锥蜗杆传动【1 1 。 1 普通圆柱蜗杆的齿形多用成形线为直线的刀具加工而成。由于安装的方 位不同，生成的螺旋面在不同截面中齿廓曲线形状也不同，按照蜗杆齿廓曲线的 形状，圆柱蜗杆的分类如下： 厂阿基米德圆柱蜗杆( z a 蜗杆) i 圆j 法向直廓圆柱蜗杆( z n 蜗杆) 柱i 魍 把求得的( 孔，y ，气) 值代入式( 2 - 4 6 ) 的后三式，可以求得若干组数 值x ，y ，z l ，每一组数值是一个啮合点： ( 5 ) 把求出的各点依次连接成曲线，就是当吼为特定值时的一条接触线。 ( 6 ) 再给妇第二个特定的值，重复步骤1 5 ，就可得到第二条接触线，依 次类推可以求得渐开线斜齿轮轮齿左侧齿面上的一系列接触线。 ( 7 ) 把这一系列的接触线连起来就组成了一个啮合面。 按照类似的方法，可以求得右侧渐开线螺旋面在坐标系盯中的啮合面。 2 3 5t i 蜗杆的齿面方程 利用从坐标系q 到坐标系吒的坐标变换公式，把在坐标系q 中渐开线螺旋 面上的接触线方程变换到坐标系以中，即得t i 蜗杆齿面的方程式。 1 利用式( 2 2 1 ) 坐标变换矩阵m ：，将渐开线斜齿轮轮齿左侧监面上的 接触线( 式2 4 3 ) 变换到坐标系中，就可得到左侧渐开螺旋面齿面包络出的t i 蜗杆上侧齿面的方程式。 由方程译= m ，r f “，得： 第二章t i 蜗杆传动的理论分析 r = x 2 l i 2 + y 2 l j2 + 屯k 2 x 2 l = x i l c o s 妒l c o s 矿2 一乃s 1 n 妒1 c 0 8 妒2 + z i ls i n 垆2 一a c o s f 0 2 y 2 l = 一x l c o s 伊l s l n 妒2 + y i l8 1 n 妒1 s l n 妒2 + z i lc o s ( p 2 + a s i n 妒2 2 2 = - - x ! s i n 妒l y llc o s ( p 1 砘：唯c o s ( f ) z s i n ( ，) 1 2 。4 8 ) y l = 一吃s i n ( r ) + 屹c o s ( f ) z l = p 1 ( 卢一f o - o ) 2 = ( 仍，f ) 仍= i ：妒， 2 利用式( 2 2 1 ) 坐标变换矩阵m ：。，将渐开线斜齿轮轮齿右侧齿面上的 接触线( 式2 - 4 4 ) 变换到坐标系中，就可得到右侧渐开螺旋面包络出的t i 蜗杆 下侧齿面的方程式。 由方程略) = m 。：嗤1 ，得： t ：= x 2 r i 2 + y 2 r j2 + z 2 r k 2 x 2 r = x i rc o s 妒i c o s 妒2 一yj rs i n 妒1c o s p 2 + z i rs i n p 2 _ 口c o s 妒2 y 2 r = 一x l rc o s p ls i n 口a2 + y l rs i n l p ls i n 妒2 + 2 】月c o s p2 + a s i n q 2 。2 r = 一。i rs i n 妒l y l rc o s t a l x i r = c 。s ( r ) + s i n ( r ) ( 2 - 4 9 ) y l 。= 珞s i n ( r ) 一r b , u c o s ( r ) z l r = p l ( f 。+ 盯。一z ) 卢= ( 妒。，f 。) 妒2 = f 2 i p ， 3 在坐标系中上侧t i 蜗杆齿面的求解步骤： ( 1 ) 在仍的取值范围内，给仍一个特定的值，根据式( 2 4 8 ) 的最后一式 算出识的值； 。