（应用数学专业论文）复双曲流形的等距群.pdf

硕士学位论文 摘要 本文主要研究了几何有限的复双曲流形上等距群的正规化子的离散性及复双 曲三角群的参数化问题 首先我们讨论了复双曲群的正规化子的离散性，证明了几何有限的复双曲流 形的等距群是有限群的充要条件是它的正规化子是离散子群应用所得结果，得 到了紧致复双曲流形的等距群是有限的，并给出了r a t c l i f f e 两个定理新的简单证 明另外，我们利用复双曲三角群的角不变量，给出了1 ，1 2 ，p 3 ) 复三角群的参数化 定理，利用角不变量刻画了0 l ，1 2 ，船) 复三角群所构成的空间 关键词：复双曲流形；几何有限；等距群；极限集；复双曲三角形 硕士学位论文 ab s t r a c t t h em a i np u r p o s eo ft h i st h e w si st oi n v e s t i g a t et h ed i s c r e t e n e s so fn o r m a l i z e r o ft h ei s o m e t r i cg r o u p so fg e o m e t r i cf i n i t ec o m p l e xh y p e r b o l i cm a n i f o l d sa n dt h e p a r a m e t e r i z i n go fc o m p l e xh y p e r b o l i ct r i a n g l eg r o u p s a tf i r s t ，b yd i s c u s s i n gt h ed i s c r e t e n e s so fn o r m a l i z e ro fi s o m e t r i cg r o u p ，w e o b t a i nt h a tt h ei s o m e t r i cg r o u po fg e o m e t r i cf i n i t ec o m p l e xh y p e r b o l i cm a n i f o l d i sf i n i t ei fa n do n l yi ft h en o r m a l i z e ri sd i s c r e t e t h e n ，u s i n gt h ea b o v er e s u l t ，w e k n o wt h a tt h ei s o m e t r i cg r o u po fc o m p a c tc o m p l e xh y p e r b o l i cm a n i f o l di sf i n i t e ， a n dg i v en e wa n db r i e fp r o o f so ft h et w or a t c l i f f e st h e o r e m s a tl a s t ，w eg e tap a r a m e t e r i z i n gt h e o r e mo f l ，1 2 ，p 3 ) t r i a n g l eg r o u p sa n d s t u d yt h es p a c eo fp l ，1 2 ，p 3 ) t r i a n g l eg r o u p sb yt h ea n g u l a ri n v a r i a n t k e yw o r d s ：c o m p l e xh y p e r b o l i cs p a c e ；g e o m e t r i c a lf i n i t e n e s s ；i s o m e t r y g r o u p s ；l i m i ts e t s ；c o m p l e xh y p e r b o l i ct r i a n g l e 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已 经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 作者签名：丁青 日期：知节年。莎月护r 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本 人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后试用本授权书 2 、不保密囱 ( 请在以上相应方框内打“”) 日期：2 0 0 甲年0 6 月o y 日 日期：0 7 年g 月f 日 l 。 