第十一届大学生数学竞赛非数类预赛参考答案.pdf

1 第十一届全国大学生数学竞赛(非数学类)试题 参考解答及评分标准 一、填空题一、填空题（每小题（每小题 6 6 分）分） 1. sin3 3 0 ln(e1 cos )sin1 lim 4arctan(4 1 cos ) x x xx x . 解： sinsin33 333 000 ln(e1 cos )sin(e1)1 cossin limlimlim arctan(4 1 cos )4 1 cos4 1 cos xx xxx xxxx xxx sin 1/31/3 0022 (e1)1sin1 limlim 44 44 22 x xx x xx . 2. 设隐函数( )yy x由方程 22 ()yxyx所确定，则 2 3 2ln | dxyy C yxx . 解：令ytx，则 2 1 (1) x tt ， 1 (1) y tt ， 32 23 (1) t dxdt tt ， 这样， 2 233 32ln | |2ln | dxtyy dtttCC ytxx . 3. 定积分 22 0 (1 sin ) 1 cos x ex dxe x . 解： 222 000 (1 sin )sin 1 cos1 cos1 cos xx x exex dxdxde xxx 2 2 22 2 00 0 sincos (1 cos )+sin 1 cos1 cos(1 cos ) xx x exexxx dxedx xxx 2 222 00 0 sin 1 cos1 cos1 cos xxx exee dxdxe xxx . 4. 已知 22 ( , ) 323 ydxxdy du x y xxyy ，则 131 ( , )arctan()C 32 22 2 x u x y y . 解： 22 ( , ) 323 ydxxdy du x y xxyy 2 131 arctan() 2 32 22 2 3( )3 x d xy d xx y yy （ ） . 所以， 131 ( , )arctan()C 32 22 2 x u x y y . 2 5. 设, , ,0a b c，曲面xyz与曲面 222 222 1 xyz abc 相切，则 3 3 abc . 解：根据题意有： 2 2x yz a , 2 2y xz b ， 2 2z xy c ，以及 2 2 2 x a ， 2 2 2 y b ， 2 2 2 z c ，从而得： 3 222 8 a b c ，32， 联立解得： 3 3 abc . 二、 （14 分）计算三重积分 22 d d d xyz x y z xy ，其中是由曲面 222 2 ()2xyzxy围成 的区域在第一卦限部分. 解：采用“球面坐标”计算，并利用对称性，得 32 2sinsin cos 2 42 22 000 sincos sincos 2ddsin d sin I -5 分 2sinsin cos 3 42 000 2sincos dsincos dd 335 42 00 2sincosdsincos d -10 分 35 42 00 1 sin 2 dsind(sin ) 4 3 2 0 1121 sind 4848 372 t t . -14 分 三、 （14 分） 设( )f x在0,)上可微，(0)0f， 且存在常数0A， 使得|( )|( )|fxA f x 在0,)上成立，试证明：在(0,)上有( )0f x . 证明：设 0 1 0, 2 x A ，使得 0 1 |()| max |( )|0, 2 f xf xx A ， -5 分 0000 11 |()| | (0)+ ( )|()|()| 22 f xffxA f xf x A ，只有 0 |()| 0f x. 故当 1 0, 2 x A 时，( )0f x . -12 分 递推可得，对所有的 1 , 22 kk x AA ，1,2,k ，均有( )0f x . -14 分 四、 （14 分）计算积分 2 sin (cossin ) 00 sinIded 解：设球面 :2+ 2+ 2= 1, 由球面参数方程 3 sincosx，sin siny，cosz 知sindSd d ，所以，所求积分可化为第一型曲面积分 = -4 分 设平面: 2 = , 1 1，其中为平面被球面截下部分中心到原点距离. 用平面分割球面，球面在平面,+之间的部分形如圆台外表面状，记为t,dt.被积 函数在其上为 = 2 . -8 分 由于t,dt半径为= 1 t2，半径的增长率为 1 2= 12 就是 t,dt 上下 底半径之差. 记圆台外表面斜高为，则由微元法知 2+ (1 2) 2 = 2, 得到 = 12 ，所以 t,dt 的面积为 = 2= 2, -12 分 = 2 1 1 2dt = 2 2 2 |1 1 = 2( 2 2). -14 分 五、 （14 分） 设( )f x是仅有正实根的多项式函数， 满足 0 ( ) ( ) n n n fx c x f x . 试证：0 n c ， (0n ），极限 1 lim nn n c 存在，且等于( )f x的最小根. 证明：由()为仅有正实根的多项式，不妨设( )f x的全部根为 0 1 2 0， lim +1 = 1 1， -12 分 4 lim 1 ( 2 1 + + +1 ) = 1 1, = = 1 +1 ( 2 1+ +1 ) 1 1 = 1 1. 从而，lim 1 = 1,即()的最小正根. -14 分 六、 （14 分）设函数( )f x在0, )上具有连续导数，满足 2 222 33( )( )21( ) x fxfxfxe， 且(0)1f.证明：存在常数0M，使得0,)x时，恒有( ) f xM. 证明：由于( )0fx，所以( )f x是0, )上的严格增函数，故 + lim( ) x f xL(有限 或为). 下面证明 L. -2 分 记( )yf x，将所给等式分离变量并积分得 2 2 22 32 dd (1)3 x y yex y ，即 2 2 0 2 2arctand 13 x t y yetC y ， -6 分 其中 2 (0) 2arctan(0) 1(0) f Cf f . -8 分 若 L，则对上式取极限x，并利用 2 0 d 2 t et，得 3 C.-10 分 另一方面，令 2 ( )2arctan 1 u g uu u ，则 2 22 3 ( )0 (1) u g u u