( 2 ) 在合理取值范围取内一系列的r 值，根据式( 2 4 8 ) 第七式算出一系 列对应的u 值； ( 3 ) 将求得的若干组( 肛f ) 值代入式( 2 4 8 ) 的第5 、6 、和7 式，即得若 干组( 一，咒c ，毛) 的值： ( 4 ) 把求得的( t ，y t ，z i ) 值代入式( 2 - 4 8 ) 的前三式，可以求得若干组 数值( 。，y 2 l ，z 2 。) ，每一组数值都是上侧t i 蜗杆齿面上参加啮合的点； ( 5 ) 把求出的各点依次连接成曲线，就是当仍为给定值时的上侧t i 蜗杆齿 第二章t i 蜗杆传动的理论分析 面上的一条线。 ( 6 ) 再给识第二个特定的值，重复步骤1 - 5 ，就町得到第二条接触线，依 次类推可以求得上侧t i 蜗杆齿面上一系列的线。 ( 7 ) 把这一系列的线连起来就组成了一个t i 蜗杆齿面。 按照类似的方法，可以求得下侧t i 蜗杆齿面在坐标系以中的齿面。 2 4 渐开线斜齿轮轮齿齿面上的啮合界限线 啮合界限线也称二类界限线。在渐开线斜齿轮的齿面上，并不是在任何情况 下，曲面上所有的点都能成为啮合点。曲面上能够进入啮合与不能够进入啮合的 点之间，存在着一条分界线，这条分界线就是啮合界限线。在啮合线上的点就是 啮合界限点。它既是渐开线斜齿轮齿面上接触线的包络线，又是仅参加一次啮合 的点的轨迹。由于蜗轮副所选参数不同，啮合界限线所处的位置也不同。 2 4 1 啮合界限线方程的推导【8 i 1 3 6 1 在渐开线斜齿轮轮齿齿面上的啮合界限线满足下列方程： p = r ( ，r ) jo ：0 l 中，= 0 其中中，是的导数。 或者 r o ) = r 1 ( “f ) i u 2 + y 2 ：w 2 1 渐开线斜齿轮轮齿左侧齿面上的啮合界限线： 该曲线应满足的条件是： f 一= 堆( ，r ) m = 0 f 西n = 0 r 2 5 0 ) ( 2 5 1 ) r 2 5 2 ) 第二章t i 蜗杆传动的理论分析 f 口) = ( ；r ) 【u ：+ 嘭= 昭 把式( 2 - 3 6 ) 代入方程( 2 5 3 ) 第二式，得 君+ 衍( z - o 0 一r ) + 疗 = ( p , r b i 2 一) 2 整理，得： “= 盟业譬掣r ；+ p j r 2 5 3 ) f 2 5 4 ) 把式( 2 5 2 ) 和式( 2 5 ) 代入式( 2 5 3 ) ，得渐开线斜齿轮轮齿左侧齿面上 的啮合界限线方程为： “：韭：鱼! 兰蜒霉 r i 七成 _ = = lc o s ( r ) + 屹i t s i n ( r ) y l = - r b ls i n ( r ) + r b lc o s ( t ) 五。= p i ( 一一f ) 通过式( 2 5 2 ) 的方法也可以解得同样的结果。 2 渐开线斜齿轮轮齿右侧齿面上的啮合界限线 该曲线应满足的条件是： 器) _ 蠼( ，r ) m = 0 西m = 0 或 f 掣= 世( ，r ) 【砺+ 啄= 啄 把式( 2 4 1 ) 代入方程( 2 - 5 7 ) 第二式，得： 鬈+ 衍( 一o o f ) + 孑】= ( p ，吃之 整理，得： ：韭：垒幽墼墼型二! r 2 5 5 ) r 2 5 6 ) ( 2 - 5 7 ) f 2 5 8 ) 第二章t i 蜗杆传动的理论分析 把式( 2 5 8 ) 和式( 2 5 ) 代入式( 2 5 7 ) ，得渐开线斜齿轮轮齿右侧齿面e 的啮合界限线方程为： ：韭立警掣吃+ p i 五。= 吃c o s ( r + r b ts i n ( r 。) m 。