硕士学位论文 1 1研究背景 第1 章绪论 双曲几何是现代复分析的几何理论中的一个重要研究方向，它与数学以及物 理中的许多学科，如r i e m a n n 面，低维拓扑，复动力系统，t e i c h m i i l l e r 空间，以及 相对论与超弦理论等有着密切的联系特别是上个世纪七十年代，w t h u r s t o n 1 1 在 三维流形拓扑分类的研究中提出了具有革命性意义的几何化猜想，大大地推动了 双曲几何的研究几何化猜想声称紧三维拓扑流形可以切割成若干素流形的连通 和，使得每一个素流形上具有一种简单的几何结构这些几何结构中最常见也最 缺乏理解的是双曲结构，这使得研究双曲结构显得尤为重要具有双曲结构的拓扑 流形称为双曲流形，这是一种特殊的常负曲率的黎曼流形 由单值化定理，我们知道任意一个双曲型r i e m a n n 曲面解析同构于a l a ，其 中是单位圆盘，g 是保持不变且不含椭圆元素的离散群复双曲流形正是双曲 型r i e m a n n 曲面的高维推广，复双曲空间是变负曲率黎曼流形中的一个简单例子， 这使得它成为黎曼几何与复动力系统中的基本研究对象上个世纪八十年代，w m g o l d m a n ，g d m o s t o w 等人开始研究复双曲几何，w m g o l d m a n 2 在1 9 9 0 年 出版了第一本复双曲几何方面的专著，从此以后，越来越多的人关注于复双曲几何 及复双曲离散群的研究w m g o l d m a n 和j r p a r k e r i s 等人讨论了复双曲三角 群的形变问题，证明了复双曲三角群的局部刚性，并提出了关于复双曲三角群的 形变的猜想；2 0 0 2 年，r e s c h w a r t z 4 证明j g o l d m a n 和p a r k e r 的猜想，在证明过 程中发展了一系列研究复双曲几何的新方法e f a l b e li s , 6 讨论了复双血三角群 的刚性与弹性，并与j r p a r k e r 一起研究了复双曲空间中模群的模空间，还与m d e r a u x ，j p a u p e r t 【7 】一起克服了m o s t o w 的不足，对复双曲空间的基本多面体进行 了新的构造 双曲流形上的等距群是双曲几何研究中一个重要的研究对象 早在1 8 8 5 年，p o i n c a r d 8 就证明了紧致无边的双曲型曲面的等距群是有限的 这个结论于1 9 3 0 年被l o b e l l i g 推广为：完备的几何有限的双曲型曲面的等距群是 有限的更进一步地，许多学者研究了高维双曲流形上的等距群为有限的问题 1 9 7 2 年，l a w s o n 和y a u 1 0 】证明了紧的几维双曲流形的等距群是有限的a v e r o u s 和k o b a y a s h i i n 在1 9 7 6 年把这个结论推广为一个体积有限的完备凡维双曲流形的等距 群是有限的 1 9 9 4 年，r a t c l i f f e 1 2 】综合前人的结果并把上述的结论推广为如下一般形式： 定理4 3 1 【1 2 j 设m = ，i g 是一个非初等的，几何有限的实双曲流形，而且g 不固 定酽中的任何维教小于n 一1 的全测地子空间那么m 的等距群，( m ) 是有限的 在1 9 9 6 年，r a t c l i f f e 把上述的结论推广到了双曲轨形，得到了类似的结论： 一1 一 复双曲流形的等距群 定理1 1 1 【1 3 】设m = p g 是一个非初等的，几何有限的实双曲轨形，而且g 不 能固定日n 中的任何维数小于礼一1 的全测地子空间那么m 的等距群，( m ) 是有限 的 我们将在本文中用较简单的办法给出上面两个结果的一个新的证明 从覆盖空间的角度看，上面的定理1 1 1 意味着双曲空间丑n 覆盖了双曲轨形m ， 而且该覆盖是一个正规覆盖同时双曲轨形h i g 的等距群正是该覆盖空间的覆盖 变换群 与此同时，许多数学家研究了一个相反的问题，即给定一个有限群g ，是否存 在一个紧的双曲流形m 使它的等距群，( m ) 为该有限群g 这是一个非常困难的问 题在1 9 7 4 年，g r e e n b e r g 1 4 】在2 维的情形证明了该问题：对于每一个有限群，都可 以找到一个紧的2 维双曲流形使它的等距群为该有限群直至u 