= 屹s i n ( r 。) 一c o s ( r ) z i r = p ( r + 吼一) ( 2 5 9 ) 3 啮合界限线在坐标系o 1 中的求解步骤 ( 1 ) 在f 取值范围内，取一系列的r 值，由式( 2 5 5 ) 第一式解出对应的一 系列值； ( 2 ) 将求得的一系列的值代入式( 2 5 5 ) 的后三式中，可得到啮合界限 点的坐标( 工。，m 。，= 。) ； ( 3 ) 用光滑的曲线将这些啮合点连接起来，就得到渐开线斜齿轮轮齿左侧 齿面上的啮合界限线。 按照类似的方法，可以得出渐开线斜齿轮轮齿右侧齿面上的啮合界限线。 2 , 4 2 空间啮合的二次接触现象2 4 i 在2 3 2 中已经推导出啮合方程式的一种表达形式为式( 2 - 3 2 ) ： c o s ( t 一伊1 ) 一s i n ( r 一吼) = 阡： 解得 c 0 s 卜州，2 焘一始 p s 。， 其中，c o s 艿：坚，s i n 6 ：芒! 。 哦+ 吃哦+ 曙 因为- 1 c o s ( t 一纯+ 巧) 1 ，所以仅当u ：+ 曙孵时，式( 2 6 0 ) 才会有 实数解。 l ，当u ：十嘭 叨时，织有两个解： 第二章t i 蜗杆传动的理论分析 识= 口+ r + 占 这说明渐开线斜齿轮轮齿齿面上的点( ，r ) 在渐开螺旋面转过一圈的啮合 过程中，有两个位置能够满足啮合方程式，该点有两次与相啮合的t i 蜗杆齿面 接触，即二次接触。这些点所在的区域称为啮合区或有效区。 2 当u ；+ 叼= 嘭时，仍有一个解： 仍= f + 艿 这说明渐开线斜齿轮轮齿齿面上的点( ，f ) 在渐开螺旋面转过一圈的啮合过 程中，该点有且仅有一次与相啮合的齿面接触，这样的点集构成了啮合界限线。 3 当昵+ 曙 暇时，仍没有实数解。符合该条件的渐开线斜齿轮齿面上 的点( ，r ) 所在的区域不能进入啮合，该区域称为无效区。 2 st i 蜗杆齿面上的根切界限线酬3 6 】 根切界限线也称一类界限线。当渐开线螺旋面包络t i 蜗杆齿面时，虽然渐 开线螺旋面是光滑的，即没有奇异点，但是在两个曲面的共轭运动中，如果渐开 线螺旋面的曲面族的接触线在t i 蜗杆齿面上形成一条包络线( 脊线) ，这条包络 线就是1 r i 蜗杆齿面上的根切界限曲线。这条曲线上的点成为根切点，根切点就 是t i 蜗杆齿面上的奇异点。 讨论一类界限线的目的是在设计中防止根切界限线通过t i 蜗杆齿面，通过 控制根切界限线的位置来避免根切现象的发生。 2 5 1 根切界限函数 根据根切界限函数的定义，一次包络t i 蜗杆齿面的根切界限函数为 甲= 吉 ef fg m 。m ， 0 v 1 2 t v 1 2 m ， = 啦+ 古h ( 州”一g 0 1 - - ( i ) r ( 蹦”一蹦1 ) v ) 式中，e ，f ，g 分别为曲面的第一基本量： e = ( 0 ”) 2 ：f = ”4 ”；g = ( t 1 ) 2 ；d 2 = e g f 2 o 第二章t i 蜗杆传动的理论分析 巾。，m ，分别为啮合函数d 对和r 的导数： 令 n = 吉 o ，( 州”一g 引一巾，( e ，。时，也就是渐开线斜齿轮的基圆半径大于齿根圆半径时，渐开线的形 成是从“= 0 开始的。 根据渐开线的。眭r , y i m a i = j n b l = r j t ，所以参数i t 的取值范围为 譬罕 刊 第三章t i 蜗杆传动的数值分析和三维造型 斗宰 ( 3 - 3 ) 2 原始计算参数的取值 3 9 1 从图2 - 1 可知，参数为渐开线斜齿轮端面基圆上齿厚所对应基圆圆心角 的一半，由渐开线斜齿轮的性质，可得： o = 争= 等 式中 t 。，是渐开线斜齿轮分度圆上的齿厚 p 。是渐开线斜齿轮上的齿距； 所以渐开线斜齿轮基圆上的齿厚为： 屯= 2 吃 乏寿+ z n v c q ， = z i 寿+ t a n q q 由上式得 仃。2 2 t b _ _ l 22 t p _ _ 1 l + t a i l 呸 刀 q2 i 一+ t a n o c t a t4 2 z l ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 - 6 ) 3 原始计算参数兄的取值范围【4 0 1 由图2 - 2 可知，参数九为主导渐开线齿廓做空间螺旋运动形成螺旋齿形的参 变数，沿z 。轴运动的最大距离p 。a 即为渐开线斜齿轮的齿宽6 1 ，而坐标平面 正0 2 j ；又处在渐开线斜齿轮的中截面，所以原始计算参数九的取值范围为 斗砉，去 ， 4 原始计算参数t ，f 的取值范围 因为百= u 一仃。一九，一= u g o + 九，所以 当吃r l 时 v 孥百t p l 毗砉，孥一等一t a n a , + a , + 钥b 当 r i 时 第三章t i 蜗杆传动的数值分析和三维造型 5 原始计算参数以的取值范围【8 】 由图2 3 可知，渐开线斜齿轮卤面和t i 蜗杆齿面作共轭啮合运动时，啮合 点只能在坐标轴x 轴左、右的某一区域内参加啮合，如果设一次包络t i 蜗杆传 动的工作半角为丸，则原始计算参数纪的取值范围为 仍【织，丸j ( 3 9 ) 式中 九是蜗杆工作半角，丸= ( z l - 0 4 5 ) o 2 ： z - - 蜗杆包容角，取：= z 2 l o ( 圆整) ： e 一蜗轮齿距中心角0 = 3 6 0 。互： 3 1 3 一次包络t i 蜗杆齿面接触区域的边界条件4 1 在t i 蜗杆传动中，渐开线螺旋面和t i 蜗杆齿面在做空间啮合运动时的接触 线除了满足啮合方程以外，还必须满足一定的几何条件，称为一次包络t i 蜗杆 齿面接触区域边界条件。实际啮合接触区域受到齿面接触区域边界条件的限制， 一次包络t i 蜗杆传动中的边界条件可以分为以下几点： 1 齿面接触线受到渐开线斜齿轮轮齿齿面边界条件的限制 y x i 匕文， 、 。一该獬 d l 图3 一l 渐开线斜齿轮轮齿齿面的边界条件 如图3 一l 所示，接触线只能存在于渐开线斜齿轮齿面上由齿顶圆母线a b 、 齿根圆母线c d 、表示齿宽的直线a c 和b d 所围成的矩形区域绕渐开线斜齿轮的 z ，轴回转形成的一个空间回转体内，回转体的边界由下面的方程确定： ( 1 ) 渐开线斜齿轮齿顶圆母线a b 确定的边界条件： 寄+ 拜喀 且弛量掘孥且弛0 致 第三章t i 蜗杆传动的数值分析和三维造型 ( 2 ) 渐开线剁齿轮齿根圆母线c d 确定的边界条件 砰+ y j 瑶( o ， 一l 2 ( 4 ) 啮入直线f g 确定的边界条件 z 2 厶 式中 厶= l 2 = s i n 丸； 3 齿面接触线不能进入一次包络t i 蜗杆传动啮合界限曲线非啮合区一边， 非啮合区边界由一次包络啮合界限曲线确定。 4 齿面接触线不能进入一次包络t i 蜗杆传动根切界限曲线发生根切一边， 非啮合区边界由一次包络根切界限曲线确定。 3 2t i 蜗杆传动的数值分析 为了更加直观地分析理想情况下一次包络t i 蜗杆传动的啮合情况，在第二 章理论分析的基础上，用数值分析和图形化方法得到t i 蜗杆传动的接触线、啮 合面、t i 蜗杆的齿形曲线和界限线。 3 2 1 原始参数的取值范围 拟采用t i 蜗杆的基本参数见表3 2 。 