1 9 8 8 年，3 维的情形 才被k o j i m a 1 5 】解决一般的情形直至最近才由m i l 【l l a l lb e l o l i p e t s k y 和a l e x a n d e r l u b o t z k y 【1 6 】用非构造性的办法彻底解决另一方面，d a n i e la l l c o c k 1 7 1 证明了对于 每个可数群，存在一个完备的双曲曲面使它的等距群是该可数群，并且，当这个可 数群有限时，该双曲曲面可以为紧的 鉴于这些重要的研究，本文中，一方面，我们研究了复双曲流形上的等距群， 主要目的是建立几何有限的复双曲流形上等距群有限的充要条件另一方面，利用 本文的结果，我们用新的办法重新证明了r a t c l i f f e 的结论和一些其它的重要结果 1 2 主要研究结果 我们首先研究了复双曲等距群中离散子群的正规化子的离散性问题同样的 问题在实双曲等距群的情形下已经被许多学者研究过例如，m a s k i t 1 8 】证明了3 维 双曲空间的等距群上的非初等的离散子群的正规化子也是离散的，同时也是非初 等的后来，f 乙a t c l i 舶正是通过对这个结论的高维推广给出了几何有限的双曲流形 上的等距群有限的充要条件r a t c l i f f e 首先得到的下面的定理 定理1 2 1 1 2 】设g 是j r s d m ( p ) 中的有限生成的非初等的离散子群，并且g 不固定 双曲空间日叫，任何维数为m ( 几一1 ) 的双曲测地子空间那么g 在i s o m ( h n ) 中的 正规化子( g ) 是非初等和离散的 最近，许多作者开始对复双曲空间上的离散子群的正规化子做了研究特别是 黄华鹰【1 9 】把m a s k i t 的结论推广到2 维复双曲空间中，得到了如下的结论： 定理1 2 2 设g 是尸u ( 2 ，1 ；c ) 中非初等的离散子群，且- d i m ( l ( g ) ) = 3 ，那么离散 群g 在p u ( 2 ，1 ；c ) 中的正规化子( g ) 是非初等和离散的 这里也m ( 己( g ) ) 定义为由g 的极限集的所有点在c n 的提升所生成的空间的维 数并且在文 1 9 中还用一个例子来说明了这个维数是不可减弱的 一2 一 硕士学位论文 在本文第三章中，我们把上述结果推广到高维复双曲空间中 设g 是p u ( 竹，1 ；c ) 中的非初等的子群用l ( g ) 表示g 在c h e n 和g r e e n b e r g 【2 1 】意 义下的极限集，即定义为瑶中的任一g - 轨道的聚点集 定义1 2 1 定义g l = d g ：9 ( z ) = z ，对任何点z l ( g ) ) 我们首先得到了下面的结果： 定理3 2 2 设g 是p u ( n ，1 ；c ) 中的非初等的子群，那a n ( g ) 是离散的当且仅当： 以) 【( g ) l 是一个有限群， 俚) g 是离散群 从上面这个定理，很容易得到下面的定理 定理3 2 3 设g 是p u ( n ，1 ；c ) 中的非初等的子群，并且日是g 的正规子群，那么g 是 离散的当且仅当： 以jg l 是一个有限群， 俾) 日是离散群 从上面两个定理，自然可以得到下面的结论 推论3 2 4 设g 是p u ( n ，1 ；c ) 中的礼维非初等子群，则g 是离散的当且仅当g 的任一 正规子群是离散的 这里群g 称为佗维群，如果g 不固定双曲空间瑶中任何维数m ( 扎) 的双曲测 地子空间上面的结果表明竹维群的离散性与它的正规子群的离散性紧密相关 最近，c h e r tm i n 2 2 用一个非平凡的m o b i u s 变换h 作为测试变换来检测一个非 初等群的离散性，得到了下面的离散性判别准测 定理1 2 3 设g 是，s d m ( 珥p ) 中的礼维子群，九是一个非平凡的m d 6 i u s 变换，如果对 任意夕g ，二元生成子群( ，夕) 是离散的，那么g 是离散的 从离散性的角度看这些准则，这些结果意味着离散性的判断不仅是所判断的 群内部的性质，它也与整个等距群i s o m ( h ) 有一定的关系我们上面的结果揭示 了群g 的离散性与它的正规子群或者正规化子的离散性的关系 离散性判断通常会帮助我们揭示该离散群对应的双曲流形上的许多几何性质 正是基于上面高维的复双曲离散群的正规化子的离散性的判断，在本文第四章中， 我们得到下面的关于几何有限的双曲流形的等距群为有限群的充要条件 