表3 - 2t i 蜗杆传动基本参数的取值 项目取值项目取值 蜗轮齿数 5 3 蜗杆头数1 蜗轮分度圆上的螺旋角7 。3 0 + 7蜗轮发向压力角2 0 。 蜗轮的法向模数 6 m m蜗轮齿宽5 0 r a m 蜗轮齿顶高6 m m蜗轮齿根高7 5 m m 根据3 1 中所述的几何关系、取值范围，可以求得原始参数的取值范围： 0 1 7 6 4 ，o 4 7 0 4 1 c r o = 0 0 4 4 9 a 卜0 0 2 0 5 ，o 0 2 0 5 第三章t i 蜗杆传动的数值分析和三维造型 f e 0 1 1 1 0 ，o 4 4 6 0 r = 【0 ，111 0 ，0 4 4 6 0 仍【_ 0 2 6 9 7 ，0 2 6 9 7 】 3 2 ，2t i 蜗杆的齿面啮合分析陋4 5 1 斜齿轮轮齿端面渐开线 虚线部分表示的是渐开线斜齿轮轮齿左侧齿面，实线部分表示的是渐开线 斜齿轮轮齿右侧齿面。 根据方程( 2 - 1 ) 和方程( 2 - 2 ) ，得： e 点 厘 钕 搿 棚 圆周方向y r a m 图3 1 渐开线斜齿轮端面的渐开线 2 渐开线斜齿轮轮齿齿面 由方程( 2 - 5 ) 和方程( 2 7 ) ，当参数兄为一定值时，根据主导渐开线齿廓 形状的参数的变化绘出的渐开线斜齿轮轮齿齿面上的曲线如图3 - 2 所示。 由方程( 2 - 5 ) 和方程( 2 - 7 ) 当参数口为一定值时，根据主导齿宽方向的 参数五的变化绘出的渐开线斜齿轮轮齿齿面上的曲线如图3 3 所示。 3 渐开线斜齿轮齿面上的瞬时接触线 当t i 蜗杆传动包容齿数为五时，在某一啮合的瞬间，将分布于五个齿面上 的接触线画到一个齿面上表示，渐开线斜齿轮的转角仍分别取五个值，步长为分 度圆齿距对应的圆心角，由方程( 2 - 4 2 ) ，得渐开线斜齿轮左侧齿面上的接触线， 如图3 4 所示。 同理，由式( 2 4 3 ) 得渐开线斜齿轮右侧齿面上的接触线，如图3 5 所示。 4 t i 蜗杆传动的啮合面 由式( 2 4 5 ) 得左侧渐开线螺旋面在坐标系仃中的啮合面，如图3 s 所示。 因为参数的步长较大，所以啮合面出现了突变，如果减小步长，就可以做出 第三章t l 蜗杆传动的数值分析和三维造型 坦 妖 橱 蛔 4 0 l 2 0 商 超0 k 眠一2 0 蝈 _ 4 口 1 6 口 直径方向x m m 1 3 0 1 0 i 口 图3 2 参数确定的轮齿齿面曲线图3 3 参数五确定的轮齿齿面曲线 足x 1 6 0 椒 趔 捆1 5 5 辑 骚 1 5 0 弁瘦 2 01 001 02 0 蜗轮齿宽方向z m m 图3 4 轮齿左侧齿面上的接触线 ；i 商 !|5i 碴，矗 5 0 固定坐标, 系x m m 固定坐标系y ，m m 疆 恹 划 悃 辑 骚 3 - 5 轮齿右侧齿面上的接触线 图3 5 坐标系盯中的左啮合面曲线图图3 - 6 坐标系盯中的右侧面曲线 乎、“ 峄池 6 列 、f1，lx 0 i _ 扣 。 如 加阳 维 - 1 卣 第三章t i 蜗杆传动的数值分析和三维造型 圆滑的曲面。 。 同理由式( 2 4 6 ) 可得右侧渐开线螺旋面在坐标系盯中的啮合面，如图3 - 6 所示。 5 t i 蜗杆齿面上的接触线 口 5 0 5 0 蜗杆直 图3 7t i 蜗杆上侧齿面上的接触线 4 0 图3 8t i 蜗杆下侧齿面上的接触线 根据t i 蜗杆的齿面方程式( 2 4 7 ) ，得由渐开线斜齿轮轮齿左侧齿面包络出 的t i 蜗杆上侧齿面上的接触线分布如图3 7 。 根据t i 蜗杆的齿面方程式( 2 4 8 ) ，得由渐开线斜齿轮轮齿右侧齿面包络出 得t i 蜗杆下侧齿面上的接触线分布如图3 8 。 6 啮合界限线 根据式( 2 5 4 ) ，得渐开线斜齿轮左侧齿面上的啮合界限线，如图3 9 所示。 n 毽稗靶喾 n 握需鞋骚 第三章t i 蜗杆传动的数值分析和三维造型 e 垣 椒 堪 悃 辑 警 根据式( 2 - 5 8 ) ，得渐开线斜齿轮右侧齿面卜的啮合界限线，如图3 1 0 所示。 图3 - 9 左侧齿面上啮合界限线 重 藿 窭 裂 骚 蜗轮齿宽方向z r a m 图3 1 0 左侧齿面上啮合界限线 7 根切界限线 解根切界限线的方程式( 2 7 4 ) 和式( 2 7 5 ) ，考虑到边界条件在原始参数 的取值范围内无解，说明根切极限线不通过t i 蜗杆齿面。 8 诱导法曲率 用渐开螺旋面齿面包络t i 蜗杆上侧齿面时，沿接触线法线方向的诱导法曲 率的最大值为一1 3 4 6 ：用渐开螺旋面齿面包络t i 蜗杆下侧齿面时，沿接触线法线 方向的诱导法曲率的最大值为一0 8 4 。所以在t i 蜗杆的啮合过程中，不会发生曲 率干涉。 3 3t i 蜗杆的三维造型 p r o e 、s o l i d w o r k s 、m d t 和u g 是目前世界上最成熟的使用参数化造型技 术的大型c a d c a m c a e 软件。它们性能优良、功能强大，是可以应用于工业 设计、机械设计、功能仿真、制造和数据管理等领域的工程自动化软件包。随着 三维设计技术的应用，它们在零件设计、产品装配、模具开发、数控加工、造型 设计、自动测量、机构仿真、应力分析等方面得到了广泛的应用和认可。 为了模拟出t i 蜗杆的啮合过程，验证t i 蜗杆传动体系中方程推导的正确性， 也为了便于进一步研究t i 蜗杆的轮齿应力、优化设计和加工【4 5 】，在对t i 蜗杆传 动分析的基础上，分别用直接造型法和间接造型法在三维软件上模拟出了t i 蜗 杆传动的过程。 第三章t i 蜗杆传动的数值分析和三维造型 3 3 1 渐开线斜齿轮的造型1 3 9 1 1 4 6 i 渐，1 ：线斜齿轮轮齿齿面是t i 蜗杆的产形而，斜齿轮相关参数的取值对t i 蜗杆传动性能有很大的决定作用：所以需要做出渐开线斜齿轮的三维造型，采用 表3 2 中的数据作为渐开线斜齿轮参数的默认数据。 1 渐开线斜齿轮造型的步骤 第一步：根据式( 2 - 1 ) 、式( 2 - 2 ) 、式( 2 - 5 ) 和式( 2 - 7 ) 与图31 、图3 2 和图3 - 3 分析的结果，以及式( 3 - 3 ) 、式( 3 - 6 ) 、式( 3 - 7 ) 和式( 3 - 8 ) 分析的 原始参数的取值，确定渐开线斜齿轮中参数的关系式和齿槽的形状，并且在齿轮 毛坯上把齿槽切出。 ( 1 ) 输入参数程序如下： i n p u t t o o t hn u m b e rn u m b e r = 5 3 芈齿数 ”e n t e rt h en u m b e ro ft e e t h ：” m o d u l en u m b e r = 6 ”e n t e rt h en u m b e ro fm o d u l e ：” p r e s s u r ea n g l en u m b e r = 2 0 ”e n t e rt h ea n g l eo fp r e s s u r e ：” f a c ew i d t hn u i b e r = 5 0 “e n t e rt h ef a c ew i d t h ：” r a d _ f i l