首先我们类比实双曲流形得到了复双曲流形上的等距群的表示形式 定理4 1 1 设g 是p u ( n ，l ；c ) 中非初等的几何有限的无绕的离散子群，用n ( c ) 表 示g 在p u ( n ，1 ；c ) 中的正规化子那么复双曲流形m = 瑶g 的等距群i ( m ) 同构 于n ( g ) g 几何有限的双曲流形是一类重要的特殊的流形我们的进一步的分析表明，几 何有限的复双曲流形上的等距群是否有限与它的基本群的正规化子的离散性有关 一3 一 复双曲流形的等距群 定理4 2 1 设g 是p u ( n ，1 ；c ) 中非初等的几何有限的无绕的离散子群，并且设( g ) 是离散群g 在p u ( n ，1 ；c ) 的正规子群。那么复双曲流形啦g 的等距群是有限的当 且仅当( g ) 是离散的 推论4 2 2 体积有限的完备的复双曲流形的等距群是有限的，特别是紧致完备的 复双曲流形的等距群是有限的 综合我们上面的两个结论，对复双曲流形上的等距群有限性的判定就可以转 化为对其基本群的正规化子的离散性的判定同时我们还得到下面一个关于复双 曲等距群的离散子群的几何有限性的重要结论： 定理4 3 1 设g 是p u ( n ，1 ：c ) 中非初等的几何有限的无绕的离散子群，那么g 的有 限指数子群和有限扩张群都是几何有限的 此外，我们还研究了下面的问题：在礼维双曲空间中给定一个不固定任一仇维 或佗一1 维双曲全测地子空间的离散群g ，我们可以得到下面的的一个正规化子序 列： g ，( g ) ，n 2 ( g ) = ( ( g ) ) ，妒( g ) = ( 妒_ 1 ( g ) ) ， 根据上面的离散性条件，这个序列中的每个群都是离散的我们问，在什么条 件下，这个序列是有限的? 即在什么条件下，存在一个k n 使得 n k ( g ) = n k + i ( g ) = 蠡+ 2 ( g ) = 如果g 是体积有限的，我们得到了下面一个结果： 引理3 3 1 设g 是p u ( n ，1 ；c ) 中的非初等的体积有限的离散子群，那么存在一个k 使 得n k ( g ) = r 七+ 1 ( g ) = 成立 另外，我们还考虑了下面一个问题：给定一个有限群g ，我们问是否存在一个 复双曲流形使得其等距群恰好就是群g 我们有如下结果： 定理4 2 5 给定n n ，存在体积有限的复双曲轨形瑶g 具有平凡的等距群 在本文的第五章中，我们考虑了复双曲空间瑶中的某类复双曲三角形所构成 的空间的参数化的问题类似的问题在文 4 4 中得到了相应的处理在文 4 4 中，a p r a t o u s s e v i t c h 定义了一个角不变量，用这个角不变量给出了两类复双曲三角形所 构成的空间的参数化参照a p r a t o u s s e v i t c h 的方法，我们给出另外几类复双曲三 角形所构成的空间的参数化，主要得到了下面一个定理 定理5 2 1 有相同的角不变量的两个1 ，1 2 , p 3 ) 一复三角形是全等的对任意的q 0 ，2 7 r 】，那么存在一个l ，2p 3 ) 一三角形以q 为角不变量的充要条件是 c o s q 警， 其中= c o s ( 7 r 取) ( 七= 1 ，3 ) ，而r 2 = c o s h 2 冬， 一4 一 硕士学位论文 2 1引言 第2 章复双曲等距群 复双曲流形是双曲r i e m a n n 曲面的在高维延伸，它与实双曲空间有着很多相 似的内容，然而复双曲流形上的结构远比实双曲流形要复杂在1 9 1 5 1 9 2 1 年间， 受e p i c a r d 思想的影响，g g i r a u d 对复2 维双曲空间作了大量初步的研究工作随 着遍历理论，l i e 群理论的发展，实高维m o b i u s 变换群理论，复分析，r i e m a n n 几何， 辛几何等各方面的内容都得到了极大的丰富，这为复双曲空间理论的发展建立了 重要基础 在本文中，我们主要考虑作用在c n 中的单位球b 銎上的p u ( 礼，1 ；c ) 非初等离散 子群g ，值得指出的是我们的许多结论在实双曲空间上也是成立的 根据定义，g 的极限集是g 一轨道的聚点在单位球面s 3 中的子集，而g 作用在 上面并不是不连续的 早在1 9 7 4 年，s s c h e n 和l g r e e n b e r g 2 1 】就仿, , 昭, , m s b i u s 群的极限点提出了复 双曲群的极限点的概念而在1 9 7 8 年，r s k u l k a r n i 【2 3 】给出了另外一种极限集 的定义2 0 0 4 年，g s i e n r a 2 4 讨论了c 萨中的极限集与复k l e i n i a n 群2 0 0 6 年，j p n a v a r r e t e 2 5 】比较c h e n - g r e e n b e r g 与k u l k a r n i 的这两种不同的定义，讨论了这两种 不同定义下的极限集之间的联系 2 2复双曲空间 ，=(兰三三；三 复双曲流形的等距群 于是我们可以定义c n ，1 中的三个子集v 一，v 0 ，v + 如下： v - = z c n , l l ( z ，z ) o ) 若z v 一、y o 或v + ，则我们分别称z 为负向量，零向量或正向量 我们定义一个在c 1 中+ 1 0 的点上的投影映射，如下： z l 勿 磊 z n + l h z 1 z n + 1 z u z + 1 z n z 儿+ 1 c 竹 复双曲空间瑶是复投影空间p c n ，1 的子空间，且由负向量空间v 一经过投影映 射p 生成的，即： 蜒= 1 f 2 , 1 i z ，z ) o 其边界铘配是由零向量v 0 投影生成的，即 姗= 2 j 陀1 i z ，z ) = o ) 并且a 避同胚于铲铲1 为了看清楚这一点，我们定义如下c 2 到硎2 n , l 嘲l + l = 0 ) 的嵌入映射： 小n 附”h 并且在c 竹+ 1 中定义标准正定h e r m i t a n 形式： ( ( z ，叫) ) = z l w l + 钇- 2 + + + 1 砜+ l ， 其中z = ( z l ，z 2 ，+ 1 ) 和w = ( w l ，w 2 ，+ 1 ) t 而且，我们可以定义两个非零 向量之间的角度z ( z ，叫) 如下： c 叫卅，= 臀制 这样我可以认为a ( 璐) = 瑶是 中的单位球，且 a 珂瞪= 铀墨= 铲加1cc 2 我们称铘瑶是狂瑶在无穷远处的球面将z 称为瑶中的点嘲在c n , 1 中的提升 啦上的度量称为b e r g m a n 度量，其截面曲率为一1 到一4 ，b e r g m a n 度量的距离 函数公式p ( 木，宰) 定义如下： c o s h 2 ( 掣) = 黜黑， 2 ( z z ) ( 伽叫) 其中z ，w c n ，1 对应 z ， 叫】瑶的提升 硕士学位论文 2 3复双曲等距群的基本概念 我们知道，毪上任何一个等距变换或者是全纯的或是反全纯的，而全纯等距变 换恰好是p u ( n ，1 ；c ) 中的元素，而所有反全纯的等距变换都是p u ( n ，1 ；c ) 中的元 素与复共轭变换的复合因此我们只须考虑的是瑶上的全纯等距变换，即p u ( n ，1 ；c ) 的元素 定义2 3 1 如果p 纱( n ，1 ；c ) 中的子群g 4 乍- g j p u ( n ，1 ；c ) 的子集是离散的，那么我 们称g 是离散群 根据不动点的位置和个数，可以对p u ( n ，1 ；c ) 中的元素做如下的分类： 定义2 3 2p u ( n ，1 ；c ) e 元素夕可以划分为以下几种类型： 以夕是椭圆元素，当且仅当夕在瑶上至少有一个不动点i 例夕是抛物元素，当且仅当9 仅在铘瑶上有一个不动点j 俐夕是斜驶元素，当且仅当夕仅在铘瑶上有两个不动点 y ) g 是p u ( n ，1 ；c ) 中保持璐不变的离散子群，给定一个点z b 跫，z 在g 作用 下的轨道记为g ( z ) ，定义为： g ( z ) = 9 ( z ) ：g g ) 定义2 3 3 设gcp u ( n ，1 ；c ) ，则g 的极限集定义为 l ( g ) = 【蕊l 存在 ) cg ，z 瑶，g m ( z ) - 啼】 三( g ) 是铲n - - 1 中的闭子集，且它的补集s ( g ) = 铲n - - i a ( g ) 称为普通集，且g 作用 在q ( g ) 上是不连续的 根据s s c h e n 和l g r e e n b e r g 2 1 1 ，我们知道极限集l ( g ) 不依赖z 在瑶中的选 择，并且还有以下性质： 命题2 3 1 俐三( g ) 是g 不变的， 例如果g 7cg ，那z a l ( g ) c 三( g ) ， 俐如果g 7 是一个指数有限的子群，那么三( g 7 ) = 三( g ) ， 例如果召是g 在v ( 1 ，n ；c ) 中的闭包，那z a l ( g ) = 乞( g ) 命题2 3 2 三( g ) 