l e tn u m b e r = o 4 ”e n t e rt h ef i l l e t ：” b e t an u m b e r = 7 5 ”e n t e rt h ea n g eo fb e t a ：” e n di n p u t ( 2 ) 关系式如下： r e l a t i o n s 法向模数 法向压力角 齿宽 $ 导角半径 a 分度圆螺旋角 p a dp i t c h = o 5 * t o o t hn u m b e r m o d u l e序分度圆半径 p a d 3 a s e = r a d _ p i t c h * c o s ( p r e s s u r e _ a n g l e ) 木基圆半径 c i r c u l a rp i t c h = p i m o d u l e 月目节 t o o t h _ t h i c k _ 0 n p i t c h = c i r c u l a rp i t c h 2 序分度圆上的齿厚 p a da d d e n d u m = p a dp i t c h + 1 木m o d u l e 术齿顶圆半径 p a dd e d e n d u m = p a dp i t c h - i 1 5 7 * m o d u l e 序齿根圆半径 i n vp h i = t a n ( p r e s s u r ea n g l e ) 一p r e s s u r ea n g l e 2 p i 3 6 0 第三章t i 蜗杆传动的数值分析和三维造型 t o o t ht h i c ko nb a s e = 2 * r a db a s e * ( t o o t ht h i c ko np i t c h ( 2 * r a dp i t c h ) + i n vp h i )胁基圆上的齿厚 a n gt o o t ht h i c k = t o o t ht h i c ko nb a s e r a db a s e * 3 6 0 ( 2 * p i ) 基圆上的齿厚化为角度 a n gt o o t h s p a c e = 3 6 0 t o o t h _ n u m b e r a n g j 码o t ht h i c k 序基圆上的齿问所对应的基圆圆心角 图3 - 1i 渐开线斜齿轮的齿槽 图3 一1 2 渐开线斜齿轮轮齿 ( 3 ) 在毛坯上切出齿槽以后的形状，如图3 1 1 第二步：把齿槽的形状复制一个在渐开线斜齿轮的毛坯上，切出渐开线斜齿 轮轮齿的形状，如图3 1 2 。 第三步：用阵列的方法，在毛坯上切出渐开线斜齿轮的齿形，并修饰，如图 3 一1 3 。 第三章t i 蜗杆传动的数值分析和三维造型 图3 - 1 3 渐开线斜齿轮的三维图 2 渐开线斜齿轮参数对渐开线斜齿轮形状的影响 渐开线斜齿轮参数化设计实现后，可以很方便的看出各个参数对渐开线斜齿 轮的影响。 ( 1 ) 相对于图3 1 2 ，改变参数使齿数为3 0 时斜齿轮的齿形如图3 一1 4 ： 图3 - 1 4 齿数为3 0 的渐开线斜齿轮图3 一1 5 螺旋角为2 0 。的渐开线斜齿轮 ( 2 ) 相对于图3 - 1 4 ，改变参数使分度圆螺旋角为2 0 。时，渐开线斜齿轮的 形状如图3 一1 5 。 3 3 2t i 蜗杆的直接造型1 4 7 - 4 9 1 t i 蜗杆的直接造型指的是在对t i 蜗杆啮合理论数值分析的基础上，根据t t 蜗杆的齿面方程绘出t i 蜗杆上的啮合线，然后在三维造型软件中，