是g 不变的最小闭子集即，若x 是铘瑶中非空的g 不变的闭子 集，j 目 jl ( g ) cx 命题2 3 3 设是g 的一个正规子群那么 俐g 保持l ( ) 不变 例如果三( ) d ，且g 中元素在铘迎上没有公共不动点，那z al ( n ) = 己( g ) 一7 一 复双曲流形的等距群 定义2 3 4 设gcp u ( n ，1 ；c ) ，若三( g ) 最多包含两个点，则称g 是初等的j 否则 称g 是非初等的 对于实高维m s b i u s 群的初等群，j m a r t h ，方爱农，l g r e e n b e r g 都给出了各 自初等群的定义，并且蒋月评教授对几种初等群的不同定义之间的关系进行了系 统地研究，现再给出以下另一种等价的初等群定义 定义2 3 5 设gcp u ( n ，1 ；c ) ，若g 在瑶中存在一条有限的g 觏道，则称g 是初 等的；否则g 是非初等的 根据q ( g ) 的情况，又可以定义两种不同类型的离散群 定义2 3 6 称离散子群g 为第一类型的，如果它的普通集a ( c ) = 仍j 否则称g 是第 二类型的 2 4平分面与d i r i c h l e t 多面体 复双曲空间的全测地子流形可以进行如下的分类首先回顾一下 定义2 4 1 2 1 1 设x 是复向量空间y 中的一个子集用( x ) c 表示y 中包含x 的最小 复向量子空间，称为x 的c - 张f l 如果x 是面舌的一个点集，那么d 张成( x ) c 定义 为( x ) c = 尸( ( 尸_ 1 x ) cn 亿) 这里的尸为复双曲空间上定义的投影映射 定理2 4 1 【2 1 】瑶中的全测地子流形在p u ( n ，1 ；c ) 下或等价于屺或等价于瑶， 这里1 m n 定义2 4 2 设g 是p u ( n ，1 ；c ) 中的一个非初等离散子群定义g 工= 曲g ： g ( x ) = z ，比l ( g ) ) 我们指出的是g l 是一个纯椭圆群，即其中每一个非平凡的元素都是椭圆的 由前面的复双曲空间上的全测地子流形的分类知，与实双曲空间相比，复双曲 空间瑶没有全测地超曲面尽管如此，对于给定的两个点z ，z 7 丑是，我们仍然可 以定义等双曲距离的超曲面c ( z ，7 ) ，称为关于z 和的d i r i c h l e t 平分面它由所有 n z 和7 有相等双曲距离的点组成：即 e ( z ，z ) = 【叫璐：p ( w ，z ) = p ( w ，7 ) ) ， 而且是两个等距半空间两( z ，2 ，) 和句( z 7 ，z ) 的边界这两个半空间是由瑶中更靠近 第一个点的点组成的，即： 岛( z ，z 7 ) = 叫丑琶：p ( 伽，z ) c 在p u ( n ，1 ；c ) 下等价于屺( m n ) ，并 且m 的每一个点都是夕的不动点 证明首先，我们有 ( x ) 。= p ( ( p - 1 x ) cn 亿) 假设实向量空间( p - 1 x ) 是m 维的因此我们可以从x 选择m 个点z 1 ，z 2 ， 使得他们的提升虿1 ，_ 2 ，虿赢张成( p - 1 x ) 对于任何点虿( p _ 1 x ) ，我们可以 表示该点虿为z = q - i 因为每个点x i 被g 固定，那么我们有夕的提升使得 虿( 觋) = 也瓦 夕【z t j2 啦z i 凼此 后木虿= 而= 歹( q 砚) = q 丽产q 反瓦 我们可以得到 七c i 瓦= 臼也砚 由向量基的性质我们可以得出画= k 从而m = ( x ) c 的每一个点都被夕固定证 毕 引理3 1 4 【2 1 】设夕是尸u ( 礼，1 ；c ) 中的一个斜驶元素那么存在唯一的一个双曲元 素允和椭圆元素e 使得g = h e = e h 进一步，p u ( n ，1 ；c ) 中任何与夕可交换的元素 与 和e 都交换，而且固定夕的不动点 3 2复双曲离散群的正规化子 引理3 2 1 设g 是p u ( n ，1 ；c ) 中的非初等的子群，那么( g ) 是离散的当且仅当? ( 1 ) g l 是奄限的 例( g ) 是离散的 证明如果g 不固定任何一个全测地的真子流形，那么根据g l 的定义和椭圆元素 不动点的特征，我们得知g l 是平凡群，从而这个同态也是恒等的因此我们只要 考虑g 固定一个全测地的真子流形的情形即可令k e r ( 砂) 表示同态西的核我们断 言k e r ( ) = g l ，即，g 工中的元素都固定m ( g ) 的每一个点如果真子流形m ( g ) 等 价于璎，贝, i j g l 是平凡的这由引理3 1 1 得知因此，我们只用讨论m ( g ) 等价 于瑶的情况，这里m n 从而我的断言由引理3 1 3 可以得出 一13 复双曲流形的等距群 假设g 是不离散的那么在g 中存在一列不同的元素_ 【鲰) 收敛于g 中的恒等元 素： 踟一i d 显然我们总有如下两种情形，如期不然，我们可以通过取子序列的方法做到满足下 面性质的序列： 假设存在一列吼g ，使得砂) 是( g ) 中不同的且收敛于恒等元素的序列，这 与咖( g ) 的离散性矛盾反之，如果存在一列不同的元素吼固定m ( g ) 中的每一点， 这又与g l 是有限群矛盾因此根据这两种情况的分析，我们都得到了矛盾，因而我 们也就完成了证明 定理3 2 1 设g 是p u ( n ，1 ；c ) 中的非初等的子群，( g ) 是离散的当且仅当： p ， ( g ) 】l 是一个有限群 俚jg 是离散群 证明必要性是显然的下面我们只用去证明充分性即可 我们使用反证法，设g 和【( g ) l 都是离散的，但是正规化子n ( g ) 不离散那 么存在一系列不同的元素序列 厶) cn ( c ) ( f i i d ) 收敛于( g ) 的恒等元素 任取一个斜驶元素h g ，那么我们有 因为 【h ，列_ l d ， 五一i d 而g 是( g ) 正规子群，所以有 h ，六 = 五 一1 z | _ 1 g 由于g 的离散性，当i 足够大时，我们得到阮矧= i d 由引理3 1 3 ，对足够大 的i ， 固定斜驶元素h 的两个不动点 我们选择m ( = 击m ( m ( g ) ) ) 个斜驶元素h 1 ，h 2 k 使得他们的排斥性不动 点生成全测地子流形m ( g ) 那么依据引理3 1 4 ，对于某大整数i ，五固定m ( g ) 中的 每一个点 因此由 ( g ) 的定义，我们知 五，ck e r = ( g ) k 这与假设”6 t 是有限 群”矛盾因此我们证明了定理证毕 推论3 2 1 设g 是p u ( n ，1 ；c ) 中的非初等的子群，并且日是g m 规e 群，g 是离 散的当且仅当： ( 1 ) g l 是_ 耷亳麟 ( 2 ) h 是甍散群， 一1 4 一 硕士学位论文 证明容易发现上面定理的证明只依赖于日是g 的正规子群这一事实因此我们可 以把上述定理表述如上形式证毕 推论3 2 2 设g 是p u ( n ，1 ；c ) 中的礼维非初等子群，那么我们有如下结论g 是离散 的当且仅当任一正规子群是离散的 值得注意的是，l 髓t c l i f f e 关于实空间的离散性结果是一般在p u ( n ，1 ；c ) 不成立 的这是因为，在实双曲空间瑶，一个椭圆元素e 不能是固定一个余维数为1 的全测 地子流形，因此当我们假设g 不固定任m ( m 扎一1 ) 维的n 中的全测地子流形时， 即意味着条件( ( g ) l 是成立的，因而他的结论也是成立的但在复双曲空间瑶， 一个椭圆元素e 可以固定一个余维数为1 的复子流形瑶，因此一般的情形下，离 散性条件 ( g ) 】l 是不能去掉的但是如果这个边界包含己( g ) 的最小的全测地子 流形是等价于皿m ( 1 仇竹) ，那么我们就可以去掉 ( g ) l 的条件，因为该子流 形也不能被保向的椭圆变换固定 3 3 复双曲等距群和实双曲等距群中的最大离散子群 本节我们主要研究下面的问题，设g 是礼维双曲空间中一个不固定任何礼维或礼一 1 维双曲全测地子空间的离散群，我们考虑下面的正规化子序列： g ，( g ) ，n 2 ( g ) = ( ( g ) ) ，g m ( a ) = ( 胪- 1 ( g ) ) 根据上节的离散性条件，我们可以知道这个序列的中每个群都是离散的我们感 兴趣的是这个序列是不是有限的，在什么情况下是有限的，即是否存在一个自然 数n 使得 尽严( g ) = p + 1 ( g ) = 首先，我们指出满足上面条件的离散群有很多，比如它包括紧流形或体积有 限流形的基本群，极限集是整个球面伊- 1 的离散群，或者更一步的一般的几维离散 群( 即不固定任何佗维双曲子流形) 等对这些群，我们证明了体积有限的离散群通 过有限步的迭代会终止，得到下面的定理 定理3 3 1 设g 是p u ( n ，1 ；c ) 中的非初等的体积有限的离散子群，那么存在一个扎使 得n ( g ) = n n + l ( g ) = 成立 证明假设存在下面的无限序列： g ，( g ) ，n 2 ( g ) = ( ( g ) ) ，n m ( g ) = ( m - 1 ( g ) ) 使得对任意大的整数m 和佗都有竹( g ) m ( g ) 因此我们可以构造下面一个完 备的双曲流行序列 瑶g ，i - 砭n ( g ) 瑶胪( g ) 一15 复双曲流形的等距群 _ - - - ! ! ! ! ! ! ! ! ! = ! = = = ! = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 与之对应我们得到下面一个体积序列： v o z ( 璐g ) ，v o z ( 璐n ( g ) ) v o t ( 瑶：胪( g ) ) 首先因为g 是非初等的且是的正规子群，因此我们有l ( g ) = 三( ( g ) ) 所 以我们得到( g ) 的每一个元素都使极限集l ( g ) 保持不变 令d 是( g ) 的d i r i c h l e t 域设k 为g - 陪集代表元素那么f = u e 就恰巧为g 作 用的基本集 又因为g 是体积有限的离散群，即 v o l ( f ) = v o z ( 璐c ) 1 ，从而上面的体积序列是一 列完全单调递减的序列，从而将趋近于o ，这与完备的复双曲流形的体积有下界( 参 见前面的定理2 6 1 ) 相矛盾从而必然在某个整数n ，使得n n ( g ) = n n + l ( g ) = 证毕 一1 6 一 硕士学位论文 第4 章几何有限的复双曲流形的等距群 本章考虑几何有限的复双曲流形上的等距群利用本章的结论，我们可以用 更简单的方法重新证明f 乙a t c l i 髓的几个重要的定理 4 1复双曲流形的等距群 设g 是p u ( n ，1 ；c ) 中的子群，如果g 中不含有椭圆元素，我们称g 是无扰的首 先，关于p u ( n ，1 ；c ) 中非初等的几何有限的无绕的离散子群，我们得到下面一个定 理 定理4 1 1 设g 是p u ( 礼，1 ；c ) 中非初等的几何有限的无扰的离散子群，用n ( g ) 表 示g 在p 矿( 扎，1 ；c ) 中的正规化子那么复双曲流形m = 啦g 的等距群歹( m ) 同构 于n ( a ) a 证明任取( g ) 中的一个元素夕，以及m 上的一点z ，那么元素9 以下面的方式诱导 了复双曲流形m 上的一个等距变换歹：m m y ( c x ) = c ( g z ) 容易验证，映射g 一可是( g ) 到，( m ) 的同态，该同态的核正好是g ，所以我们可 以从同态g 一虿诱导下面一个单同态， p ：n ( g ) g 一( m ) 下面我们证明也咿是满同态假设西是m 上的一个等距变换那么此等距变 换砂可以提升为正怒上的等距变换历并且满足下面关系式： 石铘：g 因此万是( g ) 的一个元素而且满足 p ( g ) = 庐， 从而得到0 是满同态，因而也是一个同构证毕 4 2几何有限复流形上的等距群 在本节中，我们主要考虑复双曲流形上的等距群的有限性问题，我们首先得到 下面一个定理 一1 7 复双曲流形的等距群 定理4 2 1 设g 是p u ( n ，1 ；c ) 中非初等的几何有限的无扰的离散子群，用n ( g ) 表 示g 在p u ( n ，1 ；c ) 中的正规化子那么复双曲流形m = 瑶g 的等距群，( m ) 是有 限的当且仅当( g ) 是离散的 证明有前面的定理4 1 1 得知，( m ) 与n ( g ) g 同构所以，如果复双曲流形的等 距群是有限的，那么( g ) 是离散群g 的有限扩张，因而也是离散的因此，我们只 要证充分性即可在下文中，我们记n = ( g ) 首先因为g 是非初等的且是的正规子群，因此我们有 l ( g ) = l ( ) 从而的每一个元素都使极限集l ( g ) 保持不变 令d 是的d i r i c h l e t 域那么集合e = dnc ( l ( ) ) 就是g 在凸集c ( l ( ) ) 上 作用的基本集设为g 一陪集代表元素那么f = u k e 恰巧为g 作用在凸集c ( l ( 一 ) ) 上的基本集 由假设g 是几何有限的，根据几何有限的第四种定义，对于某个卵，我们可以得 到 v o l ( f ) = v o i ( c ( l ( g ) ) g ) ( c ( l ( g ) ) g ) 0 0 同时由上面的陪集分解，我们得到如下的等式关系 型鲤塑黑= i n v o l ( c ( l ( n ) ) n ：g 】 ) 一。 从而得到f ：q 是有限的证毕